利用数形结合思想方法解题

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数形结合思想在高考解题中的应用

数形结合思想在高考解题中的应用数形结合不仅是一种重要的解题方法，也是一种的思维方法。

它在中学数学教学中占有重要的地位，也是历年高考重点考察的内容之一。

在运用数形结合解题时要注意以下两点：（1）“形”中觅“数”：根据形的直观性来寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题得到解决；（2）“数”中构“形”：根据代数问题具有的几何特征，进而发现数与形之间的关系，从而使代数问题几何化，使问题得到解决。

下面通过一些典型例题来说明数形结合思想在解题中的运用。

题型一、集合问题例1．已知集合A={}{}|23,|14x x B x x x -≤≤=<->或,则集合A B = ____________________.解析：利用数轴表示，可得{}|21A B x x =-≤<-评注：本题考查集合的基本运算，属容易题。

题型二、函数问题例2．点P （x,y ）在直线430x y +=上，且x,y 满足147x y -≤-≤，则P 到坐标原点距离的取值范围是__________________.解析：如图，直线430x y +=分别与直线14,7x y x y -=--=的交点为12(6,8),(3,4)P P --易知12||10,||5OP OP ==，故||OP 的取值范围为[]0,10评注：考查两点间的距离公式及分析、解决问题的能力。

注意虽然12||10,||5OP OP ==，但||OP 的取值范围不是[]5,10。

题型三、三角问题例3函数()2)f x x π=≤≤的值域是_______________. 解析：原式可化为y ==1)x ≠ 由数形结合思想得1cos 1sin x x-+可理解为动点(sin ,cos )x x 与定点(1,1)连线斜率的取值范围，。

可求取值范围是[]0,+∞，由此可求得1)x ≠的值域为[1,0)-，当sin 1x =时，()0f x =，所以值域是[]1,0-。

数形结合思想方法在数学解题教学中应用

数形结合的思想方法在数学解题教学中的应用摘要：数形结合作为重要的数学思想方法，在数学解题中起着举足轻重的作用。

本文介绍了数形结合的思想方法在函数、几何、方程与不等式、数列、集合等方面的应用，为进一步提高学生的解题能力抛砖引玉。

关键词：数形结合思想方法解题1、问题的提出数学问题的解决是数学教学中的一个重要部分，尤其是解题能力的培养，成为数学教学中不可缺少的一部分。

解决数学问题的方法有很多，其中数形结合的思想方法是中学数学教学中常用的一种解题方法，教师更应该很好的掌握和研究这一思想方法，为培养学生的解题能力打下坚实的基础。

中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形。

如何将数与形有机的结合起来，是学好数学的关键。

数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质等；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等。

数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到完美的解答。

2、数形结合解题教学中应注意的几个方面在运用数形结合的思想方法分析和解决问题时，藏汉双语数学教师要注意以下五点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数联想其形，以形建立数之间的关系式，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围，切忌忽视隐含条件；第四要挖掘数学概念的内涵和外延，防止发生扩大内涵、缩小外延或缩小内涵、扩大外延的错误；第五要注意代数性质与几何性质的转换应该是等价的，否则会出现漏洞。

数形结合思想在初中数学解题中的应用

数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过将数学概念与几何图形相互结合，相互转化和应用的思考方法。

在初中数学的教学中，数形结合思想被广泛地应用。

本文将从初中数学的各个章节对其应用进行探讨。

1. 直线与圆在初中数学的直线与圆章节中，学生需要掌握直线与圆之间的基本关系，如切线、割线等，并学习如何运用这些关系解决问题。

数形结合思想在这一章节的应用体现在，通过将直线与圆相互结合，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，从而帮助学生更好地理解题意和解决问题。

例如，解决“过圆O外一点P作切线，过点P作另一条直线割圆于A、B两点，连接OP 并延长交圆于C点，求证：∠OAC=∠OBC”的问题时，我们可以通过画图，在圆上标出切线和割线，将几何图形与数学概念相互联系来解决问题。

2. 三角函数在初中数学的三角函数章节中，学生需要学习正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念和运用。

例如，在解决“证明：sin2A+cos2A=1”的问题时，我们可以画出一个以A为顶点的直角三角形，将正弦、余弦与三角形的边相互对应，从而帮助学生理解三角函数的定义和性质。

3. 平面向量例如，在解决“ABCD为平行四边形，设向量AB=a，向量AD=b，求向量AC的坐标表示”的问题时，我们可以画出平行四边形ABCD的几何图形，并通过图形将向量的定义和运算法则转化为数学表示式。

4. 二次函数例如，在解决“已知二次函数y=x²+px+q的图像过点(1，3)，且在x轴上的零点为-2和3，求p、q”的问题时，我们可以通过画出二次函数的图像，并通过图像求出零点和顶点，进而求出p、q的值。

结语数形结合思想在初中数学的教学中具有重要的应用价值，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力和思维能力。

教师在教学中应该注重将数学概念与几何图形相互联系，设计具体、形象的教学案例，引导学生积极思考、用图解题，从而达到提高教学质量和学生学习水平的目的。

高中数学中数形结合思想在函数解题中的运用

高中数学中数形结合思想在函数解题中的运用（一）数形结合在求函数定义域方面的应用例1：求函数y =的定义域. 解析：若要解决该函数的定义域，则有23200x x x ⎧-+≥⎨≠⎩，要解决此类不等式的解集，需要借助图像，如右图：由图像可以看出，若要2320x x -+≥，只需1,x ≤或2x ≥，再由0x ≠，得出该函数的定义域即为：()(][),00,12,-∞+∞. 小结：随着学生做题熟练程度的增强，二次不等式的求解已不用再画图。

因此在求函数定义域方面，多见于画数轴选择出取值范围。

（二）数形结合在求函数值域方面的应用例2：求函数(]223,1,2y x x x =--∈-的值域. 解析：看到所求函数为二次函数，由于函数是非单调的，所以并不能代端点值去求出值域，因此需要借助图像来观察，如右图：借助图像的直观表达可知道，具有区间范围的该二次函数的图像应为黄色区域部分，此函数的最小值是在对称轴处取得，即当1x =时，4y =-。

从而该函数的值域为：(]0,4-。

小结：对于此类问题是学生的常见出错点，学生们习惯于直接带入端点值得出其值域，因此对于给定区间上的二次函数值域问题，培养学生数形结合的思想是非常重要的。

（三）数形结合在函数单调性方面的应用例3：已知2()2(1)2f x x a x =+-+在(],4-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。

解析：函数解析式中含有字母，因此函数在坐标系内的具体位置不能固定，需要画图分析，看何种情况才能满足题干要求：通过图像分析可知：若要满足函数在给定区间上为单调函数，只能是后两种情况，也就是函数图像的对称轴不能出现在所给区间内，从而解题找到突破口。

