傅里叶级数的复数形式
第2章 信号分析基础 题库-答案
（1）傅里叶级数实数形式的幅值谱、相位谱；
（2）傅里叶级数复数形式的幅值谱、相位谱；
（3）幅值谱密度。
解：（1）实数形式
傅里叶级数三角形式的展开式：
x(t)
a0 2
n1
(an
cos n0t
bn
sin
n0t )
x(t)
2 2
Acos(0t)
2 2
A sin(0t )
得： a0
0 ， an
形脉冲。
x(t)
t
x1 (t )
x2 (t )
图2-31
解：矩形脉冲信号
x(t
)
E 0
| t | T1 的频谱密度 | t | T1 t
t
X ()
T1 T1
Ee
jt dt
2ET1
sinc(T1)
所以
X1
(
)
sinc(
1 2
)
，
X
2
(
)
3
sinc(
3 2
)
x(t)
1 2
x1 (t
2.5)
x2 (t
过程： T 0
A2
T 1 cos 2t dt
T0
2
A2 2
18.求正弦信号 xt Asin( t ) 的概率密度函数 p(x)。
解：
公式： p(x) lim P(x x(t) x x)
x0
x
过程：
在一个周期内Tx0 t1 t2 P[x x(t) x x] lim Tx Tx0
答：充分条件：绝对可积
充要条件：
（D） a X a f
6．判断对错：1、 随机信号的频域描述为功率谱。（ V ）
傅里叶变换三部曲（二）·傅里叶变换的定义
傅⾥叶变换三部曲（⼆）·傅⾥叶变换的定义Part1:傅⾥叶级数的复数形式设f(x)是周期为l的周期函数,若f(x)∼a02+∞∑n=1(a n cosnπxl+bn sinnπxl),an=1l∫l−lf(x)cosnπxl d x,(n=0,1,2,…)bn=1l∫l−lf(x)sinnπxl d x.(n=1,2,…)记ω=πl,引进复数形式:cos nωx=e i nωx+e−i nωx2,sin nωx=e i nωx−e−i nωx2i级数化为f(x)∼a02+∞∑n=1(a ne i nωx+e−i nωx2+bne i nωx−e−i nωx2i)=a02+∞∑n=1(a n−ib n2e i nωx+a n+ib n2e−i nωx)令c0=a02,cn=a n−ib n2,dn=a n+ib n2,则c0=12l∫l−lf(x)d x,c n=12l∫l−lf(x)(cos nωx−isin nωx)d x=12l∫l−lf(x)e−i nωx d x,d n=12l∫l−lf(x)(cos nωx+isin nωx)d x=12l∫l−lf(x)e i nωx d x≜c−n=¯c n,(n=1,2,…)合并为c n=12l=∫l−lf(x)e−i nωx d x,(n∈Z)级数化为+∞∑n=−∞c n e−i nωx=12l+∞∑n=−∞∫l−l f(x)e−i nωx d x e i nωx我们称c n为f(x)的离散频谱(discrete spectrum),|c n|为f(x)的离散振幅频谱(discrete amplitude spectrum),arg c n为f(x)的离散相位频谱(discrete phase spectrum).对任何⼀个⾮周期函数f(t)都可以看成是由某个由某个周期为l的函数f(x)当l→∞时得来的.Part2:傅⾥叶积分和傅⾥叶变换傅⾥叶积分公式设f T(t)是周期为T的周期函数,在[−T2,T2]上满⾜狄利克雷条件,则f T(t)=1T∞∑n=−∞∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t e j nωt,ω=2πT(上式中j是虚数单位,在傅⾥叶分析中我们不⽤i⽽通常记作j)由limT→∞f T(t)=f(t)知,f(t)=limT→∞1T∞∑n=−∞[∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t]e j nωt记Δω=2πT,则Δω→0⇔T→∞,则f(t)=limT→∞1T∞∑n=−∞[∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t]e j nωt=limΔω→012π+∞∑n=−∞∫T2T2f T(t)e−j nωt d t e j nωtΔω[][][]令F T(nω)=∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t,则f(t)=limΔω→012π+∞∑n=−∞F T(nω)e j nωtΔω,F T(t)→∫+∞−∞f(t)e−jωt d t≜F(ω)(T→∞),由定积分定义f(t)=12π∫+∞−∞F(ω)e jωt dω,即f(t)=12π∫+∞−∞∫+∞−∞f(t)e−jωt d t e jωt dω上述公式称为傅⾥叶积分公式.傅⾥叶积分存在定理若f(t)在任何有限区间上满⾜狄利克雷条件,且在R上绝对可积,则12π∫+∞−∞∫+∞−∞f(t)e−jωt d t e jωt dω=f(t),t为连续点,f(t−)+f(t+)2,t为间断点.