大一下学期高等数学期中考试试卷及答案word版本
高一数学第二学期期中考试试卷含答案(word版)
第二学期期中考试 高一数学试题试题分值 150分 时间 120分钟一、选择题1、集合}{01032<-+=x x x A ，}{410<+<=x x B ，则)(B C A R ⋂＝（ ）A 、}{21<<-x x B 、}{3215≤<-≤≤-x x x 或C 、}{15-≤<-x xD 、}{15-≤≤-x x2、已知135sin =α，α是第一象限角，则cos(π)α-的值为（ ） A.513-B.513C.1213-3、在等差数列{}n a 中，已知112n a n =-，则使前n 项和n S 最大的n 值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.74、在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、， 60B =，4a =，其面积S =，则c =（ ）A.15B.16C.20D.5、已知平面向量→a , →b 满足|→a |=1，|→b |=2，且（→a +→b ）⊥→a ，则→a ，→b 的夹角为A 、23π B 、2π C 、3π D 、6π6、在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、， 4,30a b A ===，则B =（ ）A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150° 7、等比数列{}n a 的前m 项和为4，前2m 项和为12，则它的前3m 项和是（ ） A.28 B.48 C.36 D.52 8、已知等差数列}{n a 的前15项之和为154π，则789tan()a a a ++=（ ） A. 33B. 3C. 1-D. 19、在△ABC 中，2,1AB AC AM AM +==，点P 在AM 上且满足2AP PM =， 则()PA PB PC ⋅+等于（ ） A ．94 Ｂ．34 Ｃ．－34 Ｄ．－9410、已知))()(()(b a b x a x x f >--=其中，若)(x f 的图象如右图所示：则b a x g x+=)(的图象是（ ）xyA 1OxyB 1OxyC1OxyD1O11、在△ABC 中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、，若222c a b ab ≤+-，则C 的取值范围为（ ） A.(0,]3πB.[,)6ππC.[,)3ππD.(0,]6π12、已知等差数列{}n a 满足2222699678sin cos sin cos 1sin()a a a a a a -=+，公差(1,0)d ∈-，当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则该数列首项1a 的取值范围为（ ）A.43(,)32ππ B.43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.74(,)63ππD.74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13、若3sin 5x =，则cos 2x =__________． 14、在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断：①1tan tan =B A ； ② 1sin sin 3A B <+≤1cos sin 22=+B A ；④C B A 222sin cos cos =+其中正确的序号是____________xy-11O15、在矩形ABCD 中，AB=2BC ，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，在以A 、B 、C 、D 、M 、N 为起点和终点的所有向量中，相等的非零向量共有 对.16.对于实数b a ,，定义运算⎩⎨⎧>-≤-=⊗⊗11:""b a b b a a b a ，设函数)()2()(22x x x x f -⊗-=，若函数c x f y -=)(的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________. 三、解答题17. (本小题满分10分)已知等差数列{}n a 满足：3710,26a a ==． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）请问88是数列{}n a 中的项吗？若是，请指出它是哪一项；若不是，请说明理由．18. (本小题满分12分) 已知向量(cos ,1)2x m =-，2(3sin ,cos )22x x n =， 设函数1()2f x m n =⋅+． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调区间．NCDAB19. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：142318,32b b b b +=⋅=．（1）求数列{}{}n n a b 、的通项公式；（2）若*,N n n n c a b n =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20.(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足()2cos cos a c B b C -=．（1）求B 的值； （2）若3=b ，求c a 21-的取值范围．21、（12分）要将两种大小不同的钢板截成A B C 、、三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A B C 、、三种规格的成品分别15，18，27块，各截这两种钢板多少张可得所需A B C 、、三种规格的成品，且使所用钢板张数最少？213112C 规格B 规格A 规格第一种钢板第二种钢板规格类型钢板类型22、（本小题满分12分） 已知函数）（Z ∈=++-m x x f m m322)(为偶函数，且)5()3(f f <. （1）求m 的值，并确定)(x f 的解析式.（2）若)1,0]()([log ≠>-=a a ax x f y a 且在区间[]3,2上为增函数，求实数a 的取 值范围 .第二学期期中考试 高一理科数学试题试题分值 150分 时间 120分钟 命题教师 侯思超一、选择题1、C2、C3、B4、C.5、A 、6、B.7、A8、C.9、Ｄ． 10、A 11、A.12、A.二、填空题 13、72514、②④ 15、2416. )43,1(]2,(----∞ 三、解答题 17.解析：（1）依题意知73416,4d a a d =-=∴=【3分】()3342n a a n d n ∴=+-=-【5分】（2）令*454588,4288,,N .22n a n n =-==∉即所以 所以88不是数列{}n a 中的项.【10分】 18.解析：（1）依题意得()sin()6f x x π=-，【4分】 ()2f x T π∴=最小正周期为【6分】(2)由22262k x k πππππ-≤-≤+解得22233k x k ππππ-≤≤+， 从而可得函数()f x 的单调递增区间是：2[2,2],33k k k Z ππππ-+∈【9分】 由322262k x k πππππ+≤-≤+解得252233k x k ππππ+≤≤+， 从而可得函数()f x 的单调递减区间是：25[2,2],33k k k Z ππππ++∈【12分】19.解析 ：（1）当2n ≥时，()()221313111312222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎢⎥⎣⎦111,2n a S ===又时符合，所以31n a n =-【3分】 2314b b b b =，14,b b ∴方程218320x x -+=的两根， 41b b >又，所以解得142,16b b ==34182b q q b ∴==∴=112n n n b b q -∴=⋅=【6分】（2）31,2n n n a n b =-=，则n (31)2n C n =-⋅1234225282112(31)2n n T n ∴=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅234512225282112(31)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅将两式相减得：12341=22+32+2+2+2)(31)2-------------------------------------------8n n n T n +⋅--⋅-（分2112(12)43(31)212n n n -+⎡⎤-=+--⋅⎢⎥-⎣⎦1(34)28n n +=-+⋅-【10分】所以1=(34)28n n T n +-⋅+.【12分】20.解析：（1）由已知()2cos cos a c B b C -= 得()2sin sin cos sin cos A C B B C -= 【3分】 化简得1cos 2B =【5分】 故3B π=．【6分】（2）由正弦定理32sin sin sin 3a c bA C B====，得2sin ,2sin a A c C ==， 故122sin sin 2sin sin 2333sin cos 3226a c A C A A A A A ππ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 【9分】因为203A π<<，所以662A πππ-<-< 【10分】 所以133sin (,3)262a c A π⎛⎫-=-∈- ⎪⎝⎭【12分】 21、解：设所需第一种钢板x 张，第一种钢板y 张，共需截这两种钢板z 张，则目标函数为z x y =+约束条件为21521832700x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ 【3分】可行域如下图2x+y =15x +3y=27x +2y=18xy =-x(185,395)yM 【5分】把z x y =+变形为v ，得到斜率为1-，在y 轴上截距为z 的一组平行直线，由上图可知，当直线z x y=+经过可行域上的点M 时，截距z 最小，解方程组327215x y x y +=⎧⎨+=⎩得点1839,55M ⎛⎫⎪⎝⎭，由于1839,55都不是整数，而此问题中最优解(),x y 中，,x y 必须都是整数，所以点1839,55M ⎛⎫⎪⎝⎭不是最优解。
10-11-2高数1(B)期中考试试卷参考答案
3、设积分区域 D 是 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ，则 ∫∫ dxdy =
D
（A） π
（B）3 π
（C）4 π
（D）15 π
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4、设 z = z ( x, y ) 由 x 3 + y 3 + z 3 + xyz − 6 = 0 所确定的函数，则 （A）
1 5
2 0
∂z ∂x
系
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3、求旋转抛物面 z = x 2 + y 2 − 1 在点 (2,1, 4) 的切平面及法线方程
解： F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 − z − 1, 则有 Fx = 2 x, Fy = 2 y, Fz = −1; 设 Fx (2,1, 4) = 4, Fy (2,1, 4) = 2, Fz (2,1, 4) = −1LLLLLLLLLLL 2分 所求切平面方程为 4( x − 2) + 2( y − 1) − ( z − 4) = 0 即 4 x + 2 y − z = 6LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL 4分 所求法线方程为 x − 2 y −1 z − 4 = = LLLLLLLLLLLLLL 6分 4 2 −1
(1, 2 , −1)
=
（B）
x2 0
11 5
（C） −
1 5
（D） −
11 5
5、二次积分 ∫ dx ∫ （A） ∫ dy ∫
0 4 2 y
f ( x, y )dy 的另一种积分次序是 （B） ∫ dy ∫
0 4 y 0 y 2
f ( x, y )dx
f ( x, y )dx f ( x, y )dx
(整理)厦门大学年下学期高等数学期中考试卷及答案
-------------1. (10分) 求抛物线2=2y x与其上一点1(,1)2A 处的法线围成的平面图形的面积. 解：先求出抛物线2=2y x 在点1(,1)2A 处的法线方程.2=1=11()=12y y dx d y dydy =， ---------2分 所求的法线方程为11=(1)()2y x ---，即3=2y x -. ---------3分则法线与抛物线的两个交点分别为19(,1)(3)22-，， ---------2分于是所围平面图形的面积为112233-33131116[()]d =()=222263S y y y y y y -=----⎰. ---------3分 2. (10分) 半径为R (单位为：米)的半球形水池充满了水(单位为：吨)，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？解：取坐标系如图，考察区间[,+d ]x x x 所对应的 小薄层，此薄层水重为22()d R x x π-(吨)，将此层 水提高到水池外面的距离是x ，因此所作的微功为22d ()d W R x x x π=-， ---------6要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为22401()d 4R W R x x x R ππ=-=⎰(吨.米) ---------4分 3. (10分) 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。
现有一质量为9000kg(公斤)的飞机，着陆时的水平速度为700km/h （千米/时）.假设减速伞厦门大学《高等数学》课程 期中试卷答案 (2011.4.16)主考教师：理工类教学组 试卷类型：（A 卷）打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0⨯106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设知 m=9000 kg ，着陆时的水平速度0=700v km/h ，从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机滑行的距离为x(t )，速度为v(t )。
高一数学第二学期期中考试试卷含答案(共5套)
