小学数学竞赛:基本图形的面积计算.教师版解题技巧 培优 易错 难
【奥赛】小学数学竞赛:不规则图形的面积.学生版解题技巧 培优 易错 难
本讲主要通过求一些不规则图形的面积,体会一种转化思想,重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法,包括平移、旋转、割补、差不变原理,通过这些方法的学习,让学生体会求面积的技巧,提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力.【例 1】 你有什么好的方法计算所给图形的面积呢?(单位:厘米)3994399439943994图1 图2 图3【巩固】如图是学校操场一角,请计算它的面积(单位:米)30203040【巩固】如右图所示,图中的ABEFGD 是由一个长方形ABCD 及一个正方形CEFG 拼成的,线段的长度如图所示(单位:厘米),求ABEFGD 的周长和面积.10104GF ED CB AGH F ED CB A41010【巩固】求图中五边形的面积.例题精讲4-2-6.不规则图形的面积6453【例 2】这是一个楼梯的截面图,高280厘米,每级台阶的宽和高都是20 厘米.问,此楼梯截面的面积是多少?【巩固】如图是一个楼梯的截面图,每级台阶的宽和高都是20厘米.这楼梯的截面积是多少平方厘米?【例 3】有一块菜地长16米,宽8米,菜地中间留了宽2米的路,把菜地平均分成四块,每一块地的面积是多少?【例 4】有10张长3厘米,宽2厘米的纸片,将它们按照下图的样子摆放在桌面上,那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米?【例 5】 下图(单位:厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起,求阴影部分的面积.【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位:厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积.FBA【例 6】 如图,李大伯给一块长方形田地喷药,喷药器所能喷洒的范围是以李大伯的落脚点为中心,边长2米的正方形区域,他从图中的A 点出发,沿最短路线(图中虚线)走,走过88米到达B 点,恰好把这块田地全部喷完,这块田地的面积是多少平方米?BA 1米1米【例 7】 右图中甲的面积比乙的面积大__________平方厘米.6厘米8厘米4厘米【例 8】 右图中,矩形ABCD 的边AB 为4厘米,BC 为6厘米,三角形ABF 比三角形EDF 的面积大9平方厘米,求ED 的长.AB CDE F【巩固】如图所示,4CA AB ==厘米,ABE △比CDE △的面积小2平方厘米,求CD 的长为多少厘米?ABE C D【巩固】如图,平行四边形ABCD 种,10BC cm =,直角三角形ECB 的边8EC cm =,已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大210cm ,求平行四边形ABCD 的面积.G FEDCBA【例 9】 如图,ABCD 是74⨯的长方形,DEFG 是102⨯的长方形,求BCO 与EFO 的面积差.O B C D GFE A【例 10】 有一个长方形菜园,如果把宽改成50米,长不变,那么它的面积减少680平方米,如果使宽为60米,长不变,那么它的面积比原来增加2720平方米,原来的长和宽各是多少米?680平方米2720平方米60【巩固】有一个长方形,如果宽减少2米,或长减少3米,则面积均减少24平方米,求这个长方形的面积?2【例 11】 一块长方形铁板,长15分米,宽12分米,如果长和宽各减少2分米,面积比原来减少多少平方分米?【例 12】 一个长方形,如果长减少5厘米,宽减少2厘米,那么面积就减少66平方厘米,这时剩下的部分恰好成为一个正方形,求原来长方形的面积?【巩固】一块长方形纸片,在长边剪去5cm,宽边剪去2cm后(如图),得到的正方形面积比原长方形面积少231cm.求原长方形纸片的面积.52【巩固】一个正方形,如果把它的相邻两边都增加6厘米,就可以得到一个新正方形,新正方形的面积比原正方形大120平方厘米.求原正方形的面积?66【例 13】一块正方形的钢板,先截去一个宽5分米的长方形,又截去一个宽8分米的长方形(如图),面积就比原来正方形减少181平方分米.原正方形的边长是多少分米?85【巩固】一张长方形纸片,先把长剪去8厘米,这时面积减少了72平方厘米,又把宽剪去5厘米,这时面积又减少了60平方厘米,原来这张长方形纸片的面积是多少平方厘米?5【巩固】如右图所示,在一个正方形上先截去宽11分米的长方形,再截去宽7分米的长方形,所得图形的面积比原正方形减少301平方分米.原正方形的边长是______分米.11【例 14】如图长方形被分成两部分,已知阴影面积比空白部分面积大34平方厘米,求阴影部分的面积.10cm【例 15】一张长方形纸片,把它的右上角往下折叠(如图甲),阴影部分面积占原纸片面积的27;再把左下角往上折叠(如图乙),乙图中阴影部分面积占原纸片面积的________(答案用分数表示).甲乙【巩固】折叠后,原平行四边形面积是折叠后图形面积的1.5倍.已知阴影部分面积之和为1,则重叠部分(即空白部分)的面积是多少?【巩固】如图,一张长方形纸片,长7厘米,宽5厘米.把它的右上角往下折叠,再把左下角往上折叠,未盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米?5【例 16】如图,大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形,将小正方形每边三等分,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连,那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?【例 17】如图所示,直角三角形中有一个长方形,求长方形的面积?44 4【例 18】一个边长为20厘米的正方形,依次连接四边中点得到第二个正方形,这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形.求第五个正方形的面积?【巩固】如图是由5个大小不同的正方形叠放而成的,如果最小的正方形(阴影部分)的周长是8,那么最大的正方形的边长是.第6题【巩固】图中有6个正方形,较小的正方形都由较大的正方形的4边中点连接而成.已知最大的正方形的边长为16厘米,那么最小的正方形的面积等于多少平方厘米?【例 19】已知图中大正方形的面积是22平方厘米,小正方形面积是多少平方厘米?【巩固】如图所示,外侧大正方形的边长是10cm,在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形,阴影的总面26cm,最小的正方形的边长为多少厘米?积为2【例 20】有一个边长为16厘米的正方形,连接每边的中点构成第二个正方形,再连接每边的中点构成第三个正方形,第四个正方形.求图中阴影部分的面积?【例 21】如图,边长为10的正方形中有一等宽的十字,其面积(阴影部分)为36,则十字中央的小正方形面积为.第2题【例 22】下图大小两个正方形有一部分重合,两块没有重合的阴影部分面积相差是多少?(单位:厘米)6【巩固】如图所示,四个相叠的正方形,边长分别是5、7、9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少?【例 23】甲、乙、丙三个正方形,它们的边长分别是6、8、10厘米,乙的一个顶点在甲的中心上,丙的一个顶点在乙的中心上.这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米?108 6丙乙甲【巩固】将20张边长为10厘米的正方形纸片,按顺序一张一张地摆放在地板上,摆的时候,要求后摆的纸片必须有一个顶点与前一张的中心重合,且每一张只与其前一张和后一张有重合部分(右图表示已经摆好的5张).地板被这20张纸片所覆盖部分的面积是多少?【例 24】有2个大小不同的正方形A和B.如下左图所示的那样,在将B正方形的对角线的交点与A正方形的一个顶点相重叠时,相重叠部分的面积为A正方形面积的19.求A与B的边长之比.如果当按下右图那样,将A和B反向重叠的话,所重叠部分的面积是B的几分之几?左图右图【例 25】有一个正方形水池(图中阴影部分),在它的周围修一个宽是8米的草地,草地的面积为480平方米,求水池的边长?【巩固】一块长方形草坪(图中阴影部分)长是宽的2倍,它的四周围的总面积是34平方米的1米宽的小路.求草坪的面积是多少平方米?【例 26】如图所示,一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池.水池长8米、宽3米.水池周围用边长为1米的方砖一圈一圈地向外铺.恰好铺了若干圈,共用了152块方砖,那么共铺了圈.水池【例 27】用四个相同的长方形拼成一个面积为2100cm的大正方形,每个长方形的周长是多少平方厘米?【巩固】如图所示,4个相同的长方形和一个小正方形拼成一个大的正方形,大正方形的面积是100平方分米,小正方形的面积是36平方分米,求一个小长方形的面积及周长.【例 28】四个完全相同的长方形拼成右图,大正方形的面积是l00平方分米,小正方形的面积是l6平方分米,求每个长方形的面积是多少?长方形的短边是多少分米?16【巩固】如图,4个相同的长方形和1个小正方形拼成一个大正方形,已知其中小正方形的面积为4平方厘米,大正方形的面积为400平方厘米,则其中长方形的长为厘米,宽厘米.第19题【例 29】街心花园里有一个正方形花坛,四周有一条宽1米的甬道(如图),如果甬道的面积是12平方米,那么中间花坛的面积是多少平方米?1米【巩固】在一个正方形的小花园周围,环绕着宽5米的水池,水池面积为300平方米,那么正方形花园的面积是多少平方米?5【巩固】有大、小两个长方形(如图),对应边的距离均为1cm,已知两个长方形之间部分的面积是216cm,且小长方形的长是宽的2倍,求大长方形的面积.BA【例 30】已知大正方形比小正方形边长多4厘米,大正方形面积比小正方形面积大96平方厘米.问大、小正方形面积各是多少?【巩固】两个正方形的面积相差29cm,边长相差1cm.求两个正方形的面积和.C BA【巩固】有一大一小两个正方形,它们的周长相差20厘米,面积相差55平方厘米.小正方形的面积是多少平方厘米?【例 31】在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形(如图),如果两个正方形的周长相差16厘米,面积相差96平方厘米,求小正方形的面积是多少平方厘米?(1)(2)【例 32】用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形,长方形纸片面积分别为44平方厘米与28平方厘米,原正方形纸片面积是多少平方厘米?【例 33】 计划修建一个正方形的花坛,并在花坛周围种上3米宽的草坪,草坪的面积为300平方米,那么修建这个花坛需要占地多少平方米?(2)(1)【巩固】有大、小两个长方形(右图),对应边的距离均为1厘米,已知两个长方形之间部分的面积是16平方厘米,且小长方形的长是宽的2倍,求大长方形的面积.【巩固】一块长方形的草坪(见图中阴影部分),长是宽的2倍,它的四周围的总面积是34平方米的1米宽的小路,求草坪的总面积是多少平方米?AAB C C A BA【例 34】 一块正方形的苗圃(如右图实线所示),若将它的边长各增加30米(如图虚线所示),则面积增加9900平方米,问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米?3030【例 35】从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条后,剩下的长方形的面积为5平方米,请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少?50.5【巩固】从一个正方形的木板上锯下宽1m的一个长方形木条后,剩下的长方形面积为26m,问锯下的长方形木条面积是多少?【巩固】从一块正方形木板锯下宽为12米的一个木条以后,剩下的面积是6518平方米.问锯下的木条面积是多少平方米?【例 36】图中,甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米,甲正方形比乙正方形的面积大40平方厘米.求乙正方形的面积.【例 37】 有一大一小两块正方形试验田,他们的周长相差40米,面积相差220平方米,那么小正方形试验田的面积是多少平方米?图a图b【例 38】 如图,边长是整数的四边形AFED 的面积是48平方厘米,FB 为8厘米.那么,正方形ABCD 的面积是 平方厘米.A BCDEF 488【例 39】 如图,一个正方形被分成4个小长方形,它们的面积分别是110平方米、15平方米、310平方米和25平方米.已知图中的阴影部分是正方形,那么它的面积是多少平方米?【例 40】 长方形ABCD 的周长是30厘米,以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形.