对线性规划整点问题的探究(蒋政)
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在实际生活中，很多问题都可以归结为线性规划问题，例如资源分配、生产计划、运输调度等。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划问题的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法1、图解法对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以使用图解法来求解。
其步骤如下：（1）画出约束条件所对应的可行域。
（2）画出目标函数的等值线。
（3）根据目标函数的优化方向，平移等值线，找出最优解所在的顶点。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件所对应的可行域：对于$x ＋ 2y ＼leq 8$，当$x ＝ 0$时，＄y ＝ 4$；当$y ＝ 0$时，＄x ＝8$，连接这两点得到直线$x ＋2y ＝8$，并取直线下方的区域。
线性规划中的整点问题
o
x
武穴实验高中 杨耀平
例1、某人有楼房一座，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作 为旅游客房，大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客 每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每 名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房 间每间需600元。如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满 客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
12
：200x+150y=0，即4x+3y=0,
将直线l0平移到A点时z最大。
解方程组
6x 5y 60 5x 3y 40
得 A( 20 ,60 ) 77
4
2
4x+3y=0 0
x 2 4 6 8 10 12 14
6x+5y=60
y
5x+3y=4018
16
14
12
A 10
但当可行域较大、边界附近的整点较多时运算量较大
EX1:某学校预算2000元购买单价为100元的 桌子和40元的凳子，希望购买的桌凳总数尽 可能多，但凳子不少于桌子，且不多于桌子 的2倍，求该学校所购买的桌、凳数分别为多 少？
解：设学校购买的桌、凳数分别为x、y，总数为
z，则z= x+y,且x、y满足：
①平移直线寻找非整最优解；②调整最值，确定“目标直线” ③由“目标直线”方程代入约束条件，并求变量范围：④ 确 定“目标直线”上整数解。
但目标直线在向可行域内平移过程中，若需平移多次才能达 到目的，将十分麻烦。
方法二：整点验证法：
当可行域较小、边界附近的整点较少时可以用整点验证法； 将每个可能的整点代入目标函数确定最优解。
最新简单线性规划(整点解问题)复习课程
先经过的整点.
要求作图准确，易
出现模糊点，可操作
性不强！
怀化铁路第一中学
7.4简单的线型规划
②优值调整法:
当直线x+y=z 移至A(3.6,7.8)时, zmin=11.4, 由x,y取整数知: z 必为整数,
先将z调整为12, 即x+y=12, ∴ y=12-x或 x=12-y,
将y=12-x代入约束条件得：
分析:列
标牌类型 文字标牌 绘画标牌
规格类型
甲规格
1
2
乙规格
2
1
标牌需求量
2
3
面积 (m2 ) 3 2
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7.4简单的线型规划
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规格类型
甲规格
1
2
乙规格
2
1
标牌需求量
2
3
面积 (m2 ) 3 2
解: 设用甲种规格原料x张,乙种规格原料y张,所用总 面积为 z m2.则目标函数为z=3x+2y,
四、本课小结
寻找“整点”最优解的方法：
①打网格，平移找解法: ②优值调整法:
其步骤是 (1)寻找非整点最优解； (2)回调优值； (3)将回调优值代入线性约束条件，解x，y 范围，并找到整点(x,y) 注意：(1)回调时注意z的整除性； (2)可能需多次回调。
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3x4.5
x3,或x4,
yx93，
或yx
4 8
若调整z=12仍无整数解，应继续调整，直到找到为止.
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7.4简单的线型规划
第 一 已知 变：
线性规划中整点最优解的探究
线性规划中整点最优解的探究发表时间：2013-07-12T10:51:48.483Z 来源：《教育研究·教研版》2013年8月下供稿作者：陶晶[导读] 重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。
〔摘要〕在以往教材中，线性代数是大学期间的课程，高中的课程中只是少量接触，而在新教材高二年级的数学中新加了简单的线性规划的内容。
线性规划在数学中越来越受到重视，在高中数学中线性规划在对于解决最优惠最佳方法的应用题中体现出它独特的应用方法，帮助学生在领悟题型是对类型题的加深理解。
对学生在数学方面解决疑难问题也会起到开发性思维的拓展，有助于帮助学生开拓思路解答问题。
线性规划最优解教学中的一个难点。
〔关键词〕线性规划最优解可行域 1 平移找解法平移找解法在作出可行域后，描绘出整点，然后选择目标函数L=ax+y 平移该函数 L，直线L 最先经过或者最后经过的那个整点(x,y)便是整点最优解。
例1 某服装厂生产裙子和裤子两种产品，现有两种布料，第一种有72m2，第二种有 56m2，假设生产裙子和裤子都需要用两种布料，生产一条裙子和一条裤子所需布料如下表所示，每生产一条裙子可获利6 元，生产一条裤子可获利10 元，服装厂现有布料条件下，裙子和裤子各生产多少，获得利润最多。
解：设生产裙子x 条，生产裤子y 条，获取利润z 元，那么 0.18x+0.09y≤72 0.08x+0.28y≤56 嗓,x≥0， y≥0 解得z=6x+10y 如图所示，在不等式组图所表示的可行域作直线l: 6x+10y=0，即 3x+5y=0，把直线l 向右上方平移只l1 的位置时，直线经过可行域点M，且与原点距最大，此时z=6x+10y 取最大值。
解方程组 0.18x+0.09y=72 0.08x+0.28y=56 嗓，解得M 点坐标（350，100）答：应生产裙子350 条，裤子300 条，此时的利润是最大值。
本题的最优点恰为直线0.18x+0.09y =72 和0.08x+0.28y=56 的交点M。
探求《线性规划》中的整点最优解
探求《线性规划》中的整点最优解
许红卫
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2012(000)008
【摘要】简单的线性规划是高中教材《必修5》第3章第3节的内容,它有着较强的应用性.目前,随着高考改革的不断深人,增强对创新意识和实践能力的考查逐步被命题者正视起来.作为应用性很强的线性规划的理论,其考查力度也必将得到加强,要引起注意.因此有必要学好线性规划这部分知识.在教学过程中,一类涉及整点最优解的问题操作起来很不方便,且极易漏解.下面介绍一种寻找整点最优解的方法,供同学们参考.
