高一数学第二学期期中考试人教版

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(最新)高一下册期中考试数学试题及答案(人教版)

高一下学期期中质量调查数学试题第Ⅰ卷（选择题共24分）一、选择题:本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题正确的是A.若0a b <<，则 ac bc <B. 若,a b c d >>，则 ac bd >C.若a b >，则1a b <D.若22,0a bc c c>≠，则a b > 2.在数列{}n a 中，111,3n n a a a +=-=-，则4a = A. 10- B. 7- C. 5- D. 113.若13,24a b <<<<，则ab的范围是A. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 13,42⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,44.在ABC V中，已知,24c A a π===，则角C =A.3π B. 23π C. 3π或23π D.12π或512π5.已知数列{}n a 为等比数列，有51374a a a -=，{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b +=A. 4B. 8C. 16D. 0或86.在ABC V 中，已知sin 2cos sin A B C =，则ABC V 的形状时 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.不确定7.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612SS = A. 13 B. 18 C. 19 D.3108.已知数列{}n a 前n 项和21nn S =-，则此数列奇数项和前n 项和是A. ()21213n -B. ()11213n +-C. ()21223n -D. ()11223n +-第Ⅱ卷（非选择题共76分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9.在数列{}n a 中，223n a n =-，则125是这个数列的第项.10.在ABC V 中，三边,,a b c 成等比数列，222,,a b c 成等差数列，则三边,,a b c 的关系为 .11.对于任意实数x ，不等式23204mx mx +-<恒成立，则实数m 的取值范围是 . 12.在等差数列{}n a 中，已知11a =，前5项和535,S =则8a 的值是 .13.在ABC V 中，若120,5,7,A AB BC ===o，则ABC V 的面积S = .14.已知数列{}n a 满足，11232,2nn n a a a +=+⋅=，则数列{}n a 的通项公式是 .三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分8分)已知不等式2320ax x -+>的解集为{}|x 1x b x <>或.（1）求,a b 的值；（2）解关于x 的不等式()2220ax b a x b ---<.16.(本小题满分8分)已知等比数列{}n a 中，11a =，公比为q ，且()1.n n n b a a n N *+=-∈ （1）判断数列{}n b 是否为等比数列?请说明理由. （2）求数列{}n b 的通项公式.17.(本小题满分8分)已知数列{}n a 的前项和22 4.n n S +=-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等差数列{}n b 满足，73154,b a b a ==，求数列{}n b 的前项和.n T18.(本小题满分12分)若等比数列{}n a 的前n 项和1.2n n n S a =- （1）求实数a 的值；（2）求数列{}n na 的前n 项和.n T19.(本小题满分10分)在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45,cos .5b c A == （1）求sin C 的值；（2）若ABC V 的面积为3sin sin ,2ABC S B C =V 求a 的值.20.(本小题满分10分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11110,2,.n n n n n n n n a a S a S a a n N -*+++≠-=∈ （1）求证：12;n n n S a -=（2）设1nn n a b a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n T。

2023~2024学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷

唐山市第三十六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、选择题1．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，分别是长方体的棱的中点，则等于（）A ．B ．C ．D ．3．已知，，为非零平面向量，则下列说法正确的是（）A ．B ．若，则C ．若，则，D ．4．已知向量，，且，则实数的值为（）A ．B ．3C ．8D ．125．已知单位向量，的夹角为，则（）A ．1BCD ．36．在中，角A ，B ，C 所对边分别为，，，，则值等于（）a b a b E F ，ABCD A B C D '-'''AB CD ，AB CF + AD 'AC ' DE AE a b c()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ a c b c ⋅=⋅ a b =//a bλR ∃∈λb a = ||||||a b a b ⋅=⋅ (2,4)a = (,6)b m =- //a bm 3-a b 2π3a b -= ABC V ,,a b c π3A =2b =8c =22a b c sinA sinB sinC -+-+AB ．CD7．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．8．在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝2，底面ABC 是边长为的正三角形，M 为AC 的中点，球O 是三棱锥P －ABM 的外接球．若D 是球0上一点，则三棱锥D －PAC 的体积的最大值是（）A．2B ．CD二、多项选择题9．在△ABC 中，下列说法正确的是（）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10．若关于方程（是实数）有两个不等复数根，其中（是虚数单位），下面四个选项正确的有（）A ．B．C ．D ．11．如图，在直三棱柱中，，，E 为的中点，过AE 的截面与棱BB 、分别交于点F 、G ，则下列说法中正确的是（）(2)(1)i z m m =+++m (2,1)--(,2)(1,)⋃-∞--+∞(1,)-+∞(,2)-∞-A B C >>sinA sinB sinC>>A B C >>222sin A sin B sin C>>A B C >>cosA cosB cosC<<A B C >>222cos A cos B cos C<<x 的20x px q ++=p q ，αβ和12α=-+i 1αβ⨯=21αβ=2αβ=332αβ+=111ABC A B C -90ACB ∠=︒12AC BC CC ===11B C 11A CA ．当点F 为棱中点时，截面B ．线段长度的取值范围是C ．当点F 与点B 重合时，三棱锥的体积为D ．存在点F ，使得三、填空题12．已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤．（1）当满足条件　　时，有；（2）当满足条件时，有．（填所选条件的序号）13．下列说法正确的序号为　　．①若复数，则；②若全集为复数集，则实数集的补集为虚数集；③已知复数，，若，则，均为实数；④复数的虚部是1．14．如图，在四边形中，对角线与相交于点 .已知，，，且是的中点，若，则的值为 .四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD 中，已知，，△ABC 为等边三角形，记．1BB AFEG 3++1C G []01，C AEF -431A F AE ⊥αβ，m αm P αm ⊥αm ⊂αβ⊥αβP βm P βm ⊥3i z =+13i 1010z =-1z 2z 12z z >1z 2z 3i 1z =-+ABCD AC BD O AC BC =AC BC ⊥AD BD ⊥O AC 2AD AB CD CB ⋅-⋅= AC BD ⋅ 1AD =2CD =αADC ∠=（1）若，求△ABD 的面积；（2）若，求△ABD 的面积的取值范围．16．已知向量.（1）当时，求的值；（2）设函数，且，求的最大值以及对应的的值.17．已知是关于x 的实系数一元二次方程.（1）若a是方程的一个根，且，求实数k 的值；（2）若，是该方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k 的值.18．如图，多面体中，底面是菱形，，四边形是正方形且平面 .（1）求证：平面；（2）若，求多面体的体积 .19．如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个底面为正方形的长方体内，且长方体的正方形底面边长为2，高为4，已知重合的底面与长方体的正方形底面平行，八面体的各顶点均在长方体的表面上．πα3=πα,π2⎛⎫∈⎪⎝⎭)1cos 12a x x b ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，a b ⊥ tan x ()()f x a b b =+⋅ π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x x 24410kx kx k -++=1a =1x 2x Z k ∈1221x x x x +ABCDEF ABCD 60BCD ∠=︒BDEF DE ⊥ABCD //CF ADE AE =ABCDEF V（2）求该八面体表面积S的取值范围．。

【高一】2021―2021学年新课标人教版高一数学第二学期期中考试试卷及答案

【高一】2021―2021学年新课标人教版高一数学第二学期期中考试试卷及答案2021―2021学年第二学期期中考试高一年级数学科试卷第i卷（选择题,共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分后，共48分后）1、数列0，0，0，0…，0，…（）.a、就是等差数列但不是等比数列b、就是等比数列但不是等差数列c、既是等差数列又是等比数列d、既不是等差数列又不是等比数列2、若，则以下不等式中恰当的就是（）.（a）b2＜a2（b）＞（c）b＜a（d）ab＞a+b3、△中，，，的对边，则的对边等同于（）.（a）2（b）（c）（d）14、不等式的边值问题就是（）.a．b．c．d．5、在等比数列{an}中，若a3a5=4，则a2a6=（）.a、2b、2c、4d、46、等差数列{an}中，首项a1=4，a3=3，则该数列中第一次发生负值的项为（）.a、第9项b、第10项c、第11项d、第12项7、若关于x的不等式的边值问题就是，则对任一常数k，总存有（）.abcd8、在中，未知a=6,b=8,a=30°,谋角b则（）.a有两个解b有一个解c无解d有无数个解9、等差数列{an}中，未知前13项和s13=65,则a7=（）.a、10b、c、5d、1510、在中，，若则角c的度数就是（）.a120°b60°c60或120°d45°11、未知ab>0,且恒设立，则的值域范围就是（）.a{2}bcd12、等比数列中，未知对任一正整数，，则等同于（）.a、(2n－1)2b、(2n－1)c、(4n－1)d、4n－1第ii卷（非选择题,共72分后）二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）13、在2与32中间填入7个实数，并使这9个实数成等比数列，该数列的第7项是.14、已知的三个内角所对的边分别是，且，则．15、未知子集则=.16、设．三、答疑题（本大题共4小题，共56分后，求解应允写下字表明，证明过程或编程语言步骤）17.如图，海中有一小岛b，周围3.8海里内有暗礁。

2022-2023学年全国高中高一下数学人教A版期中试卷(含解析)

2022-2023学年全国高一下数学期中试卷考试总分：110 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 已知为虚数单位，且，则复数的虚部为( )A.B.C.D.2. 已知集合，，则( )A.B.C.D.3.设关于的方程有解；关于的不等式对于恒成立，则是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件i (1−i)z =i 3z −i 12−1212i 12A ={x|−2+7x +4>0}x 2B ={x|x ≥1}A ∪B =(−,+∞)12[1,4)[1,+∞)(−,1)∪(1,+∞)12p :x −−a =04x 2x q :x (x +a −2)>0log 2∀x >0p q =−1|x +a|4. 若函数在上有三个零点，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.5. 已知，且，则 A.B.C.D.6. 若，，，则的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形7. 若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（）A.B.C.D.8. 若满足，，则的最大值为（）A.B.y =−1|x +a|1+e x x ∈[−5,+∞)a (2,4−]e −5(2,3−]e −5(1,2−]e −5(1,3−]e −5cos α=23−<α<0π2=tan(−α−π)sin(2π−α)cos(−α)tan(π+α)()−5–√2235–√35–√2A(1,−2,1)B(4,2,3)C(6,−1,4)△ABC f(x)(0,+∞)f(3)=0xf(x)<0{x |−3<x <0或x >3}{x |x <−3或0<x <3}{x |x <−3或x >3}{x |−3<x <0或0<x <3},,a →b →c →||=||=2|=2a →b →c →(−)⋅(−)a →b →c →b →101253–√C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是( )A.B.C.D.10. 设向量，，则（）A.B.C.D.与的夹角为11. 已知函数则下列结论正确的是( )A.是偶函数B.C.是增函数D.的值域为12. 如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是( )53–√62–√a >0b >0a +b =4a b ≤2ab −−√+≤2a −√b √≤1+a 2b 218+≥11a 1b =(2,0)a →=(1,1)b →||a →=||b →(−)//a →b →b→(−)⊥a →b →b→a →b →π4f (x)={+1，x ≥0，x 2cos x ，x <0，f (x)f (f (−π))=132f (x)f (x)[−1,+∞)O ABCDEF −→−−→−A.B.C.D.卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 设是定义在上的周期为的函数，当）时，则________.14. 函数的最大值为________．15. 直角三角形中，，，，点是三角形外接圆上任意一点，则的最大值为________．16. 设且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是________.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且求；若，，求的周长． 18. 已知，复数.若为纯虚数，求的值；在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围.19. 中，角，，的对边分别为，，，．求的大小；若，且，，求的面积．=CB −→−EF−→−++=OA −→−OC −→−OB −→−0→⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC−→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−f (x)R 3x ∈[−2,1f (x)={|x|,(−2≤x ≤0)x −1,(0<x <1)f (f ())=214y =x +cos x sin 2ABC AB =3AC =4BC =5M ABC ⋅AB −→−AM −→−f (x)={(−3x +1)，x <0，log 2x 22−|2−x|，x ≥0，x f (x)=m(m ∈R)x 1x 2x 3x 1x 2x 3△ABC A B C a b c c =a cos B +b sin A.3–√3(1)A (2)BC =2sin B +sin C ≥3–√△ABC a ∈R z =a −i 1+i(1)z a (2)z ¯¯¯a △ABC A B C a b c a cos C +c cos A =−2b cos B (1)B (2)a =3+=2BA −→−BC −→−BD −→−=∣∣∣BD −→−∣∣∣37−−√2△ABC f (x)=(0)+−(f (0)−1)xf ′x 220. 已知函数．求函数的解析式；若函数在上单调递增，求的取值范围．21. 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足：，，平均每趟地铁的载客人数()（单位：人）与发车时间间隔近似地满足下列函数关系：其中 .若平均每趟地铁的裁客人数不超过人，试求发车时间间隔的值；若平均每趟地铁每分钟的净收益为 (单位：元），问当发车时间间隔为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益 22. 如图，与在同一个平面内，，，.求；若，且的面积为，求的长．f (x)=(0)+−(f (0)−1)xf ′e x x 2(1)f (x)(2)g(x)=f (x)−mx [1,2]m t 4≤t ≤15t ∈N p t t p(t)={1800−15(9−t ,4≤t <9,)21800,9≤t ≤15,t ∈N (1)1500t (2)Q =−1006p(t)−7920t t .△ABC △ACD ∠CAD =π4AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√(1)∠ACB (2)AB =2−23–√△ACD 3CD参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一下数学期中试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】B【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．【解答】解：由，得，复数的虚部为．故选．2.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】化简集合，根据并集的定义即可得解.【解答】(1−i)z ==−ii 3z ==−i 1−i −i (1+i)(1−i)(1+i)==−i 1−i +12(−1)21212∴z −12B A {x|−<x <4}1解：因为，，所以，故选.3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若成立，则，所以，若成立，则成立，所以对恒成立，所以.则，所以是的必要不充分条件.故选.4.【答案】A【考点】由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由得，若函数在上有三个零点，A ={x|−2+7x +4>0}x 2={x|−<x <4}12B ={x|x ≥1}A ∪B ={x|x >−}12A p a =−=−4x 2x (−)2x 12214a ≥−14q x +a −2>1a >3−x ∀x >0a ≥3q ⇒p,p ≠q p q B y =−1=0|x +a|1+e x|x +a|=1+e x y =−1|x +a|1+e xx ∈[−5,+∞)y =|x +a|f(x)=1+x则函数与的图象在时有三个交点，从而与的图象在时，有个交点，与的图象有个交点，将代入得，由，得曲线的斜率为的切线方程为：，由条件知故 .故选.5.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】根据的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，进而求出的值，原式利用诱导公式化简，约分后将的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵ ，且，∴,，则原式.故选.6.【答案】A【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算【解析】求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角．【解答】y =|x +a|f(x)=1+e x x ≥−5y =−x −a(x ≤−a)y =f(x)x ≥−51y =x +a(x ≥−a)y =f(x)2(−5,1+)e −5y =−x −a a =4−e −5(x)==1,x =0f ′e x y =f(x)1y −2=x,y =x +2a >2.a ∈(2,4−]e −5A cos ααsin αtan αtan αcos α=23−<α<0π2sin α=−=−1−αcos 2−−−−−−−−√5–√3tan α==sin αcos α−5–√2==tan α=−−tan α(−sin α)cos αtan α5–√2A (3,4,2)，=(5,1,3)，=(2,−3,1)−→−−→−−→−解：，，得为锐角；，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形.故选.7.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】易判断在上的单调性及图象所过特殊点，作出的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵在上是奇函数，且在上是增函数，∴在上也是增函数，由，得，即，由，得，故或解得或，∴的解集为：，故选．8.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】先化简，根据式子分析即可得到答案。

人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)

人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。

〖人教版〗高一数学下册试卷第二学期期中考试2

〖人教版〗高一数学下册试卷第二学期期中考试一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若0=225θ则tan θ= A. 1- B. 1 C. 2. 在右图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别为（） A.42，42 B.45, 42 C.45, 46 D.42, 463圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则直线AB 的的方程是（） A.30x y += B 3+0x y =C 30x y -=D 350y x -=4. 为了了解学生每天的睡眠时间，某调查机构对实验学校1202名学生用系统抽样的方式获取样本。

已知样本容量为30，则分段间隔k 的值与该校高一（2）班李玲被抽中的概率分别为（）A ．401,40B ．60115,40C ．401,30D ．60115,305. 已知角α的终边经过点)4,3(-P ，那么ααcos 2sin +的值等于（） A.52 B.51- C.51 D.52-6．执行如图所示的程序框图，若输入1.0=x ，则输出m 的值是（）A ．0B ．1.0C ．1D ．1-7. 若)2,0(πθ∈，则使23sin 0<<θ成立的θ的取值范围是（） A.（）3,3ππ-B. （）3,0πC.（）ππ2,35 D.（）3,0π （）ππ,32 8．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为70颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积大约为（）A ．6B ．12C ．18D ．20 9．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为5或6的概率是（） A.310 B. 15C. 52 D. 11210．已知点()P a b ，（）0ab ≠是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直线l 与圆O 的位置关系是（）A ．相切B ．相离C ．相交D ．不确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 11.设扇形的半径长为10cm ，扇形的圆心角为101弧度，则该扇形的面积是2cm .12．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了95人，则该校的女生人数应是人．13. 已知圆C ：422=+y x ,则过点)1,3(P 的圆的切线方程是______.14.如果右图中算法程序执行后输出的结果是990，那么在程序框图中判断框中的“条件”应为.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）已知)cos()2sin()2cos()tan()(πααπαπαπα--+⋅-⋅-=f甲乙8 2 99 1 3 4 5 2 5 4 8 2 6 7 8 5 5 3 56 6 7第2题图第8题图第6题（Ⅰ）化简)(αf ；（Ⅱ）若53)2(-=-απf ，且α是第二象限角，求.tan α 16.（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和2个黑球，且分别标记为：1（红）、2、3号;乙盒内有大小相同的2个红球和1个黑球，且分别标记为：4（红）、5（红）、6号.现从甲、乙两个盒内各任取1个球.（Ⅰ）试列举出所有的基本事件，并求取出的2个球均为红球的概率；（Ⅱ）求取出的2个球中恰有1个红球的概率. 17.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在直线y x =-上，半径为22的圆C 与直线x y =相切于坐标原点O ．（Ⅰ）求圆C 的方程;（Ⅱ）若直线0:=+-a y x l 与圆C 相交，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分14分）湛江市某公司近五年针对某产品的广告费用与销售收入资料如下（单位：万元）：（Ⅰ）画出散点图，并指出两变量是正相关还是负相关；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出两变量的线性回归方程ˆˆy bxa =+；（III ）若该公司在预算投入10万元广告费用，试根据（Ⅱ）求出的线性回归方程，预测销售收入是多少？参考数值：1380708506605404302=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯; 550x y ==；参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式： 12211ˆˆˆni i i ni x y nx ybay bx xnx==-==--∑∑，． 19．（本小题满分14分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）在随机抽取40名学生中，分别估计成绩不低于60分的人数、成绩在[)40,50分及[]90,100分的人数;（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率． 20.（本小题满分14分）已知直线kx y l =:，圆C ：012222=+--+y x y x ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点；点),0(t T 满足.BT AT ⊥（Ⅰ）当点),0(t T 在圆C 上时，求实数k 的值；（Ⅱ）当∈t （1,23）时，求实数k 的取值范围. 参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共45分，满分20分． 11. 5 ; 12. 760 ; 13. _____4y +=___ ; 14. .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）)cos()2sin()2cos()tan()(πααπαπαπα--+⋅-⋅-=fαααααsin cos cos cos tan =-⋅⋅-=………………6分（Ⅱ）由53)2sin(-=-απ得53cos -=α，………………8分又α是第二象限角所以54cos 1sin 2=-=αα……………………10分则34cos sin tan -==ααα…………………12分 13．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知从甲乙两盒各任取一个球的所有基本事件如下：9<i()()()()()()()()()6,3,5,3,4,3,6,25,2,4,2,6,1,5,1,4,1共9个 ………………4分记事件A={取出的2个球均为红球},则A 包含基本事件有：()()5,1,4,192)(=∴A P …………………………………………7分（Ⅱ）记事件B 表示“取出的2个球中恰有1个红球” 则B 所包含的基本事件有：()()()()()5,3,4,3,5,2,4,2,6,1共5个95)(=∴B P …………………………………………12分17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题设可知圆心C 在直线x y -=上于是设圆心),(n n C -，（）0>n ……………………3分则2222)22()(=+-=n n OC ，解得2=n ……………………5分∴圆C 的方程为8)2()2(22=-++y x ……………………7分（Ⅱ）若直线0:=+-a y x l 与圆C 相交，则圆心)2,2(-C 到直线l 的距离22<d ……………………9分即22222<+--=ad ，得44<-a ……………………12分即80<<a …………………………………………14分 18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）散点图如图所示： ……………………4分由图可知销售收入与广告费为正相关。

