线性卷积与圆周卷积的计算
圆周卷积的积分算法
计算步骤：
a.事先准备好滤波器参数H（k）=DFT[h（n）]，N点
b.用N点FFT计算Xi（k）=DFT[xi(n)]
c.Yi(k)=Xi(k)H(k)
程序：
function y = overlap_add(x1,x2,N)
%重叠相加法实现
%将高点数DFT转化为低点数DFT
M = length(x2);%获得x2(n)的长度
if N<M
N = M+1;
end
L = M+N-1;
Lx = length(x1);
T = ceil(Lx/N);%确定分段数
其次，我要感谢帮助过我的同学，同时也感谢学院为我提供良好的做课程设计的环境。
最后再一次感谢所有在设计中曾经帮助过我的良师益友和同学！
参考文献
[1]刘泉,阙大顺,郭志强.数字信号处理.北京：电子工业出版社，2009
[2]唐昌建.Matlab编程基础与应用.四川：四川大学网络教育学院，2003
[3]陈怀琛.数字信号处理教程-Matlab释疑与实现.北京：电子工业出版社，2004
2.2圆周卷积计算过程
具体步骤如下：
（1）在二元坐标上做出 与 ；
（2）把 沿着纵坐标翻转，得到 ；
（3）对 做圆周移位，得到 ;
（4） 与 对应相同的m的值进行相乘，并把结果相加，得到对应于自变量n的一个 ;
（5）换另一个n,重复以上两步，直到n取遍0到N-1所有的值，得到完整的 。
3重叠相加法原理
这次课程设计主要用到了matlab软件，这款软件在对数字信号处理的建模、编程、分析、实现等方面功能非常强大，由于之前在实验课中我们曾经接触过matlab，因此这次做起来相对轻松一些。我选做的题目是基于重叠相加法的圆周卷积，在开始进行程序设计之前，我先对理论知识进行了回顾，在熟悉了圆周卷积以及重叠相加法的原理以及matlab的应用环境后，我开始了软件的设计，虽说之前对matlab有所了解，但对软件里面的程序包并不了解，所以编程的过程中也遇到过很多问题，比如找不到需要用的函数，但通过查看软件自带的帮助信息我很快能够找到自己想要的东西，在熟悉了原理后，程序设计并不复杂，但程序的调试却花了很长时间，其中也遇到了一些莫名其妙的问题，调试成功后第二次再打开就不行了，经过了长时间的调试，并且在老师和Leabharlann 学的帮助下，我换了个软件终于解决了。
线性卷积与圆周卷积的计算
数字信号处理实验报告
实验名称：线性卷积与圆周卷积的计算（实验四）
专业班 级： 学生姓名： 学 号： 指导教师：
二○一 年 月 日
1
一、 实验原理 1.线性卷积
当系统输入序列为 x(n),系统的单位冲激响应为 h(n),输出序列为 y(n),则线性时不变系统 y(n) = x(n)*h(n). 2.圆周卷积
圆周移位代替线性移位的好处： 时域圆周卷积在频域上相当于两序列的 DFT 的相乘，而计算 DFT 可 以采用它的快速算法——快速傅立叶变换（FFT），因此圆周卷积和线 性卷积相比，计算速度可以大大加快。
7
调试中所遇到的问题： 图形输出与算得的不符，经过结果逆推回去，发现计算圆周卷积的一 个矩阵没有转置。 圆周卷积与线性卷积的关系： 根据实验结果，可以发现，当 N>=L+P-1 时，圆周卷积等于线性卷积； 而当 N<L+P-1 时，圆周卷积等于两个序列的线性卷积加上时间的混 叠。
6
线性卷积的运算步骤： 求 x1(n)与 x2（n） 的线性卷积：对 x1(m)或 x2（m）先进行镜像移 位 x1（-m），对移位后的序列再进行从左至右的依次平移 x(n-m),当 n=0,1,2.…N-1 时，分别将 x(n-m)与 x2（m）相乘，并在 m=0,1,2.… N-1 的区间求和，便得到 y（n）。
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
圆周卷积通用程序
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function yc = circonv(x1,x2,N) % 定义函数 if length(x1)>N
数字信号处理简答题完整版
数字信号处理简答题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】1.一般模拟信号的D F T过程连续时间信号的傅里叶变换所得信号的频谱函数是模拟角频率Ω的连续函数；而对连续时间信号进行时域采样所得序列的频谱是数字角频率ω的连续函数。
而将采样序列截断为有限长序列后做离散傅里叶变换是对被截断后序列频谱函数的等间隔采样。
