常微分方程习题(10)

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大学专业课考试复习资料--《常微分方程》试题库含答案

大学专业课考试复习资料--《常微分方程》试题库含答案一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________ 答：12．若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 答：)()1)((y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂ 3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如)(xy g dx dy =的方程 4．如果),(y x f ___________________________________________ ,则),(y x f dx dy =存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0 上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ= ,其中=h _______________________ .答：在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),min(mb a h = 5．对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈ (R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使 ______________________ ,则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件.答： 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程22y x dxdy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上 ,则经过点 )0,0(的解的存在区间是 ___________________ 答：4141≤≤-x 7．若),.....2,1)((n i t x i =是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程 ___________________________________答：0)(1'=+w t a w8．若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：x x c x n i i i +=∑=19．若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________ 答：1)!1(++n nh n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程．答：形如)()()(2x r y x q y x p dxdy ++=的方程 y z y += 11．一个不可延展解的存在区间一定是区间．答：开12．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是．答：}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）13．方程y x xy sin d d 2=的所有常数解是．答： ,2,1,0,±±==k k y π14．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 在区间I 上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是．答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程02=+'-''y y y 的基本解组是．答：x x x e ,e17．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程y x x y )(d d ϕ=的任一非零解与x 轴相交．答：不能18．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上与x 轴相切．答：不能19．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点．答：没有20．方程21d d y xy -=的常数解是．答：1±=y21．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．答：必要22．方程22d d y x x y+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是．答： xoy 平面23．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是．答：1,1±=±=x y24．方程04=+''y y 的基本解组是．答：x x 2cos ,2sin25．一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线．答：2二、单项选择题1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +22．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x y=的任一解的存在区间（D ）．（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+（C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定3．方程y x x y+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）．（A ）上半平面（B ）xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解（B ）是非齐次微分方程组的解（C ）是其对应齐次微分方程组的解（D ）是非齐次微分方程组的通解5. 方程21d d y x y-=过点)1,2(π共有（ B ）个解．（A ）一（B ）无数（C ）两（D ）三6. 方程2d d +-=y x xy （ B ）奇解．（A ）有三个（B ）无（C ）有一个（D ）有两个7．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．（A ）n 维（B ）1+n 维（C ）1-n 维（D ）2+n 维8．方程323d d y xy =过点（ A ）．（A ）有无数个解（B ）只有三个解（C ）只有解0=y （D ）只有两个解 9. ),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（ B ）条件．（A ）充分（B ）充分必要（C ）必要（D ）必要非充分10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间（B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性空间11．方程y x y =d d 的奇解是（ D ）．（A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y12．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ C ）．（A ）)()(21x x ϕϕ- （B ）)()(21x x ϕϕ+（C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （D ）)()(21x x C ϕϕ+13．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy =初值解唯一的（ D ）条件．（A ）必要（B ）必要非充分（C ）充分必要（D ）充分14. 方程1d d +=y x y （ C ）奇解．（A ）有一个（B ）有两个（C ）无（D ）有无数个15．方程323d d y xy =过点(0, 0)有（ A ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3yx y dx dy += 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以 cy y x +=23另外 0=y 也是方程的解2．求方程2y x dxdy +=经过)0,0(的第三次近似解解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ []52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ []81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x+++=+=⎰ϕϕ 3．讨论方程2y dx dy = ，1)1(=y 的解的存在区间解：dx y dy =2两边积分 c x y+=-1 所以方程的通解为 cx y +-=1 故过1)1(=y 的解为 21--=x y 通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到２，所以解的存在区间为 )2,(-∞4．求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解解: 利用p 判别曲线得⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得 12=y 即 1±=y 所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以 1±=y 是方程的奇解5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: y M ∂∂=2--y , xN ∂∂=2--y , y M ∂∂=x N ∂∂ , 所以方程是恰当方程.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos yx y y v y x x u 得 )(sin y y x x u ϕ++= )('2y xy yu ϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ 故原方程的解为 c y yx x =++ln sin 6． x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 x y sin = ,令x z y sin += , 则方程可化为2z dx dz -= , c x z +=1 即 c x x y +=-1sin , 故 cx x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy解: 两边同除以2y 得037322=-+-xdy dy y ydx xdx 0732=--yd xy d dx 所以 c y xy x =--732 , 另外 0=y 也是方程的解 8．21d d x xy x y += 解当0≠y 时，分离变量得x x x y y d 1d 2+= 等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++=即通解为21x C y +=9. x y xy 2e 3d d =+ 解齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 51 10. 5d d xy y xy += 解方程两端同乘以5-y ，得x y xy y +=--45d d 令 z y =-4，则xz x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z x z =--d d 41 通解为41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x 11．0)d (d 222=-+y y x x xy解因为xN x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰020d d 2 即 C y y x =-3231 12． y y xy ln d d = 解：当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得C x yy y +=⎰⎰d ln d 通积分为 x C y e ln = 13．03)(22=+'+''x y y y解原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-= 14．xy x y x y +-=2)(1d d 解：令xu y =，则xu x u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x u x -= 分离变量，取不定积分，得C xx u uln d 1d 2+=-⎰⎰ （0≠C ）通积分为： Cx xy ln arcsin= 15． xy x y x y tan d d += 解令u xy =，则x u x u x y d d d d +=，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u xu x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得C x x u u ln d tan d +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln +=即通积分为： Cx x y =sin16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为Cx y =+x x ln17. 0d d )e (2=+-y x x y x y解积分因子为21)(x x =μ原方程的通积分为1012d d )(e C y x x y y x x=+-⎰⎰即 1e ,e C C C x yx +==+18．0)(2='+''y y y解：原方程为恰当导数方程，可改写为0)(=''y y即1C y y ='分离变量得x C y y d d 1=积分得通积分21221C x C y +=19．1)ln (='-'y x y解令p y ='，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=py p p x ln 1由基本关系式 y x y'=d d ，有p p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='= p p)d 11(-= 积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 120．022=+'+''x y y y解原方程可化为0)(2='+'x y y于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-= 21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 解：由于xN xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x yx=++⎰⎰ 即 C y y x x =++42242四、计算题1．求方程x y y e 21=-''的通解．解对应的齐次方程的特征方程为：012=-λ特征根为： 1,121-==λλ故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为x Ax x y e )(1=代入原方程，有 x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+，可解出 41=A ．故原方程的通解为 x x x x C C y e 41e e 21++=- 2．求下列方程组的通解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x ty y x t x 43d d 2d d ．解方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A即 0232=+-λλ特征根为 11=λ，22=λ11=λ对应的解为t b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得1,111-==b a ．同样可算出22=λ对应的特征向量分量为 3,212-==b a ．所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．解：方程的特征根为01=λ，52=λ齐次方程的通解为 x C C y 521e +=因为i i 5±=±βα不是特征根。

常微分方程练习题

常微分方程练习题§1 一阶常微分方程1．求下列微分方程的通解：（1）)(22y y y x y '+='-；（2）0)4(2=-+dy x x ydx ；（3）0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x ；（4）xy x y y x tan =-'；（5）2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++='y x y y ；（6）0)2(=-+dy y xe dx e y y ；（7）0)cos sin 3()1cos (222=-+-dy y y x y dx y x ；（8）0)(4223=+++dy y x y ydy xdx ；（9）0)()(2=++-dy x y dx xy x ；（10）22x xe xy y -=+'；（11）x x e x y y x 122-=-'；（12）02)6(2=+'-y y x y ；（13）xy y y y y -+='ln 2；（14）0)(24=-+dy x y xydx ；（15）x y x x y y =-+'1412；（16）0]1)[ln(=--'xy y y x ；（17）0cos 232=+-'x x y y xy ；（18）21222sin 22sin 1x e y x y y x ++='+；（19）02)1(322=+'-xy y y x ；（20）y y x y x ++='22)(。

2．求下列微分方程的特解：（1）ydy x xdx y ln ln =，11==x y ；（2）x y x y y tan +='，61π==x y ；（3）022=---'x y y y x ，11==x y ；（4）0)()2(2=+++y x ydy dx y x ，10==x y ；（5）0)1(2=---dx x ydx xdy ，01==x y ；（6）x x y x y 2cos sin cos =+'，10==x y ；（7）0tan )sin (=+-ydx dy y x ，61π==x y ；（8）0)cos 1(cos sin ln =-+'y x y y x y x ，π==1x y 。