已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米,那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘米?C 1D 1E 1A 1EBC DA【巩固】如图,长方形ABCD 的周长是16厘米,在它的每一条边上各画一个以该边为边长的正方形,已知这四个正方形的面积和是68平方厘米,求长方形ABCD 的面积?A B C D IH G FEAB C D【例 41】 一条白色的正方形手帕,它的边长是18厘米,手帕上横竖各有二道黑条,黑条宽都是2厘米,这条手帕白色部分的面积是多少?【例 42】 用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面,两条对角线上铺黑色的,其它地方铺白色的,如图所示.如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖,那么白色瓷砖用了多少块?图1 图2【例 43】 7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分,图中空白部分的面积是多少平方厘米?24【巩固】如图所示,7个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分,图中空白部分的面积是多少平方厘米?【例 44】 如右图所示,在长方形ABCD 中,放入六个形状大小相同的长方形(尺寸如图),图中阴影部分的面积是__________.A614DCB【例 45】 若干同样大小的长方形小纸片摆成了如图所示的图形.已知小纸片的宽是12厘米,问阴影部分的总面积是多少平方厘米?【例 46】 一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形,则称为完美长方形.下面一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形.图中正方形A 和B 的边长分别是7厘米和4厘米,那么这个完美长方形的面积分别是多少平方厘米?ABA BCDE FGH【巩固】如图:有一个矩形可以被分割为11个正方形,其中最小的正方形(阴影部分)面积为281cm ,请问这个矩形之面积为多少平方厘米?第2题【巩固】图中的长方形被分割成6个正方形,已知中央小正方形的面积是1平方厘米,求原来长方形的面积.【巩固】9个边长分别为1、4、7、8、9、10、14、15、18的正方形拼成一个长方形,问这个长方形的长和宽是多少?并请画出这个长方形的拼接图.1518141094781【例 47】 图中数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积,另一个三角形的面积是 .51215A 51215【例 48】 如图,一个矩形被分成八个小矩形,其中有五个矩形的面积如图中所示(单位:平方厘米),问大矩形的面积是多少平方厘米?1230201636G FEDC B AS 3S 2S 11230201636G FEDC B A【巩固】阳阳用四块小长方形恰好拼成了一个大的长方形,如图所示.现在知道其中三块长方形的面积分别为48平方厘米、24平方厘米、30平方厘米,那么,阴影部分的面积是多少?302448【巩固】如图,矩形ABCD 被分割成9个小矩形.其中有5个小矩形的面积如图所示.矩形ABCD 的面积为 .164221CB DA【例 49】 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片,放在一个底面为正方形的盒内,它们之间相互叠合(见下图).已知露在外面的部分中,红色面积是20,黄色面积是14,绿色面积是10.求正方形盒底的面积.绿黄红绿黄红【例 50】 如图所示,在正方形ABCD 内,红色、绿色正方形的面积分别是48和12,且红、绿两个正方形有一个顶点重合.黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点,另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点.那么黄色正方形的面积是 .DCBA绿黄红 312【巩固】如图所示,在正方形ABCD 中,红色,绿色正方形的面积分别是52和13,且红、绿两个正方形有一个顶点重合.黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点,另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点,求黄色正方形面积.绿黄红D C BA【例 51】 如图,三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内,A 和B 是两个正方形的重叠部分,C 、D 、E是空出的部分,每一部分都是矩形,它们的面积比是A :B :C :D :E =1:2:3:4:5,那么这个长方形的长与宽之比是________.【例 52】 如图如果长方形的面积为56平方厘米,且2MD =厘米、3QC =厘米、5CP =厘米、6BN =厘米,那么请你求出四边形MNPQ 的面积是多少厘米?33C P D M2356532MD BPC N【巩固】长方形的广告牌长为10米,宽为8米,A ,B ,C ,D 分别在四条边上,并且C 比A 低5米,D 在B 的左边2米,四边形ABCD 的面积是 平方米.DCBADCBA【例 53】 直角三角形PQR 的直角边为5厘米,9厘米,问:图中三个正方形的面积之和比4个三角形的面积之和大多少?95QED P R FCBAN MH G A B CFR P DEQ 59【例 54】 如图所示,甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH ,中间阴影为正方形.已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是232cm ,四边形ABCD 的面积是220cm .⑴求正方形EFGH 的边长?⑵求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和?F E HGDCB A 丙乙丁甲ABC DG H E F hgfe d cba图1 图2 图3【例 55】 如图,平面上CDEF 是正方形,ABCD 是等腰梯形,它的上底23AD =厘米,下底35BC =厘米.求三角形ADE 的面积.FECB DAH 2H 1HADBCEF【例 56】 右图是由9个等边三角形拼成的六边形,已知中间最小的等边三角形的边长是1,问:这个六边形的周长是多少?【例 57】 把正三角形的每条边三等分,以各边的中间一段为边向外作小正三角形,得到一个六角形.再将这个六角形的六个”角”(即小正三角形)的两边三等分,又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形,这样就得到如右图所示的图形.如果所作的最小的小正三角形的面积为1平方厘米,求如图中整个图形的面积.图a中中中大图b【例 58】 如图,长方形的面积是小于100的数.它的内部有三个边长是整数的正方形.正方形②的边长是长方形长的512,正方形①的边长是长方形宽的18.那么,图中阴影部分的面积是。
图形求解面积技巧
图形求解面积技巧图形求解面积是几何学中的基本内容,根据不同的图形形状,求解面积的方法也不同。
在解题过程中,我们可以利用一些技巧来更快地求解面积。
以下是一些常见的图形求解面积的技巧。
一、矩形和正方形的面积求解技巧矩形和正方形是最简单的图形,其面积求解公式是直接应用的,即面积等于长度乘以宽度。
如果给定的是边长,可以根据给定的边长求解面积。
二、三角形的面积求解技巧三角形的面积求解有多种方法。
常见的方法有:1. 正直角三角形的面积求解:对于直角三角形,可以利用两条直角边的长度来求解面积,公式为面积等于直角边乘以直角边除以2。
2. 任意三角形的面积求解:根据三角形的海伦公式,可以利用三条边长来求解面积,公式为面积等于根号下(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),其中 p 为半周长,p = (a +b + c) / 2。
三、圆的面积求解技巧圆的面积求解需要用到圆周率π。
常见的圆的面积求解方法有:1. 根据半径求解圆的面积:对于给定半径的圆,可以直接用公式面积等于π乘以半径的平方来求解。
2. 根据直径求解圆的面积:如果给定的是圆的直径,可以先将直径除以2得到半径的长度,然后利用公式面积等于π乘以半径的平方来求解面积。
四、梯形的面积求解技巧梯形的面积求解需要利用梯形的上底、下底和高。
常见的梯形的面积求解方法有:1. 根据上底和下底求解梯形的面积:对于给定上底、下底和高的梯形,可以利用公式面积等于上底加下底乘以高除以2来求解面积。
2. 根据对角线和高求解梯形的面积:如果给定的是梯形的对角线和高的长度,可以利用公式面积等于对角线之和乘以高除以2来求解面积。
五、平行四边形的面积求解技巧平行四边形的面积求解需要利用平行四边形的底和高。
常见的平行四边形的面积求解方法有:1. 根据底和高求解平行四边形的面积:对于给定底和高的平行四边形,可以利用公式面积等于底乘以高来求解面积。
2. 根据对角线和夹角求解平行四边形的面积:如果给定的是平行四边形的对角线和夹角,可以利用公式面积等于对角线之积乘以夹角的正弦值来求解面积。
面积计算通过计算面积帮助学生掌握面积计算的方法和技巧
面积计算通过计算面积帮助学生掌握面积计算的方法和技巧面积计算面积计算是数学中重要的一部分,它在我们的日常生活中无处不在。
准确计算面积是很多实践问题的关键,因此,掌握面积计算的方法和技巧对学生来说至关重要。
本文将介绍几种常见的面积计算方法,帮助学生更好地理解和运用面积计算。
1. 矩形和正方形的面积计算矩形和正方形是最基本的图形,计算其面积非常简单。
矩形的面积计算公式为:面积 = 长 ×宽。
正方形的面积计算公式为:面积 = 边长×边长。
学生可以根据问题给出的数据,直接套用相应的公式计算出面积。
2. 三角形的面积计算三角形的面积计算是面积计算中的一个重要部分。
对于任意三角形,可以使用以下两个公式进行面积计算:a. 面积 = 底边长 ×高 / 2:当已知三角形的底边长和高时,可以使用该公式计算出面积。
b. 面积 = (边长1 ×边长2 ×正弦θ) / 2:当已知三角形的两边长和夹角时,可以使用该公式计算出面积。
3. 圆的面积计算圆是一种特殊的图形,计算其面积需要使用特定的公式。
圆的面积计算公式为:面积= π × 半径的平方。
其中,π是一个重要的数学常数,约等于3.14159。
学生在计算圆的面积时,需要注意保留足够的小数位数,以提高计算的准确性。
4. 梯形和平行四边形的面积计算梯形和平行四边形是比较复杂的图形,在计算其面积时需要使用专门的公式。
梯形的面积计算公式为:面积 = (上底 + 下底) ×高 / 2。
平行四边形的面积计算公式为:面积 = 底边 ×高。
学生在计算梯形和平行四边形的面积时,需要根据具体情况选择适用的公式进行计算。
面积计算方法和技巧的掌握对学生在数学学习中非常重要。
以下是一些有效的学习方法和技巧,帮助学生更好地理解和应用面积计算:1. 掌握基本公式:学生需要熟记各种图形的面积计算公式,并理解其推导过程。
只有掌握了基本公式,才能在实际问题中准确运用。
五年级数学技巧之面积计算
五年级数学技巧之面积计算在数学学习中,准确计算各种图形的面积是非常重要的。
了解和掌握面积计算的技巧不仅能够帮助我们更好地理解几何知识,还能在日常生活中帮助我们解决实际问题。
本文将介绍五年级学生常见的面积计算技巧,以及如何灵活运用这些技巧。
一、长方形和正方形的面积计算长方形和正方形是最常见的图形之一,计算它们的面积较为简单。
长方形的面积可以通过将宽度和长度相乘得到,即面积= 宽度×长度。
正方形则是边长的平方,即面积 = 边长 ×边长。
通过这两个简单的公式,我们可以轻松计算出任意长方形或正方形的面积。
二、三角形的面积计算计算三角形的面积稍微复杂一些,但也有相应的计算公式。
当三角形的底边已知时,可以使用面积 = 底边 ×高÷2 的公式进行计算。
其中,高是指从底边到垂直于底边的顶点所连线段的长度。
当三角形的底边未知时,可以利用海伦公式进行计算。
海伦公式是根据三角形的三条边长计算面积的公式,具体公式如下:面积= √(p × (p - a) × (p - b) × (p - c))其中,p 是三角形的半周长,可以通过三边长之和除以2得到;a、b、c 分别是三角形的三条边长。
通过运用这些公式,我们就能够高效地计算各种三角形的面积。
三、圆的面积计算圆是一个特殊的图形,没有边和角,但我们同样可以计算它的面积。
圆的面积计算公式是面积= π × 半径²,其中π(pi)是一个近似于3.14的数值,半径是圆的半径长度。
虽然圆的面积计算方法相对简单,但却非常重要,因为圆在我们的日常生活中随处可见,如车轮、水池等。
四、复杂图形的分割与计算当我们遇到复杂图形时,可以通过将其分割为多个简单图形来计算总面积。
例如,当我们需要计算一个由长方形和三角形组成的图形的面积时,可以先计算长方形和三角形的面积,然后将它们相加得到总面积。
同样的方法也适用于其他由不同图形组成的复杂图形。
(小学奥数)基本图形的面积计算
小學數學平面圖形計算公式:1 、正方形:周長=邊長×4;面積=邊長×邊長2 、正方體:表面積=棱長×棱長×6;體積=棱長×棱長×棱長3 、長方形:周長=(長+寬)×2;面積=長×寬4 、長方體:表面積(長×寬+長×高+寬×高)×2;體積=長×寬×高5、 三角形:面積=底×高÷26 平行四邊形:面積=底×高7 梯形:面積=(上底+下底)×高÷ 2 模組一、基本公式的應用【例 1】 如圖,兩個正方形邊長分別是5釐米和4釐米,圖中陰影部分為重疊部分。