傅⾥叶变换设f(t)满⾜傅⾥叶积分存在定理,定义F(ω)=∫+∞−∞f(t)e−jωt d t 为f(t)的傅⾥叶变换(Fourier Transform)(实际上是⼀个实⾃变量的复值函数),记作F(ω)=F[f(t)]类似地,定义f(t)=12π∫+∞−∞F(ω)e−jωt dω为F(ω)的傅⾥叶逆变换(Inverse Fourier Transform),记作f(t)=F−1[F(ω)]在⼀定条件下,有F[f(t)]=F(ω)⇒F−1[F(ω)]=f(t);F−1[F(ω)]=f(t)⇒F[f(t)]=F(ω). f(t)与F(ω)在傅⽒变换意义下是⼀个⼀⼀对应,称f(t)与F(ω)构成⼀个傅⽒变换对,记作f(t)F↔F(ω)在不引起混淆的情况下,简记为f(t)↔F(ω).f(t)称为原象函数(original image function),F(ω)称为象函数(image function).在频谱分析中,F(ω)⼜称为f(t)的频谱(密度)函数(spectrum function),|F(ω)|称为f(t)的振幅频谱(amplitude spectrum),arg F(ω)称为f(t)的相位频谱(phase spectrum).下⾯我们来求⼏个常见信号函数的傅⽒变换.例1 求矩形脉冲函数(rectangular pulse function)R(t)=1,|t|≤1, 0,|t|>1的傅⽒变换及其频谱积分表达式.解:F(ω)=F[R(t)]=∫+∞−∞R(t)e−jωt d t=∫1−1R(t)e−jωt t=e−jωt−jω1−1=−e−jω−e jωjω=2sinωω;R(t)=12π∫∞−∞F(ω)e jωt dω=1π∫+∞F(ω)cosωt dω=1π∫+∞2sinωωcosωt dω=2π∫+∞sinωcosωtωdω=1,|t|<1, 12,|t|=1, 0,|t|>1因此可知,当t=0时,有[] []{{ []{∫+∞0sin t xd t =π2例2 求指数衰减函数(exponential decay function)E (t )=0,t <0,e −βt ,t ≥0的傅⽒变换及其频谱积分表达式,其中β>0为常数.解:F (ω)=F [E (t )]=∫+∞−∞E (t )e −j ωt d t=∫+∞0e −βt e −j ωtd t =∫+∞0e (β+j ω)t d t =1β+j ωβ−j ωβ2+ω2E (t )=12π∫+∞−∞F (ω)e j ωt ω=12π∫+∞−∞β−j ωβ2+ω2e j ωtω=1π∫+∞βcos ωt +ωsin ωtβ2+ω2d ω=0,t <0,12,t =0,e −βt ,t >0Part3:单位脉冲函数我们记电流脉冲函数q (t )=0,t ≠0,1,t =0,严格地,由于q (t )在t =0出不连续,所以q (t )在t =0点是不可导的.但是,如果我们形式地计算这个导数,有q ′(0)=limΔt →0q (0+Δt )−q (0)Δt=limΔt →0−1Δt=∞我们引进这样⼀个函数,称为单位脉冲函数(unit pulse function)或狄拉克(Dirac)函数,简记为δ−函数,即δ(t )=0,t ≠0,∞,t =0,⼀般地,给定⼀个函数序列δε(t )=0,t <0,1ε,0≤t ≤ε,0,t >ε则有δ(t )=lim ε→0δε(t )=0,t ≠0,∞,t =0于是∫+∞−∞δ(t )d t =limε→0∫+∞−∞δεd t =limε→0∫ε01εd t =1若设f (t )为连续函数,则δ−函数有以下性质:∫+∞−∞δ(t )f (t )d t =f (0);∫+∞−∞δ(t −t 0)f (t )d t =f (t 0)于是我们可得:F [δ(t )]=∫+∞−∞δ(t )e −j ωt t =e −j ωt t =0=1于是δ(t )与常数1构成了⼀对傅⾥叶变换对.例3: 证明:e j ω0t ↔2πδ(ω−ω0)其中ω0是常数.证:{{{{{{|f(t)=F−1[F(ω)]=12π∫+∞−∞2πδ(ω−ω0)e jωt dω=e jωtω=ω=e jω0t在物理学和⼯程技术中,有许多重要函数不满⾜傅⽒积分定理中的绝对可积条件,即不满⾜条件∫+∞−∞|f(t)|d t<∞例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等, 然⽽它们的⼴义傅⽒变换也是存在的,利⽤单位脉冲函数及其傅⽒变换就可以求出它们的傅⽒变换.所谓⼴义是相对于古典意义⽽⾔的,在⼴义意义下,同样可以说,原象函数f(t)和象函数F(ω)构成⼀个傅⽒变换对.例求正弦函数f(t)=sinω0t的傅⽒变换.解:F(ω)=F[f(t)]=∫+∞−∞f(t)e−jωt d t=∫+∞−∞e jω0t−e−jω0t2je−jωt d t=12j∫+∞−∞e−j(ω−ω0)t−e−j(ω+ω0)t d t=jπδ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)同样我们易得F(cosω0t)=πδ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)例证明:单位阶跃函数(unit step function)u(t)=0,t<0, 1,t>0的傅⽒变换为F[u(t)]=1jω+πδ(ω)证:F−11jω+πδ(ω)=12π∫+∞−∞1jω+πδ(ω)e jωt dω=12π∫+∞−∞[πδ(ω)]e jωt dω+12π∫+∞−∞1jωe jωt dω=12+12π∫+∞−∞cosωt+jsinωtjωdω=12+12π∫+∞−∞sinωtωdω=12+1π∫+∞sinωtωdω∫+∞0sinωtωdω=π2,t>0,−π2,t<0⇒F−11jω+πδ(ω)=12+1π−π2=0,t<012,t=0,12+1ππ2=1,t>0=u(t).本⽂完|()[][]{[][][][][][] { []{()()。