常微分复习题

1. 如果微分方程 0),,,,()(='n y y y x F Λ左端为未知函数及其各阶导数的（一）次有理整式，则它称为线性微分方程。

2. 形如（)()(y x f dxdyϕ= ）的方程，称为变量可分离方程，其中)(x f 和)(y ϕ分别是y x , 的连续函数。

3. 方程()dy P x y dx=的通解为（ ()P x dxy ce ⎰= ）这里c 是任意的常数。

4. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的充要条件是（M Ny x∂∂=∂∂ ），其中(,),(,)M x y N x y 在区域G 内连续可微。

5. 函数),(y x f 称为在闭矩形区域 b y y a x x D ≤-≤-00,:上关于y 满足利普希兹条件，如果存在常数0>L 使得不等式（ 2121),(),(y y L y x f y x f -≤- ）对所有D y x y x ∈),(),,(21都成立。

其中L 称为利普希兹常数。

6. 初值问题（3.1），若),(y x f 在区域G 内连续且关于y 满足局部Lipschtiz 条件,则任一非饱和解均可延拓为（饱和解）。

7. 设初值问题（3.1）满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ϕ=,则在此关系式中, (,)x y 与00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式（ 00(,,)y x x y ϕ= ）。

8. 如果),(y x f 以及（yy x f ∂∂),( ）在G 内连续，则(3.1)的解),,(00y x x y ϕ=作为 00,,x x y 的函数，在它定义范围内连续可微。

9. 0)()()(1111=++++---x t a dt dx t a dtx d t a dt x d n n n n n n Λ称为（ n 阶线性齐次微分方程）。

常微分方程计算题及答案

计算题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。

2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。

7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。

常微分方程典型例题

1
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dx x 1 2ln y dy y 这是以 x 为未知函数的一阶线性方程.
对应齐次方程dx x 的通解为x C ，
dy y
y
令 x C( y)，代入原方程，得 y
C( y) y 2 y ln y ,积分得C( y) C y2 ln y.
于是通积分为x C y ln y. y
x
x
6. (xye y y2 )dx x2e y dy 0
15
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三.将方程从微商形式改为微分形式,或从微分形式改为微商形式,有时可以把方程变为可解类型.
例 11
解方程dy dx
x y2 x y2 4
解把方程改写为微分形式
(x y 2)dx (x y2 4)dy 0
4
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例 3 求方程dy x y 1的通解. dx
解令 z x y 1,则 dz 1 dy , dx dx
原方程化为 dz 1 z ,通解为z 1 Cex, dx
原方程通解为 y 2 x Cex.
5
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例4 求解方程 dy 2x 3y 4 dx 4x 6 y 5
通解为z C
ln x
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12
设 z C(x)代入线性方程(1),得C(x) 1 ln x
两边积分得C(x) x C 所以，上述线性方程(1)的通解为z 1 (C x)
ln x
代回原变量，得原方程的通解cos y ln x ， Cx
此外u 0，即 y n （为整数）也是原方程的解
ln
x 2
x2
xy y
2
或 dy 2 dx
1 x
y2

常微分方程标准答案-一二章

习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解； (3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。

解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12ydx =⎰即得5c =，故满足条件12ydx =⎰的解是253y x =+；(5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。

6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。

解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。

8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。

常微分方程部分习题答案

1．第1题微分方程是( ).A.n阶常系数非齐次线性常微分方程;B.n阶常系数齐次线性常微分方程;C.n阶变系数非齐次线性常微分方程;D.n阶变系数齐次线性常微分方程.您的答案：C题目分数：2此题得分：2.02．第2题设有四个常微分方程：(i) , (ii) ,(iii) , (iv).A.线性方程有一个;B.线性方程有两个;C.线性方程有三个;D.线性方程有四个.您的答案：C题目分数：2此题得分：2.03．第3题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A..B..C..D..您的答案：A题目分数：2此题得分：2.04．第5题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A.AB.BC.CD.D您的答案：A题目分数：2此题得分：2.05．第7题满足初始条件和方程组的解为( ).A. ;B.; C.; D. .A..B..C..D..您的答案：B题目分数：2此题得分：2.06．第8题可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ).A.;B.; C.;D..A..B..C..D..您的答案：B题目分数：2此题得分：2.07．第10题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为A. ；B.； C. ； D..A..B..C..D..您的答案：C题目分数：2此题得分：2.08．第12题下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个.(i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A.1B.2C.3D.4您的答案：C题目分数：2此题得分：2.09．第13题设有四个常微分方程：(i) , (ii),(iii) , (iv) .A.非线性方程有一个;B.非线性方程有两个;C.非线性方程有三个;D.非线性方程有四个.您的答案：B题目分数：2此题得分：2.010．第14题微分方程的一个解是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A..B..C..D..您的答案：D题目分数：2此题得分：2.011．第20题已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).A. ;B.; C.; D. .A.AB.BC.CD.D您的答案：A题目分数：2此题得分：2.012．第21题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B.C. D.A..B..C..D..您的答案：B题目分数：2此题得分：2.013．第22题初值问题, 的第二次近似解可以写为( ). ＋A. 6;B.; C.; D. +.A..B..C..D..您的答案：D题目分数：2此题得分：2.014．第24题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的朗斯基行列式一定是正的;B. 的朗斯基行列式一定是负的;C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;D. 的朗斯基行列式恒不为零.A.AB.BC.CD.D您的答案：B题目分数：2此题得分：2.015．第25题设和是方程组的两个基解矩阵, 则A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;B. 存在某个常数方阵C使得, 其中;C. 存在某个常数方阵C使得, 其中;D. 存在某个常数方阵C使得, 其中.A..B..C..D..您的答案：A题目分数：2此题得分：2.016．第15题求解方程时, 以下的解题步骤中不能省略的有哪几步:A. 因为,B. 所以原方程是恰当方程;C. 将方程中的重新分项组合,D. 凑出全微分：,E. 得到通解：.A.AB.BC.CD.DE.E您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.017．第16题设为方程（A 为常数矩阵）的一个基解矩阵，试指出如下的断言中哪些是错误的:A. 可以是也可以不是原方程组的解矩阵,B. 因为不知道是否有, 故无法判断是否是原方程组的基解矩阵,C. 存在奇异的常数矩阵C, 使得,D. 取, 可得到.E. .A..B..C..D..E..您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.018．第17题以下是一阶微分方程的求解过程, 请说明下划线所指出那些步骤中, 哪些是可以省略的:解答：记, 则(A), 注意到(B)，因此方程不是恰当方程(C). 可以计算, 因而方程有只与x 有关的积分因子，并且该积分因子可以求出为：.将该积分因子乘在原方程的两端：(D),分项组合为,或可整理为(E), 最后得到原方程的通解.A.AB.BC.CD.DE.E您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.019．第18题如下求解三阶常系数线性方程的过程中, 下划线所指出的部分哪些计算有错误或叙述有错误:解答：(i) 先求对应齐方程的通解：对应齐方程的特征方程及特征根分别为(A), , , .故对应齐方程的通解为(B).(ii) 因为有特征根非零(C), 故应设原方程的特解有形如, 这里a,b是待定常数.代入原方程可得.利用对应系数相等便得到代数方程组:.由此可解得(D), 故.(iii) 原方程的通解可以表示为(E).A..B..C..D..E..您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.020．第19题利用降阶法求解二阶方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是关键性的:解答：这是不显含自变量的二阶方程, 因此可以用第二种降阶法。

常微分方程王高雄著课后习题答案

常微分方程(第三版)王高雄著课后习题答案.d o c(总86页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + yy 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： yy -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u+du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dx dy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y + 证明：令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x 1dx 所以原方程可化为变量分离方程。

常微分方程习题与答案

第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。

（）2 •微分方程的通解中包含了它所有的解。

（）3. 函数y =3si nx-4cosx是微分方程y，y=0的解。

（）4. 函数y = x2・e x是微分方程y'；"-2y ' y = 0的解。

（）5. 微分方程xy"T nx=0的通解是y =丄（1 nx）2+C （C为任意常数）。

（）26. y"=siny是一阶线性微分方程。

（）7. / = x3y3 xy不是一阶线性微分方程。

（）8 . /-2/ 5^0的特征方程为『-2—5=0。

（）9. dy = 1 x y2 xy2是可分离变量的微分方程。

（）dx、填空题1 .在横线上填上方程的名称①y _ 3 ln xdx _ xdy 二0 是__________________________ 。

②xy2 x dx y _ x2 y dy = 0 是__________________________ 。

③x-d^ = y l n 丫是。

dx x④xy ：= y x2 sin x 是__________________ 。

⑤y y -2y =0是________________________ 。

2 . y si nxy"-x=cosx的通解中应含____________ 个独立常数。

3. _____________________________________ y “ = e Qx的通解是。

4. ______________________________________ y = sin 2x - cos x 的通解是。

5. _______________________________ x^ 2x2y 2，x3y=x4，1是阶微分方程。

6•微分方程y y - y Q =0是________________ 阶微分方程。

i7. y-丄所满足的微分方程是。

常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.13.方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程= .2.(6分)解方程x″(t)+ =0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1.12. 2+c1t+c23.u=4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7. (x)=8.对任意t9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]13.焦点二、计算题（共45分）1.解：将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即y=ln 或e y=2.解：令则得=0当0时-arc cosy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y= 即x3.解：这里M=y-1-xy, N=x令u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有则因此u=xye-x+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解：方程改写为这是伯努利方程，令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-tf(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解=（At+B）,代入方程得-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为：S(t)=6.解：系数矩阵A=则，而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*这里R(X)= , 显然（当时）方程组*中，线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之，若仅有依赖于x的积分因子。

