空间向量基本定理汇总
空间向量的基本定理
是不共面的三个向量，请问向量
AC' 与它们是什么关系？
A
AC' AB AD AA'
B
问题2：
D’ C’
D C
如果向量 AB AD AA' 分别和向量a、b、c共线，
能否用向量a、b、． c表示向量 AC' ?
AC'＝xa+yb+zc
一、空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一
OB
B’
故实数x、y、z是唯一的．
A
A’
P’
二、几个基本概念：
空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量 生成，我们把｛a、b、c｝叫做空间的一个基底， a、b、c都叫做基向量．
说明：
①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的 一个基底．
②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量． （零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零 向量共面）
OB OC
1 2
OA
OG
1
OA
1 OB
1
A
OC.
633
O
G C N
B
三、课堂练习：
1、以知向量a,b,c是空间的一个基底，从a,b,c中 选一个向量，一定可以与向量p=a+b,q=a-b构成空 间的另一基底？ c
2、设空间四边形OABC，点M,N分别是边OA,BC,的中点，
开封市第二实验高中：孙义章
一、复习引入
1、平面向量基本定理：
同一平面内两个不共线的非零向量a、b， 对平面内任意向量p，有且只有一对实数x，
y，使：
p= xa+yb ．（a、b称基底）
空间向量基本定理
(2)、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
（ 3 ）、 e1 , e2 , e3中能否有 0？
(4) 基底指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量， 二者是相关联的不同概念。
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直, 那么这个基底叫正交基底. 特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单 位向量时,称为单位正交基底，通常用 i, j , k 表示.
1、 如 果 a, b 与 任 何 向 量 都 不 能 构 空 成间的 一个基底， 则a与b 有 什 么 关 系 ？ 共线
2、 判 断 ： O, A, B, C为 空 间 四 点 ， 且 向 量 OA, OB, OC不 构成空间的一个基底 ,那么点 O, A, B, C有 什 么 关 系共面 ？
通过平面向量基本定理来类似地推广到 空间向量中吗？ 空间向量基本定理:
如果三个向量 e1 , e2 , e3不 共 面 ，那 么 对 空 间 பைடு நூலகம் 一 向 量p，存 在 惟 一 的有序实数组 ( x, y, z )， 使
p xe1 ye2 z e3
z O x
y
建构数学
空间向量基本定理:
2、推论中若x+y+z=1，则必有P、A、B、C四点共面。
数学运用
例1、 已 知 向 量 a, b, c 是 空 间 的 一 个 基 底 ， a 从 , b, c 中 选 哪 个 向 量 ， 一 定以 可 与 向 量p a b, q a b 构 成 空 间 的 另 一 个 基？ 底
答：向量 c ，因为如果 c与a b ， a b共面，那么 c与a ， b共面，这与已知矛盾。
空间向量的基本定理
a， ＝b， ＝c，p是CA '的中点，M是CD'的中 AD AA' 点，N是C' D'的中点，点Q在CA'上，且
A 1 1)AP (a b c) ； 2 B 2)AM 1 a b 1 c P 2 2 1 A 3)AN a b c 2
1 1 4 a b c 4） AQ 5 5 5 B
空间向量基本定理
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 b 0）， b的 （ b a// 充要条件是存在实数λ，使a ＝λ 。 b
共面向量定理:
如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b 共面的充要条件是存在 实数对x，y，使 p a b。 ＝x ＋y
平面向量基本定理：
如果e1， 是同一平面内的两个不共线向量， e2 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数λ，λ ，使a ＝λ e1＋λ e2。 1 2 1 2 （e1、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底） e
OP OP P P OA OB P P xOA yOB zOC xa y b zc
A'
P'
可以证明此表达式是唯一的
例题:
已知空间四边形OABC，其对角线为OB， AC，M、N分别是对边OA，BC的中点，点G 在线段MN上，且使MG=2GN，用基向量OA， OB，OC表示向量OG。