由于DFT是一种时域和频域都离散化了的变换，因此适合做数值运算，成为分析信号与系统的有力工具。
但是，用DFT对连续时间信号做频谱分析的过程中，做了两步工作，第一是采样；第二是截断。
因此，最后所得到的离散频谱函数和原连续信号的连续频谱肯定存在误差。
下面我们就来分析这些误差究竟产生在哪些地方。
首先由傅里叶变换的理论可知，对于模拟信号来说，若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽，则其持续时间无限长。
所以严格来讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。
实际中，对频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生频谱混叠，先用采样预滤波的方法滤除高频分量。
那么必然会导致滤波后的信号持续时间无限长。
设前置滤波器的输出信号为xa (t)，其频谱函数Xa(jΩ)，它们都是连续函数，其中xa (t)为无限长，而Xa(jΩ)为有限长。
首先对该信号作时域采样，采样周期为T，将得到离散的无限长的序列x(nT)。
由于习惯上描述序列的频谱时用ω作为频率变量，因此必须探寻x(n)的频谱X(e jω)与xa (t)的频谱Xa(jΩ)之间的关?系。
理论上已推得，X(e jω)就是Xa(jΩ)以2π/T的周期延拓后再将频率轴Ω作T倍的伸缩后得到的图形再乘以一个常数1/T得到。
也就是X(e jω)= X(e jΩT)=1/T*∑Xa[j(Ω-k*2π/T)]这一个过程中，只要采样频率足够大，即T足够小，理论上是可以保证无混叠的，也就是能由序列的频谱X(e jω)完全恢复模拟信?号的频谱Xa(jΩ)。
实验四 有限长序列的线性卷积、圆周卷积及分段卷积(数字信号处理)
电子信息与自动化学院《数字信号处理》实验报告学号： 姓名：实验名称： 实验四 有限长序列的线性卷积、圆周卷积及分段卷积一、 实验目的(1) 在理论学习的基础上，通过本实验，加深对线性卷积、圆周卷积、分段卷积的理解；(2) 掌握计算线性卷积、圆周卷积、分段卷积的方法；(3) 体会有限长序列卷积运算的关系；二、 实验原理1、有限长序列卷积有两种形式：线性卷积和圆周卷积然而现实中要解决的实际问题是要计算两个有限长序列的线性卷积，如信号通过线性系统，系统的输出 y(n)是输入信号 x(n)与系统抽样响应 h(n)的线性卷积：y(n)=x(n)*h(n)。
设n x 1和n x 2是两个长度分别为 M 和 N 的有限长序列，则其线性卷积为)(*)()(211n x n x n y =。
)(1n y 是一个长度为 L1=N+M-1 点的有限长序列．将n x 1和n x 2均补零成 L 点的有限长序列，其中 L ≥max(M,N),则其 L 点的圆周卷积为)(]))(()([)()()(1021212n R m n x m x n x n x n y L L m L ∑-=-=⊗=，现在讨论)(1n y 和)(2n y 的关系。
显然]∑∑∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞∞=-=-=∞-∞=-=-=+=+=+-=+-=-=-=r r L r M m L M m L r L M m L L L m L rL n y n R rL n x n xn R rL m n x n R rL m n x m x n R m n x m x n R m n x m x n y )([)()](*)([)()()()()()(]))(()([)(]))(()([)(121102102112110212由此可见，L 点的圆周卷积)(2n y 是线性卷积)(2n y 以 L 为周期，进行周期延拓后在区间 0 到 L-1 范围内所取的主值序列。
离散傅立叶变换(DFT)的性质
~ (n)R (n) = 1[x((n)) + x*(( N − n)) ]R (n) xep (n) = xe N N N N 2 ~ (n)R (n) = 1[x((n)) − x*(( N − n)) ]R (n) xop(n) = xo N N N N 2
~ ~ ~ 由于 x(n) = x(n)R (n) = [ x (n) + x (n)]R (n) N e o N ~ ~ = xe (n)RN (n) + xo (n)RN (n)
*
为纯虚序列时， 当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则 为纯虚序列时 根据特性之四， X(k)=Xop(k)
