曲线方程的求法
曲线的切线与法线方程
曲线的切线与法线方程在微积分中，曲线的切线和法线是研究曲线性质的重要工具。
切线和法线是与曲线相切于某一点的直线，切线贴近曲线的趋势，法线则与切线垂直。
本文将详细介绍如何求解曲线的切线和法线方程。
一、曲线的切线方程切线是曲线上与曲线相切于某一点的直线。
要求解曲线的切线方程，首先需要计算出曲线在该点处的斜率。
1. 首先，确定曲线方程。
假设我们有一个曲线方程y=f(x)，其中f(x)是曲线的函数表达式。
2. 然后，选择曲线上的一点P(x0, y0)，该点是我们感兴趣的切线与曲线相切的点。
3. 接下来，求解曲线在P点处的导数。
导数表示曲线在该点的斜率，可以用f'(x)来表示。
4. 利用导数计算曲线在点P的斜率。
斜率可以通过求解斜率公式来进行计算，即斜率k = f'(x0)。
5. 最后，使用点斜式或一般式等形式得到切线方程。
切线方程可以表示为y-y0 = k(x-x0)，或者转换为一般式Ax+By+C=0的形式。
二、曲线的法线方程法线是与切线垂直的直线。
要求解曲线的法线方程，同样需要计算出曲线在该点处的斜率。
1. 同样地，我们需要确定曲线方程y=f(x)，其中f(x)是曲线的函数表达式。
2. 选择曲线上的一点P(x0, y0)，该点是我们感兴趣的法线与曲线相切的点。
3. 求解曲线在点P的导数。
导数表示曲线在该点的斜率，可以用f'(x)来表示。
4. 计算曲线在点P处的斜率的负倒数。
法线的斜率是切线斜率的负倒数，即斜率k' = -1/f'(x0)。
5. 利用点斜式或一般式等形式得到法线方程。
法线方程可以表示为y-y0 = k'(x-x0)，或者转换为一般式Ax+By+C=0的形式。
总结：通过求解曲线在特定点的导数，我们可以得到切线的斜率和法线的斜率。
利用点斜式或一般式，我们可以得到切线和法线的方程。
这些方程可以用来描述曲线的性质，并且在解决相关问题时起到重要作用。
人教版数学选修2-1：曲线方程课件求曲线方程的四种常用方法(共19张PPT)
二、参数法求曲线方程
例5 过点 P( 2 ,4) 作两条相互垂直的直线 l1, l2 ，若 l1 交 x 轴于点A，l2
交y 轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解析：设点M (x, y) 。
① 当直线 l1 的斜率垂直且不为0时，可设其方程为：y 4 k(x 2)
因为
l1 l2
建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
解析：如图：取直线 l 为轴，过点F且垂直于 直线 l 的直线为y轴，建立坐标系 xOy. 设点 M (x, y) 是曲线上任意一点，作MB x 轴
垂足为B，则M属于集合
P M || MF | | MB| 2 x2 (y 2)2 y 2 x2 (y 2)2 (y 2)2
③（四川卷）已知两定点 A(2,0), B(1,0) ,若动点P满足|PA|=2|PB|， 则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ）
A B 4 C 8 D 9
二、直接法求曲线方程
例3 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
二、相关点法求曲线方程
例4 在圆 x2 y2 4 上任取一点P，过点P作 x 轴的垂线段PD，D为垂
足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设 M (x, y), P(x0, y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以 x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x 带入上式得：x2 4 y2 4.
所以点M的轨迹方程是 x2 4y2 4. 。
相关点法—知识总结与练习
求曲线方程的几种常用方法
求曲线方程的几种常用方法宜君县高级中学 马卫娟已知动点所满足的条件，求动点的轨迹方程是平面解析几何的一个重要题型。
下面就通过实例介绍几种求曲线方程的常用方法。
一.直接法：即课本中主要介绍的方法。
若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系,这时,设曲线上动点的坐标为(x,y),再根据命题中的已知条件,研究动点形成的几何特征,运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x,y 的关系式,从而得到轨迹方程。
例1.在直角△ABC 中,斜边是定长2a(a>0),求直角顶点C 的轨迹方程。
解法一：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系（如图所示）则有:A(-a,0)、B(a,0),设动点C 的坐标为(x,y) 则满足条件的点C 的集合为}/{222AB BCAC C P =+=所以()()()22222222)()(a ya x ya x =+-+++即222a y x =+因为当点C 与A 、B 重合时，直角△ABC 不存在，所以轨迹中应除去A 、B 两点，既ax ±≠。
故所求点C 的轨迹方程为222ay x =+()a x ±≠。
解法二:如解法一建立直角坐标系,设A(-a,0)、B(a,0)、C(x,y) ∵A C ⊥BC ∴1-=⋅BC AC K K∴1-=-⋅+ax y ax y （1）化简得：222a y x =+（2）由于a x ±≠时，方程(1)与(2)不等价,所以所求点C 的轨迹方程为222ay x =+()a x ±≠。
解法三：如解法一建立直角坐标系，则：A(-a,0)、B(a,0)，设C(x,y) 连接CO ，则有：AB CO 21=所以a a yx =⋅=+22122即222ay x =+轨迹中应除去A ，B 两点（理由同解法一） 故所求点C 的轨迹方程为222ay x =+()a x ±≠。
说明：利用直接法求曲线方程的一般步骤(1) 建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意点M 的坐标; (2) 写出适合条件P 的点M 的集合P={M\p(m)}; (3) 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0; (4) 化方程f(x,y)为最简形式;(5) 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
求曲线方程方法讲解
y ( x, y) 由中点坐标公式可知
x1 y1
x 2 y 2
A
∵AB 边上的中线 CD=3
D
∴ (x1 4)2 y12 9
B
化简整理得 (x 8)2 y2 36
∴点 A 的轨迹方程为 (x 8)2
y2
0
36
.