高一数学第二学期期中考试新人教版

海南中学-第二学期期中考试高一数学试题一．选择题（3*12=36分）1, 不等式201x x -+≤的解集是（） A ．(1)(12]-∞--，， B ．(12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞，， D ．[12]-， 2,在△ABC 中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则AB BC •的值为（） A 、19B 、-14C 、-18D 、-193, 等比数列中，，，则（）A. B. C. D.4, 若角α，β满足－2π＜α＜β＜2π，则2α－β的取值范围是（）A ．（－2π，0）B ．（－π，π）C ．（－π23，23π） D ．（－2π，2π）5, 若四个正数a ，b ，c ，d 成等差数列，x 是a 和d 的等差中项，y 是b 和c 的等比中项，则x 和y 的大小关系是（） A ．x <y B ．x >y C ．x =y D ．x ≥y6,在△ABC 中，CcB b A a cos cos cos == ,则△ABC 一定是（）A 直角三角形，B 钝角三角形，C 等腰三角形，D 等边三角形7, 设a+b<0,且b>0，则( )A ．b 2>a 2>ab B.a 2>b 2>-ab Ｃ. a 2<-ab<b 2 D. a 2>-ab>b 28，如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β,α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于 A （）A ．)sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-aD ．)cos(sin cos βαβα-a D C B9, 设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,,S S S S S <=>则下列结论错{}n a 2321=++a a a 4654=++a a a =++121110a a a 3216128α误的是（）0.;A d <70.;B a = 95.;C S S > 6.D S 和7S 均为n S 的最大值10, 设x,y ∈R +且xy-(x+y)=1, 则（）A ．x y +≥+221()B ．xy ≤+21C ．x y +≤+()212D ．xy ≥+221()11,已知数列的前项和是实数），下列结论正确的是（）A ．为任意实数，均是等比数列B ．当且仅当时，是等比数列C ．当且仅当时，是等比数列D ．当且仅当时，是等比数列12, 某工厂去年的产值为，计划在年内每年比上一年产值增长％，则从今年起年内该工厂的总产值为（）A. B. C. D.二．填空题（3*4=12分）13, 若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的外接圆半径等于________．14,已知函数=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-++=a x x bx ax y 则的定义域为311|)1(log 22______b=______15, 各项都是正数的等比数列｛｝的公比q ≠1，且，，成等差数列，则5443a a a a ++= 。

人教版高一第二学期数学第二学期期中考

钱坑中学高一级第二学期第二次考试数学试卷满分150分，时间为80分钟一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填入表格内．题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案1、若cos θ＞0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在象限是A ．第一象限 B.第二象限 C.第四象限 D.第三象限2、已知sin α＝，并且α为第二象限角，那么tan α的值等于( )． A 、34 B 、34- C 、43 D 、43-3、已知f(x)＝sin ，g(x)＝cos，则f(x)的图象( )． A. 与g(x)的图象相同 B.与g(x)的图象关于y 轴对称C. 向右平移个单位，得g(x)的图象D. 向左平移个单位，得g(x)的图象4、已知向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1．若向量a 与b 共线，则下列关系中一定成立的是( )．A 、λ＝0B 、e 2＝0C 、e 1∥e 2D 、e 1∥e 2或λ＝05、若1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --三点共线，m 则m 的值为（）. A.2 B.21- C.2- D.21 6、下列各式中不正确的是（）A 、()0sin sin 180αα+=-B 、()()cos cos αβαβ-+=--C 、()0sin sin 360αα--=- D 、()()cos cos αβαβ--=+ 7、α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（） A 、15 B 、—15 C 、513 D 、—5138、两直线3x -2y +6=0和2x -3y -6=0的交点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9、.函数x y sin -=的奇偶性是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数10、为得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数)62sin(π+=x y 的图像（） A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度 D ．向右平移2π个单位长度 11、设y ＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t ≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数f(x)的图象可以近似地看作函数y ＝k ＋Asin(ωx ＋φ)的图象，下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是A ．[]24,0,6sin 312∈+=t t y πB ．[]24,0,6sin 312∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++=t t y ππ C ．[]24,0,12sin 312∈+=t t y πD ．[]24,0,1212sin 312∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++=t t y ππ 二、填空题（每小题5分，共25分）12、用弧度制表示终边与直线y ＝x ＋1恒有交点的角的集合是________．13、若cos 21°＋cos 22°＋…＋cos 289°＋cos 290°的值为________．14、()()=-+︒-︒-ααααcos 360sin 245sin 2cos 215、已知71cos =α，()1411cos -=+βα，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0,πβα，则β＝_______； 16、14．如果向量与b 的夹角为θ，那么我们称×b 为向量与b 的“向量积”，×b 是一个向量，它的长度| ×b |=| ||b |sin θ，如果| |=3, |b |=2, ·b =-2，则| ×b |=______。