則兩個正方形的空白部分的面積相差多少平方釐米? 【考點】基本圖形的面積計算 【難度】2星 【題型】解答【關鍵字】華杯賽,五年級,決賽,第9題,10分【解析】 5×5-4×4=9(平方釐米),兩個正方形的空白部分的面積相差9平方釐米。
【答案】9平方釐米【巩固】 如圖12,邊長為4cm 的正方形將邊長為3cm 的正方形遮住了一部分,則空白部分的面積的差等於 2cm 。
例題精講知識點撥4-2-1.基本圖形的面積計算【考點】基本圖形的面積計算【難度】2星【題型】填空【關鍵字】希望杯,4年級,初賽,19題【解析】空白部分的面積差等於兩個正方形的面積差,即⨯-⨯=44337(平方釐米)。
【答案】7平方釐米【例 2】在一個正方形水池的四周,環繞著一條寬2米的路(如圖),這條路的面積是120平方米,那麼水池的面積是______ 平方米。
水池【考點】基本圖形的面積計算【難度】2星【題型】填空【關鍵字】希望杯,4年級,初賽,19題【解析】四個邊角的面積和為2×2×4=16,則水池的邊長為:104÷2÷4=13,所以水池的面積是:13×13=169平方米。
小学数学知识竞赛的面积与体积计算技巧
小学数学知识竞赛的面积与体积计算技巧在小学数学竞赛中,面积与体积的计算是一个常见的考点。
掌握好计算面积与体积的技巧,不仅可以在竞赛中取得好成绩,也能帮助我们更好地理解几何概念。
下面将介绍一些小学数学竞赛中常用的面积与体积计算技巧。
一、矩形的面积计算技巧矩形的面积是指平行四边形两个相邻边长的乘积,可以用公式S =长 ×宽来表示。
在计算矩形面积时,我们需要注意单位的一致性,确保长度的单位与面积的单位相匹配。
例题一:一个长方形的长为5厘米,宽为3厘米,求长方形的面积。
解:根据面积的计算公式,面积S = 5厘米 × 3厘米 = 15平方厘米。
答案是15平方厘米。
二、三角形的面积计算技巧三角形是数学竞赛中另一个常见的几何形状。
计算三角形的面积常用的方法有两种:一种是使用底边和高的乘积再除以2,即S = 底边 ×高 ÷ 2;另一种是使用海伦公式,适用于已知三边长的情况,S = √p × (p - a) × (p - b) × (p - c),其中p为三角形的半周长,a、b、c为三角形的三边长。
例题二:一个底边为6厘米,高为4厘米的三角形,求三角形的面积。
米。
答案是12平方厘米。
例题三:一个边长分别为3厘米、4厘米、5厘米的三角形,求三角形的面积。
解:根据海伦公式,p = (3厘米 + 4厘米 + 5厘米) ÷ 2 = 6厘米。
面积S = √6厘米 × (6厘米 - 3厘米) × (6厘米 - 4厘米) × (6厘米 - 5厘米) = √6厘米 × 3厘米 × 2厘米 × 1厘米 = 6平方厘米。
答案是6平方厘米。
三、长方体的体积计算技巧长方体是一个立体几何体,它的体积是指三个相邻边长的乘积,可以用公式V = 长 ×宽 ×高来表示。
与计算面积类似,我们在计算长方体体积时,也需要注意单位的一致性。
小学数学易考知识点面积的计算方法
小学数学易考知识点面积的计算方法计算面积是小学数学中的一个常见知识点,学好这个知识点可以帮助孩子更好地应对数学考试。
本文将为您介绍小学数学中常见的面积计算方法,帮助孩子掌握这一知识点。
一、长方形面积的计算方法1. 长方形的面积公式:面积 = 长 ×宽。
2. 举例说明:如果一个长方形的长为5厘米,宽为3厘米,那么它的面积是15平方厘米。
二、正方形面积的计算方法1. 正方形的面积公式:面积 = 边长 ×边长。
2. 举例说明:如果一个正方形的边长为4厘米,那么它的面积是16平方厘米。
三、三角形面积的计算方法1. 三角形的面积计算方法有两种:底边法和高度法。
2. 底边法:面积 = 底边 ×高 ÷ 2。
其中,底边为三角形的一条边的长度,高为从底边到顶点的垂直距离。
3. 高度法:面积 = 底边 ×高度 ÷ 2。
其中,底边为三角形的一条边的长度,高度为从底边到顶点的垂直距离。
4. 举例说明:如果一个三角形的底边长度为6厘米,高度为4厘米,那么使用底边法计算得出的面积是12平方厘米,使用高度法计算得出的面积也是12平方厘米。
四、圆的面积的计算方法1. 圆的面积公式:面积= π ×半径×半径。
其中,π取近似值3.14。
2. 举例说明:如果一个圆的半径为2厘米,那么它的面积约为12.56平方厘米。
五、梯形面积的计算方法1. 梯形的面积计算方法:面积 = 上底 + 下底 ×高 ÷ 2。
其中,上底和下底为梯形的顶边和底边的长度,高为从顶边到底边的垂直距离。
2. 举例说明:如果一个梯形的上底长为3厘米,下底长为5厘米,高为2厘米,那么它的面积为8平方厘米。
六、总结1. 小学数学中常见的面积计算方法包括长方形面积的计算、正方形面积的计算、三角形面积的计算、圆的面积的计算以及梯形面积的计算。
2. 理解和熟练掌握这些面积计算方法,有助于孩子在数学考试中提高得分。
完整版)五年级奥数平面图形面积计算
完整版)五年级奥数平面图形面积计算五年级奥数第六讲——平面图形面积的计算一、知识要点1.基本平面图形特征及面积公式正方形:特征:四条边相等,四个角都是直角,有四条对称轴。
面积公式:S=边长的平方长方形:特征:对边相等,四个角都是直角,有二条对称轴。
面积公式:S=长×宽平行四边形:特征:两组对边平行且相等,对角相等,相邻的两个角之和为180°,容易变形。
面积公式:S=底边×高三角形:特征:两边之和大于第三条边,两边之差小于第三条边,三个角的内角和是180°,具有稳定性。
面积公式:S=底边×XXX÷2梯形:特征:只有一组对边平行,中位线等于上下底和的一半。
面积公式:S=(上底+下底)×高÷22.基本解题方法:由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形,要计算这样的组合图形面积,先根据图形的基本关系,再运用分解、组合、平移、割补、添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算。
典型例题】例1】已知平行四边形的面积是28平方厘米,求阴影部分的面积。
例2】求图中阴影部分的面积。
例3】如图所示,甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米,求CE的长度。
例4】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积(如图所示),求另两个三角形的面积各是多少?练与拓展】1.计算下面图形的面积。
2.下面的梯形中,阴影部分面积是150平方厘米,求梯形的面积。
3.正方形ABCD的边长是12厘米,已知DE是EC长度的2倍,求三角形DEF的面积和CF的长。
4.平行四边形ABCD的边长BC=10厘米,直角三角形BCE的直角边EC长8厘米,已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米,求CF的长。
5.正方形ABCD的面积是100平方厘米,AE=8厘米,请计算以下图形的面积。
1.在一块长80米、宽30米的长方形地上,修了宽为2米和3米的两条小路,求草地的面积。
【最新推荐】9.4小学数学图形求面积方法技巧总结
小学数学图形求面积方法技巧总结三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形,一般称为基本图形或规则图形。
面积及周长都有相应的公式直接计算,如下表:实际问题中,有些图形不是以基本图形的形状出现,而是由一些基本图形组合、拼凑成的,它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么,不规则图形的面积及周长怎样去计算呢?我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系,问题就能解决了。
先看三道例题感受一下例1:如右图,甲、乙两图形都是正方形,它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
一句话:阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形(△ABG、△BDE、△EFG)的面积之和。
例2:如右图,正方形ABCD的边长为6厘米,△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等,求三角形AEF的面积。
一句话:因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等,都等于正方形ABCD面积的三分之一,也就是12厘米.解:S△ABE=S△ADF=S四边形AECF=12在△ABE中,因为AB=6.所以BE=4,同理DF=4,因此CE=CF=2,∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10(平方厘米)。
例3:两块等腰直角三角形的三角板,直角边分别是10厘米和6厘米。
如右图那样重合.求重合部分(阴影部分)的面积。
一句话:阴影部分面积=S△ABG-S△BEF,S△ABG 和S△BEF都是等腰三角形总结:对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合,分析整体与部分的和、差关系,问题便得到解决。
常用的基本方法有一、相加法这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形,分别计算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积。
例如:求下图整个图形的面积一句话:半圆的面积+正方形的面积=总面积二、相减法这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。
小学数学竞赛中的面积和体积
小学数学竞赛中的面积和体积在小学数学竞赛中,面积和体积是重要的概念和题目类型。
面积和体积是几何学中的基本知识,而且在生活中也有广泛的应用。
本文将从小学生的角度出发,介绍面积和体积的概念、计算方法和一些应用例题。
一、面积的概念与计算方法面积是平面图形所占的大小,通常用单位平方来表示。
计算面积的方法有所不同,取决于图形的形状。
下面我们将介绍常见图形的面积计算方法。
1. 正方形的面积正方形是具有四条相等边长并且四个角为直角的图形。
正方形的面积计算公式是边长的平方,即S = a^2。
例如,一片边长为5厘米的正方形的面积是25平方厘米。
2. 矩形的面积矩形是具有两组相等的对边并且四个角都是直角的图形。
矩形的面积计算公式是长乘以宽,即S = l × w。
比如,一块长为6厘米、宽为4厘米的矩形区域的面积是24平方厘米。
3. 三角形的面积三角形是由三条边和三个内角组成的图形。
计算三角形面积的常用公式是海伦公式或底乘以高的一半,即S = 1/2 × b × h。
其中,b表示底边的长度,h表示凭高的长度。
比如,一个底边长为6厘米,高为3厘米的三角形的面积是9平方厘米。
4. 圆的面积圆是一个平面上到一个固定点的距离等于该平面上任意一点到该固定点的距离的所有点的轨迹。
圆的面积计算公式是πr^2,其中π是一个数值近似等于3.14,而r表示圆的半径长度。
例如,一个半径为2厘米的圆的面积约为12.56平方厘米。
二、体积的概念与计算方法体积是立体图形所占的空间大小,通常用单位立方来表示。
下面我们将介绍常见立体图形的体积计算方法。
1. 立方体的体积立方体是六个相等正方形组成的立体。
立方体的体积计算公式是边长的立方,即V = a^3。
例如,一块边长为3厘米的立方体的体积是27立方厘米。
2. 长方体的体积长方体是由六个矩形面组成的立体。
长方体的体积计算公式是长乘以宽乘以高,即V = l × w × h。
小学数学竞赛:几何计数(三).教师版解题技巧 培优 易错 难
1.掌握计数常用方法;2.熟记一些计数公式及其推导方法;3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数.本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等,并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想.一、几何计数在几何图形中,有许多有趣的计数问题,如计算线段的条数,满足某种条件的三角形的个数,若干个图分平面所成的区域数等等.这类问题看起来似乎没有什么规律可循,但是通过认真分析,还是可以找到一些处理方法的.常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分;n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2;n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分;n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中,也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解.排列问题不仅与参加排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关;组合问题与各事物所在的先后顺序无关,只与这两个组合中的元素有关.二、几何计数分类数线段:如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)(或含有n 个“基本线段”),那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角:数角与数线段相似,线段图形中的点类似于角图形中的边. 数三角形:可用数线段的方法数如右图所示的三角形(对应法),因为DE 上有15条线段,每条线段的两端点与点A 相连,可构成一个三角形,共有15个三角形,同样一边在BC 上的三角形也有15个,所以图中共有30个三角形.ED CBA数长方形、平行四边形和正方形:一般的,对于任意长方形(平行四边形),若其横边上共有n 条线段,纵边上共有m 条线段,则图中共有长方形(平行四边形)mn 个.模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形,那么一共用了__________块小正方体。