y
0C
Mx
法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了! 注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法)
变式练习
若三角形ABC的两顶点C，B的坐标分别是C（0，0），
B（6，0），顶点A在曲线y=x2+3上运动，求三角形ABC
重心G的轨迹方程.
y 10
8
y=x2+3
6
A
4
2
M
OB
x
-2
-4
四 例 3.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
√√ 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式;
5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
知识回顾
在什么条件下，方程f(x，y)＝0是曲线C 的方程，同时曲线C是该方程的曲线？
（1）曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解；(纯粹性)
（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点 都在曲线C上. (完备性)
简单地说：利用所求曲线上的动点与某一已知曲 线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点 满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y之 间的坐标。
变 变式 .△ABC 的顶点 B、C 的坐标分别为(0,0)、(4,0), 式 A B 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
曲线轨迹方程的求法
于 设四 形４ ｃ 的 积 ．Ｊ 是， 边 日Ｄ 面 为ｓ贝 『
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且 。 ６ ｏ ｅ ２一４ｓ２ 叫 ＋ ｓｓ ｏ ２ ｉ ａ‘ ｃ２ｉ ｅ ＋ｎ ｏｎ ２
Ｚ Ｂ的垂 直平分线 ． 是 Ｚ 上 内切 ；３动 圆 与 圆 Ｃ内切 ， （） 与圆 外切 ；４ 动 圆 中心 的任 意弦 ，是线段 Ａ （）
与圆 Ｃ外切 ， 圆 内切 ． 。 与
异于椭圆中心的点． Ｉ Ｏ ｌＡ 若 Ｍ ＝ ｌ（ ｌ ０为坐标原
， 求点 的轨迹方程． 在情况 （）（ ） ， １ 、２下 动圆圆心 的轨迹方程为 ｘＯ － ． 点 ）当点 Ａ在椭 圆 Ｃ 上运动时 ，
４Ｘ＃３
．
、 ／ ～ ／
２
．
例 ２ （０８年全 国 Ｉ卷理科第 ｌ 题 ）已知 Ｆ Ｉ ｚ＋ｃ ２０ Ｉ ５ ＡＣＩ －
设
ｉ
翰
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抛 线ｃｙ ｘ 焦点过Ｆ 率为１ 直 Ｉ 为 物 ： ４的 ． 且斜 ￣ ＝ 的 线交
＞膪 。 。 。 ’ 则 ‘ 。 船 的比
８
３ ． 用动点和相关点的坐标表示以上关系； 代点．
因为 为 Ａ Ｂ中点 ， Ａ（ ，） （， ） 则 ０， Ｏ２ ． Ｂ ｙ 又因
ｌ
４ ． 把以上关系式化简； 化简．
５ 明． 明所得方程为所求 曲线的轨迹方程 ． ． 证 证
ｚ ｚ ｚ ｚ过点 Ｐ ２ ４ ， Ｐ Ｐ． ｋ ・ ２ 上且 ， （ ， ）则 Ａ上 Ｂ即
三点求曲线方程
三点求曲线方程
要在平面上三点求曲线方程，首先需要确定曲线是二次曲线、一次曲线还是其他类型的曲线。
以下是针对不同类型曲线求方程的方法：
1. 二次曲线（如抛物线、椭圆、双曲线等）：
假设曲线方程为：Ax² +By² +Cx + Dy + E = 0
已知三点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）和（x3，y3），则可以列出以下方程组：
A(x1)² +B(y1)² +Cx1 + Dy1 + E = 0
A(x2)² +B(y2)² + Cx2 + Dy2 + E = 0
A(x3)² +B(y3)² +Cx3 + Dy3 + E = 0
解这个方程组，可以得到A、B、C、D 和 E 的值。
然后将这些值代入曲线
方程，即可得到所求曲线方程。
2. 一次曲线（如直线、圆等）：
如果两点坐标已知，可以先判断曲线是否为直线。
如果两点间的斜率存在，则直线方程为：y - y1 = k(x - x1)，其中k 为两点间的斜率，
(x1, y1) 为其中一个点的坐标。
如果两点坐标为（x1，y1）和（x2，y2），则直线方程为：
y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x -x1)
如果两点坐标相同，则直线与x 轴重合，方程为：y = y1。
如果三点共线，可以利用两点求斜率，然后用斜率公式求直线方程。
3. 其他类型曲线：
对于其他类型（如指数函数、对数函数等）的曲线，通常需要根据曲线的特点和已知条件建立方程。
曲线方程求法
抚松一中 姜民和
学习目标：
1.曲线的方程、方程的曲线； 2.总结求曲线的方程的方法和步 骤；
•
定义：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种
条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数
解建立了如下的关系：
•
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
•
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
5
2
mx 2 ny 2 1
直接法（第二定义）
3.已知点P到定点F (3,0)的距离与到l：x 25的距离之比 3
为 3，求P的轨迹方程 5
基本步骤： 建，设，现，代，化
4.已知过圆 x2 y2 25上的动点 p向x轴做垂线，垂足为 Q 点R满足PR 1 PQ,求点R的轨迹方程
5
5.已知点P在直线y 164 上移动，直线l过点A(0,4)且与 9
分析作业：
已知曲线的类型，可 先设出曲线的方程
曲线与方程
和 x2 y2 25交于点P, Q过点P作x轴的平行线 l1, 过点Q做 x轴的垂线 l2 , l1交l2与点R，求点 R的轨迹方程。
方法小结：
求曲线的轨迹方✓参数法 ✓定义法
所求动点随另 一动点在已知 曲线上的运动 而运动，称为 相关点法.
