挠曲线近似微分方程

C1
Fb 6l
l2 b2
,
C2
Fab 6l
l
a
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材料力学 第六章 弯曲变形
四 积分法总结
❖ 优点：适用范围广、精确 ❖ 缺点：计算繁琐
五 刚度条件
w
max ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱax
w
练习：写边界条件和连续性条件
A
B
C
D
边界条件 wA 0; wB 0
连续性条件 wC wC;C C 或wC' wC' wD wD;D D 或wD' wD'
Mi EI wi" M EIw" M
w
wi
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材料力学 第六章 弯曲变形
例一：求图示简支梁C点挠度
y A
l/2
F
C l/2
x B
=
y
y
F
A
C
+ x
B
A
x
C
B
l/2
l/2
l/2
l/2
wC
wC q
wC F
5ql4 384EI
Fl 3 48EI
材料力学 第六章 弯曲变形
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材料力学 第六章 弯曲变形
练习（续）
y
a
x
b
l
边界条件 w 0; 0
x0
x0
连续性条件
w w ;
w w ;
xa
xa xa
xa
xb
xb xb
xb
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材料力学 第六章 弯曲变形
一 叠加§原理6.4 用叠加法求梁的变形
当梁上同时作用几个载荷时，任一横截面的总位 移，等于各载荷单独作用时该截面位移的矢量和
例二：求图示梁C点的挠度
l
F
a
A
B
C
F
B
C
A
wB
B
w1
wC
wB
w1
Fl 3
3EI
B
a
Fl 3 3EI
Fl 2 2EI
a
Fl 2 6EI
2l
3a
任意点的挠度均包含刚体位移和形变位移两部分
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材料力学 第六章 弯曲变形
例三：求图示梁C点的挠度
l
aF
分段变形叠加法
A
B
C=
F
F
A
B
C+ A
tan dw 小变形
dx
tan dw w'
dx
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材料力学 第六章 弯曲变形
1
1
w'' w'
3
22
高等数学
二 挠曲线方程推导
小变形
1 w"
w'
2
=
1
1M
EI 材料力学
w'' d 2w M dx2 EI
w''
d 2w dx2
M EI
——挠曲线近似微分方程
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F1
F2
w
=
F1
F2
+
w1
w2
二 适用条件
材料服从胡克定律和小变形条件——挠度和转角均
与载荷成线性关系
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材料力学 第六章 弯曲变形
三 简§单证6明.4：用叠加法求梁的变形
梁任意截面弯矩为 M Mi
每一弯矩单独引起的挠度为wi，根据挠曲线的近似 微分方程
EIwi" M i
EIwi"
w 0 w 0, w' 0 w
F
w w , w' w' w w , w' w'
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材料力学 第六章 弯曲变形
1. 写出弯矩方程三，若解弯题矩步不骤能用一个函数给 出，要分段写出
2. 由挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠 度函数
3. 利用边界条件、连续性条件确定积分常数， 如果分n段写出弯矩方程，则有2n个积分常 数
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材料力学 第六章 弯曲变形
例一
悬臂梁端部受载F=200N，圆形截面直径d=10mm，长度为
l=50mm，材料的杨氏模量为E=210GPa，试求外伸端的转
角和挠度。
解：任意横截面的弯矩为 y
A
M F l x
x
挠曲线近似微分方程为
l
θB
Bx
wB
EIw'' M F l x
积分，得 EIw' F x2 Flx C; EIw F x3 Fl x2 Cx D
§6.1工程中第的六弯曲章变弯形问曲题变形
§6.2挠曲线微分方程 §6.3用积分法求弯曲变形 §6.4用叠加法求梁的变形 §6.5简单超静定梁 §6.6提高弯曲刚度的一些措施
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材料力学 第六章 弯曲变形
§6.1 工程/生活中的弯曲变形
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材料力学 第六章 弯曲变形
一 基本概§念 6.2 挠曲线微分方程
材料力学 第六章 弯曲变形
一 微分§方6程.的3积用分积分法求弯曲变形
d 2w dx2
M EI
d dx
dw dx
M EI
dw dx
M EI
dx
C
w
M EI
dx
dx
Cx
D
如何确定积分常数？
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材料力学 第六章 弯曲变形
1 边界条件 二 积分常数的确定
w 0
2 连续性条件
F
Bx wB
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材料力学 第六章 弯曲变形
求图示简支梁的弯曲变形例二
y
F
FRA
a
b
A C
x1
x2
l
FRB x B
解：1）求出梁的支反力 分段列出弯矩方程
FRA
Fb l
,
FRB
Fa l
AC段
M1
Fb l
x1
0 x1 a
BC段
M2
Fa l
l
x2
a x2 l
材料力学 第六章 弯曲变形
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❖ 挠曲线：变形后梁的轴线；
❖ 挠度：横截面形心沿y方向位移，向上为正；
y
θ
θ
dw F
w
x
x
dx
截面转角（θ）：横截面对其原来位置转过的角度， 逆时针为正；等于挠曲线的倾角
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材料力学 第六章 弯曲变形
y
基本概念（续） θ
θ
dw
F
w
x
x
dx
挠曲线方程：w=f(x) 挠度与转角的关系：
分段列挠曲线近似微例分二方（程续）
AC EIw1'' M1
BC EIw2'' M 2
分段积分
EIw1'
AC
Fb 2l
x12
C1
EIw1
Fb 6l
x13
C1x1
D1
EIw2'
BC
Fa 2l
x2
l2
C2
EIw2
Fa 6l
x2
l 3
C2
x2
l
D2
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材料力学 第六章 弯曲变形
B
C
F
A
Fa
B
θB
C w1
B
wC
w1 w2
Fal 3EI
a
Fa3 3EI
Fa2 3EI
l a
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 22
F C
w2
一 基本概念§6.5简单超静定梁
y
FRA A
x1
例二（续）
F
a
b
C
x2 l
代入边界条件
w1 x10 0, w2 x2 l 0
求得积分常数
FRB x B
D1 D2 0
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材料力学 第六章 弯曲变形
y
FRA A
x1
例二（续）
F
a
b
C
x2 l
FRB x B
代入连续性条件 wC' wC' , wC wC
求得积分常数
2
62
代入边界条件 wA' A 0, wA 0
求得积分常数 C 0, D 0
例一（续）
故 EIw' F x2 Flx
y
2
A
θB
EIw F x3 Fl x2 62
x l
从而在B端
B
wB'
Fl2 2EI
,
wB
Fl 3 3EI
代入数值，θB=-0.00242rad；wB=-0.0805mm