CQ：QA'＝4 : 1，用基底｛ ，c a b， ｝表示以下向量：
D C
Q
M
N
D C
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空 间任一向量p，存在一个唯一的有序实数 组x，y，z，使p＝xa ＋yb＋zc 。 空间所有向量的集合可表示为
高二数学空间向量基本定理
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一 向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p＝xa＋yb＋zc。
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底， 零向量的表示唯一。
空间向量基本定理
复习：
共线向量定理。
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
CQ：QA'＝4 :1，用基底｛a，b，c｝表示以下向量：
1)AP；
A'
D'
2)AM 3)AN
N
B'
C'
Q
4）AQ
A DBiblioteka BC例题：
平行六面体ABCD －A1B1C1D1, M在面对角线
A1B上，N在面对角线B1C上，且MN//AC1 , 记
NM、AC1确定的平面为，BB1 ＝p，求 D
A1M ，B1N ，MN 。
推论：设 o、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点 P，都存在唯一的有序实 数对x，y， z，使op＝xoA＋yoB＋zoC。
例题：
如图，在平行六面体ABCD －A'B'C'D'中，AB＝
a，AD＝b，AA'＝c，p是CA'的中点，M是CD'的中 点，N是C' D'的中点，点Q在CA' 上，且
空间向量的基本定理
3空间向量分解定理
空间向量的分解定理：如果三个向量
么对空间任意一个向量 p 使 p xa yb zc
a, b, c
不共面，那
，存在唯一的有序实数组
x, y, z
空间向量的 分解
空间向量的分解定理：如果三个向量
p 么对空间任意一个向量 p xa yb zc 使
两个平面向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
两个空间向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
2平面向量基本定理： 如果 a 和 b 是一平面的两个不共线 的向量，那么该平面内的任一向 量 c ，存在唯一的一对实数 x, y 使得
1平行向量基本定理：
两个平面向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
2平面向量基本定理： 如果 a 和 b 是一平面的两个不共线 的向量，那么该平面内的任一向 量 c ，存在唯一的一对实数 x, y 使得
c xa yb
1平行向量基本定理：
小组合作：
这就说明c与a, b共面
1平行向量基本定理：
1共线向量定理：
两个平面向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
两个空间向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
2平面向量基本定理： 如果 a 和 b 是一平面的两个不共线 的向量，那么该平面内的任一向 量 c ，存在唯一的一对实数 x, y 使得
c分解成xa和yb
（4）讨论这两个定理是否 适用空间向量
高二数学空间向量基本定理
例题：
如图，在平行六面体 ABCD－A ' B'C ' D '中， AB ＝ a， AD ＝b， AA' ＝c，p是CA '的中点，M是CD'的中 点，N是C' D'的中点，点Q在CA'上，且 CQ：QA'＝4 : 1，用基底｛ a， b， c ｝表示以下向量： 1)AP ； 2)AM 3)AN 4） AQ
B1
他壹口，非说他是逼迫着她上报假情况，还说啥啊欺君之罪。好，好，你家主子可是壹次侍寝记忆都没有，现在又报不上来月信情况，那咱们现在倒是要走着瞧，看看到底是谁 在欺君！到时候不要怪我陆某人不讲情面，等我把这件事情报到福晋那里，看你月影，还有你家主子，就是壹只，噢不，就是两只没毛の鸭子――就剩嘴硬咯！第壹卷 第444章 验证排字琦盯着陆公公，又看咯看记忆册，根本不敢相信自己の耳朵：“你说月影不给你上报？”“回禀福晋，确实如此。奴才找到怡然居，月影居然还说：有就是有，没有就 是没有，假设奴才非逼着她上报，这就是欺君之罪。”排字琦の头立即大咯好几圈！这到底是啥啊情况？直觉让她立即回想起八月十五那天早上在天仙妹妹の房里见到宿酒未醒 の王爷，还有呆若木鸡の年妹妹，当时她没有多想，光顾着赶快服侍他咯，现在回想起来，才发觉那壹天实在是太过蹊跷。爷甚至连靴子都没有脱，年妹妹再没有服侍爷の经验， 也不至于连靴子都不给爷脱下吧。年妹妹呢？当时没注意看，但她壹直是蜷缩在里侧の床角，见咯她这各福晋姐姐，既没有请安，也没有上前帮助她服侍爷，相反，临走の时候 居然还让她转告：请爷从此不要再踏进半步。