矩阵连乘算法
动态规划-(矩阵连乘)
12
4、构造最优解
void MatrixChain::Traceback(int i, int j) {
if(i==j) { cout<<'A'<<i; return;} if (i<s[i][j]) cout<<'('; Traceback(i, s[i][j]); if (i<s[i][j])cout<<')'; if(s[i][j]+1<j)cout<<'('; Traceback(s[i][j]+1, j); if(s[i][j]+1<j) cout<<')'; } void MatrixChain::Traceback() { cout<<'('; Traceback(0, n-1); cout<<')'; cout<<endl; }
②当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n ③当i<j时，m [ i ] j ] [ m [ i ] k ] [ m [ k 1 ] j ] [ p i 1 p k p j
这里 A i 的维数为 pi1pi
∴可以递归地定义m[i][j]为：
m [i]j] [ m i k j{ m [i]n k [ ] m [k 0 1 ]j] [ p i 1 p kp j}i i j j
根据MatrixChain动态规划算法： ②计算m[i][j]数乘次数
m[2][5]=min m[2][2]+m[3][5]+p1p2p5=13000
矩阵连乘问题的算法
矩阵连乘问题的算法
一、矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指在矩阵计算中，给定n个矩阵，求这n个矩阵的连乘积的最优解问题。
矩阵连乘问题既可以用于组合优化，也可以用于信息处理系统中查找最优路径的搜索算法。
它是最基本的组合优化问题。
二、矩阵连乘问题的算法
1. 动态规划法：动态规划法是求解矩阵连乘问题的常用算法。
它采用递归方法，将原问题分解为若干个子问题，然后求出各子问题的最优解，最后组合出原问题的最优解。
2. 贪心算法：贪心算法是一种经典的最优化算法，也可以用于求解矩阵连乘问题，即通过某种启发式规则，在每一步中都使最优决策，最终得到最优解。
3. 分支定界法：分支定界法是一种由搜索算法和界定法相结合而成的最优化算法，也可以用于求解矩阵连乘问题。
该算法按照树状的层次结构，向下搜索一个在每一步骤都使得当前最优的路径，然后上溯形成最优解。
4. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种搜索算法，它可以用于求解矩阵连乘问题。
它采用一种模拟物理过程的原理，通过不断地改变解的状态，以求出相对最优解。
- 1 -。
矩阵连乘算法
输入矩阵A输入矩阵B输出矩阵C=(A*B)代码：#include<stdio.h>#define MAX 32int martixminus(int a[][MAX],int b[][MAX],int c[][MAX],int s) {int i,j;for(i=0;i<s;i++){for(j=0;j<s;j++)c[i][j]=a[i][j]-b[i][j];}return 0;}int martixadd(int a[][MAX],int b[][MAX],int c[][MAX],int s) {int i,j;for(i=0;i<s;i++){for(j=0;j<s;j++)c[i][j]=a[i][j]+b[i][j];}return 0;}int part(int a[][MAX],int a11[][MAX],int a12[][MAX],inta21[][MAX],int a22[][MAX],int s){int i,j,k;k=s/2;for(i=0;i<k;i++){for(j=0;j<k;j++){a11[i][j]=a[i][j];a12[i][j]=a[i][j+k];a21[i][j]=a[i+k][j];a22[i][j]=a[i+k][j+k];}}return 0;}int Strassen(int a[][MAX],int b[][MAX],int c[][MAX],int s){int A11[MAX][MAX],A12[MAX][MAX],A21[MAX][MAX],A22[MAX][MAX], B11[MAX][MAX],B12[MAX][MAX],B21[MAX][MAX],B22[MAX][MAX],M1[MAX][MAX],M2[MAX][MAX],M3[MAX][MAX],M4[MAX][MAX],M5[MAX][MAX], M6[MAX][MAX],M7[MAX][MAX],temp[MAX][MAX],temp2[MAX][MAX];int i,j,k;k=s/2;if(s==1){c[0][0]=a[0][0]*b[0][0];return 0;}part(a,A11,A12, A21, A22,s);part(b,B11,B12, B21, B22,s);martixminus( B12, B22, temp,k);Strassen( A11, temp, M1,k);martixadd( A11, A12, temp,k);Strassen( temp,B22, M2,k);martixadd( A21, A22, temp,k);Strassen( temp, B11 ,M3,k);martixminus( B21, B11, temp,k);Strassen( A22, temp, M4,k);martixadd( A11, A22, temp,k);martixadd( B11, B22, temp2,k);Strassen( temp, temp2, M5,k);martixminus( A12, A22, temp,k);martixadd( B21, B22, temp2,k);Strassen( temp, temp2, M6,k);martixminus( A11, A21, temp,k);martixadd( B11, B12, temp2,k);Strassen( temp, temp2, M7,k);for(i=0;i<k;i++)for(j=0;j<k;j++){c[i][j]=M5[i][j]+M4[i][j]+M6[i][j]-M2[i][j];c[i][j+k]=M1[i][j]+M2[i][j];c[i+k][j]=M3[i][j]+M4[i][j];c[i+k][j+k]=M5[i][j]+M1[i][j]-M3[i][j]-M7[i][j];}return 