常微分方程试题库试卷库

常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（）。

有只含y 的积分因子的充要条件是______________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。

３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。

４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy y dx dx-+=５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ϕ分别为x.y 的连续函数。

2、形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函数.n ，可化为线性方程。

常微分方程练习题

习题一一、单项选择题.1. 微分方程352cos y y y y ''''-=-的阶数是（）.A. 1B. 2C. 3D. 52. 克莱罗方程的一般形式是（）.A. ()y xy y ϕ''=+B. ()x xy y ϕ''=+C. ()y xy x ϕ'=+D. ()x xy y ϕ'=+3. 下列方程中为全微分方程的是（）. A. 0xdy ydx x y -=+ B. 220xdy ydx x y -=+ C. 0xdy ydx -= D. 220x dy y dx +=4. 用待定系数法求方程22x y y y x e '''-+=的特解*y 时，下列特解的设法正确的是（）.A. *2()x y ax bx c e =++B. *2()x y x ax bx c e =++C. *2()x y x ax b e =+D. *22()x y x ax bx c e =++ 5．Lipschitz 条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件二、填空题1．方程tan y x y '=的所有常数解是 .2．函数3252x x y C =++满足的一阶方程是 . 3．设22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=++为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为 .4．方程y '=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 . 5．系统dx x dt dy y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的零解的是稳定的.三、求下列一阶微分方程的通解. 1.22410dy y x y dx x+++= 2. 2(cos sin )dy y y x x dx +=- 3. (2)0.x y dx xdy +-=四、求下列高阶方程的通解.1. 1cos y y x''+= 2. 试用观察法求方程 211(1ln )0x y y y x x'''-+-=的通解．五、求解微分方程组5533x y z y x y z x z '=-⎧⎪'=-+⎨⎪'=-⎩的通解. 六、判定系统33333dx x y dt dy x y dt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩的零解稳定性. 七、证明题1．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy =+的任意解)(x y y =均有0)(lim =+∞→x y x . 2. 假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组mt Ce AX dtdX +=，有一解形如：mt Pe t =)(ϕ.其中P C ,是常数向量. 习题二一、单项选择题1. 微分方程22x y dxdy +=的阶数是（）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 克莱罗方程的一般形式是（）.A. ()y xy y ϕ''=+B. ()x xy y ϕ''=+C. ()y xy x ϕ'=+D. ()x xy y ϕ'=+3. Lipschitz 条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. n 阶齐次线性常微分方程的任意1+n 个解必定（）.A. 可组成方程的一个基本解组B. 线性相关C. 朗斯基行列式不为0D. 线性无关5．用待定系数法求方程2x y y y xe '''-+=的特解*y 时，下列特解的设法正确的是（）.A. *2()x y ax bx c e =++B. *2()x y x ax bx c e =++C. *2()x y x ax b e =+D. *22()x y x ax bx c e =++ 二、填空题.1．当≠n 时，微分方程ny x Q y x P y )()(+='为伯努利方程．2．在方程0)()(=+'+''x t q x t p x 中，当系数满足条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.3．若y=y 1(x )，y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．4．方程y '=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .5．设I x ∈0，)(,),(1x Y x Y n 是区间I 上线性齐次微分方程的n 个解，则)(,),(1x Y x Y n 在区间I 上线性相关的条件是向量组)(,),(001x Y x Y n 线性相关.三、求下列一阶微分方程的通解. 1. x y x y x y y x ++=-'ln)( 2. 2(cos sin )dy y y x x dx+=- 3. 0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x四、求下列高阶方程的通解.1. 02=+'-'y y x y2. 1cos y y x''+= 五、求解微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=x y dtdy x y dt dx 5445的通解. 六、判定系统33333dx x y dt dy x y dt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩的零解稳定性.七、证明题.1．设(,)f x y 及yf ∂∂连续,试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x 的积分因子.2. 设在方程 0)()(22=++y x q dx dy x p dxy d 中，)(x p 在区间I 上连续且恒不为零，试证它的任意两个线性无关解的朗斯基行列式是在区间I 上严格单调函数．习题三一、单项选择题.1. 微分方程y x x y sin +='''的阶数是（）.A. 1B. 2C. 3D. 52. 下列方程中为全微分方程的是（）.A. 0xdy ydx x y -=+B. 220xdy ydx x y-=+ C. 0xdy ydx -= D. 220x dy y dx +=3. 微分方程n y x Q y x P y )()(+='，当1=n 时为（）.A. 一阶线性齐次微分方程B. 一阶线性非齐次微分方程C. 伯努利方程D. 里卡蒂方程4. Lipschitz 条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．用待定系数法求方程22(2)x y y y x x e '''-+=+的特解*y 时，下列特解的设法正确的是（）.A. *2()x y ax bx c e =++B. *2()x y x ax bx c e =++C. *2()x y x ax b e =+D. *22()x y x ax bx c e =++ 二、填空题.1．函数12cos sin x c t c t =+(其中21,c c 为任意常数)满足的一阶方程是 .2．方程0d cot d tan =-y x x y 所有常数解是．3．设22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=++为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为 .4．方程y '=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .5．与初值问题2)1(,7)1(,72-='==+'+''-x x e tx x x t 等价的一阶方程组的初值问题为 .三、求下列一阶微分方程的通解.1. 02)1(22=+'-xy y x2. 2(cos sin )dy y y x x dx+=- 3. 532)4(++='+y x y y x四、求下列高阶方程的通解.1. 0222=+'-''x x t x t2. 02=-''+'''x x x 五、求解微分方程组5533x y z y x y z x z '=-⎧⎪'=-+⎨⎪'=-⎩的通解.六、判定系统33333dx x y dt dy x y dt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩的零解稳定性. 七、证明题.1．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy =+的任意解)(x y y =均有0)(lim =+∞→x y x . 2. 证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数．习题四一、单项选择题1. 微分方程2y xy x '''''=+的通解中含有任意常数的个数为（）.A. 1B. 2C. 3D. 42. 当1=n 时，微分方程()()n y p x y q x y '+=最确切的名称为（）.A. 一阶线性齐次微分方程B. 伯努利方程C. 一阶线性非齐次微分方程D. 里卡蒂方程3. Lipschitz 条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 在整个数轴上线性无关的一组函数为（）.A. ,1,1x x x +- B. 230,,,x x x C. 22,x x e e +- D. 22,x x e e -- 5．用待定系数法求方程22x y y y x e '''-+=的特解*y 时，下列特解的设法正确的是（）.A. *2()x y ax bx c e =++B. *2()xy x ax bx c e =++C. *2()x y x ax b e =+D. *22()x y x ax bx c e =++ 二、填空题.1. 方程0d cot d tan =-y x x y 所有常数解是．2．若12(),()y y x y y x ==是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．3．方程y '=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .4．已知cos t 和sin t 是二阶齐次线性方程()()0x a t x b t x '''++=的两个解，则()a t = ．5．如果常系数线性方程组x Ax '=的特征值的实部都是负数，则该方程组的任一解当t →+∞时收敛于．三、求下列一阶微分方程的通解 1. tan dy y y dx x x=+ 2. yx x y dx dy 222+= 3. 0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x四、求下列高阶方程的通解1. 2350t x tx x '''++=2. ''tan x x t += 五、求解常微分方程组4545dx x y dt dy y x dt⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩.六、判定系统 33x y ax y x ay '⎧=-+⎨'=+⎩（这里的a ∈）的零解稳定性. 七、设)(x y 在),0[+∞上连续可微，且有0)]()([lim =+'+∞→x y x y x ，试证：0)(lim =+∞→x y x .。