当时只当是她被爷教训咯壹顿，被教训傻咯，直说胡话。再有就是前几天の生辰宴，壹直吐到宴席都快要散咯，最后终究是没有回 到席上，直接回咯怡然居。唉，自己怎么这么大意，还以为是胃痛症犯咯呢，不过，天仙妹妹确实是最爱犯胃痛症呢。排字琦之所以如此疏忽大意，完全是因为那两各人简直就 是井水不犯河水，各行各の阳关道，各走各の独木桥，若说这两人有啥啊关系，谁能相信？可是现在の情况又充分说明，这两各人还真就有咯啥啊关系！可是王爷呢？怎么从来 都没有说起来过？而且侍寝记忆上没有任何记载，是另有啥啊考虑和打算，还是？搞不清状况の排字琦不敢贸然行事，虽然她不识字，可是她还是将记忆册页留下咯，待陆公公 退下去之后，她立即吩咐红莲：“赶快去苏培盛那里，让他请太医到怡然居，太医到咯以后告诉我，我要亲自去壹趟。”福晋の亲自坐镇，令张太医惊讶万分！怡然居の这各侧 福晋可是壹各从来不得宠の主子，怎么今天居然将福晋请到咯？而且苏总管也在院外候着，这是啥啊新情况？难道这各主子开始受宠咯？隔着屏风、隔着绢帕，随着脉像越来越 清晰，张太医也就渐渐地明白咯：怪不得呢，如此兴师动众，果然是这各主子开始受宠咯，原来是喜脉！送走咯张太医，排字琦意味深长地望向天仙妹妹，她真是越来越看不明 白这各迷壹般の天仙妹妹。以前受咯天大の委屈、挨咯最严厉の家法，也不见她像现在这样，整各人痴痴地、木木地，没有咯壹点儿灵气与鲜活。能够被爷宠幸，那是好些诸人 梦寐以求、求之不得の事情！得咯爷の恩宠，那可是壹辈子都享不完の荣华富贵。再说王府の子嗣壹直极为单薄，好不容易有壹各怀咯身孕の主子，这可是天大の喜事，要成为 王府の头号功臣被供奉起来。哪各院子の诸人怀咯身孕不是欣喜异常，喜不自禁，怎么就这各年妹妹，竟然是壹副心如死水の样子？第壹卷 第445章 报喜望着面色依然冷冷の 年妹妹，排字琦开口说道：“妹妹，刚刚张太医の话你可是都听到咯没有？你怎么壹点儿也不高兴呢？”“多谢姐姐，能为爷延续血脉、开枝散叶是妹妹の本分。”望着这各规 矩回话の妹妹，排字琦不由得在脑海中闪现出妹妹刚刚嫁到府里来の那段日子，那各半倚在藤萝架下の贵妃榻上，悠然自得翻书读诗の小姑娘，是何等の快乐惬意、怡然自得。 不过是才三四年の光景，那各鲜灵活泼、无忧无虑の小姑娘，却是变成咯眼前这副死气沉沉の模样，让排字琦不由得感慨万千。以前，无论王府里哪各姐姐妹妹有咯身孕，都是 刺向排字琦心头の壹根刺，会让她不主自主地想起她那早殇の小小格――晖儿。眼看着壹各壹各の小小格小格格们降生，可是他们の额娘却都不是她这各嫡福晋，幽怨、悲伤、 心痛，不壹而足。可是唯有这壹次，对于年妹妹，她壹反常态地不再是心生悲痛，心生妒忌，反而却是心生怜悯。这些年走过来，王爷和天仙妹妹之间の恩恩怨怨，她早就咯如 指掌。但是在子嗣这么重大の事情上，年妹妹仍然与王爷针锋相对、寸步不让，这让排字琦对水清又心生壹丝不满。两各人之间再有多大の矛盾和不满，作为爷の诸人，安分守 己、生儿育女，是每各女眷最大の本分。年妹妹在安分守己这方面自然是格外出挑，但是在生儿育女方面，做得实在是太不对咯。不管年妹妹の心中是如何の心不甘情不愿，事 实已经摆在咯这里，子嗣问题可是王府天大の事情，排字琦必须第壹时间禀报给王爷，于是她人还在怡然居里呢，就当着水清の面吩咐红莲：赶快给朗吟阁传话，爷回来后她需 要立即求见。今天王爷回来得不算晚，没壹会儿排字琦就得到咯秦顺儿传来の回信儿，于是她片刻未敢耽搁，带上记忆册页就和红莲两人直奔朗吟阁。“给爷请安。”“起来吧， 今天有啥啊事情这么着急？”“回爷，今天，今天陆公公来找妾身。”“哪各陆公公？”“就是，负责侍寝记忆の陆公公。”“怎么，他能有啥啊事情？”排字琦见王爷壹脸错 愕の样子，只好硬着头皮将小陆子禀报の情况又原封不动地跟他说咯壹遍。说完之后，排字琦难以置信地发现，王爷居然更是壹脸错愕の表
空间向量的定义和基本定理
空间向量的定义和基本定理一、空间向量的定义和基本定理1、空间向量与平面向量一样，在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。
2、空间向量基本定理（1）共线向量定理定理：对空间任意两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$($\boldsymbolb$≠0），$\boldsymbol a∥\boldsymbol b$的充要条件是存在实数$\lambda$，使$\boldsymbol a$=$λ\boldsymbol b$。
推论：如果$l$为经过已知点$A$且平行于已知非零向量$\boldsymbol a$的直线，那么对空间任一点$O$，点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$，使$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\boldsymbol \alpha$①。
其中向量$\boldsymbol a$叫做直线$l$的方向向量。
在$l$上取$\overrightarrow{A B}=\boldsymbol a$，则①式可化为$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\overrightarrow{A B}$或$\overrightarrow{O P}=(1-t)\overrightarrow{O A}+t\o verrightarrow{O B}$②。
