中考梳理_第二章_第1讲_第3课时_一元二次方程
一元二次方程九年级知识点
一元二次方程九年级知识点一元二次方程作为初中数学中的重要内容之一，是九年级数学学习的重点之一。
掌握一元二次方程的知识，不仅能够解决实际问题，还能培养学生逻辑思维和解决问题的能力。
本文将带领大家逐步了解一元二次方程的基本概念、求解方法以及相关应用。
一、一元二次方程的概念和形式一元二次方程是指含有未知数的二次项、一次项和常数项的等式。
一般表示为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a≠0。
其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
解一元二次方程就是要求解出未知数x的值，使得方程成立。
二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法当一元二次方程能够因式分解时，我们可以通过因式分解的方法来求解方程。
以方程x² - 5x + 6 = 0为例，我们可以将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，然后令(x - 2)和(x - 3)分别等于0，解得x的值为2和3。
2. 公式法当一元二次方程在因式分解上比较困难或无法进行因式分解时，我们可以通过公式法来求解方程。
一元二次方程的求解公式为x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。
其中带 ±的是因为方程可能有两个解。
三、一元二次方程的相关性质除了求解一元二次方程，了解一些与一元二次方程相关的性质也是很重要的。
1. 二次函数和一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程是相互关联的。
一元二次方程y = ax²+ bx + c的解对应于二次函数y = ax² + bx + c的图像上的零点。
而二次函数的图像上的顶点坐标则能告诉我们方程的最值。
2. 一元二次方程根的判别式方程的根是指使方程成立的解，一元二次方程根的判别式能够告诉我们方程有几个根以及根的性质。
根的判别式为D = b²- 4ac。
当D > 0时，方程有两个不相等的实根；当D = 0时，方程有两个相等的实根；当D < 0时，方程无实根，但可能有复根。
中考数学一轮教材复习-第二章 方程(组)与不等式(组) 一元二次方程的解法
∴x(x-4)=0,
∴x1=x2=1.
∴x1= 3,x2=- 3.
∴x1=0,x2=4.
③ 整式 方程,叫做一元二次方程
二次项系数( ≠ 0)
一般形式:
2
Байду номын сангаас
+
的
一次项系数
+
= 0(,,为常数, ≠ 0)
常数项
相等
二次项
解:使方程左右两边④
一次项
的未知数的值就是这个一元二次方程的解(或根)
（第二章 方程（组）与不等式（组））
一元二次方程的解法
≥
− ± 2 −4
[2024北京海淀区二模]若x=1是方程x
1-1
数m的值为( B )
A.1
B.2
C.3
D.4
考点
（第二章 方程（组）与不等式（组））
一元二次方程的解法(10年4考)
2 [2023贵州15题4分]若一元二次方程kx2-3x+1=0有两个相等的实数
根,则k的值是
9
4
.
2+4x+(m-1)=0有实数
[2024毕节三模]若关于x的一元二次方程x
-5
.
.
(3)若该方程有实数根,则m的取值范围是 m≥-5且m≠-1
.
易错
(3)解题时易忽略二次项系数不为0的条件
（第二章 方程（组）与不等式（组））
1
已知关于x的一元二次方程(m+1)x2+4x-1=0.
(4)若该方程的一个根是1,则m=
-4 ,方程的另一个根是
(5)当m=0时,求该方程的根.
当m=0时,原方程是x2+4x-1=0,配方得,(x+2)2=5,
(完整版)九年级数学一元二次方程(带答案)
第二章 一元二次方程第1讲 一元二次方程概念及解法【知识要点】一。
知识结构网络二、一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为()02≥=b b x 或()b a x =+2的形式的方程求解。
当0≥b 时，可两边开平方求得方程的解；当0<b 时，方程无实数根。
2. 因式分解法解方程的步骤:（1）将方程一边化为0；(2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。
3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为()x m n +=2的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式02=++c bx ax ，确定a 、b 、c 的值；（2)计算ac b 42-的值并判别其符号；（3）若042≥-ac b ，则利用公式aac b b x 242-±-=求方程的解，若042<-ac b ，则方程无实数解。
【典型例题】（1）67302x x --=(用因式分解法）解:0)32)(13(=-+x x23，31∴032或013∴21=-==-=+x x x x(2）1432+=x x (用公式法) 解：01432=--x x028)1(×3×4)4(2>=---=∆372，372∴37±23×228±)4(∴21-=+==--=x x x（3)030222=--x x （用配方法)解:15222=-x x8121)42()42(15)42(222222=-+=+-x x x225，23∴2411±42∴21-===-x x x【经典练习】一、直接开方法（1)()()x x +=-11222 (2）b a x =+2)(二、配方法注：（1）223002x x --= （2）3412x x =+ 二、公式法1. 用求根公式法解下列方程()12202x x +-=;解：()228102y y +-=； 解：()3231802x x -+=;解：()43212y y -=； 解:()525102x x +-=;解：()625302x x ++=； 解：()734502x x -+=；解:(7)方程无实数根；()82432202x x +-=； 解：()...90020030352x x -=;解:(9)先在方程两边同乘以100,化为整数系数，再代入求根公式,()()()101233132+-=+x x 解：。
2014中考数学 第一部分 第二章 第1讲 第3课时 一元二次方程
c 叫做常数项． 数，______ b 叫做一次项系数，______
2．一元二次方程的解法． 因式分解 法． 配方 法；(3)公式法；(4)__________ (1)直接开方法；(2)_____
的销售价格为多少元？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：设第二周每个旅游纪念品的销售价格为 x 元，
由题意，得 200×(10－6)＋(10－x－6)(200＋50x)＋[(4 －
注意：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为 x
b ± b 2 4ac ＝________________. 2a
考点 2 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 1．根的判别式．
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式为Δ＝b2－4ac.
