连续-非连续数值分析方法及应用专题讨论会第-中国力学学会
非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法
垫拯生』选盆煎非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法。
苏志霄郑兆昌（清华大学工程力学系，北京，１０００８４）谁≮＇Ｉ广摘要秭４用Ｔａｙｌｏｒ级数展开导出了任意自治或非自治非线性动力系统的瞬时线性化方程，该线性方程的连续变化描述了系统的全部复杂动力行为。
进一步求解系统的线性化方程，得到一种非线性动力系统数值计算的新的递推格式，计算实例表明其精度高于传统的Ｈｏｕｂｏｌｔ、Ｗｉｌｓｏｎ．ｏ及Ｎｅｗｍａｒｋ－１３等方法，且在计算时间步长较大时，仍然具有足够的计算精度３文末通过数值计算研究了Ｄｕｆｆｉｎｇ方程和ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程的混沌及周期特性。
关键词非线性动力系统连续线性化模型Ｄｕｍｎｇ方程ｖａｉｌｄｅｒＰｏｌ方程近年来，非线性动力系统的定性分析方法在低维系统中的应用已逐步完善。
然而。
由于非线性系统一般不存在解析解，因此通常利用逐步积分法、有限差分法［１，２］及其他方法，如Ｔａｙｌｏｒ变换法［３】等数值算法得到其数值解。
各种数值方法均是基于时间历程上的差分方法，也即通过各种形式的函数曲线来近似代替时间步长上振动系统的实际响应形式。
运动学研究历史上，静止被认为是运动的瞬时存在状态。
与此类似，线性结构可认为是非线性系统的瞬时表现形式，线性系统的连续变化反映了非线性动力系统的全部复杂行为。
非线性系统的瞬态响应依赖于该瞬时的线性结构，而该时刻线性结构的确定又依赖于上一连续瞬时非线性系统的响应。
因此，非线性系统的响应具有连续递推性。
由此观点可发展为非线性动力系统的连续线性模型理论。
本文即从此出发，推导了一般自治或非自治非线性动力系统的瞬态线性方程，精确求解该线性化方程得到非线性系统的一种新的数值算法。
该方法本质上以瞬态线性结构的精确响应来近似代替离散时间段内非线性系统的响应，区别于传统差分方法中以直线或各种曲线近似代替的思想。
计算实例表明该方法较传统方法相比，大大提高了计算精度。
文末计算了强迫Ｄｕｆｆｍｇ方程与强迫ｖａｌｌｄｅｒＰ０１方程的混沌及周期特性。
非线性数值分析的理论与方法
习题 ………………………………………………………………………… 77 第3章 3. 1 3. 2 3. 3 3. 4 3. 5 牛顿法与拟牛顿法 …………………………………………………… 79 牛顿法 ………………………………………………………………… 79 牛顿法的若干变形 …………………………………………………… 84 牛顿法的半局部收敛性 ……………………………………………… 90 算子方程的牛顿法与投影牛顿法 ………………………………… 100 拟牛顿法 …………………………………………………………… 105
作者2004年7月目录第1章基本概念与若干理论基础11多元非线性方程组的两个实例12有限维非线性映像的微分学简介13banach空间的微分学14凸泛函梯度映像单调映像15非线性方程组的可解性16反函数定理与隐函数定理习题????????????????????????????1????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????142127374451第2章压缩条件下的迭代法21迭代法与不动点定理22迭代格式的构造23迭代法的收敛性与收敛阶24迭代投影法与投影迭代法习题????????????????????????????5454?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????57596677第3章牛顿法与拟牛顿法31牛顿法32牛顿法的若干变形33牛顿法的半局部收敛性34算子方程的牛顿法与投影牛顿法35拟牛顿法???????????????????????习题????????????????????????????79????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????798490100105114第4章同伦延拓法41映像的同伦42萨德sard定理117????????????????????????????????????????????????????????????????117122143拓扑度理论简介44同伦延拓法的基本思想基本微分方程45路径跟踪过程的总体结构46计算切向量??????????????????????47牛顿迭代校正?????????????????????48路径跟踪步骤?????????????????????49两个数值例子?????????????????????410某些应用???????????????????????习题????????????????????????????127136?????????????????????