* 又据X 的对称性： 又据 op(k)的对称性： op(k) = −Xop(( N − k))N RN (k) 的对称性 X
∴X(k) = −X*(( N − k))N RN (k)
总结： 总结：共轭对称性
X(0) = 1+ 2W40 + 3W40 + 4W40 = 1+ 2 + 3 + 4 = 10
X(1) = 1+ 2 41 + 3 42 + 4 43 W W W = 1+ 2 41 − 3 − 4 41 = −2− 2 41 = −2 + 2 j W W W
(1)、 (k) = Xep (k) + Xop(k) X
(2)、 ep (k) = X (−k) = X ((−k))N RN (k) X = X (( N − k))N RN (k)
* ep * ep * ep
* * (3)、 op(k) = −Xop(−k) = −Xop((−k))N RN (k) X * = −Xop(( N − k))N RN (k)
关于线性卷积及圆周卷积的简便竖式法计算
关于线性卷积及圆周卷积的简便竖式法计算
线性卷积和圆周卷积是数字信号处理中常见的两种卷积操作。
简单来说，线性卷积可以把两个信号之间的关系映射到输出上，而圆周卷积是一种更为复杂的运算，它可以寻找两个旋转的信号之间的关系。
下面就描述一下这两种卷积的简便竖式法计算。
线性卷积：
输入：
f(n)=x(n)*h(n)
f：输入信号；
x：样本函数；
h：滤波器。
步骤：
（1）将输入信号f分段；
（2）用滤波器在f的每一段输入取值上乘以x；
（3）对f的每一段结果求和，最终得到f的线性卷积输出。
圆周卷积：
输入：
F(n)=X(n)*H(n)
F：输入信号；
X：变换函数；
H：滤波器。
步骤：
（1）将输入信号F分段，每一段变换为正弦、余弦等函数；
（2）对每一段变换后的函数，用滤波器H乘以X；
（3）对每一段变换后函数结果求叠加和，以得到F的圆周卷积输出。
总结：
上述简便竖式法计算描述了两种卷积的计算步骤，即线性卷积和圆周卷积，在结果求叠加和时，用来表示信号实际上与自身的旋转有关的圆周卷积结果是不同的。
因此，这两种卷积的计算采用的步骤也有所不同。
以上就是线性卷积及圆周卷积的简便竖式法计算的长文描述。
圆周卷积
五. 圆周卷积定理 （ Circular convolution ）
1. 圆周卷积和的定义：
两个长度为 N 的序列 的如下计算称为圆周卷积和，用 符号 N 表示： （N表示圆周卷积的点数）
x1(n)
N
x2
(n)
N 1 m0
将 Y (k) 周期延拓： Y~(k) X~1(k)X~2(k)
则有： ~y (n) IDFS Y~(k)
N 1
~x1 (m)
~x2
(n
m)
m0
N 1
x1((m))N x2 n mN m0
在主值区间 0 m N 1, x1((m)) N x1(m) ，所以：
y(n) ~y(n)RN (n)
其中
k e j
k
z
z e j
1 zN
N (1WNk z 1) ze j
1 N
1 e jN
j k 2
1 e N
k e j
1 N
1 e jN e j 2k
j k 2
1 e N
1 1 e j (N 2k ) j k 2
N 1e N
j N 2k
N
1
W (mn N
)
k
k 0
x(n rN ) r
利用性质
N 1 j 2 pk N ，p rN
eN
k 0
0
，其他
p
由 ~xN (n) x(n rN ) 可知： r ~xN (n) 是 x(n) 以 N 为周期的周期延拓； 也就是说： 频域抽样造成时域周期延拓。
3. 频域抽样定理：
x1
线性卷积和圆周卷积的关系
X~
(k0
)e
jk
2 NT
nT
k
X~
(k0
)e
j
2 N
nk
k
频域的周期和采样间隔：
s 2fs 2 / T 2 /(Tp / N ) N0
~x (nT ) 时域周期、离散，周期为 N，采样间隔 T；
X~(k0 ) 频域周期、离散，周期为 N，采样间隔 0
反变换推导初步结果：
~x (n)
L 1
圆周卷积为： y(n) [ x1(m)x2 ((n m)) L ] RL (n) m0
这里必须将一个序列变成 L 点周期延拓序列，这里采用 x2 (n) 序列：
~x2 (n) x2 ((n)) L
x2 (n rL)
r
把它带入到 y(n) 中并考虑到前面的线性卷积公式，可得到：
L 1
k 0
n0
因此
X~ (k )
1
N
1
~x (n)e
j
2 N
kn
N n0
3、为与其他变换的书写形式统一，常写成
X~ (k )
N
1
~x
(n)e
j