基础知识积累—傅里叶变换
三、傅里叶变换
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数 （正弦函数或余弦 函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不 同的变体形式， 如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热 过程的解析分析的工具被提出的。
变换提出
傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是 Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier 对热传递很感兴趣，于 1807 年在法国科学 学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有 争议性的决断： 任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审 查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉 普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此 后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号， 如 在方波中出现非连续变化斜率。 法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅 里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破
的傅里叶变换为
，且其导函数
的傅里叶变换存在，则
即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 。更一般地，若 的 阶导数 的傅里叶变换存在，则
即 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子
。
卷积特性
若函数 以及 都在 上绝对可积，则卷积函数为：
即傅里叶变换存在，且 Parseval 定理以及 Plancherel 定理 若函数 有： 以及 平方可积，二者的傅里叶变换分别为 与 ，则
傅里叶级数的复数形式
an ibn a0 e = + ∑ 2 n=1 2
∞
i
nπx l
an + ibn e + 2
i
nπx l
a0 an ibn an + ibn 令C0 = , Cn = , Cn = , 2 2 2
nπx ∞ i = C0 + Cne l n=1
∑
nπx i + Cne l
( n = 1,2,3,)
+∞ n
( x ≠ 2k + 1, k = 0,±1,±2, )
二、小结
傅里叶级数的复数形式 傅里叶系数的复数形式
f ( x) =
∑Cne n=∞
∞
i
nπx l
,
1 Cn = ∫l f ( x)e 2l
l
i
nπx l
dx (n = 0,±1,±2, )
注意:傅里叶级数的两种形式， 注意 傅里叶级数的两种形式，本质上是一样 傅里叶级数的两种形式 复数形式较简洁且只用一个算式计算系数． 的．复数形式较简洁且只用一个算式计算系数．
的 氏 数. 傅 级 数
1 1 (1+inπ ) x 1 1 x inπx 解 cn = ∫ e e dx dx = ∫1e 2 2 1 1 1 inπ 1 [e cos nπ ecos nπ ] = 2 2 2 1+ n π
1 inπ = (1) sinh1, 2 2 1+ n π
n
1 inπ inπx f ( x) = ∑( 1) sinh1 e . 2 2 1+ n π n=∞
练 习 题
的周期函数， 设 f ( x ) 是周期为 2 的周期函数，它在 [1,1) 上的 表达式为 f ( x ) = e x．试将 f ( x ) 展开成复数形式的傅 里叶级数． 里叶级数．
工程数学第八章傅里叶变换课件
[
f ( )e j d ]ejtd
2π
2π
（8-5）
这样就得到了 f (t) 的一个积分形式的展开式，称为非周期函
数 f (t) 的傅里叶积分公式,等号右端称为傅里叶积分．
定理 1（傅里叶积分定理） 若函数 f (t) 在 (-,+) 上的任一
有限区间内满足狄利克雷条件，并且在 (-,+) 上绝对可积，
2
2π
j
1 1 sin t d
2 π0
利用狄利克雷积分 sin d π ，可知
0
2
若 t 0 ，令 t u ，则
sin t d sin u du π
0
0u
2
上页
下页
返回
结束
若 t 0 ，令t u ，则
sin t d
sin u
π
du
0
2
a0
1( 2
0
0d t
2
2
1d t) 1
0
an
1 2
2 0
cos
ntdt
1
2n
sin
nt
|02
sin 2n sin nπ 0(n 0) 2n nπ
上页
下页
返回
结束
bn
1 2
2 0
sin
n
tdt
1
2n
cos
nt
|02
1 (1 cos 2n) 1 (1 cos nπ)
2n
nπ
2
t
d
.