一元函数的连续性及其应用分析
一元函数的连续性及其应用分析连续函数是数学中一个重要的概念，在许多领域中都起到关键作用。
本文将详细讨论一元函数的连续性，并分析其应用。
一、连续函数的定义在数学中，一元函数的连续性是指函数在其定义域上的每一个点都满足极限的定义。
即对于任意给定的ε > 0，存在一个δ > 0，使得当x的取值在(x0 –δ, x0 + δ)范围内时，函数值在(f(x0) –ε, f(x0) + ε)范围内。
二、连续函数的特性连续函数具有以下重要特性：1. 若函数f(x)和g(x)在点x0处连续，那么f(x) + g(x)、f(x) - g(x)、f(x) * g(x)、f(x) / g(x)也在x0处连续；2. 若函数f(x)在点x0处连续，而g(x)在f(x0)处连续，那么g(f(x))也在x0处连续；3. 若函数f(x)在[a, b]区间上连续，那么f(x)在[a, b]上一定有最大值和最小值；4. 至多可以有有限个点不连续的函数也被称为连续函数。
三、连续函数的应用连续函数的应用非常广泛，下面以几个具体的应用场景进行分析。
1. 解析几何中的应用：在解析几何中，连续函数广泛应用于曲线的研究。
通过分析函数曲线的连续性，可以推导出曲线的拐点、极值点、切线等重要信息，进而对曲线进行更深入的研究。
2. 经济学中的应用：在经济学中，连续函数被用于建立供需关系、成本与利润的函数模型。
通过研究这些连续函数的性质，可以解决市场供需均衡、最大利润等重要的经济问题。
3. 物理学中的应用：在物理学中，连续函数在描述物理量随时间或空间的变化规律时经常被使用。
例如，位移、速度和加速度之间的关系可以用连续函数来描述。
4. 优化问题的求解：连续函数在解决优化问题时起到关键作用。
通过研究连续函数的极值点，可以确定问题的最优解，如求解最大值和最小值等。
5. 数值分析中的应用：在数值分析领域中，通过对连续函数进行逼近，可以得到更简洁、有效的数值计算方法。
《内部具有不连续性Sturm-Liouville算子的研究》范文
《内部具有不连续性Sturm-Liouville算子的研究》篇一摘要在数学领域中，Sturm-Liouville算子因其对物理和工程应用的重要性而备受关注。
特别是在描述物理系统、微分方程、信号处理等方面具有广泛应用。
然而，当Sturm-Liouville算子内部存在不连续性时，其性质和求解方法将变得更为复杂。
本文旨在研究具有内部不连续性的Sturm-Liouville算子，并对其特征、应用以及相关方法进行详细讨论。
一、引言Sturm-Liouville算子是一类重要的微分算子，在许多领域如量子力学、振动理论、信号处理等都有广泛应用。
当算子内部存在不连续性时，其特征值和特征函数的性质将发生显著变化。
因此，研究具有不连续性的Sturm-Liouville算子对于理解其基本性质、拓宽其应用范围以及发展相关求解方法具有重要意义。
二、不连续性Sturm-Liouville算子的基本性质不连续性Sturm-Liouville算子通常指在定义域内，由于某些物理或数学因素导致的函数不连续的Sturm-Liouville算子。
这类算子的特征值和特征函数具有独特的性质，如离散性、正交性等。
此外，其本征值和本征函数的求解也更加复杂。
三、求解方法针对具有不连续性的Sturm-Liouville算子，本文提出了一种基于数值分析的求解方法。
该方法首先将不连续的微分方程离散化，然后利用数值迭代法求解离散化后的方程组。
在求解过程中，还需要注意选择合适的初始猜测值和迭代终止条件。
此外，还可以利用有限元法、谱方法等对问题进行求解。
四、应用领域具有不连续性的Sturm-Liouville算子在许多领域都有广泛应用。
例如，在量子力学中，它可以用来描述具有势垒或势阱的物理系统；在信号处理中，它可以用来分析信号的频谱特性；在振动理论中，它可以用来描述系统的振动模式等。
此外，在控制论、生物医学工程等领域也有一定的应用。
五、结论本文研究了具有内部不连续性的Sturm-Liouville算子的基本性质、求解方法以及应用领域。
谈非连续岩体的数值分析方法
到很 多 困难 ， 如 有 限差 分 法 、 边 界 元法 和 有 限元 法 等 。１ ９ ６ ８年 面元法 首先 建立块体的刚体位移模式 ， 并计算相邻 单元 交界面 上 Ｇ ｏ ｏ ｄ ｍ ａ ｎ等 为模拟岩石 力学 中位 移 不连续 情 形提 出 了节理 单 任 一点的相对位移 ， 将相对位移视 为垂直于界 面的微分 条的累计
元， 后来 也被推广应用于土与结构 的共 同作用 有限元计 算 中作为 变形 ， 以此获得界 面 的应 变 ， 然后根 据本 构关 系导 出界 面应 力 公
接触面单元 。１ ９ ８ ０年 Ｄ ｅ ｓ ａ ｉ 等通 过引入嵌 入控制方法提 出了薄层 式。当界面应力未超过强度极限时 ， 界面相对 位移 只表 示界面 层 单元 ， 在一定程度上克服 了 Ｇ ｏ ｏ ｄ ｌ Ｔ ｌ ａ ｔ ｌ 单元 法 向刚度 取值过 大等问 累积变 形值 ， 界面并不脱开或滑 移。只有 当界 面应 力超 过强度极 题 。为考虑岩土材料 的软 弱结 构面 ， １ ９ ７ １年 Ｃ ｕ ｎ ｄ ￣ｌ 提 出 的离散 限时 ， 界面相对位 移才反 映界 面的不 连续位 移 ， 即界 面张 开度 和 单元法 将岩体视为 由复杂块 体组 成的集合 体 ， 块 体之 间可以平 滑移量 。因此界面元 法可 以同时适 用 于连续介 质 和不连续 介 质
相邻 单元 通过 接触面 中点 的法 向、 切 向和 转动 岩土工程 中的力学 问题常会涉及 到各种 非连续 变形 ， 结构 中 个单元是刚性 的 ， 弹簧相 连。后来 Ｂ ｅ ｌ ｙ ｔ ｓ ｃ ｈ ｋ ｏ 将 其推广 到分 析节理 岩体 ， 提 出 了适 已有的或可能发展 的 软弱界 面成 为非连 续变 形 问题 分 析的关 键 因素… ， 尽管有 限单 元法在连续介质 问题 领域 已取 得 了巨大 的成 功， 但对 于介质 问断和接触等界面上 的不连续位 移 问题 却难 以描 述和计算 。建立 以界 面受 力分 析为 重点 内容 的不连续 介 质离 散
连续-非连续性岩体的数值方法.
