2021届高考数学核按钮【新高考广东版】微专题一 聚焦新题型之结构不良试题
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则－28k＋111＜0， －28k＋111＜－56k＋194，
所以 k＞12181，且 k＜2883，所以不存在 k 符合题意．
选③，因为 S5＝－25 时，a5＝－1，所以 d＝2，a1＝－9， 同理求得22kk－ ＞97＜ ，0，所以72＜k＜92，所以存在 k＝4 符合题意． 方法二：选①，在等差数列{an}中，a5＝－1，a2＝b1＋b3＝－10， 所以 d＝3， 所以 an＝3n－16，此时存在 k＝4，使 ak＋1＝a5＜0，ak＋2＝a6＝2＞0， 即存在 k＝4 符合题意． 选②，同理可得 an＝－28n＋139，此时{an}为递减数列， 所以不存在正整数 k 符合题意． 选③，同理可得 an＝2n－11，此时存在 k＝4，使 ak＋1＝a5＜0， ak＋2＝a6＝1＞0，即存在 k＝4 符合题意．
若选③：S99－S55＝a5－a3＝2，即 2d＝2，d＝1，又 a3＝7，故 an＝n＋4， 所以 cn＝ana1n＋1＝（n＋4）1（n＋5）＝n＋1 4－n＋1 5，
c1＋c2＋…＋cn＝15－16＋16－17＋…＋n＋1 4－n＋1 5＝15－n＋1 5，
点拨 本题考查等差数列和等比数列基本量的运算，是高考 必考内容，无论选择哪个条件，目的都是为了找到数列{an}的通 项公式，由于每个学生的视角不同，所以题目虽然基础，但需要 学生能迅速作出选择．本题是新高考模拟卷中一道典型的是“结 构不良型”试题，具有一定的开放性、探究性．选择计算量更小 的关系完善方程(组)，从而求出相关数列，再进行探究．此题型 是新高考题型探索中比较成熟的成果之一，应给予一定的关注．
则 cn＝ana1n＋1＝（2n＋1）1（2n＋3）＝122百度文库1＋1－2n1＋3，
所以 c1＋c2＋…＋cn＝12[13－15＋15－17＋…＋2n1＋1－2n1＋3]＝1213－2n1＋3，
假设存在整数 t，使对任意 n∈N*，1213－2n1＋3＞6t0恒成立， 则需6t0＜1213－2n1＋3min＝115，即 t＜4，故存在整数 t 满足条件，且 t 的最大值为 3.
第第一一章章
集合集与合常与用常逻用辑逻用辑语用语
微专题一：聚焦新题型之结构不良试题
《中国高考评价体系》中的“四翼”——基础性、综合性、 应用性、创新性，回答了高考“怎么考”的问题．高考数学的创 新性强调对知识的灵活运用，通过命制开放性试题、结构不良试 题，发挥选拔功能，同时，合理创设情境，设置新颖的试题呈现 方式和设问方式，促使学生主动思考，善于发现新问题、找到新 规律、得出新结论．结构不良试题主要指试题的目标、条件和解 决三者中至少有一个没有明确界定的问题．将结构不良试题进行 问题表征，即将题目设置的探索创新情境抽象成常规数学问题模 型，是解决问题的关键．
解：根据题意，因为 b2＝3，b5＝－81，{bn}是等比数列， 所以 b1＝－1，q＝－3，所以 bn＝－(－3)n－1，由 b1＝a5， 得 a5＝－1， 方法一：选①，b1＋b3＝a2 时，a2＝－10，又 a5＝－1，所 以 d＝3，a1＝－13， Sk＝－13k＋k（k－2 1）×3＝32k2－229k，
若选②：由 an＋1(an＋1＋an－3)－2an(an＋3)＝0 得，(an＋1＋2an)(an＋1－an－3)＝0， 则 an＋1－an＝3，知 d＝3. 又 a3＝7，故 an＝3n－2，
所以 cn＝ana1n＋1＝（3n－2）1（3n＋1）＝133n1－2－3n1＋1，
c1＋c2＋…＋cn＝13[1－14＋14－17＋…＋3n1－2－3n1＋1]＝131－3n1＋1， 假设存在整数 t 使对任意 n∈N*，131－3n1＋1＞6t0恒成立， 则需6t0＜131－3n1＋1min＝14，即 t＜15，故存在整数 t 满足条件，且 t 的最大值为 14.