注意到上式被积函数关于 的奇偶性，可得 f (t) 的傅里叶积分公式为
f (t) 1
π
0
傅里叶级数介绍
傅⾥叶级数介绍傅⾥叶变换能将满⾜⼀定条件的某个函数表⽰成三⾓函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅⾥叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅⾥叶变换和离散傅⾥叶变换。
最初傅⾥叶分析是作为热过程的解析分析的⼯具被提出的。
要理解傅⽴叶变换，确实需要⼀定的耐⼼，别⼀下⼦想着傅⽴叶变换是怎么变换的，当然，也需要⼀定的⾼等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅⽴叶级数变换是傅⽴叶变换的基础公式。
变换提出让我们先看看为什么会有傅⽴叶变换？傅⽴叶是⼀位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了⼀篇论⽂，运⽤正弦曲线来描述温度分布，论⽂⾥有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由⼀组适当的正弦曲线组合⽽成。
当时审查这个论⽂的⼈，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗⽇(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论⽂时，拉格朗⽇坚决反对，在近50年的时间⾥，拉格朗⽇坚持认为傅⽴叶的⽅法⽆法表⽰带有棱⾓的信号，如在⽅波中出现⾮连续变化斜率。
法国科学学会屈服于拉格朗⽇的威望，拒绝了傅⽴叶的⼯作，幸运的是，傅⽴叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国⼤⾰命后因会被推上断头台⽽⼀直在逃避。
直到拉格朗⽇死后15年这个论⽂才被发表出来。
谁是对的呢？拉格朗⽇是对的：正弦曲线⽆法组合成⼀个带有棱⾓的信号。
但是，我们可以⽤正弦曲线来⾮常逼近地表⽰它，逼近到两种表⽰⽅法不存在能量差别，基于此，傅⽴叶是对的。
为什么我们要⽤正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以⽤⽅波或三⾓波来代替呀，分解信号的⽅法是⽆穷的，但分解信号的⽬的是为了更加简单地处理原来的信号。
大学物理-傅里叶积分变换
设想周期函数的周期 2l 不断增大而趋于无穷，即自 变量每增长无穷，函数才变化一次，当自变量增长为有 限值时，函数并不重复变化，此时它已经转化为非周期 函数。这样，可以把符合一定条件的非周期函数展开成 傅里叶积分。
可以证明： 如果定义在 (–, ) 的函数在任一有限区间上满足
说明：(1) 原函数存在积分运算，像函数中无积分运算；
(2) 积分运算
代数运算 (除法运算)。
证明：令
即 同理，有
，则 g' (x) = f (x)。于是
后 面 的 例 题 会 用 到
)
(
7. 卷积定理
说明： (1) 卷积 f1 (x) * f2 (x) 的定义为
(2) 原函数存在卷积运算
像函数间的普通乘积
3. 积分变换法求解数理方程的基本思想 如果不方便从原函数的方程直接求解，那么可能找
到适当的积分变换，把问题变换成比较简单的求像函数 的定解问题，再通过逆变换把求得的像函数变换成原函 数，从而得到所要求的解。
从物理上讲，经过积分变换后，自变量定义域的类 别也发生了变化。
例：
时间域 t 空间域 r
频率域
U (k, t) (k)ek2a2t t C(k, )ek2a2 (t )d 0
(3) 作像函数的傅里叶逆变换 (10-1-19)
由卷积定理，有
F[ f1(x) f2(x)] F[ f1(x)]F[ f2(x)] f1(k) f2(k)
取上式的傅里叶逆变换，得到 F1[ f1(k) f2 (k)] f1(x) f2 (x) F1[ f1(k)]F1[ f2(k)]
(1 x 1) ( x 1)
x
傅立叶(Fourier)级数的展开方法
kπx bk sin l
k 1
b k
2 l
l
f
( ξ sin
k πξ
dξ
(k 1,2,L )
0
l
叫做傅里叶正弦级数，f(0)=f(l)=0
若f(x)是偶函数，则bk为0，展开式为
f ( x ) a 0
a k cos
kπx l
k1
ak
1 l
l
f
(x )dx (k
1,2,L)
0
ak
四 复数形式的傅立叶级数
有些时候利用三角函数和复指数函数的关系，将 函数以复指数函数展开讨论函数的性质更方便。 而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:
a b f
x
a0
k 1
kx
cos
k
l
k
s
in
kx
l
a e e b e e f x a0
k
k 1
i kx l 2
i kx
l
为基进行分解
x
2x
kx
基
矢 量
1, cos , cos ,... cos ,...
l
l
l
x 2x
kx
sin , sin ,... sin ,...