有两个不相等的 实数根． (1)当Δ>0 时，原方程________________ 有两个相等的 实数根． (2)当Δ＝0 时，原方程______________
b c 用 x1＋x2＝－a，x1· x2＝a.注意：各项系数的符号及 b2－4ac≥0.
2．列方程解应用题的关键是审题，一定要抓住数量关系的 关键词(如多、少、和、差、倍、分、增加、增加到等)找出已 知量、未知量以及它们的相等关系．
3．一元二次方程口决：含有一个未知数，最高指数是二次； 整式方程最常见，一元二次方程式．左边二次三项式，右边是 零一般式．方程缺少常数项，求根提取公因式；方程没有一次 项，直接开方最合适；否则可以去配方，自然能够套公式．
2．(2013 年江苏无锡)解方程：x2＋3x－2＝0.
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程知识点解析含习题练习
第01讲_一元二次方程及其解法知识图谱一元二次方程知识精讲一．一元二次方程的概念一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程一般形式：2=0(0)ax bx c a++≠a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项()2210xx+=⨯()20ax bx c++=⨯()223253x x x--=⨯()()()121x x-+=√判断标准（1）只含有一个未知数（2）未知数的最高次数是2（3）整式方程方程(2)310mm x mx+++=是关于x的一元二次方程，则满足条件||2m=20m+≠北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程知识点解析系数（1）一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看（2）20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程方程()13242+=+x x 整理为一般式后为2630x x ++=∴二次项系数为1，一次项系数为6，常数项是3二．一元二次方程的解一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解（2）一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，将0x =代入方程，()2210010a a -⋅++-=，得1a =±三点剖析一．考点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解．二．重难点：一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解．三．易错点：1.确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项—--二次项的系数是否为零即可；2.注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程；3.一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看．概念例题1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A.2210x x+= B.20ax bx c ++=C.223253x x x --= D.()()121x x -+=【答案】D 【解析】该题考查的是一元二次方程的定义．只有含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程.A ：2210x x +=变形后为()4100x x +==，是关于x 的四次方程；B ：20ax bx c ++=中当仅当0a ≠时才是关于x 的二次方程；C ：223253x x x --=变形后为250x --=，是关于x 的一次方程；D ：()()121x x -+=变形后为230x x +-=，是关于x 的二次方程；故本题选D ．例题2、方程()2310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则m =______．【答案】2【解析】该题考查的是一元二次方程的定义．由题可知，||2m =且20m +≠，所以2m =例题3、若方程()211m x x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是__________．【答案】0m ≥且1m ≠【解析】由题意可得，二次项系数10m -≠，即1m ≠0m ≥，所以m 的取值范围是0m ≥且1m ≠．例题4、方程()13242+=+x x 的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______【答案】1，6，3【解析】先把原方程整理成一元二次方程的一般形式得2630x x ++=，所以二次项系数为1，一次项系数为6，常数项是3随练1、若03)2(22=-+--x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_________。
九年级数学上册第二章一元二次方程知识点归纳(新版)北师大版
第二章一元二次方程1认识一元二次方程2用配方法求解一元二次方程3用公式法求解一元二次方程4用分解因式法求解一元二次方程*5 一元二次方程的根与系数的关系6 应用一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax 2bx c0 （a、b、c为常数， a≠ 0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
．．．．．．※把ax2bx c 0 （a、b、c为常数， a≠ 0）称为一元二次方程的一般形式， a 为二次项系数； b 为一次项系数； c 为常数项。
※解一元二次方程的方法：①配方法< 即将其变为() 20的形式 >x mb b24ac②公式法 x2a（注意在找 abc 时须先把方程化为一般形式）③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成( x m) 20 的形式；⑥两边开方求其根。
※根与系数的关系：当b2-4ac>0 时，方程有两个不等的实数根；当 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；当 b2-4ac<0 时，方程无实数根。
※ 如果一元二次方程ax2bx c0 的两根分别为x1、x2，则有：x1 x2b x1 x2 c 。
a a※一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：① x12x22(x1x2 ) 22x1x2② 11x1 x2③x1x2x1 x2 (x1 x2 )2( x1x2 )24x1 x2④| x1x2 |(x1x2 )24x1x2⑤(| x1 | | x2 |)2( x1x2 )22x1 x2 2 | x1 x2 |⑥ x13x23( x1x2 ) 33x1x2 ( x1 x2 )⑦其他能用 x1x2或 x1x2表达的代数式。
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程-知识点总结含中考真题试题解析
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程☞解读考点知识点名师点晴一元二次方程的概念 1.一元二次方程的概念会识别一元二次方程。
2.一元二次方程的解会识别一个数是不是一元二次方程的解。
解法步骤能灵活选择适当的方法解一元二次方程。
根的判别式b2－4ac 是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的判别式会判断一元二次方程根的情况。
根与系数的关系x1＋x2＝b a -，x1x2＝ca会灵活运用根与系数的关系解决问题。