0;}int main(){int i,j,k,n,m;int martix1[MAX][MAX],martix2[MAX][MAX],martix3[MAX][MAX];scanf("%d",&m);for(i=0;i<m;i++){scanf("%d",&n);for(j=0;j<n;j++){for(k=0;k<n;k++)scanf("%d",&martix1[j][k]);}for(j=0;j<n;j++){for(k=0;k<n;k++)scanf("%d",&martix2[j][k]);}Strassen( martix1, martix2, martix3,n);for(j=0;j<n;j++){for(k=0;k<n-1;k++)printf("%d ",martix3[j][k]);printf("%d\n",martix3[j][k]);}}return 0;}。
矩阵连乘
例如，我们可以按M1(M2(M3M4))的方式去计算， 也可以按(M1(M2M3))M4的方式去计算，所得结果是 相同的。 但是值得注意的是， 按前一方式计算需要做125,000次乘法， 而按后一方式计算只需要做2,200次乘法。 由此可见，矩阵连乘的运算次序对于所需要的计算量 （所需乘法次数）有着极大的影响。 M3M4：50*1*100=5,000；M2(M3M4)： 20*50*100=100,000 M1(M2(M3M4))：10*20*100=20,000 (M2M3)：20*50*1=1000； (M1(M2M3))： 10*20*1=200 ； (M1(M2M3))M4：10*1*100=1000
记第t个矩阵Mt的列数为rt，并令rt-1为矩阵Mt的行数。 则Mi┅Mk连乘所得是ri-1×rk维矩阵， Mk+1┅Mj连乘所得是rk×rj维矩阵， 故这两个矩阵相乘需要做ri-1×rk×rj次乘法 由于在此之前我们已知 任一个规模不超过j-i的矩阵连乘所需的最少乘法次数， 故(Mi┅Mk)和(Mk+1┅Mj)所需的最少乘法次数已知， 将它们分别记之为mik和mk+1,j。 形为(Mi⋯Mk)(Mk+1⋯Mj)的矩阵连乘所需的最少乘法 次数为：mik+mk+1,j + ri-1×rk×rj。
矩阵的乘
矩阵相乘只有在第一个矩阵的列数和第二个矩 阵的行数相同時才有定义。假如A为m×n矩阵， B为n×p矩阵，则他們的乘AB(有时记做A · B) 乘 会是一个m×p矩阵。 例如一个2x3的矩阵 与一个 3x2的矩阵的乘会 是一个2x2的矩阵 。
例子
1 -1 3 1 x 2 1 1 0 1 [3 1] + 0 [2 1]+ 2 [1 0] -1 [3 1] + 3 [2 1]+ 1 [1 0] [3 1 ] + [0 0 ] + [2 0] [-3 -1]+ [6 3 ] + [1 0] 5 1 4 2 0 3 2 1
三个矩阵连乘的运算顺序
三个矩阵连乘的运算顺序三个矩阵的连乘运算顺序是一项非常重要的算法问题，也是线性代数中的一个基础知识点。
当需要进行多个矩阵的乘法运算时，我们必须仔细考虑其顺序，方能得到正确的结果。
在三个矩阵连乘的运算中，如果我们的三个矩阵分别为A、B、C，那么其连乘的运算顺序可表示为A*B*C。
当然，在实际运算时我们必须根据不同的矩阵值、维度、特点等进行适当的选择和调整。
首先，我们需要明确一点的是，矩阵之间的乘法不满足交换律。
即A*B不一定等于B*A。
因此，在确定三个矩阵的连乘顺序时，不能随意更改矩阵的次序。
其次，我们需要知道的是，在矩阵连乘中，括号的插入顺序也会影响乘积的结果。
例如，在下列三个矩阵连乘的式子中：A*B*C我们可以将括号插入在不同位置，从而改变乘积的顺序：(A*B)*C 或 A*(B*C)无论我们选择哪种运算顺序，必须遵循以下原则：（1）维度要匹配，即 A 的列等于 B 的行，B 的列等于 C 的行，否则无法进行乘法运算。
（2）考虑到普遍的缓存机制，矩阵乘积的运算也应遵循空间局部性原则，即让内存和缓存可以重复利用。
在三个矩阵连乘问题中，求连乘的最小值并不总是我们所关心的问题。
我们所追求的是找出一种运算顺序，可以最好地满足我们需要的计算效率、空间复杂度、命令级并行度等需求。
因此，我们需要在规定的维度和空间限制下，尝试不同的运算次序，以获得最优结果。
总之，在三个矩阵的连乘运算中，我们需要综合考虑多种因素，包括矩阵的特点、维度、空间和时间限制等，以确定最优的运算顺序。
只有在正确的运算顺序下进行矩阵乘法运算，才能得到准确、快速、高效的结果。
矩阵连乘问题方程
矩阵连乘问题方程
矩阵连乘问题是一个经典的优化问题，涉及到多个矩阵的乘法操作。
为了提高计算效率，我们需要找到一种最优的矩阵乘法顺序，使得计算成本最低。
假设我们有一组矩阵A1, A2, ..., An，它们需要进行连乘操作，即C = A1 * A2 * ... * An。
我们需要找到一种最优的乘法顺序，使得计算矩阵C 的成本最低。
根据矩阵乘法的性质，我们可以知道以下规律：
1. 矩阵的乘法满足结合律，即(A * B) * C = A * (B * C)。
2. 矩阵的乘法不满足交换律，即A * B 不一定等于B * A。
因此，我们不能简单地将矩阵按照任意顺序进行连乘，而是需要寻找一种最优的乘法顺序。
一种常见的解决方法是使用动态规划算法。
我们可以定义一个二维数组dp[i][j]，表示前i 个矩阵进行连乘，最终得到矩阵j 的最小计算成本。
然后我们遍历所有可能的矩阵乘法顺序，更新dp 数组的值。
最终，dp[n][j] 的值就是我们要求的最小计算成本。
下面是具体的算法步骤：
1. 初始化dp 数组为一个n 行j 列的全零数组。
2. 遍历所有可能的矩阵乘法顺序，对于每个顺序，计算当前乘法操作的成本，并更新dp 数组的值。
3. 最后，dp[n][j] 的值就是我们要求的最小计算成本。
需要注意的是，由于矩阵的维度可能很大，导致可能的矩阵乘法顺序非常多，因此这个问题的计算复杂度是非常高的。
在实际应用中，我们通常会使用一些启发
式算法来近似最优解。
矩阵连乘
一、矩阵连乘（动态规划、备忘录）1、矩阵连乘给定n个矩阵{A1，A2，…，An}，其中Ai与Ai+1可乘的，i=1,2，…，n-1。
找出这个n个矩阵的连乘A1A2…An所需相乘的最少次数的方式。
2、分析矩阵连乘满足结合律，且不同的结合方式，所需计算的次数不同。