常微分方程课后练习题含答案

常微分方程课后练习题含答案练习1：考虑动力学方程组：$$ \\begin{align} \\frac{dx}{dt}&=x(1-y)\\\\ \\frac{dy}{dt}&=y(1-x)\\end{align} $$a)画出相图b)确定方程组的固定点及其稳定性c)求出轨道在极限$\\lim\\limits_{t\\to\\infty}$时的行为答案1：a)相图如下所示：image-1b)如果(x,y)是方程组的一个固定点，则：$$ \\begin{aligned} \\frac{dx}{dt}&=0 \\\\ \\frac{dy}{dt}&=0\\end{aligned} $$由$\\frac{dx}{dt}=x(1-y)$得，固定点必须是x=0或y=1•当x=0时，$\\frac{dy}{dt}=y$，因此固定点为(0,0)，是不稳定的。

•当y=1时，$\\frac{dx}{dt}=0$，因此固定点为(1,1)，是稳定的。

综上，方程组的固定点为(0,0)和(1,1)，其中(1,1)是稳定的。

c)当$t\\to\\infty$时，我们需要检查轨道的极限行为。

假设(x(t),y(t))是由方程组确定的轨迹，x0=x(0)和y0=y(0)是轨迹的起点。

轨迹的限制曲线由y(1−x)=x(1−y)确定，展开可得y=x或xy=0.5。

将方程组改写为$$ \\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)} $$则在y=x处，$$ \\frac{dy}{dx}=1 $$这意味着沿着这个轨道移动的速度是恒定的，因此轨迹沿着一条直线移动。

由$\\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)}$可知，在非负轴上，当y>1−x时$\\frac{dy}{dx}>0$，当y<1−x时$\\frac{dy}{dx}<0$。

常微分方程练习题及答案

一、填空题。

1. 方程23210d xx dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 .3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为．9.可用变换将伯努利方程化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解.11.方程的待定特解可取的形式:12. 三阶常系数齐线性方程20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+.3. 求解方程222()0d x dxx dt dt+= 。

4．用比较系数法解方程. .5．求方程 sin y y x'=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dtdX=满足初始条件η=)0(x 的解.8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求的通解10.若试求方程组的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设都是区间上的连续函数, 且是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii) 和没有共同的零点;(iii) 和没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -=.答案一.填空题。

常微分方程习题集

常微分方程测试题1一、填空题30%1、形如的方程,称为变量分离方程,这里.分别为的连续函数;2、形如-的方程,称为伯努利方程,这里的连续函数.n3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件;4、形如-的方程,称为欧拉方程,这里5、设的某一解,则它的任一解-;二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解;3、求方程的隐式解;4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=,在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵;2.设为方程x=AxA为n n常数矩阵的标准基解矩阵即0=E,证明:t =t- t其中t为某一值.<%建设目标%>常微分方程测试题2一、填空题：30%1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项,则曲线所满足的微分方程是.2、方程的通解中含有任意常数的个数为.3、方程有积分因子的充要条件为 .4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件．5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组,则它们有或无共同零点．7、设是方程的通解,则.8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解,则与线性无关的另一解.9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根,则该方程相应于的K个线性无关解是.10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是.二、求下列微分方程的通解：40%1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计.10分四、求解微分方程组满足初始条件的解.10%五、证明题：10%设,是方程的解,且满足==0,,这里在上连续,．试证明：存在常数C使得=C常微分方程测试题31．辨别题指出下列方程的阶数,是否是线性方程：12%1234562、填空题8%1．方程的所有常数解是___________.2．若y=y1x,y=y2x是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为________________.3.若方程Mx, y d x + Nx, y d y= 0是全微分方程,同它的通积分是________________.4.设Mx0, y0是可微曲线y=yx上的任意一点,过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题14%1．方程是.A可分离变量方程B线性方程C全微分方程D贝努利方程2．方程,过点0,0有.A一个解B两个解C无数个解D三个解3．方程xy2－1d x+yx2－1d y=0的所有常数解是.A y=±1,x=±1,B y=±1C x=±1D y=1,x=14．若函数yx满足方程,且在x=1时,y=1,则在x =e时y= .A B C2 De5．阶线性齐次方程的所有解构成一个线性空间．A维B维C维D维6.方程奇解．A有三个B无C有一个D有两个7．方程过点．A有无数个解B只有三个解C只有解D只有两个解4.计算题40%求下列方程的通解或通积分：1.2.3.4.5.5.计算题10%求方程的通解．6．证明题16%设在整个平面上连续可微,且．求证：方程的非常数解,当时,有,那么必为或<%建设目标%>常微分方程测试题41．辨别题指出下列方程的阶数,是否是线性方程：12%1234562、填空题8%1．方程的所有常数解是___________.2．若y=y1x,y=y2x是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为________________.3.若方程Mx, y d x + Nx, y d y= 0是全微分方程,同它的通积分是________________.4.设Mx0, y0是可微曲线y=yx上的任意一点,过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题14%1．方程是.A可分离变量方程B线性方程C全微分方程D贝努利方程2．方程,过点0,0有.A一个解B两个解C无数个解D三个解3．方程xy2－1d x+yx2－1d y=0的所有常数解是.A y=±1,x=±1,B y=±1C x=±1D y=1,x=14．若函数yx满足方程,且在x=1时,y=1,则在x =e时y= .A B C2 De5．阶线性齐次方程的所有解构成一个线性空间．A维B维C维D维6.方程奇解．A有三个B无C有一个D有两个7．方程过点．A有无数个解B只有三个解C只有解D只有两个解4.计算题40%求下列方程的通解或通积分：1.2.3.4.5.5.计算题10%求方程的通解．6．证明题16%设在整个平面上连续可微,且．求证：方程的非常数解,当时,有,那么必为或常微分方程测试题5一、填空题30%1．若y=y1x,y=y2x是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4.线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个,其中,．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是． 6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题40%求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题30%1．试证明：对任意及满足条件的,方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续,且,求证：方程的任意解均有．3．设方程中,在上连续可微,且,．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．常微分方程测试题6一、填空题20%1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题25%1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是个．A B-1C+1D+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件．A充分B必要 C充分必要D必要非充分3.方程过点共有个解．A一B无数C两D三4．方程奇解．A有一个B有两个C无D有无数个5．方程的奇解是．A B C D三、计算题25%=+y=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分30%1.2.3.常微分方程测试题7一.解下列方程80%1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.{y-x+}dx-xdy=04.2xylnydx+{+}dy=05.=6-x6.=27.已知fx=1,x0,试求函数fx的一般表达式;8．一质量为m质点作直线运动,从速度为零的时刻起,有一个和时间成正比比例系数为的力作用在它上面,此外质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比比例系数为;试求此质点的速度与时间的关系;二．证明题20%1.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等方法求得它的通解;2．试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中,如果M、N试同齐次函数,且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子常微分方程测试题8计算题.求下列方程的通解或通积分70%1.2.3.4.5．6．7．证明题 30%8.在方程中,已知,在上连续,且．求证：对任意和,满足初值条件的解的存在区间必为9.设在区间上连续．试证明方程的所有解的存在区间必为10.假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件,且,是定义在区间I上的两个解．求证：若<,,则在区间I上必有<成立常微分方程测试题9一、填空题30%1、方程有只含的积分因子的充要条件是;有只含的积分因子的充要条件是______________;２、_____________称为黎卡提方程,它有积分因子______________;３、__________________称为伯努利方程,它有积分因子_________;４、若为阶齐线性方程的个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________;５、形如___________________的方程称为欧拉方程;６、若和都是的基解矩阵,则和具有的关系是_____________________________;７、当方程的特征根为两个共轭虚根是,则当其实部为_________时,零解是稳定的,对应的奇点称为___________;二、计算题６０％1、２、３、若试求方程组的解并求expAt ４、５、求方程经过0,0的第三次近似解6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题１０％１、阶齐线性方程一定存在个线性无关解;常微分方程测试题10一、选择题30%1微分方程的阶数是____________2若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程有只与有关的积分因子的充要条件是_________________________3 _________________________________________称为齐次方程.4如果___________________________________________ ,则存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件,其中_______________________ .5对于任意的,为某一矩形区域,若存在常数使______________________ ,则称在上关于满足利普希兹条件.6方程定义在矩形区域:上,则经过点的解的存在区间是___________________7若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程___________________________________8若为齐次线性方程的一个基本解组,为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_________________________9若为毕卡逼近序列的极限,则有__________________ 10_________________________________________称为黎卡提方程,若它有一个特解,则经过变换___________________,可化为伯努利方程．二求下列方程的解 35%１２求方程经过的第三次近似解３讨论方程,的解的存在区间4求方程的奇解567三证明题 35%1试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解2试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程,当,在上连续时,其解存在唯一<%建设目标%>常微分方程测试题 11一．填空题30%;1、当_______________时,方程Mx,ydx+Nx,ydy=0称为恰当方程,或称全微分方程;2、________________称为齐次方程;3、求=fx,y满足的解等价于求积分方程____________________的连续解;4、若函数fx,y在区域G内连续,且关于y满足利普希兹条件,则方程的解y=作为的函数在它的存在范围内是__________;5、若为n阶齐线性方程的n个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________________________;6、方程组的_________________称之为的一个基本解组;7、若是常系数线性方程组的基解矩阵,则expAt =____________8、满足___________________的点,称为方程组的奇点9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部________时,零解是稳定的,对应的奇点称为___________;二、计算题60%1、求解方程：=2、解方程：2x+2y-1dx+x+y-2dy=03、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点0,0的一切解4、求解常系数线性方程：5、试求方程组的一个基解矩阵,并计算6、试讨论方程组1的奇点类型,其中a,b,c为常数,且ac0;三、证明题10%;试证：如果满足初始条件的解,那么常微分方程测试题13一、判断题10%1．方程是恰当方程;2．是三阶微分方程;3．是方程的通解;4．函数组线性相关的充要条件是它们的伏朗斯基行列式等于零;5．方程是二阶线性方程;二、选择题101．方程定义在矩形域上,则经过点的解的存在区间是;A．B．C．D．2．与初值问题等价的一阶方程组是________. A．B．C．D．3．方程是一个函数矩阵的解空间构成________维线性空间.A．n-1 B．n C．n+1 D．4．微分方程的一个解是A．B．C．D．5．方程有积分因子A．B．C．D．三、填空题20%1．方程通过点的第二次近似解是________________;2．当_______________时,方程Mx,ydx+Nx,ydy=0称为恰当方程,或称全微分方程;3．如果在且,则方程存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件,其中,;4．若1,2,……,是齐线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程5．方程有仅与有关的积分因子的充要条件是___________;6．利用变量替换__________可把方程化为变量分离方程___________________;7.若都是=AtX的基解矩阵,则具有关系：;8．方程的一个特解是________________________9．形如的方程称为欧拉方程;10．若是常系数线性方程组的基解矩阵,则expAt =____________;四、计算题60%1．求方程的通解;8分2．求解下列初值问题：;8分常微分方程测试题14一、判断题10%1．方程是二阶非线性方程;2．方程的通解是;3．利普希茨条件是保证初值问题解的唯一性的充分条件而不是必要条件; 4．向量函数组的线性相关概念与它的相应的分量线性相关概念并不等价; 5．若是阶齐次线性方程的个解,其伏朗斯基行列式,则在I上线性相关;二、选择题10%1．曲线满足方程A． B． C． D．2．积分方程的一个解是A． B． C． D．3．若微分方程有积分因子,则满足A． B．C． D．4．微分方程可化为A．B．C．D．5．设有微分方程,则有123A．方程1是线性方程式 B．方程2是线性方程C．方程3是线性方程 D．它们都不是线性方程三、填空题20%1.含有自变量、未知函数及它的导数或微分的方程,称为________________方程2．利用变量替换__________可把方程化为变量分离方程___________________;3．方程的一个特解是________________________;4．方程是自变量的对应的特征方程是_________________________; 5．一曲线,其上每点处的切线斜率为该点横坐标的二倍,且通过点,则该曲线方程是________________;6．微分方程初值问题与积分方程_________________________等价; 7．如果在矩形域R上满足：①_______________,②____________________,则方程存在惟一解;8．方程有仅与有关的积分因子的充要条件是___________; 9．方程的常数解是____________________;10．微分方程是自变量的通解是_______________________;方程通过点的第二次近似解是________________四、计算题60%1．求方程的通解;8分2．求方程8分3．求方程9分4．求方程的通解;8分5．求方程的通解;9分6．求非齐次方程的通解;7．已知微分方程组的基解矩阵是, 求微分方程组的通解;9分。

