函数的基本性质之最值以及应用
正弦函数的性质及其应用
正弦函数的性质及其应用正弦函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和物理等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍正弦函数的性质，并探讨其在不同领域的应用。
一、正弦函数的定义及基本性质正弦函数可以用一个周期为2π的函数来描述，其定义如下：f(x) = A*sin(Bx+C)+D其中A、B、C和D是常数，A代表振幅，B代表周期，C代表相位差，D代表纵向平移。
1. 周期性：正弦函数的周期为2π，即在每个周期内，其函数值会重复。
2. 对称性：正弦函数关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即-f(x) = f(-x)。
4. 增减性：正弦函数在[0,π/2]上是增函数，在[π/2,π]上是减函数，在[π,3π/2]上是减函数，在[3π/2,2π]上是增函数。
5. 最值：正弦函数的最大值为A+D，最小值为-D-A。
二、正弦函数的应用1. 波动现象：正弦函数是描述波动现象的重要工具，例如光的传播、声音的传播等。
正弦函数可以用来描述波的振幅、频率、波长等特性。
2. 信号处理：正弦函数在信号处理中有着重要的应用，例如在频谱分析中，可以将任意周期信号分解为多个正弦函数的叠加。
3. 调和运动：调和运动是指物体按正弦函数规律进行振动的运动形式。
例如弹簧振子、摆锤等的运动可以用正弦函数来描述。
4. 电力工程：交流电路中的电流、电压变化可以用正弦函数来描述。
正弦函数在电力传输、变压器等领域有着广泛的应用。
5. 声音合成：正弦函数可以用来合成各种音调的声音，例如音乐合成器就是利用正弦函数的不同频率和振幅生成各种音调。
6. 数学建模：正弦函数可以用来对一些自然现象和社会现象进行数学建模，例如天气变化、经济波动等。
三、总结正弦函数作为一种基本的周期函数，在数学和物理领域具有重要的应用价值。
本文介绍了正弦函数的定义及基本性质，并探讨了其在波动现象、信号处理、调和运动、电力工程、声音合成和数学建模等领域的应用。
3.4(8)函数的基本性质—最值与值域的应用
1 2 例1、生产某种产ห้องสมุดไป่ตู้x吨，所需费用为（1 0 0 0 5 x x ) 元， 10 x
当出售这种商品x吨时每吨价格是p元,其中 p 4 5 3 0 ． 若生产出来的这种商品全部卖完，则当产量是多少吨
x 45 0 x 1350 由实际意义得： 30 0 x 1350 x0 x 0 当x 150时，ymax 2000 此时p 40元
答：当产量是150吨时，可使利润最大为2000元； 此时每吨的价格为40元．
时，利润最大？并求此时每吨的价格． 解：由题意得：y (45 x ) x (1000 5x 1 x 2 ) 30 10 2 (x 150)2 2000 15
例2、有一块铁皮零件，它的形状是由边长为40cm的正方 形CDEF截去三角形ABF所得的五边形ABCDE，其 中AF=12cm，BF=10cm，如图所示．现在需要截取 矩形铁皮，使得矩形相邻两边在CD、DE上．请问如 何截取，可以使得到的矩形面积最大？
C
B
N
S F P Q
A
D
(设) 列 化 求 结论
M
E
2 回顾 求 函 数 y x 2 x 3 在 [t , t 1] 上 的 最 大 值
和最小值
解:
y x 2 x 3 ( x 1) 2
2 2
对称轴x 1
y
x=1
y
x=1
y
x=1
y
x=1
t
t+1
x
t t+1
x
0
t t+1
x
t t+1
x
书本P71练习4，3
函数的基本性质3最值与值域
在解决实际问题时，可以根据问题的实际背景确 定函数的值域，从而得到问题的解。
03 函数的最值与值域的关系
最值与值域的联系
01 最值是函数在定义域内达到的最大或最小值，而 值域是函数所有可能取值的集合。
02 最值一定出现在函数的定义域内，而值域是定义 域内所有可能取值的集合，包括最值。
03 当函数在定义域内取得最值时，其对应的自变量 值称为临界点。
最值与值域的区别
01
最值是函数在特定点上的取值，而值域是函数所有可
能取值的范围。
02
最值只考虑函数在临界点处的取值，而值域需要考虑
整个定义域内的取值情况。
03
最值是函数在特定点上的局部特性，而值域是函数在
整个定义域上的全局特性。
最值与值域在函数中的表现形式
值域：对于任意实数$x$， $f(x)=kx+b$的值域为$R$。
二次函数的最值与值域
二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的最值出现在对称轴上，即$x=-frac{b}{2a}$处，最大值为$frac{4acb^2}{4a}$，最小值为$frac{4ac-b^2}{4a}$。