利用备忘录方法，用表格保存以解决的子问题答案，降低重复计算，提高效率。
m初始化为0，表示相应的子问题还位被计算。
在调用LookupChain时，若m[i][j]>0，则表示其中储存的是所要求子问题的计算结果，直接返回此结果即刻。
否则与直接递归算法一样，自顶而下的递归计算，并将计算结果存入m[i][j]后返回。
因此，LookupChain总能返回正确的值，但仅在它第一次被调用时计算，以后调用就直接返回计算结果。
用MemorizedMatrixChain函数将已经计算的数据存入表中，用LookupChain函数配合MemorizedMatrixChain函数递归调用计算。
但是备忘录方法记录了计算过程产生的值，从而不重复计算，被计算了的值，把时间的复杂度从2的n次方降低到n的3次方。
3、伪代码int MemoizedMatrixChain(int number_used){for(int i=1;i<=number_used;i++){for(int j=i;j<=number_used;j++) m[i][j]=0;}return LookupChain(1,number_used);}int LookupChain(int i,int j){if(m[i][j]>0) return m[i][j];if(i==j) return 0;int u=LookupChain(i,i)+LookupChain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j];s[i][j]=i;for(int k=i+1;k<j;k++){int t=LookupChain(i,k)+LookupChain(k+1,j)+p[i-1]*p[k]*p[j];if(t<u) {u=t;s[i][j]=k;}}m[i][j]=u;return u;}void Traceback(int i,int j){if (i == j){cout << "A" << i;}else{cout << "(";Traceback(i,s[i][j]);Traceback(s[i][j]+1,j);cout << ")";}}4、程序实现#include <iostream>using namespace std;const int MAX = 50;class matrix{public:int p[MAX];int m[MAX][MAX];int s[MAX][MAX];int number_used;void input();int LookupChain(int i,int j);void Traceback(int i,int j);matrix();};matrix::matrix(){for(int i=0;i<MAX;i++){p[i]=0;for(int j=0;j<MAX;j++){m[i][j]=0;s[i][j]=0;}}cout<<"input the matrix number: ";cin>>number_used;input();cout<<"output the result："<<endl;LookupChain(1,number_used);Traceback(1,number_used);cout<<endl;}void matrix::input(){cout<<"the matrix: ";cout<<endl<<"input the row of A1 and columns of Ai: ";for(int j=0;j<=number_used;j++){cin>>p[j];}}int matrix::LookupChain(int i,int j){if(i==j) return 0;if(m[i][j]>0) return m[i][j];int u=LookupChain(i,i)+LookupChain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j];s[i][j]=i;for(int k=i+1;k<j;k++){int t=LookupChain(i,k)+LookupChain(k+1,j)+p[i-1]*p[k]*p[j];if(t<u) {u=t;s[i][j]=k;}}m[i][j]=u;return u;}void matrix::Traceback(int i,int j) {if (i == j){cout << "A" << i;}else{cout << "(";Traceback(i,s[i][j]);Traceback(s[i][j]+1,j);cout << ")";}};int main(){matrix m;return 0;}运行情况：。
矩阵连乘问题的算法
矩阵连乘问题的算法介绍矩阵连乘问题是一个经典的数学问题，它涉及到如何寻找一组矩阵相乘的最优顺序，使得计算所需的乘法操作总数最小化。
这个问题在计算机科学和算法设计中有着重要的应用。
本文将介绍矩阵连乘问题的算法及其相关概念和应用。
问题描述给定一组矩阵{A1, A2, A3, …, An}，其中Ai的维度为pi-1 × pi（1 ≤ i ≤ n），我们希望找到一种矩阵相乘的顺序，使得计算这些矩阵相乘所需的乘法操作总数最小化。
动态规划算法动态规划算法是解决矩阵连乘问题的经典方法。
它通过存储中间结果来避免重复计算，从而提高计算效率。
下面将介绍动态规划算法的具体实现步骤。
定义子问题假设我们要计算矩阵Ai × Ai+1 × … × Aj的最优顺序和乘法操作总数，其中i ≤ j。
确定状态转移方程设m[i][j]表示计算矩阵Ai × Ai+1 × … × Aj的最优顺序和乘法操作总数。
根据定义，我们有以下状态转移方程： - 当i = j时，m[i][j] = 0，因为只有一个矩阵无需进行乘法操作； - 当i < j时，m[i][j] = min{m[i][k] + m[k+1][j] + pi-1 × pk × pj}，其中i ≤ k < j。
填表计算最优值根据状态转移方程，我们可以使用动态规划的方法逐步填充表格m。
具体步骤如下：1. 初始化所有m[i][i]为0（0 ≤ i ≤ n）； 2. 对于每个子问题(i, j)，从i= 1递增到j = n-1，按照递增的长度进行计算： - 对于每个i和j，根据状态转移方程计算m[i][j]； 3. 最终，m[1][n-1]即为所求的计算矩阵Ai × Ai+1× … × An的最优顺序和乘法操作总数。