l
l
l
4、第一类间断点和第二类间断点的区别:
函数的间断点分为两类
第一类间断点：x0是函数的间断点，且
左极限 lim f ( x) lim f ( x)右极限
f (x)
a
x
l
延拓到（- l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：
f (x)
a
l 0
l
5-1傅里叶级数
第五章 傅里叶变换
教学内容： 傅里叶变换公式、性质以及计算方法和应用。 要求： 理解傅里叶积分与傅里叶变换以及复数形式的傅 里叶变换。掌握非周期函数的傅里叶变换。理解 δ 函数的含义、性质以及在物理中的应用。
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信 号都可用正弦函数的级数 表示” 1822年发表“热的分析理 论”，首次提出“任何非 周期信号都可用正弦函数 的积分表示”
2 l n n 2
将[]2展开，逐项积分，得
n n l l 1 2 2 2 2 2 [ f ( x)] dx 2la0 lak lbk 2a0 f ( x)dx l 2l l k 1 k 1
2 a k
k 1
n
l
l
n l kx kx f ( x) cos dx 2 bk f ( x) sin dx 0 l l l k 1
§5.1 傅里叶级数
一、傅里叶级数 对周期为2l的函数f(x)=f(x+2l)，可取三角函数族
2x kx 1 ， cos ， cos ， ... ， cos ， ... l l l x 2x kx sin ， sin ， ... ， sin ， ... l l l
x
( 1)
作为基本函数族，将f(x)展开成级数
f ( 0) f ( 0) 0 2 2 2
在连续点 x (2k 1) 处收敛于f(x)。
傅里叶系数计算：
1 a0 2 1 2
f ( x)dx
ak
2 0
f ( x) cos kxdx
1
1 x xdx 2 2
第八节 一般周期的函数的傅里叶级数
6
例2. 把 (1) 正弦级数;
展开成 (2) 余弦级数. 在 x = 2 k 处级 数收敛于何值? 解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有 y
n x 2 2 dx bn x sin 2 2 0 2 n x 2 x cos n 2 n 4 cos n n
o
T 2 2
x
它的复数形式的傅里叶系数为
1 T c0 2 u( t ) d t T T 2
h T
16
1 T2 u(t ) e T
T 2
i
2 nt T
1 2 d t he T 2
i
2 nt T
dt
h T e T 2 n i
2 n t i T
h n sin n T
n i h 1 i nT 2 T e e n 2 i 2 ( n 1 , 2 , )
1 n i 2 nT t h h n sin T e u( t ) T n
( n 0 , 1 , 2 ,) ( n 1 , 2 , 3 ,)
1 F ( z ) sin nz dz bn
令z
x
l
1 l n x an f ( x ) cos d x ( n 0 , 1 , 2 ,) l l l 1 l n x bn f ( x ) sin d x ( n 1 , 2 , 3 ,) l l l
n0
17
内容小结
1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式 a0 f ( x) 2 (x 间断点) 1 l n x l f ( x ) cos l d x (n 0 ,1,) l 其中 1 l n x f ( x ) sin d x ( n 1 , 2 ,) l l l 当f (x)为奇(偶) 函数时, 为正弦(余弦) 级数. 变换 2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法 延拓 3. 傅里叶级数的复数形式 利用欧拉公式导出
傅里叶级数复数形式
傅里叶级数复数形式在复数形式的傅里叶级数中，将任意周期为T的函数f(t)分解成了以下形式的级数：f(t)=∑Ck * exp(jkω0t)其中，Ck是复数系数，代表了不同频率分量的振幅和相位信息；exp(jkω0t)是复指数函数，其中k是频率的整数倍，ω0是基本频率，即2π/T。
复数系数Ck可以通过以下公式计算得到：Ck=(1/T)∫[f(t) * exp(-jkω0t)]dt这表示Ck是函数f(t)和复指数函数的乘积的积分。
实际上，Ck是在一个周期内函数f(t)与复指数函数的乘积的平均值。
复数系数Ck可以用于表示各个频率分量在原始函数f(t)中的振幅和相位信息。
根据欧拉公式，复指数函数可以表示为正弦和余弦函数的和：exp(jkω0t)=cos(kω0t)+jsin(kω0t)因此，复数系数Ck可以分解为正弦和余弦函数的振幅和相位：Ck=Ak-jBk其中，Ak和Bk分别代表了正弦和余弦分量的振幅，可以通过以下公式计算得到：Ak=2，CkBk=-2Im(Ck)这样，我们可以通过计算复数系数Ck来得到正弦和余弦分量的振幅和相位信息。
复数形式的傅里叶级数在信号处理中有广泛的应用。
一方面，复数形式的傅里叶级数可以用于分析周期信号的频谱特征，通过计算不同频率分量的幅度和相位信息，可以对周期信号进行频域分析，揭示其频谱特性和频率成分。
另一方面，复数形式的傅里叶级数还可以用于对周期信号进行变换和滤波处理，通过调整不同频率分量的振幅和相位信息，可以实现对信号的滤波、去噪和频率域变换等操作。
总结起来，傅里叶级数的复数形式可以更加方便和简洁地表示周期函数，利用复数系数可以分析周期信号的频谱特性和进行变换处理。
复数形式的傅里叶级数在信号处理、图像处理和物理学等领域中有广泛的应用，对理解和处理周期信号具有重要意义。
06-傅立叶级数的复数形式PPT