当$t=\frac{1}{2}$时，点$P$是线段$AB$的中点，则$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$③。
①②式都叫做空间直线的向量表示，③式是线段$AB$的中点公式。
（2）共面向量定理定理：如果两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$不共线，那么向量$\boldsymbol p$与向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（$x$，$y$），使$\boldsymbol p$=$x\boldsymbol a$+$y\boldsymbol b$。
空间向量的基本定理空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理一、引言空间向量是三维空间中的一个有向线段，是研究几何、物理等学科中经常使用的基本概念。
在研究空间向量的性质和应用时，需要掌握空间向量的基本定理。
二、定义1. 空间向量的表示在三维空间中，一个向量可以用它的起点和终点表示。
设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，则以A为起点，B为终点的有向线段AB就是一个向量，记作AB。
2. 空间向量的加法设有两个非零向量a和b，在它们各自平移后所在直线上任取一点P 和Q，并以它们为对角线作平行四边形，则以P为起点，Q为终点所得到的有向线段就是a+b。
3. 空间向量的数乘设k为实数，k与非零向量a相乘所得到的新向量记作ka。
当k>0时，ka与a同方向；当k<0时，ka与a反方向；当k=0时，ka=0。
4. 两个非零向量共线如果两个非零向量a和b共线，则存在实数k使得b=ka。
5. 两个非零向量垂直如果两个非零向量a和b垂直，则它们的数量积为0，即a·b=0。
三、基本定理1. 平面向量的基本定理对于任意两个非零向量a和b，有以下三个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论称为平面向量的基本定理。
2. 空间向量的基本定理对于任意三个非零向量a、b和c，有以下六个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论与平面向量的基本定理相同。
（4）a+(–a)=0对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。
（5）(–1)a=–a对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。
而且当k=-1时，ka=-a。
这些结论称为空间向量的基本定理。
四、证明1. 平面向量的基本定理的证明（1）a+b=b+a由向量加法的定义可知，a+b和b+a的起点和终点相同，因此它们相等。
空间向量基本定理
回顾复习
一、共线向量： 1.共线向量:
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，
则这些向量叫做共线向量或平行向量．
r
r
r a
平行于
r b
记作
r a
//
r b
．
规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
rrr r
2、共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(a 0),
ur r r
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
r b
C
ur p
P
请证明
A
r a
B
思考2：有平面ABC， 若P点在此面内，须 满足什么条件？
ur
rC
p
br Aa
B
P
O
结论:空间一点P位于平面ABC内
uuur uuur uuur
1.存在唯一有序实数对x,y使 AP x AB y AC
uuuur uuuur uuuur (4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
ur ur
2.
已知uue1ur, e2
是平面内两个不共线的向量,
ur uur uuur ur uur
uuur
ur
uur
若AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 , AD 3e1 3e2 ,
uuur OP
2
uuur OA1来自uuur OB2
uuur OC
;
555
uuur uuur uuur uuur
(2) OP 2OA 2OB OC ；
uuur r uuur r
例1.如图三棱柱,设AB a, AC b, A1
空间向量基本定理
O
(3)是线段AB的中点公式
二、共面向量
(1).已知平面α与向量 a,如果 向量a 所在的直线OA平行于
a
O
A
平面α或向量 a在平面α内,那 么我们就说向量 平a 行于平面
a
α,记作 //aα.
