提公因式法PPT教学课件

21 2
1,
AB
:
y
x
1.
代入x2 y2 1得： 0. 2
[解析] 法一为韦达定理法，法二称为点
差法，当涉及到弦的中点时，常用这两
种途径处理. 在利用点差法时，必须检验
多项式 ma mb mc
中的每一项都含有一个相同的因式
m ，我们称之为公因式
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就 可以分解成两个因式m和（a+b+c）的乘 积了。像这种因式分解的方法，叫做提公 因式法。
下列各式中各项的公因式是什么？
(1) ma mb mc m
(2) ad bd cd
则
x12
x22
y12 2 y22 2
1 ,两 式 相 减 得:
1
( x1
x2 )(x1
x2
)
1 2
(
y1
y2
)( y1
y2 )
x1 x2 ,
y1 y2 2( x1 x2 )
x1 x2
y1 y2
k AB
21 2
1,
AB
:
y
x
1.
代入x2 y2 1得： 0. 2
k AB
对y 1 x2求 导 得: y' 1 x.
4
2
抛 物 线 上S、R处 的 切 线 方 程 为 ：
y
1 4
x12
1 2
x1( x
x1 )即4
y
2 x1 x
x12
2
y
1 4
x22
1 2
x2 (
x
x2 )即4
y
2 x2
x
x
2 2
3
联立 2
3
,并 解 之 得:
x
y
x1 x2
2 1 4 x1 x2
,
a2b2 )
b2
a4 b2
0,
b4 a4.
即b2 a2 , c2 a2 a2 .
e2 2. 即e 2.
[例3]已 知 点H (0,3),点P在x轴 上,点Q
在y轴 正 半 轴 上,点M在 直 线PQ上, 且 满 足
HP PM 0, PM 3 MQ. 2
(1)当 点P在x轴 上 移 动 时,求 动 点M的 轨 迹 曲 线C的 方 程;
当x a或x a a2 2 时, 2
f ( x)有极小值.
4 当x a a2 2 时, f '( x) 0. 2
当x a或x a a2 2 时, 2
f ( x)有极小值.
(2)由(1)知 : x0 a
a2 2 ,则 2
直 线AP0的 斜 率k1
x02 a 2 x0 a
(1) 求 证: PA OP PA FP;
(2) 若l与双曲线C的左、右两支分别相 交 于 点D、E , 求 双 曲 线C的 离 心 率e的 取 值 范 围.
(2) 若l与双曲线C的左、右两支分别相
交 于 点D、E , 求 双 曲 线C的 离 心 率e的 取 值
范 围.
[解析] (1) l：y a ( x c)
代 入 1 得 ：ax 2 y 2b 0.
故B点 在 直 线ax 2 y 2b 0上.
[法二]设A(a, b),当 过 点A的 直 线 斜 率 不 存
在 时l与 抛 物 线 有 且 仅 有 一 个公 共 点,与 题
意 不 符, 可 设 直 线SR的 方 程 为:
y b k( x a),与y 1 x2联 立 消 去y得 : 4
y kx 2 k
由
x
2
y 2
1
得：
(2 k 2 )x2 2k(2 k)x k 2 4k 6 0
当 0时, 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则e
x1
2
x2
k(2 k) 2 k2
k 1满 足 0
直 线AB：y x 1.
法 二 ： 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),
x2 4kx 4ak 4b 0.
设S( x1 ,
1 4
x12 ), R( x2 ,
1 4
x22 )( x1
x2 ),
则
由
韦
达
定
理：xx11
x2
x2
4k 4(ak
b),
又 过S、R点的切线方程分别为：
4 y 2 x1 x x12 ,4 y 2 x2 x x22 ,
联立
并
解 之 得
A.
b2 4
4 (0
b
4)
B.
b2 4
4 (0
b
2)
2b (b 4)
2b (b 2)
C. b2 4 4
D. 2b
【链接高考】
[例1] 设 抛 物 线y x2过 一 定 点A(a, a2 )
(a 2), P( x, y)是抛物线 上的动点.