2 N
kn
，k
~
n0
~x (n)
1 N
N
1
X~
(k
)e
j
2 N
nk
k 0
，
n
~
以上就是离散傅立叶级数（DFS）变换对
引入符号：
j 2
WN e N
正变换：
n0
j 2 rN
1 e
N j 2 r
1e N
N, 0，
有
r mN , m为任意整数 其他r
数字信号处理复习题
数字信号处理期末考试复习题简答题1.抽样定理：若xa(t)频带宽度有限，要想抽样后能不失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于等于两倍信号谱的最高频率即fs≥2fn否则抽样后会发生频谱混叠。
2.无限长单位冲激响应滤波器IIR的特点：系统的单位冲击响应h(n)是无限长的；系统函数H(z)在有限z平面（0<|z|<∝）上有极点存在；结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上是递归的。
3.圆周卷积和线性卷积之间的关系：设x1(n)、x2(n)分别为N1、N2点有限长序列，周期卷积是线性卷积以L为周期的周期延拓序列，圆周序列、圆周卷积是周期卷积的主值区间，当L≥N1+N2-1时，圆周卷积能代表线性卷积。
4.全通系统零极点分布特点：关于单位圆呈镜像共轭对称分布，其中极点在单位圆内，零点在单位圆外。
5.窗函数选择条件，设计步骤：条件：窗谱主瓣尽可能地窄，以获得较陡的过渡带；尽可能的减小窗谱最大旁瓣的相对幅度，也就是能量尽量集中于主瓣，这样使肩峰和波纹减小，就可增大阻带的衰减。
步骤：给定所要求的理想的频率响应函数Hd(e jω);利用Hd(e jω)的傅里叶反变换导出hd(n),hd(n)=1/2∏∫-ππHd(e jω) e jωn dw；有过渡带宽及阻带最小衰减的要求来选择窗函数w(n)的形状及N的大小；求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应h(n)=hd(n).w(n) n=0,1,…N-1;求H(ejw)=∑n=0,N-1h(n) e-jωn检验是否满足设计要求。
6.线性相位滤波器的特点：h(n)是实函数h(n)=±h(N-n-1);h(n)关于对称中心N-1/2奇偶对称。
7.因果系统零极点的分布特点：极点在单位圆内。
最小相位延时系统，零点在圆内；最大相位超前系统，零点在圆外。
非因果系统：极点在单位圆外。
最小相位超前系统，零点在圆外；最大相位超前系统，零点在圆内。
8.冲击响应不变法的优点：使得数字滤波器的冲击响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率Ω和数字频率w之间呈线性关系w=ΩT；缺点：有频率响应混叠效应，冲击响应不变法只适用于限带的模拟滤波器，高通和带阻滤波器不宜采用9.阶跃响应不变法优点：频率响应的混叠现象随着Ω的增加比冲击响应不变法的小；缺点：仍存在混叠失真10.双线性变换法优点：避免了频率响应混叠现象；缺点：Ω增加时变换关系是非线性的，频率Ω和w之间存在严重非线性关系11.冲击响应不变法和阶跃响应不变法适合低通，带通滤波器；双线性变换适合低通、高通、带通、带阻。
11圆周卷积
11圆周卷积圆周卷积圆周运算其实圆周运算是针对周期序列⽽⾔的，由于周期序列在每⼀个周期内的取值都相同，所以我们只关注它的主值区间，⽐如，如果⼀个序列的长度为N的话，那么它的主值区间就是0\leq n\leq N-1。
虽然圆周运算是源⾃于对周期信号的处理，但是经过⼀般化的扩展之后，对有限长序列也可以进⾏圆周运算。
具体就是，你可以把有限长序列以它的长度为周期，进⾏周期延拓成⼀个周期序列，然后进⾏运算，然后取其主值区间进⾏观察得到的结果。
圆周反褶圆周反褶就是⼀个周期序列进⾏反褶之后，取其主值区间序列。
因为⼀个周期序列反褶之后还是周期序列，所以这么做是合理的。
假设⼀周期信号在其主值区间的取值为x[n]={x[0],x[1],x[2],x[3],x[4]}即该序列的周期为5，那么反褶后的信号为(只关注主值区间)\begin{aligned} y[0]&=x[0]=x[0] \\ y[1]&=x[-1]=x[5-1]=x[4] \\ y[2]&=x[-2]=x[5-2]=x[3] \\ y[3]&=x[-3]=x[5-3]=x[2] \\ y[4]&=x[-4]=x[5-4]=x[1] \end{aligned}为了⽅便⽤数学的语⾔描述这种运算，⾸先看⼀种数学上的模运算运算，⾸先看⼏个模运算的例⼦：\begin{aligned} 2 \,mod \, 5 =2 \\ 6 \, mod \, 5 = 1 \\ -3 \, mod \, 5 = 2 \end{aligned}不知道⼤家看出来没有，模运算其实就是求余，2对5的余数就是2，6对于5的余数是1，⽽-3对5的余数应该为(-3+5)\, mod\, 5=2(加上5之后不影响余数的⼤⼩，因为5⼀直能整除5，5对5的余数⼀直是0)我们把2 \, mod\, 5记作<2>_5，所以我们定义圆周反褶为y[n]=x[<-n>_N]其中N为序列x[n]的长度。