所给函数对称轴方程：1x a =- ,由图像分析可知，需有a 14-≥，从而a 5≥。

小结：该类问题常见于二次函数中，因其单调性与对称轴的位置有关，故通常画图分析更能直观得出题目所需情况，从而快速得出结论。

（四）数形结合在函数奇偶性方面的应用例4：已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.试求当0x <时，函数()f x 的解析式。

运用数形结合思想巧解高中数学题例析

运用数形结合思想巧解高中数学题例析数学是一门抽象的学科，与大多数人口中的“实在”“有形”等形容词相悖。

但是，数学却可以通过数形结合的方法让我们看到它的立体感。

在高中数学中，数形结合思想尤为重要，它能够启发我们思考问题，化繁为简，找到解题的技巧性思路。

数形结合思想是一种通过图形来解决数学问题的方法。

它将数学公式和几何图形有机地结合在一起，借助图形的视觉效果，使得数学问题更加直观易懂，容易解决。

以下将通过举例说明如何巧妙地运用数形结合思想解决高中数学问题。

例1. 在平面直角坐标系内，将直线 $y = x$ 上的点分别与 $x, y, -x,-y$ 坐标轴上的点两两连成线段，把平面分成了 $8$ 个部分，求其中钝角三角形的个数。

这是一道很巧妙的数形结合题。

题目中要求我们求的是钝角三角形的个数。

我们可以从图形入手，由题意可知，随着绕点 $O(0,0)$ 以 $(x, x)$，$(y, 0)$，$(-x,-x)$ 和$(0, y)$ 为端点的线段依次连接，整个平面被分成八个区域。

根据锐角、直角、钝角三角形三种情况，可以发现，当一个三角形中必须至少有一条边与 $y=x$ 相交时，这个三角形就是钝角三角形。

因为它的另外两条边必须显著“弯曲”，而直角三角形则需要两条边与 $y=x$ 垂直。

同样的，当一条边与 $y=-x$ 相交时，也可能会构成钝角三角形。

那么我们可以可以通过观察不同的区域得到钝角三角形的数目。

对于 $A$ 区域，只有 $(3)$ 构成的三角形（实心的）是钝角三角形。

通过以上分析，我们得到：在这八个区域中，钝角三角形的个数为$1+3+4+1+1+3+3+1=17$。

例2. 已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点的坐标分别为 $A(0,0)$，$B(6,0)$，$C(3,5)$，$P$ 点在 $\triangle ABC$ 内部，$AP$ 与 $BC$ 相交于点 $D$，$BP$ 与$AC$ 相交于点 $E$，$CP$ 与 $AB$ 相交于点 $F$，三边上的点 $D$，$E$，$F$ 互不相同。

数形结合思想在解题中的应用

数形结合思想在解题中的应用主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法．它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化．―数缺形时少直观，形少数时难入微‖，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质．2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出―数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查‖，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能．3．―对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合‖，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础．4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是―以形示数‖，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是―以数助形‖，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了―数形结合‖的知识平台．5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题．用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，―数形结合千般好，数形分离万事休‖．二、典例分析例1．(07全国II) 在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为．解：在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（>0），正态分布图象的对称轴为x=1，在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1，2)内取值的概率与在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8．例2．（2007湖南）函数的图象和函数的图象的交点个数是（）A．4B．3C．2D．1解：由图像易知交点共有3个．选B.例3．A. 1个B. 2个C. 3个D. 1个或2个或3个解：出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）．例4．曲线y=1＋(－2≤x≤2)与直线y=r(x－2)＋4有两个交点时，实数r的取值范围___________．解析：方程y=1＋的曲线为半圆，y=r(x－2)＋4为过（2，4）的直线.答案：（］例5．分析：．例6．求函数的最大值．解：由定义知1－x2≥0且2＋x≠0，∴－1≤x≤1，故可设x=cosθ，θ∈[0，π]，则有可看作是动点M（cosθ，sinθ）(θ∈[0，π])与定点A（－2，0）连线的斜率，而动点M的轨迹方程，θ∈[0，π]，即x2＋y2=1（y∈[0，1]）是半圆．设切线为AT，T为切点，|OT|=1，|OA|=2．≤．∴，∴0≤kAM即函数的值域为[0，]，故最大值为．点评：（1）有些代数式经变形后具备特定的几何意义，此时可考虑运用数形结合求解，如：比值——可考虑与斜率联系；根式——可考虑与距离联系；二元一次式——可考虑与直线的截距相联系．（2）本题也可如下转化：令Y=，X=2＋x，则(X＋2)2＋Y2=1（Y≥0），求的最大值，即求半圆(X－1)2＋Y2=1（Y≥0）上的点与原点连线斜率的最大值，易知．变式1解法一（代数法）：，．．．．解法二（几何法）：．．．．．．．．变式2分析：转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元．解：．第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）．相切于第一象限时，u取最大值．．．．例7．已知A（1，1）为椭圆=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.则|PF1|＋｜PA｜的最大值为__________,最小值为_____________。