例 1 (2020 届山东新高考模拟考)在①b1＋b3＝a2， ②a4＝b4，③S5＝－25 这三个条件中任选一个，补充在 下面问题中，若问题中的 k 存在，求 k 的值；若 k 不存 在，说明理由．
设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，{bn}是等比数列， ________，b1＝a5，b2＝3，b5＝－81，是否存在 k，使得 Sk＞Sk＋1 且 Sk＋1＜Sk＋2?
解：设数列{an}的公差为 d，数列{bn}的公比为 q，由题意知， b4b5＝b2q2·b2q3＝4q5＝128，则 q5＝32，q＝2，所以 bn＝2n－1. b4＝23＝8，所以 a3＝b4－1＝7. 若选①：由 a1，a3－1，a4＋3 成等比数列，得 (a3－1)2＝a1(a4＋3)，即(7－1)2＝(7－2d)(10＋d)， 解得 d＝2 或 d＝－127(舍)，故 an＝2n＋1，
变式 1 (原创题)在①a1，a3－1，a4＋3 成等比数列；②an＋1(an＋1＋an －3)－2an(an＋3)＝0；③S99－S55＝2 这三个条件中任选一个，补充在下面问 题中，若问题中的 t 存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由． 设正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，________，{bn}是等比数列，且 b2 ＝2，b4b5＝128，b4－1＝a3，设 cn＝ana1n＋1，是否存在整数 t，对任意的 n∈N* 都有 c1＋c2＋…＋cn＞6t0恒成立？若存在，求出 t 的最大值；若不存在，请 说明理由．
所以 Sk＋1＝32k2－229k＋3k－13，Sk＋2＝32k2－229k＋6k－23，
要使 Sk＋1＜Sk，且 Sk＋1＜Sk＋2. 则33kk－ －1133＜ ＜06，k－23，所以130＜k＜133，所以存在 k＝4 符合 题意．
选②，a4＝b4 时，a5＝－1，a4＝b4＝27. 所以 a1＝111，d＝－28，所以 Sk＝125k－14k2， 所以 Sk＋1＝125k－14k2－28k＋111， 所以 Sk＋2＝125k－14k2－56k＋194， 要使 Sk＋1＜Sk，且 Sk＋1＜Sk＋2.
所以 k＞12181，且 k＜2883，所以不存在 k 符合题意．
选③，因为 S5＝－25 时，a5＝－1，所以 d＝2，a1＝－9， 同理求得22kk－ ＞97＜ ，0，所以72＜k＜92，所以存在 k＝4 符合题意． 方法二：选①，在等差数列{an}中，a5＝－1，a2＝b1＋b3＝－10， 所以 d＝3， 所以 an＝3n－16，此时存在 k＝4，使 ak＋1＝a5＜0，ak＋2＝a6＝2＞0， 即存在 k＝4 符合题意． 选②，同理可得 an＝－28n＋139，此时{an}为递减数列， 所以不存在正整数 k 符合题意． 选③，同理可得 an＝2n－11，此时存在 k＝4，使 ak＋1＝a5＜0， ak＋2＝a6＝1＞0，即存在 k＝4 符合题意．
若选③：S99－S55＝a5－a3＝2，即 2d＝2，d＝1，又 a3＝7，故 an＝n＋4， 所以 cn＝ana1n＋1＝（n＋4）1（n＋5）＝n＋1 4－n＋1 5，
c1＋c2＋…＋cn＝15－16＋16－17＋…＋n＋1 4－n＋1 5＝15－n＋1 5，
点拨 本题考查等差数列和等比数列基本量的运算，是高考 必考内容，无论选择哪个条件，目的都是为了找到数列{an}的通 项公式，由于每个学生的视角不同，所以题目虽然基础，但需要 学生能迅速作出选择．本题是新高考模拟卷中一道典型的是“结 构不良型”试题，具有一定的开放性、探究性．选择计算量更小 的关系完善方程(组)，从而求出相关数列，再进行探究．此题型 是新高考题型探索中比较成熟的成果之一，应给予一定的关注．
则 cn＝ana1n＋1＝（2n＋1）1（2n＋3）＝122百度文库1＋1－2n1＋3，
所以 c1＋c2＋…＋cn＝12[13－15＋15－17＋…＋2n1＋1－2n1＋3]＝1213－2n1＋3，
假设存在整数 t，使对任意 n∈N*，1213－2n1＋3＞6t0恒成立， 则需6t0＜1213－2n1＋3min＝115，即 t＜4，故存在整数 t 满足条件，且 t 的最大值为 3.