【总页数】2页(P29-30)
【作者】许红卫
【作者单位】江苏省启东市吕四中学，226200
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.“线性规划中求整点的最优解问题”的解法规划 [J], 陈后万;
2.探求《线性规划》中的整点最优解 [J], 许红卫;
3.线性规划中的整点最优解 [J], 田继安;王国立
4.线性规划中整点最优解的求解策略 [J], 郭海鹰
5.也谈线性规划中整点最优解的一种处理方法 [J], 李平
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线性规划中整点最优解的求解策略
线性规划中整点最优解的求解策略作者：郭海鹰来源：《理科爱好者(教育教学版)》2018年第02期【摘要】随着中学数学教育的改革和发展，简单线性规划问题已经逐渐成为中学数学教学中的一个基本内容。
简单线性规划问题与我们的日常生活息息相关，它主要涉及人力、物力、资金等资源的最优配置。
在中学数学教学中，整点最优解问题是简单线性规划的核心内容，但教材对于具体的验算过程并没有作过多的描述，以致中学生在解题过程中对于具体的验算过程掌握还不够清晰。
在资料上也经常见到有关简单线性规划整点最优解问题的求解方法，如：网格法，穷举法，筛选法，最小距离法等。
本文将介绍利用平移法求整点最优解的两种具体的操作方法—平移交轨法，平移近值法。
【关键词】线性规划；平移；整点最优解【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】1671-8437（2018）10-0069-021 平移交轨法该方法主要是在平移直线过程中，利用直线间的交点来缩小最优值的存在范围，因此其主要思想是联立方程求解交点，然后确定最优解可能的存在范围。
例1 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：根据目标函数作出一组平行直线：x+y=t。
这些直线中经过可行域且和原点距离最近的直线，此直线经直线x+3y=27和2x+y=15的交点A（），此直线与原点的距离最近，z取得最小值，即：z= x+y=显然和都不是整数，而最优解中，x和y必须为整数，故A不是最优解，故将直线x+y= 向上平移到x+y=12，最优解可能存在于此直线上。
最优解必须在可行域内，故应求出直线2x+y=15和x+3y=27与x+y=12的交点：可得交点坐标为B（3，9），D（，），故有：3≤x≤这样便更进一步的缩小了x的范围，即x=3或4，将其代入x+y=12，可得y=9或8。
即（3，9）和（4，8）均为所求的最优解。
根据上述的分析解答过程，我们可以看到利用平移交轨法解题对于一般的简单线性规划问题都是适用的，其解题步骤如下：（1）设出所求的未知数，列出约束条件，建立目标函数；（2）作出可行域；（3）确定平移直线，寻找非整最优解；（4）联立方程求交点确定x或y的范围；（5）对x，y进行整点搜索，并确定整点解。
线性规划中整点最优解的求解策略
2018年第10期教育教学2SCIENCE FANS 线性规划中整点最优解的求解策略郭海鹰（秭归县第一中学，湖北…………宜昌…………443600）……【摘 要】随着中学数学教育的改革和发展，简单线性规划问题已经逐渐成为中学数学教学中的一个基本内容。
简单线性规划问题与我们的日常生活息息相关，它主要涉及人力、物力、资金等资源的最优配置。
在中学数学教学中，整点最优解问题是简单线性规划的核心内容，但教材对于具体的验算过程并没有作过多的描述，以致中学生在解题过程中对于具体的验算过程掌握还不够清晰。
在资料上也经常见到有关简单线性规划整点最优解问题的求解方法，如：网格法，穷举法，筛选法，最小距离法等。
本文将介绍利用平移法求整点最优解的两种具体的操作方法—平移交轨法，平移近值法。
【关键词】线性规划；平移；整点最优解【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】1671-8437（2018）10-0069-021 平移交轨法该方法主要是在平移直线过程中，利用直线间的交点来缩小最优值的存在范围，因此其主要思想是联立方程求解交点，然后确定最优解可能的存在范围。
例1…要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A 规格B 规格C 规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少?……（新教材63页例4）分析：这类问题涉及物资的优化配置，在任务一定的条件下，使物资用量最少。
设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，设所用钢板的张数为z 张，则：2x +y ≥15…x +2y ≥18…x +3y ≥27x ≥0，y ≥0｛目标函数为：z =…x +y 可行域如图所示（图1）…图1根据目标函数作出一组平行直线：x +y =t 。
这些直线中经过可行域且和原点距离最近的直线，此直线经直线x +3y =27和2x +y =15的交点A （518…539），此直线与原点的距离最近，z 取得最小值，即：z =...x +y = (5)57显然518和539都不是整数，而最优解中，x和y必须为整数，故A不是最优解，故将直线x +y = (557)向上平移到x +y =12，最优解可能存在于此直线上。
线性规划 高考题(蒋政)
线性规划高考题1.（全国）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥则y x z 3-=的最小值（ D ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-2.（北京）若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x yz +=的最小值是（ B ）A ．0B ．1CD ．93.（天津卷2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为D（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）54.（山东卷12）设二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+0142,080192y x y x y x ，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是(C)（A ）[1,3] (B)[2,10] (C)[2,9] (D)[10,9]5.（湖南卷3）已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是( C )A.2B.5C.6D.86.（陕西）已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ B ）A ．7B ．5C ．4D ．37.（全国）若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．98.（安徽）若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为749.（浙江）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于____________。