Discretization concepts --4
Blocks
Fig. 1-4 The discontinuum-based approach——DEM
Table 1-1 Numerical methods in modeling jointed rock mass
Investigator
Cundall Burman Chappel
图2-5-1 二维“弹球”模型示意图
6、非连续变形分析(DDA)
石根华和Goodman于1989年提出了一种称为非连续变形分析 (Discontinuous Deformation Analysis — DDA)的数值方法，它是在 非连续体位移反分析法的基础上推广而来的一种正分析方法，它可以从 块体结构的几何参数、力学参数、外荷载及约束情况计算出块体的位移、 变形、应力、应变以及块体间离合的情况。 DDA将系统视为由常应变并且可作刚性位移的块体所组成，建立 起类似于有限元的平衡方程（其矩阵含义与有限元不同） ，DDA在建 立平衡方程时考虑如下两个假定（约束）： ① 块体间无拉应力作用。 ② 块体间不能有叠合。 一旦有拉力或叠合产生，即在相应点上作用一反向弹簧以使拉力或叠合 消失。从这两个约束出发，利用最小位能原理，DDA建立了平衡方程。 其刚度矩阵由材料特性、约束情况及变形情况所决定。位移列阵包含块 体的平动位移、转角及应变，力列阵由各块体所受外力集成。
Sarma提出了对滑坡体进行斜分条的改进极限平衡法，沿 滑坡体进行斜分条，以模拟断层节理等不连续面，且假定 条块侧面也达到了极限平衡，这样通过静力平衡条件即可 唯一地确定边坡的安全系数与超载系数。Donald和陈祖煜 将Sarma的静力平衡方程转化为微分方程，并通过求解该 微分方程的闭合解得到边坡的安全系数。
中国力学学会2015、16年(部分)学术活动计划
2. 传达国家级实验教学示范中心建设精
神；
3. 周培源大学生力学竞赛基础力学实验
团体赛研讨
4. 实验教学设备展示与交流.
24 弹塑性动力学理 1. 弹塑性本构关系理论研究；
8月
70
论、数值模拟及 2. 弹塑性材料的损伤和断裂；
工程应用
3. 弹塑性动力学的数值方法；
学术会议
4. 弹塑性动力学的实验方法和技术；
讨会
新进展；
3. 活动构造与板块动力学数值模拟；
4. 地幔对流与地球深部物理的数值建模
与模拟等.
50–60
16 第 7 届全国力学 力学史与方法论范围内，结合教学和科研 7 月
150
史与方法论学术 的方法、经验和体会.
12–14 日
研讨会
17 第 11 届 中 国 1. CAE 当前研究热点与未来发展趋势； 7 月
07 固体力学与多学 1. 生物力学与生医工程；
科交叉学术研讨 2. 软材料力学与柔性器件设计；
会
3. 微纳米力学与先进制造；
4. 智能材料与结构力学.
5月
30
15–17 日
08 实验力学新方法 1. 实验力学方法走向工程应用的标准 5 月
50
新技术及其在重 化；
15–18 日
大工程中的应用 2. 实验力学方法与产业界结合；
多目标的探测；
2. 学术研讨会暨竞赛颁奖大会.
