空间向量基本定理汇总

1

装 订 线

庆云第一中学课堂导学案

（设计者：于长田 审核者：刘晓莉）

年级 高二 学科 数学 编号 x （2-1）44日期 2015-12-02 班级 姓名

3.1.2空间向量基本定理

一．学习目标：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向

量基本定理的证明。

二．自学指导：阅读课本P82—P84页注意下面问题。

1.共线向量定理：

2.共面向量：

3.共面向量定理：

4.空间向量分解定理： 三．知识应用

例1在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = a ，AD =b ，1AA =c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ：QA 1=4：1， 用基底{a 、b 、c }表示以下向量： （1）AP ，（2）AN ，（3）AQ

练习：1.已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，设，AB = a ，AD =b ，1AA =c 用基底{}

,,a b c

表示如下向量 ： (1) 111,,,AC AB A D DC (2)AG (G 是侧面CC 1D 1D 的中心)

2.已知空间四边形OABC 中，M,N 分别是对边OA,BC 的中点，点G 在MN 上，且MG=2GN.设OA=,a ,OB b = ,OC c =试用基底{}

,,a b c 表示OG

例2.已知向量a =1e －22e +33e ，=21e +2e ，=61e －22e +63e ， 判断a +b 与c 能否共面或共线？c －3b 与b －2a 能否共面或共线？

3 . 已知2,a i j k =-+ 32,b i j k =-++ -37c i j =+ 证明这三个向量共面。

4.已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p a b c =+-，235q a b c =--，71822r a b c =-++，向量p ，q ，r 是否共面？

例 3.已知矩形ABCD,P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD,M,N 分别为PC,PD 上的点，且

PM=2MC,PN=ND 求满足MN=x AB y AD z AP ++的实数x,y,z 的值。

5 已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1

（1）化简112

23

AA BC AB ++并在图上标出其结果。（2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧

面BCC 1B 1对角线BC 1上的

3

4

分点，设1MN AB AD AA αβλ=++试求,,αβλ的值。

练习巩固：

1．“a ＝x b ”是“向量a 、b 共线”的 ( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分也非必要条件

2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是

( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC → C.AB →＝BC →

D ．|AB →|＝|BC →|

3．已知{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是

A ．a

B ．b

C ．a ＋2b

D ．a ＋2c

4．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →

＝7a －2b ，则一定共线的三点是 (

)

A ．A 、

B 、D

B ．A 、B 、

C C ．B 、C 、D

D ．A 、C 、D 5．在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是

( )

A.OM →＝25OA →－15OB →－15OC →

B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →

C.MA →＋MB →＋MC →＝0

D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →

＝0

6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →

确定的一点P 与A ，

B ，

C 三点共面，则λ＝________.

7．在以下3个命题中，真命题的个数是________．

①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面．

②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线．

③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底． 8．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →

＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共

线，试求实数k 的值．

9.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝2

3

DD 1.

(1)证明：A 、E 、C 1、F 四点共面； (2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→

，求x ＋y ＋z .

装 订 线

庆云第一中学课堂导学案

（设计者：于长田 审核者：刘晓莉）

年级 高二 学科 数学 编号 x （2-1）43日期 2015-12-1 班级 姓名

一．学习目标：

（1） 理解空间向量概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法 （2） 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律

（3） 能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。 二．自学指导：(类比平面向量的概念推广空间向量的概念)，阅读课本P79—P81页内容，并注意下面问题： 1．向量的有关概念

(1) 向量：具有 和 的量．(2) 向量相等：方向 且长度 ．

(3) 零向量： 的向量，记作 ；规定：零向量与任意向量共线。

(4) 向量a

的长度或模： 记作 (5) 向量的基线： .

（6）共线向量或平行向量： ，记作 注意：区别两直线平行及共线

2．空间向量的加法、减法和数乘向量的运算： b 1）已知向量a =OA ,b =OB ， a

试画出a b a b +-及

2）数乘向量法则：怎样理解a λ与a

的关系？．

对a λ：当λ>0时 ， 当λ<0时 ， 当λ=0时 平面向量的三角形法则、平行四边形法则及“封口向量”在空间向量仍然成立。 3．线性运算律

(1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． 2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ．三．知识应用：

例1．已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并在图中标出

化简结果的向量。

（1）AB +AD +1AA （2）1DD -AB +BC （3）AB +AD +

2

1

（1DD -BC ） 从例题中得到什么结论,你是怎么理解的？

例2．M 、N 分别是四面体ABCD 的棱AB 、CD 的中点，

求证：MN =1

2

（AD +BC ）

巩固练习：

1．下列说法正确的是

( )

A ．在平面内共线的向量在空间不一定共线

B ．在空间共线的向量在平面内不一定共线

C ．在平面内共线的向量在空间一定不共线

D ．在空间共线的向量在平面内一定共线

2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →

，则四边形ABCD 是

( )

A ．空间四边形

B ．平行四边形

C ．等腰梯形

D ．矩形

3．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连接AM 、AG 、MG ，则AB →＋12(BD →＋BC →

)

等于

( )

A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

D

C

B

M N

A