“数形结合”思想在初中数学解题中的运用技巧

２０２２年４月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀数形结合思想在初中数学解题中的运用技巧◉安徽省阜阳市临泉县兴业路实验学校㊀韦秀美◉安徽省阜阳市临泉县宋集中学㊀冯吉伟㊀㊀摘要:数形结合是通过以形助数,以数解形的思路,使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,帮助我们把握数学问题的本质．数形结合的思想是数学的规律性与灵活性的有机结合,运用这种思路,不仅能直观㊁快速地找到解题的方法,而且能够简化解题过程,避免复杂繁琐的计算与推理．关键词:数上构形;形中觅数;数形结合;运用技巧㊀㊀１引言数学是研究空间形式和数量关系的一门学科．数与形是数学的两大支柱,它们是对立的,又是统一的,辩证地以数表形和以形示数 ,是探索和解决数学问题的重要途径．忽视数与形的任何一个方面,都将使数学变得残缺不全．我国著名的数学家华罗庚认为数缺形时少直观,形缺数时难入微,这就是说,要用数形结合的思想和方法去看待和解决数学问题．数形结合的思想具有直观性㊁灵活性㊁综合性和深刻性等特点．在初中阶段的数学学习中,运用数形结合的教学思想能够有效地提高学生的灵活解题思维,降低解题的难度[１]．例如在解决与几何图形有关的问题时,可以将图形信息转换成代数的信息,将其化为代数问题;在解决与数量有关的问题时,可以根据数量的结构特征,构造出相应的几何图形,即化为几何问题．如果能够恰当地利用好数形可以互相转化的辩证统一性和各自的长处,就能够较快地找到解题的最佳思路和途径,不断提高分析问题和解决问题的能力．２数转化为形有些较复杂的代数计算类题型,我们可以根据给出的数式的结构特点,尝试构造出与之相应的几何图形,将代数问题转化为几何问题,使问题得到解决．核心思想是: 数上构形．例１㊀正数x,y,z满足方程组x２＋x y＋y２３＝２５㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀①y２３＋z２＝９②z２＋x z＋x２＝１６③ìîíïïïïïï试求x y＋２y z＋３x z的值．解:将原方程改写为x２＋y３æèçöø÷２－２x y３ c o s１５０ʎ＝５２㊀㊀㊀㊀④y３æèçöø÷２＋z２＝３２⑤z２＋x２－２x z c o s１２０ʎ＝４２⑥ìîíïïïïïï图１因为１５０ʎ＋９０ʎ＋１２０ʎ＝３６０ʎ,所以根据④~⑥式的几何意义,可作一个如图１的R tәA B C,使A B＝５,B C＝３,C A＝４,且形内有一点O,使øA O B＝１５０ʎ,øB O C＝９０ʎ,øA O C＝１２０ʎ．设O A＝x,B O＝y３,C O＝z．因为SәA B C＝SәA O B＋SәB O C＋SәA O C,所以６＝１２x y３ s i n１５０ʎ＋１２ y３ z＋１２ z x s i n１２０ʎ＝x y４３＋y z２３＋３４x z,等式两边同乘以４３即得x y＋２y z＋３x z＝２４３．运用技巧:本题是由三个二元二次方程组成的方程组,在初中阶段,如果想按照解方程组的常规方法求x,y,z的值,显然很困难．这时,如果仔细观察②５７Copyright©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２２年４月下半月㊀㊀㊀式,联想到勾股定理,以y ３,z ,３为边长,就可以构成以３为斜边的直角三角形;同理,可以将①式变形为x ２＋y ３æèçöø÷２－２x y ３c o s １５０ʎ＝５２,意味着以x ,y ３,５为其三边,可构成长为５的边所对的内角为１５０ʎ的三角形;将③式变形为x ２＋z ２－２x z c o s １２０ʎ＝４２,其几何意义是以x ,z 为两边,夹角为１２０ʎ,其第三边长为４的三角形．由于９０ʎ＋１５０ʎ＋１２０ʎ＝３６０ʎ,那么,将表示①~③式的三个三角形拼起来,恰好构成了一个边长分别为３,４,５的三角形,于是, 数转化为形的解题思路就这样形成了．从本题的解法中清楚地看到,方程组就是图中数的体现,如果改变O 点在әA B C 内的位置,或者改变әA B C 的形状(边长与角度大小),或者改变O A ,O B ,O C 的长度的表示形式,还可以得到一些其他形式的代数题型．例２㊀求１５ʎ的三角函数值．图２解法１:如图２．在R t әA B C 中,设A C ＝１,A B ＝２,øC ＝９０ʎ,则øA B C ＝３０ʎ,B C ＝３．在C B 的延长线上截取B D ＝A B ＝２,连接A D ,则øA D C ＝１５ʎ,A D ＝１２＋(２＋３)２＝６＋２,故有:s i n １５ʎ＝１６＋２＝６－２４,c o s １５ʎ＝２＋３６＋２＝６＋２４,t a n １５ʎ＝１２＋３＝２－３,c o t １５ʎ＝２＋３１＝２＋３．图３解法２:如图３,作R t әA B C ,使A C ＝１,A B ＝２,øC ＝９０ʎ,则øB ＝３０ʎ,B C ＝３．作øB 的平分线B D 交A C于D ,则øD B C ＝１５ʎ由角平分线的性质定理可得:C D D A ＝B C A B ＝３２⇒C D C D ＋D A ＝３２＋３⇒C DA C ＝２３－３,而A C ＝１,所以C D ＝２３－３,B D ＝(３)２＋(２３－３)２＝３２－６．故有:s i n １５ʎ＝２３－３３２－６＝－６－２４,c o s １５ʎ＝３３２－６＝６＋２４,t a n １５ʎ＝２３－３３＝２－３,c o t １５ʎ＝３２３－３＝２＋３．运用技巧:本题避开了三角函数值的直接计算,以数构形 ,通过构造平面几何图形(三角形),利用特殊角㊁角的平分线性质等知识,达到了简捷求值的目的;解题过程显得思路开阔,联想合理, 数形印证,立意新颖．３形转化为数有些不便于直接证明的几何类题型,我们可以根据图形寻求数量关系,将几何问题代数化[２],以数助形,使问题得证．解题的核心思路是: 形中觅数．图４例３㊀如图４,在әA B C 中,A B ＞A C ,C F ,B E 分别是A B 及A C 边上的高．试证:A B ＋C F ȡA C ＋B E ．证法１:因为０ɤs i n A ɤ１,所以A B －A C ȡ(A B －A C )s i n A ⇒AB ＋AC s i n A ȡA C ＋A B s i n A ⇒A B ＋C F ȡA C ＋B E (øA ＝９０ʎ时取等号)．证法２:由A B ＞A C ＞C F ,A B ＞B E ,由S әA B C ＝１２A B C F ＝１２A C B E ,得A B B E ＝A C C F ⇒A B －B EA B＝A C －C FA C ⇒AB －B E ＞AC －C F ⇒A B ＋C F ＞A C ＋B E ．运用技巧:本题证法１采用了三角函数法,证法２采用了代数法(利用了三角形面积公式和线段比例㊁不等式性质),比起用纯几何的方法证明要简捷得多．图５例４㊀如图５,设P 是定角øM A N 的平分线上一定点,过A ,P 两点任作一圆,与øM A N 的两边分别交于B ,C 两点．求证:A B ＋A C 为定值．证明:设øC A P ＝øB A P ＝α,A P ＝a ,根据余弦定理,有P B ２＝A P ２＋A B ２－２A B A P c o s α,即A B ２－２a c o s α A B ＋a ２－P B ２＝０⑦同理可得,A C ２－２a c o s α A C ＋a ２－P C ２＝０⑧因为P C ＝P B ,由⑦㊁⑧式可知,A B ,A C 为一元二次方程x ２－２a c o s α x ＋a ２－P B ２＝０的两根．由韦达定理可知,A B ＋A C ＝２a c o s α(定值)．运用技巧:从图示可以看出,定值有P A (可设为６７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２２年４月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀a ),及øC A B (可设为２øα),因此,我们可以尝试把A B ＋A C 用a 与α来表示．先讨论特殊情况:以A P 为直径作圆,则A C ＝A B ＝a c o s α,即A B ＋A C ＝２a c o s α;同样,定值A B ＋A C 在一般情况下,仍然存在A B ＋A C ＝２a c o s α的关系,这说明余弦定理与A B ,A C 以及a ,α间存在着密切的联系．于是,利用余弦定理将其转化为一元二次方程来证明的思路就形成了．４数形结合数形结合即用形研究数,用数研究形[３],相互结合,使问题变得直观㊁简捷,思路易寻．图６例５㊀如图６,已知在әA B C 中,øA ＝９０ʎ,A B ＝６,A C ＝８,点P 从点A 开始沿A C 边向点C 匀速移动,点Q 从点A 开始沿A B 边向点B ,再沿B C 边向点C 匀速移动,若P ,Q 两点同时从点A 出发,则可同时到达点C ．(１)如果P ,Q 两点同时从点A 出发,以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动,当点Q 移动到B C 边上(Q 不与C 重合)时,求以t a n øQ C A ,t a n øQ P A 为根的一元二次方程．(２)如果P ,Q 两点同时从点A 出发,以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动,当S әP B Q ＝１２５时,求P A 的长．解:在R t әA B C 中,A B ＝６,A C ＝８,则B C ＝１０．因为P ,Q 两点从点A 同时出发,可同时达到点C ,则S P S Q ＝８６＋１０＝１２．图７(１)如图７,设P 点移动的路程为x ,Q 点移动的路程为２x ,则C P ＝８－x ,B Q ＝２x －６,C Q ＝１６－２x ．作Q H ʅA C 于H ,因为øA ＝９０ʎ,所以Q H ʊA B ,由Q H A B ＝C Q C B ＝C H A C ．得Q H ＝６５(８－x ),C H ＝８５(８－x ),PH ＝C H －C P ＝３５(８－x )．则t a n øQ P A ＝Q H PH ＝２,t a n øQ C A ＝A B A C ＝３４,所以t a n øQ P A ＋t a n øQ C A ＝１１４,t a n øQ P A t a n øQ C A ＝３２．因此以t a n øQ C A ,t a n øQ P A 为根的一元二次方程为y ２－１１４y ＋３２＝０,即４y ２－１１y ＋６＝０．(２)当S әP B Q ＝１２５时,设P A ＝x ,点Q 的位置有以下两种情况．①如图７,当点Q 在B C 边上时,Q B ＝２x －６,作P G ʅB C 于G ,则әP C G ʐәB C A ,有P G B A ＝P CB C,所以P G ＝３５(８－x )．从而S әP B Q ＝１２Q B P G ＝１２(２x －６) ３５(８－x )＝１２５．即x ２－１１x ＋２８＝０,解得x １＝４,x ２＝７．图８②如图８,当点Q 在A B 边上时,A Q ＝２x ,B Q ＝６－２x ．则S әP B Q ＝１２P A B Q ＝１２x (６－２x )＝１２５,即x ２－３x ＋１２５＝０,而Δ＝９－４８５＜０,则此方程无实根．所以点Q 不能在A B 上．由⑦~⑧可知,当S әP B Q ＝１２５时,P A ＝４,或P A ＝７．运用技巧:本题就是数中有形㊁数形结合的典例,解一元二次方程时我们将其化为平面直角三角形来分析,而求解线段P A 的长度时又把它转化为解方程的问题来思考．由此我们可以看出数形结合的解题思想具有无可比拟的优势．参考文献:[１]罗毅．初中数学数形结合思想的渗透与应用[J ]．内江师范学院学报,２００８(B １２):１２８Ｇ１２９．[２]刘志强．初中数学数形结合思想方法应用例说[J ]．中学生数理化(教与学),２０２０(８):８０Ｇ８１．[３]闫雪．初中数学数形结合思想的运用策略[J ]．数学学习与研究,２０２１(３):１２５Ｇ１２６．Z７７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