线卷与圆卷
写在前面：本文主要讨论圆周卷积的一种特殊情况：圆周卷积的点数小于参与卷积的序列的长度的情况。
这种情况在大多数《数字信号处理》教材和习题中都没有专门提及或涉及，所以在计算过程中给很多同学带来了困惑。
结课后这两天终于能轻松一点，重新把这个问题思考了一下，整理成文，供大家学习讨论。
从信号与系统的角度来考虑，“圆周卷积的点数小于参与卷积的序列的长度的情况”不具有太多的实际意义，因为在这种情况下信号周期化的过程中存在混叠，运算前信号已经产生失真。
但从理论的角度来看，作为圆周卷积的一种特殊情况还是值得讨论的，通过讨论可以更好的理解圆周卷积与周期卷积、线性卷积的关系及计算方法。
另外，本文与考试无关，仅希望通过本文让大家更好的理解三种卷积之间的关系。
如有疑问，可继续讨论。
黄勇坚2011年7月3日圆周卷积与周期卷积、线性卷积的关系及计算一、三者关系设：1122()01()01x n n N x n n N ≤≤-≤≤-N ：圆周卷积的点数⏹ 圆周卷积是周期卷积的主值序列。
周期卷积：1120()()()N m yn x m x n m -==-∑ （1） 圆周卷积：1120()()()[()(())]()N c N N N m y n yn R n x m x n m R n -===-∑ 1210[()(())]()N N N m x m x n m R n -==-∑（2）注意：（2）式直接使用的前提是圆周卷积的点数N 应满足：12max[,]N N N ≥（一般题目均符合此种情况）若12N N N N <<或时，则不能直接用（2）式计算，否则分别用（2）式中的两个公式计算，即在12()()x n x n 、卷积顺序不同时，会出现计算结果不一致的问题。
这种情况下应从圆周卷积与周期卷积的关系出发，将（2）式改为：1120()()()[(())(())]()N c N N N N m y n yn R n x m x n m R n -===-∑ 1210[(())(())]()N N N N m x m x n m R n -==-∑（3）即在此种情况下，首先需对12()()x n x n 、都进行周期为N 的延拓，然后再取主值序列进行计算。
圆周卷积与周期卷积、线性卷积的关系与计算
圆周卷积与周期卷积、线性卷积的关系及计算一、三者关系设：1122()01()01x n n N x n n N ≤≤-≤≤-N ：圆周卷积的点数⏹ 圆周卷积是周期卷积的主值序列。
周期卷积：1120()()()N m y n x m x n m -==-∑ （1）圆周卷积：1120()()()[()(())]()N c N N N m y n y n R n x m x n m R n -===-∑1210[()(())]()N N N m x m x n m R n -==-∑ （2）注意：（2）式直接使用的前提是圆周卷积的点数N 应满足：12max[,]N N N ≥（一般题目均符合此种情况）⏹ 周期卷积是线性卷积的周期延拓。
线性卷积：1112120()()*()()()N l m y n x n x n x m x n m -===-∑212121()()()*()N m x m x n m x n x n -==-=∑ （4）圆周卷积与线性卷积的关系：()[()]()c l N r y n y n rN R n ∞=-∞=+∑ （5）注意：上述关系式对任意长度的圆周卷积均适合。
二、举例说明1、对于12max[,]N N N ≥的情况，各教材例题很多，不再举例。
2、12N N N N <<或的情况。
习题8.已知序列()()2(1)(4)3(5)x n n n n n δδδδ=+-+-+-,4()()y n R n =，求：（1）()()*()z n x n y n =（2）()()f n x n =○5()y n （5点圆周卷积）。
解：(){1,2,0,0,4,3},(){1,1,1,1}x n y n ==（1）()()(){1,3,3,3,3,4,4,4,3}z n x n y n =*=（过程略） （2）()()f n x n =○5()y n （5点圆周卷积），N =5。