高一下学期期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．某质检人员从编号为1～100这100件产品中，依次抽出号码为3,13,23，…，93的产品进行检验，则这样的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．以上都不对 2．将八进制数135(8)化为二进制数为( ) A ．1 110 101(2) B ．1 010 101(2) C ．1 111 001(2)D ．1 011 101(2)3．某产品在某零售摊位上的零售价x (元)与每天的销售量y (个)统计如下表：据上表可得回归直线方程a ˆx b ˆy ˆ+=中的b ˆ＝－4，据此模型预计零售价定为16元时，销售量为( )A ．48B ．45C ．50D ．514．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．55.2,3.6B ．55.2,56.4C ．64.8,63.6D ．64.8,3.65．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．106.如图是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是( )A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤97.两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲、乙两人的各科平均分相同B ．甲的中位数是83，乙的中位数是85C ．甲各科成绩比乙各科成绩稳定D ．甲的众数是89，乙的众数为878.sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( ) A ．1 B ．2sin 2α C ．0 D ．29.利用秦九韶算法求f (x )＝x 5＋x 3＋x 2＋x ＋1当x ＝3时的值为( ) A ．121 B ．283 C ．321 D ．23910．如图，矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( ) A ．7.68 B ．8.68 C ．16.32D ．17.3211.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b ∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )A. 91B. 92C. 187D.9412.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=21（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为32π，弦长为m 340的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3≈π，73.13≈） A ． 15 B ． 16 C ． 17 D ． 18第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归方程：y ∧＝0.234x ＋0.521.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元． 14．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________． 15.在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B A Y 发生的概率为________．(B 表示B 的对立事件)16．设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到S 的近似值为________． 二、解答题（17题10分，其余均12分）17.(10分) 已知|x|≤2，|y|≤2，点P 的坐标为(x ，y)，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．18．(12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程a ˆx b ˆyˆ+= (3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：b ∧＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x i 2－n x －2，a ∧＝y －－b ∧ x －)零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时) 2.5 3 4 4.519．(12分)已知α是第三象限角，f (α)＝()()()α-π-•α-π-α-•α-π•α-πsin tan tan )2cos()sin((1)化简f (α)；(2)若⎪⎭⎫ ⎝⎛π-α23cos ＝15，求f (α)的值；20．(12分)某校为了解高三年级学生的数学学习情况，在一次数学考试后随机抽取n 名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.(1)求a ，b ，n 的值；(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与老师面谈，求第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求n≥m+2的概率.22．（12分）在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？(3)求这两个班参赛学生的成绩的中位数.高一下期期中考试数学试题答案一、选择题B D B D A B D D BCD B二、填空题13. 0.234 14.3215.32 16.N1N三、解答题（17题10分，其余均12分）17.解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤9的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝14π×224×4＝π16.18.解：(1)散点图如图．(2)由表中数据得∑4i＝1x i y i＝52.5，x －＝3.5，y －＝3.5，∑4i ＝1x i 2＝54. ∴b ∧＝0.7，∴a ∧＝1.05. ∴y ∧＝0.7x ＋1.05.(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ∧＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．19．解：(1)f (α)＝＝－sin α·cos α·tan α－tan α·sin α＝cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－sin α，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－32π＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－265.20.解：(1)由表中数据，得5n ＝0.05，a n ＝0.35，20n＝b ，解得n ＝100，a ＝35，b＝0.20.(2)由题意，得第三、四、五组分别抽取的学生人数为3060×6＝3，2060×6＝2，1060×6＝1.第三组的3名学生记为a 1，a 2，a 3，第四组的2名学生记为b 1，b 2，第五组的1名学生记为c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同情况，分别为{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 1，c }，{a 2，a 3}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 2，c }，{a 3，b 1}，{a 3，b 2}，{a 3，c }，{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }．其中第三组的3名学生均未被抽到的情况共有3种，分别为{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }． 故第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率为1－315＝45.21解：（1）p=3162(2)先从袋中随机取一个球，记下编号m,放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号n,可能的结果为（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）共16个，满足条件的事件为（1,3）（1,4）（2,4）共3个所以n ≥m+2的概率为p=16322．解：(1)各小组的频率之和为 1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05.∴第二小组的频率为：1．00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40. ∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝频率组距＝0.4010＝0.04.则补全的直方图如图所示．(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x 人．∵第二小组的频数为40人，频率为0.40，∴40x＝0.40，解得x＝100(人)．所以九年级两个班参赛的学生人数为100人．(3)∵（0.03+0.04）×10>0.5所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．设中位数为x则0.03×10+（x-59.5）×0.04=0.5得x=64.5高一下学期期中数学考试试卷(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合，，则( )A． B． C． D．2．( )A．0 B．1 C．2 D.43．若，则下列结论正确的是( )A． B．C． D．4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A．B．C．D．5．函数的定义域是( )A． B． C． D．6．函数过定点( )A． B． C． D．7．已知，，，则＝( )A． B． C． D．8．已知函数为幂函数，则实数的值为( )A．或 B．或 C． D．9．已知函数，若，则实数等于( )A ．2 B. 45 C ．12 D ．910．若，则函数与的图象可能是下列四个选项中的( )11．已知是定义在上的奇函数，当时，,则当时，( )AB ．C ．D ．12．若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是( ) A ．B ． C. D ．第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．设集合，集合，若，则实数14．若，则＝15．如果函数，的增减性相同，则的取值范围是.16．已知是方程的两个根，则的值是.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算下列各式的值（式中字母都是正数）： （1）；（2）已知，求的值.18．(本小题满分12分)已知集合，．（1）若，求；（2）⊆，求的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数+2.（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）若在上是单调函数，求的取值范围.20．(本小题满分12分)已知函数是R上的奇函数，(1)求的值；(2)先判断的单调性，再证明．21．(本小题满分12分)已知函数，．(1)求函数的定义域；(2)讨论不等式中的取值范围．22．(本小题满分12分)若二次函数满足且. （1）求的解析式；（2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围.高一下学期期中考试试卷数学时量：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．3x cos y =是( )A ．周期为π6的奇函数B ．周期为3π的奇函数C ．周期为π6的偶函数D ．周期为3π的偶函数2.已知sin α＝41，则cos 2α的值为( )A ．21B ．87- C.21- D.873．已知平面向量()()3,2,4,1==→→b a ，则向量=+→→b a 5251（ ）A ．()1,2B ．()5,3 C.()3,5 D.()2,14.已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－4，m )，且a ⊥b ，则m ＝( )A ．4B ．2C ．－4D ．－25．为得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33sin πx y 的图象，只需将函数y ＝sin 3x 的图象( )A ．向左平移9π个长度单位B ．向右平移9π个长度单位C ．向左平移3π个长度单位D ．向右平移3π个长度单位6.设a ＝(8，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(2,3)，则(a ＋2b )·c 等于( )A ．(4,18)B ．22C ．－6 D.(18,4)7.已知a ·b ＝122，|a |＝4，a 与b 的夹角为45°，则|b |为( )A ．12 A ．3 C ．6 D ．98.若－π2＜α＜0，则点P (sin α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9.已知α∠的终边经过点()31P ，，则=αsin ( )A ．21 B ．10103C ．31D ．3310．若=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,32032sin ππππx x f x x ，，求)32(πf =（ ） A.0 B.23C.21 D.1 11．已知2tan -=α，则αααα22cos sin cos sin 3-的值是( ) A ．2- B ． 3 C ．2 D ．3- 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，则AB →·AC→等于( )A ．－3B ．－6C ．9D ．6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知AB →＝(2，7)，AC →＝(－5,8)，则BC →＝__________________.14．函数()()()R x x x x f ∈-=cos sin 2的最小正周期为________，最大值为________． 15．设a ＝(5,-2)，b ＝(6,2)，则2|a |2－12a ·b ＝______________.16．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝5，则tan β的值为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知()ππθθ2,,53cos ∈=，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin πθ以及⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πθ的值．18.（10分）设函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 2πωx x f ，0>ω，最小正周期为2π. (1)求()0f .(2)求()x f 的解析式.(3)求()x f 的单调递增区间．19.（12分）已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,3)，c ＝(5,2)．(1)求6a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )//(2b －a )，求实数k . 20. （12分）已知23παπ<<，211-tan tan -=αα.(1)求αtan 的值。