✓待定系数法
AP垂直，通过点B(0,4)及点P的直线m和直线l相交于点Q 求点Q的轨迹方程
一、复习回顾
一、求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 1、建立适当的坐标系，设曲线上任一
点的坐标; 2、找条件，由条件列出方程;
3说、明化所简得方方程程. (可检以验省略)为所求的曲线
方程.
二、求曲线方程的常用方法：
几类常见双曲线方程的求法
几类常见双曲线方程的求法邮编：745000 甘肃省庆阳一中 李树信求双曲线的方程是一类重要题型，在许多情况下，若恪守常规，不但过程繁琐，运算量大，对于有些问题甚至还可能陷入困境，若能根据题目的特点，采用相应的设法，则可达到避繁就简之目的。
下面我们谈谈几类常见的双曲线的方程求法，供大家参考。
类型一﹒已知双曲线经过两个已知点，可设方程为122=+ny mx 。
例1， 求过),(372-A 和),(267--B 两点，且中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程。
解：设双曲线方程为122=+ny mx ，由于双曲线过两点（27﹒－3），（－7﹒－62）, 故有⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+126713722222)()()()(n m n m 解得 .,751251-==n m 故双曲线的标准方程为1752522=-y x . 类型二﹒与椭圆12222=+by a x 共焦点的双曲线方程，可设方程为 2222221a b b y a x <<=-+-λλλ(,）. 例2.设双曲线与椭圆1362722=+b x 有公共焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(415，).求此双曲线的方程。
解：设双曲线的方程为1362722=-+-λλy x )(3627<<λ， 由于曲线过点（),415, 故136162715=-+-λλ， 解之得 ：03221==λλ,(舍去).故所求双曲线方程为: 15422=-x y . 类型三，与12222=-by a x 共渐近线的双曲线方程可设方程为)(02222≠=-λλb y a x 例3，求与双曲线116922=-y x 有公共渐近线，且过），（－623P 的双曲线方程。
解：设所求双曲线方程为：)(016922≠=-λλy x 点),(623-P 在双曲线上, ∴λ=--16629322)()( 解得: 21-=λ.所以, 双曲线方程为192822=-x y . 类型四.渐近线方程为0=±b y a x 或x ab y ±=的双曲线方程可设为λ=-2222b y a x )(0≠λ.例4.已知双曲线的渐近线方程为：x y 21±=且它的一条切线为0865=--y x ，求此双曲线的方程。
曲线的轨迹方程的求法
曲线的轨迹方程的求法求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念例1如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程命题意图 知识依托 利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程错解分析 欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题技巧与方法 的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程解 设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR | 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理 在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=20,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得 x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程例2设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线命题意图 本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程 知识依托 直线与抛物线的位置关系错解分析 当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论技巧与方法 将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系解法一 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y ) (x ≠0) 直线AB 的方程为x =my +a 由OM ⊥AB ，得m =－yx由y 2=4px 及x =my +a ，消去x ,得y 2－4p my －4pa =0所以y 1y 2=－4pa , x 1x 2=22122()(4)y y a p =所以，由OA ⊥OB ，得x 1x 2 =－y 1y 2 所以244a pa a p =⇒=故x =my +4p ,用m =－yx代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点解法二 设OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(,)p p A k k则OB 的方程为1y x k =-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk - ∴AB 的方程为2(2)1ky x p k =--，过定点(2,0)N p ，由OM ⊥AB ，得M 在以ON 为直径的圆上（O 点除外） 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点解法三 设M (x ,y ) (x ≠0)，OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(,)p p A k k则OB 的方程为1y x k=-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk -由OM ⊥AB ，得 M 既在以OA 为直径的圆 222220p p x y x y k k+--=……①上，又在以OB 为直径的圆 222220x y pk x pky +-+=……②上（O 点除外）， ①2k ⨯+②得 x 2+y 2－4px =0(x ≠0)故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点例3某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图 本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力 知识依托 圆锥曲线的定义，求两曲线的交点错解分析 正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键 技巧与方法 研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程解 设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |PA |+|PO |=(1+r)+(1 5－r)=2 5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2 5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ②由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm 例4已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线 解 建立坐标系如图所示， 设|AB |=2a ,则A (－a ,0）,B (a ,0) 设M (x ,y ）是轨迹上任意一点则由题设，得||||MB MA =λ,坐标代入，得2222)()(ya x y a x +-++=λ,化简得(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2=0(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴)(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221)1(2λ-λ+a x +a 2=0 点M 的轨迹是以(－221)1(λ-λ+a ，0）为圆心，|1|22λ-λa 为半径的圆曲线轨迹方程1 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A 圆B 椭圆C 双曲线的一支D 抛物线2 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A 14922=+y xB 14922=+x yC 14922=-y xD 14922=-x y3 △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________4 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________5 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程6 双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程7 已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率8 已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值曲线轨迹方程参考答案1 解析 ∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆 答案 A 2 解析 设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0) ∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案 C3 解析 由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a ,∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=- 答案 )4(1316162222a x ay a x >=- 4 解析 设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0 答案 4x 2+4y 2－85x +100=05 解 设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P 由切线的性质知 |BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6 解 设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ) ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0)由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得而点P (x 0,y 0)在双曲线上， ∴b 2x 02－a2y 02=a 2b 2 即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a )7 解 (1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为 y =)(11m x m x y ++ ①A 2Q 的方程为 y =－)(11m x mx y -- ②①³②得 y 2=－)(2222121m x mx y -- ③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x mn y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1 此即为M 的轨迹方程(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆 (ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222n m m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-8 解 (1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0) |F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0 ∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2 故R 的轨迹方程为 x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |²|OB |²sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2此时弦心距|OC |=21|2|kak +在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
求曲线方程的几种常见方法
求曲线方程的几种常见方法求曲线方程的几种常见方法2011-04-20 13:59 来源：文字大小：【大】【中】【小】解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．所以求曲线的方程是解析几何中的一个重要问题．下文将讨论几种求曲线方程的方法及求曲线方程时应注意的问题．一、直接法若动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何量间的等量关系简单明了且易于表达，我们只要将这些的等量关系变成含，的等式就得到动点的轨迹方程．这种方法不需要其它技巧，故称为直接法．例1已知P，Q是平面内的2个定点，=2,点M为平面内的动点，且M到点P的距离与到点Q的距离的比值为（﹥0），求点M 的轨迹．解析以线段PQ的中点O为坐标原点，线段PQ的垂直平分线为轴建立直角坐标系．点为（-1，0），点为（1，0），设点为（，）．，（﹥0），，，化简可得．（1）时，点的轨迹为轴，其方程为；（2）﹥0且时，点的轨迹方程可化为，即，当﹥0且时，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．