线性卷积与圆周卷积演示程序的设计
1.设计基本原理1.1课题研究的背景卷积运算广泛的应用于通讯、电子、自动化等领域的线性系统的仿真、分析及数字信号处理等方面。
在MATLAB中可以使用线性卷积和圆周卷积实现离散卷积。
线性卷积是工程应用的基础，但圆周卷积实现线性离散卷积具有速度快等优势。
圆周卷积采用循环移位，在MATLAB中没有专用函数，需要根据圆周卷积的运算过程编制程序代码。
本实验主要围绕线性卷积和圆周卷积的演示程序设计来展开，给出了线性卷积和圆周卷积演示的程序及动态实现。
在线性时不变连续系统中，利用系统的冲激响应和叠加原理来求系统对任意激励信号作用时的零状态响应，这就是卷积方法的原理。
因此，在时域内，卷积运算是求解线性非时变系统零状态响应的重要方法，特别是激励信号为时限信号时尤其如此。
卷积运算的计算比较复杂，是信号与系统分析中的重点和难点，特别适合用于计算机来计算。
以往的卷积积分多用fortran、c、VB等语言编程，不仅编程繁琐，而且可视性差。
用MATLAB来计算卷积积分问题要比用C、FORTRAN 等语言完成相同的事情简洁的多。
在MATLAB中，有很多现成的函数可以直接调用，而且在计算机方面，可以直接用相应的计算机符号即可。
在编写程序语言方面，它与其他语言相比更为简单。
正因为上述原因，使他深受工程技术人员及科学专家的欢迎，并很快成为应用学科计算机辅助分析、设计、仿真、教学等领域不仅可缺少的基础软件。
1.2课题研究意义本课程为电子信息工程专业的独立实践课，是建立在信号与系统、数字信号处理等课程的基础上，加强实践环节而开设的。
其目的在于通过本课程设计使学生进一步巩固数字信号处理的基本概念、理论、分析方法和实现方法；使学生能有效地将理论和实际紧密结合；增强学生软件编程实现能力和解决实际问题的能力。
通过课程设计，主要达到以下的目的：（1）使学生增进对MATLAB的认识，加深对信号处理理论的理解。
（2）使学生掌握数字信号处理中频谱分析的概念和方法。
线性卷积和圆周卷积
x1 ( n)
DSP
1
0
x2 ( n)
N 1
n
1
0
x2 ((0 m)) N RN ( m)
N 1
n
1
x2 ((1 m)) N RN ( m)
1
N 1
m
0
y ( n) x1 ( n) N x2 ( n)
N 1
m
3 2 1 0
N 1
m
结论
DSP
设两序列为x(n)和h(n)，长度分别为N、M；则其 线形卷积的长度为N+M-1，而圆周卷积的长度为 K=Max（N，M）。实际上还可以计算K+1、 K+2、。。。、N+M-1、N+M、N+M+1….等点 的圆周卷积，只有L≥N1＋N2－1，则L点圆周卷 积和线性卷积相等。
DSP
圆周卷积过程
DSP
补零：若 x(n) 的长度是 N，h(n) 的长度是 M， 取，对序列补零至H点。 周期延拓：先在哑变量坐标 m 上作出 x(m) 和 h(m)，将h(m)周期延拓。 翻褶，取主值序列：对 h(m)以 m=0的垂直轴 为对称轴翻褶成h (-m)，然后取主值序列。 圆周移位：对得到的序列进行圆周移位。 相乘相加：与 x(m) 对应项相乘，并累加，得到 y(n)
DSP
线性卷积和圆周卷积
付海燕
实验目的
DSP
理解离散序列的线性卷积与圆周卷积的原理，比 较其相同和不同点 掌握线性卷积与圆周卷积的计算步骤和计算方法 能熟练使用Matlab的相关命令。
卷积和的运算步骤
DSP
翻 褶 ： 先 作 出 x(m) 和 h(m)， 将 h(m) 以 m=0的垂直轴为对称轴翻褶成h(-m)。 移位：将h(-m)移位，即得h(n-m)。当n为正 整数时，右移n位。当为负整数时，左移n位。 相乘：再将 h(n-m) 和 x(m) 的相同 m 值的对应 点值相乘 相加：把以上所有对应点的乘积叠加起来，即得 y(n)值。
20点圆周卷积,并与线性卷积结果比较。
1、计算下列信号的圆周卷积，分别求出15点，20点圆周卷积，并与线性卷积结果比较。
)()(),5(7.0)(),(*)()()()(),(7.0)(),(*)()(1021552222101151111n R n h n R n x n h n x n y n R n h n R n x n h n x n y n n =-=====-分析线性卷积和圆周卷积之间的关系。
2.利用MALAB 分别求120()0.9()n x n R n =，225()0.9()n x n R n =与10()()h n R n =卷积和，并对两个线性卷积的结果进行比较，并给出其中一个用笔算时卷积和conv 计算线性卷积对照图；。