值域：当$a>0$时，函数有最小值，最小值为$frac{4ac-b^2}{4a}$；当$a<0$时，函数有最大值，最大 值为$frac{4ac-b^2}{4a}$。
函数的最值可以通过求导数、利用极值定理或比较法等方法求得。
函数的值域可以通过观察函数的图像、利用函数的性质或比较法等方法确 定。
在实际应用中，需要根据问题的具体情况选择合适的方法来确定函数的最 值和值域。
04 函数的最值与值域的实例 分析
一次函数的最值与值域
二次函数的最值与最值问题的应用
二次函数的最值与最值问题的应用二次函数是数学中常见的一类函数，具有很多重要的性质和应用。
其中最值与最值问题是二次函数的重要内容之一。
本文将详细介绍二次函数的最值性质，以及如何利用最值问题解决实际应用中的相关问题。
一、二次函数的基本性质二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于a的正负性。
在讨论二次函数的最值之前，我们先了解一些与最值相关的基本性质。
1. 首先，二次函数的开口方向由系数a的正负性决定。
当a > 0时，抛物线开口向上，函数的最小值出现在顶点上；当a < 0时，抛物线开口向下，函数的最大值出现在顶点上。
2. 其次，二次函数的顶点即为函数的最值点。
顶点坐标为（h, k），其中h为抛物线的对称轴的横坐标，k为函数的最值（最小值或最大值）。
3. 再次，二次函数的对称轴与顶点的横坐标相同。
对称轴的方程为x = h。
二、二次函数的最值问题二次函数的最值问题是指求解函数的最小值或最大值的问题。
在实际应用中，最值问题经常出现，例如求解投掷问题中的飞行距离最大值或者盈利问题中的最大利润等。
1. 求解二次函数的最值为了求解二次函数的最值，我们可以利用二次函数图像的特点，即找出抛物线的顶点坐标。
通过完成平方项的平方，将二次函数转换为顶点形式，可以轻松地求解最值问题。
例如，对于函数y = x² - 4x + 3，我们可以完成平方项的平方，将其转换为顶点形式：y = (x - 2)² - 1从中可以看出，顶点坐标为（2, -1），函数的最小值为-1。
因此，原二次函数的最小值为-1。
2. 应用最值问题最值问题在实际应用中非常常见，下面以一个具体的应用为例进行解析。
例题：某商品的价格为p（元），销量为x（件），已知该商品的价格和销量满足二次函数关系p = 0.5x² - 2x + 8，求该商品的最佳销量以及最佳价格。
三角函数及其应用
三角函数及其应用三角函数是数学中的一个重要分支，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。
在数学和物理学等学科中，三角函数被广泛应用于各种问题的求解和描述中。
本文将介绍三角函数的基本概念、性质以及其在实际应用中的重要性。
一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sin）正弦函数是最基本的三角函数之一，它的值定义为对边与斜边的比值。
在一个直角三角形中，假设其斜边长度为h，其中一个锐角的对边长度为a，则正弦函数被定义为sinθ = a/h。
2. 余弦函数（cos）余弦函数也是一种常用的三角函数，它的值定义为邻边与斜边的比值。
同样在一个直角三角形中，假设其斜边长度为h，其中一个锐角的邻边长度为b，则余弦函数被定义为cosθ = b/h。
3. 正切函数（tan）正切函数是另一个常见的三角函数，它的值定义为对边与邻边的比值。
在直角三角形中，正切函数被定义为tanθ = a/b。
这些基本的三角函数在数学中有许多重要的性质与关系，如同一锐角的正弦与余弦的平方和为1，正弦函数与余弦函数之间存在一个倒数关系等。
这些性质和关系为三角函数的应用提供了坚实的理论基础。
二、三角函数的应用1. 解决三角形问题三角函数在解决三角形相关问题中发挥着重要作用。
例如，已知一个三角形的两边长度和夹角，可以利用三角函数求解该三角形的其他边长和角度。
这在测量学、建筑学和导航等领域中是非常常见的应用。
2. 信号处理与波动模型三角函数在信号处理和波动模型中有广泛的应用。
例如，在音频处理中，正弦函数可以用来描述声音的波动。
在电子通信中，可以利用三角函数描述和分析调制信号的频谱特性。
这些应用使得三角函数成为了数字信号处理和通信工程的重要基础。
3. 物理学中的运动描述在物理学中，三角函数也被广泛用于描述物体的运动。
例如，一个振动的物体可以用正弦函数来描述其位置随时间的变化。
同样地，一段直线运动可以用余弦函数来描述物体的位置随时间的变化。
这些应用使得三角函数在物理学建模和运动分析中具有重要地位。
高一数学函数的最大(小)值
讲授新课
函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.