α
(2)共面向量:平行于同一平面的向量 思考: 空间任意两个向量是否一定共面? B 空间任意三个向量哪?
A D
C
(3) 共面向量定理:
如果两个向量 a 、b不共线， 则向量 与向p 量 a 、共b
B b
p
P
面的充要条件是存在实数 对x、y，使
M a A A'
p xa yb
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有 序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有
MG
1 OA 2
2 3
MN
M
1 OA 2 (ON OM )
A
GC N
2
3
1 OA 1 OB 1 OC
6
3
3
B
练习
1.已知空间四边形OABC，点M、N分别是
边OA、BC的中点，且OA a，OB b ，
OC c，用 a , b , c 表示向量 MN
O M
MN 1 OB 1 OC 1 OA 222
C
OG
1
a b
1
c
2
2
A
B
3 如图，在平行六面体 ABCD ABCD中，E, F,G 分 新疆 王新敞 奎屯
别是 AD, DD, DC 的中点，请选择恰当的基底向量 证明：
（1） EG // AC
高二数学空间向量基本定理
复习：
共线向量定理。
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
平行六面体ABCD －A1B1C1D1, M在面对角线
A1B上，N在面对角线B1C上，且MN//AC1 , 记
NM、AC1确定的平面为，BB1 ＝p，求 D
A1M ，B1N ，MN 。
A1B B1C AC
A
C B
M
D1C1Nຫໍສະໝຸດ PA1B1
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一 向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p＝xa＋yb＋zc。
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底， 零向量的表示唯一。
推论：设 o、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点 P，都存在唯一的有序实 数对x，y， z，使op＝xoA＋yoB＋zoC。
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会认为它是宝石而为之雀跃。知识告诉我们这是玻璃，因此知识剥夺了我们的快乐。 ? 我常常在幼儿园的栅栏外伫立，因此引起阿姨们的怀疑，以为我是人贩子或暗恋哪位小阿姨。我读过一本苏联小说，讲述一位私生子的父亲常去幼儿园看望自己的私生子，一想起这个，我就慌了，怕同样读过这 本书的人认为我也有私生子。 ? 我认为充分表达对子女的爱，不是人类及其它，而是袋鼠，怀里
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
空间向量基本定理
答案：A′C― →＝B′C′― →－DD′― →＋AB― →
知识要点一：空间向量基本定理的理解 1．空间向量基本定理与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从 而分解结果也多了一“项”，解决问题的思路，步骤也基本相同． 2．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量 a，b，c 可以线性表示出空 间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的． 对于基底{a，b，c}除了应知道 a，b，c 不共面，还应明确： (1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所 有向量均可由基底唯一表示． (2)由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量 不共面，就隐含着它们都不是 0.
解析：由基底定义知应选 D.
4． 如图， 在长方体 ABCDA′B′C′D′中向量 A′C― →可用向量 AB― DD′― →， →， B′C′― →表示为__________________．
解析：∵A′C― →＝A′D′― →＋D′D― →＋DC― →， 又∵A′D′― →＝B′C′― →，DC― →＝AB― →，D′D― →＝－DD′― → ∴A′C― →＝B′C′― →－DD′― →＋AB― →.
1 1 解析：MN― →＝MC1― →＋C1N― →＝ BC1― →－ AC1―→ 2 3 1 1 ＝ (AC1― →－AB― →)－ AC1― → 2 3 1 1 ＝ AC1―→－ AB― → 6 2 1 1 ＝ (AC―→＋AA1― →)－ AB―→ 6 2 1 1 1 ＝ a－ b＋ c 6 2 6 1 1 1 答案： a－ b＋ c 6 2 6
用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法 的平行四边形法则、加法、减法的三角形法则．
04空间向量基本定理
数学运用
已知向量
a , b , c 是空间的一个基底，从
？
例题1：
a , b , c中
选哪个向量，一定可以 构成空间的另一个基底
与向量 p a b , q a b
答：向量 c，因为如果 c与 a b， b 共面，那么 c与 a，任何向量都不能构成 则 a 与 b 有什么关系？ 共线
练习.如图，已知平行四边形ABCD,从平
面AC外一点O引向量 O E k O A , O F k O B , OG k OC ,OH k OD ,
求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC.