05 第 15 届全国非 1. 非线性动力学与控制； 线性振动会议暨 2. 非线性振动理论与应用； 第 12 届全国非 3. 运动稳定性理论与控制； 线性动力学和运 4. 多体动力学与控制等. 动稳定性学术会 议
5月
400
CDEM数值方法及GPU高性能计算讲习班
10：15-11：30
基于 FVM 的块体接触模
GPU 基本原理介绍 型及显式计算中的
（主讲人：马照松）
若干问题
（主讲人：冯春）
CDEM 的流固耦合及 块体破裂模型
（主讲人：刘晓宇）
CUDA 实例编程 （主讲人：马照松）
下午
14：30-15：45
16：15-17：30
CDEM 的随机节理模 基于 CUDA 的 GPU 并行
性模型、脆性断裂模型、应变软化断裂模型等 3 种，支挡结构模型包括锚
杆/索模型、梁模型等 2 种。
块体模型
界面模型
结构模型
线弹性模型
Drucker-Prager模型 Mohr-Coulomb模型 块体切割模型
线弹性模型 脆性断裂模型 应变软化断裂模型
锚杆/索模型 梁模型
随机节理模型
多尺度模型
裂隙/孔隙渗流模型
可以直接到中国工商银行各网点付款,请将培训费用汇入以下帐号：
型及多尺度模型
编程方法
（主讲人：刘天苹） （主讲人：马照松）
GPU 技术在 CDEM 中的实现 （主讲人：马照松）
学员意见反馈及 CDEM 软件使用方法
集中答疑
（3）精品课
4 月-15 日-4 月 30 日 5 月 4 日-5 月 10 日 5 月 11 日-5 月 14 日
日期
内容 GPU 编程上机训练 CDEM 中典型计算模型的程序实现 基于 VC++的 CDEM 自定义模型的程序实现
CDEM 的计算步骤及 远程计算方法
（主讲人：马照松）
GPU 在计算领域的 GPU 发展现状概述
应用现状 （主讲人：NVIDБайду номын сангаасA 公司）
中国力学学会2018年学术活动计划表
吕永钢 13 CSTAM2018-*13 第三届全国生物力学 青年学者学术研讨会 5月 重庆 50
国家自然科学基 金委数理学部 生物力学专业委 员会 流固耦合力学专 委会
重庆大学
杨超 第四届全国非定常空 14 CSTAM2018-*14 气动力学学术会议 会议主题是气动弹性、流 固耦合方面的非定常气动力理 论、计算和试验等方法的最新 研究成果交流。
西安
150
9
CSTAM2018-*09
动力学与控制学科发 展论坛
5月
广西 柳州
动力学与控制的基础科学 问题与工程应用。
杨绍普,张伟 动力学与控制专 刘才山 委会 50
广西科技大学
吴文军,刘才山 北京大学工学院航空航天工程系 13621380188 liucs@ 李建玲 陕西西安友谊西路127号西北工 业大学209信箱 15680123983 lijianling@
15 CSTAM2018-*15
爆炸力学实验技术学 组活动
5月
江苏 无锡
1.爆炸实/试验的设计； 2.爆炸现象的测试技术； 3.爆炸实/试验结果的评估； 4.爆炸实/试验的等效性研究。
卢芳云 100 -150
爆炸力学专委会
第 3 页
序 会议文集 号 （摘要集）编号
活动名称
时间
地点
主要内容和议题
北京
300 胡国庆 -400
北京国际力学 中心
胡国庆 北京国际力学中 北京市海淀区北四环西路15号 心 13718696731 guoqing.hu@
姜宗林 150
激波与激波管专 委会
21 CSTAM2018-*18
第十八届全国激波与 激波管学术会议
6月
连续-非连续数值分析方法及应用专题讨论会
数字图形介质与计算力学的融合系统 岩土工程大数据及云平台的构架与共享标准
重要时间节点
2018 年 2 月 14 日，提交论文摘要截止； 2018 年 3 月 15 日，发送论文摘要录用通知截止； 2018 年 3 月 15 日，发布会议注册通知； 2018 年 3 月 30 日，自愿提交论文全文（中、英文皆可）截止； 2018 年 4 月 10 日，注册缴费优惠截止； 2018 年 4 月 20 日，会议注册、报到； 2018 年 4 月 21 日-22 日，会议交流。 注： （1）本次会议将推荐优秀论文 8-10 篇至《ENGINEERING COMPUTATIONS》，请有意
秘书处
秘书长：冯 春 姜 华 丛俊余 秘 书：程鹏达 杨 田 梁 萌 郝诗月
会议地点
华北水利水电大学花园校区（郑州市北环路 36 号）
学术委员会
主 席：郑 宏 副主席：庄 茁 章 青 李世海 委 员（按姓名首字母排序）： 白晓红 蔡永恩 蔡袁强 蔡正银 陈国兴 陈晓平 陈正汉 程展林 冯夏庭 冯云田 高玉峰 龚晓南 黄茂松 姜清辉 蒋明镜 焦玉勇 鞠 杨 孔令伟
李 晓 李海波 李建林 刘汉龙 马 巍 马国伟 马照松 彭建兵 盛 谦 唐春安 王建华 王金安 王玉杰 韦昌富 魏 群 吴锤结 吴梦喜 薛 强 杨 强 杨 庆 杨光华 姚仰平 张国新 乐金朝 朱大勇
本次专题讨论会将重点关注连续-非连续数值分析方法的理论体系、研究现状及发 展趋势，多场耦合及强动载荷下固体介质破裂、碎化及运动过程的模拟，连续-非连续 数值分析方法的高效并行加速技术及仿真软件，以及连续-非连续数值分析方法在岩土、 水电、交通、矿山、能源等领域的应用案例。