3. 已知系统的差分方程和输入信号分别为用递推法计算系统的零状态响应和零输入相应。
4. 有四个分系统T 1、 T 2、 T 3和T 4， 四个分系统分别用下面的单位脉冲响应或者差分方程描述：编写程序计算整个系统的单位脉冲响应h (n ), 0≤n ≤99。
5.假设系统函数如下式：(1) 画出极、 零点分布图， 并判断系统是否稳定；(2) 用输入单位阶跃序列u (n )检查系统是否稳定。
6. 下面四个二阶网络的系统函数具有一样的极点分布：)2(2)()1(21)(-+=-+n x n x n y n y {} 1 ,2 ,4 ,3 ,2 ,1 )(=n x ⎪⎩⎪⎨⎧==其它05,4,3,2,1,021)(:11n n h T n⎩⎨⎧==其它05,4,3,2,1,01)(:22n n h T )2(41)1(21)(41)(:33-+-+=n x n x n x n y T )1()()2(81.0)1(9.0)(:4-++---=n v n v n y n y n y T 5147.13418.217.098.22505)(2342-++--+=z z z z z z z H试用MA TLAB 语言研究零点分布对于单位脉冲响应的影响。
语音信号处理入门系列（2）——信号处理中的几个关键概念
语⾳信号处理⼊门系列（2）——信号处理中的⼏个关键概念数字信号 信号是信息的物理载体，信息是信号的具体内容。
连续时间信号：在连续时间范围内定义的信号，信号的幅度可以是连续的（模拟信号），也可以是离散的离散时间信号：时间为离散变量的信号，即独⽴变量时间被量化了，⽽幅度仍是连续变化的数字信号：时间离散⽽幅度量化的信号从模拟信号到数字信号我们经常处理语⾳的时候会发现两个常⽤的格式：“pcm”和“wav”，这两种格式其实本质上是⼀样的，pam是脉冲编码调制(p ulse c odem odulation)的⼀个缩写，pcm的实质就是这三个步骤：采样量化编码。
数字信号基本运算移位：设某⼀序列x(n)，当m>0 时，x(n-m) 表⽰序列x(n) 逐项依次延时（右移）m 位。
(左加右减)翻褶：设某⼀序列x(n)，则x(-n) 是以n=0 的纵轴为对称轴将x(n) 加以翻褶。
和：z(n)=x(n)+y(n)积：z(n)=x(n)·y(n)累加：y(n)=\sum_{k=-\infty}^{n}x(k)差分 (⼀阶)：y(n)=x(n)-x(n-1)尺度变换：对于序列x(n), 形如x(mn)或者x(\frac{n}{m})（m为正整数）的序列为x(n)的尺度变换序列。
以x(2n)为例，是以低⼀倍的抽样频率从x(n)中每隔两点取⼀点，这种运算称为抽取，常⽤于语⾳信号的下采样，通常在抽取之前要加⼊⼀个防混叠的滤波器。
类似的，x(\frac{n}{2})称为插值，在语⾳信号每两个点之间插⼊⼀个值，因为我们不知道这个插⼊的值是多少，⼀般插0，本⾝信息并没有增加，通常在插值之后我们还需要⼀个平滑，也就是在插⼊这些零点之后，后接⼀个平滑滤波器，利⽤相邻采样点之间的取值，把插⼊的值算出来，常⽤于语⾳升采样。
线性卷积 (linear convolution) : y(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m) h(n-m)=x(n) * h(n)由卷积的定义可知，卷积在图形表⽰上可分为四步：翻褶、移位、相乘、相加。
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1.实验目的
1) 通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力。
2) 掌握线性卷积与圆周卷积软件实现的方法，并验证两者之间的关系。
2.基本原理
线性卷积；圆周卷积；两个有限长序列的线性卷积；圆周卷积与线性卷积的关系。
3.实验内容及要求
已知两个有限长序列
X(n)= S (n)+2 -⑪+3 S -2)+4 S -3)+5 S (rt)
h(n)= S (n)+2-1S+(n S -2)+2 S (3)
1.编制一个计算两个线性卷积的通用程序，计算x(n)*h(n) 。
2•编制一个计算圆周卷积的通用程序，计算上述4种情况下两个序列x(n)与h(n)的圆周卷积。
3.上机调试并打印或记录实验结果。
4.将实验结果与预先笔算的结果比较，验证真确性。
4.相应程序及图像
1 )编制一个计算两个序列线性卷积的通用程序，计算x(n)*h(n).