一元二次方程的应用由实际问题抽象出一元二次方程要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系．最后要检验结果是不是合理.☞2年中考【2015年题组】1．（2015来宾）已知实数1x ，2x 满足127x x +=，1212x x =，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是（）A ．27120x x -+=B ．27120x x ++=C ．27120x x +-=D ．27120x x --=【答案】A ．【解析】试题分析：以1x ，2x 为根的一元二次方程27120x x -+=，故选A ．考点：根与系数的关系．2．（2015河池）下列方程有两个相等的实数根的是（）A ．2+10x x +=B ．24210x x ++=C ．212360x x ++=D ．220x x +-=【答案】C．考点：根的判别式．3．（2015贵港）若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【答案】B ．【解析】试题分析：∵关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，∴△=2(2)8(1)a ---=1280a -≥且10a -≠，∴32a ≤且1a ≠，∴整数a 的最大值为0．故选B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．4．（2015钦州）用配方法解方程21090x x ++=，配方后可得（）A ．2(5)16x +=B ．2(5)1x +=C ．2(10)91x +=D ．2(10)109x +=【答案】A ．【解析】试题分析：方程21090x x ++=，整理得：2109x x +=-，配方得：2102516x x ++=，即2(5)16x +=，故选A ．考点：解一元二次方程-配方法．5．（2015成都）关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k >-B ．1k ≥-C ．0k ≠D ．1k >-且0k ≠【答案】D ．【解析】试题分析：∵是一元二次方程，∴0k ≠，∵有两个不想等的实数根，则0∆>，则有224(1)0k ∆=-⨯->，∴1k >-，∴1k >-且0k ≠，故选D ．考点：根的判别式．6．（2015攀枝花）关于x 的一元二次方程2(2)(21)20m x m x m -+++-=有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（）A ．34m >B ．34m >且2m ≠C ．122m -<<D ．324m <<【答案】D．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．7．（2015雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2430x x -+=的根，则该三角形的周长可以是（）A ．5B ．7C ．5或7D ．10【答案】B ．【解析】试题分析：解方程2430x x -+=，（x ﹣1）（x ﹣3）=0，解得13x =，21x =；∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；∴等腰三角形的底为1，腰为3；∴三角形的周长为1+3+3=7．故选B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．8．（2015巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是（）A ．2560(1)315x +=B ．2560(1)315x -=C ．2560(12)315x -=D ．2560(1)315x -=【答案】B．考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．增长率问题．9．（2015达州）方程21(2)04m x --+=有两个实数根，则m 的取值范围（）A ．52m >B ．52m ≤且2m ≠C ．3m ≥D ．3m ≤且2m ≠【答案】B ．【解析】试题分析：根据题意得：220301(4(2)04m m m ⎧⎪-≠⎪-≥⎨⎪⎪∆=--⨯≥⎩，解得52m ≤且2m ≠．故选B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．10．（2015泸州）若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b =+的大致图象可能是（）A．B．C．D ．【答案】B ．【解析】试题分析：∵2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb ＜0，A ．k ＞0，b ＞0，即kb ＞0，故A 不正确；B ．k ＞0，b ＜0，即kb ＜0，故B 正确；C ．k ＜0，b ＜0，即kb ＞0，故C 不正确；D ．k ＞0，b=0，即kb=0，故D 不正确；故选B ．考点：1．根的判别式；2．一次函数的图象．11．（2015南充）关于x 的一元二次方程0222=++n mx x 有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程0222=++m ny y 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②2)1()1(22≥-+-n m ；③1221≤-≤-n m ．其中正确结论的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C ．考点：1．根与系数的关系；2．根的判别式；3．综合题．12．（2015佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）A ．7mB ．8mC ．9mD ．10m 【答案】A ．【解析】试题分析：设原正方形的边长为xm ，依题意有：（x ﹣3）（x ﹣2）=20，解得：x=7或x=﹣2（不合题意，舍去），即：原正方形的边长7m ．故选A ．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．13．（2015怀化）设1x ，2x 是方程2530x x +-=的两个根，则2221x x +的值是（）A ．19B ．25C ．31D ．30【答案】C ．考点：根与系数的关系．14．（2015安顺）若一元二次方程220x x m --=无实数根，则一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第（）象限．A ．四B ．三C ．二D ．一【答案】D ．【解析】试题分析：∵一元二次方程220x x m --=无实数根，∴△＜0，∴△=4﹣4（﹣m ）=4+4m ＜0，∴m ＜﹣1，∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，m ﹣1＜﹣1﹣1，即m ﹣1＜﹣2，∴一次函数(1)1y m x m =++-的图象不经过第一象限，故选D ．考点：1．根的判别式；2．一次函数图象与系数的关系．15．（2015山西省）我们解一元二次方程2360x x -=时，可以运用因式分解法，将此方程化为3(2)0x x -=，从而得到两个一元一次方程：30x =或20x -=，进而得道原方程的解为10x =，22x =．这种解法体现的数学思想是（）A ．转化思想B ．函数思想C ．数形结合思想D ．公理化思想【答案】A ．【解析】试题分析：我们解一元二次方程2360x x -=时，可以运用因式分解法，将此方程化为3(2)0x x -=，从而得到两个一元一次方程：30x =或20x -=，进而得道原方程的解为10x =，22x =．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A ．考点：解一元二次方程-因式分解法．16．（2015枣庄）已知关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两个实数根分别为12x =-，24x =，则m+n 的值是（）A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．2【答案】A．考点：根与系数的关系．17．（2015淄博）若a 满足不等式组211122a a-≤⎧⎪⎨->⎪⎩，则关于x 的方程21(2)(21)02a x a x a ---++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．以上三种情况都有可能【答案】C ．【解析】试题分析：解不等式组211122a a -≤⎧⎪⎨->⎪⎩，得a ＜﹣3，∵△=21(21)4(2)()2a a a ---+=2a+2，∵a ＜﹣3，∴△=2a+2＜0，∴方程21(2)(21)02a x a x a ---++=没有实数根，故选C ．考点：1．根的判别式；2．一元一次方程的解；3．解一元一次不等式组；4．综合题．18．（2015烟台）如果201(1)x x x --=+，那么x 的值为（）A ．2或﹣1B ．0或1C ．2D ．﹣1【答案】C ．【解析】试题分析：∵201(1)x x x --=+，∴211x x --=，即（x ﹣2）（x+1）=0，解得：12x =，21x =-，当x=﹣1时，x+1=0，故x≠﹣1，故选C ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．零指数幂．19．（2015烟台）等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（）A ．9B ．10C ．9或10D ．8或10【答案】B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分类讨论．20．（2015大庆）方程)5(2)5(32-=-x x 的根是．【答案】15x =，2173x =．【解析】试题分析：方程变形得：23(5)2(5)0x x ---=，分解因式得：(5)[3(5)2]x x ---，可得50x -=或3170x -=，解得：15x =，2173x =．故答案为：15x =，2173x =．考点：解一元二次方程-因式分解法．21．（2015甘孜州）若矩形ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程27120x x -+=的两个实数根，则矩形ABCD 的对角线长为．【答案】5．【解析】试题分析：方程27120x x -+=，即(3)(4)0x x --=，解得：13x =，24x =，则矩形ABCD 2234+=5．故答案为：5．考点：1．矩形的性质；2．