高一数学同角三角函数关系式
同角三角函数的两个基本关系
同角三角函数的两个基本关系
同角三角函数的基本关系如下：
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1。
(2)商数关系：sin2α/cos2α＝tanα。
同角三角函数关系式的常用变形：
(sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα。
诱导公式的记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号。
应用诱导公式时应注意的问题：
(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定。
(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号。
(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化。
高中数学第12讲 同角三角函数关系及诱导公式(教案)新人教版必修1
第十二讲同角三角函数关系及诱导公式知识要点：1.同角三角函数基本关系： 〔1〕基本关系：①平方关系:sin 2α＋cos 2α＝12211tan cos αα+=②商数关系:tan α＝sin αcos α〔α≠k π＋π2，k ∈Z 〕；cot α＝cos αsin α〔α≠k π，k ∈Z 〕．③倒数关系: 1tan cot αα=〔12k απ≠〕 〔2〕常用变换形式:〔1〕根据这三大关系，假设一个角α的位置，及其一个三角函数值，那么一定能求出其余的三角函数值． 〔2〕几个常用关系式：sinα+cosα，sinα--cosα，sinα·cosα；三式之间可以互相表示。
2.诱导公式： 〔〔①六组诱导公式统一为“()2k k Z πα±∈〞，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. ②求任意角的三角函数值方法和步骤：负化正---→大化小---→小化锐，表达了化归思想。
(1)利用诱导公式〔三〕将负角的三角函数变为正角的三角函数. (2)利用诱导公式〔一〕化为0°到360°间的角的三角函数. (3)进一步转化成锐角三角函数. 二.基础练习1.化简1－sin 24 的结果为－cos42.化简sin 4θ＋cos 2θ＋sin 2θcos 2θ= 13.tan θ＝2aa 2－1 (其中0＜a ＜1，θ是三角形的一个内角)，那么cos θ的值是a 2－1a ＋14.化简：2－sin 221°－cos 221°＋sin 417°＋sin 217°·cos 217°＋cos 217°解：原式＝2－〔sin 221°＋cos 221°〕＋sin 217°〔sin 217°＋cos 217°〕＋cos 217°＝2－1＋sin 217°＋cos 217°＝1＋1＝25．sin 〔π－α〕＝log 814 ，且α∈(－π2，0)，那么tan α的值是－56．︒⋅--⋅︒690cos )619cos()313tan(330sin ππ的值是.－37.求值：23456tantantan tan tan tan tan 777777πππππππ++++++8.设002900,3cos 2sin 3≤≤=-βαβα，，求βα与。
同角三角函数基本关系式及诱导公式
√
21 A.25
25 B.21
4 C.5
5 D.4
解析 sin α· (sin α－cos α)＝sin2α－sin α· cos α
sin2α－sin α· cos α tan2α－tan α ＝ ＝ ， 2 2 2 sin α＋cos α tan α＋1 3 将 tan α＝－4代入， 3 3 2 － － － 4 4 21 得原式＝ 3 ＝25. 2 － ＋1 4
√
12 C.－ 5
12 D. 5
12 解析 因为 α 是第四象限角，sin α＝－13， 5 2 所以 cos α＝ 1－sin α＝13，
sin α 12 故 tan α＝cos α＝－ 5 .
解析 答案
3 2.(2017· 安徽江南十校联考)已知 tan α＝－4，则 sin α· (sin α－cos α)等于
1
2
3
4
5
6
7
解析
答案
题组三 易错自纠 3 3π 5.设 tan α＝ 3 ，π<α< 2 ，则 sin α－cos α 的值为
√
1 3 A.－2＋ 2
1 3 B.－2－ 2
1 3 C.2＋ 2
1 3 D.2－ 2
解析
3 3π ∵tan α＝ 3 ，π<α< 2 ，
1 3 ∴sin α＝－2，cos α＝－ 2 ， 1 3 1 3 ∴sin α－cos α＝－2－－ ＝ 2 －2. 2
解析 tan α＋1 2＋1 原式＝ ＝ ＝3. tan α－1 2－1
3
.
π α － cos 2 4.[P28T7]化简 5 sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 · π ＋ α sin 2
高一数学人教A版必修一5.2.2同角三角函数的基本关系课件
cos 5 4 4
如果α是第四象限角,那么 cos 4 , tan 3
5
4
例3、 已 知tan 3，为 第 三 象 限 角 ， 求sin ,cos的 值 。
4
联 立 方 程 组
tan sin cos
方程(组)思想
si n2 cos2 1
练 习1、 已 知sin cos 5 ，180 270， 求tan的 值 。
5
所 以tan sin 2 cos
类型二：应用同角三角函数的基本关系化简三角函数式
例4、 化 简(：1) sin cos tan 1
切化弦
si n si n
co s
1
co s
si n si n
cos cos
2cos2 1
(2)
1 2sin2
“1”的代换
2cos2 (sin2 cos2 )
(2)求
s
i
n2 5
si
sin cos n cos si
n2
3co
s2 1
(3)求2sin2 sin cos 3cos2
小结 1、同角三角函数的基本关系
平方关系: sin2 cos2 1
商数关系: tan si n ( k , k Z )
cos
2
2、已知sinα(或cosα)求其它
4
3
例2、 已 知sin 3 ,求cos , tan的 值 。
5
解：因为sinα<0，sinα≠-1, 所以α是第三或第四象限角
由sin2α+cos2α=1得 cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 .
