矩阵幂级数

§4.矩阵的幂级数在研究矩阵幂级数之前先研究一下矩阵（主要是方阵）级数。

一、矩阵级数1.Df 1.：若给定n n C ⨯中的一方阵序列， ,,,10m A A A 则和式 +++++m A A A A 210)1(称为方阵级数，记为∑∞=0m m A 。

其中为通项，m —求和变量。

∑==+++=Nm mN N A A A A S 010 称为（1）的前N 项部分和序列（矩阵序列）若S S N →}{，则称（1）收敛，且其和为S说明：若记ij m A )(表示的第i 行第j 列位置上的元素，根据定义1显然有，∑∞=0m mA 收敛2n ⇔个数项级数∑∞==0),,2,1,()(m ijm n j i A收敛。

Df 2.若个数项级数∑∞=0)(m ij m A 绝对收敛，则称∑∞=0m m A 绝对收敛。

2.收敛方阵级数的性质：①若方阵级数∑∞=0m m A 绝对收敛，则它一定收敛，且任意交换各项的次序，所得新级数仍收敛且和不变。

②方阵级数∑∞=0m m A 收敛对任一方阵范数⋅，正项级数∑∞=0m mA 收敛。

下面研究矩阵（方阵）幂级数 二、矩阵幂级数Df 1.设nn C A ⨯∈，称∑∞=0m m m A c 为矩阵A 的幂级数，其中}{m c 为一复数序列，称∑==N m mm N A c S 0为幂级数∑∞=0m m m A c 的部分和，若S S N N=∞→lim ，称∑∞=0m mm A c 收敛于S ，并称S 为幂级数∑∞=0m m m A c 的和矩阵。

注：若令m m m A A c =，则矩阵幂级数矩阵级数的形式。

因此，矩阵级数的结论对矩阵幂级数的形式是适用的。

即： Th 1.矩阵幂级数∑∞=0m mm A c 收敛于∑∞===⇔0),2,1,()()(m ijij m m n j i S A c S其中，ij m m A c )(,ij S )(分别表示m m A c 和的第i 行，第j 列元素。

Th 2.矩阵幂级数∑∞=0m m m A c 绝对收敛对任一范数⋅，正向级数级数∑∞=0m m m A c 收敛。

Proof :若∑∞=0m mm A c 收敛，考虑∑∞=01m m m A c 的敛散性，由矩阵范数的等价性，⋅与1⋅等价，即21,k k ∃ 使mm mm mm A c k A c A c k 211≤≤（由比较审敛法）∑∞=01m mmA c收敛。

又∑==≤ni ijm m jm m ij mm A c Ac Ac 11)(max ˆ)(∑∞=0)(m ijmmA c收敛，因此，∑∞=0m m m A c 绝对收敛。

若∑∞=0m m m A c 绝对收敛∑∞=⇔0)(m ijm m A c 收敛))((011∑∑∑∞===⇒m n i n j ij mm A c 收敛，即∑∞=04m mm A c 收敛。

由矩阵范数的等价性对任一矩阵范数⋅，21,k k ∃使4241mm mm mm Ac k Ac Ac k ≤≤，有∑∞=0m mm A c 收敛。

推论1.若∑∞=0m mm A c 绝对收敛（收敛），则∑∞=0)(m m m Q A c P 绝对收敛（收敛）其中P ,Q 为给定的n 阶方阵，且有∑∑∞=∞==0)(m m m m mmQ A c P Q A cPProof ：∑∞=0m mm A c 绝对收敛∑∞=0m m m A c 绝对收敛。

又QA c P Q A c P m m m m ⋅⋅≤⋅⋅)(由比较审敛法，∑∞=0)(m m m Q A c P 绝对收敛。

下面给出判断矩阵幂级数收敛与发散的方法：Th 3.设复变数幂级数∑∞=0m m m Z c 的收敛半径为R ，A 的谱半径为n n C A A ⨯∈),(ρ，则：①当R A <)(ρ时，∑∞=0m m m A c 绝对收敛。

②当R A >)(ρ时，∑∞=0m m m A c 发散。

Proof ：①若R A <)(ρ，R A st <+>∃ερε)(.,0（如取))((21A R ρε-=）∑∞=+0))((m mmA cερ收敛存在矩阵⋅,mm m m A c A c A A ts ))(()(.ερερ+≤⇒≥+②若R A >)(ρ，设x Ax j λ=，其中x 为单位向量，)(A j ρλ=若∑∞=0m m m A c 收敛，则由推论1.知：x x c x c x x A c x x A c x m Hm j m m mjm Hm mm Hm mm H∑∑∑∑∞=∞=∞=∞====0)(λλ)1(02∑∞====m H m jm x x x c λ也收敛，但∑∞=0m m j m c λ在收敛域之外而发散，矛盾，故，∑∞=0m m m A c 发散。

应该注意：R A =)(ρ时，无法确定。

推论 2.若∑∞=0m mm Z c 的收敛半径+∞=R ，则对nn C A ⨯∈∀，∑∞=0m m m A c 绝对收敛，即复变数幂级数∑∞=0m m m Z c 在整个复平面上收敛。

eg 1.∑∞=0!m mm Z 的收敛半径+∞=R ，对n n C A ⨯∈∀,有RA <)(ρ，故Am m e m A →∑∞=0!且绝对收敛。

eg 2.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2.024.02.03.015.01.01.03.02.0A ，试证明∑∞=0m m A 绝对收敛。

Proof ：∑∞=0m m X 的收敛半径1=R 。

则只要证1)(<A ρ即可。

对任意的矩阵范数，都相互等价，不妨取5⋅，有：19.0max )(,15<==<≤≤ij n j i a n A A ρ由Th 3，∑∞=∴0m m A 绝对收敛。

eg 3.若nn C A ⨯∈，1)(<A ρ证明：10)(-∞=-=∑A E A m mProof :12))((+-=++++-N N A E A A A E A E 即10)(+=-=-∑N Nm m A E A A E两边取极限左边＝00lim()()Nmm N m m E A AE A A ∞→∞==-=-∑∑右边＝1lim N N E A E+→∞-=（由上节Th5. 1)(<A ρ ,0lim 1→∴+∞→N N A ）所以有E AA E Nm m=-∑=0)(，即10()m m A E A ∞-==-∑eg 4.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3003.0203.02.01A①试判断∑∞=+01m mA m 的敛散性②试证明：∑∞=-0!)1(m mm Am 绝对收敛。

解：①3)(=A ρ,设∑∞=+01m m Z m 的收敛半径为R 。

121lim=++=∞→m m R m 可见R A >)(ρ，故∑∞=+01m mA m 发散。

②∑∞=-0!)1(m mm Zm 的收敛半径+∞=RR A <∴)(ρ故∑∞=-0!)1(m mm Am 绝对收敛。

说明：象幂级数一样，有时还会遇到如∑∞=-00)(m m m E A c λ的幂级数，对于它的敛散性，可用下列定理判别。

Th 4.若∑∞=-00)(m m m E Z c λ的收敛半径为R ，对n n C A ⨯∈∀，其特征值为n λλλ,,,21 ，若满足),,2,1(0n i R i =<-λλ。

则∑∞=-)(mmmEAcλ绝对收敛；若有某一使Ri>-λλ，则∑∞=-)(mmmEAcλ发散。