用数形结合的方法解题

1 引言数与形是数学中最古老最基本的研究对象。

华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。

”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转化。

数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题能力与学生成绩呈显着的正相关。

解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的使问题简捷获解。

实现数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；③以几何元素和几何条件为背景建立起的概念；④函数与图像的对应关系；⑤曲线与方程的对应关系。

应用数形结合思想不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、填空题中更为显着，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。

2 文献综述国内外研究现状数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。

自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。

文献[1]中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。

数形结合百般好，隔离分家万事休。

”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献[2-3]中介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。

文献[4-6]通过总结图形结构与数式结构提出了数形结合的两个主要途径。

文献[7-10]认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要遵循转化等价原则。

不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我认为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。

国内外研究现状评价文献[11-13]中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。

对于数形结合在高中数学各种问题的研究并不够全面。

提出问题如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。

数形结合思想在中学数学中的解题应用

数形结合思想在中学数学中的解题应用数与形是数学的两大支柱，它们是对立的，也是统一的。

数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。

教师要尽量发掘数与形的本质联系，促使学生善于运用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题，从而提高学生的数学能力。

下面结合具体实例谈谈数形结合思想在解题中的应用：1.函数中的数形结合思想例1：已知：点（-1，y1）（-3，y2）（2，y3）在y=3x2+6x+2的图象上，则： y1、y2、y3 的大小关系为（）a.y1>y2>y3b.y2>y1>y3c.y2> >y1d.y3>y2>y1分析：由y=3x2+6x+2=3（x+1）2-1画出图象1，由图象可以看出：抛物线的对称轴为直线x=-1即：x=-1时，y有最小值，故排除a、b，由图象可以看出：x=2时y3的值，比x=-3时y2的值大，故选c.例2：二次函数 y=ax2+bx+c的图象的顶点在第三象限，且不经过第四象限，则此抛物线开口向，c的取值范围，b的取值范围，b2-4ac的取值范围。

解：由题意画出图象，如图：从而判断：a>0，c≥0∴对称轴：x=- 0图象与x轴有两个交点：∴△>0即b2-4ac>0例3：如图3，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点c （0，），与x轴交于两点a（x1，0）、b（x2，0）（x2>x1），且x1+x2=4，x1x2=-5.求（1）a、b两点的坐标；（2）求二次函数的解析式和顶点p的坐标；（3）若一次函数y=kx+m的图象的顶点p，把△pab分成两个部分，其中一部分的面积不大于△pab面积的，求m的取值范围。