5 25
如果α是第三象限角,那么 cos 16 4
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
课堂互动讲练
考点一
诱导公式的应用
应用诱导公式进行化简或证明时， 首先根据题意选准公式再用，一般是负 变正、大变小的思想．
在使用诱导公式时，α可为任意角， 并不一定要为锐角，只不过是在运用的 过程中把它“看作”是锐角而已．“奇 变偶不变，符号看象限”同样适用于正 切和余切．如tan(270°－α)＝cotα等．
cos2x－1 sin2x＝
cos2x＋sin2x cos2x－sin2x
，想法
使分
子分
母都出现 tanx 即可．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：联立方程：
sinx＋cosx＝15， sin2x＋cos2x＝1.
① 2分
②
①式两边平方得：sin2x＋cos2x＋2sinxcosx
＝215，
∴2sinxcosx＝－2245.4 分 ∵－π2<x<0，∴sinx<0，cosx>0. ∴sinx－cosx＝－ sin2x－2sinxcosx＋cos2x
三基能力强化
5．已知scions2θθ＋＋14＝2，那么(cosθ ＋ 3)(sinθ＋1)的值为________．
解析：∵scions2θθ＋＋14＝2，∴sin2θ＋4＝ 2cosθ＋2，
∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得 cosθ＝ 1 或 cosθ＝－3(舍去)，由 cosθ＝1 得 sinθ ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.
规律方法总结
公式中 k·π2＋α 的整数 k 来讲的．“象
限”指在 k·π2＋α 中，将 α 看作锐角时 k·π2＋
α
所在的象限，如将
cos(32π＋α)写成
π cos(3·2
高一数学同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 2π 【例 3】 已知 sin(π－α)－cos(π＋α)＝ ( <α<π)．求下列各式的值： 3 2 (1)sin α－cos α； π π (2)sin3( －α)＋cos3( ＋α)． 2 2 2 思路点拨：(1)运用诱导公式化简已知条件可得 sin α＋cos α＝ ，再对其两边平方，得 3 2sin α· α 的值，则可求(sin α－cos α) 2 的值，进而求 sin α－cos α 的值． cos (2)化简所求，并分解因式，利用(1)的结果求解．
π sin －α 2 ＝sin α· π cos －α 2 cos α 3 ＝sin α· ＝cos α＝ . 5 sin α 故选 C.
熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题成 败的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．
sinπ－xcos2π－xtan－x＋π 31π 变式探究 21： (2010 年广东惠州模拟)已知 f(x)＝ ， f(－ 则 ) π 3 cos－ ＋x 2 的值为( ) 1 1 3 3 (A) (B)－ (C) (D)－ 2 2 2 2 sin x· x· cos －tan x 解析：∵f(x)＝ sin x ＝－cos x· x＝－sin x， tan 31π 31π 31π ∴f(－ )＝－sin(－ )＝sin 3 3 3 π π 3 ＝sin(10π＋ )＝sin ＝ ，故选 C. 3 3 2
)
【例 2】 (2011 年安徽合肥市模拟)已知 sin α 是方程 5x 2－7x－6＝0 的一个根，且 α 是第 三象限角， 3π 3π sin－α－ cos －α· 2π－α tan 2 2 则 ＝________. π π cos －αsin ＋α 2 2
同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数的基本关系式及诱导公式1.同角三角函数基本关系式平方关系:sin 2α+cos 2α=1;商数关系:tanα=2.α相关角的表示(1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α;(2)终边与角α的终边关于x 轴对称的角可以表示为-α(或2π-α);(3)终边与角α的终边关于y 轴对称的角可以表示为π-α;(4)终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角可以表示为 -α.3.诱导公式(1)公式一 sin(α+k ·2π)=sinα ,cos(α+k ·2π)=cosα, tan(α+k ·2π)=tanα,其中k ∈Z.(2)公式二sin(π+α)=-sinα ,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα.(3)公式三 sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα.(4)公式四 sin(π-α)=sinα ,cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα.(5)公式五 (6)公式六即α+k ·2π(k ∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号; ±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指“k · ±α(k ∈Z)”中k 的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角时原函数值的符号 1.cos300°=( ) 解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60°4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( )A.第二象限B.第一象限C.第四象限D.第三象限解析:∵2008°=6×360°-152°,∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0,cos2008°=cos152°<0,∴点P 在第四象限..sin cos αα,.22sin cos cos sin αππααα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,.22sin cos cos sin αααππα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π()4,543..3432.sin ,ta 4..43n A B C D ααα-±=±若且是第二象限角则的值等于:,cos t 3,5454.5n 3a 3sin cos ααααα==-⎛⎫==-∴==- ⎪⎝⎭∴解析为第二象限角()1,33611..33..333.sin cos A B C D ααππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--已知则的值为,6236231.33:cos cos sin πππαπππααααπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭+∴解析类型一 利用同角三角函数基本关系式化简求值解题准备:本考点的试题难度不大,而对公式的应用要求准确､灵活,尤其是利用平方关系sin 2α+cos 2α=1及其变形形式sin 2α=1-cos 2α或cos 2α=1-sin 2α进行开方运算时,特别注意符号的判断.