1 （ 2 x y） 1 ∴ 1 x 1 ∴ B 1 C O D O C 1， （ x y） 0 即 y 1 2 x 1
1 1 1 1 ） a b 则 c a x （b a） c y （a b （ x y） （ x y） x c 2 2 2 2 b ∵a ， ，不同面， b c a
所以 E、F、G、H共面。 ②E F O F O E k O B k O A k ( O B O A ) k A B 由①知
E G k A C E G // A C E F // A B
由面面平行判定定理的推论得：面 E G // 面 A C
例 4.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中， O 是 B1D1 的中点，求证：B1C∥面 ODC1.
如果两个向量共面的充要条件是存在唯一的有b序实数对xayb12是同一平面内的两个不线向量那么对于这一平面内的任一向量a有且只有一对实数12叫做表示这一平面内所有向量的一组基底这表明
高二数学空间向量基本定理
例题：
如图，在平行六面体ABCD －A'B'C'D'中，AB＝
a，AD＝b，AA'＝c，p是CA'的中点，M是CD'的中 点，N是C' D'的中点，点Q在CA' 上，且
CQ：QA'＝4 :1，用基底｛a，b，c｝表示以下向量：
1)AP；
A'
D'
2)AM 3)AN
N
B'
C'
Q
4）AQ
A D
B
C
例题：
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一 向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p＝xa＋yb＋zc。
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底， 零向量的表示唯一。
平行六面体ABCD －A1B1C1D1, M在面对角线
A1B上，N在面对角线B1C上，且MN//AC1 , 记
NM、AC1确定的平面为，BB1 ＝p，求 D
A1M ，B1N ，MN 。A1B B1Fra bibliotek ACA
C B
M
D1
C1
N
P
A1
B1
推论：设 o、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点 P，都存在唯一的有序实 数对x，y， z，使op＝xoA＋yoB＋zoC。
；舟山出海捕鱼 舟山出海捕鱼
；
文人独嗜，百姓亦胸有丘壑，尤其在一个特殊日子里，更是趋之若鹜、乐此不疲，此即九九重阳的“登高节”。 我始终认为，这是中国先民一个最浪漫、最诗意的节日。 秋高气爽，丹桂飘香，心旷神怡
11.2空间向量的基本定理
uuu uuu r r OP = OA + ta
其中向量a叫做直线 的方向向量 其中向量 叫做直线l的方向向量 叫做直线 的方向向量.
3、向量与平面平行： 、向量与平面平行： 已知平面β和向量 ， 已知平面 和向量a，作 和向量 或在内， 平行于平面β 记作： 于β或在内，那么我们说向量 平行于平面 ，记作： 或在内 那么我们说向量a平行于平面 a // β 。 通常我们把平行于同一平面的向量， 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明： 说明：空间任意的两向量都是共面的
（必要性） 必要性） 设存在实数x,y使 uuuu 设存在实数 使p=xa+yb 取空间任意一 r uuur uuur uuur ’ 点M，作 M A = a， B = b， A = xa， ’ = yb ， ， M M AP uuur 在平面MAB内， 则 MP =xa+yb=p，于是点 在平面 ，于是点P在平面 内 向量p//平面 平面MAB. 即p与向量 共面 与向量a,b共面 向量 平面 与向量 共面.
C N B
A
1 2 OG = OM + MG = 2 OA + 3 MN 1 2 = OA + ( ON − OM ) 2 3
1 1 1 = OA + OB + OC 6 3 3
例2 :已知平行六面体OABC − O' A' B' C '， r r r r r r 且OA＝a , OC = b , OO' = c , 用a , b , c 表示 如下向量：)OB', BA', CA'; (2)OG (G是侧 (1 面BB' C ' C的中心）
空间向量基本定理
叫做把空间向
量进行正交分解.
二、证明平行、共面问题
二、证明平行、共面问题
例1 如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′， DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明： (1)EG∥AC；
(2)平面EFG∥平面AB′C.
证（1）取基底{A—A→′，A→B，A→D}， 因为E→G＝E—D→′＋—D′—→G ＝12A→D＋12A→B，A→C＝A→B＋A→D＝2E→G， 所以E→G∥A→C，
在棱CD上，且CG＝
1 3CD.
(1)证明：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值.
证（1）设D→A＝i，→DC＝j，D→D1＝k，
则{i，j，k}构成空间的一个正交基底.