傅里叶级数的复数形式一、傅里叶级数的复数形式的傅里叶级数：的函数周期为 )( 2 x f l 分别为其中系数 ,n n b a ),2,1,0(,cos )(1 =π=⎰-n dx l x n x f l a l l n ),2,1(,sin )(1 =π=⎰-n dx lx n x f l b l l n ∑∞=++10)sin cos (2 n n n l x n b l x n a a ππ,2sin ,2cos iee t e e t itit itit ---=+=代入欧拉公式∑∞=----++10)](2)(2[2n i i n i i n l x n l x n lx n l x n e e ib e e a a ππππ∑∞=-++-+=10).22(2n i n n i n n l x n l x n e ib a e ib a a ππ的傅里叶级数为：)(x f).,2,1(2,2,2 00 ==+=-=-n c ib a c ib a c a n n n n n n 记的傅里叶级数为则 )( x f ∑∞=--++10).(n i n i n lx n lxn ec ec c ππ即得取遍所有的整数让 , n 傅里叶级数的复数形式∑∞-∞=n i n lx n ec .π;)(21200⎰-==ll dx x f l a c dx lx n i l x n x f l l l ⎰--= )sin )(cos (21ππ2n n n ib a c -=).,2,1( )(21 ==⎰--n dx e x f l l li l x n π).,2,1( )(212 ==+=⎰--n dx e x f l ib a c l li n n n lx n π).,2,10( )(21 ±±==⎰--，n dx e x f l c l li n lx n π合并得傅里叶系数的复数形式：注：傅里叶级数的复数形式更简洁,只需一个算式计算系数.二、典型例题fxexf x设函数以为周期且=-x(-([1,1)).)()2,∈例1将xf展开成复数形式的傅里(叶级数).解)+f∈x=满足收敛定理的条件点函数(Z2(1,)kkx为不连续点.⋅⋅⋅131-3-0xy2111dx e e c xin x n ⎰---⋅=π 2111)1(dx e x in ⎰-+-=π11)1(1121-+-+⋅-=x in ein ππ)cos cos (1121122ππππn e n e n in -+-⋅-=-.1sinh 11)1(211)1(22122⋅+--=-⋅+--=-ππππn in ee n in nn故傅里叶级数为，xin n ne n in xf πππ∑∞-∞=+--=2211)1(1sinh )(., 12 Z k k x ∈+≠其中。
傅里叶级数复数形式
(n 1,2,3, )
代入欧拉公式
cos t eit eit , sin t eit eit ,
2
2i
f
(
x)
a0 2
n1
(an
cos
nx l
bn
sin
nx ) l
a0 2
n1
an 2
inx e l
i nx
el
ibn 2
inx e l
i nx
el
a0 2
an
n1
ibn 2
i nx
el
an
ibn 2
inx e l
令C0
a0 2
,
Cn
an
ibn 2
,
Cn
an
ibn 2
,
(n 1,2,3, )
i nx
inx
C0 Cne l Cne l
n1
于是有
f (x)
i n复数形式
n
Cn
1 2l
l
i nx
f ( x)e l dx
l
(n 0,1,2, )
注意:傅里叶级数的两种形式，本质上是一样 的．复数形式较简洁且只用一个算式计算系数．
l
(n 0,1,2, )
傅里叶系数的复数形式
例 设 f ( x)是周期为 2 的周期函数,它在 [1,1) 上的表达式为 f (x) ex ,将其展成复数形式
的傅氏级数.
解
cn
1 2
1 e x e inxdx
1
1 2
1 e (1in) xdx
1
1 2
1 in 1 n22
[e
1
cos
什么是傅里叶级数
我们的提纲如下：1. 为什么我们要分解一个函数2. 傅里叶级数就是三角级数2.1 傅里叶级数就是把周期函数展开成基频和倍频分量2.2 每个分量的大小我们用投影的方法来求。
————————————————————————你是大学生吗？你学理工科吗？你还不知道傅里叶级数吗？你以为傅里叶和泰勒有什么亲戚关系吗？你一定听说过傅里叶展开和泰勒展开吧？展开的结果就是傅里叶级数和泰勒级数。
他们是对一个函数的不同的【展开】方法。
【相信我，傅里叶分解其实巨简单！】#【但是最开始的问题一定是：我们为什么要展开一个函数一个函数：y=1他的泰勒展开是神马？还是y=1。
那么y=x的展开呢？是y=x。
我们知道，泰勒展开是把函数分解成1, x, x^2, x^3, …等等幂级数的【和】。
就是【把一个函数变成几个函数的和】啊这个展开的式子就是泰勒级数啊对函数的展开和5 = 2+3 一样一样一样的啊要多简单有多简单有木有啊但是你要注意啊：【展开的很多时候是有无限项不能穷尽的呀！】你还记得sinx 的泰勒展开是什么吗？sinx = 0+ x – 1/3!x^3 + 1/5!x^5 -…（如果系数错了可千万不要吐槽啊啊啊，lz是学渣记系数记不住啊）【那么现在提问：】你知道为什么要展开成幂级数的和吗？请看这里：因为我们把y展开成泰勒级数y = 1+x+x^2+x^3+x^4+…的时候我们可以无限细分得到函数在每个点的【【变化】】呀呀呀！这和你把3234.352拆成3000+200+30+4+0.3+0.05+0.002一样一样一样的啊所谓对函数的无限细分，就是不断求导，得到123456789阶变化率，从而得到这个函数到底在各个点【精细】【变化】的有多剧烈啊！还记得神马叫变化吗？位移的变化是速度，速度的变化是加速度，加速度的变化是加加速度的。
一句话，【变化就是导数啊】【泰勒级数的每一阶的系数（主值）就是各阶导数啊！！】所以泰勒级数就是在描述一个函数的各个点的变化啊啊啊——————————————————————————喂不要再跑题啦啦！！我们是要说傅里叶级数的好不好！你不认识傅里叶？没有任何关系，但是你见过三角形吗？知道三角函数吗？傅里叶级数又叫三角级数啊。
傅里叶变换超详细总结
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
频域分析：傅里叶变换，自变量为 j Ω 复频域分析：拉氏变换，自变量为 S = σ +j Ω Z域分析：Z 变换，自变量为z
傅立叶级数是一种三角级数，它的一般形式是
=
1• 2 (cn
e inω t
+
•
c−n
e −inω t )
=
Re⎩⎨⎧c•n
e inω
t
⎫ ⎬ ⎭
.