2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 设复数，则在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 若，则( )A.B.C.D.3. 外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，，则实数的值（）A.B.C.D.z =(1−i)21−2i z sin(x +)=π613sin(2x −)=π6−7979−42–√942–√9△ABC O H =m(++)OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−m 122134(a +b =+ab )224. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为 A.B.C.D.5. 已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为( )A.B.C.D.6. 如图，在中，，点在线段上，，，则（）A.B.C.D.7. 已知角的终边经过点，则( )△ABC A B C a b c (a +b =+ab )2c 2B =30∘a =4△ABC ()63–√43–√33–√4OABC //O ′A ′B ′C ′∠=O ′A ′B ′90∘=1O ′A ′=2B ′C ′OABC 32–√232–√42–√52–√△ABC ∠BAC =2π3D BC AD ⊥AC =BD CD 14sin C =7–√1421−−√147–√721−−√7αP (sin ,cos )18∘18∘sin(α−)=12∘1A.B.C.D.8. 点在所在的平面内，则以下说法正确的有（）A.已知平面向量满足，且则是等边三角形B.若，则点为的垂心C.若，则点为的外心D.若，则点为的内心二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 已知，，则下列说法正确的有( )A.若为实数，则B.的共轭复数是C.的最小值是D.满足的复数在复平面上的对应点的集合是以为圆心，以为半径的圆10. 已知向量，，则（）A.B.向量在向量上的投影向量是 C.D.与向量方向相同的单位向量是123–√2−12−3–√2O △ABC ⋅⋅OA −→−OB −→−OC −→−||=||=||OA −→−OB −→−OC −→−++=OA −→−OB −→−OC −→−0→△ABC ⋅−=⋅−=0OA −→− AC −→−||AC −→−AB −→−||AB −→−OB −→− BC −→−||BC −→−BA −→−|BA| O △ABC (+)⋅=(+)⋅=0OA −→−OB −→−AB −→−OB −→−OC −→−BC −→−O △ABC ⋅=⋅=⋅OA −→−OB −→−OB −→−OC −→−OC −→−OA −→−O △ABC =2+3i z 1=m −i (m ∈R)z 2z 1z 2m =−23⋅z 1z 2(2m +3)−(3m −2)i|−|z 1z 24|z −|=1z 1z Z (−2,−3)1=(2,1)a →=(−3,1)b →(+)⊥a →b →a→a →b →−10−−√2a →|+2|=5a →b →a →(,)25–√55–√511. 在直角三角形中，，，为线段的中点，如图，将沿翻折，得到三棱锥（点为点翻折到的位置），在翻折过程中，下列说法正确的是()A.的外接圆半径为B.存在某一位置，使得C.存在某一位置，使得D.若，则此时三棱锥的外接球的体积为12. 已知声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列说法正确的是( )A.是的一个周期B.在上有个零点C.的最大值为D.在上是增函数卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 已知，若，则________． 14. 已知三棱锥中，平面，，异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________，三棱锥的外接球的表面积为________．ABC ∠B =π2AC =2BC =4D AC △ABD BD P −BCD P A △PBD 2PD ⊥BDPB ⊥CDPD ⊥DC P −BCD π323y =A sin ωt f (x)=2sin x −sin 3x πf (x)f (x)[0,2π]7f (x)3f (x)[,]π6π2f (x)=sin(x +)π3cosα=(0<α<)35π2f (2α−)=π12S −ABC SA ⊥ABC AB =BC =CA =2SC AB 2–√4S −ABC S −ABC ∈[0,]3π15. 函数，的单调递减区间是________．16. 已知外接圆的圆心为，其面积，，为的三边长），，则外接圆的半径为________；的值为________.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 已知.化简.若，求的值.18. 已知复数的共轭复数为，且满足．求；若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 19. 如图，为圆柱的底面直径，，为圆柱的两条母线，点，，分别为，，的中点，，，垂足为．证明：平面；求三棱锥的体积． 20. 已知向量，，.若，试研究函数在上的单调性；当时，求函数的值域．21. 设是锐角三角形，，，分别是内角，，所对边长，并且.求角的值；若的面积等于求，．y =sin(−x)π6x ∈[0,]3π2△ABC O S =abc(a 112b c △ABC 2OA −→−+3AB −→−+3AC −→−=0→△ABC cos A f(x)=+(x ≠，k ∈Z)sin(x +π)tan(x −π)sin(x −)cos(x +)3π2π2cos(x +3π)kπ2(1)f(x)(2)f(α)=13sin2αz z¯¯¯(1−2i)z =4−3i (1)z¯¯¯(2)(m ∈R)(z +mi)2m AB AA 1BB 1C C 1D AB A 1B 1 AA 1A =2AC =2A 1CM ⊥BD M (1)CM ⊥BDC 1(2)A −BMC =(cos(x −),cos(x −))a →2–√π4π4=(sin x,m ⋅cos(x −))b →3π4f (x)=⋅a →b →(1)m =−1f (x)[,]π83π4(2)m =2f (x)△ABC a b c A B C sin(A +B)+sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B(1)C (2)△ABC 6，c =2，3–√7–√a b (x)=sin ωx +co −–√22. 已知函数，．Ⅰ若＝，求的单调递增区间；Ⅱ若，求的最小正周期的表达式并指出的最大值．f(x)=sin ωx +co −123–√s 2ωx 23–√2ω>0()ω1f(x)()f()=1π3f(x)T T参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值二倍角的余弦公式【解析】根据，利用诱导公式转化为，再利用二倍角公式求解．【解答】解：因为，所以．故选．sin(x +)=π613sin(2x −)=−cos(2x +)π6π3sin(x +)=π613sin(2x −)=−cos[+(2x −)]π6π2π6=−cos(2x +)=2(x +)−1π3sin 2π6=2×−1=−()13279A3.【答案】C【考点】向量的加法及其几何意义【解析】利用向量的运算法则、数量积与垂直的关系即可得出．【解答】解：如图所示：∵，，∴，∴，取边的中点，连接，则，∴，．又，∴．∴，∴，又不恒为，∴必有，解得．故选．4.【答案】B【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，即，所以，因为，=−OH −→−AH −→−AO −→−=m(++)OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−−=m(++)AH −→−AO −→−OA −→−OB −→−OC −→−=(m −1)+m(+AH −→−OA −→−OB −→−OC)−→−BC D OD OD ⊥BC +=2OB −→−OC −→−OD −→−⋅=0OD −→−BC −→−AH ⊥BC ⋅=0AH −→−BC −→−⋅=(m −1)⋅+2m ⋅AH −→−BC −→−OA −→−BC −→OD −→−BC −→0=(m −1)⋅OA −→−BC ¯¯¯¯¯¯¯⋅OA −→−BC −→−0m −1=0m =1C (a +b =+ab )2c 2+−=−ab a 2b 2c 2cos C ==−+−a 2b 2c 22ab 12C ∈(0,)180∘C =–√所以，.又因为，所以，所以，所以的面积.故选.5.【答案】B【考点】斜二测画法画直观图【解析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，由此计算原图形的面积．【解答】解：由斜二测画法的直观图知，，，，；∴，所以原图形中，，，，，，所以梯形的面积为．故选．6.【答案】B【考点】正弦定理弦切互化【解析】此题暂无解析C =120∘sin C =3–√2B =30∘A =B =30∘a =b =4△ABC S =ab sin C =4123–√B //B ′C ′O ′A ′⊥A ′B ′B ′C ′=1O ′A ′=2B ′C ′=O ′C ′2–√OABC BC//OA OC ⊥OA OA =1BC =2OC =2=2×=2O ′C ′2–√2–√OABC S =×(1+2)×2=3122–√2–√B【解答】解：在中，，解得，所以．故选．7.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】利用任意角的三角函数解得,再利用角的变换展开化简得解.【解答】解：由题设得，，，.故选.8.【答案】A,C【考点】三角形五心向量的线性运算性质及几何意义【解析】△ABD ==BDsin π6AD sin B sin C ⋅CDsin(−C)π3tan C =3–√5sin C =21−−√14B sin α,cos αα−=α−(−)12∘30∘12∘|OP|==1+sin 218∘cos 218∘−−−−−−−−−−−−−−√sin α=cos 18∘cos α=sin 18∘sin(α−)12∘=sin[α−(−)]30∘18∘=sin αcos(−)−30∘18∘cos αsin(−)30∘18∘=sin α[cos +sin ]−3–√218∘1218∘cos α[cos −sin ]1218∘3–√218∘=+3–√2cos 218∘3–√2sin 218∘=3–√2B直接利用向量的线性运算及向量的数量积，三角形的内心、外心，重心，垂心的应用，向量垂直的充要条件，单位向量的应用判断、、、的结论．【解答】解：选项，平面向量满足，且，，，即，，的夹角为，同理的夹角也为，是等边三角形，故正确；选项，向量，分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心而不一定是垂心，故错误；选项，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，故选．二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,B,C【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念复数的模【解析】无A B C D A ，，OA −→−OB −→−OC −→−||=||=|=r (r >0)OA −→−OB −→−OC −→−++=OA −→−OB −→−OC −→−0→∴+=−OA −→−OB −→−OC −→−∴|+2⋅+|=|OA −→−|2OA −→−OB −→−OB −→−|2OC −→−|2+2⋅cos(,)+=r 2r 2OA −→−OB −→−r 2r 2∴cos(,)=−OA −→−OB −→−12∴，OA −→−OB −→−120∘⋅OA −→−OC −→−120∘∴△ABC A B AC −→−|AC|AB −→−|AB|AC AB AC −→−′AB −→−BC −→−⋅−=0OA −→− AC −→−||AC −→−AB −→−|AB|⊥OA −→−BC −→−O ∠BAC ⋅−=0OB −→− BC −→−||BC −→−BA −→−|A B →O ∠ABC O △ABC B C +OA −→−OB −→−,OA −→−OB −→−A ，C【解答】解：令，得，则有解得，故选项正确；，其共轭复数是，故选项正确；，当时，等号成立，即的最小值为，故选项正确；令，由，得，即，故满足的复数在复平面上的对应点的集合是以为圆心，以为半径的圆，故选项错误.故选．10.【答案】A,C,D【考点】向量的投影向量的数量积判断向量的共线与垂直平面向量的坐标运算单位向量向量模长的计算【解析】可求出，从而得出选项正确；可求出在上的投影是，从而判断选项错误；可得出，进而判断选项正确；根据向量可求出与向量方向相同的单位向量，从而判断选项正确．【解答】解：∵ ，，∴，，即正确；向量在向量上的投影向量是，即错误；=a(a ∈R)z 1z 2=2+3i =a z 1=am −ai z 2{2=am,3=−a,m =−23A ⋅=(2+3i)(m −i)=(2m +3)+(3m −2)i z 1z 2=(2m +3)−(3m −2)i ⋅z 1z 2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯B |−|=|(2−m)+4i|=≥=4z 1z 2(2−m +16)2−−−−−−−−−−−√16−−√m =2|−|z 1z 24C z =x +yi |z −|=1z 1|(x −2)+(y −3)i|==1(x −2+(y −3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√(x −2+(y −3=1)2)2|z −|=1z 1z Z (2,3)1D ABC (+)⋅=0a →b →a →A a →b →−12b →B +2=(−4,3)a →b →C a →a →D +=(−1,2)a →b →=(2,1)a →(+)⋅=−2+2=0a →b →a →(+)⊥a →b →a →A a →b →⋅=⋅=−⋅a →b →∣∣∣b →∣∣∣2b →−3×2+1×1+(−3)212b →12b →B 2=(−4,3)→∵ ，∴，即正确；与向量方向相同的单位向量，即正确．故选.11.【答案】A,D【考点】正弦定理空间中直线与直线之间的位置关系柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：在翻折过程中，，，，易知，由正弦定理得（为的外接圆半径），即，故正确；在翻折过程中，，故错误；若，取中点，连接，，由于为正三角形，则，又，故平面，则，又为中点，，则为正三角形，易知，则，与已知矛盾，故错误；若，则在三棱锥中，，由知，，取的中点，连接，，+2=(−4,3)a →b →|+2|=5a →b →C a →=(,)a →||a →25–√55–√5D ACD △PBD ≅△ABD PD =DC =BC =2PB =23–√∠PDB =120∘2r ==4PBsin ∠PDB r △PBD r =2A ∠PDB =120∘B PB ⊥CD CD M BM PM △BCD BM ⊥CD BM ∩PB =B CD ⊥PBM PM ⊥CD M CD PD =CD =2△PCD BM =PM =3–√BM +PM =2=PB 3–√C PD ⊥DC P −BCD PC =22–√P =B +P B 2C 2C 2∠ACB =π2PB E DE CE E =PB =1则，且，，所以，所以，所以平面．设外接球的半径为，根据几何体可知，外接球的球心在直线上，则，即，解得，所以三棱锥的外接球的体积为，故正确．故选．12.【答案】B,C,D【考点】正弦函数的单调性函数的零点正弦函数的周期性函数奇偶性的判断两角和与差的正弦公式【解析】根据三角函数的周期性判断答案，三角函数的零点判断答案，根据三角函数的最值判断答案，根据三角函数的单调性判断答案．【解答】解：，∵的周期为，的周期为，的周期为，故错误；，∵，当时，，即或，∴在上有个零点，故正确；，∵，令，，∴，，，令，解得，当和时，，单调递增，∴当，即时，取得最大值，，∴，故正确；DE ⊥PB DE =1CE =PB =123–√D +C =C E 2E 2D 2DE ⊥CE DE ⊥PBC R O DE O +B =O E 2E 2B 2+=(R −1)2()3–√2R 2R =2P −BCD π=π43R 3323D AD A B C D A y =sin x 2πy =sin 3x π23∴f (x)=2sin x −sin 3x 2πA B f (x)=2sin x −sin 3x =−sin x +4x sin 3=−sin x(cos 2x −1)x ∈[0,2π]−sin x (cos 2x −1)=0sin x =0cos 2x =1f (x)[0,2π]7B C f (x)=2sin x −sin 3x =−sin x +4x sin 3t =sin x t ∈[−1,1]g(t)=4−t t 3t ∈[−1,1](t)=12−1g ′t 2(t)=0g ′t =±3–√6t ∈[−1,−]3–√6[,1]3–√6(t)>0g ′g(t)t =1t =sin x =1g(t)g(1)=3f(x =f(1)=−1+4=3)max C ,]ππ，∵在上为增函数，∴在上为减函数.∵，在上为减函数，∴在上为增函数，即在上是增函数，故正确.故选.三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】三角函数的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，则.故答案为：.14.【答案】,【考点】maxD y =sin x [,]π6π2y =−sin x [,]π6π2x ∈[,]π6π2y =cos 2x [,π]π3f (x)=2sin x −sin 3x =−sin x +4x sin 3=−sin x(cos 2x −1)[,]π6π2f (x)[,]π6π2D BCD 172–√50cosα=(0<α<)35π2sin α==1−αcos 2−−−−−−−−√45f (2α−)=sin(2α+)π12π4=sin 2αcos +cos 2αsin π4π4=2sin αcos αcos +sin (2α−1)π4π4cos 2=2×××+×(2×−1)45352–√22–√2925=172–√50172–√5023–√3π283柱体、锥体、台体的体积计算异面直线及其所成的角球的表面积和体积球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，过点作的平行线且满足，为中点，易得四边形为平行四边形，则异面直线与夹角即为，设，则由题可得，，，满足勾股定理，则，又余弦值为，即，解得，所以体积为.去底面正三角形中点，过点作直线面，则球心必在线上，过点作，故，设，则，解得，故表面积为.故答案为：；.15.C AB AE =CDE AECD SC AB ∠SCD SA =x SC =4+x 2−−−−−√SD =3+x 2−−−−−√CD =1∠SDC =90∘2–√4=CD SC 2–√4x =2×2××2×=13123–√23–√3ABC N N ⊥ABC O O OM ⊥SA OM =AN =23–√3SO =R 2=2−R 2()23–√32−−−−−−−−−−−−√R =21−−√34π=πR 228323–√3π283【答案】【考点】正弦函数的单调性【解析】函数，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．【解答】由函数，令，得：，∵，当＝时，可得单调递减区间为．16.【答案】,【考点】正弦定理余弦定理【解析】根据，由正弦定理，可得外接圆的半径为；由，可得，结合，可知，由，则，即可得解.【解答】解：因为，[0,π]23y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6x ∈[0,]3π2y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6−+2kπ≤x −≤+2kππ2π6π2k ∈Z−+2kπ≤x ≤+2kππ32π3x ∈[0,]3π2k 0[0,π]233−23S =abc =bc sin A 11212=2R a sin A△ABC 32+3+3=OA −→−AB −→−AC −→−0→3+3=4OB −→−OC −→−OA −→−===R =3∣∣∣OB −→−∣∣∣∣∣∣OC −→−∣∣∣∣∣∣OA −→−∣∣∣cos ∠BOC =−19∠BOC =2∠A A ∈(0,)π2cos A =22–√3S =abc =bc sin A 11212=sin A 1所以，由正弦定理，可得，所以外接圆的半径为；设的中点为，根据题意可得，∴，，三点共线，∴，且，，根据勾股定理可得，，∴，根据余弦定理可得故答案为：；.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：.∵，即，∴，整理得，则，即.【考点】三角函数的化简求值运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析a =sin A 16=2R asin A R =3△ABC 3BC D =−(+OA −→−32AB −→−)=−3AC −→−AD −→−A O D AB =AC AD =1DO =2BD =5–√AB =6–√BC =25–√cos A ==−.6+6−202×6233−23(1)f(x)=+sin(x +π)tan(x −π)sin(x −)cos(x +)3π2π2cos(x +3π)=+−sinx tanx cosx(−sinx)−cosx=−sinx ⋅+sinxcosx sinx =sinx −cosx (2)f(α)=13sin α−cos α=13(sin α−cos α=)2()132α−2sin αcos α+α=sin 2cos 2192sin αcos α=89sin 2α=89解：.∵，即，∴，整理得，则，即.18.【答案】解：因为，所以，所以.，因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以得，所以的取值范围为.【考点】复数代数形式的乘除运算共轭复数复数的基本概念复数的运算复数的代数表示法及其几何意义复数及其指数形式、三角形式【解析】此题暂无解析(1)f(x)=+sin(x +π)tan(x −π)sin(x −)cos(x +)3π2π2cos(x +3π)=+−sin x tan x cosx(−sinx)−cosx=−sinx ⋅+sinxcos x sin x =sinx −cosx (2)f(α)=13sin α−cos α=13(sin α−cos α=)2()132α−2sin αcos α+α=sin 2cos 2192sin αcos α=89sin 2α=89(1)(1−2i)z =4−3i z =4−3i 1−2i =(4−3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=4+8i −3i +65==2+i10+5i 5=2−i z ¯¯¯(2)=(z +mi)2(2+i +mi)2=[2+(1+m)i]2=4−+4(1+m)i (1+m)2(z +mi)2{4−<0，(1+m)24(1+m)>0,m >1m (1,+∞)解：因为，所以，所以. ，因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以得，所以的取值范围为.19.【答案】证明：由题得，，又，，所以平面，又平面，所以．又，，点是的中点，所以，，则．又，所以平面，又平面，所以，又因为，，所以平面．解：由题得，所以，由知平面，又平面，所以，所以，易知，所以，所以．所以．【考点】直线与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】证明：由题得，，(1)(1−2i)z =4−3i z =4−3i 1−2i =(4−3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=4+8i −3i +65==2+i 10+5i 5=2−i z¯¯¯(2)=(z +mi)2(2+i +mi)2=[2+(1+m)i]2=4−+4(1+m)i (1+m)2(z +mi)2{4−<0，(1+m)24(1+m)>0,m >1m (1,+∞)(1)AC =BC ==A 1C 1B 1C 1AC ⊥BC A ⊥BC A 1A ∩AC =A A 1BC ⊥CD C 1D ⊂C 1CD C 1BC ⊥D C 1A =2AC A 1A ⊥AC A 1D AA 1∠D =A 1C 145∘∠ADC =45∘D ⊥DC C 1BC ∩CD =C D ⊥C 1BCD CM ⊂BCD D ⊥CM C 1CM ⊥BD D ∩BD =D C 1CM ⊥BDC 1(2)BC =AD =1CD =2–√(1)BC ⊥CD C 1CD ⊂CD C 1BC ⊥CD BD ==B +C C 2D 2−−−−−−−−−−√3–√△BCM ∽△BDC =BM BC BC BD BM ===BD BC 2BD 3–√313===×S △ABC ×AD V A−BMC V M−ABC 13V D−ABC 1313=×××1×1×1=131312118(1)AC =BC ==A 1C 1B 1C 1AC ⊥BC A ⊥BC A A ∩AC =A A又，，所以平面，又平面，所以．又，，点是的中点，所以，，则．又，所以平面，又平面，所以，又因为，，所以平面．解：由题得，所以，由知平面，又平面，所以，所以，易知，所以，所以．所以．20.【答案】解：时，，，，∴，时，为增函数；，时，为减函数.当时，，∴函数的值域为.A ⊥BC A 1A ∩AC =A A 1BC ⊥CD C 1D ⊂C 1CD C 1BC ⊥D C 1A =2AC A 1A ⊥AC A 1D AA 1∠D =A 1C 145∘∠ADC =45∘D ⊥DC C 1BC ∩CD =C D ⊥C 1BCD CM ⊂BCD D ⊥CM C 1CM ⊥BD D ∩BD =D C 1CM ⊥BDC 1(2)BC =AD =1CD =2–√(1)BC ⊥CD C 1CD ⊂CD C 1BC ⊥CD BD ==B +C C 2D 2−−−−−−−−−−√3–√△BCM ∽△BDC =BM BC BC BD BM ===BD BC 2BD 3–√313===×S △ABC ×AD V A−BMC V M−ABC 13V D−ABC 1313=×××1×1×1=131312118(1)m =−1f(x)=⋅a →b →=cos(x −)sin x −(x −x)2–√π412sin 2cos 2=x +sin x cos x −x +x sin 212sin 212cos 2=sin 2x +1212∵x ∈[,]π83π4∴2x ∈[,]π43π22x ∈[,]π4π2x ∈[,]π8π4f(x)2x ∈[,]π23π2x ∈[,]π43π4f(x)(2)m =2f(x)=cos(x −)sin x +(x −x)2–√π4sin 2cos 2=x +sin x cos x +x −x sin 2sin 2cos 2=sin 2x −cos 2x +121−cos 2x 2=sin 2x −cos 2x +123212=sin(2x +φ)+(tan φ=−3)10−−√212f(x)[,]1−10−−√21+10−−√2【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式平面向量数量积的运算正弦函数的单调性函数的值域及其求法【解析】本题考查平面向量与三角函数的综合，体现了数学运算、逻辑推理、直观抽象等数学素养．本题考查平面向量与三角函数的综合，体现了数学运算、逻辑推理、直观抽象等数学素养．【解答】解：时，，，，∴，时，为增函数；，时，为减函数.当时，，∴函数的值域为.21.【答案】(1)(2)(1)m =−1f(x)=⋅a →b →=cos(x −)sin x −(x −x)2–√π412sin 2cos 2=x +sin x cos x −x +x sin 212sin 212cos 2=sin 2x +1212∵x ∈[,]π83π4∴2x ∈[,]π43π22x ∈[,]π4π2x ∈[,]π8π4f(x)2x ∈[,]π23π2x ∈[,]π43π4f(x)(2)m =2f(x)=cos(x −)sin x +(x −x)2–√π4sin 2cos 2=x +sin x cos x +x −x sin 2sin 2cos 2=sin 2x −cos 2x +121−cos 2x 2=sin 2x −cos 2x +123212=sin(2x +φ)+(tan φ=−3)10−−√212f(x)[,]1−10−−√21+10−−√2(+B)sin(−B)解：因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，又为锐角，所以 .因为的面积等于，所以 ①.由知，所以 ②．由余弦定理知，将代人，可得 ③，由③②，得，所以.所以解此方程得或【考点】余弦定理正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，所以，(1)sin(A +B)+sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B sin C +sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B (sin C +sin B)(sin C −sin B)=sin(+B)π3sin(−B)π3C −B =(cos B +sin B)(cos B sin 2sin 23–√2123–√2−sin B)12C −B =B −B sin 2sin 234cos 214sin 2C =B +B =sin 234cos 234sin 234sin C =±3–√2C C =π3(2)△ABC 63–√ab sin C =6123–√(1)C =π3ab =24=+−2ab cos C c 2a 2b 2c =27–√+=52a 2b 2+×2=100(a +b)2a +b =10{a +b =10，ab =24，{a =6，b =4{a =4，b =6.(1)sin(A +B)+sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B sin C +sin B =sin(+B)sin(−B)π3π3sin C −sin B (sin C +sin B)(sin C −sin B)=sin(+B)π3sin(−B)π3−B =(cos B +sin B)(cos B –√–√所以，所以，所以，所以，又为锐角，所以 .因为的面积等于，所以 ①.由知，所以 ②．由余弦定理知，将代人，可得 ③，由③②，得，所以.所以解此方程得或22.【答案】（本小题满分（1）当＝时，．令．解得．所以的单调递增区间是．（2）由．因为，所以．则，．解得．C −B =(cos B +sin B)(cos B sin 2sin 23–√2123–√2−sin B)12C −B =B −B sin 2sin 234cos 214sin 2C =B +B =sin 234cos 234sin 234sin C =±3–√2C C =π3(2)△ABC 63–√ab sin C =6123–√(1)C =π3ab =24=+−2ab cos C c 2a 2b 2c =27–√+=52a 2b 2+×2=100(a +b)2a +b =10{a +b =10，ab =24，{a =6，b =4{a =4，b =6.1ω1f(x)=sin x +co −=sin x +cos x =sin(x +)123–√s 2x 23–√2123–√2π32kπ−≤x +≤2kπ+,k ∈Z π2π3π22kπ−≤x ≤2kπ+,k ∈Z 5π6π6f(x)[2kπ−,2kπ+],k ∈Z5π6π6f(x)=sin ωx +co −=sin ωx +cos ωx =sin(ωx +)123–√s 2ωx 23–√2123–√2π3f()=1π3sin(+)=1πω3π3+=2nπ+πω3π3π2n ∈Z ω=6n +12=2π又因为函数的最小正周期，且，所以当时，的最大值为．【考点】三角函数的周期性三角函数中的恒等变换应用正弦函数的单调性【解析】Ⅰ当＝时，利用两角和与差以及二倍角公式化简函数的解析式，然后求解函数的单调区间．Ⅱ化简函数的解析式为：．通过，求出．然后求解的最大值．【解答】（本小题满分（1）当＝时，．令．解得．所以的单调递增区间是．（2）由．因为，所以．则，．解得．又因为函数的最小正周期，且，所以当时，的最大值为． f(x)T =2πωω>0ω=12T 4π()ω1()f(x)=sin(ωx +)π3f()=1π3ω=6n +12T 1ω1f(x)=sin x +co −=sin x +cos x =sin(x +)123–√s 2x 23–√2123–√2π32kπ−≤x +≤2kπ+,k ∈Z π2π3π22kπ−≤x ≤2kπ+,k ∈Z 5π6π6f(x)[2kπ−,2kπ+],k ∈Z 5π6π6f(x)=sin ωx +co −=sin ωx +cos ωx =sin(ωx +)123–√s 2ωx 23–√2123–√2π3f()=1π3sin(+)=1πω3π3+=2nπ+πω3π3π2n ∈Z ω=6n +12f(x)T =2πωω>0ω=12T 4π。