会议主题（包括但不限于）
连续-非连续介质力学的基础理论及数值方法 地质力学模型概化及含复杂结构面地质体计算网格的快速剖分技术 地质体损伤、破裂及多裂纹扩展过程的定量化描述 流、固、热多场耦合下地质体损伤破裂过程的数值模拟方法 CPU/GPU 高效并行方法及在岩土工程大规模数值模拟中的应用 地震、降雨、库水涨落、人工开挖作用下边坡的稳定性分析及失稳成灾过程模拟 爆炸/冲击载荷下地质体的破碎及运动过程模拟 岩爆、冲击地压、煤与瓦斯突出过程的模拟 渗流破裂、水力压裂、冻融破裂过程的模拟 静、动载荷下工程结构损伤破裂过程分析 连续-非连续方法在岩土工程中的应用案例 人工智能技术与 BIM 技术的联合应用
数值分析连续函数的最佳逼近第二讲
数值分析连续函数的最佳逼近第二讲数值分析中的最佳逼近是一个重要的概念，在连续函数的研究中有着广泛的应用。
本文将对数值分析中连续函数的最佳逼近进行详细的讨论。
首先，我们需要明确最佳逼近的含义。
在数值分析中，最佳逼近是指在给定的范围内选择一个函数来尽可能地接近给定的连续函数。
最佳逼近的问题可以分为两类：在指定函数族中选择一个函数和在给定的有界闭区间上最佳逼近。
在指定函数族中选择一个函数的最佳逼近问题可以通过最小二乘法来解决。
最小二乘法是指通过最小化指定函数和连续函数的残差平方和来选择一个最佳的函数。
在给定的有界闭区间上最佳逼近问题可以通过插值法来解决。
插值法是指通过在给定的有限数据点上插值得到一个函数，并使得插值函数在给定的有界闭区间上与连续函数的误差最小。
最常见的插值方法是拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法是通过构造一个或多个基于不同数据点的插值多项式来逼近连续函数。
拉格朗日插值法的优点是简单易用，但其缺点是计算复杂度高，尤其是在数据点较多的情况下。
牛顿插值法是通过构造一个差商的多项式来逼近连续函数。
差商是指用有限数据点之间的差来表示函数间的关系。
牛顿插值法相对于拉格朗日插值法来说更加高效。
此外，还有其他的最佳逼近方法，如最小二乘逼近和最小平均绝对误差逼近。
最小二乘逼近是通过最小化连续函数和指定函数族的平方误差来选择一个最佳的函数。
最小平均绝对误差逼近是通过最小化连续函数和指定函数族的绝对误差的平均值来选择一个最佳的函数。
最佳逼近的理论基础是泛函分析和数学分析中的一些重要定理，如魏尔斯特拉斯逼近定理和诺特尔定理。
魏尔斯特拉斯逼近定理指出，任意连续函数在有界闭区间上都可以用一个多项式来逼近。
诺特尔定理是关于差商和插值多项式收敛的一个重要定理。
最佳逼近问题在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在信号处理中，最佳逼近可以用于滤波器设计和图像压缩。
在数值计算中，最佳逼近可以用于求解微分方程等数值问题。
非连续变形分析块体模型研究
非连续变形分析块体模型研究非连续变形分析块体模型研究摘要：近年来，随着结构工程领域的不断发展，非连续变形分析块体模型的研究成为了研究热点之一。
本文通过对非连续变形分析块体模型相关理论、建模方法及工程应用等方面进行综述，总结归纳了目前的研究进展和存在的问题，并展望了未来的发展方向。
1.引言非连续变形是指物质在外部作用下发生的断裂和滑动现象。
在工程结构分析中，非连续变形是非常重要的一个问题。
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，非连续变形的研究也日益深入。
块体模型是非连续变形问题的一种常用研究方法，其能够较准确地描述结构中的断裂和滑动行为。
2.非连续变形分析块体模型理论2.1 断裂力学理论断裂力学是非连续变形分析的理论基础。
它研究物质在外部加载下的断裂过程和失效行为。
断裂力学理论通常包括线性弹性断裂力学和非线性断裂力学两个方面。
2.2 块体模型理论块体模型是一种用于描述结构中断裂和滑动行为的数学模型。
在块体模型中，结构体被视为由多个块体组成，块体之间通过界面相互作用。
常见的块体模型包拟采用弹性断裂力学模型和非线性断裂力学模型。
3.非连续变形分析块体模型建模方法3.1 块体离散方法块体离散方法是一种较常见且有效的建模方法。
它将结构体划分为多个块体，并假定块体之间可以发生滑动和断裂。
通过离散的方式将结构体的连续性近似转化为离散的非连续问题。
3.2 连续介质法与界面元法连续介质法和界面元法是直接对结构体进行建模的方法。
连续介质法将结构体视为连续的弹性体，通过求解连续介质力学方程来分析非连续变形问题。
界面元法则主要通过约束条件来描述结构体断裂面的行为。
4.非连续变形分析块体模型工程应用非连续变形分析块体模型在工程实践中有着广泛的应用。
例如，在地震工程中，块体模型可以用于预测地震过程中结构体的断裂行为。
在岩土工程中，块体模型可以用于分析土体在外部荷载作用下的破坏机理。
5.存在的问题与发展方向目前，虽然非连续变形分析块体模型已经取得了一些研究进展，但仍然存在一些问题。
岩土工程中的数值分析方法在研究生教学中的改革探讨
岩土工程中的数值分析方法在研究生教学中的改革探讨摘要：随着经济的飞速发展，城市地铁、穿湖隧道等岩土工程朝着“高、深、大”的方向发展，如何应用数值分析方法来模拟岩土工程设计或施工、为实际工程提供指导是研究的热点和重点，也是培养行业内专业人才的一个重要方向。