常微分方程

《常微分方程》练习题二OO五年一月一、是非题1. 微分方程0sin 22=+y l g dxy d 是齐次线性方程（）. 2. 微分方程的通解包含方程的所有解（）.3. 微分方程的积分因子是唯一的（）.4. 利普希茨（Lipschitz ）条件是保证初值问题解的唯一性的充分条件而不是必要条件（）.5. 微分方程的初值问题的饱和解最大存在区间是一个开区间（）.6. 若)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是n 阶齐次线性方程的n 个解，其朗斯基（Wronski ）行列式x x W ,0)(=∈I ,则)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 在I 上线性相关（）.7. 方程组)()(t F x t A dtdx +=的所有解构成n +1维线性空间（）. 8. 定义在区间I 上的向量函数组的线性相关性和它在每一点t 0∈I 处的常数向量组的线性相关性，并不等价（）.9. 若)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是n 阶齐次线性方程的n 个解，其朗斯基（Wronski ）行列式W(x 0)=0，x 0∈I ,则)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 在I 上线性相关（）.10. 齐次线性方程组x t A dtdx )(=的线性无关解的个数不能多于n 个（）. 11. 向量函数组的线性相关概念与它的相应的分量线性相关概念，并不等价（）.12. 若)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是n 个函数，x ∈I ，它的朗斯基（Wronski ）行列式W (x )=0，则)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 在I 线性相关（）.13. 已知向量函授组00)()(),( , 0 022t t t W wronski t t t 行列式其朗斯基，　、　=∞+-∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛＝0，线性相关，则它们在)(∞+-∞( ).14. 解在有限区间上对初值的连续依赖性可以推广到解在无限区间上对初值的连续依赖性（）.15.如果存在常负（正）函数v(y x ,).它关于系统 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x q dtdy y x p dt dx 的全导数是正（负）定的，则该系统的零解是不稳定（）.二、选择题1.若微分方程M (x ,y ）d x +N (x ,y )d y =0有积分因子μ(x ,y ),则μ(x ,y )满足（）.A. N(x ,y )),()),(),((),(),(),(y x xy x N y y x M y y x y x M x y x μμμ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ B. M(x ,y )),()),(),((),(),(),(y x xy x N y y x M y y x y x N x y x μμμ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ C. N(x ,y )),()),(),((),(),(),(y x yy x N x y x M y y x y x M x y x μμμ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ D. N(x ,y )0),(),(),(=∂∂-∂∂y y x y x M x y x μμ 2. 曲线c y x =+22满足微分方程（）.A. 0=+'y y xB. 0=+'yx y C. 0=+'xy y D. =+'x y y 203. 曲线x (ln x -ln y )d y -y d x =0是（）.A. 变量分离方程B. 齐次方程C. 全微分方程D. 一阶非齐次线性方程4. 设)(x y 满足微分方程0ln 2=-+'x y y y x 且在x =1时y=1,则在x =e 时，y =( ). A. e 1 B. 21 C.2 D. e5. 已知y 1=cos ωx ,y 2=3cos ωx 是方程22112 0y c y c y y y +==+''的解，则ω(21,c c是任意常数)（）.A. 是方程通解B. 是方程的解，但不是通解C. 是方程的一个特解D. 不一定是方程的解6. 微分方程0)()(3=-++dy y x dx y x 的通解（）. A. c y xy x =-+242141 B. c y x =-242141 C. c y x =+242141 D. c y xy x =--2421417. 微分方程t x D 2sin 5)1(4=+的）. A. t 2cos 175 B. t t 2cos 175C. t 2sin 175D. t t 2sin 1758. 微分方程0)2()2(=-+-dy x y dx y x 的通解为（）.A. c y x =+22B. c y x =-22C. c y xy x =++22D. c y xy x =+-229. 方程y y ='过点（0，0）的积分曲线有（）.A. 无穷多条B. 唯一一条C. 只有两条D.不存在10. 一阶线性方程)()(x q y x p dx dy=+的积分因子是（）.A. μ⎰=dx x p e )(B. μ⎰-=dx x p e )(C. μ⎰=-dx x q e )(D. μ⎰=dx x q e )(11. 设曲线上的任意点p(y x ,)处的切线斜率为y a xb 22,且曲线经过点（-2，1），则该曲线的方程是（）. A. 1222222=-b x a y B. 1144222222=---a by b a xC. 1414222222=---a b y b a xD. 2414222222=--ab y b a x － 12. 已知方程0)()(=+'+''y x q y x p y 一个特解为1y ,则另一个与它线性无关特解为（）. A. dx e y y y dx x p ⎰⎰=-)(21121 B. dx e y y y dx x p ⎰⎰=)(21121 C. dx e y y y dx x p ⎰⎰=-)(1121 D. dx e y y y dx x p ⎰⎰=)(1121 13. 微分方程0)3(24=+-xydx dy x y 可化为（）. A. 323y x ydx dy y -=- B. 323y yx dx dy y -=- C. 2232y x y dx dy x=+ D. 323y x y dy dx x -=- 14. 微分方程022233=-+x dtx d dt x d 实通解为（）. A. t i t i t e c e c e c x )1(3)1(21--+-++= B. t e c t e c e c x t t t sin cos 321++=C. t e c t e c e c x t t t sin cos 321--++=D. t e c t e c e c x t t t sin cos 321---++=15. 曲线xy =1满足方程（）.A. 0=-'x yB. 1=-'y y xC. 0=+'y y xD. 12='y x16. 方程0)1()1(22=+++xdy y ydx x 有积分因子（）.A. 11--y xB. y x 12)1(-+C. x y 12)1(-+D. 1212)1()1(--++y x17. 方程2y y ='过点（1，1）的解的最大存在区间为（）.A. ），　（2∞-B. ()∞+，　2C. （-2，2）D. ()∞+∞-，18. 点（0，0）是系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=yx dt dy yx dtdx 2的（）.A. 结点B. 焦点C. 鞍点D. 中心19. 微分方程 04422=++x dt dxdt x d 通解为（）.A. t t e c e c 2221+B. tt e c e c 2221--+C. t tte c e c 2221--+ D. t tte c e c 2221+20. 微分方程dx y x dy y x )()(-=+是（）.A. 线性方程B. 变量分离方程C. 齐次方程D. 贝努利方程21. 已知函数)(x y 满足微分方程 y y x ='ln x y,且x =1时，y =2e ,则x =-1时，y =( ).A. -1B. 0C. 1D. 1-e22. 方程 22y x ydx dy -= 是（）.A. 一阶线性方程B. 齐次方程C. 全微分方程D. 变量分离方程23. 方程x y sin ='''的通解是（）. A. 322121cos c x c x c x y +++= B. 322121sin c x c x c x y +++=C. 1cos c x y +=D. x y 2sin 2=24. 已知函数)(x y 满足微分方程0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x 且x =1时 y =1,则当221+=x 时，y=( ). A. 1 B. 21C. 22D. 221+25. 微分方程t e x D D 422)6(=+－的特解为（）.A ．t te 491B ．t e 441C ．t e 491 D.te 49226．积分方程dt t ty o xx y )(1)(⎰+=的解为（）.A ．y =1B ．y =0C ．221x e y = D ．x e y =27．微分方程0=+ydy xdx 的解为（）.A ．c y x =+22B ．c y x =-22C ．c y xy x =++22D ．c y xy x =+-2228．设二阶常系数线性方程021=+'+''y a y a y （21a a 、为常数），它的特征方程有两个相同特征根λ，则方程通解是（）.A ．xx e c e c λλ21+ B ．xx xe c e c λλ21+C. x c x c λλsin cos 21+D. )(21xxxe c e c x λλ+29．方程0)ln (ln =-+dy y x ydx y 是（）.A ．变量分离方程B ．一阶线性方程C ．全微分方程D ．贝努利方程30．一阶非齐次线性方程)()(x q y x p y +='的通解是（）.A ．⎰⎰+⎰=-))(()()(dx e x q c e y dx x p dx x pB ．dx e x q c e y dx x p dx x p ⎰⎰+⎰=-)()()((C ． ⎰⎰⎰=-dx e x q e y dx x p dx x p )()()( D ．⎰=dx x p ce y )( 31．