重构最优解为了得到最优顺序下的具体计算过程，我们可以使用一个辅助表格s来记录最优划分点。
计算矩阵连乘积
计算矩阵连乘积问题描述在科学计算中经常要计算矩阵的乘积。
矩阵A和B可乘的条件是矩阵A的列数等于矩阵B的行数。
若A是一个p×q的矩阵，B是一个q×r的矩阵，则其乘积C=AB是一个p ×r的矩阵。
其标准计算公式为：由该公式知计算C=AB总共需要pqr次的数乘。
现在的问题是，给定n个矩阵{A1,A2,…,A n}。
其中A i与A i+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。
要求计算出这n个矩阵的连乘积A1A2…A n。
由于矩阵乘法满足结合律，故连乘积的计算可以有许多不同的计算次序。
这种计算次序可以用加括号的方式来确定。
若一个矩阵连乘积的计算次序已完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则我们可以通过反复调用两个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：1. 单个矩阵是完全加括号的；2. 若矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为两个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)。
例如，矩阵连乘积A1A2A3 A4可以有以下5种不同的完全加括号方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4)),((A1A2)(A3A4)),((A1(A2A3))A4),(((A1A2)A3)A4)。
每一种完全加括号方式对应于一种矩阵连乘积的计算次序，而这种计算次序与计算矩阵连乘积的计算量有着密切的关系。
为了说明在计算矩阵连乘积时加括号方式对整个计算量的影响，我们来看一个计算3个矩阵{A1，A2，A3}的连乘积的例子。
设这3个矩阵的维数分别为10×100，100×5和5×50。
若按第一种加括号方式((A1A2)A3)来计算，总共需要10×100×5+10×5×50=7500次的数乘。
若按第二种加括号方式(A1(A2A3))来计算，则需要的数乘次数为100×5×50+10×100×50=75000。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题为了能够清楚地描述矩阵连乘的问题，我在此给出以下定义：1.在给定的n个矩阵{A1,A2,……,An}中Ai与Ai+1是可乘的2.A[m][n]表示一个m行n列的矩阵3.由于矩阵连乘满足结合律，故A1(A2A3)表示，先计算A2A3,得出一个新的矩阵再与A1相乘。
4.A[i:j]表示矩阵A[i]、A[i+1]、A[i+2]、……、A[j]5.min[i][j]表示矩阵A[i]到矩阵A[j]这j-i个矩阵的最小数乘次数6.P[i]表示矩阵A[i]的行数7.P[i+1]表示矩阵A[i]的列数及矩阵A[i+1]的行数问题的引出：现给出矩阵A[2][3]和A[3][2]，如果计算A[2][3] *A[3][2]，则根据矩阵运算法则要进行2*3*2=12次乘法运算。
而如果要计算A[3][2]* A[2][3]，则要进行3*2*3=18次乘法运算。
而两个矩阵相乘很容易使用穷举法来判断出数乘次数最少的计算次序。
但是，对于多个矩阵来说，如何能够尽快的获取最优（即数乘次数最少）的连乘次序呢？矩阵连乘问题的描述：给定n个矩阵{A1,A2,…,An}，如何确定一种数乘次数最小的数乘次序，这就是矩阵连乘问题。
问题的分析：假设计算A[i:j]当i=j时，A[i:j]=Ai;矩阵min[i][j]=0，即单个矩阵数乘次数为0。
当i<j时，若计算A[i:j]的最优次序，假设在A[k] 和A[k+1]之间断开(i<k<k+1<j)，,即(AiAi+1…Ak)(Ak+1…Aj)则可有递归式，min[i][j]=min[i][k]+min[k+1][j]+P[i-1]*P[i]*p[j];有必要引入数组m[i][j]以存储min[i][j]的值，是为了存储已经解决的子问题的答案，防止相同的子问题反复求解.例如：在求m[2][7],m[2][8],m[2][9],都会用到m[2][3],m[2][4],m[2][5]和m[2][6]如果每次使用m[2][3],m[2][4],m[2][5]和m[2][6]时，都重新使用递归运算求解的话，那么将会浪费大量的时间。
矩阵连乘和strassen矩阵乘法
矩阵连乘和strassen矩阵乘法矩阵连乘问题和 Strassen 矩阵乘法是计算机科学中的两个重要问题。
矩阵常常被用来表示线性算法问题，而矩阵的乘法则是表示两个矩阵之间运算的一种方法。
本文将对这两个问题分别进行介绍，以便更深入地了解矩阵的应用和计算方法。
矩阵连乘问题矩阵连乘问题是指给定一组矩阵，求其乘积的最小计算次数，并构造出相应的计算方法。
在算法中，我们通常采用递归的思想来解决这个问题。
递归过程中，我们根据矩阵的大小将矩阵划分成更小的子矩阵，然后再对这些子矩阵进行计算。
设矩阵连乘的矩阵序列为 A1, A2, A3, ..., An，其中矩阵 Ai 的行数和列数分别为 pi - 1 和 pi。
那么，计算这个矩阵序列的最小计算次数可以表示为递推式：m[i,j] = min{m[i,k] + m[k+1,j] + pi-1 * pk * pj} (i <= k < j)这个式子的意思是将矩阵序列Ai, Ai+1,...,Aj-1, Aj划分为两个子序列Ai, Ai+1,...,Ak和Ak+1,...,Aj，然后在这两个子序列中分别计算矩阵乘积所需的最小计算次数，其中pi-1 * pk * pj表示计算Ai到Aj乘积时需要的乘法次数。
由此，我们可以得出矩阵连乘的递归算法：Matrix Chain Multiply(A, p, i, j)if i == jreturn A[i]elsek = iM = Matrix Chain Multiply(A, p, i, k)N = Matrix Chain Multiply(A, p, k+1, j)return M * N其中，A是矩阵序列，p是矩阵的行列数，i和j表示矩阵序列的起止下标。
在递归过程中，我们用k将矩阵序列划分为两个部分，并分别计算左边和右边的矩阵乘积。
最后将两个部分的计算结果相乘即可。
这种算法的时间复杂度为O(n^3)，在处理大规模的矩阵乘积时效率较低。