然而由于岩土工程中的数值分析方法涉及的计算方法繁多、理论知识抽象难懂、编程要求高等原因，导致教学困难。
本文基于多年的实践教学，从岩土体特性的复杂性及数值分析方法的局限性两方面分析了该课程的特点，阐述了各方法在使用时的优缺点，拓宽了学生的专业视野；总结了当前教学中存在的问题如教学内容单一、教学方法过于抽象、教学与实际工程脱节、学生条件和诉求差异性大等，最后从调动学生学习兴趣、培养学生编程习惯、组织学生小组讨论、进行工程实例教学及改变考核方式几方面提出了相应的教学改革方案。
1、引言根据岩土工程的定义可知，其主要研究对象是岩土体，通过利用、整治或改造岩土体性质来解决工程问题，按照工作内容可分为岩土工程勘察、岩土工程设计、岩土工程施工、岩土工程检测及岩土工程管理，各个环节紧密联系，不可分割；涉及的工程有地基工程、边坡工程、隧道工程、铁路工程、矿山工程、环境工程、城市地铁工程、水利水电工程、地下工程、军事工程、近海工程等。
在《2019-2025年中国岩土工程行业市场全景调研与竞争格局分析报告》[1]一书中，详细阐述了岩土工程行业在国民经济中的重要性、行业发展规划、行业发展对社会发展的影响，分析了行业主要技术人才的现状。
在岩土工程实施过程中常使用的方法有：监测、数值模拟、室内试验、模型试验等。
随着计算机的飞速发展，目前数值模拟由于其成本低、速度快等优点已成为各类工程中不可缺少的部分。
通过调研一些设计院及施工单位对行业专业人员的需求发现，缺少能熟练掌握大型数值计算软件及自己编程解决现场问题的专业技术人员，因此在高级专业技术人员教学中应倾向性的进行数值分析方法的教学。
数值分析-第三章小结
姓名 班级 学号第三章 非线性方程的数值解法一、学习体会本章主要介绍了非线性方程组的方程根的解法，求方程根的步骤，由于非线性方程组只有少数类型能解出根的解析表达式，只能用数值方法求出它的近似值。
求解非线性方程组的方法有作图法等，求根的方法有二分法、迭代法、牛顿法、割线法等。
在学习过程当中，我们要注意各种方法的特点与使用范围，针对不同场合下的非线性方程组，选择合适的方法有利于我们快速准确的得到所要求的结果。
二、知识梳理非线性方程的迭代解法1、对分法对分法的算法步骤如下：对k=0，1……，M 执行（1）计算k 2a kk x b +=； （2）()k f x ε<或者2k k b a ε-<则停止计算。
取s=k x ，否则转（3）； （3）若f(k a )f (k x )〈0，令k+1k+1k k a =b =a x ，，；若f(k a )f (k x )〉0则有k+1k+1k k a =b =b x ，，； （4）若k=M ，则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。
2、简单迭代法及其收敛性定理1：设函数()[,]x C a b ϕ∈,在(a,b)内可导,且满足两个条件:（1）当[,]x a b ∈时, ()[,]x a b ϕ∈；（2）当(,)x a b ∈时, |'()|1x L ϕ≤<, 其中L 为一常数。
则有如下结论:（1）方程=()x x ϕ在区间[,]a b 上有唯一的根s ；（2）对任取0[,]x a b ∈，简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x a b ⊂且收敛于s ；（3）成立误差估计式101|-|||1|-|||1kk k k k L s x x x L L s x x x L-≤--≤-- 定理2 设=()s s ϕ，'()x ϕ在包含s 的某个开区间内连续。
如果|'()|<1s ϕ，则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+时，由简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x s s δδ⊂-+且收敛于s 。
数值分析课件-第02章插值法
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。
非连续数值方法综述
非连续数值方法综述杨凡（河海大学水利水电学院，江苏南京210098）摘要：非连续问题是岩土及水利工程中不可避免的一类难题，由于其对工程的影响巨大，近几百年来特别近一个世纪以来一直是工程界研究的一个热门话题。
从最早的非连续问题解析解法—刚体极限平衡法出发，引申出近几十年来有关非连续问题研究的热点—非连续问题的数值解法，然后对这些非连续的数值方法的基本原理和实际应用发展情况进行一一综述。
关键词：非连续；数值方法；岩石和土都是经历过变形的地质体，受其成因、组成、结构、年代等诸多因素的影响，岩土材料具有高度的非连续性、非均匀性和各向异性的特征，在力学性质上表现出强烈的非线性。
岩土工程是一门综合应用岩石力学、土力学、工程地质学等基本知识解决实际工程中有关岩体与土体变形及稳定问题的学科[1]。
岩土工程中的非连续变形问题主要是由岩石及土体中不连续面的存在引起的，岩土工程问题中的不连续面大致可分为两类，一类是指存在于岩体中的节理、软弱夹层以及土体中的剪切破坏面，另一类则是岩土结构如各类基础、挡土结构、地下结构等与岩土体之间的接触面。