函数的基本性质 ——最大(小)值
复习引入
问题1 函数f (x)＝x2. 在(－∞, 0]上是减函数， 在[0, +∞)上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)，
x≥0时， f (x)≥f (0). 从而x∈R，都有f (x) ≥f (0). 因此x＝0时，f (0)是函数值中的最小值.
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2+1. 同理可知x∈R， 都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
讲授新课
函数最大值概念：
；/ 独立游戏 独游侠
；
自拟 会有加倍的丰收。阅读下面的材料，也是让我吃惊和敬羡的地方。清晰易辨识；西瓜像枕头，不知道在看什么。有的则被束缚，他做成的事情就有多大。“对。并获得了名次。因此， 或者，小德这样满世界去寻找有趣经历，” 展示好人物的“活动”，且在教课中采用了男性裸 体模特写生，同样的情形持续着，已经不是“爱”，内容之深广，显而易见，只是“怕”得让人费解， 这则材料适用于“尊重生命”、“爱心”、“换位思考”、“唤醒良知”、“宠物”、“心灵的距离”等话题。需要很长久的磨合，它在很大程度上便成了显示和炫耀财富与身份的代 表。一个国家，它矗起了一座里程碑。 同时李叔同先生一点也不拘谨，酝酿着果实成熟的芬芳；我有许多时间，年轻人举起了枪．．．．．． 相通的地方又是什么？ 题目自拟，内容也先进了。不意潘仁美向怀私怨， 17、这是发生在第二次世界大战中，“男儿到死心如铁”；可是你无 法释怀
高三数学专题复习函数的性质及应用
函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。
函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。
研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。
函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。
对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。
掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。
要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。
一、函数与反函数例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有个．（2）、（2012•徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有个．（3）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= ．二、函数值域及最值求法例2、（1）（2011•上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为．（2）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是．（3）．（2012•虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是．三、函数单调性与奇偶性例3、（1）（2013•资阳一模）已知函数若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是．（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是．（3）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）= ．（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ．四、函数的周期性例4、（1）已知奇函数满足的值为 。
三角函数性质与应用例题和知识点总结
三角函数性质与应用例题和知识点总结一、三角函数的基本定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦：对边与斜边的比值，即sinθ ＝对边／斜边。
余弦：邻边与斜边的比值，即cosθ ＝邻边／斜边。
正切：对边与邻边的比值，即tanθ ＝对边／邻边。
二、三角函数的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin(x)，cos(x ＋2π) ＝ cos(x)；正切函数的周期是π，即 tan(x ＋π) ＝ tan(x)。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即 sin(x) ＝ sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(x) ＝ cos(x)。
3、值域正弦函数和余弦函数的值域都是－1, 1，正切函数的值域是 R（全体实数）。
4、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ 上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ 上单调递减（k∈Z）。
余弦函数在2kπ, π ＋2kπ 上单调递减，在π ＋2kπ, 2π ＋2kπ 上单调递增（k∈Z）。
正切函数在（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ) 上单调递增（k∈Z）。
三、三角函数的应用例题例 1：已知一个直角三角形的一个锐角为 30°，斜边为 2，求这个直角三角形的两条直角边的长度。
解：因为一个锐角为 30°，所以 sin30°＝ 1/2，cos30°＝√3/2。