(2).对于n
阶谐波的振幅
•
cn = an − ibn ;
•
c−n = an + ibn
复数形式
实数形式
•
•
cn = c−n = an2 + bn2
复振幅的模,正好是 n上述脉冲信号的一个周期其傅里叶变aedt傅里叶变换的性质1线性利用傅里叶变换的线性特性可以将待求信号分解为若干基本信号之和judujudu1傅里叶级数对应的是周期信号要求在一个周期内能量有限是离散谱代表周期信号第次谐波幅度的大小傅里叶变换对应的是非周期信号要求在整个时间区间内能量有限是连续谱是频谱密度是谐波幅度除以角频率傅里叶级数和傅里叶变换的区别与联系2周期信号的傅里叶级数和用该信号的一个周期所求出的傅里叶变换的关系为
, ,
m≠n m=n
T 2
∫ sin mωt cos nωt d t = 0
−T 2
T
T
2
2
∫ 1⋅ sin nωt d t = ∫ 1⋅ cos nωt d t =0
T
T
−
−
2
14讲 傅里叶级数
其中权重函数仍为大于0的实函数。
注：正交系一定要指明区间。
三角函数族是权重为1的正交系(自证),由此可确定其傅里叶系数。 如，展开式两边同乘以基函数1，并在一个周期[-T/2,T/2]上积分得
T 2
T 2
1 T2 f (t )dt a0 dt 0, 即a0 f (t )dt. T 2 T T 2
k
同理，对于时间坐标的傅里叶展开变为
其中系数ck
1 T2 f ( )eikw0 d . T T 2
ck e ikw0t ,
注：在时间坐标的傅氏展开中习惯用指数的负幂形式。
五、多元函数的傅里叶级数展开
若函数f(x1,x2)具有双周期2l1和2l2，即x1,x2分属[-l1,l1]和[-l2,l2]， 则函数可展为傅里叶级数：
二、奇偶函数的傅里叶展开 若周期函数f(x)是奇函数，则傅里叶级数中偶基函数的系数a0和 1 l k ak都应等于0。而展开系数 bk f ( ) sin d
l 2 l 中的被积函数是偶函数，故系数可写成： bk f ( ) sin k d . l 0 l l l
T 2
展开式两边同乘以基函数cos(2kt/T) ，并在 [-T/2,T/2]上积分得 2 T 2 T 2 2k t 2k t 2 T2 2k t
T 2
ak cos dt. dt 0, 即ak f (t ) cos T T T T 2 T 2 T2 2k t 同理，可得 bk f (t ) sin dt. 2cos2x=1+cos(2x) T T 2 T f (t ) cos
由于在边界x=0和x=l处,sin(kx/l)=0,故f(0)=0=f(l),这称为Ⅰ边界. 若周期函数f(x)是偶函数，则傅里叶级数中bk都应等于0，而 1 l l a0 f ( )d , ak 2 f ( ) cos k d . 0
傅里叶级数.pdf
f ( x)dx
a0 dx 2
an
n1
cosnxdx bn
sin nxdx
根据三角函数系①的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则：
从而得出
f ( x)dx a0 2 2
1 a0
f ( x)dx
其次求 an ，用 cos nx 乘②式两端，再从
到 逐项积分，可得
f (x) cos nxdx a0 2
0
10
1
f ( x) cos( nx)( dx)
f ( x) cosnxdx
0
1
1
f ( x) cos(nx)( dx)
f ( x) cosnxdx
0
0
2 f ( x) cosnxdx ( n 0,1,2,3, ).
