第七章 特殊函数 三、贝塞尔函数及其应用

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们给出关于贝塞尔函数零点的几个重要结论： ① J m ( x ) 有无穷多个实零点，而且只有实零点。由于 J m ( − x ) = ( −1) J m ( x ) ，所
m
以当 x = α > 0 是 J m ( x ) 的零点时，则 x = −α 也是 J m ( x ) 的零点。因此， J m ( x ) 的 零点相对于原点是对称分布的，于是有无穷多个正的实零点。 即在 J m ( x ) 的两个零点之间必有一个 ② J m ( x ) 和 J m+1 ( x ) 的零点是相间分布的， 而且只有一个 J m+1 ( x ) 的零点。同时在 J m+1 ( x ) 的两个零点之间必有一个而且 【此结论可由递推公式（1）和（2）及高等数学中 只有一个 J m ( x ) 的零点。 的洛尔定理得出】 即 J m ( x ) 的最小正零点的值 ③ J m ( x ) 的最小正零点比 J m+1 ( x ) 最小正零点更小， （由 x = 0 是 J m ( x ) 的零点及结论②可得出） 【 x=0是 随 m 的增加而增大。
=∑
( −1) 2k ⎛ 1 ⎞m+ 2 k x 2 k −1 = ∞ ( −1) 2k ⎛ 1 ⎞m+ 2 k x 2 k −1 ， ∑ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ k = 0 k !Γ ( m + k + 1) ⎝ 2 ⎠ k =1 k !Γ ( m + k + 1) ⎝ 2 ⎠
∞ k k l +1 m + 2l + 2
2mJ m ( x ) + J m −1 ( x ) = 0 x
′ ( x ) = J m−1 ( x ) − J m+1 ( x ) （4） 2 J m
k m+2k ⎤ −1) ( d ⎡ Jm ( x) ⎤ d ⎡ ∞ ⎛1⎞ x2k ⎥ （1）证： ⎢ m ⎥ = ⎢∑ ⎜ ⎟ dx ⎣ x ⎦ dx ⎣ ⎢ k =0 k !Γ ( m + k + 1) ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎦
J −m ( x ) = ∑
⎛ x⎞ ⎜ ⎟ k = 0 k !Γ ( − m + k + 1) ⎝ 2 ⎠
∞
( −1)
k
−m+2k
J − m ( x) = ∞ ( m > 0 ) 。 ， lim x →0
当 m 为非整数时， J m ( x ) 和 J − m ( x ) 是两个独立解。 但当 m 为整数时， J m ( x ) 和 J − m ( x ) 并不独立，因为当 m 为整数时， 若 k ≤ m − 1 ，即 −m + k + 1 ≤ 0 ，则 Γ ( −m + k + 1) = ∞ ， k 从 m 开始取值，
⎧ mJ ( x ) ′ ( x) + m = J m −1 ( x ) d m ⎪ Jm m x ⎡ x J m ( x )⎦ ⎤ = x J m −1 ( x ) ⇒ ⎨ （2） ⎣ dx ⎪ x m J ( x ) = x m J ( x ) dx m ∫ m−1 ⎩
（3） J m+1 ( x ) −
⎧ ⎪ 第一类边界条件 ⎪ J m ( µρ0 ) = 0 ⎪ ′ ( µρ 0 ) = 0 第二类边界条件 ⎨ Jm ⎪ J ( µρ 0 ) ⎪ J ( µρ ) + H ⎡ d J ( µρ ) ⎤ ′ ( µρ0 ) = − m = 0 ⇒ Jm 0 m m ⎢ ⎥ ⎪ µH ⎣dρ ⎦ ρ = ρ0 ⎩
( −1)
l
=−
J m +1 ( x ) ， xm
两边积分得：
Jm ( x) J ( x) = − ∫ m +1m dx 。 m x x
展开导数并两边乘 x m 得：
′ ( x ) mJ m ( x ) Jm J ( x) mJ ( x ) ′ ( x) − m = − J m +1 ( x ) 。 − = − m +1m ⇒ J m m m +1 x x x x
第三类边界条件
在第一类边界条件时，本征值由 J m ( x ) 的零点（由表可查）决定，设 J m ( x ) 的
( m) ，则本征值 µn （第 n 个本征值）满足 第 n 个零点为 xn ( m) µn ρ0 = xn ， µn =