第第一一章章
集合集与合常与用常逻用辑逻用辑语用语
微专题一：聚焦新题型之结构不良试题
《中国高考评价体系》中的“四翼”——基础性、综合性、 应用性、创新性，回答了高考“怎么考”的问题．高考数学的创 新性强调对知识的灵活运用，通过命制开放性试题、结构不良试 题，发挥选拔功能，同时，合理创设情境，设置新颖的试题呈现 方式和设问方式，促使学生主动思考，善于发现新问题、找到新 规律、得出新结论．结构不良试题主要指试题的目标、条件和解 决三者中至少有一个没有明确界定的问题．将结构不良试题进行 问题表征，即将题目设置的探索创新情境抽象成常规数学问题模 型，是解决问题的关键．
解：根据题意，因为 b2＝3，b5＝－81，{bn}是等比数列， 所以 b1＝－1，q＝－3，所以 bn＝－(－3)n－1，由 b1＝a5， 得 a5＝－1， 方法一：选①，b1＋b3＝a2 时，a2＝－10，又 a5＝－1，所 以 d＝3，a1＝－13， Sk＝－13k＋k（k－2 1）×3＝32k2－229k，
若选②：由 an＋1(an＋1＋an－3)－2an(an＋3)＝0 得，(an＋1＋2an)(an＋1－an－3)＝0， 则 an＋1－an＝3，知 d＝3. 又 a3＝7，故 an＝3n－2，
所以 cn＝ana1n＋1＝（3n－2）1（3n＋1）＝133n1－2－3n1＋1，
c1＋c2＋…＋cn＝13[1－14＋14－17＋…＋3n1－2－3n1＋1]＝131－3n1＋1， 假设存在整数 t 使对任意 n∈N*，131－3n1＋1＞6t0恒成立， 则需6t0＜131－3n1＋1min＝14，即 t＜15，故存在整数 t 满足条件，且 t 的最大值为 14.
例 1 (2020 届山东新高考模拟考)在①b1＋b3＝a2， ②a4＝b4，③S5＝－25 这三个条件中任选一个，补充在 下面问题中，若问题中的 k 存在，求 k 的值；若 k 不存 在，说明理由．
设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，{bn}是等比数列， ________，b1＝a5，b2＝3，b5＝－81，是否存在 k，使得 Sk＞Sk＋1 且 Sk＋1＜Sk＋2?
解：设数列{an}的公差为 d，数列{bn}的公比为 q，由题意知， b4b5＝b2q2·b2q3＝4q5＝128，则 q5＝32，q＝2，所以 bn＝2n－1. b4＝23＝8，所以 a3＝b4－1＝7. 若选①：由 a1，a3－1，a4＋3 成等比数列，得 (a3－1)2＝a1(a4＋3)，即(7－1)2＝(7－2d)(10＋d)， 解得 d＝2 或 d＝－127(舍)，故 an＝2n＋1，
变式 1 (原创题)在①a1，a3－1，a4＋3 成等比数列；②an＋1(an＋1＋an －3)－2an(an＋3)＝0；③S99－S55＝2 这三个条件中任选一个，补充在下面问 题中，若问题中的 t 存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由． 设正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，________，{bn}是等比数列，且 b2 ＝2，b4b5＝128，b4－1＝a3，设 cn＝ana1n＋1，是否存在整数 t，对任意的 n∈N* 都有 c1＋c2＋…＋cn＞6t0恒成立？若存在，求出 t 的最大值；若不存在，请 说明理由．
所以 Sk＋1＝32k2－229k＋3k－13，Sk＋2＝32k2－229k＋6k－23，
要使 Sk＋1＜Sk，且 Sk＋1＜Sk＋2. 则33kk－ －1133＜ ＜06，k－23，所以130＜k＜133，所以存在 k＝4 符合 题意．
选②，a4＝b4 时，a5＝－1，a4＝b4＝27. 所以 a1＝111，d＝－28，所以 Sk＝125k－14k2， 所以 Sk＋1＝125k－14k2－28k＋111， 所以 Sk＋2＝125k－14k2－56k＋194， 要使 Sk＋1＜Sk，且 Sk＋1＜Sk＋2.