线性规划中的整点最优解
线性规划中的整点最优解在组织社会化生产、经营管理活动中，我们经常会碰到最优决策的实际问题。
而解决这类问题的现代管理科学以线性规划为其重要的理论基础，其本质都是寻求整个问题的某项整体指标的最优解。
但在实际问题中，最优解(x,y) 通常要满足x,y∈N ，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解 .1．平移找解法作出可行域后，先打网格，描出整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是整点最优解.例 1 有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于配套，怎样截最合理？分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再通过平移直线，使它经过整点的方法来求整点最优解．解：设截500mm的钢管x根，600mm的y根，总数为z根。
根据题意，得，目标函数为，作出可行域如图示阴影部分内的整点，要打出网格，描出整点，网格上的交叉点为整点．作一组平行直线x+y=t，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B（8，0）的直线，这时x+y=8.由于x,y为正整数，知（8，0）不是最优解。
显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7，可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．答：略．例 2 某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t支援物资的任务。
该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元。
请你们为该公司安排一下应该如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？解：设每天调出A型卡车x辆、B型卡车y辆，公司所花的成本为z元，则，目标函数z=320x+504y，作出可行域如图示阴影部分内的整点，打出网格，描出整点，网格上的交叉点为整点．作L0：320x+504y=0，往上平移直线L，当直线经过可行域内的点A（7.5，0）时可使Z 最小，但 A不是整点，继续往上平移，最先经过的整点是（8，0）．即只调配A 型卡车，所花最低成本费z=320×8=2560（元）．答：略．这种方法首先要充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当其可行域是有限区域且整点个数又较少，通常可行域是封闭的多边形，这时可以通过平移直线找到最优解．2．调整优值法先求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．例3 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需z张则作出可行域如图示阴影部分内的整点，目标函数为z =x+y．作出一组平行直线x+y=t, 其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线 x +3y=27 和直线 2x+y=15 的交点A（），直线方程为x+y= . 由于都不是整数，所以（）不是最优解 .当时， z=11 ，可知当时，，令 x+y=12,y=12-x代入约束条件，可得，所以 x=3 或 4 ，即经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=12, 经过的整点是 B(3,9) 和C(4,8), 它们都是最优解.答: 要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种:第一种截法是截第一种钢板3张.第二种钢板9张;第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张.两种方法都最少要截两种钢板共12张．例4 某人承揽一项业务：需做文字标牌2个，绘画标牌3个。
谈线性规划中_整点最优解_处理方法
图5
图6
以上介绍求可行域内整点最优解的方法 各有长处 . 网格法只须准确作图 , 没有计算上 的麻烦 ; 筛选法侧重于计算但可免去画图之 ( 责审 劳 . □ 余炯沛)
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( 中学生数学》 《 2001 ( 1 上) :7 , 2002 ( 2 上) :11) 生5 原三篇文章利用 Cauchy 不等式或建 立参数方程推证 . 我构造向量 , 设 Q ( x , y ) 在 l
生4 构造 m = { 1 ,
— →
— →
x - 1} , x-
n ={
1
x = 1 + ( x - 1) = | m | ( x-
4
中 学 生 数 学 2003 年 1 月上
谈线性规划中 “整点最优解” 处理方法
江苏省建湖高级中学 ( 224700) 徐国文 现行高中数学教材新增设了线性规划的 内容 , 并开设了研究性课题 : 线性规划的实际 应用 . 但教材中寻找整点最优解的方法介绍得 笼统 , 不易掌握与操作 , 使寻找整点最优解成 为了学习中的难点 . 本人据第六十五页习题 7 . 4 第 4 题介绍两种求整点最优解的方法 , 供同 学们学习中参考 : 引例 某 人 有 楼 户 一 幢 , 室 内 面 积 共 180m2 , 拟分隔成两类房间作为旅游客房 , 大房 间每间面积 18m2 , 可住游客 5 名 , 每名游客每 天住宿费为 40 元 ; 小房间每间面积为 15m2 , 可
运用简单线性规划思想理解求最值问题(好)(蒋政)
运用简单线性规划思想理解求最值问题简单线性规划是高中数学教学的新内容之一，是解决一些在线性约束条件下的线性目标函数的最值（最大值或最小值）的问题。
它是运筹学的一个重要内容，对于形成最优化思想有着重要的作用，并且在实际生产活动中也有着广泛的应用，可以实现对资源的最佳利用。
简单线性规划只能解决一些二元线性约束下条件下的二元函数的最值问题，但它的思想可以延伸到其他的数学最值问题的求解过程中。
简单线性规划的基本思想即在一定的约束条件下，通过数形结合求函数的最值。
解决问题时主要是借助平面图形，运用这一思想能够比较有效地解决一些二元函数的最值问题。
本文将从规划思想出发来探讨一些高中数学中一些常见的函数最值问题。
一、 线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标(),x y 即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即简单线性规划的最优解。