如果所给的三角函数值是字母给出的,且没有指定角在哪个象限,那么就需要结合分类讨论的思想来确定其他角的三角函数值. 【典例1】 (1)已知sinα= ,且α为第二象限角,求tanα; (2)已知sinα= ,求tanα; (3)已知sinα=m(m≠0,m≠±1),求tanα.(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1),∴cosα=±=±(当α为第一､四象限角时取正号,当α为第二､三象限角时取负号), 所以当α ;当α为第二､三象限角时,tanα= [反思感悟] ,关键是掌握住“先平方,的平方关系相联系的cosα,再由公式求tanα.在(3)中,α为第四象限角,但 ,原因是m 此时小于0,所以形式上tanα的表达式前面仍不带负号.类型二 诱导公式及其应用解题准备:诱导公式起着变名､变角､变号的作用,应用诱导公式,着眼点应放在“角”上,重点是“函数名称”和“正负号”的判断.求任意角的三角函数值问题,都可以利用诱导公式最终化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤是:“化负为正—化大为小—锐角求值”.[分析] 显然应用到诱导公式,既可以直接从诱导公式中合理选用,也可以直接运用十字诀,一般来说用后一方法记忆负担较轻.()5.cos 2sin tan 11..2..222A B C D ααα-+=-若则等于22222(1,:sin2sin )1,tan 2.cos sin sin cos sin cos ααααααααα+⎧+=⎪⇒⎨+=⎪⎩⎧=∴∴=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩=解析1313()()()[]1sin ,cos tan 2sin 1,33.,cos tan 410,3ta ,1n sin cos ααααααααααααα∴====-∴=∴===->==∴=解为第二象限角为第一或第二象限角当为第一象限角时当为第二象限角时由知3()(2)2.()(2,())f sin cos tan cot sin ππαπαααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭----=【典例】已知是第三象限角且()()()()()()31,251f ;2f ; 31860,f .coscos πααααα⎛⎫-= ︒⎭=-⎪⎝化简若求的值若求的值()()(2)(4)(3)222(2)(2)2 []12.f ()sin cos tan cot sin sin cos cot cos cot sin πππαααππααααααααα-------==--=解()31(3),2252sin ,sin cos f ()cos cos αααπαααπ=-∴⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭====(3)∵-1860°=-21×90°+30°,∴f(-1860°)=-cos(-1860°)=-cos(-21×90°+30°)=-sin30°=[反思感悟] 如何运用十字诀,可通过下例来体会:设β=α- 且α为锐角,则如图所示,可知β可看成是第二象限角,而在第二象限中余弦取负号,且k=-3为奇数.∴cosβ=cos(-3•+α)=-sinα.类型三sinα±cosα与sinα·cosα关系的应用解题准备:利用sin2α+cos2α=1,可以得出如下结论:(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα;(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2;(sinα+cosα)2-(sinα-cosα)2=4sinαcosα.对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子的值,可求其余二式的值.【典例3】已知sinx+cosx=,求下列各式的值:(1)sin3x+cos3x;(2)sin4x+cos42x.[反思感悟] 平方关系sin2x+cos2x=1把sinx+cosx,sinxcosx联系起来,要灵活运用它们之间的变换,熟记立方和公式及和的立方公式.[反思感悟] 形如asinα+bcosα和asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子分别称为关于sinα､cosα的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用.12-3,2π2π()22[]sinx cosxsinx1.21cosxsinxcosx.4+=∴+=⎛⎫=⎪⎝∴=-⎭解()()()33331sin x cos x sinx cosx3sinxcosx sin x cos134xαα⎛⎫--=⎪⎝⎭+=+-+=()()()2442222222sin x cos x sin x cos x2sin xcos x12sinxcosx117;428⎛⎫-=⎪⎝+=+-=-=-⨯⎭()()222222223tan x cot x tanx cot11221621x224.116sin x cos xsinx cosxsin x cos x⎛⎫+⎪⎝⎭=-=-=-+=+-==-()24.2sin sin cos21,13(1);.tantansin cossin cosααααααααα+=--+-+【典例】已知求下列各式的值()1.2133352.1131]a12[t nsin cos tansin cos tanααααααα---===-++∴+=解由已知得()()2222222222222sin sin cos2sin sin cos2cos3232111321322.5112sinsin sin cos cossin costan tantanααααααααααααααααα++=+++=+⎛⎫++⎪⎝⎭=∴++=+=⎛⎫+⎪⎝⎭++。
高一数学同角三角函数的关系
第17讲 │ 要点探究
[思路] 由于 π 的系数 k 为奇数和偶数时，诱导公 式的情况不同，故分 k 为奇数和偶数分类求解．
第17讲 │ 要点探究
2 若 2sin2x－cos2x＋sinxcosx－6sinx＋3cosx＝0， 求 2cos2x＋2sinxcosx 的值． 1＋tanx
第17讲 │ 要点探究
[思路] 把已知条件进行变换，得到关于 sinx，cosx 的关系，求出 tanx 的值，再根据齐次式的变换方法，变 换求解目标为关于 tanx 的表达式．
第17讲 │ 要点探究
(1)C (2)D (3)C
1 [解析] (1)cos300° ＝cos(360° －60° )＝cos60° . ＝ 2 (2)由于 600° 在第三象限，所以 cos600° <0，所以 cos2600° ＝－cos600° ＝－cos(360° ＋240° )＝－cos240° 1 ＝－cos(180° ＋60° )＝cos60° . ＝ 2 (3)因为 sin168° ＝sin(180° －12° )＝sin12° ， cos10° ＝cos(90° －80° )＝sin80° ， π 又由于正弦函数 y＝sinx 在区间0， 上为递增函数，因 2 此 sin11° <sin12° <sin80° ，即 sin11° <sin168° <cos10° .