解：（1）∵x1+x2=4x1·x2=-5且x1<x2∴x1=5，x2=-1.∴a、b两点的坐标是a（5，0），b（-1，0）（2）由a（5，0），b（-1，0），c（0，），求得y=- （x-2）2+3.∴顶点p的坐标为（2，3）；（3）由图象可知，当直线过点p（2，3）且过点m（1，0）或n （3，0）时，就把△pab分成两部分，其中一个三角形的面积是△pab的面积的 .①过n（3，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=-3x+9；过点a（5，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=-x+5.又一次函数y=kx+m，当x=0时，y=m，此一次函数图象与y轴的交点的纵坐标为m，观察图形变化，可得m的取值范围是5<m≤9.②过b（-1，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=x+1；过点m （1，0），p（2，3）一次函数解析式为y=3x-3，观察图形变化，得m的取值范围是-3≤m<1.∴m的取值范围是-3≤m<1或5<m≤9.2.求最值问题：例.已知正实数x，求y= + 的最小值.分析：可以把 + 整理为 + ，即看作是坐标系中一动点（x，0）到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题.解：y= + ，令p=（x，0）、a（0，2）和b（2，1），则y=pa+pb.作b点关于x轴的对称点b’（2，-1），则y的最小值为ab’= = .3.利用方程解决几何问题例：本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取a、b、c三根木柱，使得a、b之间的距离与a、c之间的距离相等，并测得bc长为240米，a到bc的距离为5米，如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.[解析]如图2，设圆心为点o，连结ob、oa，oa交线段bc于点d.因为ab=ac，所以ab= bc，∴oa⊥bc，且bd=dc= bc=120.由题意，知da=5.设ob=x米.在rt△bdo中，因为ob2=od2+bd2，所以x2=（x-5）2+120.得x=1442.5 .所以，滴水湖的半径为1442.5米.数形结合思想在对于培养和发展学生的空间观念和数感方面有很大的启发作用，利用数形结合思想进行解题可以使的有些复杂问题简单化，抽象问题具体化。

数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)

数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析例1.的取值范围。

之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法：令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。

高考数学“数形结合”解题思想方法、知识点及题型整理

高考数学总复习第三讲：数形结合一、专题概述 ---什么是数形结合的思想数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想．恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形的结合等．二、例题分析1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程．例1．函数的图象的一条对称轴方程是：（A）（B）（C）（D）分析：通过画出函数的图象，然后分别画出上述四条直线，逐一观察，可以找出正确的答案，如果对函数的图象做深入的观察，就可知，凡直线x=a通过这一曲线的一个最高点或一个最低点，必为曲线的一条对称轴，因此，解这个问题可以分别将代入函数的解析式，算得对应的函数值分别是：，其中只有–1是这一函数的最小值，由此可知，应选（A）2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系．例2．问：圆上到直线的距离为的点共有几个？分析由平面几何知：到定直线L：的距离为的点的轨迹是平行L的两条直线．因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数．将圆方程变形为：，知其圆心是C(-1,-2)，半径，而圆心到定直线L的距离为，由此判定平行于直线L且距离为的两条直线中，一条通过圆心C，另一条与圆C相切，所以这两条直线与圆C共有3个公共点（如图1）启示：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，以求既定性，又定量，才能充分发挥图形的判定作用．3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化．例3．判定下列图中，哪个是表示函数图象．分析由=，可知函数是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、（C），又，的图象应当是上凸的，（在第Ⅰ象限，函数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数图象．例4．如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系用图象表示只可能是（）．分析由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H与t的关系不是（B），下落时间t越大，液面下落的距离H应越大，这种变化趋势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）．例5．若复数z满足，且，则在复平面上对应点的图形面积是多少？分析满足的复数z对应点的图形是：以C(1,1)为圆心，为半径的圆面，该圆面与图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到∠AOC=45°）因此所求图形的面积为：4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性．在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段．例6．已知C<0，试比较的大小．分析这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在同一坐标系中，画出三个函数：的图象位于y轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系得出正确的结论：例7 解不等式解法一（用代数方法求解），此不等式等价于：解得故原不等式的解集是解法二（采用图象法）设即对应的曲线是以为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数y=x+1的图象是一直线．（如图）解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是．借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果．例8 讨论方程的实数解的个数．分析：作出函数的图象，保留其位于x 轴上方的部分，将位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，便可得到函数的图象．（如图）再讨论它与直线y=a 的交点个数即可． ∴当a ＜0时，解的个数是0；当a=0时或a ＞4时，解的个数是2；当0＜a ＜4时，解的个数是4；当a=4时，解的个数是3．9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k 的不同取值有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）例9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）例10．设点P(x,y)在曲线上移动，求的最大值和最小值．解曲线是中心在（3，3），长轴为，短轴为的椭圆．设，即y=kx为过原点的直线系，问题转化为：求过原点的直线与椭圆相切时的斜率．（如图所示）消去y得解得：故的最大值为，最小值为例11．求函数（其中a,b,c是正常数）的最小值．分析采用代数方法求解是十分困难的，剖析函数解析式的特征，两个根式均可视为平面上两点间的距离，故设法借助于几何图形求解．如图设A(0,a),B(b,-c)为两定点，P(x,0)为x轴上一动点，则其中的等号在P为线段AB与x轴的交点外，即时成立．故y的最小值为例12．P是椭圆上任意一点，以OP为一边作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆时针方向排列）使|OR|=2|OP|，求动点R的轨迹的普通方程．分析在矩形O P Q R中（如图），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆时针旋转90°，并将长度扩大为原来的2倍得到的．这一图形变换恰是复数乘法的几何意义，因此，可转化为复数的运算，找到R和P的两点坐标之间的关系，以求得问题的解决．解，设R点对应的复数为：，P点对应的复数为则故即由点在椭圆上可知有：整理得：就是R点的轨迹方程，表示半长轴为2a，半短轴为2b，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆．三解题训练1．求下列方程实根的个数：（1）（2）（3）2．无论m取任何实数值，方程的实根个数都是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）不确定3．已知函数的图象如右图则（）（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)（C）b∈(1,2) （D）b∈(2,+ ∞)4．不等式的解集是（）（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式一定有解，则a的取值范围是（）（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1]6．解下列不等式：（1）（2）7．复平面内点A、B分别对应复数2，2+i，向量绕点A逆时针方向旋转至向量，则点C对应的复数是_______．8．若复数z满足|z|<2，则arg(z-4)的最大值为___________9．若复数z满足10．函数的图象是平面上两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两定点的坐标是( )（A）（–，–）（，）（B）（–，）（，–）（C）（–2，2）（2，2）（D）（2，–2）（–2，2）11．曲线与直线的交点个数是（）．（A）0（B）1 （C）2（D）312．曲线与直线有两个交点，则实数k的取值是（）（A）（B）（C）（D）13．已知集合，满足，求实数b的取值范围．14．函数的值域是（）（A）（B）（C）（D）四、练习答案1．（1）2个（2）63个（3）2个提示：分别作出两个函数的图象，看交点的个数．2．B、提示：注意到方程右式，是过定点（，0）的直线系．3．A、提示：由图象知f(x)=0的三个实根是0，1，2这样，函数解析式可变形学习好资料欢迎下载f(x)=ax(x-1)(x-2)，又从图象中可以看出当x∈(0,1)∪(2,+∞)时，f(x)>0．而当x>2时，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而可知b=-3a<0，故选（A）4．A5．A6．（可以利用图象法求解）（1）x≤-1或0<x≤3（2）x≤-17．18．210°9．10．A11．D 提示：在曲线方程中，分x≥0或x<0两种情形讨论，作出图形即可．12．C13．14．A 提示：f(x)可以视作：A(cosx,sinx),B(1,2)，则f(x)=k AB，而A点为圆x2+y2=1上的动点。

