伍德里奇《计量经济学导论》(第5版)笔记和课后习题详解(第16~19章)【圣才出品】
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21 1
这个假定是否具有限制性则取决于应用。如果上式的条件成立，y2 可写成
y2 21z1 22 z2 v2
其 中 ， 21 21 / 1 21 、 22 2 / 1 21
和
v2 2u1 u2 / 121 ，用外生变量和误差项表示 y2 的方程 y2 21z1 22 z2 v2
若假定 u1 和 u2 不相关，那么只要 2 0 ，v2 和 u1 就一定相关。即使当 2 0 ，如果 u1 和 u2 相关时，v2 和 u1 也相关，即 y2 和 u1 相关。只有当 2 0 且 u1 和 u2 不相关时，y2 和 u1 才不相关。当 y2 与 u1 因联立而相关时，OLS 存在联立性偏误。
/
1
21
2 1
其中
2 1
Var u1
Βιβλιοθήκη Baidu
0
因此，1 的 OLS 估计量中的渐近偏误（或不一致性）与 2 / 121 具有相同的符号。
三、结构方程的识别和估计 1．两方程联立模型中的识别 当用 OLS 估计一个模型时，关键的识别条件是每个解释变量都与误差项无关。这个重 要的条件对 SEM 而言一般不再成立。但如果有一些工具变量，仍能识别（或一致地估计）
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一个 SEM 方程中的参数。
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联立方程模型为：
y1 10 1 y2 z11 u1
y2 20 2 y1 z22 u2
其中，y1 和 y2 是内生变量，而 u1 和 u2 是误差项。第一个方程的截距是 10 ，而第二个
是 y2 的约简型。参数 21 和 22 被称为约简型参数，它们是结构方程中出现的结构型参数的
非线性函数。
约简型误差 v2 是结构型误差 u1 和 u2 的线性函数。因为 u1 和 u2 都与 z1 和 z2 无关，所 以 v2 也与 z1 和 z2 无关。因此，可用 OLS 一致地估计 21 和 22 。
劳动供给函数与需求函数是从经济理论推导出来并具有因果性解释的事实，是结构方 程。这两个方程一起构成了一个联立方程模型。
联立方程模型的重要特征： ①给定 zi1、zi2、ui1 和 ui2，这两个方程就决定了 hi 和 wi。hi 和 wi 是这个 SEM 中的内 生变量。zi1 和 zi2 由于在模型外决定，是外生变量。 ②从统计观点来看，关于 zi1 和 zi2 的关键假定是，它们都与 ui1 和 ui2 无关。由于这些 误差出现在结构方程中，所以它们是结构误差。 ③SEM 中的每个方程自身都应该有一个行为上的其他条件不变解释。
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2．联立性偏误及其方向
在约简型方程中，除非在特殊的假定之下，否则对方程 y1 1 y2 1z1 u1 的 OLS
估计，将导致 1 和 1 的估计量有偏误和不一致。根据假定，z1 和 u1 不相关，而 y2 和 u1 相 关等价于 v2 和 u1 相关。因为 v2 是 u1 和 u2 的一个线性函数，所以 v2 和 u1 一般是相关的，
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伍德里奇《计量经济学导论》（第 5 版）笔记和课后习题详解
第 16 章 联立方程模型
16.1 复习笔记
解释变量另一种重要的内生性形式是联立性。当一个或多个解释变量与因变量联合被决 定时，就出现联立性问题。
一、联立方程模型的性质 联立方程组中的每个方程都具有其他条件不变的因果性解释。SEM（联立方程模型） 的经典例子是某个商品或要素投入的供给和需求方程：
专门估计第一个方程。变量 z1 和 z2 都是外生的，所以每个都与 u1 和 u2 无关。
如果将式 y1 1 y2 1z1 u1 的右边作为 y1 代入式 y2 2 y1 2 z2 u2
中，得到
1 21 y2 21z1 2 z2 2u1 u2
为了解出 y2，需对参数做一个假定：
要得到系数中偏误的方向一般都很复杂，而在一些简单的模型中，可以决定偏误的方向。
假设通过去掉 z1 而简化方程
y1 1 y2 1z1 u1
并假定 u1 和 u2 不相关。于是，y2 和 u1 之间的协方差为
Cov y2 ，u1 Cov v2 ，u1 2 / 1 21 E
u12
2
方程的截距是 20 。变量 z1 表示出现在第一个方程中的 k1 个外生变量的集合：
z1 z11 ，z12 ，… ，z1k1
变量 z2 表示出现在第二个方程中的 k1 个外生变量的集合：
z2 z21 ，z22 ，… ，z2k2
在许多情况下，z1 和 z2 存在重叠部分，用符号表示如下：
z11 11z11 12 z12 .... 1k1 z1k1 z2 2 21z21 22 z22 .... 2k2 z2k2
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二、OLS 中的联立性偏误
在一个简单模型中，与因变量同时决定的解释变量一般都与误差项相关，这就导致 OLS
中存在偏误和不一致性。
1．约简型方程
考虑两个方程的结构模型：
y1 1 y2 1z1 u1
y2 2 y1 2 z2 u2
作为一个简略形式，用 z11 表示第一个方程中的所有外生变量分别乘以一个系数，z22
类似。z1 和 z2 一般包含不同外生变量的事实意味着，对模型施加了排除性约束。也就是说，
假定某些外生变量不会出现在第一个方程中，而另外一些则不会出现在第二个方程中。
2．识别一个结构方程的秩条件 识别（两方程）联立模型中第一个方程的充要条件是：第二个方程中至少包含第一个方 程所排除的外生变量中的一个（具有非零系数）。 识别第一个方程的阶条件：这个方程至少要排除一个外生变量，即不能包含所有的外生 变量。 秩条件：第二个方程中至少包含第一个方程排除的一个外生变量，并具有非零的总体系
这个假定是否具有限制性则取决于应用。如果上式的条件成立，y2 可写成
