对线性规划整点问题的探究(蒋政)

对线性规划整点问题的探究

一、精确图解法求整数最优解 ( 课本P88习题16 )

某运输公司有7辆载重量为6t 的A 型卡车与4辆载重量为10t 的B 型卡车，有9名驾驶员。在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费A 型车160元，B 型车252元。每天派出A 型车和B 型车各多少辆公司所花的成本费最低？

解：设每天派出A 型车x 辆、B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元，则

0x 70y 4x y 9

68x 106y 360x,y Z ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨⎪⨯⨯+⨯⨯≥⎪∈⎪⎩即0x 70y 4

x y 94x 5y 30x,y Z

≤≤⎧⎪≤≤⎪

⎪

+≤⎨⎪+≥⎪∈⎪⎩ z=160x+252y. 如图可行域是ABCD 围成的区域，

作直线160x+252y=0，图形中两直线160x+252y=0和4x+5y=30接近平行， 比较直线斜率k=160252-

>-4

5

, 平移直线160x+252y=0，由图可知在A （7，

2

5

）处取到最小值，但A 不是整数解。 在可行域内共有（3，4），（4，3），（4，4），（5，2），（5，3），（6，2），（6，3），（7，1），（7，2）整数解，经检验只有（5，2）是最优解，此时z=160×5+252×2=1304元。

这种方法适用于区域是封闭区域，且区域内的整数点可数，坐标网络画出来容易在图上识别哪些整点在可行域内。

二、利用近似解估算整数最优解 (课本P63例4)

要将两种不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且所使用钢板张数最少。 解：设需截取第一种钢板x 张，第

二种钢板y 张，则

2x y 15x 2y 18x 3y 27x,y 0,x,y N

+≥⎧⎪+≥⎪

⎨

+≥⎪⎪≥∈⎩ 目标函数z=x+y,

如图可行域是阴影部分，目标函数在A 点取到最优解。解方程组

x 3y 272x y 15+=⎧⎨

+=⎩

得A （185，39

5） 但不是整数解，

规格类型 钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 2018

16

14

12

10

8

6

4

2

-15-10-5

51015

x+y=12

x+3y=27

x+2y=18

2x+y=15

A

B

C

D

E

x

O

y

x+y=9 4x+5y=3

160x+252y=0 A

B

C D

此时,z=

185+395=575

, 则在可行域内取到整数解的z=12.

即经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是 x+y=12，则整点一定在B 、C 之间。 解方程组x y 12

2x y 15+=⎧⎨

+=⎩

，得B （3，9）；

解方程组x y 12x 3y 27

+=⎧⎨

+=⎩，得C （92，152）；则整点的横坐标3≤x ≤9

2，

所以满足条件的最优解是（3，9），（4，8）.

本来近似解z=

575，而57

5=11.4也不约等于12，学生不理解为什么z=12。这不是近似解约等于多少的问题，而是由于575不是可行域内的整数解，可行域内的整数解至少要大于57

5

。

这种方法先由图解法观察出最优解在哪个点处取到，再由精确值估算出整数解，一定注意整数解的估算不

是四舍五入取整，而是在可行域内的整数解。

三、利用解不定方程的原理求整数最优解

例2．求下列区域内整数点的个数x 0y 03x 4y 96.≥⎧⎪

≥⎨⎪+≤⎩

解：如图区域是阴影部分的直角三角形，把它补为矩形。则矩形区域内的整点有33×25=825个。 而线段AB 上的整点（含端点）是不定方程3x+4y=96的非负整数解。

又x=32-4y

3

,则y 一定被3整除，满足条件的y 有0，3，6…，24共9个，即线段AB 上的整点有9个。 则阴影部分区域内的整点有8259

92

-+=417个。

四、利用穷举法求整数最优解 课本P65习题7.4第4题

某人有楼房一幢，室内面积共180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元。如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？ 解：设隔出大房间x 间，小房间y

18x 15y 1801000x 600y 8000x,

y 0,x,y Z +≤⎧⎪

+≤⎨⎪≥∈⎩

z=200x+150y

如图可行域是阴影部分，

作直线L ：200x+150y=0，即4x+3y=0, 将直线L 平移到A 点时与原点距离最大。 解方程组