( m) xn
ρ0
， n = 1, 2, 。相应的本征函数为 J m ( µn ρ ) = J m ⎜ ⎜
五． 贝塞尔函数及其应用 【刘连寿、 王正清编著 《数学物理方法》 P181-193】
m 阶贝塞尔方程为 x 2 y′′ + xy′ + ( x 2 − m 2 ) y = 0
（1） ，
其特解为 J m ( x ) 和 J − m ( x ) ，
m+2k −1) ( ⎛ x⎞ ； Jm ( x) = ∑ ⎜ ⎟ k = 0 k !Γ ( m + k + 1) ⎝ 2 ⎠ ∞ k
为 J0 ⎜ ⎜
⎝ ρ0
。 ρ⎟ ⎟
⎠
⎞
′ ( x ) = 0 的根决定，设它的 对于第三类边界条件，本征值由方程 J m ( x ) + µ HJ m
第 n 个根为 zn
( m)
( m) ⎞ ⎛ zn ，则本征值 µn = ，相应的本征函数为 J m ( µn ρ ) = J m ⎜ 。 ⎜ ρ ρ⎟ ⎟ ρ0 ⎝ 0 ⎠
( m) ⎛ xn
⎝ ρ0
。 ρ⎟ ⎟
⎠
⎞
′ ( x ) 的零点【由递推关系（4）知为方 对于第二类边界条件，本征值 µn 由 J m
( m) ′ ( x ) 的第 n 个零点为 yn ， 程 J m−1 ( x ) = J m+1 ( x ) 的根，一般无表可查】决定。设 J m
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(m) ⎞ ⎛ yn 则本征值 µn = ，相应的本征函数为 J m ( µn ρ ) = J m ⎜ 。 ⎜ ρ ρ⎟ ⎟ ρ0 ⎝ 0 ⎠
1．递推关系
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⎧ mJ ( x ) ′ ( x) − m = − J m +1 ( x ) Jm ⎪ J m +1 ( x ) ⎪ d ⎡ Jm ( x) ⎤ x （1） ⎢ m ⎥ = − ⇒⎨ dx ⎣ x ⎦ xm ⎪ J m ( x ) = − J m +1 ( x ) dx ∫ xm ⎪ ⎩ xm
尔方程的有界解为 y ( x ) = CJ m ( x ) ，因此我们仅研究 J m ( x ) 。 当 m 为整数时：
m+2k −1) ( ⎛ x⎞ 【当 m 为偶（奇）数时， J m ( x ) 为偶（奇）函数】 Jm ( x) = ∑ ⎜ ⎟ k = 0 k !( m + k ) ! ⎝ 2 ⎠ ∞ k m 显然 J 0 ( 0 ) = 1 ， J m ( 0 ) = 0 (m ≠ 0) ， J m ( − x ) = ( −1) J m ( x ) 。
∫
x0
0
2 Jm ( x ) xdx =
1 2µ
2 n
∫
x0
0
2 Jm ( x ) dx 2
140
=
x0 1 2 2 ⎡ ⎤ − 2 x J x ( ) m 2 ⎣ ⎦ 0 µn 2µn
x 2 y′′ + xy′ + ( x 2 − m 2 ) y = 0 （3） （ m 阶贝塞尔方程）
由于在 ρ = 0 也就是 x = 0 时，存在自然边界条件，所以（3）在 x = 0 处有界的 解为 y ( x ) = CJ m ( x ) ，即（2）的在 ρ = 0 处有界的解为 R ( ρ ) = CJ m ( µρ ) 。 本征值 µ 2 > 0 （斯特姆—刘维本征值问题的结论②）由圆柱侧面的齐次边界 条件决定。若圆柱的半径为 ρ 0 ，这些齐次边界条件为
m m +1)
】
贝塞尔方程的本征值问题 在柱坐标系中将亥姆霍兹方程（或拉普拉斯方程） （ k = 0 ⇒ Laplace eq. ∇ 2u = 0 ） ∇ 2u + k 2u = 0 ， 分离变数。令 u = R ( ρ ) Φ (ϕ ) Ζ ( z ) ，
R ( ρ ) 将满足方程： R′′ +
⎛ 2 m2 ⎞ ′ R +⎜µ − 2 ⎟R = 0 ρ ρ ⎠ ⎝ 1
′ ( x ) = − J1 ( x ) 。 当 m = 0 时， J 0
若在（2）中令 m = 1 时，得： 贝塞尔函数的零点
d ⎡ xJ1 ( x ) ⎤ ⎦ = xJ 0 ( x ) ， xJ1 ( x ) = ∫ xJ 0 ( x ) dx 。 dx ⎣
由于在决定贝塞尔方程的本征值问题中涉及到贝塞尔函数的零点，因此我
(n ≠ l) 。