大一第二学期高等数学期中考试试卷(答案另发)
大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。
1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________2、函数ln(u x =+在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim ()ex y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。
以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。
1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ）（A ）．x O z 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成；（B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成；（C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成；（D ）．x O z 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ）其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数.(A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;(B).32212211sin )(cos )(d x d xd x b x a x x b x a x ++++++; (C).32212211)sin cos )((d x d xd x b x a b x a x +++++; (D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++3、已知直线π22122:-=+=-z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交;(C).L 与π正交; (D).L 与π斜交.4、下列说法正确的是（ ）(A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=；(B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ∂∂,22yz ∂∂在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；(C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条件；(D) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微 的必要条件.5、设),2,2(y x y x f z -+=且2C f ∈（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则=∂∂∂y x z 2（ ）(A)122211322f f f --; (B)12221132f f f ++;(C)12221152f f f ++; (D)12221122f f f --.三、计算题（本大题共29分）1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。
最新高一数学下期中试题及答案
最新高一数学下期中试题及答案一、选择题1．水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）A ．2B ．217C ．2D ．82．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ） A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π3．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。
其中正确的是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）4．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为43，则球O 的半径为( ) A ．3B ．1C ．2D ．45．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．306．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π7．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ）A ．312+ B ．31-C ．22D ．512- 8．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ） A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+259．已知实数,x y 满足250x y ++=，那么22x y +的最小值为（ ） A ．5B ．10C ．25D ．21010．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为( ) A ．-2或2B ．12或32C ．2或0D ．-2或011．已知ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，25BC =,三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ） A ．22π B ．743πC ．24πD ．36π12．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则 ①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.15．已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______． 16．正三棱柱的底面边长为，高为2，则它的外接球的表面积为 ．17．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______18．如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.19．直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，则a =__________．20．已知直线1:1l y x =-上有两个点11(,)A x y 和22(,)B x y , 且12,x x 为一元二次方程2610x x -+=的两个根, 则过点,A B 且和直线2:1l x =-相切的圆的方程为______________.三、解答题21．如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥底面ABCD ，090ABC ∠=，23SA AB ==，，1BC =，23AD =，060ACD ∠=，E 为CD 的中点.（1）求证：//BC 平面SAE ；（2）求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值.22．如图，梯形ABCS 中，//AS BC ，AB BC ⊥，122AB BC AS ===，D 、E 分别是SA ，SC 的中点，现将SCD ∆沿CD 翻折到PCD ∆位置，使3PB =（1）证明：PD ⊥面ABCD ；（2）求二面角E BD C --的平面角的正切值； （3）求AB 与平面BDE 所成的角的正弦值.23．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中（侧棱垂直于底面的三棱柱），D ，E ，F 分别是线段1CC ，1AC ，AB 的中点，P 为侧棱1CC 上的点，1CP =，90ACB ∠=︒，14AA AC ==，2BC =.（1）求证；//PF 平面BDE ； （2）求直线PF 与直线BE 所成的角.25．已知直线1:20l ax y a +--=，22:0l x ay ++=，点(5,0)P - （1）当12//l l 时，求a 的值；（2）求直线1l 所过的定点Q ，并求当点P 到直线1l 的距离最大时直线1l 的方程.26．已知圆22C (4)4x y +-=：，直线:(31)(1)40l m x m y ++--=.（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时直线l 的方程及最短弦长；（3）已知点M (-3,4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有||||PM PN 为一常数， 试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】依题意由111A B C △的面积为22114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ． 【详解】依题意，因为111A B C △的面积为2 所以1111122sin 452AC B C ︒=⨯⋅=1112222B C ⨯⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥， 由勾股定理得：22228268217AB AC BC =+=+==故选B ． 【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半.2．A解析：A 【解析】分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥，所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球， 外接球的直径等于长方体的对角线， 即24116R =++=，所以外接球的表面积为：246R ππ=，故选A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球； ④特殊几何体可以直接找出球心和半径.3．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案. 【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线,a b 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线,a b 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线， 综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题． 【详解】解：根据题意作出图形： 设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和． 2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．5．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．6．C解析：C 【解析】 【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.7．B解析：B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率.【详解】由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥， 又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-， 在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=， 即2222a ac c -= 所以2220,(0,1)e e e +-=∈，解得21231e -+==-， 故选：B 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题.8．A解析：A 【解析】 【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可. 【详解】 作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点, 所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B , 所以//EF 平面11BCC B ， 由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF , 结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC ,因为正方体的棱长AB ＝4,所以11EF BE C F BC ====所以所求截面的周长为+ 故选:A 【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.9．A解析：A 【解析】(,)x y 到坐标原点的距离，又原点到直线250x y ++=的距离为d ==A.10．C解析：C 【解析】 【分析】把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标,根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程,求出方程的解得到a 的值即可. 【详解】把圆的方程化为标准式为:22(1)(2)5x y -+-=,所以圆心坐标为(1,2).则圆心到直线0x y a -+=的距离d ==, 即11a -=,化简得11a -=或11a -=-,解得:2a =或0a =. 所以a 的值为0或2. 故选C. 【点睛】本题考查学生会将圆的一般式方程化为标准式方程,灵活运用点到直线的距离公式化简求值.11．C解析：C 【解析】 【分析】由已知可得三角形ABC 为直角三角形，斜边BC 的中点O '就是ABC 的外接圆圆心，利用三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解．