例1 已知4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，2z x y =+，求z 的最大值和最小值约束条件：4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ ，是关于,x y 的一个二元一次不等式组； 目标函数：2z x y =+，是关于,x y 的一个二元一次函数；可行域：是指由直线43x y -=-，3525x y +=和1x =所围成的一个三角形区域（包括边界）U（如图1）；可行解：所有满足(),x y U ∈（即三角形区域内（包括边界）的点的坐标）实数,x y 都是可行解； 最优解：(),x y U ∈，即可行域内一点(),x y ，使得一组平行线0x y z +-=（z 为参数）中的z 取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标(),x y 就是线性规划的最优解。
探索线性规划中整点最优解问题
探索线性规划中整点最优解问题作者：肖志坚来源：《新教育时代·学生版》2017年第34期摘要：在普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五3.3.2“简单的线性规划问题”内容中，在求整点最优解的问题上，教材和教参的处理方法，只是在“最优解”的基础上进行“调整”，得到整点最优解。
而“调整”方法不具一般性，学生在解答这类问题时，思维混乱、无法可依。
本文针对线性规划整点最优解问题，在谋求解决问题的通性通法方面作了一点探讨，抛砖引玉。
关键词：整点最优解可操作性《简单的线性规划问题》一节，是高中数学的新增内容。
通过对这一节的学习，让学生掌握简单线性规划的基本思想和基本方法，有利于培养学生科学、严谨的学习品质，提高学生分析和解决实际问题的能力，进一步拉近了数学和社会生活之间的距离。
我认为，学习本节内容，重点在于应用，解决实际问题，提高学生的数学素养。
而在实际问题中，整点问题又较为普遍.教材对整点问题也有涉及，同时也为学习者留下很大的思维发展空间。
在教学中，我发现不少学生最怕遇到线性规划整点最优解问题。
于是，我沉入到此类问题中去，寻求解决问题的一般办法，整理出一种操作性较强的解题方法，为叙述方便，暂且称为“最优解区域法”。
其解题的基本思路是：（1）划定最优解区域。
就是要尽量缩小题设中的可行域，使缩小后的可行域，不但含有题目要求的整点最优解，而且其所含的整点数较少。
（2）求整点。
即是求出最优解区域中的所有整点坐标（很少的几个）。
（3）验证得结果。
将在最优解区域中求得的所有整点，代入目标函数，逐个验证得到整点最优解。
下面从“求可行域内的整点”、“最优解区域”和“最优解区域法的应用”等三个方面来具体阐述“最优解区域法”。
一、求可行域内的整点在求线性规划中整点最优解时，需要在最优解区域内找出整点最优解，即是将最优解区域内的所有整点都找出来，逐个去验证，才可以避免遗漏整点最优解。
因为最优解区域是封闭的，所含整点不多，在找整点时，通常可采用分离取整讨论法求解。
高中数学解题方法系列：线性规划中整点问题的4种方法
高中数学解题方法系列：线性规划中整点问题的4种方法线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用。
新教材中增加了线性规划的内容，充分体现了数学的实际应用，发展了学生的数学应用意识。
由于实际问题中线性规划问题的最优解多为整数解，也是学生学习线性规划的难点，因而求线性规划的整数最优解的方法就显得尤为重要了。
但教材中对此类问题却一带而过，对于具体的验算过程并没有作必要的描述，以致学生在解题过程中对于具体的验算过程掌握还不够清晰。
例：要将两种大小不同的的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如表所示，今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。
解：设需要截第一种钢板x 张，第二张钢板y 张，则21521832700x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪⎪≥⎩，作出可行域（如图所示）,目标函数为z x y =+，作出在一组平行直线x y t +=中（t 为参数）经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线327x y +=和直线215x y +=的交点1839(,)55A ，直线方程为5721155x y +==，由于183955和都不是整数，而最优解(,)x y 中，x ，y 必须都是整数，所以可行域内点1839(,)55A 不是最优解。
经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是12x y +=且经过的整点是B （3，9）和C （4，8），它们都是最优解。
答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张。
两种方法都最少要截两种钢板共12张。
线性规划问题中的整点最优解是教学中的一个难点，教材中利用图解法比较直观有效地突破了这一难点，但其中有两个问题需要弄清楚：直线12x y +=是怎样确定的？整点B （3，9）和C （4，8）又是怎样确定的？在求最优解时，我们是将平行直线:l x y t +=向可行域内平移，在向右上方平移时，t 的值是增加的，而经过1839(,)55A 点的直线为5721155x y +==，当t 值增加的过程中，其最小值是12，所以与原点距离最近的直线可能是12x y +=。
也谈线性规划中的整点问题
也谈线性规划中的整点问题作者：徐建东来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2011年第11期摘要：线性规划在实际生活中有着广泛的应用，新教材中增加了线性规划的内容，体现了数学的实际应用，发展了学生的数学应用意识. 由于实际背景所限，所求的问题可能会在整数的前提条件下才有实际意义，本文为笔者在教学实践和研究中归纳的解决这类问题的两种行之有效的方法，供大家参阅.关键词：线性规划；整点问题；格点微调；最值微调线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用. 新教材中增加了线性规划的内容，充分体现了数学的实际应用，发展了学生的数学应用意识. 常见的类型有二类：第一类，给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，才能使完成的任务量最大；第二类，给定一项任务，问怎样统筹安排，才能使完成这项任务的人力、物力资源最小. 由于实际背景所限，所求的问题会在整数的前提条件下才有实际意义，笔者在教学中经过多次的教学实践和研究，找到了解决这类问题的方法，以下是笔者在教学实践和研究中归纳的行之有效的方法，供大家参考参阅.【问题】两类药片有效成份如下：■若要求至少提供12 mg阿司匹林，70 mg小苏打，28 mg可待因，两类药片的最小总数是多少？怎样搭配价格最低？【解法一】（格点微调法）经分析，假设A，B类药片分别使用x，y片.用药的总数为P片，价格总数为Q元，则线性约束条件为2x+y≥12，5x+7y≥70，x+6y≥28，x，y∈N■*. 线性目标函数为P=x+y，Q=0.1x+0.2y.我们可根据以上线性约束条件画出如下的可行域：对于线性目标函数P=x+y，我们的目标是求P的最小值，我们将线性目标函数作一变形得y=－x+P，此时的P代表的是斜截式直线方程y=kx+b中的参数b，即直线在纵轴上的截距，显然要求P的最小值，只要求直线y=－x+P在纵轴上的截距的最小值即可.