“数形结合”思想在解题过程中的妙用

出其中的若干种，且过程特别繁琐。如果运用数形结而
计算＋Ⅲ（１，＿图）学生是非常容易算的，１可以直接通分，然后求出结果。计算１（２，图）难度也不
大，分照样能够解决问题。但是如果运用数形结合思通想，生就会发现，来可以算得更简单，１（学原即一空
拿走剩下的＿最后篮子里还有４个鸡蛋。你知道原来１，这个篮子里有几个鸡蛋吗？三年级习题）（这道题单位“ ” 量发生变化，一次是把 ‘ 篮ｌ的第整
（
用数形结合思想和有序思维的策略，能够使学生的思维 “ 形可依 ”解决此类问题就显得轻松多了。如教学有，组合问题时，有这样一道题：一个箱子里放入４种不 “ 同颜色的正方体ｆ、、、）４种不同颜色的球红白黄绿和（、、、）随意从盒子里各拿出１球和１个正黑橙紫蓝，个方体，可能有多少种不同的拿法？ ” 生通常只能找其学
教师应重视培养学生解决分数应用题的能力。并以此为载体，力发展学生的数学思考能力。但让学生凭借着教师总结的解题技巧去按图索骥，是难以达到预期效果的，应用数形结合思想，较好地解决这个问题。而能如：一篮鸡蛋，一次拿走整篮鸡蛋的第二次叉第１，

高中数学数形结合思想在解题中的应用

中学数学数形结合思想在解题中的应用一、学问整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合的方法，许多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使困难问题简洁化，抽象问题详细化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与敏捷性的有机结合。

如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，奇妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是探讨“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发觉解题途径，而且能避开困难的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要留意培育这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析例1.的取值范围。

之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法：令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。

(完整word)数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)汇总,推荐文档

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析例1.的取值范围。

十种应用数形结合思想解题的方法

3
应用数形结合思想解题——十种典型题型
题型四、利用方程的根的关系解题
1 1 1、设 a，b，c 均为正数，且 2 = log 1 a ， = log 1 b ， = log 2 c ．则（ 2 2 2 2
a
b
c
）
A． a < b < c
B． c < b < a
C． c < a < b
A． 2a − 1 B. 1 − 2a C. 2− a − 1 D. 1 − 2− a
2、已知定义在 R 上的函数 f ( x) =
2 2x + 5 x + 2, x ∈ [0,1) f x ( ) ，且 f ( x + 2) = ， g ( x) = ， 2 x + 2 − ∈ − 2 x , x [ 1, 0) 0 在区间 [−5,1] 上的所有实根之和为（）则方程 f ( x) − g ( x) = B、 −6 C、 −7 D、 −8 A、 −5
应用数形结合思想解题——十种典型题型
题型一、求函数零点的个数或者图象交点的个数
= ) 2 − x ，则函数 y = 1、已知 f ( x
x 2
f ( x) 的零点个数是
.
2、函数 f ( x) = 2 ln x 的图象与函数 g ( x) = x 2 − 4 x + 5 的图象的交点个数为( A.3 B.2 C.1 D.0
x
取值范围是
.
2、已知函数 f ( x) = x − 2 + 1 ， g ( x) = kx ，若方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是( ) 1 1 A. B. C. (1，2) 0，2 2，1