【详解】在ABC 中，∵2AB =，4AC =，25BC =得AB AC ⊥， 则斜边BC 的中点O '就是ABC 的外接圆的圆心， ∵三棱锥O ABC -的体积为43， 11424323OO '⨯⨯⨯⨯=，解得1OO '=，221(5)6R =+=， 球O 的表面积为2424R ππ=． 故选C ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.二、填空题13．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m 可以和面β成任意角度①不正确；l ⊂γl ⊥m 所以l ⊥α②正确；③显然不对；④因为l ⊂βl ⊥α解析：②④ 【解析】 【分析】对每一个选项分析判断得解. 【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m 可以和面β成任意角度，①不正确；l ⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l ⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确． 故答案为②④ 【点睛】本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角【解析】 【分析】点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，证得BF ⊥平面ADE ，利用等面积法求得点B 到平面ADE 的距离，也即点1B 到平面ADE 的距离. 【详解】由于E 是1BB 的中点，故点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，由于BF AD ⊥，AD AE E ⋂=，故BF ⊥平面ADE .在直角三角形ABE 中，11,,22AB BE AE ===，所以1122AB BE AE BF ⋅⋅=⋅⋅,解得BF =.【点睛】本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题.15．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B 则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：()1,4,1--【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果. 【详解】 设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z+++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--． 【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.16．【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为得底面所在平面截其外接球所成圆半径为又由高为则球心到圆的球心距为根据球心距截面圆半径球半径构成的直角三角形满足勾股定理我们易得半径满足：已知求得正三棱柱外接球所 解析：【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成圆O 半径为3r =，又由高为2，则球心到圆O 的球心距为1d =，根据球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形满足勾股定理，我们易得半径R 满足：22273R r d =+=，已知求得正三棱柱外接球，所以外接球的表面积为22843S R ππ==． 考点：棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离．【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径．因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上．所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出．17．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用 解析：0x y -=【解析】 【分析】设BAC ∠的平分线与BC 交于D ，根据角平分线与面积关系求出||||CD DB ，利用共线向量坐标关系，求出D 点坐标，即可求解. 【详解】设BAC ∠的角平分线与BC 交于(,)D a b ，1||||sin ||||221||||||||sin 2ACD ABD AC AD CAD S AC CD S AB DB AB AD BAD ⋅⋅∠∴=====⋅⋅∠， 2,(1,5)2(2,)CD DB a b a b ∴=--=--，解得55,33a b ==，55(,)33D ∴，所以BAC ∠的平分线AD 方程为0x y -=.故答案为:0x y -=.【点睛】本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题.18．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为 解析：262+ 【解析】 【分析】首先求出2PB PC ==，即有PB PC BC ==，将三棱锥展开，当三点共线时，值最小，可证E 为PB 中点，从而可求OC OE EC ''=+，从而得解．【详解】在POB 中，1PO OB ==，90POB ∠=︒， 所以22112PB =+=，同理2PC =，所以PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '， 使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值， 又因为OP OB =，C P C B '='， 所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点， 从而2626OC OE EC +''=+== 亦即CE OE +26+故答案为2. 【点睛】本题主要考查了空间中线段和最小值问题，考查了空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．19．【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可【详解】因为直线与直线互相垂直所以解得故填【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件属于中档题 解析：1-【解析】 【分析】根据直线垂直的条件计算即可. 【详解】因为直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直， 所以110a ⨯+= 解得1a =-.故填1-. 【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件，属于中档题.20．或【解析】【分析】由题意可知所以中点坐标为圆心在直线的中垂线上故过圆心满足直线设圆心的坐标为由圆与直线相切故由弦长公式可得圆心到直线的距离为由勾股定理可知解得：当时；当时得解【详解】上有两个点和为一解析：223(2)16x y -+-=（）或2211(6)144x y -++=（） 【解析】 【分析】由题意可知，126x x +=，124y y +=，所以AB 中点坐标为32（，），圆心在直线AB 的中垂线上，故过圆心满足直线5y x =-+，设圆心的坐标为a 5a -（，），由圆与直线2:1l x =-相切故r a 1=+，由弦长公式可得128AB x =-=，圆心到直线AB222221r (a 1)2(3)162d AB a =+↔+=-+解得：当3a =时，r 4=；当11a =时，r 11=得解。
精品解析：高一下学期期中考试数学试题(含答案)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第二学期高一年级数学学科期中考试试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40.0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. cos 20°cos 10sin 20sin10°°°-=（ ）A. sin 10°B. cos 10°C.12【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的余弦公式的逆应用直接求解即可.【详解】cos 20°cos 10sin 20sin10°°°-=()cos 2010cos30+==o o o 故选：D【点睛】本题考查了两角和的余弦公式，需熟记公式，属于基础题.2. 已知向量()1,2a =r ，()1,0b =r ，()3,4c =r ，若l 为实数，()b ac l +^r r r，则l 的值为 （ ）A. 311-B. 113-C.12D.35【答案】A 【解析】【详解】因为(1,2)b a l l l +=+r r，()3,4c =r 且()b ac l +^r r r ，所以()0b a c l +×=r r r ，即3(1)80l l ++=，所以311l =-.故选：A ．考点：1、向量的加法乘法运算；2、向量垂直的性质．3. 命题p ：“向量a r 与向量b r 的夹角q 为锐角”是命题q ：“0a b ×>r r”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】本题首先可根据“向量a r 与向量b r的夹角q 为锐角”证得“0a b ×>r r ”得出命题p 是命题q 的充分条件，然后通过“0a b ×>r r ”不能证得“向量a r 与向量b r的夹角q 为锐角”得出命题p 不是命题q 的必要条件，即可得出结果.【详解】当向量a r 与向量b r的夹角q 为锐角时，因为夹角q 为锐角，所以cos 0q >，cosθ0a b a b ×=××>r r r r，故命题p 是命题q 的充分条件，若0a b ×>r r，则cosθ0a b ××>r r ，090q £<o ，故命题p 不是命题q 的必要条件，综上所述，命题p 是命题q 的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，给出命题若p 则q ，如果p 可以证得q ，则p 是q 的充分条件，若果q 可以证得p ，则p 是q 的必要条件，考查推理能力，是简单题.4. 下列四个命题中正确的是（ ）① 如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行；② 过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；③ 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；④ 过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行．A. ①④ B. ②③C. ①②③D. ①②③④【答案】B 【解析】【分析】①可由空间中直线与平面的位置关系判断； ② ③可由直线与平面平行的性质判断；④可用排查法判断．【详解】空间中直线与平面的位置关系有相交，平行与直线在平面内 ①错误，直线还可能与平面相交②正确 ③正确因为过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线都在与这个平面平行的平面内．④不一定正确 ,当点在其中一条直线上时，不存在平面与两条异面直线都平行.故选B.【点睛】本题考查空间中的直线与平面的位置关系，属于简单题．.5. 已知正四棱锥的底面边长为2( )A.43B.23C. 【答案】D 【解析】【分析】求出正四棱锥的高后可求其体积.【详解】正四棱锥底面的对角线的长度为故正四棱锥的高为h ==，所以体积为143´=故选D .【点睛】正棱锥中，棱锥的高、斜高、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形，它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系，解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系.6. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uuu vA. 3144AB AC -uuuv uuu v B.1344AB AC -uuuv uuu v C. 3144+AB AC uuuv uuu v D. 1344+AB AC uuuv uuu v 【答案】A 【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+uuu v uuu v uuu v，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+uuu v uuu v uuu v，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+uuu v uuu v uuu v ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-uuu v uuu v uuu v，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v 1113124444BA BA AC BA AC uuuv uuu v uuu v uuu v uuu v =++=+，所以3144EB AB AC =-uuu v uuu v uuu v，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.7. 若3cos 22sin()4pa a =-，(,)2pa p Î则sin 2a 的值为( )A.B. C. 79-D.79【答案】C 【解析】【分析】先利用二倍角公式和辅助解公式将3cos 22sin()4pa a =-化简为223(cos sin )sin )a a a a --，再约分后平方，可得结果【详解】解：因3cos 22sin()4pa a =-，所以3cos 22(sin cos cos sin )sin )44p pa a a a a =-=-，223(cos sin )sin )a a a a --，3(cos sin )(cos sin )sin )a a a a a a +--，因为(,)2pa p Î，所以cos sin 0a a -¹，所以3(cos sin )a a +所以cos sin a a +=，两边平方得，212cos sin 9a a +=为所以7sin 29a =-，故选：C【点睛】此题考查正余弦的二倍角公式，辅助角公式，同角三角函数的平方关系，属于中档题.8. 函数()f x =cos()x w j +的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A. 13(,),44k k k Z p p -+Î B. 13(2,2),44k k k Z p p -+ÎC. 13(,),44k k k Z-+Î D. 13(2,244k k k Z-+Î【答案】D 【解析】由五点作图知，1+42{53+42pw j p w j ==，解得=w p ，=4p j ，所以()cos(4f x x p p =+，令22,4k x k k Z pp p p p <+<+Î，解得124k -＜x ＜324k +，k Z Î，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z Î，故选D.