为了作图的方便，我们可以先令P=0，得到线性目标函数的初始状态线P0，然后将初始状态线P0逐步向可行域平行移动，直到得到线性目标函数线满足题意为止，我们将此时的位置称为理论理想位置.我们发现此时线性目标函数在点A■，■处取得理论最小值，但显然此时的理论最小值并不符合题意（整点）的要求，故要将目标函数线继续向可行域的右上方移动. 我们可以从图形上发现，最靠近A■，■点的整点有B（1，10），C（2，9），D（3，8）等，而且我们发现线性目标函数在此三点处同时取得实际最小值11，从而我们就找到了三个最优解B（1，10），C（2，9），D（3，8）.【解法二】（最值微调法）仿照解法一，我们可以根据线性约束条件画出可行域，同时我们发现线性目标函数在点A■，■处取得理论最小值P=x+y=■+■=■，因题中要求x，y∈N*，故此时的理论最小值显然没有实际意义，故我们应该在此理论最小值的基础之上通过微调找到实际最小值，显然实际最小值应该比理论最小值要大一点，故可取比理论最小值稍大一点的最小整数作为可能的实际最小值，此处我们可取P=x+y=11，将其变形得y=11－x，重新回代入线性约束条件可得2x+（11－x）≥12，5x+7（11－x）≥70，x+6（11－x）≥28，x，（11－x）∈N*， ?圯x≥1，x≤■，x≤■，x，（11－x）∈N*， ?圯1≤x≤■，x∈N*. ，故x可取的值有三个：1，2，3.即满足题意的最优解为B（1，10），C（2，9），D（3，8）.读者可以仿照以上解法解答第二小问. 当然第二小问的目标函数应该变形为Q=0.1（x+2y）后在微调（真正起决定性作用的是因式x+2y）在遇到线性规划的整点问题时，我们通常的处理办法就是上面的两种. 对于解法一，因找整点画网格线比较麻烦又不够精确，所以我们只在格点较少、网格线易画的前提条件下才会采用. 对于解法二，必须理解两个最值：理论最值和实际最值，当所求的最值为最大值时，如果得到的理论最大值没有实际意义，则应该适当调小理论最大值得到可能的实际最大值；同理当所求的最值为最小值时，如果得到的理论最小值没有实际意义，则应该适当调大理论最小值得到可能的实际最小值. 在可能的实际最小（大）值的基础之上还应将线性目标函数回代入线性约束条件验证求解，如找不到最优解，则再次调大（小）可能实际最小（大）值后再回代，直到找到符合题意的实际最值为止.。
线性规划问题
线性规划问题线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束下的最优化问题。
早在20世纪40年代，线性规划就被广泛应用于军事、经济、运输等领域。
随着计算机技术的发展，线性规划在实际问题中的应用变得更加广泛。
线性规划问题由目标函数、约束条件以及决策变量组成。
目标函数是我们要最小化或最大化的数值量，约束条件是问题的限制条件，决策变量是我们需要确定的变量。
线性规划的数学模型可以表示为：最小化（或最大化）：C^T * X约束条件为：AX ≤ B, X ≥ 0其中，C是目标函数的系数向量，X是决策变量的向量，A是约束条件的系数矩阵，B是约束条件的右侧常数向量。
线性规划问题的求解方法主要有单纯形法和内点法。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断移动基变量和非基变量来寻找最优解。
内点法则通过寻找内点来逼近最优解，相比于单纯形法，内点法在高维问题上更有优势。
线性规划问题的应用非常广泛。
例如，在生产计划中，我们需要考虑资源的有限性和生产过程中的约束条件，通过线性规划可以优化生产计划，使生产成本最低。
在供应链管理中，线性规划可用于优化货物的选择和运输方式，最大化利润。
在金融领域，线性规划可用于投资组合分配的优化，以达到风险最小化或收益最大化。
线性规划的应用也面临一些挑战。
首先，线性规划问题的求解可能非常耗时，特别是在高维情况下。
其次，线性规划的模型只适用于线性问题，无法处理非线性的问题。
最后，线性规划问题的结果可能依赖于输入参数的准确性，如果参数不准确，可能导致结果的偏差。
为了克服这些挑战，研究人员一直在不断改进线性规划算法。
一些改进包括使用启发式算法来加速求解过程，使用混合整数线性规划来处理离散决策变量，以及引入鲁棒线性规划来处理参数不确定性。
总之，线性规划是一种强大的数学工具，可以用于解决各种实际问题。
虽然线性规划问题存在一些挑战，但通过不断改进算法和方法，我们可以提高线性规划的求解效率和准确性，使其在实际应用中发挥更大的作用。
浅谈_线性规划中的整点最优解_的几种求法
２０１０年第１６期
文学教育研究
浅谈“线性规划中的整点最优解”的几种求法
顾钰萍 （湖州中学浙江湖州３１３０００）
（（简单的线性规划问题》是高中数学教材必修５第三章《不 等式》的内容。求线性目标函数的最值问题是本节的重点，也是 本节的难点。课本给出了三个典型例题来介绍实际的线性规划 问题。其中例５和例６代表了第一类线性规划问题：给定一项任 务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源最 小。例７代表了第二类线性规划问题：给定一定数量的人力、物 力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大。其 中例６是一个求整点最优解的问题，更是线性规划问题的一个 难点中的难点。 在实际教学过程中我发现学生很难理解教材给出的解答 过程，不知道课本给出的最优解是如何得到的。经过实际的教 学研究和资料查阅我得到几种寻求“线性规划中的整点最优 解”的方法。 一．网格法寻找整点最优解 网格法寻找整点最优解是最容易让学生理解接受的一种 方法。该方法的本质是直线的平移，但它并非一步一步的平移， 而是在非整点最优解附近搜索，同时结合网格，赢接找出附近 的整点来减小搜索范围，从而求出整点最优解。 例：某人有楼房一幢，室内面积共１８０ｍ２，拟分隔成两类房 间作为旅游客房，大房间每间面积为１８肌：，可住游客５名，每名 游客每天住宿费为４０元；小房间每间面积为１５所：，可住游客３ 名，每名游客每天住宿费为５０元・装修大房间每间需１０００元，装 修小房间每间需６００元。如果他只能筹款８０００元用于装修，且游 客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最 大收益？ 解：设隔出大房间间ｘ，小房间问Ｙ，收益为元ｚ，则 解：设隔出大房间间ｘ，小房间间Ｙ，收益为元ｚ，则
淞．
得Ａ（挈，竿），但不是整数解。此时：２００×２０，＋ｌ ５０×竿
对_如何寻找_线性规划问题_的整点最优解_一文具体操作中的补充和完善
2001 年 第 10 期 数学通报
对 “如何寻找 《线性规划问题》 的整点最优解” 一文具体操作中的补充和完善
文吉华 ( 江西吉水中学
贵刊 2000 年第 3 期刊登了山西省代县中学校 安培录同志的 “如何寻找 《线性规划问题》 的整点 最优解” 一文 ( 以下简称 — — —原文) , 对线性规划 问题中整点最优解提出了三种解法 . 但在具体操作中 , 有些地方可以加以补充和 完善 . 这三种方法都要作出可行域 , 然后 , 在寻找 最优解过程中 , 要打网格 , 所以 , 宜提倡用数学中 的坐标纸来作图 . 在 “原文”例 1 解法一中写道 : “将直线 l 1 向下平移至 l 2 的位置时 , 直线 l 2 最先 经过可行域上的整点 B ( 0 , 12) 和 C ( 3 , 8) 且使 z = 200 x + 150 y 取得最大值” , 现将具体操作方法 说明如下 .