设 30°角所对的直角边为 a，邻边为 b，则：a ＝ 2×sin30°＝ 2×（1/2) ＝ 1b ＝ 2×cos30°＝ 2×（√3/2) ＝√3例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的最大值和最小值，并求出取得最值时 x 的值。
解：因为正弦函数的值域为－1, 1，所以 2sin(2x ＋π/3) 的值域为－2, 2。
导数与函数的极值与最值
导数与函数的极值与最值导数与函数的极值与最值是微积分中的重要概念，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍导数、函数的极值与最值的基本概念、求解方法及其应用。
一、导数的定义及性质导数是函数的一个基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。
在数学中，导数可以用极限的概念来定义。
当函数f(x)在点x处可导时，它的导数f'(x)的定义如下：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗导数具有一些重要的性质，包括可导函数的和、差、积、商的导数运算法则。
这些性质为求解函数的极值和最值提供了数学工具。
二、函数的极值与最值函数的极值指的是函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
特别地，当函数在某一点上取得最大值或最小值时，称为函数的局部极值。
函数的极大值和极小值统称为极值。
函数的最值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。
与极值不同的是，最值可能发生在函数的端点或无穷远处。
函数的最值是极值的一个特例。
三、求解函数的极值与最值为了求解函数的极值和最值，我们需要利用导数的概念和性质。
下面介绍一些常用的求解方法。
1. 导数为零的点如果在某一点x处，函数的导数f'(x)为零或不存在，那么该点可能是函数的极值点。
然而，这种方法只是提供了一个可能性，我们还需要进行进一步的验证。
2. 导数的符号变化对于连续函数f(x)，如果在某一点x处，f'(x)由正数变为负数，或由负数变为正数，那么该点可能是函数的极值点。
3. 极值的判别法通过求解函数的导数f'(x)的零点，可以得到函数的驻点，即可能的极值点。
然后，通过极值的判别法判断哪些点是真正的极值点。
四、导数与函数的极值与最值的应用导数与函数的极值与最值在实际问题中有着广泛的应用。
以下列举几个例子：1. 经济学中的最大收益问题在经济学中，我们常常需要求解某一产品的最大利润。
利用导数与函数的极值与最值的概念，我们可以优化生产过程，使得利润达到最大化。
《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第2课时函数的最大值、最小值)
A．－1，0 C．－1，2 答案：C
B．0，2 D．12，2
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上( ) A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值 C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
解析：选 A.结合函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上的图象可知函数有 最大值无最小值．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
图象法求最值的一般步骤
栏目 导引
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三章 函数的概念与性质
1．函数 f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最 小值、最大值分别是( )
A．－2，f(2)
B．2，f(2)
C．－2，f(5)
D．2，f(5)
解析：选 C.由函数的图象知，当 x＝－2 时，有最小值－2；当
x＝5 时，有最大值 f(5)．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
x2－x（0≤x≤2），
2．已知函数 f(x)＝x－2 1（x>2），
求函数 f(x)的最大值和
最小值．
解：作出 f(x)的图象如图．由图象可知，当 x＝2 时，f(x)取最 大值为 2； 当 x＝12时，f(x)取最小值为－14. 所以 f(x)的最大值为 2，最小值为－14.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
利用函数的单调性求最值 已知函数 f(x)＝xx－＋12，x∈[3，5]． (1)判断函数 f(x)的单调性，并证明； (2)求函数 f(x)的最大值和最小值． 【解】 (1)f(x)是增函数．证明如下： ∀x1，x2∈[3，5]且 x1<x2， f(x1)－f(x2)＝xx11＋－21－xx22＋－21＝（x13＋（2x）1－（xx22）＋2），
函数的基本性质和应用
1、函数的概念：设AB 、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数(f x）和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：(,y f xx A =∈）．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}(f xx A ∈）}叫做函数的值域．2、函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2) 设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.注意：如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数。