小学数学竞赛:图形的分割.教师版解题技巧 培优 易错 难
几何面积问题除了利用常规的五大模型、各种公式求得之外,还可以用图形分割的思想来做。
我们发现,在迎春杯几何问题中,这类题目很多。
掌握好这种思想方法,可以帮助我们解决很多几何难题。
解题关键:分割其实就是运用特殊的三角形(等角直角三角形、等边三角形等)、正方形、等边图形的特殊性质进行分割而得,所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。
解题思想:这其实就是一种化整为零的思想,各位同学不仅要学会几何题中的这种方法,更要细细体味这种思想在解决各种问题中的妙用。
模块一、简单分割【例 1】 3个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起(如图),顶点A 和B 分别与正方形中心点重合,如果所构成图形的周长是48厘米,那么这个图形覆盖的面积是__________平方厘米.【考点】图形的分割 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,中年级组,复试,4题 【解析】 将这3个正方形分割,可知这个图形的周长即为两个正方形纸片的周长之和,故正方形边长为48÷8=6(厘米),则图中每个分割得到的小正方形边长为6÷2=3(厘米),所以这个图形覆盖的面积为6×6×2+3×3×2=90(平方厘米)。
【答案】90平方厘米【例 2】 正方形ABCD 的面积是1平方米,将四条边分别向两端各延长一倍,连结八个端点得到一个正方形(如图),求大正方形的面积.DCB A【考点】图形的分割 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 四条边分别向两端各延长一倍,很容易可以观察出,大正方形有9个小正方形组成,所以,大正方形的面积是:199⨯=(平方米).【答案】9平方米【例 3】 将边长为a 的正方形各边的中点连结成第二个正方形,再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形,依此规律,继续下去,得到下图那么,边长为a 的正方形面积是图中阴影部分面积的________ 倍.例题精讲知识点拨4-2-4.图形的分割【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,复赛,第6题,4分 【解析】 阴影部分是大正方形的0.5×0.5×0.5×0.5=116,所以正方形是阴影的16倍 【答案】16倍【例 4】 正三角形ABC 的面积是1平方米,将三条边分别向两端各延长一倍,连结六个端点得到一个六边形(如右图),求六边形的面积.CBA【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 采用分割法,过A 、B 、C 分别作平行线,得到右上图,其中所有小三角形的面积都相同,所以六边形面积等于13平方米.【答案】13平方米【例 5】 正六边形ABCDEF 的面积是1平方米,将六条边分别向两端各延长一倍,交于六个点,组成如下图的图形,求这个图形的面积.FED CB A FAB CDE【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 采用分割法,连接正六边形的对角线,会发现,所有的三角形面积都相同,一共有12个小三角形,原来正六边形的面积是1平方米,由6个小三角形组成,所以现在的大图形的面积是:122⨯= (平方米)【答案】2平方米【例 6】 长方形ABCD 的面积是40平方厘米,E 、F 、G 、H 分别为AC 、AH 、DH 、BC 的中点。
【奥赛】小学数学竞赛:不规则图形的面积.学生版解题技巧培优易错难
4-2-6.不规则图形的面积例题精讲本讲主要通过求一些不规则图形的面积,体会一种转化思想,重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法,包括平移、旋转、割补、差不变原理,通过这些方法的学习,让学生体会求面积的技巧,提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力.【例1】你有什么好的方法计算所给图形的面积呢?(单位:厘米)图1 图2【巩固】如图是学校操场一角,请计算它的面积(单位:米)【巩固】如右图所示,图中的ABEFGD是由一个长方形ABCD及一个正方形CEFG拼成的,线段的长度如图所示(单位:厘米),求ABEFGD的周长和面积.A DFE【巩固】求图中五边形的面积.这是一个楼梯的截面图,高 280厘米,每级台阶的宽和高都是 20厘米.问,此楼梯截面的面积是多少?有一块菜地长16米,宽8米,菜地中间留了宽 2米的路,把菜地平均分成四块,每一块地的面积是 多少?【例4】 有10张长3厘米,宽2厘米的纸片,将它们按照下图的样子摆放在桌面上, 住的桌面的面积是多少平方厘米?【例2】【巩固】如图是一个楼梯的截面图,每级台阶的宽和高都是20厘米.这楼梯的截面积是多少平方厘米?【例3】那么这10张纸片所盖【例5】下图(单位:厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起,求阴影部分的面积【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位:厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积【例6】如图,李大伯给一块长方形田地喷药,喷药器所能喷洒的范围是以李大伯的落脚点为中心,边长米的正方形区域,他从图中的A点出发,沿最短路线(图中虚线)走,走过88米到达B点, 这块田地全部喷完,这块田地的面积是多少平方米?2恰好把【例7】右图中甲的面积比乙的面积大平方厘米.B【例8】 右图中,矩形 ABCD 的边AB 为4厘米,BC 为6厘米,三角形 ABF 比三角形EDF 的面积大9平方 厘米,求ED 的长.【巩固】如图所示, CA AB 4厘米,△ ABE 比^CDE 的面积小2平方厘米,求CD 的长为多少厘米?【巩固】如图,平行四边形 ABCD 种,BC 10cm ,直角三角形 ECB 的边EC 8cm,已知阴影部分的总面 积比三角形EFG 的面积大10cm 2,求平行四边形 ABCD 的面积.【例9】 如图,ABCD 是7 4的长方形,DEFG 是10 2的长方形,求 VBCO 与VEFO 的面积差.4厘米6厘米CB50米,长不变,那么它的面积减少 680平方米,如果使宽为 60米,长不变,那么它的面积比原来增加 2720平方米,原来的长和宽各是多少米?【巩固】有一个长方形,如果宽减少 2米,或长减少3米,则面积均减少24平方米,求这个长方形的面积?【例11】一块长方形铁板, 长15分米,宽12分米,如果长和宽各减少 2分米,面积比原来减少多少平方分 米?【例12】一个长方形,如果长减少 5厘米,宽减少2厘米,那么面积就减少 66平方厘米,这时剩下的部分 恰好成为一个正方形,求原来长方形的面积?【例10】 有一个长方形菜园,如果把宽改成315【巩固】一块长方形纸片,在长边剪去5cm ,宽边剪去2cm 后(如图),得到的正方形面积比原长方形面积少31cm 2.求原长方形纸片的面积.【巩固】一个正方形,如果把它的相邻两边都增加 6厘米,就可以得到一个新正方形,新正方形的面积比原正方形大120平方厘米.求原正方形的面积? 就比原来正方形减少 181平方分米.原正方形的边长是多少分米?8厘米,这时面积减少了 72平方厘米,又把宽剪去 5厘米,这时面积 又减少了 60平方厘米,原来这张长方形纸片的面积是多少平方厘米?【例13】一块正方形的钢板,先截去一个宽 5分米的长方形,又截去一个宽 8分米的长方形(如图),面积【巩固】一张长方形纸片,先把长剪去 5 26厘米6厘米 6厘米6厘米【巩固】如右图所示,在一个正方形上先截去宽 11分米的长方形,再截去宽 7分米的长方形,所得图形的面积比原正方形减少 301平方分米.原正方形的边长是【例14】如图长方形被分成两部分,已知阴影面积比空白部分面积大 34平方厘米,求阴影部分的面积.【例15】一张长方形纸片,把它的右上角往下折叠 (如图甲),阴影部分面积占原纸片面积的2 ;再把左下 7角往上折叠(如图乙),乙图中阴影部分面积占原纸片面积的 (答案用分数表示).【巩固】折叠后,原平行四边形面积是折叠后图形面积的 1.5倍.已知阴影部分面积之和为 1,则重叠部分(即空白部分)的面积是多少?______ 分米.长810cm18cm【巩固】如图,一张长方形纸片,长7厘米,宽5厘米.把它的右上角往下折叠,再把左下角往上折叠,未盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米?【例16】如图,大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形,将小正方形每边三等分, 再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连,那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?如图所示,直角三角形中有一个长方形,求长方形的面积?【例17】【例18】一个边长为20厘米的正方形,依次连接四边中点得到第二个正方形,这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形.求第五个正方形的面积?【巩固】如图是由5个大小不同的正方形叠放而成的,如果最小的正方形(阴影部分)的周长是8,那么最大的正方形的边长是 .<g>第6题【巩固】图中有6个正方形,较小的正方形都由较大的正方形的4边中点连接而成.已知最大的正方形的边长为16厘米,那么最小的正方形的面积等于多少平方厘米?【例19】已知图中大正方形的面积是22平方厘米,小正方形面积是多少平方厘米?【巩固】如图所示,外侧大正方形的边长是10cm,在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形,阴影的总面积为26cm2,最小的正方形的边长为多少厘米?【例20】有一个边长为16厘米的正方形,连接每边的中点构成第二个正方形,再连接每边的中点构成第三个正方形,第四个正方形.求图中阴影部分的面积?【例21】如图,边长为10的正方形中有一等宽的十字,其面积(阴影部分)为36,则十字中央的小正方形面积为.第2【例22】下图大小两个正方形有一部分重合,两块没有重合的阴影部分面积相差是多少?(单位:厘米)6【巩固】如图所示,四个相叠的正方形,边长分别是5、7、9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少?【例23】甲、乙、丙三个正方形,它们的边长分别是6、8、10厘米,乙的一个顶点在甲的中心上,丙的一个顶点在乙的中心上.这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米?【巩固】将20张边长为10厘米的正方形纸片,按顺序一张一张地摆放在地板上,摆的时候,要求后摆的纸片必须有一个顶点与前一张的中心重合,且每一张只与其前一张和后一张有重合部分(右图表示已经摆好的5张).地板被这20张纸片所覆盖部分的面积是多少?【例24】有2个大小不同的正方形A和B .如下左图所示的那样,在将形的一个顶点相重叠时,相重叠部分的面积为A正方形面积的按下右图那样,将A和B反向重叠的话,所重叠部分的面积是B正方形的对角线的交点与A正方〕.求A与B的边长之比.如果当9B的几分之几?右图【例25】有一个正方形水池(图中阴影部分),在它的周围修一个宽是8米的草地,草地的面积为480平方米, 求水池的边长?【巩固】一块长方形草坪(图中阴影部分)长是宽的2倍,它的四周围的总面积是34平方米的1米宽的小路.求草坪的面积是多少平方米?【例26】如图所示,一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池.水池长8米、宽3米.水池周围用边长为1米的方砖一圈一圈地向外铺.恰好铺了若干圈,共用了152块方砖,那么共铺了圈.水池【例27】用四个相同的长方形拼成一个面积为100cm2的大正方形,每个长方形的周长是多少平方厘米?【巩固】如图所示,4个相同的长方形和一个小正方形拼成一个大的正方形,大正方形的面积是100平方分米, 小正方形的面积是36平方分米,求一个小长方形的面积及周长.【例28】四个完全相同的长方形拼成右图,大正方形的面积是100平方分米,小正方形的面积是16平方分米,求每个长方形的面积是多少?长方形的短边是多少分米?