解一元二次方程-因式分解法；3．勾股定理．22．（2015达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x 元，可列方程为．【答案】（40﹣x ）（20+2x ）=1200．考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．销售问题．23．（2015广元）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数2(5)y m x=-和关于x 的一元二次方程2(1)10m x mx +++=中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是________．【答案】2-．【解析】试题分析：∵所得函数的图象经过第一、三象限，∴250m ->，∴25m <，∴3，0，﹣1，﹣2，﹣3中，3和﹣3均不符合题意，将m=0代入2(1)10m x mx +++=中得，210x +=，△=﹣4＜0，无实数根；将1m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，10x -+=，1x =，有实数根，但不是一元二次方程；将2m =-代入2(1)10m x mx +++=中得，2210x x +-=，△=4+4=8＞0，有实数根．故m=2-．故答案为：2-．考点：1．根的判别式；2．一次函数图象与系数的关系；3．综合题．24．（2015凉山州）已知实数m ，n 满足23650m m +-=，23650n n +-=，且m n ≠，则n mm n +=．【答案】225-．【解析】试题分析：∵m n ≠时，则m ，n 是方程23650x x --=的两个不相等的根，∴2m n +=，53mn =-．∴原式=22m n mn +=2()2m n mn mn +-=2522()223553-⨯-=--，故答案为：225-．考点：1．根与系数的关系；2．条件求值；3．压轴题．25．（2015泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为．【答案】27．考点：根与系数的关系．26．（2015绵阳）关于m 的一元二次方程2220n m --=的一个根为2，则22n n -+=．【答案】26．【解析】试题分析：把m=2代入2220n m --=得022742=--n n ，整理得：n n 7212=+，所以721=+n n ，所以原式=21()2n n +-=22-=26．故答案为：26．考点：一元二次方程的解．27．（2015内江）已知关于x 的方程260x x k -+=的两根分别是1x ，2x ，且满足12113x x +=，则k 的值是．【答案】2．【解析】试题分析：∵关于x 的方程260x x k -+=的两根分别是1x ，2x ，∴126x x +=，12x x k =，1212121163x x x x x x k ++===，解得：k=2，故答案为：2．考点：根与系数的关系．28．（2015咸宁）将263x x ++配方成2()x m n ++的形式，则m=．【答案】3．考点：配方法的应用．29．（2015荆州）若m ，n 是方程210x x +-=的两个实数根，则22m m n ++的值为．【答案】0．【解析】试题分析：∵m ，n 是方程210x x +-=的两个实数根，∴1m n +=-，21m m +=，则原式=2()()m m m n +++=1﹣1=0，故答案为：0．考点：1．根与系数的关系；2．一元二次方程的解．30．（2015曲靖）一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c=．（只需填一个）．【答案】故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数．【解析】试题分析：∵一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根，∴△=2(5)40c -->，解得254c <，∵125x x +=，120x x c =>，c 是整数，∴c=1，2，3，4，5，6．故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．开放型．31．（2015呼和浩特）若实数a 、b 满足(44)(442)80a b a b ++--=，则a b +=__________．【答案】12-或1．【解析】试题分析：设a b +=x ，则由原方程，得：4(42)80x x --=，整理，得：(21)(1)0x x +-=，解得112x =-，21x =．则a b +的值是12-或1．故答案为：12-或1．考点：换元法解一元二次方程．32．（2015吉林省）若关于x 的一元二次方程20x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（写出一个即可）．【答案】答案不唯一，只要14m <即可，如：0．考点：1．根的判别式；2．开放型．33．（2015毕节）关于x 的方程2430x x -+=与121x x a =-+有一个解相同，则a=．【答案】1．【解析】试题分析：由关于x 的方程2430x x -+=，得：（x ﹣1）（x ﹣3）=0，∴x ﹣1=0，或x ﹣3=0，解得x=1或x=3；当x=1时，分式方程121x x a =-+无意义；当x=3时，12313a =-+，解得a=1，经检验a=1是原方程的解．故答案为：1．考点：1．分式方程的解；2．解一元二次方程-因式分解法；3．分类讨论．34．（2015毕节）一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L ，则每次倒出的液体是L ．【答案】20．【解析】试题分析：设每次倒出液体xL ，由题意得：40401040xx x ---⋅=，解得：x=60（舍去）或x=20．故答案为：20．考点：一元二次方程的应用．35．（2015日照）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足23m m -=，23n n -=，那么代数式2222015n mn m -++=．【答案】2026．考点：根与系数的关系．36．（2015成都）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若点()p q ，在反比例函数2y x =的图像上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点(1)M t s +，，N(4)t s -，都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为54．【答案】②③．【解析】试题分析：研究一元二次方程20ax bx c ++=是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一个根为2t ，因此222()(2)32ax bx c a x t x t ax atx t a ++=--=-+，所以有2902b ac -=；我们记292K b ac=-，即0K =时，方程20ax bx c ++=为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：对于①，29102K b ac =-=，因此本选项错误；对于②，2(2)20mx n m x n +--=，而29K (2)(2)02n m m n =---=，∴22450m mn n ++=，因此本选项正确；对于③，显然2pq =，而29K 302pq =-=，因此本选项正确；对于④，由(1)M t s +，，N(4)t s -，知145222b t t a ++--==，∴5b a =-，由倍根方程的结论知2902b ac -=，从而有509c a =，所以方程变为：250509ax ax a -+=，∴2945500x x -+=，∴1103x =，253x =，因此本选项错误．故答案为：②③．考点：1．新定义；2．根与系数的关系；3．压轴题；4．阅读型．37．（2015黄石）解方程组：224 4 2 2 x y y ⎧+=⎪+=①②．【答案】111xy=⎧⎨=⎩，2212xy⎧=⎪⎨=-⎪⎩．考点：高次方程．38．（2015自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．【答案】当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．【解析】试题分析：设垂直于墙的一边为x米，则邻边长为（58﹣2x），利用矩形的面积公式列出方程并解答．试题解析：设垂直于墙的一边为x米，得：x（58﹣2x）=200，解得：125x=，24x=，∴另一边为8米或50米．答：当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．39．（2015巴中）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．【答案】2m．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．40．（2015广元）李明准备进行如下操作实验：把一根长40cm的铗丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于582cm，李明应该怎么剪这根铁丝？