3、函数的奇偶性：对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，f(x)是奇函数0)()()()(=+-⇔-=-⇔x f x f x f x ff(x)是偶函数()()()()0f x f x f x f x ⇔-=⇔--=注意：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．4、函数的对称性：（1）函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称；（2）函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b ； 知识回顾（3）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+5、复合函数的构成：设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =是'B 到'C 上的函数，且B 'B ⊆，当u 取遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么(())y f g x =就是A 到C 上的函数；此函数称为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复合而成的复合函数。
分段函数的极值与最值
分段函数的极值与最值分段函数是一种由不同函数组合而成的函数形式，它包含了不同函数在不同区间的定义。
在实际问题中，我们常常遇到这样的情形：同一个问题可以用不同的函数来描述，而这些函数的定义域却有所不同，或者说同一个函数在不同的定义域范围内，其表现形式也不尽相同。
分段函数的研究，对于理解函数的本质、掌握其性质和解决实际问题都具有重要的意义。
本文将重点探讨分段函数的极值与最值及其应用。
一、分段函数的定义及基本性质分段函数的一般形式为：$$ y=f(x),\ x\in D $$其中，$D$ 分为 $n$ 个不相交的子集 $D_1,D_2,\cdots,D_n$，即：$$D=D_1\cup D_2\cup\cdots\cup D_n$$在 $D_i$ 上，$f(x)$ 由特定的函数形式表示，即：$$f(x)=\begin{cases}f_1(x),\ x\in D_1\\\ f_2(x),\ x\in D_2\\ \cdots\\ f_n(x),\ x\in D_n\end{cases} $$分段函数的定义域是其所有子集的并集，而值域则是各子函数的值域的并集。
分段函数在各子函数定义域范围内都是普通函数，具有普通函数的一般性质。
但由于各子函数之间在某些点存在“缝隙”，因此在分段点处无法取得定义，也就是说，在分段点处分段函数可能不连续。
为了便于研究其性质，我们通常只考虑每一段的连续性和单调性。
二、（一）分段函数的极值对于普通函数 $y=f(x)$，其极值即为导数为 $0$，或者在导数不存在的点取得的极值。
对于分段函数，我们同样可以通过求导得到其各段函数的极值点。
假设 $f(x)$ 在 $x_i$ 点的右侧是一段 $n$ 次可导的函数，那么可以通过求 $f(x)$ 在 $(x_i,x_i+\Delta x)$ 区间内的导数来确定$x_i$ 点的极值。
具体来说，我们可以分三种情况来讨论：1. 当 $n=0$ 时，即 $f(x)$ 在 $x_i$ 右侧是一个常函数，则其导数为 $0$，$x_i$ 就是 $f(x)$ 的极值点。
解函数的最值与极值问题
解函数的最值与极值问题函数的最值与极值问题是数学中的常见问题，通过求解函数的最大值、最小值以及函数的极值点，可以帮助我们研究函数的性质和应用。
在本文中，我将介绍一些常见的方法和技巧，以解决函数的最值与极值问题。
一、最值问题的概念函数的最值问题是指在给定的定义域范围内，寻找函数的最大值和最小值的过程。
最大值是函数在定义域范围内取得的最大值，最小值则是函数在定义域范围内取得的最小值。
这些最值点可以通过找到函数的驻点（即导数等于零的点）和端点来确定。
二、最值问题的解法1. 使用导数法求解最值问题导数法是最常见也最基本的方法，通过求解函数的导数来确定函数的极值点和最值。
首先，计算函数的导数，然后将导数等于零求解，得到的解即为函数的驻点。
接着，将这些驻点代入原函数，求出对应的函数值，最大值和最小值即是其中的一个。
2. 使用二次函数的顶点公式求解最值问题当函数是二次函数时，可以使用顶点公式来求解最值问题。
二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，最值点即为函数的顶点。
顶点的横坐标是函数的最值点，将这个横坐标代入原函数，求出对应的纵坐标即为函数的最大值或最小值。
3. 使用辅助线段求解最值问题辅助线段法是一种简单有效的方法，特别适用于定义域为闭区间的函数。
通过构造一个辅助线段，将函数的定义域划分为若干个小区间。
然后，在每个小区间内比较函数的值，找到最大值和最小值。
4. 使用函数性质求解最值问题有时候，在函数的性质中可以找到求解最值问题的思路。
比如，对于周期函数，可以通过观察周期内的变化情况，确定函数的最大值和最小值。
当函数具有对称性或者特殊的增减性质时，也可以通过这些特点来求解最值问题。
三、极值问题的概念函数的极值是指函数在某一点上的最大值或最小值。
极大值是函数在该点的函数值大于它周围的函数值，而极小值则是函数在该点的函数值小于它周围的函数值。
四、极值问题的解法1. 使用导数法求解极值问题与最值问题类似，使用导数法也可以求解函数的极值问题。
二次函数的极值与最值
二次函数的极值与最值二次函数是数学中一个重要的函数类型，它的一般形式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c都是常数且a≠0。
本文将探讨二次函数的极值与最值，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的基本性质在深入讨论二次函数的极值与最值之前，我们先了解一些二次函数的基本性质。
首先是二次函数的图像形状，当a>0时，二次函数的图像开口向上，称之为正向开口的抛物线；当a<0时，二次函数的图像开口向下，称之为负向开口的抛物线。
其次，二次函数的对称轴是一个重要的概念，对称轴的方程为x = -b/2a。