〖人教版〗高一数学下册试卷第二学期期中测试

〖人教版〗高一数学下册试卷第二学期期中测试创作人：百里灵明创作日期：2021.04.01审核人：北堂正中创作单位：北京市智语学校第Ⅰ卷（本卷共40分）一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. sin600︒的值是（）A ．32B ．12-C ．12D ．32- 2. 若(3,2), (5,1)OM ON =-=--，则12MN 等于（） A ．(8,1)B ．(8,1)-C ．1(8,)2-D ．1(4,)2-3. 函数2sin()3y x π=+的一条对称轴为（）A ．2x π=-B ．0x =C ．6x π=D ．6x π=-4. 已知3cos 25θ=，则44sin cos θθ-的值为（） A ．45B ．35C ．35-D ．45-5. 若||4, ||6m n ==，m 与n 的夹角为135︒，则m n ⋅等于（）A ．12B ．122C ．122-D ．12-6. 圆22420x y x y +-+=的圆心和半径分别是（）A ．(2, 1), 5-B ．(2, 1), 5-C ．(2, 1), 5-D ．(2, 1), 5-7. 直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离 8. 在ABC ∆中，3, 2, 2AB BC A π==∠=，且||||BA t BC AC -⋅，则实数t 的取值范围是（）A ．[1, )+∞B ．1[, 1]2C ．1(, ][1, )2-∞+∞D ．(, 0][1, )-∞+∞第Ⅱ卷（本卷共计110+15分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 函数2sin y x =的最小正周期为． 10. 设1cos 13y x =-的最大值和最小值分别为, u v ，则u v +=． 11. 若(1,3), (,1)a b x =-=-，且//a b ，则x 的值为． 12. tan 70tan 503tan 70tan 50︒+︒-︒︒的值为．13. 以点(2,1)-为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程为． 14. 设0ω>，函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值为．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15. （本小题12分）已知tan 2α=，求下列各式的值：（1）4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+；（2）223sin 3sin cos 2cos αααα+-．16. （本小题满分12分）已知(1,2), (3,2)a b ==-．（1）求|2|a b -的值；（2）若2ka b +与24a b -垂直，求实数k 的值．17. （本小题满分14分）已知圆O 以原点为圆心，且与圆22:68210C x y x y ++-+=外切．（1）求圆O 的方程；（2）求直线230x y +-=与圆O 相交所截得的弦长．18. （本小题满分14分）已知sin()y A x B ωϕ=++的一部分图像如图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><．（1）求()f x 的解析式；（2）若[0, ]2x π∈，求()f x 的最值．19. （本小题满分14分）已知312sin(2), sin , (, ),(, 0)51322ππαββαπβ-==-∈∈-，求sin α的值．20. （本小题满分14分）如图在ABC ∆中，11, 42OC OA OD OB ==，AD 与BC 交于M 点．设, OA a OB b ==．（1）用, a b 表示OM ；（2）已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ．设OE pOA =，OF qOB =，则13p q+是否为定值，如果是定值，这个定值是什么？附加题21. （本题满分15分）已知圆C 过点(1, 1)P ，且与圆222:(2)(2)(0)M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于, A B ，且直线PA 和PB 直线的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行，并说明理由．高级—2第二学期期中测试高一数学答题卷一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）第Ⅱ卷（本卷共计110+15分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．______________ 10．______________ 11．______________ 12．______________ 13． ______________ 14．______________三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（本小题12分） 16．（本小题12分） 17．（本小题14分） 18．（本小题14分） 19．（本小题14分） 20．（本小题14分）附加题：21．（本小题15分）参考答案一．选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DDCCCABC第Ⅱ卷（本卷共计110分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．π 10. 2- 11. 13 12．3- 13. 2225(2)(1)2x y -++= 14. 32三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15.（本小题12分）已知tan 2α=，求下列各式的值：（1）4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+；（2）223sin 3sin cos 2cos αααα+-．解：（1）4tan 24226==5tan 352313αα-⨯-=+⨯+原式；………………………………6分（2）2222223sin 3sin cos 2cos 3tan 3tan 216==sin cos tan 15ααααααααα+-+-=++原式．………12分 16.（本小题满分12分）已知(1,2), (3,2)a b ==-．（1）求|2|a b -的值；（2）若2ka b +与24a b -垂直，求实数k 的值．解：（1）22|2|=44204(322)1329a b a a b b --⋅+=--+⨯+=； (6)分（2）由题意得(2)(24)0ka b a b +⋅-=，即222(44)80ka k a b b +-⋅-=，5010448130, 3k k k +--⨯==． ………………………………………………………12分 17.（本小题满分14分）已知圆O 以原点为圆心，且与圆22:68210C x y x y ++-+=外切．（1）求圆O 的方程；（2）求直线230x y +-=与圆O 相交所截得的弦长．解：（1）设圆O 方程为222x y r+=．圆22:(3)(4)4C x y ++-=，||2r OC =-22(3)423=-+-=，所以圆O方程为229x y +=．…………………………7分（2）O 到直线a 的距离为3514d ==+，……………………………………10分故弦长22912522955l r d =-=-=．…………………………………………14分 18.（本小题满分14分）已知sin()y A x B ωϕ=++的一部分图像如图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><．（1）求()f x 的解析式；（2）若[0,]2x π∈，求()f x 的最值．解：（1）由图可知函数图像过2(, 1.5),(, 0.5)63ππ-，则 1.5(0.5)12A --==，………………………………………………………………2分1.510.5B =-=，……………………………………………………………………4分22T==2()=36ππππω-，2ω=，…………………………………………………6分把(, 1.5)6π代入解析式得sin(2)0.5 1.56πϕ⨯++=，解得6πϕ=．所以，1()sin(2)62f x x π=++．………………………………………………………7分（2）70, 22666x x ππππ+，……………………………………………………10分所以，min ()0f x =，max 3()2f x =．………………………………………………14分19.（本小题满分14分）已知312sin(2), sin , (, ),(, 0)51322ππαββαπβ-==-∈∈-，求sin α的值．解：, 22, 0<,22ππαππαπβ<<<<-<5<22ππαβ∴-<．由3sin(2)05αβ-=>，得52<22ππαβ-<，4cos(2)5αβ∴-=．……………………………………………………3分又<02πβ-<，由12sin 13β=-得5cos 13β=．………………………………………………………6分由2cos 212sin αα=-，得29sin 130α=，………………………………………12分又2παπ<<，所以3130sin 130α=．………………………………………………14分 20.（本小题满分14分）如图在ABC ∆中，11, 42OC OA OD OB ==，AD 与BC 交于M 点．设, OA a OB b ==．（1）用, a b 表示OM ；（2）已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ．设OE pOA =，OF qOB =，则13p q+是否为定值，如果是定值，这个定值是什么？解：（1）设OM ma nb =+，则(1)AM OM OA ma nb a m a nb =-=+-=-+，1122AD OD OA OB OA a b =-=-=-+．∵A M D 、、三点共线， ∴AM与AD 共线，故存在实数t ，使得 AM t AD =，即1(1)()2m a nb t a b -+=-+，(1)2tm a nb ta b -+=-+，MDOABF∴1,.2m t tn -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t 得12m n -=-，即21m n +=． ①…………………3分 ∵11()44CM OM OC ma nb a m a nb =-=+-=-+，14CB OB OC b a =-=-，又C M 、、B 三点共线∴CM 与CB 共线，同理可得41m n +=． ②…………………………………6分联立①②，解得13, 77m n ==．故1377OM a b =+．………………………………………………7分（2）137p q+=． ∵1313()7777EM OM OE a b pOA p a b =-=+-=-+， EF OF OE qOB pOA pa qb =-=-=-+，又EM 与EF 共线，故存在实数k ，使得EM kEF =，即13()()77p a b k pa qb kpa kqb -+=-+=-+. 1737p pk kq⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，消去k 得1377p p q -=-⋅，整理得137p q +=． (14)分附加题21.（本题满分15分）已知圆C 过点(1, 1)P ，且与圆222:(2)(2)(0)M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于,A B ，且直线PA 和PB 直线的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行，并说明理由．。

人教版高一年级第二学期期中考试数学试卷与答案解析(共五套)

A． B． C． D．2
8．已知 ,且，则（）
A．4B．3C． D．
9．在△ 中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为、b、c.已知，，，则b=
A． B． C．2D．3
11．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（）
解得（舍去），故选D.
11．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，其中，则 .
由题意得，解得，即 .
故选：B.
12．若非零向量满足，且，则的夹角为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，所以，即，
即，∴
，又，故，故选A.
A．3B．2C． D．
【答案】D
【解析】点是所在平面上一点，过作，如下图所示：
由，
故，
所以与的面积之比为，
故选：D．
7．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】题意，，所以 .故选：C.
8．已知 ,且，则（）
A．4B．3C． D．
（2）因为为三角形内角，
所以，
，
由正弦定理得：，
又∵ ．
，解得或（舍）．
．
22．在中，角所对的边分别为，已知 .
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
即，
∵ ，∴ ，∴ ．

北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案

北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。

新课标人教版高一下学期期中考试数学试题及答案

高一年级第二学期期中考试试题（数学）温馨提示：认真思考，细心答题，相信你会取行好成绩！一.选择题：(每小题4分共40分 )在下列每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，请选出并填入下列表中相应的位置1. 不等式x －2 y + 6 > 0表示的平面区域在直线：x －2 y + 6 = 0的 ······························· ( )1 A . 右上方 B . 右下方 C . 左上方 D .左下方2.若A 为△ABC 内角，则下列函数中一定取正值的是： ·················································· ( )2 A . sin A B . cos A C . tan A D . sin 2A 3在△ABC 中3,2==b a .B = 60︒那么角A 等于： ················································· ( )3 A .135︒B .90︒C .45︒D .30︒4.设0＜b ＜a ＜1,则下列不等式成立的是： ········································································· ( )4 A . ab ＜b 2＜1B .0log log 2121<<a bC . a 2＜ab ＜1D .b a )21()21(21<< 5.设数列{a n }是等差数列，若a 2=3, a 7=13. 数列{a n }的前8项和为： ····························· ( )5A . 128B . 80C . 64D . 566.在△ABC 中，若BbA a cos cos =，则△ABC 的形状是： ··············································· ( )6 A . 等腰三角形B . 直角三角形C .等腰或直角三角形D .等腰直角三角形7.数列{a n }的通项公式为11++=n n a n ，前n 项和S n = 9,则n 等于： ···················· ( )7A . 98B . 99C . 96D . 978.不等式⎩⎨⎧+-≤-≥1||31x y x y 表示区域的面积为： ······································································· ( )8A . 1B .21 C .25 D .23 成绩:9.若a >b >0,则下列不等式中一定成立的是…………………………………… ( )9A .ab b a 11+<+B . ab b a 11->-C .11++>a b a b D .bab a b a <++2210.已知数列{a n }的通项公式a n = n 2 +－11n －12,则此数列的前n 项和取最小值时，项数n 等于 ( )10 A . 10或11 B . 12 C . 11或12 D . 12或13二．填空题：(每小题4分共20分 )11. 不等式125<+x 的解集为： .12.在各项都为正项的等比数列{a n }中a 1 = 3, S 3 = 21 , 则a 3+ a 4+ a 5 = .13.在△ABC 中，角A .B .C .的对边分别为：a,b,c ，若B sin C sin ,bc b a 32322==-则角A= .14..若数列：12+22+32+42+••••••+n 2=6)12)(1(++n n n 则：数列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，••••••••••••••• 的前100项的和是 .15. x, y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x 若目标函数z = ax + b (a >0,b >0)的是最大值为12.则ba 32+ 的最小值为三．解答题( )16.(10分)已知:A .B .C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a, b, c ，若21=-C sin B sin C cos B cos ．（Ⅰ）求A.（Ⅱ）若432=+=c b ,a ，求△ABC 的面积．若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ，(1) 求a 的值；(2) 求不等式01522>-+-a x ax 的解集.18.(8分)若实数x , y 满足：⎩⎨⎧>≤+-001x y x求：xy的范围设正数x ; y 满足 x + 2y = 1 求y x 11+的最小值20.( 6分)已知数列{a n }的首项12,3211+==+n n n a a a a n ∈N * (Ⅰ)证明数列{11-na }是等比数列. (Ⅱ)数列{na n}的前n 项的和S n合肥36中学2011－2012年度高一年级第二学期期中考试试题（数学）答案：一选择题4.特殊值+筛选2141==a b6.将a b 分别换成sinA sinB7.再叠加分母有理化后n n a -+=18.用的方法：用23||21⨯=AD S9．强烈建议“逆证法” 如：C 、假a b a ab b ab a b a b >⇔+>+⇔++>11 D 、真22222222a b ab a b ab bab a b a <⇔+<+⇔<++ 10.令a n = 0得n =12, ∴S 11= S 12由开中向上的抛物线性质可知：当n ≤12时a n ≤0,当n ＞0时a n ＞0 也就是a n 从第十三项开始大于零，S 13 = S 12 +正数> S 12。