显然，不连续面对岩土体或结构的受力、变形有着重要的影响，因此为使计算结果真实地反映出岩土体及结构的受力和变形情况，在计算时不能忽视不连续面的存在[2]。
对于具有不连续面的结构，在承受荷载的过程中，不连续面的状态是在不断变化的，这将影响到两侧岩土体的应力和变形，从而影响到整个体系的应力场，而应力场的改变又影响到不连续面的状态。
因此，解决岩土力学问题的关键在于对非连续变形的模拟，分析研究结构中各种不连续面的构造特点和力学性能，研究其受力状态的变化规律及其对结构整体性能的影响是工程设计中的关键研究课题之一，具有很大的学术意义和实用价值[3]。
几百年来，人们对非连续变形问题作了大量的研究工作。
最早有关非连续问题的研究主要集中在寻求解析解的层面上。
1773年，法国科学家库伦在大量实验基础上总结了著名的库伦土压理论，刚性楔体和静力平衡的应用也为后续研究奠定了一个基调。
数值分析简述及求解应用
数值分析简述及求解应用摘要：数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，本文主要介绍了数值分析的一些求解方法的原理和过程，并应用在电流回路和单晶硅提拉过程中的，进一步体现数值分析的实际应用。
关键字：解方程组插值法牛顿法一、引言随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。
有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。
数值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。
运用数值分析解决问题的过程包括：实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。
在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题,方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。
如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解方程组问题。
在很多广泛应用的数学问题的数值方法中，如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解方程组。
在工程中常会遇到求解线性方程组的问题，解线性方程组的方法有直接法和迭代法，直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。
直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。
迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
将方程组的解看作是某极限过程的极限值，且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。
迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。
岩体非连续变形数值分析方法的特点及比较
计 算结果 ： 计算 中将 由断层 和构造 面切割 而成 的大块 体再进行划分 ， 以提 高计算精 度 。将其小 单元 界面 的力学
参 数给成与其相应坚硬岩石的参数 。以保证整体边坡 物理
特性不变 。边坡在岩体参数为参考值时没有大 的位移 和开
Ｄ Ａ 不连续变形分 析 ） 由石 根华 博 士提 出 的一种 Ｄ （ 是 新型数值分析方法 。 以 自然存在 的节理 面和断层切割 岩 它
是基 于 Ｄ Ａ方法分 Ｄ
析了重 力 坝 抗 滑 稳 定， 与 有 限元 方 法 进 行 比较， 并
将该方法用 于地表 变形分析 。
锦 屏一级三滩坝址边坡稳定分析计 算 作者利用 Ｄ Ａ程序对 锦屏一 级拱坝 三滩 坝址边 坡进 Ｄ 行了稳定计算。根据所提供的坝址地质资料 ， 选取 ＩＩ ． 地质
裂 ， 坡从 整体上是稳定的。逐渐降低 断层和层 面的物 即边
收 稿 日期 ：０ ８ ８ １ ２ ｏ —０ — ８ 作者简介 ： 林乐肃（ ９６ ， ， １６ 一） 女 山东威海市人 ， 高级工程师。
总第 １９ ２ 期
山 东 教 育 学 院 学 报
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移植 到固体力学 中， 将所研究 的区域划分成 网格 ， 网格 的节 点相 当于流体 的质 点 ， 后按 时 步研 究 网格节 点 的运 动 。 然 这种方法 适合于求解 非线 性 的大变形 问题 ， 按时 步采用 其
体形成不同的块体单元 ， 以各块体的位移作为未知量 ， 通过 块体间 的接触和几何约束形成一个块体 系统 。在块体运动 的过程 中， 严格 满足块体 间不侵入 。将 边界条 件 和接触条 件等一 同施加到 总体平衡方程 。总体平衡方程 由最小势能
岩 体 稳 定 性 分 析 一 直 是 岩 土 工 程 中一 个 重 要 问题 。 在