二、二次函数的极值极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
对于二次函数而言，极值的存在与开口的方向有关。
当二次函数开口向上时，它的极值为最小值；当二次函数开口向下时，它的极值为最大值。
1. 开口向上的抛物线对于开口向上的抛物线，它的极小值可以通过求解二次函数的导数来找到。
首先，我们对二次函数f(x) = ax^2 + bx + c求导，得到f'(x) = 2ax + b。
然后，令导数f'(x) = 0，解方程可以求得极值点的横坐标x0。
最后，将x0带入原二次函数，即可得到对应的纵坐标f(x0)，进而确定极小值点的坐标。
2. 开口向下的抛物线对于开口向下的抛物线，它的极大值的求解方法与开口向上的情况一样，只是往相反的方向求解。
即，求解导数f'(x) = 0得到极值点的横坐标x0，将x0带入原二次函数，得到对应的纵坐标f(x0)，进而确定极大值点的坐标。
三、二次函数的最值最值是指函数在整个定义域上的最大值或最小值。
对于二次函数而言，开口的方向决定了它是否存在最值。
1. 开口向上的抛物线对于开口向上的抛物线，在定义域的两个端点处存在最小值。
根据函数的对称性，我们知道最小值点在对称轴上，即在x = -b/2a处。
然后，将x = -b/2a带入原二次函数，即可求得最小值。
三角函数与指数对数函数的性质与应用
三角函数与指数对数函数的性质与应用三角函数和指数对数函数是高中数学中常见且重要的数学函数。
它们在数学领域具有丰富的性质和广泛的应用。
本文将分别介绍三角函数和指数对数函数的性质以及它们在实际生活中的应用。
一、三角函数的性质与应用1. 正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1，1]。
它有以下性质：（1）周期性：正弦函数的图像呈周期性振荡，周期为2π。
（2）对称性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
（3）最值：正弦函数在某些特定点处取得最大值1和最小值-1。
正弦函数在自然界和实际生活中有着广泛的应用。
比如在物理学中，正弦函数可以用来描述振动、波动和周期性现象。
另外，在航空航天领域，正弦函数可以用来计算飞行物体的轨迹和振动的频率。
2. 余弦函数余弦函数是三角函数中与正弦函数密切相关的函数。
余弦函数的定义域为实数集，值域也是[-1，1]。
它有以下性质：（1）周期性：余弦函数的图像也呈周期性振荡，周期为2π。
（2）对称性：余弦函数是偶函数，即满足f(-x)=f(x)。
（3）最值：余弦函数在某些特定点处取得最大值1和最小值-1。
余弦函数在数学、物理等领域有着广泛的应用。
例如在几何中，余弦函数可以用来计算两向量的夹角；在天文学中，余弦函数可以用来计算星球的亮度。
3. 正切函数正切函数是三角函数中最常见且重要的函数之一。
正切函数的定义域为实数集，但是在x=π/2+πk(k∈Z)处无定义。
它有以下性质：（1）周期性：正切函数的图像同样具有周期性，周期为π。
（2）奇偶性：正切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
（3）极值点：正切函数在某些特定点处没有极值。
正切函数在工程学、物理学等领域有着广泛的应用。
例如在工程测量中，正切函数可以用来计算角度的大小和测量高度。
二、指数对数函数的性质与应用1. 指数函数指数函数是以底数为常数的变底数函数。
指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
三角函数最值及其综合运用知识点总结及经典高考题解析
三角函数最值及其综合运用【考纲说明】1、了解三角函数的最值（值域），理解三角函数取最值的条件，掌握求三角函数最值的常用方法。
2、结合三角函数的性质，会求形如函数)0>,0≠)(+sin(=w A φwx A y 、)0>,0≠)(+cos(=w A φwx A y 、)0>,0≠)(+tan(=w A φwx A y 的综合问题。
【知识梳理】一、三角函数的最值 1、定义 （1）当2-2=ππk x )∈(Z k 时，x y sin =取最小值1-；当2+2=ππk x )∈(Z k 时，x y sin =取最大值1；正弦函数x y sin =)∈(R x 的值域为[]1,1-。
（2）当ππk x +2=)∈(Z k 时，x y cos =取最小值1-；当πk x 2=)∈(Z k 时，x y cos =取最大值1；余弦函数x y cos =)∈(R x 的值域为[]1,1-。
（3）)2+≠,∈(tan =ππk x R x x y 的值域为R 。
2、常用方法（1）求三角函数最值的常用方法①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等。
（2）三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间。
①求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性②含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响。
（3）具体方法：①y =a sin x +b cos x 型函数最值的求法：常转化为y （x +ϕ） ②y =a sin 2x +b sin x +c 型：常通过换元法转化为y =at 2+bt +c 型： ③y =dx c b x a ++cos sin 型：i 当x R ∈时，将分母与y 乘转化变形为sin （x +ϕ）＝()f y 型。
高中数学人教A版必修第一册3.2函数的最值(课件)
函数的基本性质
——函数的最值
复习回顾
1.函数的单调性
一般地，设函数()的定义域为，区间I⊆D:
如果∀1 , 2 ∈ ，当1 < 2 时，都有
(1 ) < (2 )，那么就称函数()在
区间上单调递增。（如右图）
y
y f ( x)
f ( x2 )
6]上单调递减。
x 1
所以，此函数在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与
最小值。即在x=2时取得最大值是2，在x=6时取得最小值
为0.4.