2022-2023学年人教A版(2019)高一下数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 已知，，集合，，若，则( )A.B.C.D.2. 若复数，则的共轭复数的虚部为( )A.B.C.D.3. 设集合，是全集的两个子集，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 若，，则的值为( )a b ∈R A ={a +5,−1}a 2B ={a,b}A ∩B ={3}A ∪B ={−2,3}{2,3}{2,3,5}{2,3,7}z =11−i z −12−i1212i12A B U A ∩B =∅A ⊆∁U B sin α+cos(π−α)=34α∈(0,π)sin(α+)π47A.B.C.D.5. 某传染病在流行初期，由于大部分人未感染且无防护措施，所以总感染人数以指数形式增长．假设在该传染病流行初期的感染人数为，且每位已感染者平均一天会传染给位未感染者的前提下，天后感染此疾病的总人数可以表示为，其中且.已知某种传染病初期符合上述数学模型，且每隔天感染此病的人数会增加为原来的倍，则的值是( )A.B.C.D.6. 已知向量，，若，则等于（）A.B.C.D.7. 若函数，的图象过点，直线向右平移个单位长度后恰好经过上与点最近的零点，则在上的单调递增区间是( )A.B.C.D.78−46−−√8−7846−−√8P 0r n P n =P n P 0(1+r)n ≥1P 0r >01664⋅⋅P 20P 18P 8P 5P 12P 924816=(2,1)a →=(x,−2)b →//a →b →+a →b →(−2,−1)(2,1)(3,−1)(−3,1)f (x)=3sin(ωx +φ)(ω>00<φ<)π2M (,−3)2π3x =2π3π4f (x)M f (x)[−,]π2π2[−,]π2π6[−,]π3π3[−,]π3π6[−,]π6π6△ABC b A C C =60∘b =8△ABC8. 在中，，，分别为角，，的对边，若，，，则的周长为( )A.B.C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 已知为虚数单位，，则关于复数的说法错误的是( )A.B.对应复平面内的点在第三象限C.的虚部为D. 10. 台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，如图，有一张长方形球台，，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，则的值为( )A.B.C.D. 11. 已知是定义在上的函数，满足且对任意的恒有，且当时，，则（）A.函数的值域是B.△ABC a b c A B C C =60∘a =5b =8△ABC 20304025i z ⋅=1−i 21−iz |z|=1z z −iz +=2z¯¯¯ABCD AB =3.6m AD =1.2m A α2C tan α1912132f (x)R f (−x)−f (x)=0,x ∈R f (x)=f (x +4)x ∈[0,2]f (x)=(x +2)−1f (x)[,1]14f (−)>f ()1252(x)=1C.时，D.函数在上递减12. 给出下列结论，其中不正确的结论是 A.函数的最大值为B.已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是C.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称D.已知定义在上的奇函数在内有个零点，则函数的零点个数为卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13. （5分）在平面直角坐标系中的位置如图所示，，将绕点，逆时针旋转得到交轴于，若，则点的坐标为________．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14. 计算：． 15. 在中，角，，所对的边为，，，且．求角的大小；若，求的取值范围． 16. 已知向量，设函数.讨论的单调性；x ∈[2,4]f (x)=16−xf (x)[2,4]()a R 10102021△AOC OA =4△AOC O 90∘△O ,A 1C 1A 1C 1y B (0,2)△OB ∼△O C 1C 1A 1C 1(1)(2−−(3+14)129.6038)23 1.5−2(2)−54+−−(log 9log 332953log 5164)23△ABC A B C a b c a sin A +c sin C −a sin C =b sin B3–√(1)B (2)f (x)=sin x cos x +x −3–√cos 23–√2f()A 2=(cos x,sin x),=(cos x,cos x)m →n →3–√f (x)=⋅−,x ∈[0,]m →n →12π3(1)f (x)(x)=2若方程有两个不相等的实数根，求的值．17. 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知的内角，，的对边分别为，，，________，，.求角；求的面积．18. 已知妇=4，a 与占的夹角日=120°，则向量b 在向量日方向上的投影为14.AABC 的内角4,B,C'的对边分别为a,b,c ，已知b=s5,c=2,cosB 子则a=15.己知等差数列{an}共有10项,其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差止16．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角LMAN=60°，C 点的仰角LCAB=45°以及LMAC=75°;从C 点测得LMCA=60°.己知山高BC=100m ，则山高MN=_m ．19. 已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若函数有个零点，求实数取值范围．(2)f (x)=23,x 1x 2cos(+),cos(−)x 1x 2x 1x 2+ac =+b 22–√a 2c 2a cos B =b sin A sin B +cos B =2–√△ABC A B C a b c A =π3b =2–√(1)B (2)△ABC f(x)=2(x −1)+a e x x 2a =e f(x)f(x)2a参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】D【考点】并集及其运算集合的确定性、互异性、无序性【解析】由，得到或，解方程，验证是否满足集合元素的互异性，再利用集合的并集求解即可.【解答】解：由，得，集合中都有元素，令，则，此时，不满足集合元素的互异性；令，则，当时，，则，此时，满足题意，此时.故选.2.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念共轭复数【解析】求出复数的共轭复数即可求解.A ∩B ={3}a +5=3−1=3a 2A ∩B ={3}A B 3a +5=3a =−2−1=−1=3a 2(−2)2−1=3a 2a =±2a =2a +5=7A ={3,7}B ={2,3}A ∪B ={2,3,7}D【解答】解：∵，∴的共轭复数为，∴其虚部为.故选.3.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由韦恩图，，而显然可得.又，可得，所以“”是“”的充要条件.故选．4.【答案】D【考点】三角函数的化简求值【解析】无【解答】解：∵，∴，即.∵，z ===+i 11−i 1+i (1−i)(1+i)1212z =−i z ¯¯¯1212−12A A ∩B =∅A ⊆∁U B A ⊆∁U B A ∩B =∅A ∩B =∅A ⊆∁U B C sin α+cos(π−α)=sin α−cos α=34=1−2sin αcos α=(sin α−cos α)29162sin αcos α=>0716α∈(0,π)∴，，∴，∴，∴.故选．5.【答案】C【考点】函数模型的选择与应用【解析】本题考查指数型函数的应用以及数学建模，考查运算求解能力．【解答】解：由题意得，化简得，所以．故选．6.【答案】A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示平面向量的坐标运算【解析】根据题意，由向量平行的判断方法，可得，解可得的值，即可得的坐标，由向量加法的坐标运算方法，可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，若，则有，sin α>0cos α>0α∈(0,)π2=1+2sin αcos α=(sin α+cos α)22316sin(α+)=(sin α+cos α)=π42–√246−−√8D ==64P n+16P n (1+r P 0)n+16(1+r P 0)n (1+r =64)16⋅⋅P 20P 18P 8P 5P 12P 9=(1+r ×(1+r ×(1+r =(1+r =8)2)3)3)8C 2x −2=0x b →=(2,1)a →=(x,−2)b →//a →b →1⋅x =2⋅(−2)(−4,−2)→即，即，则，故选．7.【答案】C【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的单调性【解析】命题意图本题主要考查三角函数的图象与性质．【解答】解：由题意，可知函数的四分之一周期为，则的周期，，又函数的图象过点，，，，，，令，得，∴，由，，解得，，取，得．故选.8.【答案】A【考点】余弦定理x =−4=(−4,−2)b →+=(−2,−1)a →b →A f (x)π4f (x)T =π∴ω==22πT f (x)(,−3)2π3∴−3=3sin(×2+φ)2π3∴×2+φ=−+2kπ2π3π2k ∈Z ∴φ=−+2kπ11π6k ∈Z k =1φ=π6f (x)=3sin(2x +)π62kπ−≤2x +≤2kπ+π2π6π2k ∈Z kπ−≤x ≤kπ+π3π6k ∈Z k =0x ∈[−,]π3π6C【解析】根据余弦定理，得C ，所以，则的周长为．故选．【解答】解：根据余弦定理，得，所以，则的周长为．故选．二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】B,C,D【考点】复数的模复数的基本概念共轭复数复数代数形式的混合运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】已知，所以，所以，故选、、．【解答】解：已知，所以.，，故该选项正确；，的实部为，虚部为，对应复平面内的点在坐标轴上，故该选项错误；，的虚部为，故该选项错误；，，则，故该选项错误.故选.10.【答案】=+−2ab cos c 2a 2b 2=+−5×8=49528′c =7△ABC 20A =+−2ab cos Cc 2a 2b 2=+−5×8=495282c =7△ABC 20A z ⋅=1−i 21−i z ==−1(1−i)22|z|=1|B C D z ⋅=1−i 21−i z ==−i (1−i)22A |z|==1(−1)2−−−−−√B z 0−1C z −1D =i z ¯¯¯z +=0z¯¯¯BCDA,C【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程已知三角函数模型的应用问题【解析】根据题意画出示意图，进而求解结论．【解答】解：因为，现从角落沿角的方向把球打出去，分两种情况讨论：①如图：关于的对称点为，关于的对称点为，则根据直线的对称性可得：；②如图：关于的对称点为，关于的对称点为，如图：根据直线的对称性可得：.故选.11.【答案】B,C【考点】函数的值域及其求法函数的周期性函数奇偶性的性质AB =3AD A αA DC E C AB F tan α===1EG GF 3AD3ADA BC G C AD E tan α===EF FG AD 9AD 19AC【解析】【解答】解：因为函数满足，即，所以函数是偶函数.因为，所以函数是周期为的周期函数.因为当时，，所以当时，函数是减函数，最大值为，最小值为，根据函数是偶函数可知当时，最大值为，最小值为，根据函数是周期为的周期函数可知当时，最大值为，最小值为，即值域为，错误；因为，，所以，故正确；因为当时，函数是减函数，所以当时，函数是增函数，所以根据函数周期为可知函数在上递增，错误；令，则，，故当时，，令，则，，故当时，，正确.故选.12.【答案】A,B【考点】复合函数的单调性函数的对称性【解析】f (x)f (−x)−f (x)=0f (−x)=f (x)f (x)f (x)=f (x +4)f (x)4x ∈[0,2]f (x)=(x +2)−1x ∈[0,2]f (x)1214f (x)x ∈[−2,0]1214f (x)4x ∈R 1214[,]1412A f (−)=f ()=121225f ()=f (−)=f ()=52323227f (−)>f ()1252B x ∈[0,2]f (x)x ∈[−2,0]f (x)f (x)4f (x)[2,4]D x ∈[−2,0]−x ∈[0,2]f (−x)==f (x)(−x +2)−1x ∈[−2,0]f (x)=12−xx ∈[2,4]x −4∈[−2,0]f (x −4)===f (x)12−x +416−xx ∈[2,4]f (x)=16−xC BC =−x+1由复合函数的单调性可求的最大值、在上减函数时的范围，结合指对数函数图象的关系、奇函数的性质可判断、的正误；【解答】、函数中，若令，即有，故错误；、函数且在上是减函数，知：，即有，故错误；、函数与互为反函数，图象关于直线对称，故正确；、定义在上的奇函数在内有个零点，由函数的对称性可知在内有个零点，即函数的零点个数为，故正确；故选：三、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13.【答案】【考点】基本不等式向量的共线定理【解析】此题暂无解析【解答】解：如图作轴于．∵∴，∵，y =()12−x+1y =(2−ax)log 4(0,1)a C D 1y =()12−x 2t =−+1∈(−x,1]x 2y =(∈[,+∞)12)′12A 2y =(2−at)(a >0log 2a ≠1)(0,1)1<a <2xa ∈(1,2]B B y =2t y =x log 2y =x C 4R f (x)(−∞,0)1010f (x)(0,+∞)1010f (x)2021D AB(,)4383H ⊥x C 1H △OB ∽△O C 1C 1A 1==OC 1A 1C 1OB OA 112tan ∠H ===C 1A 1OB OA 1H C 1H A 112m ，O =−−−−−−−−−−−−−设，则∴ ∴，解得或（舍弃），∴．故答案为：．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14.【答案】解：．．【考点】对数的运算性质有理数指数幂的化简求值【解析】利用分数指数幂的性质和运算法则求解．利用对数的性质和运算法则求解．【解答】解：．．H =m C 1H =2m ，OH =2m −4A 1=m ，O =A 1C 15–√C 1+m 2(2m −4)2−−−−−−−−−−−−−√m =25–√+(2m −4m 2)2−−−−−−−−−−−−−√m =8385(,)C 14383(,)4383(1)(2−−(3+14)129.6038)23 1.5−2=−1−+329494=12(2)−54+−−(log 9log 332953log 5164)23=(×)−3−log 3132329116=−2−3−116=−8116(1)(2)(1)(2−−(3+14)129.6038)23 1.5−2=−1−+329494=12(2)−54+−−(log 9log 332953log 5164)23=(×)−3−log 3132329116=−2−3−116=−811615.【答案】解：∵，∴，∴，∴，又，∴．，∴，∵，，∴，∴的取值范围为.【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】(1)a sin A +c sin C −a sin C =b sin B 3–√+−ac =a 2c 23–√b 2+−=ac a 2c 2b 23–√cos B ==+−a 2c 2b 22ac 3–√2B ∈(0,π)B =π6(2)f(x)=sin x cos x +x −3–√cos 23–√2=sin 2x +⋅−123–√1+cos 2x 23–√2=sin 2x +cos 2x 123–√2=sin(2x +)π3f()=sin(A +)A 2π3A ∈(0,)5π6A +∈(,)π3π37π6sin(A +)∈(−,1]π312f()A 2(−,1]12(1)a sin A +c sin C −a sin C =b sin B3–√解：∵，∴，∴，∴，又，∴．，∴，∵，，∴，∴的取值范围为.16.【答案】解：由题意知，函数,当时，,∴当，即时单调递增；当，即时单调递减．∵方程在上有两个不相等的实数根，，∴，即，(1)a sin A +c sin C −a sin C =b sin B 3–√+−ac =a 2c 23–√b 2+−=ac a 2c 2b 23–√cos B ==+−a 2c 2b 22ac 3–√2B ∈(0,π)B =π6(2)f(x)=sin x cos x +x −3–√cos 23–√2=sin 2x +⋅−123–√1+cos 2x 23–√2=sin 2x +cos 2x 123–√2=sin(2x +)π3f()=sin(A +)A 2π3A ∈(0,)5π6A +∈(,)π3π37π6sin(A +)∈(−,1]π312f()A 2(−,1]12(1)f (x)=⋅−=x +sin x cos x −m →n →12cos 23–√12=+×sin 2x −=sin(2x +)1+cos 2x 23–√1212π6x ∈[0,]π32x +∈[,]π6π65π62x +∈[,]π6π6π2x ∈[0,]π6,f (x)2x +∈[,]π6π25π6x ∈[,]π6π3f (x)(2)f (x)=23x ∈[0,]π3x 1x 2f ()=f ()=x 1x 223sin(2+)=sin(2+)=x 1π6x 2π6232+)+(2+)=×2πππ∴，即,∴，∴.【考点】平面向量数量积的运算三角函数中的恒等变换应用求两角和与差的正弦【解析】无无【解答】解：由题意知，函数,当时，,∴当，即时单调递增；当，即时单调递减．∵方程在上有两个不相等的实数根，，∴，即，∴，即,∴，∴.17.【答案】(2+)+(2+)=×2x 1π6x 2π6π2+=x 1x 2π3cos(+)=x 1x 212cos(−)=cos(−2)=cos[−(2+)]x 1x 2π3x 2π2x 2π6=sin(2+)=f()=x 2π6x 223(1)f (x)=⋅−=x +sin x cos x −m →n →12cos 23–√12=+×sin 2x −=sin(2x +)1+cos 2x 23–√1212π6x ∈[0,]π32x +∈[,]π6π65π62x +∈[,]π6π6π2x ∈[0,]π6,f (x)2x +∈[,]π6π25π6x ∈[,]π6π3f (x)(2)f (x)=23x ∈[0,]π3x 1x 2f ()=f ()=x 1x 223sin(2+)=sin(2+)=x 1π6x 2π623(2+)+(2+)=×2x 1π6x 2π6π2+=x 1x 2π3cos(+)=x 1x 212cos(−)=cos(−2)=cos[−(2+)]x 1x 2π3x 2π2x 2π6=sin(2+)=f()=x 2π6x 223(1)+ac =+2–√22解：若选择①，，由余弦定理得，因为，所以；若选择②，，则，因为，所以，因为，所以；若选择③，，则，所以，因为，所以，所以，所以.由正弦定理，得，因为，，所以，所以，所以．【考点】正弦定理余弦定理二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：若选择①，，由余弦定理得，因为，所以；若选择②，，则，因为，所以，因为，所以；若选择③，，(1)+ac =+b 22–√a 2c 2cos B ===+−a 2c 2b 22ac ac 2–√2ac 2–√2B ∈(0,π)B =π4a cos B =b sin A sin A cos B =sin B sin A sin A ≠0sin B =cos B B ∈(0,π)B =π4sin B +cos B =2–√sin(B +)=2–√π42–√sin(B +)=1π4B ∈(0,π)B +∈(,)π4π45π4B +=π4π2B =π4(2)=a sin A b sin Ba ===b sin A sin B ⋅sin 2–√π32√23–√A =π3B =π4C =π−−=π3π45π12sin C =sin 5π12=sin(+)π4π6=sin cos +cos sin =π4π6π4π6+6–√2–√4=ab sin C S △ABC 12=×××123–√2–√+6–√2–√4=3+3–√4(1)+ac =+b 22–√a 2c 2cos B ===+−a 2c 2b 22ac ac 2–√2ac 2–√2B ∈(0,π)B =π4a cos B =b sin A sin A cos B =sin B sin A sin A ≠0sin B =cos B B ∈(0,π)B =π4sin B +cos B =2–√(B +)=π(B +)=1π则，所以，因为，所以，所以，所以.由正弦定理，得，因为，，所以，所以，所以．18.【答案】.【考点】解三角形的实际应用【解析】（1）在中，有条件利用直角三角形的边角关系得到；在中，由条件利用正弦定理得到；在中，根据，进而求解即可.【解答】解：在中，已知，得，在中，已知，可得，由正弦定理可得，即，解得，在中，.19.【答案】解：（1）依题意，当时，，故．故当时，；当时，，故函数在处取极小值，即，无极大值．sin(B +)=2–√π42–√sin(B +)=1π4B ∈(0,π)B +∈(,)π4π45π4B +=π4π2B =π4(2)=a sin A b sin Ba ===b sin A sin B ⋅sin 2–√π32√23–√A =π3B =π4C =π−−=π3π45π12sin C =sin 5π12=sin(+)π4π6=sin cos +cos sin =π4π6π4π6+6–√2–√4=ab sin C S △ABC 12=×××123–√2–√+6–√2–√4=3+3–√4150△ABC AC △AMC AM Rt △AMN MN =AM ⋅sin ∠MAN △ABC ∠BAC =40°，∠ABC =90°，BC =100AC ==100100sin45°2–√△AMC ∠MAC =75°，∠MCA =60°∠AMC =45°=AM sin ∠ACM ACsin ∠AMC=AM sin60°1002–√sin45°AM =1003–√Rt △AMN MN =AM ⋅sin ∠MAN =100×sin60°=150m3–√a =e (x)=2+2(x −1)+2ex f ′e x e x (x)=2x +2ex =2x (+e)f ′e x e x x >0(x)>0f ′x <0(x)<0f ′f(x)x =0f(0)=−2(x)=2x (+a)f ′x（2）依题意，．当时，，只有个零点即，不符合题意；当时，，当时，为减函数，当时，，为增函数，，而，∴当时，，使．当时，，．取，，∴函数有个零点；当时，，令得或．①当，即，当变化时，的变化情况如下表：+-+↗极大值↘极小值↗，∴函数至多有个零点，不符合题意；②当，即时，在上单调递增，至多有个零点，不符合题意；③当，即时，当变化时，的变化情况如下表：+-+↗极大值↘极小值↗当时，，∴函数至多有个零点，不符合题意．综上所述，实数的取值范围是．【考点】利用导数研究函数的极值函数的零点【解析】本题考查利用导数研究函数的极值、函数的零点．【解答】解：（1）依题意，当时，，故．故当时，；当时，，故函数在处取极小值，即，无极大值．（2）依题意，．当时，，只有个零点即，不符合题意；当时，，当时，为减函数，当时，，为增函数，，(x)=2x (+a)f ′e x a =0f(x)=2(x −1)e x 1x =1a >0+a >0e x x ∈(−∞,0)(x)<0，f(x)f ′x ∈(0,+∞)(x)＞0f ′f(x)f(x =f(0)=−2)极小值f(1)=a >0x >0∃∈(0,1)x 0f ()=0x 0x <0<1，∴(x −1)>x −1e x e r ∴f(x)=2(x −1)+a >2(x −1)+a =a +2x −2e x x 2x 2x 2=<0x 1−1−1+2a −−−−−√a ∴f ()<a +2−2=0，f ()⋅f(0)<0x 1x 21x 1x 12a <0(x)=2x (+a)f ′e x (x)=0f ′x =0x =ln(−a)ln(−a)>0a <−1x f(x)，(x)f ′x (−∞,0)0(0,ln(−a))ln(−a)(ln(−a),+∞)(x)f ′00f(x)∴f(x =f(0)=−2)极大值f(x)1ln(−a)=0a =−1f(x)(−∞,+∞)∴f(x)1ln(−a)<0a ∈(−1,0)x f(x),(x)f ′x (−∞,ln(−a))ln(−a)(ln(−a),0)0(0,+∞)(x)f ′0f(x)x <0f(x)=2(x −1)+a <0，f(0)=−2e x x 2f(x)1a (0,+∞)a =e (x)=2+2(x −1)+2ex f ′e x e x (x)=2x +2ex =2x (+e)f ′e x e x x >0(x)>0f ′x <0(x)<0f ′f(x)x =0f(0)=−2(x)=2x (+a)f ′e x a =0f(x)=2(x −1)e x 1x =1a >0+a >0e x x ∈(−∞,0)(x)<0，f(x)f ′x ∈(0,+∞)(x)＞0f ′f(x)f(x =f(0)=−2)极小值f(1)=a >0∃∈(0,1)f ()=0而，∴当时，，使．当时，，．取，，∴函数有个零点；当时，，令得或．①当，即，当变化时，的变化情况如下表：+-+↗极大值↘极小值↗，∴函数至多有个零点，不符合题意；②当，即时，在上单调递增，至多有个零点，不符合题意；③当，即时，当变化时，的变化情况如下表：+-+↗极大值↘极小值↗当时，，∴函数至多有个零点，不符合题意．综上所述，实数的取值范围是．f(1)=a >0x >0∃∈(0,1)x 0f ()=0x 0x <0<1，∴(x −1)>x −1e x e r ∴f(x)=2(x −1)+a >2(x −1)+a =a +2x −2e x x 2x 2x 2=<0x 1−1−1+2a −−−−−√a ∴f ()<a +2−2=0，f ()⋅f(0)<0x 1x 21x 1x 12a <0(x)=2x (+a)f ′e x (x)=0f ′x =0x =ln(−a)ln(−a)>0a <−1x f(x)，(x)f ′x (−∞,0)0(0,ln(−a))ln(−a)(ln(−a),+∞)(x)f ′00f(x)∴f(x =f(0)=−2)极大值f(x)1ln(−a)=0a =−1f(x)(−∞,+∞)∴f(x)1ln(−a)<0a ∈(−1,0)x f(x),(x)f ′x (−∞,ln(−a))ln(−a)(ln(−a),0)0(0,+∞)(x)f ′00f(x)x <0f(x)=2(x −1)+a <0，f(0)=−2e x x 2f(x)1a (0,+∞)。