若)(),(21x y x y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解，则)()(2211x y c x y c y +=（其中1c 、2c 是任意常数）（）. A ．是方程通解 B ．是方程的解C ．是方程特解D ．不一定是方程解32．方程2x x ='过点（3，-1）解的最大存在区间为（）. A ．（-2，2） B ．（-∞+∞，　）C ．)2(，　-∞ D ．)2(∞+， 33．已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线平行于直线052=+-y x ， )(x y 满足微分方程x e y y y 396=+'-''，则此曲线的方程是（）.A ．sin2xB ．x e x x 2sin 2132+ C ．x e x x3)4(2+ D ．x e x x x 32)2sin cos (+34. 微分方程（221)t x D D +=+的特解为（）.A. 322+-t tB. t t t 33123+- C. t t t 33123++ D. t t t 33123-+ 35. 点（0，0）是系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x dtdy y x dt dx 332的（）. A. 结点 B.焦点C. 中心D.鞍点36. 设有微分方程（1）是已知常数）、、 b a k y b y a k dxdy ( )( )(--=（2） k y dxdy +=cos （3） 0)2(22=-+-dy x xy y dx y则（）.A.方程(1)是线性方程B. 方程(2)是线性方程C.方程(3)是线性方程D. 它们都不是线性方程37. 微分方程初值问题⎩⎨⎧==+'1)1(0y y y x 的解为（）.A.2=+y xB.1=xyC.222=+y xD.1=xy 38. 设)()(21x y x y 、是方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的（），则)()(2211x y c x y c y +=是任意常数）、21(c c 是方程通解. A. 两个特解 B. 任意两个解C. 两个线性无关解D. 两个线性相关的解39. 微分方程x y x y dx dy tan +=的通解是（）. A. cx x y=sin 1 B. c x x y +=sinC. cx x y =sinD. cx yx =sin 40. 设函数)(x y y =满足微分方程x y x y tan cos 2=+',且当4π=x 时，0=y ,则当0=x 时，y =( ). A. 4π B. 4π- C. -1 D. 1同实根21λλ、，则方程通解是（）.A ． x c x c 2211sin cos λλ+ B. x x xe c e c 2121λλ+ C. x x e c e c 2121λλ+ D. )(2121x x xe c e c x λλ+ 42. 积分方程dt t ty x x y )(2)(0⎰+=的解为（）. A. 221x e y = B. x e y =C. x e y 2=D. 2212x e y =43.设函数)()()(321x y x y x y 、、都是非齐次线性方程)()()(22x f y x b dx dy x a dxy d =++的特解,其中)()()(x f x b x a 、、都是已知函数，则对于任意常数1c 、2c ,函数)()1(121x y c c y --=)()(3221x y c x y c ++( ).A. 是所给微分方程的通解B.不是所给微分方程的通解C.是所给微分方程的特解D.可能是所给微分方程的通解，也可能不是通解，但肯定不是特解44.方程04)4(=-y y 的通解是（）. A. x x e c ec x c x c y 2423212sin 2cos -+++= B. )sin cos ()(432221x c x c e ec c y x x +++= C. )2sin 2cos (4322221x c x c e x c x c y x x x +++=-- D. x e x c x c x c c y 2342321)(+++=45. 已知方程02=-'+''y y x y x 的一个特解为x ,于是方程通解为（）.A.221x e c x c y +=B. x c x c y 121+=C. x e c x c y 21+=D. x e c x c y -+=2146. 若)( ),...(),(21x y x y x y n ，是微分方程0)(...)()1(1)(=+++-y x a y x a y n n n 的n 个特解，则当n c c c ,...,,21为任意常数时，)(...)()(2211x y c x y c x y c y n n +++=( ).A.一定是方程的通解.B.一定不是方程的通解.C.当)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 为线性无关时，才是方程的通解.D.当)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 线性相关时，才是方程的通解.三、填空题1. 设)(t ϕ是一阶齐次线性方程x t p dt dx )(=解，则)(t c ϕ是方程解（c 是任意常数）.2. 连续可微函数),(y x μ≠0使得),(y x μM (y x ,)d x +),(y x μ)N (y x ,)=0为全微分方程，则),(y x μ是微分方程M (y x ,)d x +N (y x ,)d y =0的 .3. 微分方程0332233=-+-x dt dx dtx d dt x d 的通解为 . 4. n 阶正规形微分方程的一般形式为 . 5. n 阶齐次线性微分方程的线性无关解的个数是 .6. 微分方程04)(2=+dtdx 是阶微分方程. 7. 向量函数t e t y 2)1(101)(-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,t e t y 2)2(110)(-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=在),(+∞-∞上是线性 .8. 微分方程06522=+-x dt dx dtx d 的通解为 . 9. 试将初值问题 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=++=0)0(0)0(y x y x dt dy ey x dt dx t 化为与之等价的一个未知函数的二阶微分方程的初值问题为 .10. 方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x dtdy y x dt dx 332的奇点为，奇点类型为 .11. 微分方程y y x y ln sin ='满足初值条件e y x ==2π的特解是 .12. 设)(1x y 、)(2x y 是方程0)()(22=++y x b dx dy x a dxy d 的两个非零解)(),((x b x a 在区间[b a ,]上连续），则其朗斯基（Wronski ）行列式W(x )= ;如果)()(21x y x y 、同时在区间[b a ,]上点0x 取得极小值，则)()(21x y x y 、在区间[b a ,]上是线性 .13. 一阶非齐次线性方程)()(x q y x p dx dy +=的任意两个解之差必为方程的解.14. 微分方程y y ''='''的通解为y = .15.方程)(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++=称为可化的方程,其中如果2211b a b a ≠ 时，作变换αξ+=x ,βη+=y (βα,是待定常数，ηξ，是新变量)，代入方程后确定出βα、,方程变成含变量ηξ，的方程.16.设)(1t ϕ、)(2t ϕ是二阶线性方程0)()(2122=++x t a dt dx t a dtx d 的解，其朗斯基(Wronski)行列式W (t)= .17.设微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程，则dy y x N dx y x M ),(),(+的原函数u(y x ,)= 或 .18. 微分方程01)(3223=++dx dy dx y d y 是阶方程. 19. 微分方程0=-''y y 的通解是 .20. 齐次线性方程 0)(...)()1(1)(=+++-y x a y x a y n n n 满足初值条件='=)()00x y x y （0)(...0)1(==-x y n （],[) , (321))((b a n i x a i 是　，，　，　=上已知连续函数,],[0b a x ∈）的唯一解是 .21.设n 个向量函数)(),...,(),(21x y x y x y n 定义于区间I 上，若仅当0...21====n c c c 时，)(0)(...)()(2211I x x y c x y c x y c n n ∈=+++才成立，则称)(),...,(),(21x y x y x y n 在区间I 上是 .22. 二阶齐次线性系统的系数矩阵的特征根为0,021<>λλ,则奇点（0，0）为类型.23. 设)(),(21x y x y 是二阶线性方程0)()(2122=++y x a dx dy x a dxy d 的解()(),(21x a x a 在区间I 上连续)，则其刘维尔（Liouville ）公式W )(x = .24.已知 y=y(x ,0x ,0y ) 是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解，则000),,(x y x x y ∂∂= , 000),,(y y x x y ∂∂= . 25. 微分方程01)(23=++dxdy dx dy y 是阶微分方程. 26. 设函数组t t t e t te e 2,,，则它们在),(+∞-∞上是线性 .27. 把初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===++-2)1(,7)1(7222dt dx x e tx dt dx dt x d t 化为与之等价的一阶正规形微分方程组初值问题 .28. 已知方程)sin(xy dx dy =，则=∂∂==0000000),,(y x x y x x y ，=∂∂==000000),,(y x y y x x y .29. 二阶自治系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x dtdy y x dt dx 243的奇点为，奇点类型 .30. 微分方程满足初值条件的解称为 .31. 如果y (x)是非齐次线性方程组一个特解，)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是对应齐次线性方程组的n 个线性无关解，则此非齐次线性方程组通解y(x )= .32. 