（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于482cm．你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】（1）12cm和28cm；（2）正确．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．41．（2015崇左）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？【答案】（1）50%；（2）18．【解析】试题分析：（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，列方程求解；（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果．试题解析：（1）设投资平均增长率为x，根据题意得：23(1) 6.75x+=，解得10.5x=，22.5x=-（不符合题意舍去）答：政府投资平均增长率为50%；（2）212(10.5)18+=（万平方米）答：2015年建设了18万平方米廉租房．考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．42．（2015崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题；3．最值问题；4．压轴题．43．（2015淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【答案】（1）100+200x；（2）1．考点：1．一元二次方程的应用；2．销售问题；3．综合题．44．（2015遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：11111111111111 (1)()(1)()23423452345234---⨯+++-----⨯++．令111234t++=，则原式=11 (1)()(1)55 t t t t -+---=22 114 555t t t t t +---+=1 5问题：（1）计算1111111111111111111 (1...)(...)(1...)(...)2342014234520152345201420152342014 -----⨯+++++--------⨯++++；（2）解方程22(51)(57)7 x x x x++++=．【答案】（1）12015；（2）10x=，25x=-．考点：1．换元法解一元二次方程；2．有理数的混合运算；3．换元法；4．阅读型；5．综合题．45．（2015十堰）已知关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足22121231x x x x +=+，求实数m 的值．【答案】（1）112m ≥-；（2）2．【解析】试题分析：（1）若方程有实数根，则△≥0，解不等式即可；（2）由根与系数的关系得到1223x x m +=+，2122x x m =+，由21220x x m =+>和22121231x x x x +=+，得到22121231x x x x +=+，即21212()313x x x x +=+，代入即可得到结果．试题解析：（1）∵关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=有实数根，∴△≥0，即22(23)4(2)0m m +-+≥，∴112m ≥-；（2）根据题意得1223x x m +=+，2122x x m =+，∵21220x x m =+>，∴1212x x x x =，∵22121231x x x x +=+，∴22121231x x x x +=+，∴21212()313x x x x +=+，即22(23)313(2)m m +=++，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．46．（2015潜江）已知关于x 的一元二次方程042=+-m x x ．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为1x ，2x ，且满足22521=+x x ，求实数m 的值．【答案】（1）m≤4；（2）m=﹣12．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系．47．（2015鄂州）关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k ++++=有两个不等实根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根1x ，2x 满足1212x x x x +=，求k 的值．【答案】（1）k ＞34；（2）k=2．【解析】试题分析：（1）由方程有两个不相等的实数根可得△=430k ->，求出k 的取值范围；（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2211k k +=+，结合k 的取值范围解方程即可．试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=22(21)4(1)k k +-+=2244144k k k ++--=430k ->，解得：k ＞34；（2）∵k ＞34，∴12(21)0x x k +=-+<，又∵21210x x k =+>，∴10x <，20x <，∵1212x x x x +=，∴1212x x x x --=，∴2211k k +=+，∴10k =，22k =，又∵k ＞34，∴k=2．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．【2014年题组】1．（2014年甘肃兰州中考）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac 满足的条件是（）A.b2﹣4ac=0B.b2﹣4ac ＞0C.b2﹣4ac ＜0D.b2﹣4ac≥0【答案】B ．【解析】试题分析：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac ＞0．故选B ．考点：一元二次方程根的判别式．2.（2014年广西贵港中考）若关于x 的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c 的值是（）A ．﹣10B ．10C ．﹣6D ．﹣1【答案】A．考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.求代数式的值．3.（2014年内蒙古呼伦贝尔中考）一元二次方程x2﹣x ﹣2=0的解是（）A.x1=2，x2=1 B.x1=﹣2，x2=1 C.x1=2，x2=﹣1 D.x1=﹣2，x2=﹣1【答案】C ．【解析】试题分析：（x ﹣2）（x+1）=0，x ﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选C ．考点：因式分解法解一元二次方程．4.（2014年山东聊城中考）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A.22.2b b 4ac x 2a 4a -⎛⎫+=⎪⎝⎭ B.22.2b 4ac b x 2a 4a -⎛⎫+=⎪⎝⎭ C.22.2b b 4ac x 2a 4a -⎛⎫-=⎪⎝⎭ D.22.2b 4ac b x 2a 4a -⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】A ．【解析】试题分析：先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可：移项，得ax2+bx=﹣c ，两边同除以a ，得2b c x x a a +=-，两边同加上一次项一半的平方，得222b bc b x x a 2a a 2a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22.2b b 4ac x 2a 4a -⎛⎫+=⎪⎝⎭．故选A ．考点：配方法解一元二次方程．5.（2014年甘肃白银、定西、平凉、酒泉、临夏中考）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=．【答案】1．考点：一元二次方程和解的定义．6.（2014年广西桂林中考）已知关于x 的一元二次方程()22x 2k 1x k 20+++-=的两根x1和x2，且()()112x 2x x 0--=，则k 的值是．【答案】2-或94-．【解析】试题分析：∵()()112x 2x x 0--=，∴1x 2=或12x x =．∵关于x 的一元二次方程()22x 2k 1x k 20+++-=的两根x1和x2，∴若1x 2=，则()22222k 1k 20k 2+++-=⇒=-；若12x x =，则方程()22x 2k 1x k 20+++-=有两相等的实数根，∴()()2292k 141k 20k 4∆=+-⋅⋅-=⇒=-．∴k 2=-或9k 4=-．考点：1.解方程；2.一元二次方程的根和根的判别式；3.分类思想的应用．7.（2014年湖南永州中考）方程x2﹣2x=0的解为．【答案】x1=0或x2=2．【解析】试题分析：把方程的左边分解因式得x （x ﹣2）=0，得到x=0或x ﹣2=0，从而求出方程的解：x1=0或x2=2．