2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则( )A.B.C.D.2. 平行四边形中，，在上投影的数量分别为，，则在上的投影的取值范围是 A.B.C.D.3. 已知向量为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为（）A.B.C.D.4. 如图所示，在中，，点在边上，点在线段上，若，则( )z (2,−3)=z¯¯¯2−3i2+3i−2−3i−2+3iABCD AC −→−BD −→−AB −→−3−1BD −→−BC −→−()(−1,+∞)(−1,3)(0,+∞)(0,3)，，a →b →c →||=||=2⋅=1a →b →a →b →c →−2c →a →−c →b →π3||c →+13–√3–√1+17–√△ABC BC =30D BC E AD =+CE −→−16CA −→−12CB −→−BD =A.B.C.D.5. 中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定6. 已知，则的值为( )A.B.C.D.7. 已知，，，则（）A.B.C.D.10121518△ABC A B C a b c c <b cos A △ABC sin(x +)=π445sin 2x 1825725−725−1625x ∈(0,)π2y ∈(0,)π2=cos x −sin x cos x +sin x sin y1+cos y x +y =π2x +y =π4x +2y =π42x +y =π28. 在中，，，是的垂心，是的外心，则 A.B.C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 下列关于平面向量的说法中正确的是( )A.已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得B.已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是C.若且，则D.若点为的重心，则10. 已知复数，是的共轭复数，则（）A.B.C.复数在复平面内所对应的点在第一象限D. 11. 若函数＝的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法中正确的是（）A. 的图象关于＝对称B.当，]时，的值域为[-，]C. 在区间（，上单调递减△ABC AB =6AC =8H △ABC O △ABC ⋅=OH −→−BC −→−()−14−2828a →b →//a →b →λ=λa →b→=(1,2)a →=(1,1)b →a →+λa →b →λ(−,+∞)53⋅=⋅a →c →b →c →≠c →0→=a →b→G △ABC ++=GA −→−GB −→−GC −→−0→z =2+1−i 1+iz ¯¯¯z =+i z ¯¯¯z 3545z =3z ¯¯¯z¯¯¯zz ≥4z¯¯¯f(x)sin 2x g(x)g(x)x x ∈[0g(x)g(x)ππ)x ∈[0,π]g(x)D.当时，方程＝有个根12. 在中，，，分别是边，，的中点，是其重心，下列说法正确的是( )A.对于任意一点，都有B.C.若，则是在上的投影向量D.若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 若复数是纯虚数，则________.14. 已知向量，，若，则向量与的夹角为________．15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为________．16. 如图，在中，，，，，则________．x ∈[0,π]g(x)03△ABC D E F BC AC AB O P ++=3PA −→−PB −→−PC −→−PO −→−++=DA −→−EB −→−FC −→−0→+=AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−3–√AD −→−||AD −→−BD −→−BA −→−BC −→−P AD =λ+μBP −→−BA −→−BC −→−λμ18(a ∈R)3−ai 1−2i|2a +i|==(−1,3)a =(1,t)b (−2)⊥a b a a b A B C D CD =450m ∠ADB =135∘∠BDC =∠DCA =15∘∠ACB =120∘AB m △ABC 3BD =DC AB =3AC =2∠BAC =60∘⋅=AD −→−BC −→−四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.已知复数在复平面内对应的点在第二象限，，且，求；已知复数为纯虚数，求实数的值．18. 已知向量且，则实数.19. 已知为坐标原点，，，若（，且为常数）求函数的最小正周期和单调递减区间；若时，函数的最小值为，求实数的值． 20. 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，为图象与轴的交点，且为正三角形．写出函数的值域并求的值；若，且，求的值．21. 在中，，，分别是角，，的对边，已知．若，求的大小；若，的面积，且，求，． 22. 已知函数.求最小正周期及对称中心；在锐角中，，，分别为角，，的对边，且，求面积的取值范围．(1)z |z|=2z +=−2z¯¯¯z (2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i m =(1，x)，=(−2，4)，a →b →(−)⊥a →b →b →x =________O =(2x,1)OA −→−cos 2=(1,sin 2x +a)OB −→−3–√f (x)=⋅OA −→−OB −→−x ∈R a ∈R a (1)f (x)(2)x ∈[0,]π2f (x)2a f(x)=2sin(ωx +)(ω>0)3–√π3A B C x △ABC (1)f(x)ω(2)f()=x 083–√5∈(−,)x 010323f(+2)x 0△ABC a b c A B C 3(+)=b 2c 23+2bc a 2(1)sin B =cos C 2–√tan C (2)a =2△ABC S =2–√2b >c b c f (x)=cos 2x +sin(2x −)π6(1)f (x)(2)△ABC a b c A B C f (A)=,b =412△ABC参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】B【考点】共轭复数【解析】无【解答】解：依题意可知，则．故选．2.【答案】A【考点】向量的投影【解析】首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算和数量积求出结果．【解答】解：以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，z =2−3i =2+3i z¯¯¯B A AB x A AB y B(a,0)C(3,b)D(a −1,b)设，，，则，解得，所以，，，，设，的夹角为，过点作于点，则在上的投影：，令，则，令，则在上单调递增，故，故，则在上的投影的取值范围是.故选.3.【答案】A【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】B(a,0)C(3,b)D(a −1,b)3−(a −1)=a a =2D(1,b)C(3,b)=(1,b)BC −→−=(−1,b)BD −→−BD −→−BC −→−θD DM ⊥BC M BD −→−BC −→−||=||⋅cos θBM −→−BD −→−=⋅BC −→−BD −→−||BC −→−==−−1b 2+1b 2−−−−−√+1b 2−−−−−√2+1b 2−−−−−√=t(t >1)+1b 2−−−−−√||=t −BM −→−2t f(t)=t −2t f(t)(1,+∞)f(t)>f(1)=−1f(t)>−1BD −→−BC −→−(−1,+∞)A此题暂无解析【解答】解：，，，如图，为的中点，连结．设，，则为等边三角形，∵满足与的夹角为，，∵为等边三角形，，四点共圆，∴点的轨迹为圆的一段优弧，当经过圆的圆心时，取得最大值，在中，根据正弦定理得，即，解得,故圆的半径为，，四点共圆，，，，即的最大值为．故选．∵||=||=2⋅=1a →b →a →b →∴cos , ==a →b →⋅a →b →||||a →b →12 , =a →b →π3A OD AB =OA −→−a →=，=OB −→−b →OC −→−c →=2OD −→−a→∴△AOB c →−2c →a →−c →b →π3∴∠BCD =π3△AOB ∴∠BAD =2π3∵∠BCD =，∴A ，B ，C ，D π3C I OC −→−I ||OC −→−△ABD =2R BD sin ∠BAD 2R ==23–√sin 60∘R =1I 1∵∠BID =2∠BCD =,∠AOB =2π3π3∴O ，B ，I ，D ∴∠DIO =∠DBO =π2∴DI ⊥OI ，OI ===O −D D 2I 2−−−−−−−−−√−2212−−−−−−√3–√∴||=|OI|+|IC|=+1OC −→−3–√||c →+13–√A4.【答案】B【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量在几何中的应用【解析】根据图形可设，从而可以得出，根据．D 三点共线即可得出，解出，从而可求出，进而求出【解答】解：由题意可设，则.由，，三点共线，得，解得：，所以，则.故选.5.【答案】A【考点】三角形的形状判断【解析】=λ(0<λ≤1)CD −→−CB −→−=+CE −→−16CA −→−12λCD −→−A,E,+=11612λλ=35CD =18BD =12=λ(0<λ≤1)CD −→−CB −→−=+=+CE −→−16CA −→−12CB −→−16CA −→−12λCD −→−A E D +=11612λλ=35CD =30×=1835BD =30−18=12B sin C <sin B cos A sin A cos B <0依题意，可得，利用两角和的正弦整理得，从而可判断为钝角．【解答】解：中，∵，∴，即，∴，，∴，为钝角，∴为钝角三角形，故选：．6.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式二倍角的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴两边平方得，解得：，则.故选.7.【答案】D【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式二倍角的正切公式【解析】sin C <sin B cos A sin A cos B <0B △ABC c <b cos A sin C <sin B cos A sin(A +B)=sin A cos B +sin B cos A <sin B cos A sin A cos B <0sin A >0cos B <0B △ABC A sin(x +)=(sin x +cos x)=π42–√245(1+2sin x cos x)=1216252sin x cos x =725sin 2x =2sin x cos x =725B【解答】解：，，所以，根据已知范围可得，所以.故选.8.【答案】A【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】【解答】解：如图，为垂心，则，∴①,∵②，由①②得：，同理可得.若，则同时垂直和，∵不成立，∴，=cos x −sin x cos x +sin x 1−tan x 1+tan x ==tan(−x)tan −tan x π4tan +tan x π4π4=sin y 1+cos y 2sin cos y 2y 21+2−1(cos )y 22==tan 2sin cos y 2y 22(cos )y 22y 2tan(−x)=tan()π4y 2−x =π4y 22x +y =π2D H ⋅=0AH −→−BC −→−⋅=(−)⋅=0AH −→−BC −→−OH −→−OA −→−BC −→−(+)⋅=0OB −→−OC −→−BC −→−−(−−−)⋅=0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−BC −→−(−−−)⋅=0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−AC −→−−−−≠0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−BC −→−AC −→−//BC −→−AC −→−−−−=0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−++−→−−→−−→−−→−∴.∵为的外心，∴设，则.故选.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,D【考点】三角形五心向量的共线定理平面向量数量积的性质及其运算律数量积的坐标表达式数量积表示两个向量的夹角【解析】由向量共线定理可判断选项；由向量夹角的的坐标表示可判断选项；由数量积的运算性质可判断选项；由三角形的重心性质即可判断选项．【解答】解：，由向量共线定理知正确；，，因为与的夹角为锐角，所以，解得，当与共线时，，解得，此时，此时与夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故错误；，若，则，=++OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−O △ABC OA=OB =OC =r ⋅=⋅+(+)⋅OH −→−BC −→−OA −→−BC −→−OB −→−OC −→−BC−→−=⋅=⋅(−)OA −→−BC −→−OA −→−AC −→−AB −→−=⋅−⋅OA −→−AC −→−OA −→−AB −→−=8r ⋅(−cos ∠OAC)−6r ⋅(−cos ∠OAB)=−8×4+6×3=−14A A B C D A A B +λ=(1,2)+λ(1,1)=(1+λ,2+λ)a ¯¯¯b ¯¯a →+λa→b→⋅(+λ)=1+λ+2(2+λ)=5+3λ>0a →a →b →λ>−53a →+λa →b →2+λ=2(1+λ)λ=0+λ=(1,2)a →b →a →+λa →b →0λ(−,0)∪(0,+∞)53B C ⋅=⋅a →c →b →c →⋅(−)=0c →a →b →→=→→→因为，则或与垂直，故错误；，若点为的重心，如图，延长交于，则为的中点，所以，所以，故正确．故选.10.【答案】A,C,D【考点】复数代数形式的乘除运算复数的运算复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的混合运算共轭复数【解析】无【解答】解：因为，所以，则，，则，，正确，错误．故选．11.【答案】A,C【考点】≠c →0→−=a →b →0→c →−a →b →C D G △ABC AG BC M M BC =2=2××(+)=+AG −→−GM −→−12GB −→−GC −→−GB −→−GC −→−++=GA −→−GB −→−GC −→−0→D AD z =2+=2+=2−i1−i 1+i (1−i)22=2+i z ¯¯¯==z ¯¯¯z 2+i 2−i 3+4i 5z =(2−i)(2+i)=4−=5z ¯¯¯i2A C D B ABD函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】先由已知求出函数的解析式，再根据选项一一验证答案的正确性．【解答】由已知可得函数＝）]＝），选项：因为（）＝＝，选项：当时，，则），所以错误，选项：当时，，由正弦函数的单调递减区间可得：正确，选项：令＝，解得＝，又，共两个根，12.【答案】A,B,C,D【考点】向量在几何中的应用向量的投影向量的共线定理向量加减混合运算及其几何意义向量的三角形法则【解析】对选项，由重心性质可判断正确；对选项，利用平面向量的加减法即可判断正确；对选项，首先根据已知得到为的平分线，即，再利用平面向量的投影概念即可判断正确．对选项，首先根据，，三点共线，设，，再根据已知得到从而得到，即可判断选项正确．【解答】g(x)g(x)sin[2(x−sin(8x−A g sin(3×1B x2x−sin(3x−B C x 3x−C D 2x−kπx x ∈[7,π]A A B B C AD ∠BAC AD ⊥BC C D A P D =t +(1−t)BP −→−BA −→−BD −→−0≤t ≤1 λ=t,μ=,1−t 2y =λμ=t ()=−+1−t 212(t −)12218D解：如图所示，对选项，由重心性质，，即，故正确；对选项，，故正确；对选项，，，分别表示平行于，，的单位向量，由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量．因为，所以为的平分线.又因为为的中线，所以，如图所示，在的投影为，所以是在上的投影向量，故正确．对选项，如图所示，因为在上，即，，三点共线.设，.又因为，所以.因为，则 .令，A =(++)PO −→−13PA −→−PB −→−PC −→−++=3PA −→−PB −→−PC −→−PO −→−A B ++DA −→−EB −→−FC −→−=−(+)−(+)−(+)12AB −→−AC −→−12BA −→−BC −→−12CA −→−CB −→−=−−−−−−12AB −→−12AC −→−12BA −→−12BC −→−12CA −→−12CB −→−=−−+−++=12AB −→−12AC −→−12AB −→−12BC −→−12AC −→−12BC −→−0→B C AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−AD −→−||AD −→−AB −→−AC −→−AD −→−+AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−∠BAC +=AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−3–√AD −→−||AD −→−AD ∠BAC AD BC AD ⊥BC BA −→−BC −→−||cos B =||×=||BA −→−BA −→−||BD −→−||BA −→−BD −→−BD −→−BA −→−BC −→−C D P AD A P D =t +(1−t)BP −→−BA −→−BD −→−0≤t ≤1=BD −→−12BC −→−=t +BP −→−BA −→−1−t 2BC −→−=λ+μBP −→−BA −→−BC −→− λ=t,μ=,1−t 20≤t ≤1y =λμ=t ×=−+1−t 212(t −)12218=11当时，取得最大值为，故正确．故选．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】复数的模复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为为纯虚数，则，，即，所以故答案为：.14.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】利用向量的坐标运算，通过向量垂直，然后求解，即可求解向量的夹角．【解答】向量，，．，，解得所以向量，，t =12λμ18D ABCD 10−−√=3−ai 1−2i (3−ai)(1+2i)5=3+2a +(6−a)i 53+2a =06−a ≠0a =−32|2a +i|=|−3+i|=.10−−√10−−√π4t =(−1,3)a =(1,t)b −2=(−3,3−2t)a b (−2)⊥a b a 3+3(3−2t)=0t =(2)=(−1,3)a =(1,2)b θ==–√则向量与的夹角为，．所以：向量与的夹角为：．15.【答案】【考点】解三角形正弦定理余弦定理【解析】【解答】解：由题知，在中，，得，在中，，得，在中，，即 .故答案为：.16.【答案】【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】无【解答】解：由图可得，，，a b θcos θ==−1+6∗10−−√5–√2–√2a b π44505–√△ADC ∠ADC =150∘AD =DC =450=a △DCB =BD sin 135∘450sin 30∘BD =450=a 2–√2–√△ADB A =+2−2cos =5B 2a 2a 22–√a 2135∘a 2AB =a =4505–√5–√4505–√−174=−BC −→−AC −→−AB −→−=+=+AD −→−AB −→−14BC −→−34AB −→−14AC −→−∴⋅AD −→−BC−→−=(+)⋅(−)34AB −→−14AC −→−AC −→−AB −→−+⋅−22.，，，．故答案为：．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：设，由题意得解得，．复数在复平面内对应的点在第二象限，．．．由题意得解得．【考点】复数的模复数代数形式的混合运算复数的代数表示法及其几何意义复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由题意得解得，．复数在复平面内对应的点在第二象限，．．=+⋅−14AC −→−212AC −→−AB −→−34AB −→−2∵AB =3AC =2∠BAC =60∘∴⋅=×4+×2×3×−×9=−AD −→−BC −→−14121234174−174(1)z =a +bi(a,b ∈R){+=4，a 2b 22a =−2，a =−1b =±3–√∵z ∴b =3–√∴z =−1+i 3–√(2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i =(−m −6)+(−2m −3)i m 2m 2{−m −6=0，m 2−2m −3≠0，m 2m =−2(1)z =a +bi(a,b ∈R){+=4，a 2b 22a =−2，a =−1b =±3–√∵z ∴b =3–√∴z =−1+i 3–√(2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i =(−m −6)+(−2m −3)i22．由题意得解得．18.【答案】【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，由得，即解得.故答案为：.19.【答案】解：∵，，．∴，∴的最小正周期为，令，得，∴的单调递减区间为．当时，，1−i =(−m −6)+(−2m −3)i m 2m 2{−m −6=0，m 2−2m −3≠0，m 2m =−2112−=(3，x −4)a →b →(−)⊥a →b →b→(−)⋅=0a →b →b →−6+4(x−4)=0x =112112(1)=(2x,1)OA −→−cos 2=(1,sin 2x +a)OB −→−3–√f(x)=⋅OA −→−OB −→−f(x)=2x +sin 2x +a cos 23–√=cos 2x +sin 2x +a +13–√=2sin(2x +)+a +1π6f(x)=π2π22kπ+≤2x +≤2kπ+(k ∈Z)π2π63π2kπ+≤x ≤kπ+(k ∈Z)π62π3f(x)[kπ+,kπ+](k ∈Z)π62π3(2)x ∈[0,]π22x +∈[,]π6π67π6x +=7π∴，即时，有最小值为，故．【考点】三角函数中的恒等变换应用平面向量数量积的运算正弦函数的周期性正弦函数的单调性三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，．∴，∴的最小正周期为，令，得，∴的单调递减区间为．当时，，∴，即时，有最小值为，故．20.【答案】解：根据函数的图象，可得函数的值域为．∵为正三角形，∴,∴,∴.2x +=π67π6x =π2f(x)a a=2(1)=(2x,1)OA −→−cos 2=(1,sin 2x +a)OB −→−3–√f(x)=⋅OA −→−OB −→−f(x)=2x +sin 2x +a cos 23–√=cos 2x +sin 2x +a +13–√=2sin(2x +)+a +1π6f(x)=π2π22kπ+≤2x +≤2kπ+(k ∈Z)π2π63π2kπ+≤x ≤kπ+(k ∈Z)π62π3f(x)[kπ+,kπ+](k∈Z)π62π3(2)x ∈[0,]π22x +∈[,]π6π67π62x +=π67π6x =π2f(x)a a=2(1)f(x)=2sin(ωx +)3–√π3f(x)[−2,2]3–√3–√△ABC BC ==4=T 23–√sin 60∘12T =8=2πωω=π4()=2sin(+)=8–√∵，∴．∵,∴,∴,∴，∴.【考点】诱导公式由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式同角三角函数基本关系的运用【解析】（1）由函数的解析式求得函数的值域．（3）由，求得．再利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得的值．【解答】解：根据函数的图象，可得函数的值域为．∵为正三角形，∴,∴,∴.∵，∴．∵,∴,∴,∴，(2)f()=2sin(+)=x 03–√π4x 0π383–√5sin(+)=π4x 0π345∈(−,)x 010323+∈(−,)π4x 0π3π2π2cos(+)>0π4x 0π3cos(+)==π4x 0π31−(+)sin 2π4x 0π3−−−−−−−−−−−−−−−√35f(+2)=2sin[(+2)+]x 03–√π4x 0π3=2cos(+)=2×=3–√π4x 0π33–√3563–√5f()=x 083–√5sin(+)=π4x 0π345f(+6)x 0(1)f(x)=2sin(ωx +)3–√π3f(x)[−2,2]3–√3–√△ABC BC ==4=T 23–√sin 60∘12T =8=2πωω=π4(2)f()=2sin(+)=x 03–√π4x 0π383–√5sin(+)=π4x 0π345∈(−,)x 010323+∈(−,)π4x 0π3π2π2cos(+)>0π4x 0π3cos(+)==π4x 0π31−(+)sin 2π4x 0π3−−−−−−−−−−−−−−−√35(+2)=2sin[(+2)+]ππ∴.21.【答案】解：∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴.∵的面积，∴，∴.①∵，∴由余弦定理可得，∴.②∵，∴联立①②可得，．【考点】余弦定理三角函数的恒等变换及化简求值正弦定理【解析】Ⅰ由＝，利用余弦定理，可得，根据，即可求的大小；Ⅱ利用面积及余弦定理，可得、的两个方程，即可求得结论．【解答】解：∵，∴，f(+2)=2sin[(+2)+]x 03–√π4x 0π3=2cos(+)=2×=3–√π4x 0π33–√3563–√5(1)3(+)=b 2c 23+2bc a 2=+−b 2c 2a 22bc 13cos A =13sin A =22–√3sin B =cos C 2–√sin(A +C)=cos C 2–√cos C +sin C =cos C 22–√3132–√cos C =sin C 2–√313tan C =2–√(2)ABC S =2–√2bc sin A =122–√2bc =32a =24=+−2bc ×b 2c 213+=b 2c 25b >c b =32–√2c =2–√2()3(+)b 2c 23+2bc a 2cos A sin B =cos C 2–√tan C ()b c (1)3(+)=b 2c 23+2bc a 2=+−b 2c 2a 22bc 13A =1∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴.∵的面积，∴，∴.①∵，∴由余弦定理可得，∴.②∵，∴联立①②可得，．22.【答案】解：，，则函数最小正周期为，已知对称中心为，解得，可得函数的对称中心为.已知，已知，则，cos A =13sin A =22–√3sin B =cos C 2–√sin(A +C)=cos C 2–√cos C +sin C =cos C 22–√3132–√cos C =sin C 2–√313tan C =2–√(2)ABC S =2–√2bc sin A =122–√2bc =32a =24=+−2bc ×b 2c 213+=b 2c 25b >c b =32–√2c =2–√2(1)f(x)=cos 2x +sin 2x cos −sin cos 2x π6π6=cos 2x +sin 2x −cos 2x 3–√212=sin 2x +cos 2x 3–√212=sin(2x +)π6T ===π2πω2π22x +=kπ,k ∈Z π6x =−kπ2π12(−,0)kπ2π12(2)f(A)=sin(2A +)=π6120<A <π2<2A +<π6π67π6A +=5π即，解得，已知，根据正弦定理可得，即，则，已知该三角形为锐角三角形，即.又，，则三角形面积的取值范围为.【考点】正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值三角函数的周期性及其求法【解析】（1）对函数进行整理，进而进行求解即可.（2）根据题目所给信息求出角的度数，利用正弦定理求出，再根据三角形面积公式结合题目进行求解即可.【解答】解：，，则函数最小正周期为，已知对称中心为，解得，可得函数的对称中心为.已知，2A +=π65π6A =π3b =4=b sin Bc sin C c ===+24sin C sin B 4sin(+B)π3sin B 23–√tan B=bc sin A =(+2)=+2S △ABC 123–√23–√tan B 6tan B3–√B <π2π−(+B)∈(0，)π3π2∴B ∈(，)π6π2(2,8)3–√3–√A c (1)f(x)=cos 2x +sin 2x cos−sin cos 2x π6π6=cos 2x +sin 2x −cos 2x 3–√212=sin 2x +cos 2x 3–√212=sin(2x +)π6T ===π2πω2π22x +=kπ,k ∈Z π6x =−kπ2π12(−,0)kπ2π12(2)f(A)=sin(2A +)=π6122A +<7π已知，则，即，解得，已知，根据正弦定理可得，即，则，已知该三角形为锐角三角形，即.又，，则三角形面积的取值范围为.0<A <π2<2A +<π6π67π62A +=π65π6A =π3b =4=b sin B c sin C c ===+24sin C sin B 4sin(+B)π3sin B 23–√tan B =bc sin A =(+2)=+2S △ABC 123–√23–√tan B 6tan B 3–√B <π2π−(+B)∈(0，)π3π2∴B ∈(，)π6π2(2,8)3–√3–√。