点评直接法求轨迹的一般步骤为：（1）必要时建立平面直角坐标系（若已有直角坐标系则可以省去这一步），设动点坐标为（，）；（2）根据题设条件列出等量关系式；（3）将上述等量关系式转化为方程式；（4）整理、化简方程式为轨迹方程；（5）必要时进行讨论，以保证轨迹的纯粹性与完备性，并指出轨迹的具体几何意义．二、定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可以根据定义直接求出动点的轨迹方程，这种方法称为定义法．例2 如图,已知两圆，，动圆在圆内且和圆内切，和圆外切，求动圆圆心的轨迹．解析设动圆圆心为，由题意可知．根据椭圆的第一定义，点的轨迹是以点，为焦点的椭圆，其中，动圆圆心的轨迹方程为．点评解答本题的关键在于透过复杂的条件认识到点轨迹是以点，为焦点的椭圆，假若根据几何条件列方程求解就复杂了．三、相关点法有些求轨迹的问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但这一动点随另一动点（称之为相关点）而动．假若相关点所满足的条件是明显的或可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程或关系式，即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫相关点法，也叫转移点法或代入法．例3 已知曲线与直线交于两点和,且﹤．记曲线在点A点B 之间的那段为L，设点P（s,t）是L上的任意一点，且点P与点A和点B均不重合．若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．解析由，解得A（-1，1），B（2，4）．由中点坐标公式可得点Q的坐标为（），设点M的坐标为（）．于是，，，又-1﹤s﹤2,﹤﹤,即﹤﹤．又点P（s,t）在曲线C上，．将代入得，即（﹤﹤）．点评相关点法是一种常考的方法，用此法求轨迹的大致步骤是：（1）设所求轨迹的动点P的坐标为（），再设在曲线上与动点P相关的点为Q （），所以；（2）找出P,Q的坐标之间的关系式，并表示为（3）将代入，即可得所求的轨迹方程．本题中还要注意所求曲线只是抛物线的一部分．四、交轨法若动点是两条动曲线（含直线）的交点，则可恰当的引入一个或几个参数，写出动曲线的方程，消去参数，即可求得所求的轨迹方程．这种方法叫交轨法．例4 如图，椭圆与轴的交点为A(2,0),B(-2,0),与轴平行的直线交该椭圆于不同的两点M，N，试求直线AM，BN的交点Q 的轨迹方程．解析直线MN的方程为，设M和N的坐标分别为（），（），则，即．M，N为不同的两点，，直线AM，BN的方程分别为因为点Q的坐标满足上式，所以将它们相乘可得，将代入上式可得，即．又交点Q不可能在轴上，．交点Q的轨迹方程是．点评交点Q不可能在轴上，去掉（2，0），（-2，0）两点，确保轨迹的纯粹性不容忽视．五、向量法用向量法求轨迹方程时，可充分利用向量垂直和共线的充要条件，并可以避免讨论直线斜率是否存在，使计算得到简化．例5 如图，设点A、B为抛物线（p﹥0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，M是垂足，求点M的轨迹方程，并说明它表示的曲线类型．解析设点A，点B（），M（）．，，，，．,即，．又,即，化简得．又∥,，化简可得．消去可得，又因为A、B异于原点，所以．点M的轨迹方程为，它表示一点（2p，0）为圆心，2p为半径的圆（不包含原点）．点评利用向量可以将几何问题化为代数计算，在此设点A，点B（），而不设点，是为了尽量减少参数．六、参数法动点满足的条件式中含有参数（如角度、斜率、比值等）或动点运动过程中受到某个参数制约，我们建立以这个变量为参数的参数方程，然后消去这个参数，即得轨迹的普通方程，这种求轨迹方程的方法叫参数法．例6 过点P（4，1）的动直线与椭圆交于不同的两点A、B，在线段AB上取点Q，满足,证明：点Q总在某定直线上．证明设点Q，A，B的坐标分别为（），（），（）．由题设知，，，均不为0，记,则﹥0，且．又A，P，B，Q四点共线，从而．于是，，，．从而，………………①．………………②又因为点A、B在椭圆C上，即，………………③，………………④①+2②得，结合③、④得．即点Q（）总在定直线上．点评在此选取比值作参数，得到轨迹的含的参数方程，最后消去参数得到轨迹的普通方程．本题中点Q的轨迹只是直线的一部分．七、点差法例7 给定双曲线，过点A（2，1）的直线与所给双曲线交于两点，求线段中点P的轨迹方程．解析设P（），，，则两式相减得．又．又，，A，P四点共线，，，即所求轨迹方程为．点评点差法是求弦中点形成的轨迹的有效方法．【练习】1．动点与两点连线的斜率之积为（﹤0），求点的轨迹方程，并根据值变化讨论其轨迹是什么曲线．2．已知圆：与定直线，动圆与圆外切，并且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程．3．已知O为坐标原点，A为椭圆（a﹥b﹥0）上任意一点，且,求点P的轨迹方程．4．如图，设点A、B分别为（-1，0）、（1，0），N为单位圆上的动点（不与点A、B重合），单位圆上过点N的切线与过点A、B的切线分别交于D、C两点，四边形ABCD的对角线AC与BD的交点为P，求交点P的轨迹．5．已知点A（1，0）为圆内的一点，P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？6．过抛物线的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程．7.线段AB是经过抛物线焦点的弦，求弦AB的中点的轨迹方程．【参考答案】1．（1）﹤-1时，轨迹方程为（），点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含,两点）；（2）时，轨迹方程为，点的轨迹为圆（不含,两点）；（3）-1﹤﹤0时，轨迹方程为，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含,两点）．2．3．4．设切点N的坐标为（cos,sin）,则切线CD的方程为，求出点C、D的坐标，进而写出直线BD、AC的方程，消去即可．点P的轨迹为椭圆：除去A、B两点的部分．5．（用向量法和参数法）．6．7．。
求曲线轨迹方程的方法
四、参数法求曲线方程
若过点 P(1，1)且互相垂直的两条直线 l1，l2 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，则 AB 中点 M 的轨迹方程为________．
四、参数法求曲线方程
【审题】 斜率存在时，点斜式设l1的方程→得l2的方程→ 联立方程→求交点坐标→消去参数→得结果→斜率不存在时将
三、相关点法求曲线轨迹方程
基本思路：
①设点：设被动点的坐标 M (x, y)，主动点的坐标 P(x0, y0；) ②求关系式：用被动点的坐标M (x, y) 表示主动点的坐标 P(x0, y0 )，即
得关系式
xy00
g(x, h(x,
y) y)
③代换：将上述关系式带入主动点满足的方程，化简整理可得所求动 点的轨迹方程。
三、相关点法求曲线轨迹方程
x 例 在圆 x2 y2 4上任取一点P，过点P作 轴的垂线段PD，
D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设M (x, y), P(x0 , y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x带入上式得：x2 4 y2 4.