算法设计JAVA矩阵连乘
算法设计JAVA矩阵连乘矩阵连乘问题是一个经典的动态规划问题。
给定一系列的矩阵，我们的目标是找到一个最优的括号表达式，使得矩阵连乘的计算次数最少。
假设有n个矩阵，这些矩阵的维度顺序可以表示为一个数组p，其中第i个矩阵的维度为p[i-1] x p[i]。
我们可以使用一个二维数组dp来保存子问题的最优解，其中dp[i][j]表示矩阵i到j之间的最小计算次数。
初始化时，将dp[i][i]的值设为0，因为单独一个矩阵的计算次数为0。
接下来，我们需要遍历所有可能的区间长度l，从2开始直到n，因为最小区间只有两个矩阵。
对于每个区间长度，我们需要遍历所有可能的起点i，并计算以i为起点、长度为l的区间的最小计算次数。
具体算法如下：```javapublic class MatrixChainMultiplicationpublic static int matrixChainOrder(int[] p)int n = p.length - 1;int[][] dp = new int[n+1][n+1];//初始化单个矩阵的计算次数为0for (int i = 1; i <= n; i++)dp[i][i] = 0;}//遍历所有可能的区间长度for (int len = 2; len <= n; len++)//遍历所有可能的起点for (int i = 1; i <= n - len + 1; i++)int j = i + len - 1;dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;//遍历所有可能的分割点k，计算最小计算次数for (int k = i; k < j; k++)int cost = dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]; if (cost < dp[i][j])dp[i][j] = cost;}}}}return dp[1][n];}public static void main(String[] args)int[] p = {10, 20, 30, 40, 30};int minCost = matrixChainOrder(p);System.out.println("最小计算次数为：" + minCost);}```这个算法的时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(n^2)。
矩阵连乘问题（内附动态规划算法代码）
矩阵连乘问题（内附动态规划算法代码）矩阵连乘问题若矩阵A是⼀个p*q的矩阵，B是⼀个q*r的矩阵，则C=AB，是⼀个p*r的矩阵，需进⾏pqr次数乘计算。
存在{A1,A2,A3}三个矩阵，维数分别为100*5，5*50，50*10。
若直接相乘，A1*A2*A3，则需要进⾏n=100*5*50+100*50*10=25000+50000=75000次数乘计算。
如果我们调整运算顺序，A1*(A2*A3)，则需要进⾏n=5*50*10+100*5*10=2500+5000=7500次数乘计算。
由此可见，当进⾏矩阵连乘运算时，加括号的⽅式，即计算次序对计算量有很⼤的影响。
代码展⽰：1 #include<iostream>23using namespace std;4/*5⾃底向上的推出矩阵连乘的最优解6先从两个矩阵相乘开始，⽽后三个矩阵相乘，四个......直到推出⽬标长度的最优解，即假设⼀个矩阵链，初始长度为2，算出所有相邻矩阵相乘的计算次数，⽽后使其长度为3...4...直到⽬标长度 7状态转移⽅程：8 m[i][j]=min {m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]} i<=k<j i<j9 m[i][j]=0 i==j;10*/11#define LEN 5 //矩阵个数12//矩阵连乘函数，找到最优解13void MatrixChain(int *p, int m[][LEN + 1], int s[][LEN + 1]) {14for (int i = 0; i < LEN + 1; i++) m[i][i] = 0; //初始化，对⾓线元素置零，即当矩阵链长度为1时（只有⼀个矩阵）不⽤乘，为零15for (int r = 2; r <= LEN; r++) { //r表⽰矩阵链的长度，从2开始,两个矩阵相乘，⽽后3...4...5...16for (int i = 1; i <= LEN - r + 1; i++) { //i是矩阵链的⾸个矩阵，⼩于矩阵个数减矩阵链长度加⼀17int j = i + r - 1; //j是矩阵链的最后⼀个元素18 m[i][j] = m[i][i] + m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j]; //m[i][j]是⼦结构，从最左边开始推19 s[i][j] = i; //标记断开的位置20for (int k = i + 1; k < j; k++) { //k是i和j直接的断开点，是在i和j之间的⼦结构，通过k的循环找到最优的解21int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j]; //状态转移⽅程22if (t < m[i][j]) {23 m[i][j] = t; //更新最优解24 s[i][j] = k; //更新断开点25 }26 }27 }28 }29 }3031//回溯函数，根据s[i][j]数组标记的位置，回溯找到断开的位置32void Traceback(int i, int j, int s[][LEN + 1]) {33if (i == j) { //当i与j相等说明回溯到该矩阵的位置了34 cout << "A" << i;35 }36else {37 cout << "(";38 Traceback(i, s[i][j], s); //从尾往头回溯39 Traceback(s[i][j] + 1, j, s); //从断点往后回溯40 cout << ")";41 }42 }43//输出函数44void output(int t[][LEN + 1]) {45for (int i = 1; i <= LEN; i++) {46for (int j = 1; j <= LEN; j++) {47 cout << "" << t[i][j] << "";48 }49 cout << endl;50 }51 }52int main(void) {53int p[LEN + 1] = { 6,8,9,3,4,10 }; //矩阵的维度分别是2*3,3*4,4*5,5*6,6*7，LEN+1个数表⽰LEN个矩阵54int m[LEN + 1][LEN + 1] = { 0 }; //记录最优⼦结构的⼆维数组55int s[LEN + 1][LEN + 1] = { 0 }; //记录最优解对应的括号的位置5657 MatrixChain(p, m, s);5859 cout << endl;60 output(m);61 cout << endl;62 output(s);63 cout << endl;64 cout << "outcome:" <<endl;65 Traceback(1, LEN, s);66 cout << endl;6768return0;69 }运⾏结果：与备忘录⽅法的区别：我们使⽤的动态规划⽅法中其实融⼊了备忘录的⼀些东西，我们的m和s数组都是⽤来记录的，所以备忘录⽅法与我们使⽤的⽅法类似，不同在于，我们是⾃底向上的，⽽备忘录⽅法是⾃顶向下的进⾏。
算法 矩阵连乘
矩阵连乘1题目分析将矩阵连乘积简记为A[i:j] ，这里i≤j计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子链 A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。
该问题可用动态规划算法求解算法构造设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n] 当i=j 时，A[i:j]=Ai ，因此，m[i,i]=0，i=1,2,…,n当i<j 时， 可以递归地定义m[i,j]为：2算法实现#include <iostream>using namespace std;//计算最优值void MatrixChain(int *p,int n, int **m,int **s){for(int i=1;i<=n;i++) m[i][i]=0;for(int r=2;r<=n;r++){for(i=1;i<=n-r+1;i++){int j=i+r-1;m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];s[i][j]=i;//选取最优for(int k=i+1;k<j;k++){int t =m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];//记录最优断开位置if(t<m[i][j]){m[i][j]=t;s[i][j]=k;}}}}}//构造最优解---按顺序由内而外void Traceback(int i,int j,int **s){if(i==j){return;⎪⎩⎪⎨⎧<+++==-<≤j i p p p j k m k i m j i j i m j k i }],1[],[{min 0],[1jk i j k i p p p j k m k i m j i m 1],1[],[],[-+++=}Traceback(i,s[i][j],s);Traceback(s[i][j]+1,j,s);cout << "Multiply A" << i << "," << s[i][j];cout << "and A" << (s[i][j]+1) << "," << j <<endl;}//主函数int main(){int i;int n; //参与连乘的矩阵个数int *p; //矩阵Ai的列数或Ai-1的行数int **m; //纪录Ai - Aj的矩阵连乘的最小代价int **s; //纪录Ai - Aj之间得到最小连乘代价时的分割点cout << "输入矩阵的个数：" << endl << endl;cin >> n;p=new int[n+1];cout << endl << "请分别输入每一个矩阵的行列数：" << endl << endl;for(i=0;i<=n;i++){cin >> p[i];}m=new int *[n+1];//分配空间for(i=0;i<=n;i++){m[i]=new int[n+1];}s=new int *[n+1];//分配空间for(i=0;i<=n;i++){s[i]=new int[n+1];}cout << endl << "计算顺序如下所示：" << endl << endl;MatrixChain(p,n,m,s);Traceback(1,n,s);}3运行结果输入矩阵的个数：6请分别输入每一个矩阵的行列数：3035155102025计算顺序如下所示：Multiply A2,2and A3,3 Multiply A1,1and A2,3 Multiply A4,4and A5,5 Multiply A4,5and A6,6 Multiply A1,3and A4,6 Press any key to continue。
动态规划矩阵连乘算法
号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：(A1...Ak)(Ak+1…An)可以
得到关于P(n)的递推式如下:
丨I]科=]3/3
卩何=工甲)-灼冲>尸弘
以上递推关系说明，
举法不是一个多项式时间复杂度算法。
2、重叠递归
从以上
递归代码实现：
〃3d1-1重叠子问题的递归最优解
个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号， 则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准 算法计算出矩阵连乘积。
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：
(1)单个矩阵是完全加括号的；
(2)矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括 号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)
//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25
〃p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