人教版高一数学第二学期期中考试试卷(含参考答案)

人教版高一数学第二学期期中考试试卷（试卷共100分，时间120分钟）一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)。

1．设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x ＋3)<0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为（）。

A ．{x |－3<x <－1}B ．{x |－3<x <0}C ．{x |－1≤x ＜0}D ．{x |x <－3}2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，△B ＝45°，S △ABC ＝2，则c 等于（）。

A ．2B ．22C ．4D ．423．若向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，1)，c ＝(4，2)，则c ＝（）。

A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b 4．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝（）。

A ．11B ．10C ．7D ．35．已知函数()14x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（）。

A ．(1，5)B ．(1，4)C ．(0，4)D ．(4，0)6. 为了得到函数y ＝sin(x ＋2)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点（）。

A ．向左平行移动2个单位长度B ．向右平行移动2个单位长度C ．向上平行移动2个单位长度D ．向下平行移动2个单位长度 7. 在等比数列{a n }中，a 2 017＝8a 2 014，则公比q 的值为（）。

A ．2B ．3C ．4D ．88．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝（）。

A ．512 B ．1213 C ．±1213 D ．－12139．已知x ，y 满足241y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x ＋y 的最大值是（）。

2022-2023学年人教A版(2019)高一下数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 复数在复平面内对应的点在虚轴上，则等于（）A.B.C.D.2. 已知向量，，，且，则实数的值为( )A.B.C.D.3. 已知二次函数，则“”是“函数在单调递增”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 在中，若，，则形状为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形z =(a ∈R)1+ai1+ia 2−11−2=(2,1)a →=(0,m)b →=(2,4)c →(−)⊥a →b →c →m 4321f(x)=+bx +1x 2b >0f(x)(0,+∞)△ABC 3b =2a sin B 3–√cos A =cos C △ABCD.等腰直角三角形5. 的值是( )A.B.C.D.6. 要得到的图象，只需将的图象上的所有点( )A.向左平移B.向右平移C.向左平移D.向右平移7. 已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（　　）A.重心B.垂心C.外心D.内心8. 已知函数的图象与轴相切，则（）A.B.C.cos 15∘−6–√2–√2+6–√2–√2−6–√2–√4+6–√2–√4y =sin x 2y =cos(−)x 2π4π4π4π2π2O A B C P =+λ(+)OP →OA →AB →||cos B AB →AC →||cos CAC →λ∈(0,+∞)P △ABC f (x)=+ax −1e x x a =−1012D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，．其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A.①B.②C.③D.④10. 若复数，则（）A.B.C.的共轭复数D.11. 平行六面体中，各棱长均为，设，则（）A.当时，B.的取值范围为C.变大时，平行六面体的体积也越来越大D.变化时，和总垂直12. 对于函数下列结论正确的是( )A.是最小正周期为的奇函数1△ABC A B C a b c b =3c =4B=30∘a =5b =8A =30∘c =2b =3–√B =60∘c =12b =12C =120∘z =−i 3–√|z|=2|z|=4z =+i z ¯¯¯3–√=4−2iz 23–√ABCD −A 1B 1C 1D 12∠AB =∠AD =∠DAB =θA 1A 1θ=π2A =2C 13–√θ(0,)2π3θθAC 1BD f (x)={sin x,sin x ≤cos x,cos x,sin x >cos x,f (x)2π=+kππB.图象的对称轴为直线，C.仅在区间，上单调递减D.值域为卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 若，则_________．14. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则________.15. 年月日，在庆祝新中国成立周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析，一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西的方向上，分钟后第二次观测到该飞机在北偏东的方向上，仰角为，则直升机飞行的高度为______千米．（结果保留根号）16. 已知复数，，则的虚部最大值为________.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 已知复数.求复数的模；若复数是方程的一个根，求实数，的值.18. 已知向量满足，，且，的夹角为 . 求；f (x)x =+kππ4k ∈Zf (x)[+2kπ,π+2kπ]π4k ∈Z f (x)[−1,]2–√2cos(α+)=π1213sin(2α+)=2π3f (x)R x >0f (x)=2−17x 2f (f ())=7–√201910170722–√60∘175∘30∘=cos θ−i z 1=sin θ+i z 2⋅z 1z 2z =−(5−9i)12+2i 14(1)z (2)z 2+mx +n =0x 2m n ,a →b →||=2a →||=1b →a →b →60∘(1)|−|a →b →→求在上的投影向量；若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．19. 已知．求的单调减区间；在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求面积的最大值．20. 在中，，，分别是角，，的对边，且．求；若，求的面积．21. 已知向量，其中，，求：，；与夹角的余弦值．22. 已知函数的部分图象如图所示．（1）求的值；（2）求在上的最大值和最小值；（3）不画图，说明函数＝的图象可由＝的图象经过怎样变化得到．(2)b →a →(3)2t +7a →b →+t a →b →t f(x)=sin x cos x −(x +)cos 2π4(1)f(x)(2)△ABC A B C a b c f()=0A2a =1△ABC △ABC abc A B C (3a +c)cos B +b cos C =0(1)sin B (2)a =1，b =22–√△ABC =3−2，=4+a →e 1→e 2→b →e 1→e 2→=(1,0)e 1→=(0,1)e 2→(1)⋅a →b →|+|a →b →(2)a →b →f(x)=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<)π2f(0)f(x)[−,]π3π4y f(x)y sin x参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：，∵在复平面内对应的点在虚轴上，∴且，解得.故选．2.【答案】C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的运算平面向量的坐标运算【解析】先求出，再利用，得到z ===1+ai 1+i (1+ai)(1−i)(1+i)(1−i)(1+a)+(a −1)i 2z (,)1+a 2a −12=01+a 2≠0a −12a =−1B −=(2,1−m)a →b →(−)⊥a →b →c →−)⋅=2×2+4(1−m)=0→，求解即可.【解答】解：∵，，∴.又∵，，∴，解得：.故选.3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】本题考查充分必要条件的判断，根据二次函数的性质知若在递增，则，即可判断．【解答】解：，开口向上抛物线，对称轴，若，则在递增，若在递增得．是在递增的充分不必要条件．故选．4.【答案】B【考点】三角形的形状判断正弦定理三角函数值的符号【解析】(−)⋅=2×2+4(1−m)=0a →b →c →=(2,1)a →=(0,m)b →−=(2,1−m)a →b →=(2,4)c →(−)⊥a →b →c →(−)⋅=2×2+4(1−m)=0a →b →c →m =2C f(x)(0,+∞)b ≥0f(x)=+bx +1x 2x =−b 2∴b >0f(x)(0,+∞)f(x)(0,+∞)b ≥0∴b >0f(x)(0,+∞)B【解答】解：由正弦定理知：，，则可化为： .因为，所以，所以，可得或，又因为，所以，所以，，，所以为等边三角形．故选 . 5.【答案】D【考点】两角和与差的余弦公式三角函数的化简求值【解析】，利用两角差的余弦可求得答案．【解答】解：∵．故选．6.【答案】D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】b =2R sin B a =2R sin A 3b =2a sin B 3–√3×2R sin B =2×2R sin A sin B3–√0<B <180∘sin θ≠0sin A =3–√2A =60∘{120%^{\circ}}cos A =cos C A = C A =60∘C =60∘B =−−=180∘60∘60∘60∘△ABC B cos =cos(−)15∘45∘30∘cos =cos(−)15∘45∘30∘=cos cos +sin sin 45∘30∘45∘30∘=×+×2–√23–√22–√212=+6–√2–√4D =sin=cos(−)xx π由于函数，再根据的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数，故只需将函数的图象向右平移可得函数的图象，故选7.【答案】B【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】可先根据数量积为零得出与，垂直，可得点在的高线上，从而得到结论．【解答】由，，又∵＝，∴∴点在的高线上，即的轨迹过的垂心8.【答案】A【考点】三角函数的最值【解析】此题暂无解析y =sin =cos(−)x 2x 2π2y =A sin(ωx +φ)y =sin =cos(−)=cos(−)x 2x 2π2x −π22π4y =cos(−)x 2π4π2y =sin x2D.BC →λ(+)AB →||cos BAB →AC →||cos CAC →P BC =+λ(+)⇒−=λ(+)⇒OP →OA →AB →||cos BAB →AC →||cos CAC →OP →OA →AB →||cos BAB →AC →||cos CAC →=λ(+)AP →AB→||cos B AB →AC→||cos CAC →⋅=λ(+)⋅=−||+||BC →AP →AB →||cos B AB →AC →||cos CAC →BC →BC →BC →0⊥AP →BC→P BC P △ABC【解答】此题暂无解答二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,B【考点】解三角形正弦定理【解析】①根据已知利用正弦定理得到，可知满足条件的角有个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解．②根据已知利用正弦定理得到，可知满足条件的角有个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解．③根据已知利用正弦定理得到，即，可知三角形有唯一解．④由，可得,则，即三角形有唯一解.【解答】解：三角形中，①由，，，可得，∴，故满足条件的角有个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解；②由，，，可得，∴，故满足条件的角有个，一个为锐角，另一个为钝角，三角形有两个解；③由，，，可得，∴，∴，三角形有唯一解；④∵，，∴,∴，不能组成三角形，三角形无解．故满足三角形有两解的有①②.故选.10.【答案】A,Csin C =>sin 2330∘C 2sin B =>sin 4530∘C 2sin C =1C =π2c =b =12B =C =60∘A =60∘ABC b =3c =4B =30∘=3sin 30∘4sin Csin C =>sin 2330∘C 2a =5b =8A =30∘=5sin 30∘8sin Bsin B =>sin 4530∘C 2c =2b =3–√B =60∘=2sin C 3–√sin 60∘sin C =1C =π2c =b =12C =120∘B =C =120∘B +C =240∘AB【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算共轭复数【解析】因为，所 .【解答】解：因为，所以 .故选 .11.【答案】A,B,D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱的结构特征二倍角的余弦公式正弦定理用向量证明垂直【解析】【解答】解：已知当时，为正方体，此时，∵，∴，故选项正确；记在面内的射影为，∵，∴在的平分线上，又，∴的平分线即菱形的对角线，故在上，由三余弦定理，得，z =−i 3–√|z|==2,=+i,=2−2i+()3–√2(−1)2−−−−−−−−−−−−√z ¯¯¯3–√z 23–√z =−i 3–√|z|==2,+()3–√2(−1)2−−−−−−−−−−−−√=+i,=2−2i z ¯¯¯3–√z 23–√AC θ=π2ABCD −A 1B 1C 1D 1A =C 1A +C C 2C 21−−−−−−−−−−√A =A +B =+=8C 2B 2C 22222A ==2C 18+22−−−−−√3–√A A 1ABCD O ∠AB =∠AD A 1A 1O ∠BAD AB =AD ∠BAD ABCD AC O AC cos ∠AB =cos ∠AO ⋅cos ∠CAB A 1A 1θ=cos ∠AO ⋅cos θ即，，令，，则，故，则，故，故正确；∵,令,,当时，,当时，,此时变大时，平行六面体的体积先变大后变小，故错误，∵，，，．∴，∴，即，故正确.综上得，选项正确的为.故选.12.【答案】B,D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换三角函数的周期性及其求法正弦函数的图象分段函数的应用【解析】无【解答】cos θ=cos ∠AO ⋅cos A 1θ2cos ∠AO ==A 1cos θcos θ22−1cos 2θ2cos θ2=2cos −θ21cos θ2cos =t θ2cos ∠AO ∈(−1,1)A 12t −∈(−1,1)⇒t ∈(,1)1t 12cos ∈(,1)θ212∈(0,)θ2π3θ∈(0,)2π3B =2×2sin θ××2V ABCD−A1B1C1D11−（cos ∠AB A 1cos ∠OAB ）2−−−−−−−−−−−−−−−−√=81−3θ+2θcos 2cos 3−−−−−−−−−−−−−−−−−√f(θ)=1−3θ+2θcos 2cos 3(θ)=6cos θsin θ−6θsin θf ′cos 2θ∈(0，)π2(θ)>0f ′θ∈(，)π22π3(θ)<0f ′θC =++AC 1−→−AA 1−→−AB −→−AD −→−=−BD −→−AD −→−AB −→−⋅=⋅AA 1−→−AD −→−AA 1−→−AB −→−=AB −→−2AD −→−2⋅=(++)⋅(−)AC 1−→−BD −→−AA 1−→−AB −→−AD −→−AD −→−AB −→−=⋅−⋅+⋅−+−⋅AA 1−→−AD −→−AA 1−→−AB −→−AB −→−AD −→−AB −→−2AD −→−2AD −→−AB −→−=0⊥AC 1−→−BD −→−A ⊥BD C 1D ABD ABD f(x)解：如图，实线部分为的图象，对于，由于，，所以的最小正周期为，不是奇函数，故错误；对于，由图可知图象的对称轴为直线，，故正确；对于，在区间，，上单调递减，故错误；对于，，，故正确.故选．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】运用诱导公式化简求值二倍角的余弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，则.故答案为：．14.【答案】f(x)A f ()=0π2f (−)=−1π2f(x)2πA B f (x)x =+kππ4k ∈Z B C f(x)[+2kπ,π+2kπ]π4[+2kπ,+2kπ]5π43π2k ∈Z C D f(x =−1)min f(x =)max 2–√2D BD −792α+=2(α+)+2π3π12π2sin(2α+)2π3=cos 2(α+)π12=2(α+)−1=−cos 2π1279−79−1【考点】函数的求值函数奇偶性的性质【解析】直接结合对应关系，计算即可.【解答】解：∵，∴.故答案为：.15.【答案】【考点】解三角形的实际应用正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，作，由题意知，，，，根据正弦定理可知，，解得，.f ()=2−17=−37–√()7–√2f(f())=f (−3)=−f (3)7–√=−(2×−17)=−132−123–√5AF ⊥DE BC =DE ==722–√6062–√5∠FAD =，∠FAE =，∠CAE =60∘75∘30∘∴∠DAE =135∘∠EDA =30∘=DE sin ∠DAE AEsin ∠EDA AE =65∴CE =AE ⋅tan =30∘23–√52–√故答案为：.16.【答案】【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念三角函数的最值【解析】由题意得到的虚部为，利用辅助角公式，结合三角函数的性质求解即可.【解答】解：复数，，∴的虚部为，∵的最大值为，∴的虚部最大值为.故答案为：.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解:，∴.∵复数是方程的一个根，∴，由复数相等的定义，得：解得：，,∴实数，的值分别是,.【考点】23–√52–√⋅z 1z 2cos θ−sin θ=cos θ−i z 1=sin θ+i z 2⋅=(cos θ−i)(sin θ+i)z 1z 2=cos θsin θ+1+(cos θ−sin θ)i cos θ−sin θcos θ−sin θ=cos(θ+)2–√π42–√⋅z 1z 22–√2–√(1)z =−(5−9i)=−1+2i 12+2i 14|z|=5–√(2)z 2+mx +n =0x 2−6−m +n +(2m −8)i =0{−6−m +n =0，2m −8=0，m =4n =10m n 410复数的模复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解:，∴.∵复数是方程的一个根，∴，由复数相等的定义，得：解得：，,∴实数，的值分别是,.18.【答案】解：.向量在上的投影向量.由题意可得，设向量与向量的夹角为，则，则有，且，即与向量不能反向共线，且向量数量积，设，(1)z =−(5−9i)=−1+2i 12+2i 14|z|=5–√(2)z 2+mx +n =0x 2−6−m +n +(2m −8)i =0{−6−m +n =0，2m −8=0，m =4n =10m n 410(1)|−|a →b →=(−)a →b →2−−−−−−−−−−√=−2⋅+a →2a →b →b →2−−−−−−−−−−−−−−−−√==4−2+1−−−−−−−√3–√(2)b →a →||cos ⋅b →60∘a →||a →=1×⋅=12a →214a →(3)⋅=2×1×cos =1a →b →60∘2t +7a →b →+t a →b →θθ∈(,)90∘180∘cos θ<0cos θ≠−12t +7a →b →+t a →b →(2t +7)⋅(+t )<0a →b →a →b →2t +7≠−k ⋅(+t ),(k >0)e 1→e 2→e 1→e 2→≠±−−√则得，由，得，∴，解得且.【考点】向量的模向量的投影数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】解：.向量在上的投影向量.由题意可得，设向量与向量的夹角为，则，则有，且，即与向量不能反向共线，且向量数量积，设，则得，由，得，∴，{2t ≠−k,7≠−kt,t ≠±14−−√2(2t +7)⋅(+t )<0a →b →a →b →2t +7t +(2+7)⋅<0a →2b →2t 2a →b →2+15t +7<0t 2−7<t <−12t ≠±14−−√2(1)|−|a →b →=(−)a →b →2−−−−−−−−−−√=−2⋅+a →2a →b →b →2−−−−−−−−−−−−−−−−√==4−2+1−−−−−−−√3–√(2)b →a →||cos ⋅b →60∘a →||a →=1×⋅=12a →214a →(3)⋅=2×1×cos =1a →b →60∘2t +7a →b →+t a →b →θθ∈(,)90∘180∘cos θ<0cos θ≠−12t +7a →b →+t a →b →(2t +7)⋅(+t )<0a →b →a →b →2t +7≠−k ⋅(+t ),(k >0)e 1→e 2→e 1→e 2→{2t ≠−k,7≠−kt,t ≠±14−−√2(2t +7)⋅(+t )<0a →b →a →b →2t +7t +(2+7)⋅<0a →2b →2t 2a →b →2+15t +7<0t 2≠±−−√解得且.19.【答案】解：由题意可知，.由，可解得：，.所以的单调减区间是，.由，可得，由题意知为锐角，所以，由余弦定理，可得：，即，且当时等号成立．因此，所以面积的最大值为．【考点】正弦函数的单调性二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式余弦定理同角三角函数间的基本关系基本不等式【解析】（1）由三角函数恒等变换化简解析式可得，由，可解得的单调递增区间，由，可解得单调递减区间．（2）由，可得，，由余弦定理可得：，且当时等号成立，从而可求，从而得解．【解答】−7<t <−12t ≠±14−−√2(1)f(x)=sin 2x −121+cos(2x +)π22=sin 2x −121−sin 2x 2=sin 2x −122kπ+≤2x ≤2kπ+π23π2k ∈Z kπ+≤x ≤kπ+π43π4k ∈Z f(x)[kπ+,kπ+]π43π4k ∈Z (2)f()=sin A −=0A 212sin A =12A cos A =3–√2=+−2bc cos A a 2b 2c 21+bc =+≥2bc 3–√b 2c 2bc ≤2+3–√b =c S =bc sin A ≤122+3–√4△ABC 2+3–√4f(x)=sin 2x −122kπ−≤2x ≤2kπ+π2π2k ∈Z f(x)2kπ+≤2x ≤2kπ+π23π2k ∈Z f()=sin A −=0A 212sin A cos A bc ≤2+3–√b =c bc sin A ≤122+3–√4(x)=sin 2x −1+cos(2x +)π解：由题意可知，.由，可解得：，.所以的单调减区间是，.由，可得，由题意知为锐角，所以，由余弦定理，可得：，即，且当时等号成立．因此，所以面积的最大值为．20.【答案】解：∵，∴∴.∵，，∴，∴.由余弦定理得，∵，∴，即，解得：，∴的面积为.【考点】两角和与差的正弦公式三角形的面积公式余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系(1)f(x)=sin 2x −121+cos(2x +)π22=sin 2x −121−sin 2x 2=sin 2x −122kπ+≤2x ≤2kπ+π23π2k ∈Z kπ+≤x ≤kπ+π43π4k ∈Z f(x)[kπ+,kπ+]π43π4k ∈Z (2)f()=sin A −=0A 212sin A =12A cos A =3–√2=+−2bc cos A a 2b 2c 21+bc =+≥2bc 3–√b 2c 2bc ≤2+3–√b =c S =bc sin A ≤122+3–√4△ABC 2+3–√4(1)(3a +c)cos B +b cos C =03sin A cos B +sin C cos B +sin B cos C =0.3sin A cos B =−(sin B cos C +sin C cos B)=−sin Asin A >0B ∈(0,π)cos B =−13sin B =22–√3(2)=+−2ac cos B =++ac b 2a 2c 2a 2c 223a =1，b =22–√+c −7=0c 2233+2c −21=(c +3)(3c −7)=0c 2c =73△ABC ac sin B =×1××=12127322–√372–√9【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴∴.∵，，∴，∴.由余弦定理得，∵，∴，即，解得：，∴的面积为.21.【答案】解：由已知，，，．，，∴.【考点】平面向量数量积向量的模平面向量的夹角【解析】先根据是互相垂直的单位向量表示出向量要用的两个向量，然后根据向量的数量积运算和向量模的运算求出答案．先求出向量的模长，然后根据的表示式将数值代入即可得到答案．【解答】解：由已知，，(1)(3a +c)cos B +b cos C =03sin A cos B +sin C cos B +sin B cos C =0.3sin A cos B =−(sin B cos C +sin C cos B)=−sin Asin A >0B ∈(0,π)cos B =−13sin B =22–√3(2)=+−2ac cos B =++ac b 2a 2c 2a 2c 223a =1，b =22–√+c −7=0c 2233+2c −21=(c +3)(3c −7)=0c 2c =73△ABC ac sin B =×1××=12127322–√372–√9(1)=(3,−2)a →=(4,1)b →⋅=3×4−1×2=10a →b →|+|===5a →b →(3+4+(−2+1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√50−−√2–√(2)||=a →13−−√||=b →17−−√cos θ==⋅a →b →||||a →b →10221−−−√221(1)，e 1→e 2→(2)cos θ(1)=(3,−2)a →=(4,1)b →=3×4−1×2=10→，．，，∴.22.【答案】根据图象可以得到＝，，所以＝，＝．又，所＝，所以，即．因，所以．所以，．由，得，所以，所以，故当时，取得最小值；当时，取得最大值．先将＝的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到＝的图象；再将＝的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到的图象；最后将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象．注：其他解法相应给分．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】（1）根据图象先算出，，再带入求，求出解析式后再求；（2）先求出的范围再求函数的最值；（3）运用三角函数的图象变换求解．【解答】根据图象可以得到＝，，所以＝，＝．又，所＝，所以，即．因，所以．⋅=3×4−1×2=10a →b →|+|===5a →b →(3+4+(−2+1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√50−−√2–√(2)||=a →13−−√||=b →17−−√cos θ==⋅a →b →||||a →b →10221−−−√221A 2T =4(−)=π5π12π6ω2f(x)2sin(2x +φ)f()=25π12sin(+φ)5π61+φ=2kπ+(k ∈Z)5π6π2φ=2kπ−(k ∈Z)π3|φ|<π2φ=−π3f(x)=2sin(2x −)π3f(0)=2sin(−)=−π33–√−≤x ≤π3π4−π≤2x −≤π3π6−1≤sin(2x −)≤π312−2≤f(x)≤1x =−π12f(x)−2x =π4f(x)1y sin x 2y 2sin x y 2sin x π3y =2sin(x −)π3y =2sin(x −)π312f(x)=2sin(2x −)π3A ωφf(0)ωx +φA 2T =4(−)=π5π12π6ω2f(x)2sin(2x +φ)f()=25π12sin(+φ)5π61+φ=2kπ+(k ∈Z)5π6π2φ=2kπ−(k ∈Z)π3|φ|<π2φ=−π3(x)=2sin(2x −)π(0)=2sin(−)=−π所以，．由，得，所以，所以，故当时，取得最小值；当时，取得最大值．先将＝的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到＝的图象；再将＝的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到的图象；最后将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象．注：其他解法相应给分．f(x)=2sin(2x −)π3f(0)=2sin(−)=−π33–√−≤x ≤π3π4−π≤2x −≤π3π6−1≤sin(2x −)≤π312−2≤f(x)≤1x =−π12f(x)−2x =π4f(x)1y sin x 2y 2sin x y 2sin x π3y =2sin(x −)π3y =2sin(x −)π312f(x)=2sin(2x −)π3。