331600)
应的点为最优解 , 此法即通过图象观察检验 . 第二 种方法 , 当从图上不易观察得到可行域内哪个整 点离 l“ , 即若整点 M ( x1 , y 1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) 都 1 最近” 有可能离 l“ , 这时 , 需通过计算检验 , 可在 1 最近” l 1 上取点 ( x 1 , y3 ) 和 ( x2 , y 4) , 计算 | y 1 - y3 | 与 | y2 - y4 | 的大小 , 此法即通过图象计算检验 .
ln x
x
=- ∞ .
x ϖ0
过函数 f ( x ) = x x 性质的讨论也可得出方程 a = x 根的分布规律 . 函数 f ( x ) = x x ( x > 0) 有如下性质 : ( 1) 当 0 < x < e 时 , f ( x ) 递增 ; 当 x > e 时
【教育资料】第三章 3.3.2 第2课时学习精品
第2课时 线性规划的整数解和非线性规划问题学习目标 1.了解实际线性规划中的整数解求法.2.会求一些简单的非线性规划的最优解. 知识点一 非线性约束条件思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(x －a )2＋(y －b )2≤r 2的可行域.答案梳理 非线性约束条件的概念：约束条件不是二元一次不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件.知识点二 非线性目标函数思考 在问题“若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，求z ＝y －1x －1的最大值”中，你能仿照目标函数z ＝ax ＋by 的几何意义来解释z ＝y －1x －1的几何意义吗？ 答案 z ＝y －1x －1的几何意义是点(x ，y )与点(1,1)连线的斜率.梳理 下表是一些常见的非线性目标函数.1.可行域内的整点指横坐标、纵坐标均为整数的点.(√)2.目标函数z ＝x 2＋y 2的几何意义为点(x ，y )到点(0,0)的距离.(×)3.目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.(×) 类型一 生活实际中的线性规划问题例1 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元.已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时.问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数) 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题解 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x 件，y 件，获取的利润为z 百元，则z ＝2x ＋y (百元)，⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋2y ≤24，x ＋y ≤5，5y ≤15，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤12，x ＋y ≤5，y ≤3，x，y ∈N ，作出可行域，如图阴影部分中的整点，由图可得O (0,0)，A (0,3)，B (2,3)，C ⎝⎛⎭⎫72，32，D (4,0).平移直线y ＝－2x ＋z ，又x ，y ∈N ，所以当直线过点(3,2)或(4,0)时，z 有最大值.所以工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大. 反思与感悟 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.跟踪训练1 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才是最好的选择？考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题解 设桌子、椅子分别买x 张，y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤32x ，x ∈N ，y ∈N .由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ＝2 000，y ＝32x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点坐标为⎝⎛⎭⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752， O ()0，0为顶点的三角形区域(含边界)(如图)，由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内经过点B ⎝⎛⎭⎫25，752时取得最大值， 但注意到x ∈N ，y ∈N ，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择. 类型二 非线性目标函数的最值问题命题角度1 斜率型目标函数例2 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值.考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值解 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示， 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，故z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，由图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小， 又∵B (0,2)，C (1,0)，∴z max ＝k MB ＝3，z min ＝k MC ＝12.∴z 的最大值为3，最小值为12.引申探究1.把目标函数改为z ＝3y ＋12x ＋1，求z 的取值范围.解 z ＝32·y ＋13x ＋12，其中k ＝y ＋13x ＋12的几何意义为点(x ，y )与点N ⎝⎛⎭⎫－12，－13连线的斜率. 由图易知，k NC ≤k ≤k NB ，即29≤k ≤143，∴13≤32k ≤7，∴z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，7. 2.把目标函数改为z ＝2x ＋y ＋1x ＋1，求z 的取值范围.解 z ＝2(x ＋1)＋y －1x ＋1＝y －1x ＋1＋2.设k ＝y －1x ＋1，仿例2解得－12≤k ≤1.∴z ∈⎣⎡⎦⎤32，3. 反思与感悟 对于形如cx ＋dy ＋f ax ＋b 的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题.跟踪训练2 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x的取值范围是( )A.[－1,0]B.(－∞，0]C.[－1，＋∞)D.[－1,1)考点 题点 答案 D解析 作出可行域阴影部分，如图所示，y －1x 的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行， ∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1).命题角度2 两点间距离型目标函数例3 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值. 考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值解 z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形(例2图)知，原点到点A 的距离最大，原点到直线BC 的距离最小. 故z max ＝|OA |2＝13，z min ＝⎝⎛⎭⎫|OB |·|OC ||BC |2＝⎝⎛⎭⎪⎫2×152＝45.反思与感悟当两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用.跟踪训练3 变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围. 考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值 解 由约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2). (1)因为z ＝y x ＝y －0x －0，所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率. 观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29， 即2≤z ≤29.(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到点(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝5－(－3)＝8. 所以16≤z ≤64.1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 C解析 设购买软件x 片，磁盘y 盒， 则⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3，x ∈N *，y ≥2，y ∈N *，画出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示.落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点.即有7种选购方式.2.已知点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10B.8C.16D.10 考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值 答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如图(阴影部分含边界)所示，易得A (1,1)，|OA |＝2， B (2,2)，|OB |＝22， C (1,3)，|OC |＝10. ∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2 ＝(10)2＝10.3.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________. 考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值 答案 3解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界).z ＝y －1x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连线的斜率.