【巩固】如图,4个相同的长方形和1个小正方形拼成一个大正方形,已知其中小正方形的面积为4平方厘米, 大正方形的面积为400平方厘米,则其中长方形的长为厘米,宽厘米.第19题【例29】街心花园里有一个正方形花坛,四周有一条宽1米的甬道(如图),如果甬道的面积是12平方米, 那么中间花坛的面积是多少平方米?【巩固】在一个正方形的小花园周围,环绕着宽5米的水池,水池面积为300平方米,那么正方形花园的面积是多少平方米?【巩固】有大、小两个长方形(如图),对应边的距离均为1cm,已知两个长方形之间部分的面积是16cm2 ,且小长方形的长是宽的2倍,求大长方形的面积.【例30】已知大正方形比小正方形边长多 4厘米,大正方形面积比小正方形面积大 96平方厘米.问大、小正方形面积各是多少?【巩固】有一大一小两个正方形,它们的周长相差20厘米,面积相差 55平方厘米.小正方形的面积是多少平方厘米?【例31】在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形 (如图),如果两个正方形的周长相差16厘米,面积相差96平方厘米,求小正方形的面积是多少平方厘米?【巩固】两个正方形的面积相差29cm ,边长相差1cm .求两个正方形的面积和.【例32】用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形,平方厘米,原正方形纸片面积是多少平方厘米? 长方形纸片面积分别为 44平方厘米与28【巩固】有大、小两个长方形 (右图),对应边的距离均为1厘米,已知两个长方形之间部分的面积是 厘米,且小长方形的长是宽的【巩固】一块长方形的草坪 (见图中阴影部分),长是宽的2倍,它的四周围的总面积是 34平方米的 小路,求草坪的总面积是多少平方米?【例34】一块正方形的苗圃(如右图实线所示),若将它的边长各增加 30米(如图虚线所示),则面积增加 9900平方米,问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米?【例33】 计划修建一个正方形的花坛,并在花坛周围种上 建这个花坛需要占地多少平方米?3米宽的草坪,草坪的面积为 300平方米, 那么修16平方1米宽的2倍,求大长方形的面积.【例35】 从一块正方形的玻璃板上锯下宽为 0.5米的一个长方形玻璃条后, 剩下的长方形的面积为 5平方米,请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少?1米的一个木条以后, 剩下的面积是 丑平方米.问锯下的木条面积是多2 18【例36】图中,甲、乙两个正方形的边长的和是 20厘米,甲正方形比乙正方形的面积大 40平方厘米.求乙正方形的面积.【巩固】从一个正方形的木板上锯下宽木条面积是多少?1m 的一个长方形木条后,剩下的长方形面积为 6m 2,问锯下的长方形【巩固】从一块正方形木板锯下宽为少平方米?0.5【例37】 有一大一小两块正方形试验田,他们的周长相差 40米,面积相差220平方米,那么小正方形试验田的面积是多少平方米?【例39】如图,一个正方形被分成 4个小长方形,它们的面积分别是上平方米、】平方米、皂平方米和2 10 5 105平方米.已知图中的阴影部分是正方形,那么它的面积是多少平方米?【例38】如图,边长是整数的四边形AFED 的面积是48平方厘米, 面积是 平方厘米.FB 为8厘米.那么,正方形 ABCD 的30厘米,以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形.已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米,那么长方形 ABCD 的面积是多少平方厘米?16厘米,在它的每一条边上各圆一个以该边为边长的正方形,求长方形 ABCD 的面积?两条对角线上铺黑色的, 其它地方铺白色的, 如图所示.如 那么白色瓷砖用了多少块?3 L 2TOLIK \或_L L 5u I10r)【例40】长方形ABCD 的周长是【巩固】如图,长方形ABCD 的周长是四个正方形的面积和是 68平方厘米,已知这A一c□ B-C【例41】一条白色的正方形手帕,它的边长是条手帕白色部分的面积是多少?18厘米,手帕上横竖各有二道黑条,黑条宽都是 2厘米,这【例42】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面,果铺满这块地面共用 101块黑色瓷砖,3 101页FEI H G【例43】7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分,图中空白部分的面积是多少平方厘米?【巩固】如图所示,7个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分,图中空白部分的面积是多少平方厘米?放入六个形状大小相同的长方形(尺寸如图),图中阴影部分的【例45】若干同样大小的长方形小纸片摆成了如图所示的图形.已知小纸片的宽是总面积是多少平方厘米?12厘米,问阴影部分的【例44】如右图所示,在长方形ABCD中, 面积是【例46】一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形, 则称为完美长方形. 下面一个长方形是由 9个小正方形组成的完美长方形.图中正方形 A 和B 的边长分别是 7厘米和4厘米,那么这个完美长方形的面积分别是多少平方厘米?11个正方形,其中最小的正方形 (阴影部分)面积为81cm 2,请问这ighefcabd 第2题图中的长方形被分割成 6个正方形,已知中央小正方形的面积是 1平方厘米,求原来长方形的面积.【巩固】9个边长分别为1、4、7、8、9、10、14、15、18的正方形拼成一个长方形,问这个长方形的长和 宽是多少?并请画出这个长方形的拼接图.A_BDE FCA_BGH【巩固】如图:有一个矩形可以被分割为个矩形之面积为多少平方厘米?【巩固】【例47】图中数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积,另一个三角形的面积是【巩固】阳阳用四块小长方形恰好拼成了一个大的长方形,如图所示.现在知道其中三块长方形的面积分别 为48平方厘米、24平方厘米、30平方厘米,那么,阴影部分的面积是多少?9个小矩形.其中有 5个小矩形的面积如图所示.矩形 ABCD 的面积【例48】如图,一个矩形被分成八个小矩形,其中有五个矩形的面积如图中所示 矩形的面积是多少平方厘米?(单位:平方厘米),问大3616 C20B E 301236S16 C20S 2B E 3012482430【巩固】如图,矩形 ABCD 被分割成 为.GADFGADF【例49】 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片,放在一个底面为正方形的盒内,它们之间相互叠合 (见20,黄色面积是14,绿色面积是10.求正方形盒底【例50】如图所示,在正方形 ABCD 内,红色、绿色正方形的面积分别是 48和12,且红、绿两个正方形有一个顶点重合.黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点,另一个顶点位于绿色 正方形两条对角线的交点.那么黄色正方形的面积是【巩固】如图所示,在正方形 ABCD 中,红色,绿色正方形的面积分别是52和13,且红、绿两个正方形有一个顶点重合.黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点, 另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点,求黄色正方形面积.【例51】如图,三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内, A 和B 是两个正方形的重叠部分, G D E是空出的部分,每一部分都是矩形,它们的面积比是 A: B: C: D E=1: 2: 3: 4: 5,那么这个长方形的长与宽之比是.下图).已知露在外面的部分中,红色面积是 的面积.123【例52】如图如果长方形的面积为56平方厘米,且MD 2厘米、QC 3厘米、CP 5厘米、BN 6厘米, 那么请你求出四边形MNPQ 的面积是多少厘米?【巩固】长方形的广告牌长为10米,宽为8米,A , B , C , D分别在四条边上,并且C比A低5米,D在B的左边2米,四边形ABCD的面积是平方米.【例53】直角三角形PQR的直角边为5厘米,9厘米,问:图中三个正方形的面积之和比4个三角形的面积之和大多少?【例54】如图所示,甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH ,中间阴影为正方形.已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm2,四边形ABCD的面积是20cm2.⑴求正方形EFGH的边长? ⑵求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和?【例 55】 如图,平面上CDEF 是正方形, 三角形ADE 的面积.ABCD 是等腰梯形,它的上底 AD 23厘米, 下底BC 35厘米.求【例56】右图是由9个等边三角形拼成的六边形,已知中间最小的等边三角形的边长是 1,问:这个六边形图1图2bca hegf图3【例57】把正三角形的每条边三等分,以各边的中间一段为边向外作小正三角形,得到一个六角形.再将这个六角形的六个”角”(即小正三角形)的两边三等分,又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形,这样就得到如右图所示的图形.如果所作的最小的小正三角形的面积为1平方厘米,求如图中整个图形的面积.100的数.它的内部有三个边长是整数的正方形.正方形②的边长是-.那么,图中阴影部分的面积是8【例58】如图,长方形的面积是小于长方形长的史,正方形①的边长是长方形宽的12。
六年级数学几何图形面积计算的技巧和方法
六年级数学几何图形面积计算的技巧和方法一、熟练掌握基本图形面积公式的推导对于长方形、正方形、平行四边形、三角形以及梯形等基本几何图形的面积计算,同学们要熟练掌握其面积公式的推导过程,并能够熟练运用。
如:长方形的面积=长×宽;正方形的面积=边长×边长;平行四边形的面积=底×高;三角形的面积=底×高÷2;梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。
这些基本图形的面积计算是同学们必须掌握的基本技能。
二、学会灵活运用组合图形在几何图形中,有很多是由两个或多个基本图形组合在一起,这种图形叫做组合图形。
在计算其面积时,同学们要学会分割法和添补法,正确地分割出基本图形,再根据图形中各个基本图形的面积公式来计算。
如果分割出的基本图形不规则,则要利用割补法把它转化成已学过的基本图形来计算。
三、掌握常用的辅助线在几何图形中,添加辅助线是解决几何问题的重要方法之一。
添辅助线的方法一般有:平行线法、变换方向法、同一法、与圆有关的辅助线法等。
在学习中要灵活运用各种辅助线,会添加辅助线是解几何题的必要技能之一。
如求梯形面积时,需要连接对角线,将梯形转化为三角形来求解;求圆的面积时,可以化曲为直,把圆转化为近似长方形或扇形来求解。
四、合理选择方法有些几何图形的面积在一般情况下需要多次分割和添补才能得出结果。
此时同学们需要尝试多种方法,从不同角度分析问题,比较不同方法的优劣,最终选择最简单的方法。
有些几何图形在特殊情况下,可以利用特殊图形(如正方形、圆等)的面积进行求解。
因此,同学们需要了解这些特殊情况下的求解方法,以提高解题效率。
五、重视单位转换在几何图形中,不同的单位需要转换成相同的单位才能进行计算。
同学们在解题时需要时刻关注单位转换,避免出现错误。
在解答完成后要认真检查自己的答案,确保单位一致。
六、总结反思解题后要总结解题规律,反思解题思路,优化解题方法,从而形成解题规律。
小学数学几何图形面积计算法
小学数学几何图形面积计算法在小学数学的学习中,几何图形的面积计算是一个重要的部分。
它不仅是数学知识的基础,也与我们的日常生活息息相关。
接下来,让我们一起探索几种常见几何图形面积的计算方法。
一、长方形长方形是我们最常见的几何图形之一,它的面积计算方法非常简单。
长方形的面积等于长乘以宽,用公式表示就是:面积=长×宽。
比如说,有一个长方形的花坛,长是 5 米,宽是 3 米,那么它的面积就是 5×3 = 15 平方米。
在计算长方形面积时,一定要注意长和宽的单位要统一,如果长是厘米,宽是米,那就需要先把单位换算一致,再进行计算。
二、正方形正方形是一种特殊的长方形,它的四条边长度相等。
所以正方形的面积等于边长乘以边长,公式为:面积=边长×边长。
假设一个正方形手帕的边长是 2 分米,那么它的面积就是 2×2 = 4平方分米。
三、三角形三角形的面积计算相对复杂一些。
三角形的面积等于底乘以高除以2,公式为:面积=底×高÷2。
例如,有一个三角形的木板,底是 6 米,高是 4 米,那么它的面积就是 6×4÷2 = 12 平方米。
在计算三角形面积时,关键是要找到对应的底和高。
而且,同一个三角形,选择不同的底,对应的高也会不同,但面积是不变的。
四、平行四边形平行四边形的面积等于底乘以高,公式为:面积=底×高。
假如有一个平行四边形的菜地,底是 8 米,高是 3 米,它的面积就是 8×3 = 24 平方米。
需要注意的是,计算平行四边形面积时,底和高一定要相互垂直。