2
(1) 将 AP 表示为关 于x的函数f ( x),并 求当x为何值时, f ( x)有极小值;
因式分解
提取公因式法
如何简便计算
1.56911.569
把一个多项式化为几个整式的 乘积形式，就叫做把这个多项式
因式分解
特征:
1、等号左边是一个多项式； 2、等号右边是几个整式积的形式
试 下列从左边到右边的变形中，是
一
因式分解的是: ( (2) (5) ) (1)(x+2)(x-2)=x2-4; (×)
x
a
2a,
y
3 2
b
3b,
y
1
x2.
1 3
1 3
4
2
2
[法一] (2)
设A(a, b),
S(
x1 ,
1 4
x12
),
R(
x2
,
1 4
x22
)
( x1
x2 ),则 直 线SR的 方 程 为:
y
1 4
x12
1 4
x22 x2
1 4
x12
x1
(
x
x1
),即4
y
(
x1
x2
)x
x1
x2 .
A点 在SR上,4b ( x1 x2 )a x1 x2 1
y)在曲线
x2 4
y2 b2
1
(b 0)上变化, 则x2 2 y的最大值为( )
A.
b2 4
4 (0
b
4)
B.
b2 4
4 (0
b
2)
2b (b 4)
2b (b 2)
C. b2 4 4
D. 2b
2. 若动点( x,
y)在曲线
x2 4
y2 b2
1
(b 0)上变化, 则x2 2 y的最大值为( A)
(2) 过 定 点A(a, b)的 直 线 与 曲 线C相 交 于 两 点S、R,求 证 ： 抛 物 线S、R两 点 处 的 切 线 的 交 点B恒 在 一 条 直 线 上.
[解析] (1) 设P(a,0),Q(0, B),则
HP PM (a,3) (a,b) a2 3b 0,
a2 3b, 设M ( x, y), PM 3 HQ. 2
则
f
( x)
2
AP
(x
a)2
(x2
a2 )2
x4 (1 2a2 )x2 2ax a4 a2 .
f '( x) 4x3 2(1 2a2 )x 2a.
令f '( x) 0得 : 2x3 (1 2a2 )x a 0,
即 ( x a)(2x2 2ax 1) 0.
b
y y
b a
a b
x
(
x
c) ,
解
得
:
a2 P(
,
ab ).
OA 、OB
、OF
成等比数列,
cc
A( a2 ,0). PA (0, ab ).
c
c
OP ( a2 , ab ), cc
FP ( b2 , ab ), cc
PA OP
ab c2
,
PA FP
ab c2
.
PA OP PA FP.
1. 圆锥曲线中取值范围问题通常从 两个途径思考，一是建立函数，用求值 域的方法求范围；二是建立不等式，通
过解不等式求范围. 2. 注意利用某些代数式的几何特征 求范围问题（如斜率、两点的距离等）.
【课前导引】
1. 设P(x, y)是曲线C：x2+y2+4x+3=0
上任意一点，则x 的取值范围是 ( ) y
(3)2a(b c) 3(b c)
“提公因式法”要注意： 1 公因式要提尽； 2 小心漏掉“1”；
小结：
1、什么是因式分解？ 2、因式分解与整式的乘法是什么关系？ 3、如何找多项式的公因式？
１、填空： 作业：
1 3x2 27ax 3x 212a2b 8ab2 3a 2b 325m2 15mn 5m 5m 4 4a2 6ab 2a 2a 3b 1
a 2,此 方 程 有 三 个 根x1 a,
x2 a
a2 2
2
,
x3
a
a2 2 , 2
1 当x a时, f '( x) 0;
2 当 a x a a2 2 时, f '( x) 0; 2
3 当a
a2 2
a
x
a2 2 时,
2
2
f '( x) 0;
4 当x a a2 2 时, f '( x) 0. 2
d
试 一
(3) 2x2 3x2 x2
试 ，
(4) xy 5xy xy
(5) 3x2 6xy x x
你 行
(6) 3x3 y 4 9x 2 y 2 3x2y2
公因式如何确定？
1.如果公因式是一个单项式，它的系数是 各项系数的最大公约数，它的字母要取各
项都有的相同的字母，而字母的指数是取 各项中较小的。
与 直 线AP0垂 直.