贝塞尔函数的模 现在计算贝塞尔函数 J m ( µ n ρ ) 的模 N n( m) ， µ n 是第 n 个本征值，
0 ( m) ⎤ 2 ⎡ Nn ⎣ ⎦ = ∫0 J m ( µn ρ ) ρ d ρ 。
2
ρ
令 x = µn ρ ， x0 = µn ρ0 ，则
1 ( m) ⎤ 2 ⎡ Nn ⎣ ⎦ = µ2 n
其中 µ 2 = ⎨
⎧k 2 − h 2 ⎩ −h
2
亥姆霍兹方程 ， 拉普拉斯方程 m2 ⎞ ⎟R = 0 ρ ⎠
即： ρ R′′ + R′ + ⎜ µ 2 ρ −
⎝
⎛
（ 1）
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可改写成：
d ⎛ dR ⎞ m 2 R + µ 2ρ R = 0 ⎜ρ ⎟− dρ ⎝ dρ ⎠ ρ
d ⎡ dy ⎤ 得λ = µ2 ， k ( x ) ⎥ − q ( x ) y + λρ ( x ) y = 0 比较， ⎢ dx ⎣ dx ⎦
∴ J −m ( x ) = ∑ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ k = m k !Γ ( − m + k + 1) ⎝ 2 ⎠
∞
( −1)
k
− m+ 2k
，
令 l = k − m ,则
m+ 2l m+ 2l ∞ −1) −1) ( ( m m ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ = ( −1) ∑ = ( −1) J m ( x ) 。 J −m ( x ) = ∑ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ l = 0 Γ ( l + m + 1) l ! ⎝ 2 ⎠ l = 0 ( l + m ) !Γ ( l + 1) ⎝ 2 ⎠ ∞ l +m l
(m) zn
贝塞尔函数的正交关系 贝塞尔方程的本征值问题是斯特姆—刘维本征值问题的特例，所以对应于 不同的本征值 µn2 ，也就是不同的 µn ，相应的本征函数本征函数—贝塞尔函 数 J m ( µn ρ ) 在 ( 0, ρ0 ) 区间上带权重 ρ 正交，即
∫
ρ0
0
J m ( µ n ρ ) J m ( µl ρ ) ρ d ρ = 0
( m) yn
′ ( x ) = − J1 ( x ) ， ∴ J 0 ′ ( x) 的零点也 特殊情况：当 m = 0 时，由递推关系（1）知 J 0
( 0) (1) = xn ，本征值 µn = 就是 J1 ( x) 的零点，∴ 此时， yn
(1) ⎛ xn
( 0) yn
ρ0
=
(1) xn
ρ0
，相应的本征函数
Hale Waihona Puke Baidu
( −1) 2 ( l + 1) ⎛ 1 ⎞ d ⎡ J ( x) ⎤ ∞ 令 k = l + 1 ,则： ⎢ m m ⎥ = ∑ ⎜ ⎟ dx ⎣ x ⎦ l = 0 ( l + 1) !Γ ( m + l + 1 + 1) ⎝ 2 ⎠
1 =− m x
∞
x 2l +1
m +1+ 2 l
⎛ x⎞ ∑ ⎜ ⎟ l = 0 l !Γ ( m + 1 + l + 1) ⎝ 2 ⎠
x m+1 J m+1 ( x ) 的零点， x m+1 J m+1 ( x ) 第一个正零点是 J m+1 ( x ) 的第一个正零点 x1(
m +1)
，
而 x m+1 J m ( x ) 的第一个正零点即为 J m ( x ) 的第一个正零点 x1( m) ，由洛尔定理知：
x1( ) < x1(
∴ 当 m 为整数时，除 J m ( x ) 外，应再找一个与 J m ( x ) 无关的解。可求得这个解
N m ( x) ，且此解当 x → 0 ，趋于无穷， lim N m ( x) = ∞ ∴ 当我们研究的区域包含
x →0
x = 0 ，则由于贝塞尔方程在 x = 0 处存在自然边界条件 y x =0 < ∞ ，∴ 此时贝塞
这是斯特姆—刘维型方程， 与
k ( ρ ) = ρ ，q ( ρ ) =
m2
ρ
，因而 ρ = 0 是 k ( ρ ) 的一阶零点，∴ 在 ρ = 0 处有自然边界
条件。 （1）又可写成
ρ 2 R′′ + ρ R′ + ( µ 2 ρ 2 − m 2 ) R = 0 （2）
令 x = µρ ， y = R ( ρ ) = y ( x ) ，则（2）成为