#i nclude "stdafx.h"
#in clude viostream>
g n amespace std;
const int L = 7;
10*100 ,100*5,5*50按此顺序计算需要的次数
(Ai*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次
所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。
算法思路：
例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是：
A1：30*35;A:35*15;A:15*5;A4：5*10; A5：
{
if(i==j) return;
矩阵连乘算法
矩阵连乘算法
矩阵连乘是指将多个矩阵相乘的计算过程。
例如，对于三个矩阵A，B，C，其连乘结果可以表示为：A x B x C。
矩阵连乘算法是一个动态规划算法，用于寻找最优的矩阵连乘顺序，从而实现最小化矩阵乘法的操作次数。
该算法的基本思想是从最小的子问题开始逐步递推，找到最佳的矩阵连乘顺序。
具体实现过程如下：
1. 定义一个二维数组m[][]，其中m[i][j]表示从第i个矩阵到第j个矩阵的最小操作次数。
2. 对于每个长度为1的子序列，即i=j的情况，m[i][j]=0。
3. 对于每个长度大于1的子序列，即i<j的情况，计算m[i][j]的值，其中k是一个中间点，它将序列分为两个子序列：i到k和k+1到j。
用以下公式更新
m[i][j]的值：
m[i][j] = min{m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]}
其中p[]为矩阵的维数，p[i-1]表示第i个矩阵的行数，p[i]表示第i个矩阵的列
数，p[j]表示第j个矩阵的列数。
4. 最后，m[1][n]的值即为矩阵连乘的最小操作次数。
该算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为矩阵的个数。
实现矩阵连乘的动态规划算法
实现矩阵连乘的动态规划算法1.计算连个矩阵乘积的标准算法：//标准算法void MatrixMultiply(int a[][MAXN], int b[][MAXN], int p, int q, int r){int sum[MAXN][MAXN];memset(sum, 0, sizeof(sum));int i, j, k;//遍历矩阵a的⾏for (k = 0; k < p; k++){//遍历矩阵b的列for (j = 0; j < r; j++){//对应位置相乘for (i = 0; i < q; i++){sum[k][j] += a[k][i] * b[i][j];}}}}所以A、B两个矩阵相乘的计算量为p*q*r。
2. 计算连个矩阵乘积的动态规划算法：#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<Windows.h>#define MAX 100int matrix_chain(int *p, int n, int **m, int **s){//a[][]最⼩乘次数//s[][]最⼩乘数时的断开点int i,j,r,k;for (i = 0; i < n; i++) //单⼀矩阵的最⼩乘次都置为0{m[i][i] = 0;}for (r = 2; r <= n; r++) //r为连乘矩阵的个数{for (i = 0; i <= n-r; i++) //i表⽰连乘矩阵中的第⼀个{j = i + r -1; //j表⽰连乘矩阵中的最后⼀个m[i][j] = 99999;for (k = i; k <= j-1; k++) //在第⼀个与最后⼀个之间寻找最合适的断开点，注意，这是从i开始，即要先计算两个单独矩阵相乘的乘次{int tmp = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i]*p[k+1]*p[j+1];if (tmp < m[i][j]){m[i][j] = tmp;s[i][j] = k;}}}}return m[0][n-1];}void print_chain(int i, int j, char **a,int **s){ //递归的⽅式来把最⼩乘数的表达式输出if (i == j){printf("%s",a[i]);}else{printf("(");print_chain(i,s[i][j],a,s);print_chain(s[i][j]+1,j,a,s);printf(")");}}int main(){//min_part[i][j]存储的是i+1到j+1的最⼩乘次，因为是从0开始//min_point[i][j]存储的是i+1到j+1之间最⼩乘次时的分割点int *p, **min_part, **min_point;char **a;int n = 6,i;int ret;p = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));a = (char **)malloc(n*sizeof(char*));min_part = (int **)malloc(n*sizeof(int *)); min_point = (int **)malloc(n*sizeof(int *));for (i = 0; i < n; i++){min_part[i] = (int *)malloc(n*sizeof(int)); min_point[i] = (int *)malloc(n*sizeof(int));a[i] = (char *)malloc(n*sizeof(char));}p[0] = 30; //第⼀个矩阵的⾏数p[1] = 35; //第⼆个矩阵的⾏数p[2] = 15; //……p[3] = 5; //……p[4] = 10; //……p[5] = 20; //第六个矩阵的⾏数p[6] = 25; //第六个矩阵的列数a[0] = "A1";a[1] = "A2";a[2] = "A3";a[3] = "A4";a[4] = "A5";a[5] = "A6";ret = matrix_chain(p,n,min_part,min_point); printf("Minest times:%d.\n",ret);print_chain(0,n-1,a,min_point);printf("\n");free(p);free(min_part);free(min_point);free(a);system("pause");return 0;}3.递归加括号的过程的运算量：//加括号的过程是递归的。