第17讲 │ 要点探究
A
[解析] 若 k 为偶数，则
sin(－α)cosα －sinαcosα 原式＝ ＝ ＝－1； sin(π＋α)cos(π－α) (－sinα)(－cosα) 若 k 为奇数，则 sin(π－α)cos(π＋α) sinα(－cosα) 原式＝ ＝ ＝－1. sinαcosα sinαcos(－α) 故正确选项为 A.
(完整)同角三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式诱导公式sin(－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α)＝－tanαcot（－α）＝－cotα两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos(α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan(α＋β）＝—————-1－tanα ·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2（α/2）1－tan2(α/2）cosα＝—————-1＋tan2(α/2）2tan（α/2) tanα＝——————1－tan2（α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝--———1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin-－－·cos-－—sinα·cosβ=（1/2）[sin （α+β)+sin（α-β)]2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—2 2α＋βα－βc osα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－— 2 2cosα·sinβ=（1/2)［sin （α+β)—sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)［cos（α+β）+cos（α—β）］sinα·sinβ=—(1/2）［cos （α+β)—cos（α-β)］化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式）直角三角定义它有六种基本函数（初等基本表示）：三角函数数值表（斜边为r，对边为y，邻边为x。
三角函数公式同角三角函数的基本关系
三角函数公式同角三角函数的基本关系倒数关系：tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα·secα=1商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscα平方关系平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α)一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+si nθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ) /2]=sin（a+θ）*sin（a-θ）二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA余弦1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2] 2.Cos2a=1-2Sina^2 3.Cos2a=2Cosa^2-1正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)= (1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan(α/2)] cosα=[1-tan(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan&s(α/2)]其他sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/ n]=0 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+ta nA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^ 4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))两角和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαta nβ)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(c otB-cotA)三角和公式sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)和差化积sinθ+sinφ =2sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]c osθ-cosφ= -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）= sinαcos（2kπ+α）= cosαtan（2kπ+α）= tanαcot（2kπ+α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）= -sinαcos（π+α）= -cosαtan（π+α）= tanαcot（π+α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosa cos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan （π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cota cot（3π/2+α）= -tanαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =√{(A+2ABcos(θ-φ)} · si n{ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} }√表示根号,包括{……}中的内容三角函数的诱导公式（六公式）公式一：sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanα公式二：sin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinα公式三：sin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) =-sinα公式四：sin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosα公式五：sin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cos α公式六：tanA= sinA/cosA tan（π/2+α）=－cotαtan（π/2－α）=cotαtan（π－α）=－tanαtan（π+α）=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))]cosα=[1-(tan(α/2))]/[1+(tan(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))]其它公式三角函数其它公式(1) (sinα)^2+(cosα)^2=1（平方和公式）(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式，只需将一式,左右同除(sinα)^2，第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)(seca)^2+(csca)^2=(seca)^2 (csca)^2和自变量数列求和有关的公式sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2)cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos((n+1)x/2)sin(nx/2)]/sin(x/2) tan((n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x +……+cosnx)sinx+sin3x+sin5x+……+sin(2n-1)x=(sinnx)^2/sinxcosx+cos3x+cos5x+……+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)。
【课件】同角三角函数的基本关系课件-2022-2023学年高一上数学人教A版(2019)必修第一册
1
cos
公式变形
2
2
cos 1
2
cos
1
sin
商数关系： =
其中（ ≠
应用一：已知, 求, .