高一数学下学期期中考试理新人教版

高一下学期期中考试数学试题（理科）考试说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，试卷满分120分，附加题10分，答题时间为120分钟．考试结束后，将选择题答题卡和答题纸一并交回，试题卷自己保留．注意事项：1．答题前，考生必须将自己的班级、姓名、考号、座位序号填写清楚．2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用5.0毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．保持卡（卷）面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．一、选择题：（每小题4分，共48分）1．已知数列{n a }的通项公式为22n a n n =+，那么110是它的（） A.第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项2．已知数列{n a }中的首项11a =,且满足11122n n a a n+=+，则此数列的第3项是（） A.1 B. 12 C. 34 D. 583．如果角α的终边过)30sin ,30(cos ︒-︒，则sin α的值等于（）A. 32-B. 12- C. 12 D. -4．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（） A. cos 2y x = B. cos 21y x =+ C. 1sin(2)4y x π=++D. 22sin y x = 5. 设公差为16-的等差数列,如果14797...50a a a a ++++=,那么36999...a a a a ++++=（） A. 892B.61C.39D.72 6．已知O 为坐标原点，向量OA =(1,1), OB =(3,1),在x 轴上有一点P 使：AP BP ⋅ 取最小值，则点P 的坐标是（）A.(2,0)B.(4,0)C.(3,0)D.(-3，0)7. 函数22(sin 1)(cos 3)y x x =++的最大值是（） A.4 B. 214 C.6 D.2548．在△ABC 中，A =15°,A -cos()B C +的值为（）A.2 D.2 9. 已知函数2()(1cos 2)sin f x x x =+⋅，R ∈x ，则()f x 是（）A.最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数D. 最小正周期为2π的偶函数 10．已知非零向量AB 与AC 满足()0AB AC BC AB AC +⋅=，则△ABC 为（） A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.三边均不相等的三角形11．在△ABC 中，a,b,c 分别为角A,B,C 的对边，如果a,b,c 成等差数列，B =30°，△ABC 的面积为32，那么b =（）1+ D. 2+12．下列条件中, △ABC 是锐角三角形的是（） A. 1sin cos 5A A += B. 0AB BC ⋅>C. tan tan tan 0A B C ++>D.b =3,c =B =30°二、填空题：（每小题4分，共16分）13.化简)360cos(2)60cos()30sin(ααα-︒︒++︒+的结果是____________. 14.首项是-56的等差数列,从第9项开始为正数,则公差d 的取值范围是__________.15.在△ABC 中，222sin sin sin A B C +-=sin A B ⋅,则C ∠的大小为____________.16．在△ABC 中，若1AC BC ⋅=,2AB BC ⋅=-,则BC 的值为____________. 长春市十一高中—学年度高一下学期期中考试二、填空题：（每小题4分，共16分）13． 14． 15． 16．三、解答题：（共56分）17.(10分) 等差数列{n a }中, 456756a a a a +++=,47187a a ⋅=,求n a .18.(10分)要测量河对岸两点A ,B km 的C,D 两点并测得ACB ∠=75°,BCD ∠=45°, ADC ∠=30°, ADB ∠=45°，求A ,B 之间的距离.19.(12分)设i ,j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量， AB =4i -2j ,AC =7i +4j ,AD =3i +6j ，求四边形ABCD 的面积.20.(12分)在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ,已知向量m =(sin ,cos )A A ,n =(sin ,cos )B B -且m 与n 的夹角为3π，（1）求内角C 的大小；（2）已知c =7，三角形的面积S=a +b 的值.21.（12分）已知向量a =(cos ,sin )αα，b =(cos ,sin )ββ，且a ,b满足关系｜k a +b ｜a -kb ｜(k ＞0).探究：a 能否和b 垂直？a 能否和b 平行？若不能，说明理由；若能，求出相应的k 值..22．（10分）（附加题）在锐角三角形ABC 中，a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边，且B =3A ,求ba 的取值范围.高一下学期期中考试数学答案（理科）一．选择题：1 A 2 C 3 B 4 B 5 C 6 A 7 C 8 C9 D 10 C 11 B 12 C二．填空题：13 2114 87≤<d 15 3π 16 3三．解答题：17．解：∵{}n a 为等差数列，∴()562747654=+=+++a a a a a a∴2874=+a a ∵18774=a a∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==111717117474a a a a 或∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==2232511d a d a 或 ∴)(25232*∈+-=+=N n n a n a n n 或18．解：由正弦定理，0060sin 375sin =BC ∴0075sin 22375sin 3==BC ∴()()00202275cos 75sin 23275sin 23⋅⋅-+=AB =53)150cos 1(230=--+∴km AB 5= 答：km AB 5=19．解：∵()()062436324=⨯-⨯=+⋅-=⋅j i j i AD AB∴AD AB ⊥又∵+=++-=+=632447∴四边形ABCD 为平行四边形，又⊥∴四边形ABCD 为矩形。

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一级第二学期期中考试数学科试卷考试时间：120分钟满分：150分一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每题的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把每题答案的代号填入答题卡内） 1.下列各角中，与60°角终边相同的角是( )A ．-60°B ．600°C ．1380°D ． -300° 2.下列三角函数值的符号判断错误．．的是( ) A ．0165sin >︒ B ．0280cos >︒C ．tan1700o >D ．tan 3100o <3.已知)3,2(=a 与),4(y b -=共线，则y = （）A. -5B.-6C.-7D.-8 4.设四边形ABCD 中，有,DC AB =且AD =AB ,则这个四边形是（） A. 正方形 B. 矩形 C. 等腰梯形 D.菱形 5. sin107cos 43sin17sin 43-= ( )A ．12-B ．12C ．32-D ．326．平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB a =，AD b =，则下列表示正确的是( )A ． CA a b =+B ．BD a b =-C ．1122MC a b =-D ．1122BM b a =- 7．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（） A.)322sin(2π+=x y B.)32sin(2π+=x y C.)32sin(2π-=x yD.)32sin(2π-=x yA. 0B. 1C. 2D. 3 9. 若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，则tan tan αβ⋅=（） A ．32-B ．32C ．12- D ．1210.已知a =（-3,2），b =（2,1）则a tb +)(R t ∈的最小值是（）A.23 B. 21 C. 557 D. 575二、填空题：（本题4小题，每小题５分，共20分．把答案填在答题卡相应的位置上） 11.=-)67cos(π12，且12=•b a ，则a 在b 方向上的投影为13．若21tan =α，则ααααcos 3sin 2cos sin -+= 14. 函数)3π2sin(3)(-=x x f 的图象为C ,①图象C 关于直线π1211=x 对称;②函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数;③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ;④图象C 关于点(3π,0)对称;三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

15. 已知3sin 5θ=，(,)2πθπ∈，求tan θ，cos()4πθ+的值.16．已知||1a =，||4b =，且向量a 与b 不共线，（1）若a 与b 的夹角为60o，求(2)()a b a b -•+；（2）若向量ka b +与ka b -互相垂直，求k 的值.17.设)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(2)(22απαπααπαπαπα---+++--+=f ，（1）若πα617-=，求)(αf 的值；（2）若α是锐角，且53)23sin(=-πα，求)(αf 的值.18.设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB a =+b ，b a BC 82+=，)(3b a CD -= ,求证：A 、B 、D 三点共线. (2)试确定实数k,使b a k +和b k a +共线.19 已知()22sin cos cos f x x x x x =+- (1)求()f x 的最大值及取最大值时x 的集合. (2)求()f x 的增区间.20. 已知向量)0(),cos ,(cos ),cos ,sin 3(>-==ωωωωωx x b x x a ，函数21)(+•=b a x f 的图象的两相邻对称轴间的距离为4π，（1）求ω值；（2）若)125,247(ππ∈x 时，53)(-=x f ，求x 4cos 的值；（3）若),0(,21cos π∈≥x x ，且m x f =)(有且仅有一个实根，求实数m 的值.湛江一中2019——2019学年度第二学期期中考试高一级数学科答题卡一、选择题题号 12345678910答案二、填空题11 12 13 14三、解答题: （解答必须写出文字说明、运算过程或推理步骤） 15．16． 17．题号一二三总分15 1617181920得分试室号座位号密封线内不要答题班级_______________学号________________姓名___________ __________18.19.20. 密封线内不要答题湛江一中2019――2019学年第二学期期中考试高一级数学科答案二、填空题： 11. 23-12. 512 13．43- 14． ①② 三、解答题：15.（12分）解:∵3sin 5θ=，(,)2πθπ∈， ……………………………………1分 ∴54sin 1cos 2-=--=ϑθ，……………………………………3分 ∴43cos sin tan -==θθθ ………………………………6分 ∴4sinsin 4coscos )4cos(πϑπθπθ-=+………………………………10分=22532254⨯-⨯-=2107- ……………………………12分 16．（12分）解：（1）∵ (2)()a b a b -•+=b b b a a a •-•+•2 ……………………………2分=θ ……………………………4分=2460cos 4112-︒⨯⨯+⨯=12- ……………………………6分（2）由题意可得：（ka b +）•（ka b -）=0 ………………………8分即0222=-b a k ………………………10分0162=-∴k ……………………………11分∴4±=k ……………………………12分17．（14分）解：因为)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(2)(22απαπααπαπαπα---+++--+=fαααααα22cos sin sin 1)cos ()cos )(sin 2(-++----=………………2分αααααsin sin 2cos cos sin 22++=………………………3分αααααtan 1sin )1sin 2(cos )1sin 2(=++=……………………………4分（1）若πα617-=)617tan(1)617(ππ-=-∴f …………………5分 =)63tan(1ππ+- ……………………………7分33316tan1===π……………………………9分（2）若α是锐角，且53)23sin(=-πα ∴53cos =α …………………………11分 ∴54cos 1sin 2=-=αα…………………………12分∴34cos sin tan ==ααα…………………………13分∴43)(=αf …………………………14分18．（14分）解：(1)∵CD BC BD += ……………………………2分=b a 82++)(3b a - ……………………………3分=b a 55+=AB 5 ……………………………6分 ∴A 、B 、D 三点共线. ……………………………7分(2) 解：∵b a k +和b k a +共线，则存在实数λ，使得b a k +=λ（b k a +） ………………8分即：0)1()(=-+-b k a k λλ ……………………………10分∵非零向量a 与b 不共线， ……………………………11分 ∴0=-λk 且01=-k λ ……………………………13分 ∴1±=k ……………………………14分１9．（14分）由已知：()2cos 22sin(2)6f x x x x π=-=-4分（１）当2262x k k Z πππ-=+∈……………………5分即：sin(2)16x π-=时：()f x 取最大值2．…………………7分此时x 的集合为：{}3x x k k Z ππ=+∈9分（２）由222262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈………………11分得增区间为： [,]63k k k Zππππ-+∈ １4分２０．（14分）解：由题意，21cos cos sin 3)(2+-⋅=x x x x f ωωω =2122cos 12sin 23++-x x ωω =x x ωω2cos 212sin 23-)62sin(πω-=x ……………………………2分（1）∵两相邻对称轴间的距离为4π ∴ 222πωπ==T ，2=∴ω……………………………4分（2）由（1）得，53)64sin()(-=-=πx x f∵)125,247(π∈x ∴)23,(64πππ∈-x ………………………5分∴54)64cos(-=-πx ……………………………6分∴)664cos(4cos ππ+-=x x=6sin)64sin(6cos)64cos(ππππ---x x=21)53(23)54(⨯--⨯- =103532+-……………………………9分（3）,21cos ≥x 又因为余弦函数在),0(π上是减函数，……………10分 ⎥⎦⎤⎝⎛∈∴3,0πx ……………………………12分令21)(+•=b a x f =)64sin(π-x ，m x g =)(，在同一直角坐标系中作出两个函数的图象，可知：211-==m m 或.……………………14分。

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