所以E→F＝E→D＋D→F＝－12k＋12(D→A＋A→B)＝12i＋12j－12k，—B1→C ＝—B1→B ＋B→C＝－i－k， 所以E→F·—B1→C ＝12i＋12j－12k·(－i－k)＝－12|i|2＋12|k|2＝0，所以EF⊥B1C.
一、空间向量基本定理
一、空间向量基本定理 空间向量 如果三个向量a, b, c不共面, 那么对任意一个空间向量 p, 基本定理 存在唯一的有序实数组( x, y, z), 使得 p xa yb zc.
空间任意
基
三个不共 面的向量
底
都可以构
成空间的
一个基底
特别地,
如果空间的
单 一个基底中的三
所以FG∥平面AB′C. 又由(1)知EG∥AC，可得EG∥平面AB′C，
又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面AB′C.
二、证明平行、共面问题
【练1】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且
3.1.3 空间向量基本定理
pab， p a b
构成空间的另一个基底？
分析：看三个向量是否构成空间的一个基底， 就是看这三个向量是否共面
范式演练 例1.已知向量 {a , b , c} 是空间的一个基底，从
a , b , c 中选哪一个向量，一定可以与向量
pab， p a b
A A1
B P1
B1
p=OP OA1 OB1 PP 1 xe 1 ye2 ze3
二、空间向量的基本定理：
数学建构
如果e1 , e2 , e3是三个不共面的向量，那么对于 使 p =xe1 ye2 ze3
C
' ' ' ' ' '
空间内的任意一向量 p, 存在唯一的有序实数对（x, y, z） ,
y z a y z b xc 0
即 xc y a b z a b 0 设xc y p zq 0 ，
a, b, c是空间中的一个基底
c, p, q
范式演练 1. 如果向量 a , b与任何向量都不能构成 空间的一个基底，那么 a , b 之间应有什 么关系？ 2.已知向量 {a , b , c} 是空间的一个基底，则下列各 组的向量中，不能构成空间的一个基底的是：
如果e1， e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数λ 1，λ 2，使a＝λ 1 e1＋λ 2 e2。 （e1、 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底)
平面内任一向量可以用该平面内的两个不 共线向量来线性表示.
猜想:
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1装 订 线庆云第一中学课堂导学案（设计者：于长田 审核者：刘晓莉）年级 高二 学科 数学 编号 x （2-1）44日期 2015-12-02 班级 姓名3.1.2空间向量基本定理一．学习目标：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明。
二．自学指导：阅读课本P82—P84页注意下面问题。
1.共线向量定理：2.共面向量：3.共面向量定理：4.空间向量分解定理： 三．知识应用例1在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = a ，AD =b ，1AA =c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ：QA 1=4：1， 用基底{a 、b 、c }表示以下向量： （1）AP ，（2）AN ，（3）AQ练习：1.已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，设，AB = a ，AD =b ，1AA =c 用基底{},,a b c表示如下向量 ： (1) 111,,,AC AB A D DC (2)AG (G 是侧面CC 1D 1D 的中心)2.已知空间四边形OABC 中，M,N 分别是对边OA,BC 的中点，点G 在MN 上，且MG=2GN.设OA=,a ,OB b = ,OC c =试用基底{},,a b c 表示OG例2.已知向量a =1e －22e +33e ，=21e +2e ，=61e －22e +63e ， 判断a +b 与c 能否共面或共线？c －3b 与b －2a 能否共面或共线？3 . 已知2,a i j k =-+ 32,b i j k =-++ -37c i j =+ 证明这三个向量共面。
4.已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p a b c =+-，235q a b c =--，71822r a b c =-++，向量p ，q ，r 是否共面？例 3.已知矩形ABCD,P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD,M,N 分别为PC,PD 上的点，且PM=2MC,PN=ND 求满足MN=x AB y AD z AP ++的实数x,y,z 的值。
5 已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1（1）化简11223AA BC AB ++并在图上标出其结果。
（2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设1MN AB AD AA αβλ=++试求,,αβλ的值。
练习巩固：1．“a ＝x b ”是“向量a 、b 共线”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC → C.AB →＝BC →D ．|AB →|＝|BC →|3．已知{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c4．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是 ()A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 5．在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A.OM →＝25OA →－15OB →－15OC →B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝06．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________.7．在以下3个命题中，真命题的个数是________．①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面．②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线．③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底． 8．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，试求实数k 的值．9.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A 、E 、C 1、F 四点共面； (2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z .装 订 线庆云第一中学课堂导学案（设计者：于长田 审核者：刘晓莉）年级 高二 学科 数学 编号 x （2-1）43日期 2015-12-1 班级 姓名一．学习目标：（1） 理解空间向量概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法 （2） 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律（3） 能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。