+ ， ∈ )
sin
2
sin
cos 1 sin
以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”．
(2)sinθ±cosθ 的符号的判定方法
sinθ－cosθ 的符号的判定方法：由
三角函数的定义知，当 θ 的终边落在
直线 y＝x 上时，sinθ＝cosθ，即 sinθ
－cosθ＝0，当 θ 的终边落在直线 y＝x
的上半平面区域内时，sinθ>cosθ，即 sinθ－cosθ>0；当 θ 的终边落在直线 y
课本182页、大本172页 双色笔、
演草纸、课堂笔记
5.2.2 同角三角函数的基本关系
学习目标
1.根据三角函数的定义推导出同角三角函
数的基本关系式，
2.熟练掌握同角三角函数平方关系和商的
关系，并能正用、逆用、变形用。
3、会用同角三角函数基本关系求值、化简
与证明．
复习巩固：二定义、一法则、三公式
二定义：
证明：法一：由cosx≠0，知sinx≠±1,所以1±sinx≠0
cos x(1 sin x)
再将分母 1 变形为
解.
++
sin2α+cos2α,转化为形如
的分式求
+
5.2.2 同角三角函数的基本关系式 课件-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3
解：由
sinα cosα
=tanα=
3 4
，得sinα=
3 4
cos α， ①
sin2α+cos2α=1
②
由①②得
9 16
cos2α+cos2α=1，即cos2α=
9 25
又α是第三象限角，所以cos α=－ 3 ，sinα=－ 4
5
5
例2: 已知 tan 2求 sin cos sin cos
169
2sin αcos α＝－112609.
因为α∈(0，π)，所以 tanα＜0.
sisnin2αα＋cocsosα2α＝－16609，
tatna2nα＋α601t＝an－2α1＋66091，69tan α＋60＝0，解得
60tan2α＋169tan
α＋60＝0，解得
tan
α＝－ 5 12
tan α＝－152
5
(1)当 是第三象限角时 cos 0
cos 1 sin2 4 tan sin 3
5
cos 4
(2)当 是第四象限角时 cos 0
分类讨论
cos 1 sin2 4
5
tan sin 3 cos 4
【练习】已知 tan 4 ，且α是第三象限角，求sin α ，cos α的值.
）
D．1 cos
A．1
B．2
C．-1
D．-2
tan 1 sin cos 1 tan cos sin sin cos
sin cos 2 平方可得
4．若 sin x 2cos x 5 ，则 tan x （ ）
A． 1 2
B． 1 2
C．2
平方得3cos2x-4sinxcosx=4
同角三角函数关系式
cos(α＋β)－cosγ＝－2cosγ，∴(3)式不是常数；
又tan(α＋β)＝tan(π－γ)＝－tanγ，∴(4)式不是常数， ∴(1)，(2)，(5)式为常数，共4个． 答案：3
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
方法技巧：
1 在△ABC
（1）若△ABC
(2)若△ABC为直角三角形（∠C cosB. (3)若△ABC为钝角三角形（∠C cosB.
典型例题
易错辨析
提升训练
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
方法技巧：1. 化简是一种不指定结果的恒等变形，
其结果要求：项数尽可能少、次数尽可能低、尽量使根 号内或分母中不含三角函数（式），能求值的尽量求值.
2. 化简前，注意分析角及式子的结构特点，选择恰
当的公式和化简顺序.
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
综合应用
【思路点拨】 先利用诱导公式，将条件化简，再利用平方
关系，消去A（或B）得到B（或A）的某一三角函数值，进
而求出A，B，C.
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
知识要点
双基巩固
典型例题
，则sin(B
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
知识要点
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易错辨析
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知识要点
高一数学同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、基本知识：（1）同角三角函数的基本关系式：平方关系：sin 2α+cos 2α=1，1tan sec 22=-αα，1cot csc 22=-αα，商式关系：sin α cos α=tan α， αααcot sin cos =， 倒数关系：tan αcot α=1，ααcos 1sec = ααsin 1csc =（2）诱导公式：函数名称不变，符号看象限。
二、例题分析：例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α)． 解 原式=（-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α)= (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α) = sin α·cos α sin α cos α=1 ． 例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2)，求cos θ－sin θ的值．解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34． ∵θ∈(π4 ，π2)，∴ cos θ＜sin θ． ∴cos θ－sin θ= － 32． 变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值．变式2 已知cos θ－sin θ= －32 ， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．例3 已知tan θ=3．求（1）ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值．例4、证明：1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α=1+ tan α 1－tan α例5、（1）化简：2cos 2sin 212cos 2sin 21αααα++-，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πα （2）已知α是第三象限角，求ααααcos 1cos 1cos 1cos 1-+++-的值。
同角三角函数基本关系
【基础知识精讲】1.同角三角函数的基本关系式根据三角函数定义，容易得到如下关系式(1)平方关系 sin 2α+cos 2α=11+tan 2α=sec 2α1+cot 2α=csc 2α(2)乘积关系 sin α=cos α²tan α,cos α=sin α²cot αcot α=cos α²csc α,csc α=cot α²sec α sec α=csc α²tan α,tan α=sec α²sin α(3)倒数关系 sin α²csc α=1,cos α²sec α=1,tan α²cot α=1说明：(1)以上关系式仅当α的值使等式两边都有意义时才能成立.例如，当α=2πk (k∈Z)时，tan α²cot α=1就不成立.另外，要注意是同角，如sin 2α+cos 2α=1，但sin 2α+cos 2β=1就不恒成立.(2)对公式除了顺用，还应学会逆用、变用、活用.例如，由sin 2α+cos 2α=1变形为cos 2=1-sin 2α,cos α=±α2sin 1-,sin α²cos α=21)cos (sin 2-+αα等等.对于cos α=±α2sin 1-,“±”号的选取要由α所在象限来确定，当α在第一或第四象限时，取“+”；当α在第二或第三象限时，取“-”.而对于其他形式的公式就不必考虑符号问题.如α是第二象限角，tan α=ααcos sin 而不能认为tan α=-ααcos sin (因为α是第二象限角，所以tan α为负值).其实α在第二象限，sin α为正值，cos α为负值，所以tan α=ααcos sin 结果自然得负值，如果再加“-”，结果就得正值了.(3)要注意“1”的代换.如可用sin 2α+cos 2α,sec 2α-tan 2α,sin α²csc α,tan α²cot α等去代换1.(4)记忆方法(如图).首先某函数与它的余函数在同一水平线上. ①在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，如tan α²cot α=1. ②在阴影的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方，如1+tan 2α=sec 2α。
