函数零点分布专题

函数零点专题（高一版）

一、已知函数解析式（不含参）求零点个数

1、基本初等函数模型

例1：若函数31(),()log (1)2x

f x

g x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭

，则方程()()f x g x =的实数根的根数为 2、复合函数模型 例2：若函数⎩⎨⎧>≤=0,log 0,2)(2

x x x x f x ，则函数[]1)(-=x f f y 的零点个数为 3、周期函数模型

例3：函数()f x 的周期为2，若[]21,1,()x f x x ∈-=，则()y f x =的图像与lg y x =的图像的交点个数为

4、具有对称性的函数模型（求和）

例4：已知函数2221,0()log ,0

x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨>⎪⎩，若()f x k =有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围为

例5：定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，[)[)

12log (1),0,1()13,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数

()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为

二、已知零点个数求参数范围

1、二次函数模型

例6：函数2()2f x x x a =-+在区间(1,3)内有一个零点，则实数a 的取值范围是 .(3,0)A - .(3,1)B - .(1,3)C - .(1,1)D -

2、分段函数模型

例7：已知函数2ln(1),0()2,0

x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围为 1

.(0,)2A 1.(,1)2

B .(0,1)

C (].0,1

D 3、复合函数模型

例8：设函数()21,02,0

gx x f x x x x ⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩，若函数()()2221y f x bf x =++⎡⎤⎣⎦有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是

4、周期函数模型

例9： 定义在R 上的偶函数()f x 满足()(4)f x f x =+，且在[]12,0,()12x

x f x ⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭，若在(]2,6-内关于x 的方程()log (2)0(0,1)a f x x a a -+=>≠恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为

三、已知零点范围求参数范围

1、一次函数模型

例10：函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是

2、二次函数模型

（1）参数在常数项上

例11：函数2()3f x x x k =--在区间(1,1)-上有零点，则实数k 的取值范围是

（2）参数在一次项系数上

例12：函数2()(1)1f x x k x =+-+在区间[]0,2上有零点，则实数k 的取值范围是

（3）参数在二次项系数上

例13：函数2()21(0)f x ax x a =-+≠在区间(0,1)(1,2)和上各有一个零点，则实数a 的取值范围是

3、两个基本初等函数

例14：已知方程23log kx x +=的根落在区间(1,2)内，则实数k 的取值范围是

答案：

例1：2； 例2：2； 例3：10； 例4：19,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭

； 例5：12a - 例6：B ； 例7：C ； 例8：)2,23(--； 例9： ()

243，； 例10：11a a <->或 例11：(2,4)- 例12： (],1-∞- 例13：3(,1)4 例14：(3,1)--