考点：因式分解法解一元二次方程．8.（2014年江西省中考）若,a b 是方程2x 2x 30--=的两个实数根，则22a +b =．【答案】10．【解析】试题分析：∵,a b 是方程2x 2x 30--=的两根，∴2,3a +b =a b =- ．∴()222222610a +b =a +b -a b =+=．考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.代数式求值；3.完全平方公式；4.整体思想的应用．9.（2014年江苏泰州中考）解方程：2x2﹣4x ﹣1=0．【答案】12x x == ．考点：公式法解一元二次方程．10.（2014年四川巴中中考）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？【答案】当该商品每个单价为60元时，进货100个．【解析】试题分析：方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解.本题利用销售利润=售价-进价，根据题中条件可以列出利润与x 的关系式，求出即可．解：设每个商品的定价是x 元，由题意，得（x ﹣40）[180﹣10（x ﹣52）]=2000，整理，得x2﹣110x+3000=0，解得x1=50，x2=60．x1=50时，进货180﹣10（x ﹣52）=200个，不符合题意舍去．答：当该商品每个单价为60元时，进货100个．考点：一元二次方程的应用（销售问题）．☞考点归纳归纳1：一元二次的有关概念基础知识归纳：1.一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2.一般形式:ax2+bx+c=0（其中a 、b 、c 为常数，a ≠0），其中ax2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项，a 、b 分别称为二次项系数和一次项系数．3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．【例1】若x=﹣2是关于x 的一元二次方程225x ax a 02-+=的一个根，则a 的值为（）A.1或4B.﹣1或﹣4C.﹣1或4D.1或﹣4【答案】B ．考点：一元二次方程的解和解一元二次方程．归纳2：一元一次方程的解法基础知识归纳：一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
初三数学知识点之一元二次方程的基础知识
初三数学知识点之一元二次方程的基础知识
除了课堂上的学习外,数学知识点也是先生提高数学效果的重要途径，本文为大家提供了初三数学知识点之一元二次方程的基础知识，希望对大家的学习有一定协助。
一元二次方程
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有三个特点：
(1)含有一个未知数;
(2)且未知数的最高次数是2;
(3)是整式方程.要判别一个方程能否为一元二次方程，先看它能否为整式方程，假定是，再对它停止整理.假设能整理为 ax2+bx+c=0(a0)的方式，那么这个方程就为一元二次方程.外面要有等号，且分母里不含未知数。
补充说明
1、(但普通二次函数与正比例函数会触及到一元二次方程的解法)
2方程的两根与方程中各数有如下关系： X1+X2= -b/a，
X1X2=c/a(也称韦达定理)
4、方程两根为x1，x2时，方程为：x2-(x1+x2)X+x1x2=0 (依据韦达定理逆推而得)
5、在系数a0的状况下，b2-4ac0时有2个不相等的实数根，b2-4ac=0时有两个相等的实数根，b2-4ac0时无实数根。
(在双数范围内有两个双数根。
)
小编为大家整理的初三数学知识点之一元二次方程的基础
知识相关内容大家一定要牢记，以便不时提高自己的数学效果，祝大家学习愉快!。
九年级数学一元二次方程(带答案解析)
第二章 一元二次方程第1讲 一元二次方程概念及解法【知识要点】一. 知识结构网络二、一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为()02≥=b b x 或()b a x =+2的形式的方程求解。
当0≥b 时，可两边开平方求得方程的解；当0<b 时，方程无实数根。
2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。
3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为()x m n +=2的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式02=++c bx ax ，确定a 、b 、c 的值；（2）计算ac b 42-的值并判别其符号；（3）若042≥-ac b ，则利用公式aacb b x 242-±-=求方程的解，若042<-ac b ，则方程无实数解。
【典型例题】（1）67302x x --=（用因式分解法）解：0)32)(13(=-+x x23，31∴032或013∴21=-==-=+x x x x（2）1432+=x x（用公式法）解：01432=--x x028)1(×3×4)4(2>=---=∆372，372∴37±23×228±)4(∴21-=+==--=x x x（3）030222=--x x （用配方法）解：15222=-x x8121)42()42(15)42(222222=-+=+-x x x225，23∴2411±42∴21-===-x x x【经典练习】一、直接开方法（1）()()x x +=-11222 （2）b a x =+2)(二、配方法注：（1）223002x x --= （2）3412x x =+二、公式法1. 用求根公式法解下列方程()12202x x +-=；解：()228102y y +-=；解：()3231802x x -+=；解：()43212y y -=； 解：()525102x x +-=；解：()625302x x ++=；解：()734502x x -+=；解：(7)方程无实数根；()82432202x x +-=；解：()...90020030352x x -=；解：(9)先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式，()()()101233132+-=+x x解：。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 1 认识一元二次方程学习要点素材 (新版)北师大版
2.1 认识一元二次方程学习要点学习目标：1、要求学生会根据具体问题列出一元二次方程，会识别一元二次方程及各部分名称。
2、会用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解。
学习重难点：重点：1、认识产生一元二次方程知识的必要性。
2、探索一元二次方程的解或近似解。
难点：1、列方程的探索过程。
2、培养学生的估算意识和能力。
学习要点：学习目标11、会根据实际问题列出方程2、一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
从一元二次方程的定义可知，一元二次方程需具备以下三个条件：(1)只含有一个未知数，即未知数有且只有一个。
如果方程中未知数的个数多于1个，那么它就不是一元二次方程。
(2)未知数的最高次数是2，即未知数的最高次数不能低于2，也不能高于2。
但方程中是否存在一次项或常数项，并没有提出要求。
因此，可将方程进行降幂排列，观察未知数的最高次数是否为2。
(3)方程的两边是整式。
整式是单项式和多项式的统称。
说明分母不能含有未知数，被开数不能含有未知数。
3、一元二次方程的一般形式及各部分名称一般形式：20(,,0)ax bx c a b c a ++=≠为常数，各部分名称：2ax ，bx ，c 分别称为一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数。
4、判断一个方程是不是一元二次方程时应注意的问题(1)判断一个方程是否是一元二次方程，应以化简后的结果为准。
如化简前含有未知数是2次的项，但是化简后未知数最高次数是1，那它就不是一元二次方程。
(2)当方程中含有字母系数(又叫参数)时，应区分未知数和字母。
如“关于x的方程……”，则表明x是未知数，而方程中其它字母均是常数。
(3)“×元×次方程”中的“元”指未知数，“次”指未知数的最高次数。
学习目标25、用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根)。
九年级数学上册第二章知识点总结
一、一元二次方程1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
一般形式是：ax^2 + bx + c = 0（a \neq 0），其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解。
二、配方法1. 配方法：通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根。
2. 步骤：移项：把常数项移到方程右边；配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；变形：将方程左边写成完全平方式；开方求解。