[例2](长 郡05届 月 考 题)已 知 双 曲 线C：
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b 0), B是 右 顶 点, F是
右 焦 点,点A在x轴 正 半 轴 上, 且 满 足OA、
OB 、OF 成 等 比 数 列,过F作 双 曲 线C在 第 一 、 三 象 限 的 渐 近 线 的垂 线l,垂 足 为P.
试 (2) x2-4= (x+2)(x-2); (√)
想
(3) ma+mb+c=m(a+b)+c;(×) 一
吧 (4)x2-9+x=(x+3)(x-3)+x; (×) 想
(5)2ax+4bx=2x(a+2b) (√)
因式分解与整式的乘法是什么关系？
因式分解与整式的乘法相反
ma mb mc m(a b c)
A. [ 3, 3] B. (, 3) [ 3,)
C. [ 3 , 3 ] D. (, 3 ][ 3 ,)
33
33
[解析] 注意数形结合，表示点(x, y)
与原点连线的斜率. 画图可知是C.
[解析] 注意数形结合，表示点(x, y)
与原点连线的斜率. 画图可知是C.
[答案] C
2. 若动点( x,
[例4]设 双 曲 线x2 y2 1上 两 点A、B, AB
2 中点M (1,2).
(1) 求直线AB的方程; (2) 如果线段AB的垂直平分线与双曲 线 交 于C、D两 点, 那 么A、B、C、D是 否 共 圆, 为 什 么 ？
[解析] (1) 法一：显然AB斜率存在,
设AB：y 2 k( x 1),
x y
x1 x2 k
22
1 4
x1 x2
ak
(k为 常 数) b
消 去k, 得 : ax 2 y 2b 0,
故B点 在 直 线2ax y b 0上.
[例4]设 双 曲 线x2 y2 1上 两 点A、B, AB
2 中点M (1,2).
(1) 求直线AB的方程; (2) 如果线段AB的垂直平分线与双曲 线 交 于C、D两 点, 那 么A、B、C、D是 否 共 圆, 为 什 么 ？
(2) 设(1)中使f ( x)取极小值 的正数x为 x0 ,求 证 ：抛 物 线 在 点P( x0 , y0 )处 的 切 线 与 直 线AP0垂 直.
[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导 数的应用等知识.
[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导 数的应用等知识.
[解析] (1) AP ( x a, y a2 ) ( x a, x2 a2 )
PA OP
ab c2
,
PA FP
ຫໍສະໝຸດ Baidu
ab c2
.
PA OP PA FP.
( 2)
y
a b
(x
c)
b2 x 2 a 2 y2 a 2b2
b2 x2
a4 b2
(x
c)2
a 2b2 .
即(b2
a4 b2
)x2
2
a4 b2
cx
(
a4c b2
2
a2b2 )
0,
x1
x2
(
a4c b2
2
2.用提公因式法分解因式：
1 am an 2 6x2 27xy 34ax 12ax2 8a2 x3 4 24a2 x 8ax2 6x3 5 3ax y 2bx y
6 6x y2 2x y
作业：
❖课本P170 习题15.4 第1题
78《圆锥曲线背景下的 最值与定值问题》
【考点搜索】
2.指出下列各多项式中的公因式：
1 a3b2 a2b3 a2b2
2 3xy 9x2 y 3xy
3 2m2n3 3mn2 4n n
4 6x 2 xx 2 (x－2)
（5）2a(y－x）－(x－y)
(y－x) 或(x－y)
例1 对下列多项式进行因式分解：
(1) 8a3b2 12ab3c
(2) 3a2b5 6a3b6c a2
x0
a
a a2 2 a a2 2 a ,
2
2
又 抛 物 线y x2在 点P0 ( x0 , y0 )处 的
切 线 的 斜 率k2 2 x0 a a2 2,
k1k2
a2 2 a (a
2
a2 a)
a2 2a2
1,
2
抛 物 线 在 点P0 ( x0 , y0 )处 的 切 线