五、梯形梯形的面积等于(上底+下底)乘以高除以 2,公式为:面积=(上底+下底)×高÷2 。
比如有一个梯形的果园,上底是 4 米,下底是 6 米,高是 5 米,那么它的面积就是(4 + 6)×5÷2 = 25 平方米。
在学习梯形面积计算时,要理解上底加下底的和的含义。
小学数学竞赛:三角形等高模型与鸟头模型(二).教师版解题技巧 培优 易错 难
板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式:三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积. 如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小); 如果三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小);这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍,底变为原来的13,则三角形面积与原来的一样.这就是说:一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状. 在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论: ①等底等高的两个三角形面积相等;②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如左图12::S S a b =s 2s 1baDCBA③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图ACD BCD S S =△△;反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上), 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBADE CBA图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =,16ADE S =△平例题精讲4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型方厘米,求ABC △的面积.EDCBAEDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ,::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△,::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△,所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△,设8ADE S =△份,则35ABC S =△份,16ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,ABC △的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 .【答案】70【巩固】如图,三角形ABC 中,AB 是AD 的5倍,AC 是AE 的3倍,如果三角形ADE 的面积等于1,那么三角形ABC 的面积是多少?E DC B A AB C DE【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE .∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ,∴1515ABC ADE S S ==V V .【答案】15【巩固】如图,三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,4BD DC ==,3BE =,6AE =,乙部分面积是甲部分面积的几倍?乙甲E D C BAA B CDE 甲乙【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD .∵3BE =,6AE =∴3AB BE =,3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==,∴2ABC ABD S S =V V ,∴6ABC BDE S S =V V ,5S S =乙甲.【答案】5【例 2】 如图在ABC △中,D 在BA 的延长线上,E 在AC 上,且:5:2AB AD =,:3:2AE EC =,12ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积.EDCBA EDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BE ,::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△,所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△,设6ADE S =△份,则25ABC S =△份,12ADE S =△平方厘米,所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米,ABC △的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【答案】50【例 3】 如图所示,在平行四边形ABCD 中,E 为AB 的中点,2AF CF =,三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 连接FB .三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍,而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍,所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍;又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍,所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=()倍.因此,平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米).【答案】48【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米,,2,3BE CE AD BD CF AF ===,求ABC △的面积.FED CBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△,:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份,则4BDE S =△份,4ADF S =△份,9CEF S =△份,244497DEF S =---=△份,恰好是7平方厘米,所以24ABC S =△平方厘米【答案】24【例 5】 如图16-4,已知.AE=15AC ,CD=14BC ,BF=16AB ,那么DEF ABC 三角形的面积三角形的面积等于多少?【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯,决赛,第一题,9题 【解析】 如下图,连接AD ,BE ,CF.有△ABE ,△ABC 的高相等,面积比为底的比,则有ABEABCS S V V =AE AC ,所以ABE S V =AE AC ×ABC S V =15ABC S V同理有AEF S V =AF AB ABE S V ,即=AEF S V =15×56ABC S V =16ABC S V . 类似的还可以得到CDE S V =14×45ABC S V =15ABC S V ,BDF S V =16×13ABC S V =18ABC S V . 所以有DEF S V =ABC S V -(AEFS V +CDE S V +BDF S V )=(1-16-15-18)ABC S V =61120ABC S V . 即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120. 【答案】61120【例 6】 如图,三角形ABC 的面积为3平方厘米,其中:2:5AB BE =,:3:2BC CD =,三角形BDE 的面积是多少?AB EC DDC EB A【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=,所以可以用共角定理,设2AB =份,3BC =份,则5BE =份,325BD =+=份,由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△,设6ABC S =△份,恰好是3平方厘米,所以1份是0.5平方厘米,25份就是250.512.5⨯=平方厘米,三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【答案】12.5【例 7】 如图所示,正方形ABCD 边长为6厘米,13AE AC =,13CF BC =.三角形DEF 的面积为_______平方厘米.EDC【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】走美杯,五年级,初赛【解析】由题意知13AE AC=、13CFBC=,可得23CE AC=.根据”共角定理”可得,():():()12:(33)2:9CEF ABCS S CF CE CB AC=⨯⨯=⨯⨯=△△;而66218ABCS=⨯÷=△;所以4CEFS=△;同理得,:2:3CDE ACDS S=△△;,183212CDES=÷⨯=△,6CDFS=△故412610DEF CEF DEC DFCS S S S=+-=+-=△△△△(平方厘米).【答案】10【例 8】如图,已知三角形ABC面积为1,延长AB至D,使BD AB=;延长BC至E,使2CE BC=;延长CA至F,使3AF AC=,求三角形DEF的面积.FEDCBA ABCDEF【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答【解析】(法1)本题是性质的反复使用.连接AE、CD.∵11ABCDBCSS=VV,1ABCS=V,∴S1DBC=V.同理可得其它,最后三角形DEF的面积18=.(法2)用共角定理∵在ABCV和CFEV中,ACB∠与FCE∠互补,∴111428ABCFCES AC BCS FC CE⋅⨯===⋅⨯VV.又1ABCS=V,所以8FCES=V.同理可得6ADFS=V,3BDES=V.所以186318DEF ABC FCE ADF BDES S S S S=+++=+++=V V V V V.【答案】18【例 9】如图,把四边形ABCD的各边都延长2倍,得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米,则EFGH的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】方法一:如下图,连接BD,ED,BG,有V EAD、V ADB同高,所以面积比为底的比,有2EAD ABD ABDEAS S SAB==V V V.同理36EAH EAD EAD ABDAHS S S SAD===V V V V.类似的,还可得V6FCG BCDS S=V V,有()66EAH FCG ABD BCD ABCDS S S S S+=+=V V V V=30平方厘米.连接AC ,AF ,HC ,还可得6EFB ABC S S =V V ,6DHG ACD S S =V V , 有()66EFB DHG ABC ACD ABCD S S S S S +=+=V V V V =30平方厘米.有四边形EFGH 的面积为V EAH,V FCG ,V EFB,V DHG ,ABCD 的面积和,即为30+30+5=65(平方厘米.) 方法二:连接BD ,有V EAH 、△ABD 中∠EAD+∠BAD=180° 又夹成两角的边EA 、AH ,AB 、AD 的乘积比,EA AHAB AD⨯⨯=2×3=6,所以EAH S V =6ABD S V .类似的,还可得FCG S V =6BCD S V ,有EAH S V +FCG S V =6(ABD S V +BCD S V )=6ABCD S =30平方厘米. 连接AC ,还可得EFB S V =6ABC S V ,DHG S V =6ACD S V , 有EFB S V+DHG S V=6(ABC S V +ACD S V )=6ABCD S =30平方厘米.有四边形EFGH 的面积为△EAH ,△FCG ,△EFB ,△DHG ,ABCD 的面积和, 即为30+30+5=65平方厘米. 【答案】65【例 10】 如图,平行四边形ABCD ,BE AB =,2CF CB =,3GD DC =,4HA AD =,平行四边形ABCD 的面积是2, 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比.HGAB CD EFHGA B CD EF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD .根据共角定理∵在ABC △和BFE △中,ABC ∠与FBE ∠互补,∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△. 又1ABC S =△,所以3FBE S =△.同理可得8GCF S =△,15DHG S =△,8AEH S =△.所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△.所以213618ABCD EFGH S S ==.【答案】118【例 11】 如图,四边形EFGH 的面积是66平方米,EA AB =,CB BF =,DC CG =,HD DA =,求四边形ABCD 的面积.H GFED CB A A B CDEFGH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接BD .由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△,即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△,即2AHE ABD S S =△△所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ,同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【答案】13.2【例 12】 如图,将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ,若四边形ABCD 的面积为5,则四边形EFGH 的面积是 .A B CD E F GHA B CDEF GH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD .由于2BE AB =,2BF BC =,于是4BEF ABC S S ∆∆=,同理4HDG ADC S S ∆∆=.于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=.再由于3AE AB =,3AH AD =,于是9AEH ABD S S ∆∆=,同理9CFG CBD S S ∆∆=. 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=.那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==.【答案】60【例 13】 如图,在ABC △中,延长AB 至D ,使BD AB =,延长BC 至E ,使12CE BC =,F 是AC 的中点,若ABC △的面积是2,则DEF △的面积是多少?A BCDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ∵在ABC △和CFE △中,ACB ∠与FCE ∠互补,∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△.又2ABC S =V ,所以0.5FCE S =V . 同理可得2ADF S =△,3BDE S =△.所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【答案】3.5【例 14】 如图,1ABC S =△,5BC BD =,4AC EC =,DG GS SE ==,AF FG =.求FGS S V .SGF E DCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题题目本身很简单,但它把本讲的两个重要知识点融合到一起,既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用,也可以看作是找点,最妙的是其中包含了找点的3种情况.最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△.【答案】110【例 15】 如图所示,正方形ABCD 边长为8厘米,E 是AD 的中点,F 是CE 的中点,G 是BF 的中点,三角形ABG 的面积是多少平方厘米?ABCD EF GABC DEF G【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF 、EG .因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△,根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =V ,8EFG S =V ,再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”,得到16BFC S =V ,32ABFE S =,24ABF S =V ,所以12ABG S =V 平方厘米.【答案】12【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放,求阴影三角形的面积.【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图,将原图扩展成一个大正三角形DEF ,则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形.假设正六边形的边长为为a ,则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ,所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=,那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍.而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的,所以一个单位小正三角形的面积为16,三角形DEF的面积为496.由于4FA a=,3FB a=,所以AFB∆与三角形DEF的面积之比为4312 7749⨯=.同理可知BDC∆、AEC∆与三角形DEF的面积之比都为1249,所以ABC∆的面积占三角形DEF面积的1213134949-⨯=,所以ABC∆的面积的面积为4913136496⨯=.【答案】13 6【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是.BDCEA【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出,虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半,也就是都等于一个正六边形的面积;虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半,那么它们合起来等于一个正六边形的面积;虚线AE外的图形是两个三角形,从右图中可以看出,每个三角形都是一个正六边形面积的16,所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=,所以五边形的面积是12103633-=.【答案】2 6 3【例 17】仅用下图这把刻度尺,最少测量次,就能得出三角形ABC和三角形BCD的面积比。
图形面积计算技巧.
3 96 72(cm), 4
S
EDC
2 CE CB 96 2 64(cm), 3 3
2 S 3
BDC
,
S
CEF
S
EFD
,
CF FD 72 2 36(cm),
36 64 100(cm).
• • • • •
练习 A 1 1. 在ΔABC中,AB、AC两边 21 2 3 分别被分成四等份,阴影部分 4 3 B C 面积与ΔABC的面积比是 多少? 从上往下看 (1+2+3+4):(1+1+2+2+3+3+4)
转化为:ΔABC的面积比ΔACE的面积 大20平方厘米,
10 10 2 20 30(cm ).
2
• 练习:6 两个半径为2厘米的圆相交,且 图中的两个阴影部分的面积相等,求 • O1O 2 的长度? O 长方形的面积等与两个 O2 扇形的面积,
1
1 2 2 2 2 (cm). 4
例4 如图,ΔABC的面积为 2 24cm , AE=EB,BD=2DC, 求阴影部分的面积? 解:连接EC,
B
A
E
D
C
AE E B,
S
BEC
1 1 S ABC 24 12(cm 2 ), 2 2
又
BD 2DC,
BEC
2 S BED S 3
2 2 12 8(cm ). 3
• 8 如图,两个相同的直角梯形重叠在一 起,阴影部分的面积( )(单位:厘米)
(20 5 20) 8 2
35 4 140(cm ).
小学数学技巧如何快速计算面积
小学数学技巧如何快速计算面积数学是学习中不可或缺的一门学科,而计算面积是数学中的一项重要技能。
掌握快速计算面积的技巧,不仅可以提高解题速度,还可以培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
本文将介绍几种小学数学技巧,帮助学生快速计算面积。
1. 矩形和正方形的面积计算技巧矩形和正方形是最简单的几何图形,其面积计算公式也是最基础的。
矩形的面积等于底边长乘以高,即A = l × w;正方形的面积等于边长的平方,即A = s × s。
学生在计算矩形和正方形的面积时,只需记住这两个简单的公式,便可快速计算。
例题1: 已知一个长方形的长为5cm,宽为3cm,它的面积是多少?解析: 根据矩形的面积公式,可以直接计算出面积 A = 5cm × 3cm = 15cm²,所以该长方形的面积为15平方厘米。
例题2: 一个正方形的边长为7cm,求它的面积。
解析: 根据正方形的面积公式,可以直接计算出面积 A = 7cm × 7cm = 49cm²,所以该正方形的面积为49平方厘米。
2. 三角形的面积计算技巧三角形是常见的几何图形之一,计算其面积需要使用特定的公式。
对于任意一个三角形,其面积等于底边长乘以高再除以2,即A = 0.5 ×b × h。
其中,b代表底边长,h代表高。
当底边长和高都是整数时,计算起来相对简单。
例题3: 已知一个三角形的底边长为6cm,高为4cm,求它的面积。
解析: 根据三角形的面积公式,可以直接计算出面积 A = 0.5 × 6cm × 4cm = 12cm²,所以该三角形的面积为12平方厘米。
3. 圆的面积计算技巧圆是一种没有边界的几何图形,其面积计算需要使用π(圆周率)来进行计算。
圆的面积等于半径的平方乘以π,即A = r² × π。
在实际计算中,可以采用近似值,如取π≈3.14。
基本图形的面积计算方法
基本图形的面积计算方法面积是研究几何学中的一个重要概念,它描述了一个物体或图形所占据的平面范围的大小。
在几何学中,面积的计算方法与图形的形状有关,在本文中,我将介绍一些常见基本图形的面积计算方法。
一、三角形的面积计算方法三角形是最简单的平面图形之一,其面积计算公式为:面积 = 底边长度 ×高 / 2其中,底边长度是指三角形的底边的长度,高是指从底边到与之平行的顶点的垂直距离。
二、矩形的面积计算方法矩形是一个拥有四个直角的四边形,其面积计算公式为:面积 = 长 ×宽其中,长代表矩形的长边的长度,宽代表矩形的短边的长度。
三、正方形的面积计算方法正方形是一种特殊的矩形,其四条边相等,且都是直角形成的。
正方形的面积计算公式为:面积 = 边长 ×边长其中,边长指正方形的任意一条边的长度。
四、圆的面积计算方法圆是一个几何学中重要的图形,其面积计算公式为:面积= π × 半径 ×半径其中,π是一个无理数,可以近似取为3.14或22/7,半径代表圆的半径长度。
五、椭圆的面积计算方法椭圆是一个具有两个焦点的几何图形,其面积计算公式为:面积= π × 长半径 ×短半径其中,长半径代表椭圆的长轴的一半长度,短半径代表椭圆的短轴的一半长度。
六、正多边形的面积计算方法正多边形是一个具有相等边长和相等内角的多边形,例如正三角形、正四边形等。
对于正多边形的面积计算,我们可以使用以下公式:面积 = (边长 ×边长) × (边数/ 4 × tan(π / 边数))其中,边长代表正多边形的任意一条边的长度,边数代表正多边形的边的数量。
通过以上的介绍,我们可以看到不同基本图形的面积计算方法是不同的,但都可以通过找到合适的公式来求解。
掌握这些方法对于几何学的学习和实际应用都具有重要意义。
最后,需要注意的是,在应用这些面积计算方法时,要确保所使用的长度单位一致,以求得准确的面积值。
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模块二、简单的割补
【例 12】图中“风车”(阴影部分)的面积等于 。
【考点】基本图形的面积计算【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯,4年级,初赛,18题
【解析】由割补法知:这个风车可以拼成一个长为2厘米的正方形,所以它的面积是4平方厘米。
【答案】 平方厘米
【例 13】如图,正方形硬纸片ABCD的每边长20厘米,点E、F分别是AB、BC的中点,现沿图a中的虚线剪开,拼成图b所示的一座“小别墅”,则图b中阴影部分的面积是平方厘米。
【答案】 厘米
【例 10】如图3,边长为4的正方形 和边长为6的正方形 并排放在一起, 和 分别是两个正方形的中心(正方形对角线的交点),则阴影部分的面积是______.