最新人教A版高中数学必修一课件：5.2.2 同角三角函数的基本关系
α
sin cos
αα＋sin
α
＝1－sincoαs α·
1－cos 1＋cos
αα＝1－sincoαs
α·
1－cos α2 1－cos2α
＝1－sincoαs α·1－|sincoαs|α＝±1.
题型三 同角三角函数基本关系式的灵活运用 【学透用活】
sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系： (sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ； (sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2； (sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ与sin θcos θ三个式子，可以由其中一个，求出另 外两个的值．
[典例 3] (1)已知 sin α＋cos α＝173，α∈(0，π)，则 tan α＝________.
(2)已知ssiinn
α＋cos α－cos
αα＝2，计算下列各式的值．
①23ssiinnαα＋－3ccoossαα；
②sin2α－2sin αcos α＋1.
[解析] (1)法一：构建方程组
() D．－sin35π
解析：因为35π是第二象限角，
所以 cos35π＜0，
所以
1－sin235π＝
cos235π＝cos35π＝－cos35π.
答案：C
4．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝________.
解析：由题意得：3sin α＝－cos α≠0， ∴tan α＝－13. 答案：－13
则 sin α＋cos α＝ 27，
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π2(k ∈Z)．2．诱导公式诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π2＋α(k ∈Z )”中的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π2＋α(k ∈Z )”中，将α看成锐角时，“k ·π2＋α(k ∈Z )”的终边所在的象限.二、常用结论同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .考点一 三角函数的诱导公式[典例] (1)已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为________． (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α) ＝－sin α(－cos α)(－cos α)⎝⎛⎭⎫－sin αcos α＝cos α， 所以f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos π3＝12. (2)sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. [答案] (1)12 (2)－23[题组训练]1.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 解析：法一：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角， 联立⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，解得5sin 2α＝1，故sin α＝－55.法二：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－55. 答案：－552. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°) sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋14＋1＝2. 答案：23.已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－33考点二 同角三角函数的基本关系及应用[典例] (1)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝( )A.165 B ．－165C.85D ．－85(2)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12 B ．±12C ．－14D ．－12[解析] (1)sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1，将tan α＝2代入上式，则原式＝165.(2)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－12.[答案] (1)A (2)D[题组训练]1．(2018·甘肃诊断)已知tan φ＝43，且角φ的终边落在第三象限，则cos φ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为角φ的终边落在第三象限，所以cos φ<0，因为tan φ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2φ＋cos 2φ＝1，sin φcos φ＝43，cos φ<0，解得cos φ＝－35.2．已知tan θ＝3，则sin 2θ＋sin θcos θ＝________. 解析：sin 2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝32＋332＋1＝65.答案：653．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________.解析：由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)， 即sin α＝2cos α，所以tan α＝sin αcos α＝2， 从而sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.答案：254．已知－π<α<0，sin(π＋α)－cos α＝－15，则cos α－sin α的值为________．解析：由已知，得sin α＋cos α＝15，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125， 整理得2sin αcos α＝－2425.因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝4925，且－π<α<0，所以sin α<0，cos α>0， 所以cos α－sin α>0，故cos α－sin α＝75.答案：75[课时跟踪检测]A 级1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( ) A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值为( ) A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13. 3．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0D.12－32解析：选A 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎫3π＋π3 ＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.4．若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选D 因为sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ， 所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.5．(2018·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，则tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15， 得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.6．