由图可知z ＝y －1x －1的最大值为k AB ＝3. 4.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为______.考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值 答案 12解析 实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分(含边界)所示， 则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12. 1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范.2.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，应结合可行域与目标函数微调.3.对于非线性目标函数，应准确翻译其几何意义，如x 2＋y 2是点(x ，y )到点(0,0)的距离的平方，而非距离. 一、选择题1.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A.2 000元B.2 200元C.2 400元D.2 800元考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 B解析 设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元， 根据题意，得线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤8，y ∈N .求线性目标函数z ＝400x ＋300y 的最小值， 可行域如图阴影部分(含边界)所示，解得当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时，z 有最小值，且z min ＝2 200(元).2.已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A.[－1,0] B.[0,1] C.[0,2]D.[－1,2]考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最优解 答案 C解析 作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示， 因为OA →·OM →＝－x ＋y .所以设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知过点P (1,1)时，z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0； 过点Q (0,2)时，z 有最大值，z max ＝0＋2＝2， 所以OA →·OM →的取值范围是[0,2].3.某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( ) A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元D.24万元考点 线性目标函数的最值问题 题点 求线性目标函数的最值 答案 B解析 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，z ＝0.4x ＋0.6y .可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图象知，目标函数z ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝60，y ＝32x ，得A (24,36)， ∴z max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元). 4.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则2y ＋2x ＋1的最大值是( ) A.5 B.6 C.8 D.10考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值 答案 D解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，y ＋1x ＋1的几何意义是点M (－1，－1)与可行域内的点P (x ，y )连线的斜率，当点P 移动到点N (0,4)时，斜率最大，最大值为4－(－1)0－(－1)＝5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋2x ＋1max ＝2×5＝10.故选D.5.设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A.－3B.－2C.－1D.0 考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 答案 A解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，由图可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大为6，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ，x －y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k ，即点A (k ，k )，∴z ＝k ＋k ＝6，得k ＝3.当直线y ＝－x ＋z 经过点B 时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ＝3，x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3，即点B (－6,3)，此时z 的最小值为－6＋3＝－3. 6.设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y x ＋xy的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤13，103 B.⎣⎡⎦⎤13，52 C.⎣⎡⎦⎤2，52 D.⎣⎡⎦⎤2，103 考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求非线性目标函数最值问题综合 答案 D解析 令k ＝yx，则y ＝kx (因为x ≠0，所以k 存在)，直线y ＝kx 恒过原点，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，当直线y ＝kx 过点A (1,2)时，斜率有最大值2；当直线y ＝kx 过点B (3,1)时，斜率有最小值13，所以斜率k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，2，又z ＝y x ＋x y ＝k ＋1k ，当k ∈⎣⎡⎦⎤13，1时，z ＝k ＋1k 为减函数；当k ∈[1,2]时，z ＝k ＋1k 为增函数，可得z 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2，103，故选D. 7.若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( ) A.－3 B.－2 C.－1D.0考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 C解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0).当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，5个整点.再加上a ＝0时的四个整点，共9个整点，故选C. 二、填空题8.某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ，y ∈N *，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________. 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 90解析 先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －11y ＝－22，2x ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.5，y ＝4.5，但x ∈N *，y ∈N *，结合图知当x ＝5，y ＝4时，z max ＝90.9.实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是________.考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值 答案 ⎣⎡⎦⎤－1，13 解析 如图，画出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0的解(x ，y )构成的可行域△ABO ，求得B (2,2)，根据目标函数的几何意义是可行域上一点(x ，y )与点(－1,1)连线的斜率， 可求得目标函数的最小值为－1，最大值为13.故ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，13. 10.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________.考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值 答案 5解析 令z ＝x 2＋y 2，画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示， 令d ＝x 2＋y 2，即可行域中的点到原点的距离， 由图得d min ＝1＋4＝5，∴z min ＝d 2＝5.三、解答题11.某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成A ，B 两种规格的小袋，每袋大米可同时分得A ，B 两种规格的小袋大米的袋数如表所示：已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为5袋和10袋，市场急需A ，B 两种规格的成品数分别为15袋和27袋.问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需A ，B 两种规格的成品数，且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少？