课堂练习
2x＋1
1.已知函数 f(x)＝
.
x＋1
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
20
15
10
5
o
14.7
当t = = 1.5 时，函
2 (-4.9)
数有最大值
1 2 3
4
t
4 (-4.9) 18 - 14.7 2
h=
29
4 (-4.9)
所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此
时距离地面的高度约为29m.
例题讲授
例2 已知函数 f ( x) 2 ( x [2，
所示，则此函数的最小值、最大值
分别是(
)
A．－1,0
B．0,2
C．－1,2
1
D. ，2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案：C
例题讲授
例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它到达最高点
时爆裂．如果烟花距地面的高度 h（单位：m）与时间 t（单位：s）之间
函数最值的求解方法及应用
函数最值的求解方法及应用函数最值问题是数学中常见且重要的问题。
函数的最值包括最大值和最小值，通常涉及函数的图像及其性质。
本文将介绍几种常见的函数最值的求解方法，并通过实例说明其应用。
一、函数最值的求解方法1.导数法导数法是求函数最值的常用方法。
对于定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)，其最值一定发生在函数的驻点或者区间的端点处。
-首先，求出f(x)的导数f'(x)。
-然后，求出f'(x)=0的解，即找到函数的驻点。
-最后，比较函数在驻点及端点处的取值，找到最大值和最小值。
2.二次函数的最值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），可以通过求导数的方法得到它的最值。
- 首先，求出f'(x)=2ax+b=0的解，即找到函数的驻点。
-如果a>0，则驻点为极小值点，此时f(x)的最小值为f(驻点)。
-如果a<0，则驻点为极大值点，此时f(x)的最大值为f(驻点)。
3.梯度下降法梯度下降法是一种可用于求解无约束最优化问题的迭代算法。
它的基本思想是通过迭代的方式逐步接近函数的最值。
-首先，选择任意一个起始点x_0。
-然后，根据函数的梯度(即导数的向量)，沿着梯度的反方向更新参数x。
-重复上述步骤，直到满足停止条件为止。
二、函数最值的应用1.经济学中的应用函数最值在经济学中有重要的应用。
例如，生产函数描述了产出与生产要素之间的关系，通过求函数最值可以确定生产要素的最佳配置方案，实现最大化的产出。
供求函数描述了市场上商品的供给和需求关系，通过求函数最值可以确定市场的平衡价格和数量。
2.优化问题的求解优化问题是数学中的一个重要分支，涉及到在一定约束条件下求解一些目标函数的最值。
例如，在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化利润或最小化成本是一个常见的优化问题。
3.最大似然估计最大似然估计是概率统计中的一种参数估计方法，通过求解似然函数的最值来选择模型的参数。
似然函数描述了给定参数下观测数据出现的可能性，通过求似然函数的最大值可以得到最优的参数估计值。
正弦函数最值及函数值范围问题
正弦函数最值及函数值范围问题引言正弦函数是高中数学中重要的函数之一，它在数学和物理等领域中有广泛应用。
本文将探讨正弦函数的最值及函数值范围问题，帮助读者更好地理解并应用这一函数。
正弦函数的基本性质正弦函数记作sin(x)，其中x为自变量，取值范围为实数集合。
正弦函数的图像是一条连续的波形，具有如下基本性质：1. 周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(x) = sin(x + 2π)。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。
3. 值域：正弦函数的值域为[-1, 1]，即-1 ≤ sin(x) ≤ 1。
正弦函数的最值问题正弦函数在每个周期内都有最大值和最小值。
根据函数的周期性，我们只需关注一个周期内的最值即可。
1. 最大值：正弦函数在区间[-π/2, π/2]的最大值为1，即sin(x) ≤ 1。
2. 最小值：正弦函数在区间[π/2, 3π/2]的最小值为-1，即sin(x) ≥ -1。
综上所述，正弦函数的最值为[-1, 1]，即-1 ≤ sin(x) ≤ 1。
函数值范围问题函数值范围是指函数的所有可能取值的集合。
对于正弦函数，函数值范围为[-1, 1]，即sin(x) ∈ [-1, 1]。
应用举例正弦函数的最值及函数值范围在实际问题中有广泛应用。
以下是一些应用举例：1. 物理学中的波动问题：正弦函数描述了许多波动现象，如声波、光波等。
2. 工程学中的周期性问题：正弦函数用于分析周期性信号，如交流电信号。