在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 将3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )化为3cos A ＝3sin A ，则tan A ＝33，则A ＝π6，将cos A ＝－3cos(π－B )化为 cos π6＝3cos B ，则cos B ＝12，则B ＝π3，故△ABC 为直角三角形．7．化简：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝________.解析：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝sin 22θcos 2θ·sin 2θcos 2θ＝sin 2θ.答案：sin 2θ8．化简：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________. 解析：原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·(－sin α)·cos α ＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值为________． 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－33410．(2019·武昌调研)若tan α＝cos α，则1sin α＋cos 4α＝________.解析：tan α＝cos α⇒sin αcos α＝cos α⇒sin α＝cos 2α，故1sin α＋cos 4α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋sin αsin α＋sin 2α＝sin 2α＋sin α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.答案：211．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.12．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：因为sin α＝255>0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α ＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.①当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52.②当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.B 级1．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C.3D ．－3解析：选A 因为sin α＋cos α＝12，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－38＝74，所以cos α－sin α＝－72， 所以1－tan α1＋tan α＝1－sin αcos α1＋sin αcos α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.2．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析：∵sin θ－2cos θ＝－25，∴sin θ＝2cos θ－25，∴⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1， ∴5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，即⎝⎛⎭⎫cos θ－35⎝⎛⎭⎫5cos θ＋75＝0. 又∵θ为第一象限角，∴cos θ＝35，∴sin θ＝45，∴sin θ＋cos θ＝75.答案：753．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12， 故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2， 所以1＋2×m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122，解得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.故当sin θ＝32，cos θ＝12时，θ＝π3； 当sin θ＝12，cos θ＝32时，θ＝π6.。
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1.3三角函数的诱导公式考点一：求任意角的三角函数值[例1] 求下列各三角函数值：(1)sin 1 320°； (2)cos(－31π6)； (3)tan(－945°)．1．求下列各三角函数式的值．(1)sin(－660°); (2)cos 27π4；(3)2cos 660°＋sin 630°； (4)tan 37π6·sin(－5π3)．2．求sin(2n π＋2π3)cos(n π＋4π3)的值(n ∈Z )．考点二：给值(或式)求值[例2] (1)已知cos(π＋α)＝－12，求sin(2π－α)的值；(2)已知sin(π3－α)＝12，求cos(π6＋α)的值．3．已知sin(75°＋α)＝13，则cos(15°－α)的值为( )A ．－13B.13 C ．－223D.2234．已知cos(π＋α)＝－12，求cos(π2＋α)的值． 5．已知cos(π6－θ)＝a (|a |≤1)．考点三：利用诱导公式化简或证明[例3] (12分)已知f (α)＝cos (π2＋α)·cos (2π－α)·sin (－α＋3π2)sin (－π－α)·sin (3π2＋α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．6．化简1＋2sin 280°·cos 440°sin 260°＋cos 800°的结果是________．7．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π2)＝－tan α.课后练习：1．tan 690°的值为( ) A ．－33 B .33C. 3D ．－32．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值等于( )A.223B ．－233 C.13D ．－133.1－2sin (π＋2)cos (π－2)等于( ) A ．sin 2－cos 2B ．sin 2＋cos 2C ．±(sin 2－cos 2)D ．cos 2－sin 24．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( ) A ．－2a 3 B ．－3a 2 C.2a3D.3a25．已知角α的终边上一点P (3a,4a )(a ＜0)，则cos(540°－α)的值是________． 6．若cos(π6－α)＝－13，则cos(56π＋α)＝________.7．(1)已知sin(π＋α)＝－13，求cos(5π＋α)的值；(2)已知sin(π3＋α)＝－12，求sin(α－5π3)的值；(3)已知cos(π6＋α)＝33，求cos(7π6＋α)的值．8．设tan(α＋8π7)＝m ，求证：sin (15π7＋α)＋3cos (α－13π7)sin (20π7－α)－cos (α＋22π7)＝m ＋3m ＋1.1．4.1正弦函数、余弦函数的图象1．正弦曲线正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线．2．正弦函数图象的画法：五点法画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点，，，(，，用平滑的曲线连接．3．余弦曲线余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线．4．余弦函数图象的画法用“五点法”：画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为，，，，，再用光滑的曲线连接．考点一：用“五点法”作函数的图象[例1]画下列函数的简图：(1)y＝1＋cos x，x∈[0,2π]；(2)y＝－sin x，x∈[0,2π]．1．作出函数y ＝1－cos x 的图象．2．作出函数y ＝1－sin 2x 的图象．考点二：三角函数图象的应用[例2] 写出使sin x ≥12(x ∈R )成立的x 的取值集合．3．方程lg x ＝sin x 的实根的个数为________．4．函数y ＝2cos x －2的定义域是________．5．求函数y ＝lg(3－2sin x )的定义域． .课后练习1．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x ∈[2k π，2(k ＋1)π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅一个交点 2．