(要求画出可行域) 考点 线性规划中的整点问题题点 线性规划中的整点问题解 设需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为x ，y ，所用的袋装大米的总袋数为z ，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15，x ＋3y ≥27，0≤x ≤5，0≤y ≤10，z ＝x ＋y (x ，y 为整数)，作出可行域D 如图阴影部分(含边界)所示.从图中可知，可行域D 的所有整数点为(3,9)，(3,10)，(4,8)，(4,9)，(4,10)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，共8个点.因为目标函数为z ＝x ＋y (x ，y 为整数)，所以在一组平行直线x ＋y ＝t (t 为参数)中，过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝12，其经过的整点是(3,9)和(4,8)，它们都是最优解.所以，需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为3,9或4,8可使所用的袋装大米的袋数最少.12.设非负实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，2x ＋y ≤5，(2,1)是目标函数z ＝ax ＋3y (a >0)取最大值时的最优解，求a 的取值范围.考点 线性规划中的参数问题题点 线性规划中的参数问题解 作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分含边界)，由z ＝ax ＋3y (a >0)，得y ＝－a 3x ＋z3，因为当直线z ＝ax ＋3y (a >0)过P (2,1)时，z 取最大值，所以由图可知－a3≤－2，所以a ≥6，所以a 的取值范围是[6，＋∞).13.已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围.考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求非线性目标函数最值问题综合解 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9). (1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方， 过M 作AC 的垂线，易知垂足N 在AC 上， 故|MN |＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322.∴|MN |2＝⎝⎛⎭⎫3222＝92，∴z 的最小值为92.(2)z ＝2·y －⎝⎛⎭⎫－12x －(－1)表示可行域内的点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线斜率的2倍， ∵k QA ＝74，k QB ＝38，∴z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，72. 四、探究与拓展14.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x ＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.(－∞，－1]B.[－1，＋∞)C.[－1,1]D.[－1,1)考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 答案 C解析 由题意作出可行域，如图(阴影部分含边界)所示，由图易知a ≤1.x ＋2y ≥－5恒成立可化为图中的阴影部分恒在直线x ＋2y ＝－5的右上方，即点A 在直线x ＋2y ＝－5上或其右上方.易知A 点坐标为(a ，a －1)，所以a ＋2(a －1)≥－5，所以实数a 的取值范围为[－1,1]. 15.若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则z ＝2|x |＋y 的最大值为( )A.12B.11C.7D.8考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求非线性目标函数最值问题综合 答案 B解析 满足条件的不等式组所表示的平面区域为如图(阴影部分)所示的△ABC 及其内部，其中A (6，－1)，B (0,1)，C (－2，－1)，z ＝2|x |＋y 可转化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，z ＝2x ＋y 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，z ＝－2x ＋y .①当z ＝2x ＋y (x ≥0)且目标函数的图象经过点A (6，－1)时，z 取得最大值，z max ＝11； ②当z ＝－2x ＋y (x <0)且目标函数的图象经过点C (－2，－1)时，z 取得最大值，z max ＝3. 综上可知，z ＝2|x |＋y 的最大值为11，故选B.。
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对线性规划整点问题的探究
一、精确图解法求整数最优解 ( 课本P88习题16 )
某运输公司有7辆载重量为6t 的A 型卡车与4辆载重量为10t 的B 型卡车，有9名驾驶员。
在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务。
已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费A 型车160元，B 型车252元。
每天派出A 型车和B 型车各多少辆公司所花的成本费最低？
解：设每天派出A 型车x 辆、B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元，则
0x 70y 4x y 9
68x 106y 360x,y Z ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨⎪⨯⨯+⨯⨯≥⎪∈⎪⎩即0x 70y 4
x y 94x 5y 30x,y Z
≤≤⎧⎪≤≤⎪
⎪
+≤⎨⎪+≥⎪∈⎪⎩ z=160x+252y. 如图可行域是ABCD 围成的区域，
作直线160x+252y=0，图形中两直线160x+252y=0和4x+5y=30接近平行， 比较直线斜率k=160252-
>-4
5
, 平移直线160x+252y=0，由图可知在A （7，
2
5
）处取到最小值，但A 不是整数解。
在可行域内共有（3，4），（4，3），（4，4），（5，2），（5，3），（6，2），（6，3），（7，1），（7，2）整数解，经检验只有（5，2）是最优解，此时z=160×5+252×2=1304元。
这种方法适用于区域是封闭区域，且区域内的整数点可数，坐标网络画出来容易在图上识别哪些整点在可行域内。
二、利用近似解估算整数最优解 (课本P63例4)
要将两种不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且所使用钢板张数最少。
解：设需截取第一种钢板x 张，第
二种钢板y 张，则
2x y 15x 2y 18x 3y 27x,y 0,x,y N
+≥⎧⎪+≥⎪
⎨
+≥⎪⎪≥∈⎩ 目标函数z=x+y,
如图可行域是阴影部分，目标函数在A 点取到最优解。
解方程组
x 3y 272x y 15+=⎧⎨
+=⎩
得A （185，39
5） 但不是整数解，
规格类型 钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 2018
16
14
12
10
8
6
4
2
-15-10-5
51015
x+y=12
x+3y=27
x+2y=18
2x+y=15
A
B
C
D
E
x
O
y
x+y=9 4x+5y=3
160x+252y=0 A
B
C D
此时,z=
185+395=575
, 则在可行域内取到整数解的z=12.
即经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是 x+y=12，则整点一定在B 、C 之间。
解方程组x y 12
2x y 15+=⎧⎨
+=⎩
，得B （3，9）；
解方程组x y 12x 3y 27
+=⎧⎨
+=⎩，得C （92，152）；则整点的横坐标3≤x ≤9
2，
所以满足条件的最优解是（3，9），（4，8）.
本来近似解z=
575，而57
5=11.4也不约等于12，学生不理解为什么z=12。
这不是近似解约等于多少的问题，而是由于575不是可行域内的整数解，可行域内的整数解至少要大于57
5。
这种方法先由图解法观察出最优解在哪个点处取到，再由精确值估算出整数解，一定注意整数解的估算不
是四舍五入取整，而是在可行域内的整数解。
三、利用解不定方程的原理求整数最优解
例2．求下列区域内整数点的个数x 0y 03x 4y 96.≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
解：如图区域是阴影部分的直角三角形，把它补为矩形。
则矩形区域内的整点有33×25=825个。
而线段AB 上的整点（含端点）是不定方程3x+4y=96的非负整数解。
又x=32-4y
3
,则y 一定被3整除，满足条件的y 有0，3，6…，24共9个，即线段AB 上的整点有9个。
则阴影部分区域内的整点有8259
92
-+=417个。
四、利用穷举法求整数最优解 课本P65习题7.4第4题
某人有楼房一幢，室内面积共180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元。
如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？ 解：设隔出大房间x 间，小房间y
18x 15y 1801000x 600y 8000x,
y 0,x,y Z +≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥∈⎩
z=200x+150y
如图可行域是阴影部分，
作直线L ：200x+150y=0，即4x+3y=0, 将直线L 平移到A 点时与原点距离最大。
解方程组
6x 5y 605x 3y 40+=⎧⎨
+=⎩
得A （2060
,77），但不是整数解。
此时z=200×
206015077+⨯=1300018577
≈。
又z=200x+150y=50（4x+3y ），则z 取到的最优解一定被50整除，则z 的最大值是1850。
即4x+3y=37，又4x+3y=37的所有整数解是（1，11），（4，7）（7，3）， 而（1，11）不满足6x+5y ≤60，舍去； （4，7）不满足5x+3y ≤40，舍去； （7，3）不满足5x+3y ≤40，舍去。
所以z 的最大值不可能是1850。
则z 的最大值可能是1800、1750、1700…，直到在可行域内找到满足条件的最优解。
若z=1800，即4x+3y=36，又4x+3y=36的所有整数解是（0，12），（3，8）（6，4），（9，0），经检验只有（0，12），（3，8）在可行域内，所以当x=0,y=12或x=3,y=8时，z 取到最大值1800。
这种方法就是穷举法，首先对z 的可能取到的整数解进行尝试，对所有可能的整数解验证它是否在可行域内，才能准确不漏的找到所有的最优解。