复变函数与积分变换试题B卷答案

临沂大学2010—2011学年第一学期《复变函数与积分变换》试题（B 卷）答案一、填空题（共8题，每空3分，共30分） 1．ii 2)1(+的值为2ln )42(i k e ++-ππ，主值为2ln 2i e+-π.2．3arg 4ππ<<z ；且3||1<<z 所表示的平面点集是区域吗？ 是 ，单连域还是多连域？ 单连域 。

3．⎰==-⋅1||43)2(sin C z dz z zz e 0 。

4．在映射iz w =下，集合}arg 0,2||1|{π≤≤≤≤=z z z D 的像集为：}23arg 2,2||1|{ππ≤≤≤≤=w w w w 。

5．)2,1,0(2±±=+=k k z ππ为z tan 的 1 阶极点。

6．)34(1z z -在i z +=10 处展开成Taylor 级数的收敛半径为310。

7．)(sin )(t t t f δ+=的频谱密度函数()F ω=[(1)(1)]1j πδωδω+--+ 。

8．已知)()(),()(21t u t f t u e t f t==-，其中⎩⎨⎧<>=0001)(t t t u ，则=*)()(21t f t f )1(te --)(t u 。

二、证明题（共1题，每题12分，共12分）验证xy y x y x u 2),(22+-=是调和函数，并求以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ，使i i f 21)(+-=.解：（1）02,2=+⇒-==yy xx yy xx u u u u 故),(y x u 是调和函数。

（2）利用C —R 条件，先求出),(y x v 的两个偏导数。

y x xu y v y x y u x v 2222+=∂∂=∂∂+-=∂∂-=∂∂ 则 C dy y x dx x y y x v y x +++-=⎰)22()22(),(),()0,0(⎰⎰+++-=xy C dy y x dx x 0)22()2(C y xy x +++-=222)2()2()(2222C y xy x i xy y x z f +++-++-=C i y i x i y i x ++-+=22)()( 2(1)i z iC =-+由 121121)(=⇒+-=+-⇒+-=C i iC i i i f故 i z i z f +-=2)1()(三、计算题（共4题，每题8分，共32分）1．⎰C z dz z ze 2sin ，C 为正向圆周2||=-i z . 解：令 z e z f z sin )(=，则由高阶求导公式得：原式i z e z e i f i z z z πππ2|)cos sin (2)0(20=+='⋅==2．⎰-C zdz z e 11，C 为正向圆周21||=z . 解: 在C 内，z ez-11有本性奇点0=z ，由留数定理：原式]}0,1[{Re 21zes i z-=π在 21||0<<z 内将z e z-11 展为Laurent 级数：)!1!2111)(1(1221 ++++++++++=-nn zz n z z z z z z e++++++=)!1!31!211(1n z故：1!1!31!211]0,1[Re 1-=+++++=-e n z e s z⎰=-==-21||1)1(221z ze i i dz z e ππ3．⎰++πθθθ0cos 451cos 2d解：由于θθcos 451cos 2++是偶函数，故⎰⎰-++=++00cos 451cos 2cos 451cos 2ππθθθθθθd d 原式⎰-++=ππθθθd cos 451cos 221 令 πθπθ≤<-=,z e i 则定积分可化为复积分⎰=---+=++++1||111)2(cos )(251z z z z i dz z z z z θ⎰=++++-=1||2)2)(12(1z dz z z z z z i令 )2)(21(2/)1()(2++++=z z z z z z f 则)(z f 在 1||=z 内有2个简单极点0=z 与21-=z21)2)(21(2/)1(lim ]0),([Re 20=++++=→z z z z z f s z2121(1)/21Re [(),]lim 2(2)2z z z s f z z z →-++-==-+由留数定理知：⎰==-⋅⋅-=-1||0]2121[2)(z i i dz z f i π故原式0021=⋅=4．dx x x x⎰∞∞-++)1)(4(cos 22解：令 )1)(4()(22++=z z e z f zi 容易验证)(z f 满足若尔当引理 )(z f 在上半平面有两个简单极点 i z i z 2,21==⎰∞∞-+=++]}2),([Re ]),([{Re 2)1)(4(22i z f s i z f s i dx x x e ixπ])2)(1())(4([2222iz zi iz zi i z z e i z z e i ==+++++=π212163)126(2-----=-+=e e i e i e i πππ原式212163]63[Re -----=-=e e e e ππππ四、计算题（共1题，每题12分，共12分）用Laplace 变换求解常微分方程：⎩⎨⎧='==+'-''1)0(,0)0(232y y e y y y t解：在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得 ))0()0()((3)0()0()0()(223y Sy S Y S y y S y S S Y S '---''-'--S S Y y S SY 1)())0()((3-=--+)3()33(211)()133(223-++-+-=-+-S S S SS Y S S S)1452(123-+-=S S S S2)1)(12(1--=S S S即 111)1(12)(-+=--=S S S S S S Y故 1)]([)(1+==-t e S Y t y L五、证明题（共·题，每题14分，共14分）设)(z f 在1||<z 内解析，在1||≤z 上连续，试证：当1||<z 时，⎰=--⋅=-1||2)1()(21)()||1(ξξξξξπd zz f i z f z00000010000000001001()()(*)2()111()()()111()()1()1()()2()k nn n n n n n kn f z k f z d i z z z z k k z z z z z z z z z z z z z z z z z z f z f iz ζζπζζζζζζζζζζζπζ∞∞+==∞+=∈=--∈∈<=-------=-==--------=-⎰∑∑∑证明：对任何，有柯西积分公式由于内，上，所以有，则将其代入（*）式中，得：10100010()10000101()[]()2()1() [()]2()()()()()(**)!1()()[()]2()lim (N nn k n nn kn N n N n N n nN n kn N N N f d d z z i z f z z d iz f z f z z z R z n f R z z z d iz R z ζζζπζζζπζζζπζ-+=∞+=-=∞+=→∞=--+--=-+=--∑⎰⎰∑⎰∑∑⎰由高阶导数公式得：其中，下面证明000)0.1()0()()N z z z z q z rf z k D k k M k f M R z ζζ--===<-⊂>≤令，而函数在内解析，从而在上连续，于是在上有界，即存在一个，在上，由表达式得：010001()000()1()1()()[]2()2112221lim lim 0lim ()11()K ()()!nnN n kk n N n NNn n k n N n N N q NN N x N n n n f z z f R z z z ds ds z z z M M Mq q ds q r rrq Mq M q k R z q q f z f z z z n ζζπζπζζπππ∞∞+==∞∞==<→∞→∞→∞∞=-≤-≤----≤=⋅=-===--=-∑∑⎰⎰∑∑⎰因为，所以在内从而在内有：()0.1(),0,1,2,!n n C f z n n ==∑令得证命题。