考点：三角函数图像与性质二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20.0分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的的3分，有选错的得0分）9. 已知复数()13(z i i +-﹦其中i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A. 5z ﹦B. 12z i =+C. 复数z 的虚部为2-D. 234z i--﹦【答案】ABCD 【解析】【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，最后逐个判断.【详解】由()13z i i +-﹦得，3(3)(1)24121(1)(1)2i i i iz i i i i ----====-++-5z \﹦， 12z i =+；复数z 的虚部为2-；2234z i=--﹦(1-2i )故选：ABCD【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模、共轭复数的运算.10. 设m 、n 是两条不同的直线，a 、b 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若//m a ，//m b ，则//a b B. 若//a b ，m a Ì，则//m b C. 若//a b ，//m n ，//m a ，则b n//D. 若//m a ，m b Ì，n a b =I ，则//m n 【答案】BD 【解析】【分析】假设直线m 与平面a 、b 的交线平行，结合线面平行的判定定理可判断A 选项的正误；利用面面平行的性质可判断B 选项的正误；直接判断n 与b 的位置关系可判断C 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，假设l a b =I ，m a Ë，m b Ë，//m l ，则//m a ，//m b ，但a 、b 不平行，A 选项错误；对于B 选项，若//a b ，m a Ì，由面面平行的性质可知//m b ，B 选项正确；对于C 选项，若//a b ，//m n ，//m a ，则n b Ì或b n//，C 选项错误；对于D 选项，若//m a ，m b Ì，n a b =I ，由线面平行的性质可知//m n ，D 选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查线面关系有关命题正误判断，考查推理能力，属于中等题.11.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若b =3c =，3A C p +=，则下列结论正的确的是（ ）A. cos C =B. sin B =C. 3a = D. ABC S =V 【答案】AD 【解析】【分析】根据正弦定理得到cos C =，sin sin 2B C ==，根据余弦定理得到1a =，ABC S =V 案.【详解】3A C p +=，故2B C =，根据正弦定理：sin sin b cB C=，即32sin cos C C C =´，sin 0C ¹，故cos C =，sin C =，sin sin 22sin cos B C C C ===2222cos c a b ab C =+-，化简得到2430a a -+=，解得3a =或1a =，若3a =，故4A C p==，故2B p=，不满足，故1a =.11sin 122ABC S ab C ==´´=△.故选：AD .【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.12.将函数()22cos 16f x x p p æö=+-ç÷èø的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移()0j j >个单位长度，最后得到的图象对应的函数为奇函数，则j 的值可以为（ ）A.116B.76C.56D.23【答案】AC 【解析】【分析】本题首先可以将()22cos 16f x x p p æö=+-ç÷èø转化为()cos 23f x x p p æö=+ç÷èø，然后通过图象变换得出函数()cos 3h x x p p jp æö=-+ç÷èø，最后通过函数()cos 3h x x p p jp æö=-+ç÷èø是奇函数即可得出结果.【详解】()22cos 1cos 263f x x x p p p p æöæö=+-=+ç÷ç÷èøèø，所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，得到函数()os 3c g x x p p æö=+ç÷èø，再把所得函数的图象向右平移()0j j >个单位长度，得到函数()cos 3h x x p p jp æö=-+ç÷èø，因为函数()cos 3h x x p p jp æö=-+ç÷èø是奇函数，所以()03cos 0h p jp æö=-+=ç÷èø，即()23k k Z p pjp p -+=+Î，解得16k j =--，故j 的值可以为116、56，故选：AC.【点睛】本题考查余弦函数的相关性质以及三角函数图象变换，考查二倍角公式的应用，函数cos 2y x =的横坐标伸长到原来的2倍后得到函数cos y x =，再向右平移j 个单位长度得到函数()cos y x j =-，考查推理能力与计算能力，是中档题.三、填空题（本大题共4小题，，每小题5分，共20.0分）13. 若复数21a ii+-为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值为________【答案】12【解析】【分析】将复数化成代数形式后，再根据纯虚数的概念求出a 的值即可．【详解】()()()()212212111122a i i a i a a i i i i Q+++-+==+--+是纯虚数，2102a \-=且2102a +¹，解得12a =.故答案为：12.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的有关概念，考查学生的运算运算能力，解题的关键是正确进行复数的运算．14. 函数()2cos sin f x x x =+的最大值为__________.【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．【详解】解：函数f （x ）＝2cos x +sinx =x sin x）=sin （x +θ），其中tan θ＝2，【点睛】通过配角公式把三角函数化为sin()y A x B w j =++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +£求最值．15. 已知1tan 45p æöa -=ç÷èø，则tan 2a =______．【答案】125-【解析】【分析】本题首先可根据1tan 45p æöa -=ç÷èø得出3tan 2a =，然后通过22tan tan 21tan a a a =-即可得出结果.【详解】因为1tan 45p æöa -=ç÷èø，所以tan tantan 114tan 41tan 51tan tan 4pa p a a p a a --æö-===ç÷+èø+，解得3tan 2a =，则222tan 312tan 21tan 5312aa a===--æö-ç÷èø，故答案为：125-.【点睛】本题考查两角差的正切公式以及二倍角公式的使用，考查的公式为()tan tan tan 1tan tan a b a b a b--=+、22tan tan 21tan a a a=-，考查计算能力，是简单题.16. 在四面体ABCD中，AB CD ==BC DA ==，CA BD ==，则此四面体ABCD 外接球的表面积是__.【答案】14p【解析】【分析】根据对棱长相等可将四面体补成长方体，长方体的外接球就是四面体的外接球，根据对棱长可求外接球的直径，故可得外接球的表面积.【详解】将该几何体补成如图所示的长方体：设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则22222210513a b a c b c ì+=ï+=íï+=î，所以22214a b c ++=，所以长方体的外接球（即四面体ABCD，其表面积为14p .【点睛】几何体外接球问题，应该先考虑如何确定球的球心，再把球的半径放置在可解的平面图形中，如果球心的位置不易确定，则可以把几何体补成规则的几何体，通过规则几何体的外接球来考虑要求解的外接球的半径.四、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70.0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17. 已知单位向量a r ，b r 满足()()2323a b a b -×+=r r r r .（1）求a b ×rr ；（2）求2a b -r r 的值.的【答案】（1）12-； （2.【解析】【分析】（1）利用单位向量的定义､数量积运算性质即可得出；（2）利用数量积运算性质,即可求得答案.【详解】（1）由条件2242633a a b a b b +×-×-=r r r r r r ，即4433a b -×-=rr ，12a b \×=-r r （2）222124441472a b a a b b æö-=-×+=+-´-=ç÷èør r r r r r ，\2a b -=r r 【点睛】本题主要考查了求向量的数量积和向量模，解题关键是掌握向量的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.18. 如图所示，在四棱锥-C ABED 中，四边形ABED 是正方形，点,G F 分别是线段,EC BD 的中点．（1）求证：//GF 平面ABC（2）H 是线段BC 的中点，证明：平面//GFH 平面ACD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）利用面面平行的判定定理证明即可.【详解】()1证明：由四边形ABED 为正方形可知，连接AE 必与BD 相交于中点F 故//GF AC ，GF ËQ 面ABC ，AC Ì面ABC ，//GF \面ABC ；()2由点,G H 分别为,CE CB 中点可得：////GH EB AD ，GH ËQ 面ACD ，AD Ì面ACD ，//GH \面ACD ，由()1可知，//GF 面ACD ，且GH GF G Ç=，故平面//GFH 平面ACD ．【点睛】本题主要考查空间直线与平面的平行的判定与性质和空间平面与平面的平行的判定与性质.19. 已知函数()22sin cos 3f x x x x p æö=--ç÷èø．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求当,44x p p éùÎ-êúëû时，()f x 值域．【答案】（1）p ；（2）1,12éù-êúëû.【解析】【分析】（1）展开两角差的正弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；（2）由x 的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性求f （x ）的值域．【详解】(1())22sin cos 3f x x x x p æö=--ç÷èø1cos 22sin 22x x x ö=-÷÷ø12sin 2sin 223x x x p æö=+=+ç÷èø， 22T p p \==，()f x \的最小正周期为p ；(2),44x p p éùÎ-êúëûQ ，52,366x p p p éù\+Î-êúëû，1sin 2123x p æö\-£+£ç÷èø，()f x \的值域是1,12éù-êúëû．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的周期性，三角函数值域等问题，考查三角函数和差公式、二倍角公式及图像与性质的应用，难度不大，综合性较强，属于简单题.20.如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD P ，BC CD ^，2CD AB ==，45ADC Ð=°，梯形绕着直线AB 旋转一周.（1）求所形成的封闭几何体的表面积；的（2）求所形成的封闭几何体的体积.【答案】(1) (15p + (2) 【解析】【分析】(1)梯形绕着直线AB 旋转一周后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，其表面积++S =圆柱侧面积圆锥侧面积圆柱底面积，计算即可(2)几何体的体积可以看做圆柱的体积减去一个圆锥的体积.【详解】依题意旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，由2CD AB ==，45ADC Ð=°可知BC AD ===圆柱底面积（1）其表面积S=圆柱侧面积+圆锥侧面积+圆柱底面积22p =´+(12315p p p =++=+.（2）其体积V=圆柱体积-圆锥体积2213p p =´´´==.【点睛】本题主要考查了旋转体的表面积，体积，属于中档题.21. △ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）B=4p 1+【解析】【详解】(1)∵a=bcosC+csinB∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ①在三角形ABC 中，A=－(B+C)∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ②由①和②得sinBsinC=cosBsinC而C ∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=(2) S △ABC 12=ac sin B =，由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos 4p³2ac ﹣2ac ，整理得：ac £，当且仅当a ＝c 时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为1122=（2）=+1．22. 在平面四边形ABCD 中，已知//AD BC ，CBD BDC a Ð=Ð=，ACD b Ð=.（1）若30a =o ，75b =o 5+=，求,AC CD 的长；（2）若90a b +>o ，求证：AB AD <.【答案】（1）AC =CD =；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，得出45ACB Ð=o ，ADC 60Ð=o ，再利用正弦定理求得AC =，结合已知条件，即可求出,AC CD 的长；（2）利用余弦定理以及三角形的内角和，得出ACB ACD Ð<Ð，通过判断三角形中边角关系，即可得出结论.【详解】（1）由已知得30CBD BDC Ð=Ð=o ，75ACD Ð=o ，所以45ACB Ð=o .因为AD BC ∥，所以30ADB CBD Ð=Ð=o ，45DAC BCA Ð=Ð=o .所以ADC 60Ð=o .在ACD D 中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC CAD=ÐÐ，所以sin 60sin 45AC CD =o o ，所以AC =.5=，所以AC =CD =.（2）在ACB D 中，由余弦定理得AB =.在ACD D 中，由余弦定理得AD =因为90a b +>o ，1802ACB a b Ð=--o ，所以()()180218020ACB ACD a b b a b Ð-Ð=---=-+<o o ，即ACB ACD Ð<Ð.又0180ACB <Ð<o o ，0180ACD <Ð<o o ，所以cos cos ACB ACD Ð>Ð，所以AB AD <.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，通过正弦定理和余弦定理、以及三角形边和角的有关性质等，同时考查学生化归和转化思想.。