二：定义法求轨迹方程
思路：如果动点的轨迹满足某种已知曲线定义，则可由曲 线的定义直接写出方程，利用定义法求轨迹方程要善于抓 住曲线定义的特征。 要点：四种曲线定义及成立条件
方法：建系设点 定型（思考几何关系，进而寻求数量关系） 定方程 定范围
二：定义法求轨迹方程
圆的定义： |PC|=r (r>0) 椭圆的定义：
一：直接法（直译法）求轨迹方程
例 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
曲线轨迹方程的常见求法
因此 点 Ｒ 在 一 个 圆上 ． 而 当Ｒ 在此圆上运动时 ， Ｑ点 即 存 所
求 的轨 迹 上 运 动 ．
设 Ｑ（ ｘ ， ｙ ） ， Ｒ（ ｘ 。 ， ｙ ． ） ， 因为Ｒ 是Ｐ Ｑ 的巾点 ， 所 以ｘ 。 ＝
ｙ ＋ ０
， ｙ ， ＝
丁 ’
代 入 方 程 ｘ ￣ ＋ ｙ ２ ＿ ４ 一 １ ０ ： ０ 得 ： （ ） ＋ （ 善 ） 一 ４ ・ － ４ — １ ０ ＝ ０ ．
则由题设， 得
ｘ ＋ ａ ） Ｚ ＋ ｙ Ｚ ： 入 ， 坐标代入得 Ｖ（ 、／ Ｖ ■ ：
Ｌ ｘ－ ａ 十 ｙ
＝
是 圆上 两 动 点 ， 且满足 ／ ＿ ＿ ． Ａ Ｐ Ｂ ＝ ９ ０ 。 ， 求 矩 形Ａ Ｐ Ｂ Ｑ ￣
迹 方 程
，
一
点 Ｑ的ห้องสมุดไป่ตู้轨
：
，
ｌ ＭＢ Ｉ
径为多少？ 分 析 本 题 考查 “ 定义法 ” 求 曲 线 的 轨 迹 方 程 及 将 实 际 问 题 转化为数学问题的能力
又Ｉ Ａ Ｒ Ｉ ＝ Ｉ Ｐ Ｒ Ｉ ＝ Ｖ（ ｘ 一 ４ ） ‘ ＋ ｖ ‘
所 以有 （ ｘ 一 ４） ‘ ＋ ｙ ‘ ＝ ３ ６ 一ｘ ｙ ‘ ） ， 即ｘ ‘ ＋ ｙ ＇ － ４ ｘ －１ ０ ＝ ０
解： 设Ａ Ｂ 的 巾点 为 Ｒ， 坐标为（ ｘ ， Ｙ ） ， 则 存Ｒ ｔ ＡＡ Ｂ Ｐ 巾， Ｉ Ａ Ｒ Ｉ ＝
ｌ ＰＲＩ ．
１ －ｈ
二、 定 义法
又因为Ｒ 是 弦ＡＢ 的 中点 。 依垂径定理在Ｒ ｔ ＡＯ Ａ Ｒ中 ，
Ｉ ＡＲＩ ‘ ： Ｉ ＡＯＩ 一 Ｉ ＯＲＩ ＝ ３ ６ 一（ ｘ ‘ ＋ ｙ ‘ ）
曲线方程的求法
确定点的位置
通过参数方程可以确定 平面内点的位置，通过 给定参数值计算出对应 的x和y坐标。
解决几何问题
参数方程可以用于解决 几何问题，如求弦长、 切线斜率、面积等。
参数方程在物理问题中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，参数方程可以用来描述物体的运动轨迹， 如行星运动轨迹、摆动轨迹等。
总结词：声波传播
详细描述：双曲线方程在声学研究中用于描述声波的传播规律，如声音的传播速 度、衰减等。
抛物线方程在弹道学中的应用
总结词：弹道轨迹
详细描述：抛物线方程在弹道学中用 于描述炮弹、导弹等物体的飞行轨迹 ，是军事领域中非常重要的数学工具 。
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截距式方程
$x/a + y/b = 1$，其中a和b分别是 直线在x轴和y轴上的截距。
圆方程
标准方程
$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中(h, k)是圆心，r是半径。
参数方程
$x = h + rcostheta$，$y = k + rsintheta$，其中(h, k)是圆 心，r是半径，$theta$是参数。
04
参数方程的应用
参数方程与极坐标方程的转换
参数方程转换为极坐标方程
将参数方程中的x和y代入极坐标公式（x=ρcosθ， y=ρsinθ），得到极坐标方程。
极坐标方程转换为参数方程
将极坐标方程中的ρ和θ代入参数方程（x=ρcosθ， y=ρsinθ），得到参数方程。
参数方程在几何问题中的应用
描述平面曲线
03
曲线方程的求解方法
双曲线标准方程的八种求法
双曲线标准方程的八种求法一、定义法例1：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，求点C 的轨迹。
变式1：已知动圆M 与C 1：，C 2：均外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是____________________。
变式2：设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段二、待定系数法例2：焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-，求双曲线的标准方程。
变式1：求经过点(1,3)A-，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程．三、第二定义法例3：点()P x y，到定点(01)A-，的距离与定直线14y=-，求动点P的轨迹方程．变式1：点M(x,y) 与定点F(5,0)距离和它到定直线16:5l x=的距离之比是常数54,求点M的轨迹方程.四、奇思妙解法-----一般方程法例4：求经过点(3,P ,()Q -的双曲线标准方程。
变式1：求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点P （）和Q （，6）两点的双曲线方程。
五、奇思妙解法-----同焦点（同焦距算两次）例5：已知过点()2，且与双曲线216x －24y ＝１有共同焦点的双曲线的标准方程。
例6：经过点(C，且与双曲线221816x y-=有共同的渐近线，求双曲线的标准方程。