clear all;
xn=[1 2 3 4 5];
hn=[1 2 1 2];
yln=conv(xn,hn);
ny=[0:1:length(yln)-1];
stem(ny,yln);
xlabel('时间序号n');
ylabel('信号幅度');
title('线性卷积');
线性卷积
1
1
T
—
2)编制一个计算圆周卷积的通用程序，计算上述4种情况下两个序列x(n)与h(n)的圆周卷
积。
主程序：
clear all
clc
N=[5 6 9 10];%圆周卷积的长度向量
xn=[1 2 3 4 5];
hn=[1 2 1 2];
y1n=conv(xn,hn)%计算线性卷积
ny仁0:length(y1 n)-1;%分别计算x (n)和h ( n)的5点，6点，9点和10点圆周卷积
yc1=circ onv(xn,hn,N ⑴)
yc2=circo nv(x n,h n,N(2))
yc3=circo nv(x n,h n,N(3))
yc4=circonv(xn,hn,N(4))%分别作出线性卷积和取不同点数的圆周卷积的图像比较
subplot(1,2,1)
stem (n y1,y1 n);
xlabel('时间序号n');
ylabel('信号幅度');
title('线性卷积');
subplot(1,2,2)
stem(0:N(1)-1,yc1);
xlabel('时间序号n');
ylabel('信号幅度');
title('5点圆周卷积');
figure subplot(1,2,1) stem(ny1,y1n); xlabel(' 时间序号n'); ylabel(' 信号幅度');
title(' 线性卷积'); subplot(1,2,2) stem(0:N(2)-1,yc2); xlabel(' 时间序号n'); ylabel(' 信号幅度'); title('6 点圆周卷积'); figure subplot(1,2,1) stem(ny1,y1n); xlabel(' 时间序号n'); ylabel(' 信号幅度'); title(' 线性卷积'); subplot(1,2,2) stem(0:N(3)-1,yc3); xlabel(' 时间序号n'); ylabel(' 信号幅度'); title('9 点圆周卷积'); figure subplot(1,2,1) stem(ny1,y1n); xlabel(' 时间序号n'); ylabel(' 信号幅度'); title(' 线性卷积'); subplot(1,2,2) stem(0:N(4)-1,yc4); xlabel(' 时间序号n'); ylabel(' 信号幅度'); title('10 点圆周卷积');
2. 圆周卷积的函数function yc=circonv(x1,x2,N) if length(x1)>N
error('N 必须大于等于x1 的长度'); end if length(x2)>N
error('N 必须大于等于x2 的长度'); end x1=[x1,zeros(1,N-length(x1))];
x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))];
n=[0:N-1];
x2=x2(mod(-n,N)+1); H=zeros(N,N); for n=1:1:N
H( n,:)=cirshiftd(x2, n-1,N); end yc=x1*H ：
3.实现圆周移位的函数
function y=cirshiftd(x,m,N) if len gth(x)>N
error('x 的长度必须小于 N'); end x=[x,zeros(1,N-le ngth(x))]; n=[0:1:N-1];
y=x(mod( n-m,N)+1);
线性卷积
2 4 时间序号n 8
4 J I T" ^12 0 8 6 4 2
20
4
1
12 3 4
时间序号n
线性卷积 2
4
6
时间序号n
O 8 € 4 2 O 8 6 4 2C
O
2
d i 1— 1— 1
6点圆周卷积
线性卷积 c 0864208642
2 d i 1 1— 1
9,点圆周卷
积
10点回周卷积
5 10
时间序号n
5•思考题
1） 线性卷积的运算步骤一般可分为哪几个部分？圆周卷积的运算步骤一般可分为哪几
个部 分？比较两者之间的异同。
线性卷积：翻转，移位，相乘，相加； 圆周卷积：翻转，移位，相乘，相加，取主值；
2） 采用圆周卷积运算代替线性卷积运算的原因？
运算量小。
20
20
銭性卷积。