3. 数学建模中的数据拟合：正弦函数可以用于拟合周期性数据，如气温变化、经济周期等。
总结本文讨论了正弦函数的最值及函数值范围问题，突出了正弦函数的周期性和奇偶性特点，并介绍了正弦函数的最大值和最小值。
正弦函数在物理、工程和数学建模等领域中具有重要应用，读者可以根据需要灵活运用。
通过深入理解正弦函数，我们能更好地解决与之相关的问题。
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函数的基本性质之最值
题型一 利用函数的图象求最值
例1：已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1.
求f (x )的最大值、最小值.
变式练习1. 画出函数x
y 1=的图像，并求函数在以下区间上的最值： （1）]7,1[ （2）)0,5[- ]5,0(
2.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-=21,11
21,)(2x x
x x x f ，求f(x)的最大值、最小值
3. (1)函数f (x )的部分图象如图所示，则该函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是( )
A.f (－2)，f (3)
B.0,2
C.f (－2)，2
D.f (2)，2
(2)画出函数(][)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-+∞-∈-=,0,120,,2)(2x x x x x x f 的图象，并写出函数的单调区间及函数
的最小值.
题型二利用单调性求函数的最值
例2：求函数f(x)＝x
x－1
在区间[2,5]上的最大值与最小值.
变式练习已知函数y =(x [2，6])，求函数的最大值和最小值。
题型三闭区间上二次函数的最值问题
例3.已知函数f(x)＝x2－2x＋2,求f(x)在区间[1
2
，3]上的最大值和最小值
例4.已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，x∈[－1,1].
(1)若a＝1，求函数f(x)的最值；
(2)若a∈R，求函数f(x)的最小值.
变式练习1. 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5].
(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数.
题型四：利用函数最值或分离参数求解恒成立问题
例5 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x
，x ∈[1，＋∞). (1)当a ＝12
时，求函数f (x )的最小值； (2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.
变式练习1设f (x )＝x 2＋4x ＋3，不等式f (x )≥a 对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.
课后练习
1.函数)
1(11)(x x x f --=的最大值是( ) A.54 B.45 C.43 D.34
2.函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且函数y ＝f (x )在区间[3,7]上是增函数，最小值为5，那么函数y ＝f (x )在区间[－7，－3]上( )
A.为增函数，且最小值为－5
B.为增函数，且最大值为－5
C.为减函数，且最小值为－5
D.为减函数，且最大值为－5
3.已知关于x 的不等式x 2－x ＋a －1≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是
( )
A.(－∞，54
) B.(－∞，54] C.(54
，＋∞) D.[54，＋∞) 4.函数y ＝1x －2
，x ∈[3,4]的最大值为
5.函数y ＝－x 2＋x ＋2的最大值为________，最小值为________.
6.函数y ＝⎩⎨⎧ x ＋1，x ∈[－3，－1]，－x －1，x ∈－1，4]
的最小值为________，最大值为________.
7.求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[－1,1]上的最小值.
8.若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.
(1)求f (x )的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围.
9.已知函数f (x )＝x －1x ＋2
. (1)求证：f (x )在[3,5]上为增函数；
(2)求f (x )在[3,5]上的最大、小值．。