变式1：求经过点(-，且与双曲线29x－216y＝１有相同渐近线的双曲线方程。
例7:一条渐近线方程为0x =，且与椭圆22464x y +=有相同的焦点，求双曲线的标准方程。
变式1：求一条渐近线方程为3x ＋4y ＝０，一个焦点是()4,0的双曲线方程。
八、奇思妙解法-----同离心率例8: 求经过点()2,0，且与双曲线264x －216y ＝１的离心率相同的双曲线的标准方程。
变式1: 实轴长为2，且与双曲线22x －2y ＝１的离心率相同的双曲线的标准方程。
求双曲线方程的基本方法
２
２
上,则双曲线方 程 可 设 为x２ －y２ ＝１(
a＞０,
b＞０),然
a b
后根据条件求解 a,
b．
２)如果明确了双曲线的中心在原点,焦 点 在 y 轴
２５
４
因为双曲线 经 过 点 (－５,
２),所 以 －
＝１,
λ ６－λ
所以λ＝５ 或λ＝３０(舍去)．
２
综上,所求双曲线的标准方程为x －y２ ＝１．
程分焦点在 x 轴和y 轴上两种情况 ．求解双曲线标准
方程时,应先确定焦点的 位 置,以 便 选 择 方 程 的 形 式 ．
如果不能确定 焦 点 的 位 置,则 需 要 分 两 种 情 况 讨 论 ．
即,若不知 道 焦 点 是 在 x 轴 还 是 在 y 轴,为 了 避 免 讨
２
２
论,可设为x －y ＝１．掌 握 求 解 双 曲 线 方 程 的 常 用 求
λ ６－λ
双曲线的标准方程是高 考 考 查 的 重 要 内 容,在 求
双曲线的标准方程时,主要 是 运 用 待 定 系 数 法 进 行 求
解,根据不同 的 条 件 采 用 不 同 的 设 法,解 题 过 程 的 繁
简程度会有所不同 ．
１ 利用待定系数法求双曲线方程的注意事项
１)如果明确了双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴
b,从而写出方程 ．
２ 典例精析
焦点在坐标轴上,求双曲线的标准方程 ．
２
２
设双曲 线 方 程 为x ＋y ＝１(
mn＜０)．因 为
m n
ìï９ ＋２２５＝１,
n
ïm １６
解
P,Q 两 点 在 双 曲 线 上,所 以 í
曲线方程的求解方法
曲线方程的求解方法在几何学中，曲线是指一类可以被完全描述的路径，由连续且无限多的点组成。
曲线方程是一种数学模型，用来描述任何一条曲线。
它是一种系统的方法，用来确定曲线的特性和位置，也可以用来确定曲线与定义域和值域的关系。
曲线方程求解的方法主要分为三大类：分析求解、数值求解、图像求解。
1、分析求解：分析求解是通过分析曲线方程的形式，把它转换成直观易于理解的形式来解决曲线方程。
当曲线方程表示出来时，它可能是曲线函数的形式，可以用积分来解决。
也可以采用计算曲线函数的局部最大值、最小值和拐点的方法来求解。
2、数值求解：数值求解是指通过近似计算曲线方程的实际值来求解曲线方程。
该方法采用数值求解法，要求用户输入一些参数，然后使用某种数值求解方法来求解曲线方程，如牛顿法、拉格朗日法等。
3、图像求解：图像求解是指通过绘制曲线图像来求解曲线方程，是一种近似的求解方法。
这种求解方法把曲线方程看成一种图形，用图形的方法来求解，如观察图形的拐点、凹点等，从而对曲线方程进行分析。
曲线方程求解是一个涉及到具体求解方法的研究课题，为了得到准确的结果，它需要用到数学分析、计算机科学、计算机图形学等多领域的知识。
另外，曲线方程求解还可以从不同的角度来进行研究，比如可以从结构的角度来求解曲线方程，对其进行模型化建模，结合经典的算法，设计新的求解方法；也可以从表示的角度来求解曲线方程，构建两维、三维的曲线表示方法，用以解决复杂曲线表达、求解曲线上的点和特征点等问题；还可以从应用的角度来求解曲线方程，如机器人导航、游戏设计等，为其开发出具有一定实用价值的曲线求解方法。
总之，曲线方程求解是一项非常重要的研究课题，也是一个相当复杂的技术领域，涉及到许多不同的知识领域，未来仍然有许多可以去挖掘的空间。
求曲线方程的方法
求曲线方程的方法一、已知特征点求曲线方程。
如果已知曲线上的一个或多个特征点，我们可以利用这些特征点来求曲线方程。
例如，如果已知曲线上的一个点坐标和曲线的斜率，我们可以利用点斜式来求出曲线方程。
又如，如果已知曲线上的三个点坐标，我们可以利用三点式来求出曲线方程。
这些方法都是通过已知特征点来确定曲线方程的常用方法。
二、已知曲线性质求曲线方程。
有时候我们知道曲线的一些性质，比如曲线的对称轴、焦点、直角坐标系中的方程等，这些性质可以帮助我们求出曲线方程。
例如，如果已知曲线是关于y轴对称的，那么曲线方程一定是关于x的偶函数；如果已知曲线经过某一点且在该点的切线斜率为2，那么我们可以利用导数的概念来求出曲线方程。
这些方法都是通过已知曲线性质来确定曲线方程的常用方法。
三、已知微分方程求曲线方程。
微分方程是描述曲线的变化规律的一种数学工具，通过微分方程我们可以求出曲线的方程。
例如，如果已知某条曲线上的点的切线斜率与该点的横纵坐标之比等于该点的纵坐标与横坐标之比，那么我们可以利用微分方程来求出曲线方程。
这是通过微分方程来确定曲线方程的常用方法。
总结。
通过以上介绍，我们可以看到求曲线方程的方法有很多种，我们可以根据已知条件的不同来选择合适的方法。
在实际问题中，我们经常需要根据具体情况来选择合适的方法来求解曲线方程。
希望大家在学习数学的过程中能够灵活运用这些方法，提高数学解题的能力。
以上就是我对求曲线方程的方法的介绍，希望对大家有所帮助。
如果有任何疑问或者补充，欢迎大家留言讨论。
祝大家学习进步，谢谢！。
求曲线轨迹方程
=
=
此即点 M 的轨迹方程.