三、公式法1. 一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a \neq 0），其根为x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 4ac}}{2a}。
2. 判别式：\Delta = b^2 4ac，当\Delta > 0时，方程有两个不相等的实数根；当\Delta = 0时，方程有两个相等的实数根；当\Delta 0时，方程没有实数根。
四、因式分解法1. 因式分解法：把一元二次方程化为一般形式后，将方程左边分解因式，从而转化为两个一元一次方程来求解。
2. 常用的因式分解方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）等。
五、一元二次方程的应用1. 增长（降低）率问题：若原量为a，平均增长率（或降低率）为x，经过n次增长（或降低）后的量为b，则有a(1\pm x)^n = b。
2. 面积问题：根据图形的面积关系，列出一元二次方程求解。
3. 利润问题：利润 = 售价进价；总利润 = 单件利润×销售数量。
4. 传播、比赛等问题。
九年级数学上册第2章一元二次方程的解法解读(北师大版)
一元二次方程的解法解读一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视．一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx +c =0，(a ≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程．一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法．二、方法、例题精讲1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法．用直接开平方法解形如(x -m )2=n (n ≥0)的方程，其解为x =m ±n ．例1．解方程(1)75(3x +1)2=7；(2)9x 2-24x +16=11． 分析：(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x -4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解．(1)解：(3x +1)2=7×57， ∴(3x +1)2=5，∴3x +1=±5(注意不要丢解)，∴x =13-，∴原方程的解为x x ． (2)解： 9x 2-24x +16=11，∴(3x -4)2=11，∴3x -4=±11∴x ，∴原方程的解为x 1=43，x 2＝43-． 2、配方法：用配方法解方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx =-c ，将二次项系数化为1：x 2+b a x =-c a， 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x +(2b a )2=-c a +(2b a)2 方程左边成为一个完全平方式：(x +2b a)2=2244b ac a -当b 2-4ac ≥0时，x + 2b a∴x (这就是求根公式) 例2．用配方法解方程 3x 2-4x -2=0解：将常数项移到方程右边 3x 2-4x =2将二次项系数化为1：x 2-43x =23， 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x 2-43x +(23)2= 23+(23)2 配方：(x -23)2=109， 直接开平方得：x -23=±3∴x =23±∴原方程的解为x 1，x 2=． 3、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac ≥0时，把各项系数a ， b ， c 的值代入求根公式x (b 2-4ac ≥0)就可得到方程的根．例3．用公式法解方程 2x 2-8x =-5解：将方程化为一般形式：2x 2-8x +5=0∴a =2， b =-8， c =5b 2-4ac =(-8)2-4×2×5=64-40=24>0∴x = 8842242±±==⨯∴原方程的解为x ，x 4、因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x +3)(x -6)=-8；(2) 2x 2+3x =0；(1)解：(x +3)(x -6)=-8 化简整理得x 2-3x -10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)(x -5)(x +2)=0 (方程左边分解因式)∴x -5=0或x +2=0 (转化成两个一元一次方程)∴x 1=5，x 2=-2是原方程的解．(2)解：2x 2+3x =0x (2x +3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)∴x =0或2x +3=0 (转化成两个一元一次方程)∴x 1=0，x 2=-32是原方程的解． 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x =0这个解，应记住一元二次方程有两个解．小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数．直接开平方法是最基本的方法．公式法和配方法是最重要的方法．公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法)，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解．配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程．但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好．(三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法)．例5．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根．(选学)分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方法)解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0即(5x-5)(2x-3)=0∴5(x-1)(2x-3)=0(x-1)(2x-3)=0∴x-1=0或2x-3=0∴x1=1，x2=32是原方程的解．。
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新中考系列
一元二次方程根的判别式
4.(2018 年上海)下列对一元二次方程 x2＋x－3＝0 根的情况
的判断，正确的是( )
A.有两个不相等实数根 C.有且只有一个实数根
B.有两个相等实数根 D.没有实数根
答案：A 5.(2018 年四川泸州)已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋k
－1＝0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是( )
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1.用配方法解方程 x2－2x－5＝0，配方正确的是( )
A.(x－1)2＝4
B.(x－1)2＝5
C.(x－1)2＝6
D.(x－1)2＝7
答案：C
2.(2018 年江苏盐城)已知一元二次方程 x2＋k－3＝0 有一个
根为 1，则 k 的值为( )
A.－2
B.2
C.－4
D.4
答案：B
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相等的实数根，则实数 a 的取值范围是( )
A.a≥2
B.a≤2
C.a＞2
答案：C
D.a＜2
新中考系列
3.(2018 年广东)关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋m＝0 有两 个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为( )
A.m＜94 C.m＞94
B.m≤94 D.m≥94
答案：A
新中考系列
新中考系列
解一元二次方程 1.(2018 年山东临沂)一元二次方程 y2－y－34＝0 配方后可化 为( ) A.y＋122＝1 B.y－122＝1 C.y＋122＝34 D.y－122＝34 答案：B 2.(2018 年江苏淮安)一元二次方程 x2－x＝0 的根是_____ _____. 答案：x1＝0，x2＝1
A.k≤2
B.k≤0
C.k＜2
D.k＜0
答案：C
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6.(2018 年山东泰安)一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5 根 的情况是( )
A.无实数根 B.有一个正根，一个负根 C.有两个正根，且都小于 3 D.有两个正根，且有一根大于 3 答案：D [易错陷阱]利用根的判别式确定一元二次方程中所含有的 未知数的取值范围时，既要考虑方程的定义，又要考虑方程根 的情况.在计算过程中，往往忽视一元二次方程的定义而导致错 误.