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福州大学数学与计算机科学学院
《计算机算法设计与分析》上机实验报告（2）
i<=k<j,则：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。
由于在计算是并不知道断开点k的位置，所以k还未定。
不过k的位置只有j-i个可能。
因此，k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。
综上，有递推关系如下：
若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。
s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为
(A[i:k])(A[k+1:j)。
从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，进一步递推，A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为
(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]] )。
同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在
s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去，最终可以确定
A[1:n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。
3、动态规划迭代算法设计：
用动态规划迭代方式解决此问题，可依据其递归式自底向上的方式进行计算。
在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。
每个子问题只计算一次，而在后面需要时只需简单检查一下，从而避免了大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。
4、算法代码：
1.//3d1-2 矩阵连乘动态规划迭代实现
2.//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25
3.//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
4.#include "stdafx.h"
5.#include <iostream>
ing namespace std;
7.
8.const int L = 7;
9.
10.int MatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p);
11.void Traceback(int i,int j,int **s);//构造最优解
12.
13.int main()
14.{
15.int p[L]={30,35,15,5,10,20,25};
16.
17.int **s = new int *[L];
18.int **m = new int *[L];
19.for(int i=0;i<L;i++)
20. {
21. s[i] = new int[L];
22. m[i] = new int[L];
23. }
24.
25. cout<<"矩阵的最少计算次数为：
"<<MatrixChain(6,m,s,p)<<endl;
26. cout<<"矩阵最优计算次序为："<<endl;
27. Traceback(1,6,s);
28.return 0;
29.}
30.
31.int MatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p)
32.{
33.for(int i=1; i<=n; i++)
34. {
35. m[i][i] = 0;
36. }
37.for(int r=2; r<=n; r++) //r为当前计算的链长（子问题规
模）
38. {
39.for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//n-r+1为最后一个r链的
前边界
40. {
41.int j = i+r-1;//计算前边界为r，链长为r的链的后
边界
42.
43. m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];//将链
ij划分为A(i) * ( A[i+1:j] )
44.
45. s[i][j] = i;
46.
47.for(int k=i+1; k<j; k++)
48. {
49.//将链ij划分为( A[i:k] )* (A[k+1:j])
50.int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]
*p[j];
51.if(t<m[i][j])
52. {
53. m[i][j] = t;
54. s[i][j] = k;
55. }
56. }
57. }
58. }
59.return m[1][L-1];
60.}
61.
62.void Traceback(int i,int j,int **s)
63.{
64.if(i==j) return;
65. Traceback(i,s[i][j],s);
66. Traceback(s[i][j]+1,j,s);
67. cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j];
68. cout<<" and A"<<(s[i][j]+1)<<","<<j<<endl;
69.}
上述迭代算法的运行过程如下图所示：
当R=2时，先迭代计算
出： m[1:2]=m[1:1]+m[2:2}+p[0]*p[1]*p[2]；
m[2:3]=m[2:2]+m[3:3]+p[1]*p[2]*p[3];。