曲线族c y x =+22满足微分方程 .33. 方程2y y ='过点(3,-1)积分曲线的最大存在区间是 .34. 微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程的充要条件是 .35. 微分方程0=+ydx xdy 的通解为 .36. 如果向量函数)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是齐次线性方程组n 个解，其朗斯基(Wronski)行列式在其定义区间I 上某一点不等于零，则其线性组合是该方程组的 .37. 曲线Γ是微分方程),(y x f y ='的积分曲线的充要条件是 .38. 若λ=bi a +是常系数实n 阶齐次线性方程的k 重特征根，则方程有形如的2k 个实特解.39. n 阶隐式常微分方程的一般形式为 .40. 形如),0)(( )()(I y y q y q x y p dydx ∈≠+=　的方程，称为方程. 41. 方程0=+''y y 的通解是 .42. 初值问题⎩⎨⎧00)(y x y y y =='的解存在且唯一的条件是 .43.n 阶齐次线性方程的任意n 个解构成它的基本解组的充分必要条件是 .44. 初值问题⎩⎨⎧00)(),(y x y y x f y =='的解满足积分方程 . 45. 函数44222),(v x y xy x y x ++-=是类型的李雅普诺夫函数.46. 微分方程解的图像称为微分方程 .47.若)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是n 阶齐次线性方程)(1x a dx y d n n +++--...11n n dxy d y x a n )(＝0的n 个解，则其刘维尔(Liouville)公式 .48.微分方程0)3()32(332=-++dy y x dx y x x 是型微分方程.49. 1)(1)(-=+'x f xx f 的通解=)(x f . 50.该函数)(1x y ,)(2x y ,)(3x y 是非齐次线性方程++dx dy x a dxy d )(22y x b )()(x f =的线性无关解，其中)(),(),(x f x b x a 都是已知函数，则所给方程的通解y = .51. 方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x q dtdy y x p dt dx 称为系统. 52. 已知x y x y 1,221==是方程02222=-y x dx y d 的两个解，则其朗斯基(Wronski)行列式W(x )= .53. 求微分方程),(x t f dtdx =满足初值条件0000,( )(x t x t x =是已知常数）解的问题称为 .54. 假设)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是n 个函数,I x ∈,如果...)()(2211++x y c x y c )(x y c n n + =0，I x ∈,仅当0...21====n c c c 时成立，则它们是线性 .55.微分方程033=+x dtx d 的通解为 .56.向量函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0t ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02t 的朗斯基(Wronski)行列式W(t )= = ,该向量函数是线性 .57.设)(),(21t t ϕϕ是一阶线性方程x t p dtdx )(=的解，则)()(21t t ϕϕ+是方程解.58.设),(y x u 是dy y x N dx y x M ),(),(+的一个原函数,则全微分方程dy y x N dx y x M ),(),(+=0通解是 .59.二阶自治系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=3334y x dt dy x y dt dx 函数2243),(y x y x V +=是函数,dtdV = 且是函数,零解是 .60.微分方程dxdy xy y dx dy x=+的通解是 .四、求一阶微分方程的通解1. dx dy =y x xy y 221++ 2. dx dy =2y xy y - 3. xydx +)21(2y x +dy =0 4. dxdy =x y cos +x 2sin 5. )(x y +dx +)(x y -dy =06. )312(32y y x xy ++dx +)(22y x +dy =0 7. 2)(3+'-'=y y x8. x y y sin '=)(sin cos 2y x x -9. dx dy=e x y +x y10. y '=22x y xy -11. 02)(3=-+y dx dyx dx dy12. c o sy dx dy+x s in y =221x xe -13. )()(2x y x y dx dy ϕϕ-'=14. 42++--=y x x y dx dy15. 02)3(2=++xydy dx y e x16. (xy y x e +y 2)d x -x 2y xe d y =017.=dx dy y y x 2sin cos 1+18. x ' 1)' (2y y =+19. x y y x ydx dy 2sin 212+=20. dx dy =344322xy x y y x --21. (23x x y +)dx +(1+y x 3)dy =022. 'y =y y xtan cos -23. 2)('y x a y +=24. dx dyx =y (1+l n y -l n x )25. 22' ' 3y y xy y +=26.0)1()(2=++-y d y x dx y x27. dx dy =22x y x + 28. dx dy =3333426322--+++-+y x xy y x y x 29. dx dy =22yx y - 30. 0)22()(32=++-dy y xy dx x y31. x +' sin 2y =132. e y -(dx dy +1)=x e x 33. 3'y x y y +=34. dx dy -n x x e y xn = (n 为常数) 35. 0)(222=-+dy y x xydx36. dxdy (ar ct an y -x )=1+y 2 37. (x y x xy +++23)d x -(y x -)d y =038. dxdy x +x +s in (y x +)=0 39. y 22)2()1(y y '-=-'40. dx dy +032=+y e xy 41. dx dy =xyy x -321 42. 0)1()1(=-++dy yx e dx e y x y x43. x 022=-'+'y y x y44. y xe y x y x 2cos 2sin 2-=+'45. 0)(2=-+xdy dx y xy46. y =(y ')2221x y x +'-47. dxdy x +(x +1)y =3x x e -2 48. dx dy =yx x y 222+ 49. x 0)()(2=-++ydx xdy y ydy xdx50. 0sin cos sin '3=--x y x x y51. (y -x 2)y '=x52. y x '+1=e y53. dx dy =2(12-+-y x y )2 54. y x 'xy y 2=+55.dx xy y xdy )1(-=五、求高阶方程通解1.x 06'22=-+''y xy y 2.33dx y d -5x e y dx dy dx y d 32248=-+ 3. x t x sin 11''-=+ 4. t dtdx t dt x d =-122 5. ( D-2 )t e tx 221= 6. 22dtx d +x = t cos 11+ 7. 22dt x d +x x x dtdx cos sin 26-=+ 8. t )1(2+t 22dtx d -t (2+4t +t 2)3422)42(t t x t t dt dx --=+++ 9. y 132'''+=++-x e y y x10. 014455=-dt x d t dtx d 11. (D 232+-D )x =cos2t12. 0)(222=+dt dx dtx d x 13. (D 232+-D )x =sine t -14. (D D D 3423+-)x =t 215. t 22dtx d -(2t +1)t e t t x t dt dx 22)1()1(-+=++ 16. 022=++x dtdx dt x d 17. x 2x dxdy dx y d x dx y d ln 452233=++ 18. x 222dx y d -3x x x x y dx dy ln 42+=+ 19. (D+1)x x y cos 22=20. t 2022=+-x dt dx t dt x d 21. y ''x x e e y y 316496-=+'-22. (2t +1)2t x dt dx t dtx d 612)12(222=-+- 23. y x y y ''=''+'4)(4224. (D 91024++D )x =cos(2t+3) 25. 43231)()(x y y y x ='-'''六.求方程组的通解 1.y x dt dx +-=7 2. xy y t dt dx --=y x dt dy 52--= xy t x dt dy --= D x -(D+1)y =-t e3. x +(D-1)y =t e 2z y x dt dx+-=3 4. z y x dt dy-+-=5 z y x dtdz3+-=(D 162+)x -6D y =0 八、 6D x +(D 162+)y =0yx t y dt dx ++= 6. yx x t dt dy ++=t e y x dt dx3423++= 7. y x dtdy2+= 8.dt dx=-)1(22-++y x x y )1(22-++=y x y x dtdyt e y x dtdx+--=5 9.t e y x dt dy 23+-= 10. 222yx t y dy x dx t dt +++==. te x dt dy dtx d =--222 11.2222t y dtyd dt dx =-- 12.xy dtt x dy y t dx 244332-=-=-t y x dt dx532++= 13. t e y x dtdy823++=dt dx=t e y x 34+-)sin (t t + 14. t te y x dtdyt cos 23++=dt dx=z y + 15. z x dt dy+= y x dtdz+= 16.yt dx =y x dtxt dy +=0422=+-y x dt xd 17. 