广工环境工程大一下学期高数期中考试(下)(09级)
1广东工业大学考试试卷 ( )课名称: 高等数学 （下）（期中测验） 2010.4.30一、填空题（每题4分,共20分）1．向量{4,3,4}-a =在向量{2,2,1}b =上的投影为 2 2． 曲线t t te z t e y t ex 2,sin ,cos ===在相应于0=t 的点处切线与Ox 轴夹角的正弦sin α=sin α==3．设10,1:≤≤≤y x D 。
则⎰⎰+Dyd y y x σ)cos (5＝ 3. 32 4．曲面221z x y =--上平行于平面2210x y z ++-=的切平面方程为 ．2230x y z ++-=5． 设函数22),(y xy x y x f +-=，则),(y x f 在点)1,1(处沿变化率最大方向的方向导数为 。
5.2 二、单选题：（每题4分,共20分） 1．已知直线⎩⎨⎧=+--=--+072072z y x z y x 与平面0453=-+-z ky x 平行，则k 的值为（ D ）（A ） 16 (B) 17 (C) 32 (D)34 2．改变积分次序后⎰⎰-221),(x x xdy y x f dx = （ C ）。
(A) ⎰⎰-+xx dx y x f dy 2111),( (B)⎰⎰-+yy dx y x f dy 2111),( (C )⎰⎰--yy dx y x f dy 21110),( (D)⎰⎰+-yy dx y x f dy 21110),(3．函数()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,,00,0,,,22y x y x y x xyy x f 在点()0,0处（ C ） （Ａ）连续，偏导数存在； （Ｂ）连续，偏导数不存在；（Ｃ）不连续，偏导数存在； （Ｄ）不连续，偏导数不存在． 4．设23zx x y =--，则它在点（1,0）处（B ）（A ）取得极大值; (B)无极值;（C ）取得极小值; (D)无法判别是否有极值; 5．设(,)f u v 具有连续偏导，且243221(,)2,(,)221,f x x x x x f x x x x '=++=-+则22(,)f x x '=（ A ）2（A ）2221xx ++ （B ）21232x x x++（C ）2221xx -+ （D ）2231x x ++三、求解下列各题（每题7分，共21分） １．求极限limsin()x y x y x y xy →→-+0023211。
高等数学(下)期中考试题及答案
f ( x, y ) d x + ∫ d y ∫ y 2 f ( x, y ) d x ．
0 2
v
2
2
二、记 x − y = u ， ln x = v ，则 x = e ， y = e − u ，代入右端，得
f (u , v ) =
即
u u −2 v e ， v
x x −2 y e ． y ∂f 1 + x x −2 y ∂f x(1 + 2 y ) x−2 y = e ， =− e ． y y2 ∂x ∂y
五、设 F ( x, y, z ) = xyz + λ ( x + y + z − 5r ) ，令
3 2 2 2 2
Fx = yz 3 + 2λ x = 0 , Fy = xz 3 + 2λ y = 0 , Fz = 3 xyz 2 + 2λ z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = 5r 2 ,
x +1 y − 3 z = = 相交 1 1 2
参考答案
一、
⎡ ⎤ 2x 2y 1． d z |(1,2) = ⎢ dx+ d y⎥ 2 2 2 2 1+ x + y ⎣1 + x + y ⎦ 1 2 = dx+ d y． 3 3
2 2
3 2 a ．因此 4
M = ∫∫∫ z d V = ∫∫ d x d y ∫
Ω
D
a2 − x2 − y 2 a− a2 − x2 − y2
zdz =
1 [ 2a a 2 − x 2 − y 2 − a 2 ] d x d y ∫∫ 2 D
a 5 1 2π d θ ∫ 2 [ 2 a a 2 − ρ 2 − a 2 ] ρ d ρ = πa 4 ． ∫ 0 2 0 24 G G 2 八、(1) τ = 1,−2t ,3t ， n = (0 , 3 , 2 ) ． G G 令 τ ⋅ n = 0 ，得 t1 = 0 ， t 2 = 1 ，即 G G τ 1 = (1 , 0 , 0 ) ， τ 2 = (1 , − 2 , 3 ) ．
最新大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。
1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim()ex y x y x y xy x y +→-+=+5、设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。
以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。
1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．x O z 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．x O y 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．x O y 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．x O z 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数.(A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;(B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++3、已知直线π22122:-=+=-zy x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ）(A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=；(B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ∂∂,22yz∂∂在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；(C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条件；(D) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微 的必要条件.5、设),2,2(y x y x f z -+=且2C f ∈（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则=∂∂∂yx z2（ ）(A)122211322f f f --; (B)12221132f f f ++; (C)12221152f f f ++; (D)12221122f f f --.三、计算题（本大题共29分） 1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。
高一数学下学期期中考试试卷含答案(word版)
高一年级第二学期期中考试试题数学第1卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题12题,每小题5分,共60分) 1. 若0a b <<,则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．2ab b < C ．||||a b < D ．2a ab > 2. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1356a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．103. 在ABC ∆中, a =b =o45B =,则A 为（ ）A ．o60或o120 B ．o60 C ．o30或o150 D ．o304. 公差下为0的等差数列{}n a 中, 12a =,且248,,a a a 成等比数列,数列{}n a 的前n 项和为n S ，则8S =（ ）A ．72B ．56 C. 36 D ．285. 在ABC ∆中, o o 45,60AB A B ===,则BC =（ ）A ．3-B C. 2 D ．3+ 6. 不等式组2(2)01x x x +⎧>⎨<⎩的解集为（ ）A ．(2,1)--B ．(1,0)- C. (0,1) D ．(1,)+∞7. 已知不等式210ax bx --≥的解集是11[,]23--,则不等式20x bx a --<的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,2)(3,)-∞+∞ C. 11(,)32 D ．11(,)(,)32-∞+∞ 8. 设{}n a 是由正数组成的等比数列, n S 为其前n 项和,已知241a a =,37S =,则5S 等于（ ） A ．152 B ．314 C. 334 D ．1729. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,1cos ,7,65A a c ===,则b =（ ） A ．8B ．7 C. 6 D ．510. 已知0,0x y >>,且2x y +=,则14x y+的最小值是（ ） A ．72 B ．4 C. 92D ．5 11. 设ABC ∆的三内角A B C 、、成等差数列, sin sin sin A B C 、、成等比数列,则这个三角形的形状是（ ） A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形12. 如图所示,为测一树的高度,在地上选取A B 、两点,从A B 、两点分别测得望树尖的仰角为oo30,45，且A B 、两点之间的距离为60m ,则树的高度为（ ）A ．(30303)m +B ．(30153)m + C. (15303)m + D ．(1533)m +第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题4题,每小题5分,共20分) 13. 不等式2340x x --+>的解集为 ． 14. ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知,13A b π==,其面积为3,则a = ．15. 若对任意1x >,不等式2471x x a x -+≥-恒成立,则实数a 的取值范围是 ． 16. 两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5,12,22,,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作11a =,第2个五角形数记作25a =,第3个五角形数记作312a =,第4个五角形数记作422a =,……,若按此规律继续下去,则n a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列{}n a 满足1210a a +=,432a a +=. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==,问：6b 与数列{}n a 的第几项相等?18.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且32,cos 5a B ==. (1)若4b =,求sin A 的值；(2)若ABC ∆的面积4ABC S ∆=,求,b c 的值.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12n n S a =-+. (I)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若21log n n b a +=，且数列{}n b 的前n 项和为n T ,求12111nT T T +++. 18. 如图,在ABC ∆中, ACB ∠为钝角, 2,2AB BC ==,6A π=,D 为AC 延长线上一点,且31CD =+.(1)求BCD ∠的大小；(2)求BD 的长及ABC ∆的面积.21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12323n a a a na ++++*(1)2()n n S n n N =-+∈(1)求23a a ，的值；(2)求证：数列{+2}n S 是等比数列； (3)设814=2n n n b S -+,数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足0n T >的最小自然数n 的值.22.已知函数2()1()f x mx mx m R =--∈ (1)当0m >,解关于x 的不等式()23f x x <-(2)对于[1,3]x ∈,()1f x m x >-+-,恒成立,求m 的取值范围.第二学期高一年级期中考试数学答案第1卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题12题,每小题5分,共60分)二、填空题(本大题4题,每小题5分,共20分)13. (4,1)-(,2]-∞ 16. 232n n na -=三、解答题(本大题6题,共70分) 17. 解析:(1)设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=,所以2d =.又因为1210a a +=,所以1210a d +=,故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.(2)设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以12,4q b ==.所以61642128b -=⨯=.18. 解:(1)3cos 05B =>,且0B π<<, 4sin 5B ∴==.由正弦定理得sin sin a bA B=， 42sin 25sin 45a B A b ⨯∴===. (2) 1sin 42ABC S ac B ∆==，142425c ∴⨯⨯⨯=.5c ∴=.由余弦定理得2222cos b b c ac B =+-，b ∴===19.解:(I)当1n =时, 11112a S a ==-+解得11a = 当2n ≥时, 1n n n a S S -=-=1(12)(12)n n a a --+--+ 整理得，12n n a a -=即12nn a a -= 故数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,故通项公式为12n n a -= (Ⅱ) 212log log 2nn n b a n +===，于是前n 项和为12n n T b b b =+++=(1)122n n n ++++=， 从而1222(1)1n T n n n n ==-++ 故121112212n T T T ⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭2222231n n ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭222111n n n =-=++ 20.(1)在ABC ∆中,因为2,,6AB A BC π===由正弦定理可得sin sin ABBCACB A=∠，即21sin sin 62ACB π===∠ 所以sin 2ACB ∠=. 因为ACB ∠为钝角, 所以34ACB π∠=,所以4BCD π∠-； (2)在BCD ∆中,由余弦定理可知222BDCB DC =+2cos CB DC BCD -⋅⋅∠,即2221)BD =---21)cos4π⨯,整理得2BD =.在ABC ∆中,由余弦定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅,即222222cos6AC AC π=+-⨯⨯⨯,整理得220AC -+=,解得1AC =±。