y2 21z1 22 z2 v2
其 中 ， 21 21 / 1 21 、 22 2 / 1 21
和
v2 2u1 u2 / 121 ，用外生变量和误差项表示 y2 的方程 y2 21z1 22 z2 v2
若假定 u1 和 u2 不相关，那么只要 2 0 ，v2 和 u1 就一定相关。即使当 2 0 ，如果 u1 和 u2 相关时，v2 和 u1 也相关，即 y2 和 u1 相关。只有当 2 0 且 u1 和 u2 不相关时，y2 和 u1 才不相关。当 y2 与 u1 因联立而相关时，OLS 存在联立性偏误。
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其中
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Var u1
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因此，1 的 OLS 估计量中的渐近偏误（或不一致性）与 2 / 121 具有相同的符号。
三、结构方程的识别和估计 1．两方程联立模型中的识别 当用 OLS 估计一个模型时，关键的识别条件是每个解释变量都与误差项无关。这个重 要的条件对 SEM 而言一般不再成立。但如果有一些工具变量，仍能识别（或一致地估计）
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一个 SEM 方程中的参数。
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y1 10 1 y2 z11 u1
y2 20 2 y1 z22 u2
其中，y1 和 y2 是内生变量，而 u1 和 u2 是误差项。第一个方程的截距是 10 ，而第二个
是 y2 的约简型。参数 21 和 22 被称为约简型参数，它们是结构方程中出现的结构型参数的
非线性函数。
约简型误差 v2 是结构型误差 u1 和 u2 的线性函数。因为 u1 和 u2 都与 z1 和 z2 无关，所 以 v2 也与 z1 和 z2 无关。因此，可用 OLS 一致地估计 21 和 22 。
劳动供给函数与需求函数是从经济理论推导出来并具有因果性解释的事实，是结构方 程。这两个方程一起构成了一个联立方程模型。
联立方程模型的重要特征： ①给定 zi1、zi2、ui1 和 ui2，这两个方程就决定了 hi 和 wi。hi 和 wi 是这个 SEM 中的内 生变量。zi1 和 zi2 由于在模型外决定，是外生变量。 ②从统计观点来看，关于 zi1 和 zi2 的关键假定是，它们都与 ui1 和 ui2 无关。由于这些 误差出现在结构方程中，所以它们是结构误差。 ③SEM 中的每个方程自身都应该有一个行为上的其他条件不变解释。
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2．联立性偏误及其方向
在约简型方程中，除非在特殊的假定之下，否则对方程 y1 1 y2 1z1 u1 的 OLS
估计，将导致 1 和 1 的估计量有偏误和不一致。根据假定，z1 和 u1 不相关，而 y2 和 u1 相 关等价于 v2 和 u1 相关。因为 v2 是 u1 和 u2 的一个线性函数，所以 v2 和 u1 一般是相关的，
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第 16 章 联立方程模型
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解释变量另一种重要的内生性形式是联立性。当一个或多个解释变量与因变量联合被决 定时，就出现联立性问题。
一、联立方程模型的性质 联立方程组中的每个方程都具有其他条件不变的因果性解释。SEM（联立方程模型） 的经典例子是某个商品或要素投入的供给和需求方程：
专门估计第一个方程。变量 z1 和 z2 都是外生的，所以每个都与 u1 和 u2 无关。
如果将式 y1 1 y2 1z1 u1 的右边作为 y1 代入式 y2 2 y1 2 z2 u2
中，得到
1 21 y2 21z1 2 z2 2u1 u2
为了解出 y2，需对参数做一个假定：
要得到系数中偏误的方向一般都很复杂，而在一些简单的模型中，可以决定偏误的方向。
假设通过去掉 z1 而简化方程
y1 1 y2 1z1 u1
并假定 u1 和 u2 不相关。于是，y2 和 u1 之间的协方差为
Cov y2 ，u1 Cov v2 ，u1 2 / 1 21 E
u12
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方程的截距是 20 。变量 z1 表示出现在第一个方程中的 k1 个外生变量的集合：
z1 z11 ，z12 ，… ，z1k1
变量 z2 表示出现在第二个方程中的 k1 个外生变量的集合：
z2 z21 ，z22 ，… ，z2k2
在许多情况下，z1 和 z2 存在重叠部分，用符号表示如下：
z11 11z11 12 z12 .... 1k1 z1k1 z2 2 21z21 22 z22 .... 2k2 z2k2
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二、OLS 中的联立性偏误
在一个简单模型中，与因变量同时决定的解释变量一般都与误差项相关，这就导致 OLS
中存在偏误和不一致性。
1．约简型方程
考虑两个方程的结构模型：
y1 1 y2 1z1 u1
y2 2 y1 2 z2 u2
作为一个简略形式，用 z11 表示第一个方程中的所有外生变量分别乘以一个系数，z22
类似。z1 和 z2 一般包含不同外生变量的事实意味着，对模型施加了排除性约束。也就是说，
假定某些外生变量不会出现在第一个方程中，而另外一些则不会出现在第二个方程中。
2．识别一个结构方程的秩条件 识别（两方程）联立模型中第一个方程的充要条件是：第二个方程中至少包含第一个方 程所排除的外生变量中的一个（具有非零系数）。 识别第一个方程的阶条件：这个方程至少要排除一个外生变量，即不能包含所有的外生 变量。 秩条件：第二个方程中至少包含第一个方程排除的一个外生变量，并具有非零的总体系