余弦定理练习题(含答案)

余弦定理练习题

1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )

A ．6

B ．2 6

C ．3 6

D ．46

2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )

A. 3

B. 2

C. 5 D ．2

3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°

4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )

A.π6

B.π3

C.π6或5π6

D.π3或2π3

5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )

A ．a

B ．b

C ．c

D ．以上均不对

6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．由增加的长度决定

8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )

A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2

9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．

10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．

11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．

12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.

13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.

15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24

，则角C ＝________. 16．三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．

17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．

18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．

19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．

20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．

余弦定理答案

1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( A )A ．6 B ．26C ．3 6 D ．46

2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( B )A. 3 B.2C. 5 D ．2

3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( D )A ．60° B ．45°C ．120° D ．150° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( D )

A.π6

B.π3

C.π6或5π6

D.π3或2π3

解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得

cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.

5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( C )

A ．a

B ．B

C ．c

D ．以上均不对

6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．由增加的长度决定

解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2.设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，

又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2，

∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．

8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )

A. 3 B ．23C.3或2 3 D ．2

解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ，∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.

9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．

解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.

在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3.答案：3 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．

解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.

设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，

∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.

11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．

解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，

∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61.答案：21或61

12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.

解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，

设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝?2k ?2＋?4k ?2－?3k ?22×2k ×4k

＝1116， 同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)

13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.

解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43，∴b ＝2 3.答案：23

15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 2

4

，则角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24

＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.答案：45°

16．三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．

解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N)，则⎩⎪⎨⎪⎧

k 2＋?k －1?2－?k ＋1?2＜0k ＋k －1＞k ＋1?2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：78