2
+
,
2
消去
-,
k,得 y2=p(x-2p),
2 2
,
2
,
对点训练3过圆O:x2+y2=4外一点A(4,0),作圆的割线,求割线被圆截得的弦
BC的中点M的轨迹方程.
解:设点M(x,y),B(x1,y1),C(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-4),
求轨迹方程的常用方法
代入法
参数法
交轨法
点差法
一、定义法
如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、
抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,确定方程中的常数,
即可得到轨迹方程.
例1.已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sin A
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
答案:D
解析:=(-2-x,-y),=(3-x,-y),∴ ·=(-2-x)(3-x)+y2=x2-x-6+y2.
由条件,x2-x-6+y2=x2,整理得y2=x+6,此即点P的轨迹方程,
∴点P的轨迹为抛物线,故选D.
)
对点训练 2 动点 P(x,y)到两定点 A(-3,0)和 B(3,0)的距离的比等于 2 即
解:由题意,设 A
2
4
, ,B
2
4
, ,所以
4
4
kOA= ,kOB= ,
由 OA 垂直 OB 得 kOAkOB=-1,得 yAyB=-16p2,
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曲线方程的求法
建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点就和有序数对建立了一一对应的关系。
点动成线，当点运动的时候，其坐标就会发生变化，这种变化并不是毫无章法的，其横，纵坐标是相互依懒的，对这种关系的定量刻画就是曲线的方程。
（在前面的学习中我们已经做过了很多求曲线方程的题，下面我们归类，总结一下之前所用到的方法。
）
一．待定系数法
这种方法需要预先知道曲线的方程，先设出来，然后根据条件列出方程（组）求解未知数。
例1 求与x 轴相切，圆心在直线x 30=-y 上，且截直线0=-y x 得弦长为72的圆的方程。
练习1求与双曲线1342
2
=-y x 有共同的渐近线，且过点（2，32）的双曲线标
准方程。
思考：若改为共焦点，又该如何设方程？
二．直译法
就是把动点所满足的题设条件直接给表示出来，从而得到其横、纵坐标之间的关系式。
例2．若N M ,为两个定点且MN =6，动点P 满足PM ∙PN =0 则P 点的轨迹是（ ）
A 圆
B 椭圆
C 双曲线
D 抛物线
思考：求轨迹与轨迹方程的区别？
练习2．设O 为坐标原点，P 为直线1=y 上动点，OP //OQ ，OP ∙OQ =1，求Q 点的轨迹方程。
三．定义法
就是由曲线的定义直接得到曲线方程。
例3．已知动圆M 与圆1C ：2)4(22=++y x 外切，与圆2C ：2)4(22=+-y x 内
切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
练习3 设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x
的两焦点为1F ，2F 。
点Q 为双曲线左支
上除顶点外的任一点，过1F 作21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则P 点的轨
迹是（ ）
A 椭圆的一部分
B 双曲线的一部分
C 抛物线的一部分
D 圆的一部分
总结：用定义法来求解的题，其过程都很简便，快捷。
练习4 已知圆422=+y x ，过点)0,4(A 做圆的割线ABC ，求弦BC 的中点的轨迹方程。
法一：
思考：还有其他方法吗？
法二：
交轨法：就是在求两动曲线交点轨迹方程时，联立方程组消去参数，得到交点的轨迹方程。
在求交点问题时常用此法。
法三：
总结：
求解方程时要注意不要漏解或增解。
主要注意两方面。
一：题设中某些隐含条件。
二：方程的变形是否为等价变换。
四．参数法
就是通过中间变量找到y x ,的间接关系，然后通过消参得出其直接关系。
例4．用参数法求解练习4：
（练习4 已知圆422=+y x ，过点)0,4(A 做圆的割线ABC ，求弦BC 的中点的轨迹方程。
）
练习5．过抛物线2x y =的顶点O 做两条互相垂直的直线分别交抛物线于B A ,两点，求线段AB 中点P 的轨迹方程。
五．相关点法
就是通过所求动点与已知动点的关系，来求曲线方程的方法。
例5．已知线段AB 的端点)3,4(B ，端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
练习6．过定点),(b a A 任作互相垂直的两直线1l 与2l ，且1l 与x 轴交于M 点，2l 与y 轴交于N 但，求线段MN 中点P 的轨迹方程。
总结：注意体会相关点法的思想，在其他领域也可应用。
如，所有对称问题是否也可以用相关点法来求解呢？
例6 如图，设点A 和B 为抛物线)0(42>=p px y 上除原点以外的两个动点，已知AB OM OB OA ⊥⊥,，求点M 的轨迹方程？
总结：解题时注意多角度，全方位分析，常能简化运算，起到事半功倍的效果。