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案一、选择题（共40题，每题2分，共80分）1. 计算∫(4x-3)dx的结果是：A. 2x^2 - 3x + CB. 2x^2 - 3x + 4C. 2x^2 - 3x + 1D. 2x^2 - 3x答案：A2. 曲线y = 2x^3 经过点(1, 2)，则函数y = 2x^3的导数为：A. 2x^2B. 6x^2C. 6xD. 2x答案：D3. 若a,b为实数，且a ≠ 0，则 |a|b 的值等于：A. aB. abC. 1D. b答案：B4. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = 2x - 1，则f(g(-2))的值为：A. 19B. 17C. 16D. 15答案：C5. 已知√2是无理数，则2-√2是：A. 有理数B. 无理数C. 整数D. 分数答案：A二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 设函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则f'(1)的值为____。
答案：42. 已知函数f(x) = 4x^2 + ax + 3，若其图像与x轴有两个交点，则a的取值范围是____。
答案：(-∞, 9/4) ∪ (9/4, +∞)3. 三角形ABC中，AB = AC，角A的度数为α，则角B的度数为____。
答案：(180°-α)/24. 若函数y = f(x)在点x = 2处的导数存在，则f(x)在点x = 2处____。
答案：连续5. 若直线y = kx + 2与曲线y = x^2交于两个点，则k的取值范围是____。
答案：(-∞, 1) ∪ (1, +∞)三、解答题（共5题，每题20分，共100分）1. 计算∫(e^x+1)/(e^x-1)dx。
解：令u = e^x-1，则du = e^xdx。
原积分变为∫(1/u)du = ln|u| + C = ln|e^x-1| + C。
2. 求函数y = x^3 + 2x^2 - 5x的驻点和拐点。
高一数学下学期期中试卷(含解析)(2021学年)
内蒙古包头市2016-2017学年高一数学下学期期中试卷（含解析) 编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(内蒙古包头市2０１6－２０17学年高一数学下学期期中试卷（含解析）)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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201６—201７学年内蒙古包头市高一(下)期中数学试卷一、选择题(每小题只有1个正确答案,每小题5分,共５0分）1．有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体应是一个( ）A.棱台ﻩＢ.棱锥ﻩＣ．棱柱 D.都不对2．垂直于同一条直线的两条直线一定( )Ａ．平行 B.相交Ｃ.异面ﻩ D.以上都有可能3．下列说法正确的是( )A.三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个公共点4.已知向量,且,则实数k的值为（)Ａ．﹣2ﻩB．2ﻩC．８D．﹣85.如图Rt△O′A′Ｂ′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=２，则这个平面图形的面积是（)A． B．1ﻩC． D.６．在正方体ABCD﹣A1B１C1D1中，下列几种说法正确的是（）Ａ.A１C1⊥ADﻩ B.Ｄ1C1⊥ABＣ．AＣ１与ＤC成45°角Ｄ．A1Ｃ1与B１C成60°角7．如图,△ＡBＣ是直角三角形,∠AＢC=90°，ＰA⊥平面ABC，此图中直角三角形的个数为( )Ａ.1ﻩ B.2 Ｃ．３D.4８．设l，m是两条不同的直线,α是一个平面，则下列命题正确的是( )A.若ｌ⊥α,ｌ∥m,则m⊥αﻩB．若l⊥ｍ,m⊂α,则l⊥αC.若l∥α，m⊂α,则ｌ∥ｍﻩD.若l∥α,ｍ∥α,则l∥ｍ9．已知点Ａ(1，3）,B(４,﹣1）,则与向量同方向的单位向量为( )A. B. C.ﻩ D.10.已知两个非零向量，满足,则下面结论正确的是（ )A. B.ﻩC．Ｄ．１1．如图，直三棱柱ABC﹣Ａ1Ｂ1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱A A１和Ｃ C1上,AP＝C1Q,则多面体A1B1C１﹣PBQ的体积为( )A.ﻩB．ﻩC． D.12.圆锥的底面半径为ｒ，高是ｈ，在这个圆锥内部有一个内接正方体,则此正方体的棱长等于（）A.ﻩB.C.ﻩD.二、填空题(每小题5分,共20分）1３．球的表面积扩大为原来的4倍，它的体积扩大为原来的倍.１4.向量（３，4)在向量(1,﹣2)上的投影为 .15．已知向量=(λ+1，1),=(λ+2，2),若（)⊥(﹣），则λ=.１6.若圆锥的侧面展开图是圆心角为1８０°,半径为4的扇形,则这个圆锥的表面积是 .三、解答题(17题10分,１８到22题每题12分,共７０分）17．已知向量.（Ⅰ)若与的夹角为,求；(Ⅱ)若,求与的夹角．１8．如图,一个组合体的三视图如图:（单位cｍ）（１）说出该几何体的结构特征；（2)求该组合体的体积（保留π);(３)求该组合体的全面积．（保留π)．1９．如图,四棱锥P﹣ＡBCＤ的底面是正方形，侧棱ＰA⊥底面ABCD，E是PA的中点.(Ⅰ）求证：PC∥平面ＢDE;（Ⅱ）证明：BD⊥CE．２0．正方体ABCＤ﹣A’B'C’D'的棱长为a,连接A'C',A’D，Ａ’B，BD,ＢＣ',C’D，得到一个三棱锥A＇﹣BＣ’D.求：（１）求异面直线Ａ'D与C'D′所成的角;(2）三棱锥A'﹣BC’D的体积．２１.在边长为2的正三角形ＡＢC中， =2=3，设＝=．(Ⅰ)用表示;（Ⅱ)求的值．22.如图，长方体ＡBCＤ﹣A1B１C1D１中,AB=12,ＢC=１0,AA１=8，过点A１、D1的平面α与棱ＡB 和CD分别交于点Ｅ、F，四边形A1EＦＤ1为正方形．（１)在图中请画出这个正方形(注意虚实线，不必写作法),并求ＡE的长；(２）问平面α右侧部分是什么几何体，并求其体积．２016-２0１7学年内蒙古包头市包钢四中高一（下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有1个正确答案,每小题5分,共50分)１．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（ )A．棱台ﻩB．棱锥Ｃ.棱柱ﻩD．都不对【考点】Ｌ8:由三视图还原实物图．【分析】根据主视图、左视图、俯视图的形状,将它们相交得到几何体的形状．【解答】解:由三视图知，从正面和侧面看都是梯形,从上面看为正方形,下面看是正方形,并且可以想象到连接相应顶点的四条线段就是几何体的四条侧棱，故这个三视图是四棱台.故选Ａ.２.垂直于同一条直线的两条直线一定( )A.平行ﻩB.相交C．异面ﻩＤ．以上都有可能【考点】ＬO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据在同一平面内两直线平行或相交,在空间内两直线平行、相交或异面判断．【解答】解:分两种情况：①在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选D3．下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面Ｂ．四边形一定是平面图形Ｃ．梯形一定是平面图形Ｄ．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个公共点【考点】2Ｋ:命题的真假判断与应用.【分析】由公理３知:不共线的三个点确定一个平面,即可判断Ａ；四边形有平面四边形和空间四边形两种，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形,即可判断B;在同一平面内，只有一组对边平行的四边形为梯形，即可判断C;由公理３得不同在一条直线上的三个公共点确定一个平面，即可判断Ｄ.【解答】解:A．由公理3知:不共线的三个点确定一个平面，故Ａ错；B．四边形有平面四边形和空间四边形两种，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形,故B错;Ｃ.在同一平面内，只有一组对边平行的四边形为梯形,故C对;D．由公理3得不同在一条直线上的三个公共点确定一个平面，故D错.故选C.4.已知向量,且，则实数k的值为( ）Ａ.﹣2ﻩB．2ﻩ C.８ D.﹣８【考点】9K:平面向量共线(平行)的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出.【解答】解:∵，∴﹣2k﹣4=０，解得k=﹣2.故选:A.5．如图Rｔ△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边Ｏ′B′=2，则这个平面图形的面积是( )A．ﻩＢ．1ﻩＣ.ﻩD．【考点】ＬB:平面图形的直观图．【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长,做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2倍,得到结果.【解答】解：∵Ｒt△O’A’B'是一平面图形的直观图,斜边O＇B’=２,∴直角三角形的直角边长是,∴直角三角形的面积是，∴原平面图形的面积是1×2=２故选D．6.在正方体AＢCD﹣A1B１Ｃ１D1中,下列几种说法正确的是( )A．A1Ｃ１⊥ＡＤ B.Ｄ1C１⊥ＡBC.AC1与ＤC成45°角D．A１Ｃ1与B1Ｃ成６0°角【考点】LM:异面直线及其所成的角;L2：棱柱的结构特征.【分析】由题意画出正方体的图形,结合选项进行分析即可.【解答】解:由题意画出如下图形：A．因为AD∥Ａ1D１，所以∠C1Ａ１D1即为异面直线A1C１与AD所成的角,而∠C1A１D1=45°,所以A错;B．因为Ｄ1C1∥ＣD,利平行公理4可以知道：ＡB∥CＤ∥C1D1,所以B错;C．因为DＣ∥ＡB．所以∠C1AB即为这两异面直线所成的角，而,所以C错；Ｄ.因为A1C1∥AＣ,所以∠B1CA即为异面直线Ａ１C1与B１Ｃ所成的角,在正三角形△B1CＡ中,∠B1CA=６0°，所以D正确.故选:D.7．如图,△ＡBC是直角三角形，∠ＡBC=90°,PA⊥平面AＢC，此图中直角三角形的个数为（)A．1 B.2 C.3 D.4【考点】ＬＸ:直线与平面垂直的性质．【分析】推导出AB⊥BＣ,ＰＡ⊥BC，从而ＢC⊥平面PAB，由此能求出图中直角三角形的个数.【解答】解:∵△ABC是直角三角形，∠AＢＣ=90°,PA⊥平面ABＣ，∴AB⊥BＣ,PＡ⊥BC,∵AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB,∴图中直角三角形有△ABC（∠ＡＢC是直角 ),△ＰＡC(∠PＡC是直角），△PAB（∠PAＢ是直角),△PBC(∠ＰBC是直角），∴图中直角三角形有４个．故选:D．８.设l,ｍ是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )Ａ．若ｌ⊥α，ｌ∥m,则m⊥αﻩ B.若l⊥ｍ，ｍ⊂α，则l⊥αC.若ｌ∥α,m⊂α,则ｌ∥mﻩD.若l∥α,m∥α，则l∥m【考点】2Ｋ：命题的真假判断与应用;LＯ:空间中直线与直线之间的位置关系;ＬP:空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】若l⊥α,l∥ｍ,根据两平行直线中的一条与平面垂直，另一条也垂直平面，得到m⊥α．【解答】解:若l⊥α，l∥ｍ,根据两平行直线中的一条与平面垂直，另一条也垂直平面,所以m⊥α所以选项A正确;若l⊥m，m⊂α，则l⊥α或l与α斜交或l与α平行,所以选项B不正确；若l∥α,ｍ⊂α，则l∥m或l与m是异面直线,所以选项C错误;若l∥α,m∥α,则l∥m或l与m异面或ｌ∥m相交，所以选项D错误;故选A9.已知点A(1，3）,B(4，﹣1),则与向量同方向的单位向量为( ）Ａ．ﻩB．ﻩC．Ｄ．【考点】96：平行向量与共线向量;95:单位向量.【分析】由条件求得=(3,﹣4),|｜＝５,再根据与向量同方向的单位向量为求得结果.【解答】解：∵已知点Ａ（1,3),Ｂ(4，﹣1),∴=(4,﹣1）﹣(1,３)＝(3,﹣4),｜｜＝＝5,则与向量同方向的单位向量为=,故选A．10．已知两个非零向量,满足,则下面结论正确的是( ）A．B．ﻩ C. D.【考点】96：平行向量与共线向量.【分析】由两个非零向量,满足,可得,展开即可．【解答】解：∵两个非零向量，满足，∴，展开得到.故选B．１1.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为Ｖ，点P、Ｑ分别在侧棱ＡＡ1和ＣＣ1上,AP＝C1Q，则多面体A１Ｂ1Ｃ1﹣PBQ的体积为（)A．Ｂ.ﻩ C.ﻩＤ．【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】根据体积公式可知V B﹣A′B′Ｃ′=V B﹣ACQP=V B﹣PQC′A′=,故而可得出结论.【解答】解:连结A′Ｂ，ＢＣ′，则ＶB﹣Ａ′B′Ｃ′==，∴V B﹣ACC′A′=V﹣V B﹣A′B′C′＝，∵AP=C1Ｑ,∴Ｓ梯形ACQP＝S矩形AＣC′A′，∴V B﹣AＣQP=VＢ﹣AＣC′A′=,∴多面体A1B1C１﹣ＰＢQ的体积为Ｖ﹣=．