二．自学指导：(类比平面向量的概念推广空间向量的概念)，阅读课本P79—P81页内容，并注意下面问题： 1．向量的有关概念(1) 向量：具有 和 的量．(2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 零向量： 的向量，记作 ；规定：零向量与任意向量共线。
(4) 向量a的长度或模： 记作 (5) 向量的基线： .（6）共线向量或平行向量： ，记作 注意：区别两直线平行及共线2．空间向量的加法、减法和数乘向量的运算： b 1）已知向量a =OA ,b =OB ， a试画出a b a b +-及2）数乘向量法则：怎样理解a λ与a的关系？．对a λ：当λ>0时 ， 当λ<0时 ， 当λ=0时 平面向量的三角形法则、平行四边形法则及“封口向量”在空间向量仍然成立。
3．线性运算律(1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． 2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ．三．知识应用：例1．已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量。
（1）AB +AD +1AA （2）1DD -AB +BC （3）AB +AD +21（1DD -BC ） 从例题中得到什么结论,你是怎么理解的？例2．M 、N 分别是四面体ABCD 的棱AB 、CD 的中点，求证：MN =12（AD +BC ）巩固练习：1．下列说法正确的是( )A ．在平面内共线的向量在空间不一定共线B ．在空间共线的向量在平面内不一定共线C ．在平面内共线的向量在空间一定不共线D ．在空间共线的向量在平面内一定共线2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．空间四边形B ．平行四边形C ．等腰梯形D ．矩形3．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连接AM 、AG 、MG ，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )ABCDA 1B 1C 1D 1DCBM NAA.AG →B.CG →C.BC →D.12BC →4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．如图，空间四边形OABC ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在 OA 上，且OM ＝2MA ，N 是BC 的中点，则MN →等于( ) A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12 C.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c6．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A.AB →＝AC →＋BC →B.AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向7．化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________.8．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →＝____________.9.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点．若 AE →＝12OD →＋xOB →－32OA →，则x ＝________.10．已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，1)写出分别与向量AB ，AD ，1AA 相等的向量。
2)化简向量 ⑴11AB B C + ⑵.11AB A D - ⑶.1AB CB AA ++ ⑷.1BA BC CC ++ ⑸.1AD CC BA +-11、已知空间四边形ABCD ，连接AC,BD, 设M,G 分别是BC,CD 的中点，化简下列各表达式 1）AB BC CD ++2)1()2AB BD BC ++ 3)1()2AD AB AC -+12.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心，求下列各式中的x,y,z 的值。
（1）1BD =x AD +y AB +z 1AA (2)AE =x AD +y AB +z 1AAA BCDA 1B 1C 1D 1MBG CDA装 订 线庆云第一中学课堂导学案（设计者：于长田 审核者：刘晓莉）年级 高二 学科 数学 编号 x （2-1）45日期 2015-12-03 班级 姓名 3.1.3空间向量的数量积一．学习目标：1、掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2、掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律；二．自学指导：阅读课本P85—P88页内容并注意下面问题：1．空间向量的夹角及其表示：2、异面直线： ；3、两条异面直线所成得的角： ；如果 ，则称两条异面直线垂直。
4．向量的模：5．向量的数量积：6．空间向量数量积的性质：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 7．空间向量数量积运算律： （1） ；（2） ；（3）三．知识应用例2．已知平面α⊥平面β，α∩β=l ，点A 、B 在α内，并且它们在l 上的正射影分别为A ’，B ’；C ，D 在β内，并且它们在l 上的正射影分别为C ’，D ’，求证：例3．已知长方体ABCD －A ’B ’C ’D ’，AB =AA ’=2，AD =4，E 为侧面AB ’的中心, F 为A ’D ’的中点，计算下列数量积：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作： ； 已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 数量积，记作 ， 即 ．''''AB CD A B C D ⋅=⋅'BC ED ⋅'BF AB ⋅'EF FC⋅例1．如图表示一个正方体，求下列各对向量的夹角： （1）AB 与''A C ； （2）''AB C A 与； （3）''AB A D 与； （4）''AB B A 与。