运用数形结合的思想方法解题1

运用数形结合的思想方法解题1【方法技巧与总结】1、以形助数（数题形解）：借助形的生动性和直观性来阐述数与形之间的关系，把抽象问题具体化，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想．2、以数辅形（形题数解）：借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性，把直观图形数量化，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想．【核心考点】核心考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点【典型例题】例1．（2023·河北衡水·高三周测）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则在区间(]2,6-内关于x 的方程()()2log 20f x x -+=的根的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，所以(2)(2)(2)f x f x f x -=+=-，即()(4)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为4，当[0,2]x ∈时，则[2,0]x -∈-，此时()()112xf x f x -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即()21,[0,2]xf x x =-∈，由()2log (2)0f x x -+=，(]2,6x ∈-，得()2log (2)f x x =+，分别作出函数()y f x =和2log (2)y x =+，(]2,6x ∈-的图象，如图所示，则由图象可知两个函数的图象的交点个数为4个，即方程()()2log 20f x x -+=的零点个数为4个．故选：D ．例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-【答案】C【解析】设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '，则00,12y y x x +==-，所以02y y =--，而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--，所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=，整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =，所以ln122AC k k =-=-=-；（2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得=1x -，所以2(1)31AB k k =-=-+=，故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点；在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-．故选：C ．例3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2＋ex －12（x <0）与g （x ）＝x 2＋ln（x ＋a ）的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．(-∞B ．(-∞C ．)+∞D ．)+∞【答案】B【解析】()()2102xx e f x x =+-<关于y 轴对称得到的函数为()()2102x h x x e x -=+->，依题意可知()h x 与()g x 在()0,∞+上有公共点，由()()h x g x =得()221ln 2xx e x x a -+-=++，()11ln 2x x a e =++．对于函数1x y e=，在()0,∞+上单调递减，且()0,1y ∈．对于函数()1ln 2y x a =++，在()0,∞+上单调递增．当0a ≤时，1ln 2x +的图像向右平移a 个单位得到()1ln 2y x a =++，与1x y e=图像在()0,∞+上必有1个交点．当0a >时，1ln 2x +的图像向左平移a 个单位得到()1ln 2y x a =++，要使()1ln 2y x a =++与1x y e =图像在()0,∞+上有交点，则需当0x =时（也即y 轴上），()1ln 2y x a =++的函数值小于1x y e =的函数值，即0111ln ,ln 22a a e +<<，解得0a <<综上所述，a 的取值范围是(-∞．故选：B ．例4．（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x R ∈，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．2142⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．20,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】对于任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x -=+，∴函数()f x 关于直线2x =对称，又当[2x ∈-，0]时，1()2()2xf x =-，且函数()f x 是定义在R 上的偶函数，故函数()f x 在区间(2-，6]上的图象如下图所示：若在区间(2-，6]内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有3个不同的实数解则log 42a >-，log 82a <-，解得：21(,)42a ∈故选：A核心考点二：解不等式、求参数范围、最值问题【典型例题】例5．（2023春·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）设函数()()()222ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，若存在0x R ∈，使得()045f x ≤成立，则实数a 的值是A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】A【解析】函数()f x 可以看作是动点2(,)M x lnx 与动点(,2)N a a 之间距离的平方，动点M 在函数2y lnx =的图象上，N 在直线2y x =的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由2y lnx =得，22y x'==，解得1x =，∴曲线上点(1,0)M 到直线2y x =的距离最小，最小距离d ==则4()5f x ，根据题意，要使04()5f x ，则04()5f x =，此时N 恰好为垂足，由2021112MN a a k a a -===---，解得15a =．故选A ．例6．（2023·全国·高三专题练习）m ≥对任意a ∈R ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦B ．2⎛-∞⎝⎦C ．(-∞D ．(],2-∞【答案】B【解析】设T =T 的几何意义是直线y x =上的点(,)P a a 与曲线()ln f x x =上的点(,ln )Q b b 的距离，将直线y x =平移到与面线()ln f x x =相切时，切点Q 到直线y x =的距离最小．而()1f x x'=，令()0011f x x ='=，则01x =，可得(1,0)Q ，此时，Q到直线y x ==min ||PQ =所以2m ≤．故选：B例7．（2023春·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考期中）设函数()2x f x xe a =+，()x g x e ax =+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得00()()f x g x <，则a 的取值范围是（）A ．3[2e-，1)B ．3[2e，1)C ．3[2e -，3)4D ．3[2e ，3)4【答案】B【解析】由题意可知，存在唯一的整数x ，使得(21)x x e ax a -<-，构造函数()(21)x h x x e =-，则()(21)x h x x e '=+．当12x <-时，()0h x '<；当12x >-时，()0h x '>．所以，函数()(21)x h x x e =-的单调递减区间为1(,)2-∞-，单调递增区间为1(,)2-+∞．函数()y h x =在12x =-处取得极小值1()2h -=如下图所示，由于(0)1h =-，3(1)h e-=-，所以，(1)(0)h h -<，结合图象可知，(0)0(1)(1)h a a h a a<⨯-⎧⎨-⨯--⎩ ，解得312a e <．故选：B核心考点三：解决以几何图形为背景的代数问题【典型例题】例8．（2023·全国·高三专题练习）已知3,||,||AB AC AB t AC t ⊥==，若点P 是ABC 所在平面内的一点，且3||||AB ACAP AB AC =-，则PB PC ⋅ 的最大值等于（）A ．8B ．10C ．12D ．13【答案】C【解析】∵AB AC ⊥，∴可以A 为原点，,AB AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；不妨设()30,,(,0)B t C t ，则(0,1)3(1,0)(3,1)AP =-=- ，故点P 坐标为(3,1)-则()33,1,(3,1)PB t PC t =--=-- ，∴()333(3)1310PB PC t t t t ⋅=---+-=-++ 令3()310,0f t t t t =-++>，则2()333(1)(1),0f t t t t t =-+=-+-≥'，则当(0,1)t ∈时，()0f t '>，当(1,)t ∈+∞时，()0f t '<，则函数()f t 在[0,1)递增，在(1,)+∞上递减，则max ()(1)12f t f ==，即PB PC ⋅的最大值为12．故选：C ．例9．（2023春·浙江杭州·高二学军中学阶段练习）222410282x x x x -+-+≤的解集为[],a b ，则ab 的值是（）A ．5B ．42C ．6D ．7【答案】D【解析】设23y =，则3y =()()2222152x y x y -+-+≤．()()2222152x y x y -+-+=．()()2222152x y x y -+-+=±()()2222152x y x y -+=-+，两边平方可得，()()()22222215454x y x y x y -+=-+±-+，整理可得，()22527x y x ±-+=-，两边平方整理可得()22313y x --=．()()2222152x y x y -+-+=表示的点(),x y 在双曲线()22313y x --=上．()()2222152x y x y -+-+≤表示的点(),x y 在双曲线()22313y x --=上及其内部．222410282x x x x -+-+≤与不等式组()2223133y x y ⎧--≤⎪⎨⎪=⎩同解，整理可得2670x x -+≤．由已知可得，不等式2670x x -+≤的解集是[],a b ，所以2670x x -+=的两个解为a 、b ，根据韦达定理有7ab =．故选：D ．例10．（2023春·安徽六安·(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=，则k =（）AB C D ．2【答案】C【解析】如图所示：因为y =4为半径位于x 轴上方（含和x 轴交点）的半圆，(0)y kx k =>表示过坐标原点及第一三象限内的直线，(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=，即半圆位于直线下方的区间长度为2，所以2,4a b ==，所以直线与半圆的交点(2,，所以k ==故选：C ．。

运用数形结合思想巧解高中数学题例析

运用数形结合思想巧解高中数学题例析数形结合思想是数学解题中常用的一种方法，通过将抽象的数学问题转化为具体的形式，可以更直观地理解问题的本质，并且更加灵活地使用各种数学知识进行分析和解决。

在高中数学中，运用数形结合思想能够帮助学生更好地理解和掌握知识，提高解题的效率和准确性。

下面通过几个高中数学题例来具体分析运用数形结合思想巧解的方法。

例一：已知正三角形ABC的边长为s，点P在AB上，Q在BC上，PR=QB=s/3，则△PQR 的面积为多少？解析：首先我们可以将已知的情况用图形表示出来，画出正三角形ABC和点P、Q，并连接PQ。

然后我们可以根据给出的条件进行分析，发现△PQR实际上是一个梯形，因为PR 和QB是平行的，并且分别等于s/3。

我们可以通过求解梯形的面积来得到△PQR的面积。

由于梯形的面积公式为(S1+S2)×h/2，其中S1和S2分别为上底和下底的长度，h为梯形的高，因此我们可以根据已知条件求解出S1、S2和h的值，然后代入公式中进行计算，最终得到△PQR的面积。

通过上述分析，我们可以看到，利用数形结合思想可以将抽象的几何问题转化为具体的图形，然后通过图形的性质和几何知识进行分析和计算，帮助我们更好地理解和解决问题。

这种方法在高中数学中经常用到，对于解决各种几何问题都有一定的帮助。

例二：已知函数y=f(x)的图像关于y轴对称，则y=f(x-1)的图像与y=f(x)的图像有怎样的关系？解析：这个问题涉及到函数图像的平移和对称性质，我们可以通过数形结合思想来解决。

我们可以先分析y=f(x)的图像关于y轴对称的性质，可以得出当(x,y)在y=f(x)的图像上时，(-x,y)也在上面。

根据这个性质，我们可以进一步分析y=f(x-1)的图像，因为函数中x-1的变化，导致了图像在x轴上的平移，我们可以得出当(x,y)在y=f(x)的图像上时，(x-1,y)在y=f(x-1)的图像上。