【考点】基本图形的面积计算【难度】4星【题型】填空
【关键词】希望杯,六年级,初赛,第10题,6分
【解析】等于一个直角梯形减去两个直角梯形的面积,(2+3)×5÷2-2×2÷2-3×3÷2=6.
【考点】基本图形的面积计算【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯,五年级,复赛,第17题,10分
【解析】方法一、先计算四个长条形面积之和,再减去重叠部分.
=3×25+1×25+2×15+3×15-2×l-2×3-3×1-3×3=155.
方法二、可将四组平行线分别移至端线处,如图所示,移动后阴影部分面积不变。
【考点】基本图形的4年级,初赛,19题
【解析】四个边角的面积和为2×2×4=16,则水池的边长为:104÷2÷4=13,所以水池的面积是:13×13=169平方米。
【答案】 平方米
【例 3】每边长是10厘米的正方形纸片,正中间挖了一个正方形的洞,成为一个宽1厘米的方框。把五个这样的方框放在桌面上,成为一个这样的图案(如图所示)。问桌面上被这些方框盖住的部分面积是多少平方厘米?
小学数学平面图形计算公式:
1、正方形:周长=边长×4;面积=边长×边长
2、正方体:表面积=棱长×棱长×6;体积=棱长×棱长×棱长
3、长方形:周长=(长+宽)×2;面积=长×宽
4、长方体:表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2;体积=长×宽×高
5、三角形:面积=底×高÷2
6平行四边形:面积=底×高
7梯形:面积=(上底+下底)×高÷2
【考点】基本图形的面积计算【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯,五年级,复赛,第7题,5分
【解析】20×20× × =100(平方厘米)。
【答案】 平方厘米
【例 14】下列各图中,阴影部分的面积与整个图形面积的比值最大的是图。
【考点】基本图形的面积计算【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯,四年级,复赛,第9题,6分
【解析】因为 将图形分成面积相等的两部分,所以 恰好是 个边长,所以,正方形的周长为 厘米
【答案】 厘米
【例 17】如图所示,平行四边形内有两个大小一样的正六边形,那么阴影部分的面积占平行四边形面积的( ).
(A) (B) (C) (D)
【考点】基本图形的面积计算【难度】3星【题型】填空
【关键词】华杯赛,初赛,第1题
【解析】根据图形知道上面的长方形的面积为 (平方厘米),所以四部分的面积分别为32平方厘米,因为三角形的面积和右边的长方形面积相等x分别是长方形的宽和三角形的直角边,所以三角形的另一条直角边和长方形的长之间是2倍关系为 ,所以x值为: (厘米)
【答案】 厘米
【例 6】如图,长9厘米,宽8厘米的长方形的中间有一个由两个长方形构成的十字形的阴影.如果阴影部分的面积恰好等于空白部分的面积,那么x=厘米.
【考点】基本图形的面积计算【难度】3星【题型】填空
【关键词】华杯赛,初赛,第2题
【解析】方框的面积是 。每个重叠部分占的面积是一个边长为1厘米的正方形。重叠部分共有8个
(平方厘米)。故被盖住的面积是172平方厘米。
【答案】 平方厘米
【例 4】如图4所示,长方形ABCD的长为25,宽为15。四对平行线截长方形各边所得的线段的长已在图上标出,且横向的两组平行线都与BC平行。求阴影部分的面积。
【解析】割补,面积为12×12=144
【答案】
【例 20】如图,四边形 内有一点 到四条边 的距离 都等于6厘米。如果四边形 的周长是57厘米,那么四边形 的面积是___________平方厘米。
【考点】基本图形的面积计算【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯,4年级,初赛,16题
【解析】57×6 2=171平方厘米。
【解析】4个图比值分别为1/3,3/8,1/4,1/4,比值最大的是图B
【答案】
【例 15】在半径为7厘米的圆形场地边缘等距离地插6面彩旗,则相邻的两面彩旗的距离等于米。
【考点】基本图形的面积计算【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯,四年级,复赛,第8题,5分
【解析】在圆上等距离的插 面彩旗相当于将圆六等分,这样 面旗刚好围成一个正六边形,变长为半径,所以相邻两面旗的距离等于7米。
【答案】
【例 11】如图所示,长方形AEGH与正方形BFGH的面积比为3:2,则正方形ABCD的面积是正方形BFGH的面积的______倍(结果写成小数)
【考点】基本图形的面积计算【难度】3星【题型】填空
【关键词】第三届,五年级,复赛,第15题,6分
【解析】由于长方形AEGH的面积与正方形BFGH的面积之比为3:2.,则EG:GF=3:2,令正方形ABCD的边长为5,则AH=3,BH=2,所以正方形GHFB的面积为4而正方形ABCD的面积为25,所以正方形ABCD的面积是BFGH的面积的25÷4=6.25倍。
【例 22】如图所示,一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池,水池长8米、宽3米,水池周围用边长为1米的方砖一圈一圈的向外铺.恰好铺了若干圈,共用了152块方砖,那么共铺了圈.
【考点】基本图形的面积计算【难度】3星【题型】填空
【关键词】迎春杯,中年级组,复赛,第7题
【解析】由于水池的四周均铺上方砖,那么铺上方砖后得到的大长方形的长与宽之差等于水池的长与宽之差,为 .如果水池中也铺上方砖,需要 块,那么整个大长方形需要 块,而 ,16与11的差恰好为5,所以大长方形的长为16米,共铺了 圈.
【答案】 圈
模块三、简单的旋转
【例 23】如图,最外面的正方形的面积是60平方厘米,则最里面的正方形的面积是平方厘米。
【考点】基本图形的面积计算【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯,4年级,初赛,15题
【解析】将中间的正方形旋转45度,则中间的正方形的面积为60÷2=30平方厘米,最里面的正方形的面积等于30÷2=15平方厘米.
【答案】 平方厘米
【巩固】如图12,边长为4cm的正方形将边长为3cm的正方形遮住了一部分,则空白部分的面积的差等于 。
【考点】基本图形的面积计算【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯,4年级,初赛,19题
【解析】空白部分的面积差等于两个正方形的面积差,即 (平方厘米)。
【答案】 平方厘米
【例 2】在一个正方形水池的四周,环绕着一条宽2米的路(如图),这条路的面积是120平方米,那么水池的面积是______平方米。
【考点】基本图形的面积计算【难度】2星【题型】填空
【关键词】华杯赛,初赛,第5题
【解析】格子布的面积是下图面积的9倍,格子布白色部分的面积也是图上白色面积的9倍,下图中白色部分所占面积的百分比是: =0.58=58%,格子布中白色部分的面积是总面积的58%.
【答案】
【例 8】如图,周长为52厘米的“L”形纸片可沿虚线分成两个完全相同的长方形.如果最长的边是16厘米.那么该“L”形纸片的面积是____平方厘米.
【答案】 米
【例 16】如图所示,在由七个同样的小正方形组成的图形中,直线l将原图形分为面积相等的两部分。l与AB的交点为E,与CD的交点为F。若线段CF与线段AE的长度之和为91厘米,那么小正方形的边长是厘米。
【考点】基本图形的面积计算【难度】3星【题型】填空
【关键词】华杯赛,决赛,第4题,10分
【考点】基本图形的面积计算【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯,四年级,二试,第7题
【解析】直线形汁算,首先单独看竖直的阴影正好将长方形分为相等的三份,要使阴影部分与空白部分面积相等,那么水平的阴影与竖直阴影不重合的部分应该等于半份,
【答案】
【例 7】如图是一块黑白格子布.白色大正方形的边长是14厘米,白色小正方形的边长是6厘米.问:这块布中白色的面积占总面积的百分之几?
【答案】 平方厘米
【例 24】如图,桌面上有A、B、C三个正方形,边长分别为6,8,10。B的一个顶点在A的中心处,C的一个顶点在B的中心处,这三个正方形最多能盖住的面积是________。
【考点】基本图形的面积计算【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯,六年级,初赛,第14题,5分
【解析】可以证明,无论这个图形形状如何,正方形两两之间重叠的部分面积都是固定的,正方形A、B重叠的部分为6×6÷4=9,正方形B、C重叠的部分为8×8÷4=16,它们能盖住的面积为100+64+36-16-9=175。
【考点】基本图形的面积计算【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯,四年级,复赛,第6题,5分
【解析】根据图形分割思想,知道正六边形的面积是里面菱形面积的 倍,所以菱形面积是
【答案】
【例 19】如图所示的四边形的面积等于。
【考点】基本图形的面积计算【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯,五年级,复赛,第18题,4分
模块一、基本公式的应用
【例 1】如图,两个正方形边长分别是5厘米和4厘米,图中阴影部分为重叠部分。则两个正方形的空白部分的面积相差多少平方厘米?