0
1 bn
f ( x) sin nxdx
10
1
f (x) sin nxdx
x sin nxdx
⑤
2 n1
2
2
记
a0 2
c0 ,
an ib n 2
cn ,
an ib n 2
cn
(n 1,2,3, ),
则⑤式就表示为
a0 2
cn einx
n1
c n e inx ) .
(cneinx ) n 0
cn einx c ne inx ) .
n1
cneinx
⑥
n
⑥式即为傅里叶级数的复数形式。
系数 cn 的计算
（1）证 设 f (x) 为奇函数，即 f ( x) f ( x) 。按傅里叶系数公式有：
1 an
f (x) cosnxdx
10
1
傅里叶变换与傅里叶级数
重温傅里叶—笔记篇本文记录得大多就是基础得公式,还有一些我认为比较重要得有参考价值得说明、(如果对这些公式已经很熟悉,可以直接瞧第三部分:总结性说明)重温傅里叶—笔记篇一、傅里叶级数＄关于三角函数系得正交性:三角函数系包括:1, ｃoｓｘ, sinx , coｓ２ｘ, ｓin 2x, ……cos nx, ｓin ｎx, ……“正交性"就是说,三角函数系中得任何一项与另一项得乘积,在(－π, π) 区间内得积分为0。
(任何两相得积总可以展成两个频率为整数倍基频得正余弦函数之与或差,而这两个展开后得正余弦在(—π,π)上积分都为0)。
不同频率(但都就是整数倍基频)得两个正弦函数之积,在(－π, π)上积分恒为０。
同频率得两个正弦函数之积,只有在这两个正弦得相位正交时,其在(－π,π)上积分才就是0、三角函数系中除“1”以外得任何一项得平方,在(—π,π)上得积分恒为π,“１”在这个区间上得积分为2π。
＄上公式！①当周期为2π时:式(１):上式成立得条件就是ｆ(x)满足狄立克雷充分条件:１。
在任意有限区间内连续,或只有有限多个第一类间断点;２. 任意得有限区间,都可被分成有限多个单调区间(另一种说法就是:任意有限区间内只有有限多个极值点,其实就是一样得)式(1)第一行中得a0／2 就就是f(x)得周期平均值,而且第一行得式子只对f(x)就是连续函数得情况成立;如果ｆ(x)不连续,则应表示成“(１／２)×［f(x—０)+ｆ(ｘ+0)］”,即ｆ(x)左右极限得算术平均。
下面得类似情况都就是这样,之后就不再专门说明,这些大家应该都懂。
第三、四行中,n得取值都就是:1,2,3,4,……n,……(都为正,且不包含0)。
②当周期为2L时(这也就是最一般得情形):式(2):第一行中得a0/2 就就是f(x)得周期平均值;第三、四行中,n得取值都就是:１,2,3,４,……ｎ,……(都为正,且不包含0)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
以2L为周期的函数的傅里叶级数为
f(x ) a 2 0 n 1 (a n cn o lx s b n sin ln x ),
a n 1 l llf(x )cn o lx d sx (n 0 ,1 ,2 , ) b n 1 l llf(x )sn ilx n dx (n 1 ,2 ,3 , )
代入欧拉公式
cotseit eit , sint eit eit ,
2
2i
f(x ) a 2 0 n 1 (a n cn o lx sb n sn iln x )
a 2 0 n 1 a 2 n e in lx e in lx i2 n b e in lx e in lx
练习题
设f(x)是周期 2的 为周期函数[， 1,1)它 上在 的 表达式f(为 x)ex．试f将 (x)展开成复数形式的 里叶级数．
练习题答案
f(x)n (1 1) n((1n i)2n )sin1eh in x.
(x2k1,k0,1,2, )
( x 2 k 1 ,k 0 , 1 , 2 , )
二、小结
傅里叶级数的复数形式
inx
f(x) Cne l ,
n
傅里叶系数的复数形式
C n 2 1 l llf(x )e in lx dx (n 0 , 1 , 2 , )
注意:傅里叶级数的两种形式，本质上是一样 的．复数形式较简洁且只用一个算式计算系数．
a 2 0n 1 a n 2in b ein lxa n 2in b e in lx
令C0
a0 2
,
Cn
an
ibn 2
,
Cn
an
ibn 2
,
inx
inx
(n1,2,3, )
C0Cne l Cne l
n1
于是f(有 x)Cneinlx,傅里叶级数的复数形式
n
C n 2 1 l llf(x )e in lx dx (n 0 , 1 , 2 , ) 傅里叶系数的复数形式
例设f(x)是周期为2的周期函数,它在[1,1) 上的表达பைடு நூலகம்为f(x)ex,将其展成复数形式
的傅氏级数.
解 cn1 2 11exeinxdx1211e(1in)xdx
1 2 1 1 n i2n 2 [e 1 cn o s e cn o]s
(1)n11n i2n 2sin1,h
f(x ) n ( 1 )n1 1 n i2n 2si1 n ei n h x.