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一元二次方程的应用 例：(2018 年江苏盐城)一商店销售某种商品，平均每天可 售出 20 件，每件盈利 40 元.为了扩大销售、增加盈利，该店采 取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时 间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件. (1)若降价 3 元，则平均每天销售数量为________件. (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？
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解：(1)26 (2)设每件商品降价 x 元时，该商店每天销售利润为 1200 元. 根据题意，得 (40－x)(20＋2x)＝1200， 整理，得 x2－30x＋200＝0， 解得 x1＝10，x2＝20. ∵要求每件盈利不少于 25 元， ∴x2＝20 应舍去，解得 x＝10. 答：每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元.
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[名师点评]列一元二次方程解应用题的常见关系：①平均 变化率问题：若变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率 为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2＝b；②利润问题： 利润＝售价－成本；利润率＝利成润本×100%.
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【试题精选】
7.(2018 年四川绵阳)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，
如果一共碰杯 55 次，那么参加酒会的人数为( )
A.9 人
B.10 人
C.11 人
D.12 人
答案：C
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8.(2018 年辽宁大连)如图2-1-3，有一张矩形纸片，长10 cm， 宽 6 cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成 一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是 32 cm2，求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是 x cm，根据题意可列方程为( )
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知识点 一元二次方程
一元二次方程 根的判别式
内容
(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式
一元二次 法；(4)因式分解法
方程的
解－4ac 2a
判别式
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根 的判别式为 Δ＝b2－4ac
(1)当 Δ>0 时，原方程有两个不相等的 判别式与 实数根；
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增 长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到 多少捐款？
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解：(1)设捐款增长率为 x，根据题意，得 10 000×(1＋x)2＝12 100(元). 解得 x1＝0.1，x2＝－2.1.(不合题意，舍去) 答：捐款增长率为 10%. (2)12 100×(1＋10%)＝13 310(元). 答：第四天该单位能收到 13 310 元捐款.
3.方程 x2＋x－2＝0 的根为____________________. 答案：x1＝1，x2＝－2 4.(2017 年甘肃张掖)若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋4x ＋1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是__________________. 答案：k≤5，且 k≠1 5.(2017 年黑龙江龙东)原价 100 元的某商品，连续两次降 价后售价为 81 元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率 为________. 答案：10%
4.(2015 年广东)解方程：x2－3x＋2＝0. 解：∵x2－3x＋2＝0，∴x2－3x＝－2. ∴x2－3x＋94＝14.∴x－322＝14，x－32＝±12. ∴x1＝1，x2＝2.
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5.(2013 年广东)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开 展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100 元.
下调后，决定以每平方 4860 元的均价开盘销售，则平均每次下
调的百分率是( )
A.8% 答案：C
B.9%
C.10%
D.11%
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1.(2017 年广东)如果 2 是方程 x2－3x＋k＝0 的一个根，那
么常数 k 的值为( )
A.1
B.2
C.－1
D.－2
答案：B
2.(2015 年广东)若关于 x 的方程 x2＋x－a＋94＝0 有两个不
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3.解方程. (1)(2017 年湖北武汉)解方程：x2＋3x＋1＝0. (2)(2018 年浙江绍兴)解方程：x2－2x－1＝0.
解：(1)∵a＝1，b＝3，c＝1，
∴x＝－b±
2ba2－4ac＝－32±
5 .
∴x1＝－3＋2
5，x2＝－3－2
5 .
(2)移项，得 x2－2x＝1.
配方，得 x2－2x＋1＝2，即(x－1)2＝2.
方程根之 (2)当 Δ＝0 时，原方程有两个相等的
间的关系 实数根；
(3)当 Δ<0 时，原方程没有实数根
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(续表) 知识点
一元二次 方程的应用
内容
列一元二 次方程解 应用题的 一般步骤
(1)审题；(2)设未知数；(3)列一元二 次 方 程 ； (4) 解 一 元 二 次 方 程 ； (5) 检 验；(6)作答
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第3课时 一元二次方程
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1.能够根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程. 2.理解配方法，会用配方法、公式法、因式分解法解数字 系数的一元二次方程. 3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两 个实根之间是否相等. 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
A.10×6－4×6x＝32 C.(10－x)(6－x)＝32 答案：B
图 2-1-3 B.(10－2x)(6－2x)＝32 D.10×6－4x2＝32
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9.(2018 年四川眉山)某楼盘准备以每平方 6000 元的均价对
外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币
观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次
开方，得 x－1＝± 2.
∴x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2.
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[解题技巧]解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的 方法.解法选择口诀如下：
方程没有一次项，直接开方最理想；如果缺少常数项，因 式分解没商量；b，c 相等都为零，等根是零不要忘；b，c 同时 不为零，因式分解或配方；也可直接套公式，因题而异择良方.