也就是说，y=f(x-1)的图像相对于y=f(x)的图像向右平移了1个单位。

运用数形结合思想巧解高中数学题例析

运用数形结合思想巧解高中数学题例析正文高中数学题目往往给学生带来了很大的困扰，尤其是在运用数形结合思想巧解题目时更是难上加难。

今天我们将通过几个例子来演示如何运用数形结合思想巧解高中数学题目。

例一：已知一个等边三角形的边长为a，求其高和面积。

解题思路：首先我们可以通过数学公式得出等边三角形的高和面积，公式如下：1. 等边三角形的高为：sqrt(3)/2*a2. 等边三角形的面积为：sqrt(3)/4*a^2接着我们可以通过数形结合思想来验证这两个公式。

我们可以画出等边三角形的图形，然后利用勾股定理来计算三角形的高和面积。

解题过程：首先我们画出一个等边三角形ABC，边长为a，然后我们假设高为h。

根据勾股定理，我们可以得到：a^2 = h^2 + (a/2)^2通过这个等式，我们可以求解出h的值，即：h = sqrt(3)/2 * a接着我们计算三角形的面积，根据公式S=1/2*底*高，我们可以得到三角形的面积为：S = sqrt(3)/4*a^2。

通过这种数形结合思想，我们不仅验证了等边三角形的高和面积的公式，而且更加深入地理解了这些公式的意义。

例二：已知梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，求其面积。

解题思路：梯形的面积公式为：S=(a+b)*h/2我们可以通过数形结合思想，将梯形拆分成两个三角形和一个矩形，然后分别计算它们的面积来求解梯形的面积。

解题过程：首先我们将梯形拆分成上下两个三角形和一个矩形。

然后我们分别计算这两个三角形和一个矩形的面积，然后相加起来就是梯形的面积。

三角形1的底长为a，高为h，面积为：Sa=1/2*a*h三角形2的底长为b，高为h，面积为：Sb=1/2*b*h矩形的长为(a+b)，宽为h，面积为：Sc=(a+b)*h最后将这三个部分的面积相加起来就是梯形的面积，即：S=Sa+Sb+Sc=(a+b)*h/2通过这种数形结合思想，我们可以更加直观地理解梯形的面积公式，并且能够灵活地应用到解题过程中。

运用数形结合思想解题例析

为（）．
、
利用数形结合的方法解决有关方程和不等式问题ｙ十
例１若关于的方程＋２ｘ＋ｋ
（１Ａ）
２
（）业Ｂ
３
３＝的两根都在区间（１３内，、Ｉｋ０一，）
求ｋ取范．的值围
确，要
＼Ｉ
Ｉ／
图１
０
）（）０＝一＜，／
＜３同时成立，
、丁（／如图３，而上＝）
一
Ｕ
则表
图３
一
１＜一
示圆上的点（，，＇与坐标原点（，Ｏ）０）
４基教论２１年期２础育坛［２第１ｊ０
一
【明】说数形结合法可以解决一些既不是无理方程，也不是
二次或三次方程的其他方程或不等式，也就是超越方程或者不
等式．例如本例题中。：ｌｇ的方程．ｌ。ｏＩ
二、利用数形结合法解决有关最大值最小值的问题例３如果实数，满足（一２＝３）＋，则的最大值
（Ｃ）３个
（）４以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如三角
函数等；
（）１Ｄ个或２个或３个
解：判断方程的根的个数
Ｉｌ
（）５所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等
式．
就是判断图象Ｙ＝Ⅱ 与Ｙ＝ ‘
有２个实根，选Ｂ．
ｊ，
图２
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在三角函数解题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避

中考代数几何-用数形结合的思想解题

中考用数形结合的思想解题1. 用数形结合的思想解题可分两类:（1）利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；（2）运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.2. 热点内容：在初中教材中，数的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数的图象对应着一条直线，二次函数的图象对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，数a 决定抛物线的开口方向, b 与a 一起决定抛物线的对称轴位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的大小变化.可分两类:（1）利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；（2）运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.方法点拨数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.数形结合问题，也可以看作代数几何综合问题.从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也会融入开放性、探究性等问题.经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图形运动过程中求函数解析式的问题等．解决这类问题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题；第三，要善于联系与转化，进一步得到新的结论.尤其要注意的是，恰当地使用综合分析法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题．类型一、利用数形结合探究数字的变化规律1. 如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是，格点三角形A2B2C2的面积是19S，那么格点三角形A3B3C3的面积为（）.A. 39SB. 36SC. 37SD. 43S答案与解析举一反三【思路点拨】设网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n C n三顶点分别在边长为（2n+1）个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n C n不重合的部分为三个小三角形；由此得到关于三角形A n B n C n面积公式，把n=3代入即可求出三角形A3B3C3的面积．【答案】C.【解析】网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n C n三顶点分别在边长为2n+1个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n C n不重合的部分为三个小三角形；而三角形A n B n C n 面积=边长为2n+1个单位的菱形面积-三个小三角形面积=2S（2n+1）2-,=S（8n2+8n+2-2n2-n-2n2-3n-1-n2-n），=S（3n2+3n+1），把n=3分别代入上式得：S3=S（3×32+3×3+1）=37S．故选 C．【总结升华】此题主要考查菱形的性质，也考查了学生的读图能力以及探究问题的规律并有规律解决问题的能力．【变式】正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线(k＞0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)，则B n的坐标是______________．答案与解析【答案】解：∵B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），∴正方形A1B1C1O1边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），代入 y=kx+b得：解得：则直线A1A2的解析式是：y=x+1．∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），∴点A3的坐标为（3，4），∴A3C2=A3B3=B3C3=4，∴点B3的坐标为（7，4），∴B1的纵坐标是：1=20，B1的横坐标是：1=21-1，∴B2的纵坐标是：2=21，B2的横坐标是：3=22-1，∴B3的纵坐标是：4=22，B3的横坐标是：7=23-1，∴B n的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1，则 B n（2n-1，2n-1）．∴B4的坐标是：（24-1，24-1），即（15，8）．故答案为：（15，8）．类型二、利用数形结合解决数与式的问题2. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|2-a|+的结果为__________.答案与解析【思路点拨】由数轴可知，0＜a＜2，由此去绝对值，对二次根式化简．【答案与解析】解：∵0＜a＜2，∴|2-a|+=2-a+a=2.故答案为：2．【总结升华】本题考查了绝对值的化简和二次根式的性质与化简，实数与数轴的对应关系．关键是根据数轴上的点的位置来判断数a的取值范围，根据取值范围去绝对值，化简二次根式．类型三、利用数形结合解决代数式的恒等变形问题3.（1）在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是__________________（用字母表示）．（2）设直角三角形的直角边分别是a，b，斜边为c，将这样的四个完全相同的直角三角形拼成正方形，验证等式a2+b2=c2成立。