022=-+y x dtyddt dx =y x x et t e +-+2 18. yx y e t t e dt dy +-+=2dt dx=z y x 332+- 19. z y x dt dy354+-= z y x dtdz244+-=dt dx=+2y -e t - 20. t e y x dtdy-++=434 七、求初值问题解1.⎩⎨⎧==-+2)1(02)(2y xydy dx y x2. ⎪⎩⎪⎨⎧==1)0(2y xy dx dy3. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=1)0(0)0(432y x y x dt dy y x dt dx 4.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===+--0)1()1(4422222dt dx e x e t x dt dx dt x d t5.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-='==+-3)0(2)0(02322x x x dt dxdt x d 6.设方程组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21,01011x x x e x dt dx t a) 验证矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛t t t e te e 0是对应齐次线性方程组基本解矩阵；b) 试求方程组满足初值条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(x 的解.九、设方程组为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,cos sin 2012x x x t t x dt dx 十、验证矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛t t te te e 2220是对应齐次线性方程组基本解矩阵；十一、试求方程组满足初值条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(x 的解8.⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-==-++=-=31)1(31)1(1221y x x t y x dt dy x t dt dx9.求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==+0)0()(y x q y dx dy的连续解，其中⎩⎨⎧>≤≤=1 ,010 ,2)(x x x q 10.⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫⎝⎛'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=+''12 02],[ sin 34π，πππ，y y x x y y 八、计算题 1. 求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y yx dxdy 在区域R:1 ,11≤≤+y x 解的存在区间，并求第三次近似解. 2. 试用逐次逼近法求方程组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21,0110x x x x dt dx , 满足初值条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10)0(x 的第三次近似解.3. 求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(2y ye dxdy x 的第二次近似解. 4. 用逐次逼近法求方程 21yydx dy += 满足初值条件1)0(=y 的第二次近似解. 5. 求初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=1)0(,0)0(2222dt dx x x t dt x d 的第三次近似解.6. 利用逐次逼近法求初值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=1)0()0(2y x y tx dtdy y tx dt dx的前三次近似解.7. 试用逐次逼近法求方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==x dtdy y dtdx满足初值条件⎩⎨⎧==1)0(0)0(y x 的第三次近似解.8. 设),,(00x t t x 是方程0si n =--x txt dt dx t满足初值条件0000),,(x x t t x =的解，试求出000),,(t t t x t t x =∂∂ ,00),,(t t x x t t x =∂∂9.试讨论2123y dx dy =在怎样区域上满足解的存在唯一性条件，并求过点(0，0)的一切解.10. 设给定方程x e t dt dx23=，试求0100000),,(==∂∂x t t x t t x ,100000),,(==∂∂x t x x t t x九、讨论题（一）求方程组奇点，并确定其类型.1. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=y x dt dy y x dt dx 6632.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x dtdy y x dtdx2433.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=y x dt dy y x dt dx 334.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x dtdy y x dt dx47735.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x y dtdy y x dtdx324（二）讨论系统零解稳定性.（a 是参变数）1. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=33y x dt dy x y dt dx2.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+-=)()(2222y x y x dtdy y x x y dtdx3.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=33ay x dt dy ax y dt dx 4.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=333223y x dt dy x y dt dx 5.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=)()(2222y x ay x dt dy y x ax y dt dx 6.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=3334y x dt dy x y dtdx7.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=2322xy dt dy y x dt dx 8.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=3222y y x dt dy xy x dtdx9.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-=32223212y y x xy dt dy y x dt dx 10.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=222x x dt dy y xy dtdx 11.考虑无阻尼线性振动0222=+x dtxd ω的平衡位置的稳定性.十、证明题.1．设),(y x f 在区域R: a x x ≤-0,b y y ≤-0连续且关于y 满足利普希茨(Lipschitz )条件，试用Bellman 引理证明初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy在区间h x x ≤-0的解是唯一的，其中==M Mba h ),,min(max R .|),(|y x f 2.已知定义于[b a ,]上的n 个函数y 1(x ),y 2(x ),…，y n (x )是n 阶齐次线性方程基本解组，b 1,b 2是两个不等于零的常数，则函数组)()([211x y x y b +]，)()([212x y x y b -]，)( ,...)(3x y x y n ，在区间[b a ,]也是该方程的基本解组. 3.设n 阶矩阵A(t)在区间[b a ,]连续，且X (t)，)(t Φ是方程组x t A dtdx)(=的两个基本解矩阵，证明的存在n 阶可逆常数矩阵C 使得)(t Φ= X (t)C. 4.证y e dxdyxy sin =的任何一解存在区间为（-∞，+∞）.5．设f （t ）在（０，＋∞）上连续且有界，试证明方程)(t f x dtdx=+的所有解均在（-∞，+∞）上有界. ６．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=00)()1(y x y ey y dxdy xy 当00y <<1时解的最大存在区间，并加以证明. 7．用逐次逼近法证明初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=00)()()(y x y x q y x p dxdy在[b a ,]上解是唯一的（只须证明唯一性），其中[]b a x ,0∈，p(x )、q(x )在[b a ,]上连续.8、求非齐次线性方程t e x dt dxdtx d -=++6522的通解，并证明此方程的一切解)(t x 有0)(lim =+∞→t x t .9、试证明：对于任意0x 及满足条件0<0y <1的y 0，方程1)1(22++-=y x y y dx dy 满足初值条件00)(y x y =的解y(x )在（)∞+∞-，　上存在. 10、设f(x)为连续函数（1）求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()(y ayx f dxdy的解y(x )，其中a 是正常数；（2）若)(x f k ≤（k 为常数），证明，当x ≥0时有)1()(ax e kax y --≤. 11、证明微分方程1sin 22++=y x ydx dy 的任一解)(x y 存在区间为)(∞+-∞，　.。