2017新高一数学辅导系列讲义(1)

使得： ， ， ，
**几个常用公式：
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 ；
（2）完全平方公式 ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 ；
（2）立方差公式 ；
（3）三数和平方公式 ；
（4）两数和立方公式 ；
（5）两数差立方公式 ．
例1已知 ， ，求 的值．
例2分来自百度文库因式：
例11解方程|2x+3|+|x-2|=6
例8解不等式：
例9解不等式|x－5|－|2x＋3|＜1．
例10解不等式
练习4
1．(2001年全国高考题)不等式|x2－3x|＞4的解集是________．
2．解不等式|2x－1|＞|2x－3|．
3．解不等式|6－|2x＋1||＞1．
课后练习1
1．不等式 的解集是．
练习2
1．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足|x1－x2|＝2，则实数m的值为___________．
2．关于x的方程 的两个实数根 、 满足 且 ，则 的取值范围是____．
变式：已知方程2x2– 2(2a-1)x+a+2=0的两个根在-3与3之间，则a的取值范围是________．
2．不等式 的解集是．
3．若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1},则a的值；
4．已知集合 ， ，则集合 =．
（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．
5．已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0}，若B A，求a的取值范围．
（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3） ．
练习1
1． 2． 3．
◎二次方程根的分布问题
二次方程 的根从几何意义上来说就是抛物线 与 轴交点的横坐标，所以研究方程 的实根的情况，可从 的图象上进行研究．
例3若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．
（1）求|x1－x2|的值；（2）求 的值；（3）x13＋x23．
例4(1)若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围是_______．
(2)已知方程 有两个负根，求 的取值范围．
例5已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
例6若-3<x<1时(1-a)x2-4x+6>0成立,求a的取值范围．
6．求实数 的范围，使关于 的方程 ．
（１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小．
（２）有两个实根 ，且满足 ．
7．解关于x的不等式
8．解关于x的不等式 ．
6．已知集合A={x|=x2-4x+3=0}，B ={x|=x2-ax+a-1=0}，C={x|=x2-mx+1=0}，且A∪B = A，A∩C=C，求a，m的值或取值范围。
第1讲基础知识储备
◎因式分解与十字相乘法
十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。即一个二次三项式 ，若可以分解，则一定可以写成 的形式，它的系数可以写成 ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数：a，b，c。
课前练习1
1．若x1，x2是方程2x2-4x+1=0的两个实数根，则 的值为________．
2．用列举法表示不等式组 的整数解集合为____________．
3．设集合 , ,且 ，则实数 的取值范围是．
4．已知 ，则 _________．
5．已知集合A={x|=x2+px+q=0}，B={x|=x2-px-2q=0}，且A∩C={-1}，求A∪B。
3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－ 成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）求使 －2的值为整数的实数k的值；
（3）若k＝－2， ，试求 的值．
◎一元二次不等式及分式不等式、高次不等式的解法举例
化归思想的典型应用，序轴标根法带来解法上的便捷，其直观上是函数的图像．
例7解下列不等式：
（1）3-6x-2x2<0；（2）(x-1)(3-x)<x(x+1)+1（3）0≤x2-2x-3<5
例8不等式 的解集为________．
例9解不等式： ．
练习3
1．解下列不等式：
（1） （2）3x2-3x+1> （3）(x－2)(ax－2)＞0．
2．已知A={x| |x-a|≤1} B={x| }且A∩B=Ø求a的范围．
3．解关于x的不等式:
◎绝对值及绝对值函数的理解
学会稍微复杂的绝对值方程、绝对值不等式的处理和绝对值函数的图像的画法，初步理解分类讨论的思想。
例10若方程|x|=ax+1有一个负根而无正根，则a的取值范围是________。