矩阵连乘算法

福州大学数学与计算机科学学院

《计算机算法设计与分析》上机实验报告（2）

i<=k

综上，有递推关系如下：

若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为

(A[i:k])(A[k+1:j)。从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，进一步递推，A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为

(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]] )。同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在

s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去，最终可以确定

A[1:n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。

3、动态规划迭代算法设计：

用动态规划迭代方式解决此问题，可依据其递归式自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只需简单检查一下，从而避免了大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。

4、算法代码：

1.//3d1-2 矩阵连乘动态规划迭代实现

2.//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25

3.//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}

4.#include "stdafx.h"

5.#include

ing namespace std;

7.

8.const int L = 7;

9.

10.int MatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p);

11.void Traceback(int i,int j,int **s);//构造最优解

12.

13.int main()

14.{

15.int p[L]={30,35,15,5,10,20,25};

16.

17.int **s = new int *[L];

18.int **m = new int *[L];

19.for(int i=0;i

20. {

21. s[i] = new int[L];

22. m[i] = new int[L];

23. }

24.

25. cout<<"矩阵的最少计算次数为：

"<

26. cout<<"矩阵最优计算次序为："<

27. Traceback(1,6,s);

28.return 0;

29.}

30.

31.int MatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p)

32.{

33.for(int i=1; i<=n; i++)

34. {

35. m[i][i] = 0;

36. }

37.for(int r=2; r<=n; r++) //r为当前计算的链长（子问题规

模）

38. {

39.for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//n-r+1为最后一个r链的

前边界

40. {

41.int j = i+r-1;//计算前边界为r，链长为r的链的后

边界

42.

43. m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];//将链

ij划分为A(i) * ( A[i+1:j] )

44.

45. s[i][j] = i;

46.

47.for(int k=i+1; k

48. {

49.//将链ij划分为( A[i:k] )* (A[k+1:j])

50.int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]

*p[j];

51.if(t

52. {

53. m[i][j] = t;

54. s[i][j] = k;

55. }

56. }

57. }

58. }

59.return m[1][L-1];

60.}

61.

62.void Traceback(int i,int j,int **s)

63.{

64.if(i==j) return;

65. Traceback(i,s[i][j],s);

66. Traceback(s[i][j]+1,j,s);

67. cout<<"Multiply A"<

68. cout<<" and A"<<(s[i][j]+1)<<","<

69.}

上述迭代算法的运行过程如下图所示：

当R=2时，先迭代计算

出： m[1:2]=m[1:1]+m[2:2}+p[0]*p[1]*p[2]；

m[2:3]=m[2:2]+m[3:3]+p[1]*p[2]*p[3];