下列函数图象相同的是( )A ．f (x )＝sin x 与g (x )＝sin(π＋x )B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x C ．f (x )＝sin x 与g (x )＝sin(－x ) D ．f (x )＝sin(2π＋x )与g (x )＝sin x3．用五点法作y ＝2sin 2x 的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π4，π3，π2，2π34．函数y ＝－sin x ，x ∈[－π2，3π2]的简图是( )5．方程x2＝cos x的实根的个数是________．6．设0≤x＜2π且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为________．7．作出函数y＝2＋cos x，x∈[0,2π]的简图．8．已知直线y＝a，函数y＝sin x，x∈[0,2π]，试探求以下问题：(1)当a为何值时，直线与函数图象只有一个交点？(2)当a为何值时，直线与函数图象有两个交点？(3)当a为何值时，直线与函数图象有三个交点？(4)当a为何值时，直线与函数图象无交点？1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质1．函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个 ，使得当x 取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f (x )就叫周期函数， 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．2．正、余弦函数的周期性正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )都是周期函数， (k ∈Z ，且k ≠0)都是它们的周期．最小正周期为 .3、正余弦函数性质 正弦、余弦函数的奇偶性正弦函数是 ，余弦函数是 . 正、余弦函数的单调性正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从1减小到－1.正弦函数和余弦函数的最值(1)正弦函数当且仅当 时，取得最大值1；当且仅当 时，取得最小值－1.(2)余弦函数当且仅当 时取得最大值1；当且仅当 时，取得最小值－1.第一课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性考点一：函数的周期[例1] 求下列函数的周期：(1)y ＝sin 12x ； (2)y ＝2sin(x 3－π6)．1．函数y ＝sin(ωx ＋π4)(ω＞0)的周期是2π3，则ω＝________.2．求下列函数的周期：(1)y ＝sin(2x ＋π6)； (2)y ＝|sin 2x |.考点二：奇偶性的判断[例2] 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x sin(π＋x )； (2)f (x )＝1－cos xsin x .3．若函数y ＝2sin(ωx ＋φ)是偶函数，则φ可能等于( ) A.π6 B.π3 C.π2 D ．π4．函数f (x )＝7sin(23x ＋15π2)是( )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数5．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝sin x cos x; (2)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x .考点三：函数周期性与奇偶性的应用[例3] (12分)若函数f (x )是以π2为周期的偶函数，且f (π3)＝1，求f (－176π)的值．6．设f (x )是以4为周期的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x ，则f (7.6)＝________.7．若f (x )是奇函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，求f (92)的值．课后练习：1．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4x2．函数y ＝sin(2 0132π－x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数3．设函数f (x )＝sin(2x －π2)，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数4．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)＝ ( )A ．－12B.12 C ．－32D.325．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，且f (1)＝1，则f (5)＝________. 6．若函数f (x )＝2cos(ωx ＋π3)(ω＞0)的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．7．定义域为R 的偶函数f (x )的最小正周期是π，当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x .(1)求x ∈[π2，π]时，f (x )的解析式；(2)画出函数f (x )在[－π，π]上的简图；8．有两个函数f (x )＝a sin(kx ＋π3)，g (x )＝b cos(2kx －π3)(k ＞0)，它们的周期之和为3π2，且f (π2)＝g (π2)，f (π4)＝－3·g (π4)＋1，求k ，a ，b .第二课时 正弦、余弦函数的单调性与最值考点四：正、余弦函数的单调性[例1] 求函数y ＝2sin(x －π3)的单调区间．1．已知函数y ＝cos(π3－2x )，则它的单调减区间为________．2．求函数y ＝sin(π4x －π6)的单调递增区间．考点五：比较三角函数值的大小[例2] 比较下列各组数的大小．(1)cos(－π8)与cos 13π7； (2)sin 194°与cos 160°.3．若α、β均为锐角，且sin α＞cos β，则( ) A ．α＞βB ．α＜βC ．α＋β＞π2D ．α＋β＜π24．比较下列各组函数值的大小．(1)sin 21π5，sin 42π5； (2)sin 15，cos 5.[例3] (12(1)y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]； (2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5.5．函数y ＝cos(2x －π3)在x ＝________时，取到最大值________．6．若sin α＝m －13，α∈[－π6，2π3]，则m 的取值范围是________．7．求下列函数的最大值和最小值：(1)y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)； (2)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4.课后练习：1．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)2．函数f (x )＝3sin(x ＋π6)在下列区间内递减的是( )A ．[－π2，π2]B ．[－π，0]C ．[－2π3，2π3]D ．[π2，2π3]3．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°4．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ＋π4)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在(0，π2)单调递减B ．f (x )在(π4，3π4)单调递减C ．f (x )在(0，π2)单调递增D ．f (x )在(π4，3π4)单调递增5．已知偶函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间是________．6．sin 300°、sin(－310°)、sin 790°三个数值从小到大的排列顺序为________． 7．已知函数f (x )＝2a sin(2x ＋π6)＋a ＋b 的定义域是[0，π2]，值域是[－5,1]，求a ，b 的值．8．求下列函数的定义域、值域及单调递增区间．(1)y ＝2sin(π4－x )； (2)y ＝log 12sin x .。