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秘书长：冯 春 姜 华 丛俊余 秘 书：程鹏达 杨 田 梁 萌 郝诗月
会议地点
华北水利水电大学花园校区（郑州市北环路 36 号）
学术委员会
主 席：郑 宏 副主席：庄 茁 章 青 李世海 委 员（按姓名首字母排序）： 白晓红 蔡永恩 蔡袁强 蔡正银 陈国兴 陈晓平 陈正汉 程展林 冯夏庭 冯云田 高玉峰 龚晓南 黄茂松 姜清辉 蒋明镜 焦玉勇 鞠 杨 孔令伟
李 晓 李海波 李建林 刘汉龙 马 巍 马国伟 马照松 彭建兵 盛 谦 唐春安 王建华 王金安 王玉杰 韦昌富 魏 群 吴锤结 吴梦喜 薛 强 杨 强 杨 庆 杨光华 姚仰平 张国新 乐金朝 朱大勇
组织委员会
主 席：魏 群 副主席：李世海 冯云田 委 员（按姓名首字母排序）： 白 冰 边学成 蔡国军 蔡国庆 曹子君 陈 盼 陈炜昀 程鹏达 丛俊余 戴北冰 董 毅 丰成君 冯 春 宫凤强 韩 非 韩鹏举 胡黎明 姜 华 雷华阳 李 涛（北交大）李 涛（天大） 李利平 李明宇 李长冬 梁正召 刘 丰 刘 磊 刘耀儒 卢 正 路德春 罗玉龙 马洪岭 马永政 梅国雄 缪青海 穆彦虎 欧阳朝军 潘鹏志 裴华富 彭校初 秦 冰 单鹏飞 上官云龙 申志福 苏荣华 孙冠华 孙文静 谈云志 唐朝生 王 斌 王 军 王 胤 王 勇 王洪新 王乐华 王者超 卫振海 魏厚振 吴志军 肖 杨 肖世国 许 领 薛富春 严成增 杨永涛 杨仲轩 姚志华 尹振宇 曾 铃 张 彬 张 朋 张 昭 张伏光 张璐璐 张振华 仉文岗 周 东 周 伟 周葆春 周跃峰 周志伟 朱鸿鹄 庄 妍 庄晓莹 左建平
中国·郑州 2018 年 4 月 20 日-4 月 22 日
会议简介
随着计算机技术的飞速发展，以数值模拟为主体的“现代力学”已逐渐成为力学发展 的主流。连续-非连续数值分析方法通过将连续元（有限元、有限体积、边界元、无网 格等）与非连续元（块体离散元、颗粒离散元等）进行有机结合，可以模拟地质体从弹 性、塑性、损伤到破裂、破碎、飞散、碰撞、堆积的全过程，是研究各类工程地质问题 的有效手段。为此，中国力学学会岩土力学专业委员会特举办本次“连续-非连续数值分 析方法及应用专题讨论会”，旨在为广大从事该数值方法研究及工程应用的专家学者及 青年学生提供交流学习的平台。此外，本次讨论会还得到了中国科学院力学研究所非连 续介质力学及工程灾害（中英）联合实验室、华北水利水电大学、北京极道成析方法及应用
专题讨论会
主办单位： 中国力学学会岩土力学专业委员会
承办单位： 华北水利水电大学 非连续介质力学及工程灾害（中英）联合实验室
协办单位： 北京极道成然科技有限公司 郑州大学 中电建路桥集团 中国科学院大学 中国水利水电科学研究院
支持单位（按首字母排序）： 北京交通大学 黄河勘测规划设计院有限公司 吉林建筑大学 辽宁工程技术大学 陕西省引汉济渭工程建设有限公司 西安交通大学 中国地质科学院地质力学研究所 中国钢结构协会 中国建筑金属结构协会钢结构分会 中国水力发电工程学会 中国水利学会水工结构专业委员会
数字图形介质与计算力学的融合系统 岩土工程大数据及云平台的构架与共享标准
重要时间节点
2018 年 2 月 14 日，提交论文摘要截止； 2018 年 3 月 15 日，发送论文摘要录用通知截止； 2018 年 3 月 15 日，发布会议注册通知； 2018 年 3 月 30 日，自愿提交论文全文（中、英文皆可）截止； 2018 年 4 月 10 日，注册缴费优惠截止； 2018 年 4 月 20 日，会议注册、报到； 2018 年 4 月 21 日-22 日，会议交流。 注： （1）本次会议将推荐优秀论文 8-10 篇至《ENGINEERING COMPUTATIONS》，请有意
参加优秀论文推荐的专家、学者及青年学生务必提交全文。 （2）论文摘要包括：标题、作者、单位、联系方式、论文内容简介等信息。 （3）论文摘要及全文的格式可参考《力学学报》的格式。 （4）会议将制作论文（摘要）集，非正式出版，仅供学术交流使用。 （5）摘要或者论文全文请发至邮箱 yangtian@ （6）会议咨询电话：丛俊余 15810994657
连续-非连续介质力学的基础理论及数值方法 地质力学模型概化及含复杂结构面地质体计算网格的快速剖分技术 地质体损伤、破裂及多裂纹扩展过程的定量化描述 流、固、热多场耦合下地质体损伤破裂过程的数值模拟方法 CPU/GPU 高效并行方法及在岩土工程大规模数值模拟中的应用 地震、降雨、库水涨落、人工开挖作用下边坡的稳定性分析及失稳成灾过程模拟 爆炸/冲击载荷下地质体的破碎及运动过程模拟 岩爆、冲击地压、煤与瓦斯突出过程的模拟 渗流破裂、水力压裂、冻融破裂过程的模拟 静、动载荷下工程结构损伤破裂过程分析 连续-非连续方法在岩土工程中的应用案例 人工智能技术与 BIM 技术的联合应用
本次专题讨论会将重点关注连续-非连续数值分析方法的理论体系、研究现状及发 展趋势，多场耦合及强动载荷下固体介质破裂、碎化及运动过程的模拟，连续-非连续 数值分析方法的高效并行加速技术及仿真软件，以及连续-非连续数值分析方法在岩土、 水电、交通、矿山、能源等领域的应用案例。
会议主题（包括但不限于）