故选B.12．圆锥的底面半径为ｒ，高是h，在这个圆锥内部有一个内接正方体,则此正方体的棱长等于( ）A.B．Ｃ. D.【考点】Ｌ５：旋转体(圆柱、圆锥、圆台)．【分析】设棱长为a,利用三角形相似列比例式解出a.【解答】解：设正方体棱长为a，则由三角形相似得，解得a＝.故选C．二、填空题(每小题5分,共20分)１3．球的表面积扩大为原来的4倍,它的体积扩大为原来的8 倍．【考点】ＬG：球的体积和表面积．【分析】我们设出原来球的半径为Ｒ，则可以计算出原来球的表面和体积，再根据球的表面积扩大了4倍，我们可以求出扩大后球的半径，进而求出扩大后球的体积,进而得到答案.【解答】解:设原来球的半径为R则原来球的表面积Ｓ1=４πＲ2，体积V1=若球的表面积扩大为原来的４倍，则S2=16πR２则球的半径为2R体积V2==∵Ｖ２:Ｖ１＝8:１故球的体积扩大了8倍故答案为：81４．向量(３，4）在向量(1，﹣2)上的投影为﹣.【考点】9R:平面向量数量积的运算.【分析】根据题意,设向量=(３，4)，向量=（1，﹣2），由向量的坐标计算公式可得•与｜|的值,进而由数量积的性质可得向量在向量上的投影，计算可得答案．【解答】解:根据题意,设向量=(3,４)，向量＝(1，﹣２）,则•=3×1+４×(﹣2)=﹣5,||==,则向量在向量上的投影==﹣;故答案为：.１5.已知向量=(λ+1,1），=（λ＋2，2),若(）⊥(﹣),则λ=﹣3 ．【考点】9Ｔ:数量积判断两个平面向量的垂直关系.【分析】由向量的坐标加减法运算求出（)，(﹣)的坐标，然后由向量垂直的坐标运算列式求出λ的值.【解答】解:由向量=（λ+１,1)，=（λ+2，２），得,由（）⊥(﹣),得（２λ+3）×(﹣1）+３×（﹣１）＝0,解得:λ＝﹣3.故答案为:﹣3.1６.若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°，半径为4的扇形，则这个圆锥的表面积是8π .【考点】G８：扇形面积公式．【分析】根据圆锥的侧面展开图是圆心角为1８0°,半径为4的扇形,利用扇形的面积公式,可得圆锥的表面积【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是圆心角为１８0°,半径为4的扇形，∴这个圆锥的表面积是=8π故答案为:8π三、解答题(17题10分，1８到22题每题12分，共70分）1７．已知向量．(Ⅰ）若与的夹角为,求；(Ⅱ）若,求与的夹角．【考点】9Ｒ：平面向量数量积的运算．【分析】(I)先计算,再计算(）2,开方即可得出答案；（ＩI）将展开即可得出,代入夹角公式求出答案.【解答】解：(Ⅰ)∵与的夹角为；∴＝1×2×ｃos=１；∴（)２＝＋4+4=1+４＋16＝2１，∴｜|=.（Ⅱ)∵(２﹣）•(3＋)=6﹣﹣=2﹣=３,∴＝﹣1，∴cos<＞==﹣,又∵0≤coｓ<>≤π∴与的夹角为．18．如图,一个组合体的三视图如图:(单位cm）(１)说出该几何体的结构特征;(2)求该组合体的体积(保留π)；（3)求该组合体的全面积．（保留π)．【考点】Ｌ！:由三视图求面积、体积．【分析】(1)由三视图得到几何体是球与棱柱的组合体;(2)根据图中数据计算体积;(3)分别计算球和长方体的表面积，得到全面积.【解答】解:（1）上面是半径为６ｃｍ的球，下面是长16cm，宽1２ｃm,高20cm的长方体.…（２）V==2８８π+38４0 (cm3) …(３)S=４π×4２＋2×1６×12+2×16×２0＋2×12×20=144π＋15０4（ｃｍ2) …答:该组合体的体积为28８π+３84０cm3.表面积为１４4π＋15０4 ｃm２.1９.如图，四棱锥P﹣ABＣD的底面是正方形，侧棱PＡ⊥底面ABＣD，E是PA的中点.（Ⅰ）求证：PＣ∥平面BDＥ；（Ⅱ)证明：BD⊥CＥ.【考点】LS:直线与平面平行的判定.【分析】(Ⅰ)连结AC交BD于Ｏ，连结OE,推导出PＣ∥ＯE,由此能证明ＰC∥平面BDE．(Ⅱ)推导出BＤ⊥AC,PＡ⊥BD,从而BD⊥平面PAC,由此能证明BD⊥CＥ.【解答】（本小题满分１３分)证明:（Ⅰ)连结AC交BD于O,连结OE,因为四边形AＢCＤ是正方形,所以O为AC中点.又因为E是PA的中点,所以ＰC∥ＯE,…因为ＰC⊄平面ＢDＥ,OE⊂平面BDE,所以ＰC∥平面BDE.…（Ⅱ)因为四边形AＢCＤ是正方形,所以ＢD⊥AC．…因为PＡ⊥底面AＢCD,且BD⊂平面ＡBCＤ,所以PA⊥BＤ．…又因为AC∩PA＝A，所以ＢD⊥平面ＰAC,…又ＣE⊂平面PAC,所以BD⊥CE.…2０.正方体ＡBCD﹣A＇Ｂ'C’D'的棱长为a,连接A'Ｃ＇，A＇D，A'B,BD，BC＇，C’D,得到一个三棱锥A’﹣BC'D．求:(１)求异面直线Ａ'D与C’D′所成的角;（2)三棱锥A’﹣ＢC’D的体积．【考点】LＦ:棱柱、棱锥、棱台的体积;ＬM：异面直线及其所成的角.【分析】（1)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴,ＤD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线A’D与C'D′所成的角．(2)求出平面BＣ’D的法向量,从而求出点A到平面BC＇D的距离，由此能求出三棱锥A＇﹣ＢC’D的体积．【解答】解:（1)∵正方体ABCD﹣A’Ｂ’Ｃ’D'的棱长为a,∴以Ｄ为原点,DA为x轴，DＣ为y轴，DD１为z轴，建立空间直角坐标系，A′（a，0，a)，D（0，０,0)，C′（０,a，ａ),B（a，a，０),D′(0，0，a)，=（﹣a,0，﹣a),=(0，﹣a,0)，设异面直线A’D与C’D′所成的角为θ,则cosθ＝=０,∴θ=９0°,∴异面直线A’D与C＇Ｄ′所成的角为９0°.(2）＝（ａ,a，0）,=（0,ａ,ａ）,=（a,0,a）,设平面ＢC’Ｄ的法向量=（x，y,z),则,取x=1，得＝（1,﹣１,1），点A到平面BC’D的距离ｄ===，＝＝,∴三棱锥A'﹣BC’D的体积V=×d==a3.２1.在边长为2的正三角形ABC中, =2=3,设==．(Ⅰ）用表示；（Ⅱ）求的值．【考点】9Ｒ:平面向量数量积的运算;9H:平面向量的基本定理及其意义.【分析】(Ⅰ)由题意,D为ＢC中点,利用中点公式求出,；(Ⅱ)利用（Ⅰ)的结论,进行向量的乘法运算即可．【解答】解：(Ⅰ）由条件知，.…(Ⅱ）由题意得∴＝＝.…22．如图，长方体ABCＤ﹣Ａ1B1Ｃ1D1中,ＡB=12，BC=10,AA1=8,过点A1、D１的平面α与棱AB 和CD分别交于点Ｅ、F，四边形Ａ1ＥFＤ１为正方形.（１）在图中请画出这个正方形（注意虚实线，不必写作法),并求AＥ的长；（2)问平面α右侧部分是什么几何体，并求其体积.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】(1）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出正方形A1EFＤ1，由勾股定理能求出AE的长.（2）几何体是以A1ＥBＢ1和为底面的直四棱柱,由棱柱体积公式能求出结果.【解答】解：（1)交线围成的正方形A１EFD1如图所示(不分实虚线的酌情给分)…∵A1D1=A1Ｅ＝１０，A１A=８,在Rt△Ａ1ＡＥ中,由勾股定理知AE=6．…（２）几何体是以Ａ１EBB1和为底面的直四棱柱，(棱柱或四棱柱均不扣分)由棱柱体积公式得．…（由体积之差法也不扣分)以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。
101高等数学下学期期中考试(解答)
高等数学期中考试题参考解答一、填空题（每小题4分，共20分）12．0 3．22)(y x e y x -+ 4． ⎰⎰-2620d ),(d y y x y x f y 5．8- 二、单选题（每小题4分，共20分）1．C 2．B 3．D 4．D 5．A三、1、解 ⎰⎰⎰⎰-+=+20112211y dyxdx dxdy yx D =π(6分) 2、解 )0,21,21(),0,1,1(0-=-==→l AB l . (1分) )(2)0,21,21()2,2,2(),,(0y x z y x l z f y f x f l f -=-⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=∂∂ (3分) 设)122()(2222-+++-=z y x y x F λ.令 ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=='=+-='=+=')4(12230220421042222 z y x z F y F x F x x x λλλ,(4分) 解得点2),0,21,21(-=∂∂-l f ,及点2),0,21,21(=∂∂-l f ,故点)0,21,21(-p 为所求。
(6分) 3、解 转动惯量为2222()d ()d I x y v x y v μΩΩ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰, (2分)利用柱坐标, 有22()d I x y v Ω=+⎰⎰⎰2212200d d d r rr r r z πθ-=⎰⎰⎰(4分)132042(2)d 15r r r r ππ=--=⎰(6分) 4、解 所求流量为d d d d d d Sx y z y z x z x y Φ=++⎰⎰(2分)设四面体为Ω，由高斯公式，有113d 362v ΩΦ==⋅=⎰⎰⎰ (6分)5、解上半球面方程为z =与平面z a =和z b =的交线在xOy 面上的投影分别为2222:a D x y R a +≤-及2222:b D x y R b +≤-，(2分)则所求曲面面积为:2()a ba b D D S S S R b a π=-=-=-.(6分)四 解21yf f x z=∂∂，…………（2分） 322221112212212221122122211yf f f f f f f f f x f f x f f y f f x y x z --=∂∂-∂∂=∂∂=∂∂.…………（8分）五、解 22ln ,2,(yx x Q y x x y y x P -=+=，……（2分）则221y x x x Q y P -=∂∂=∂∂，…（4分）y x x y y yx x x y x x y y x u y x 222),()1,1(ln d )(ln d )2(),(+=-++=⎰.……（8分） 六、解 32d )(d )](arcsin[sin d )2(d 2404sin 20224πθθθθθππθπ=-=-=-⎰⎰⎰⎰----a r ra r r.…………（2分…5分…8分）七、解 添加一有向曲面1,1:221≤+-=∑y x z ，（1分）法线向量指向下侧.(2分） 阶πγβα==++⎰⎰⎰⎰≤+∑1333221d d d )cos cos cos (y x y x S z y x ，……（4分）⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=++z y x z y x S z y xd d d )(3d )cos cos cos (2223331γβα⎰⎰⎰-==ϕπππππϕϕθcos 144320109d d sin d r r ，……（6分） 原式=1010911πππ-=-=-⎰⎰⎰⎰∑∑+∑.（8分） 八、解 设运动质所在位置为),(y x ，则引力方向为},3{)3(1220y x yx F -+--=,引力大小为 222)3(yx GmMr mM G F +-== ,……（2分） 因此 },3{])3[(2322y x y x GmMF -+--= ,……（3分） 引力所作功为 ⎰+-+--=Ly x yy x x GmM W 2322])3[(d d )3(,……（4分） 令32223(3)x P x y -=⎡⎤-+⎣⎦,3222(3)y Q x y =⎡⎤-+⎣⎦,则52223(3)2(3)Q x y Px y x y ∂-∂=-⋅=∂∂⎡⎤-+⎣⎦,（6分） 因此取折线AOB 为积分路径,有=+--++-=⎰⎰]]16)3[(d )3()4(d [0523240232x xx y y y GmM W GmM 103-.……（8分）。
高等数学期中考试带答案
高数考试一．填空（共15分） 1.13lg(1)=++-y x x 的定义域是 ;2.e ,0,()0,0;已知在连续，则⎧<===⎨+≥⎩ x x f x x a a x x ;()ln 13.lim1cos →+=-x x x x.4.设()(1)(2)(),f x x x x x n =--⋅⋅-则(0)='f .5.曲线(1)xy x e -=+的拐点坐标为 .答案：一.1.[-3,0)∪(0,1); 2.1a =; 3.2; 4. (1)!-nn ；5.21,e ⎛⎫⎪⎝⎭二.选择（共15分） （1）设1,1()0,1x f x x ≠⎧=⎨=⎩，则0lim ()x f x →=（D ） A.不存在 B.∞ C.0 D.1（2）设函数()y f x =在[,]a b 上连续，其导函数的图形如下图所示，则曲线()()y f x a x b =≤≤的所有拐点为（ A ）.选择题（2）图A.112233(,()),(,()),(,())x f x x f x x f xB.112244(,()),(,()),(,())x f x x f x x f xC.1122(,()),(,())x f x x f xD.3344(,()),(,())x f x x f x（3）0(0)f x +与0(0)f x -都存在是函数()f x 在点0x x =处有极限的一个（A ）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件（4）当n →∞时，1sinn n是一个（D ） A.无穷小量 B.无穷大量 C.无界变量 D.有界变量 （5）0ln sin 5lim ln sin 2x xx+→=（C ）.A.52B.25C.1D.∞ 三. 计算和解答(共70分)1. 求下列极限：（10分） ()2cot 2.lim 13tan ;→+xx a x0e 1.lim(e 1)→---x x x x b x 解：()()2231cot 2233tan 0.lim 13tan lim 13tan →→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦xx x x a xx e ｂ． 原式=000e 1e 11lim lim lim e 1e 2e e 22x x x x x x x x x x x x →→→-===-+++.32.arccos3-=-x y 求3x y ='.（5分）解：21(6)3x x y x ---'=- 313x y ='= 3．求由下列参数方程所确定函数的二阶导数22d d yx：（10分）(sin ),(1cos ),x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩ (a 为常数)；解： d d sin sin d d d (1cos )1cos d y y a t t t x x a t t t===--， 2222d d sin d sin 1()()d d d 1cos d 1cos d cos (1-cos )-sin sin 1=(1-cos )(1cos )1=.(1cos )y t t xx x t t t tt t t t t a t a t ==⋅--⋅⋅---4.1e 求由方程确定的二阶导。
高等数学期中考试试题和参考答案
04-05-2学期《高等数学》期中考试参考答案一、填空与选择题(每小题4分, 共32分)1．以曲线⎩⎨⎧==+xz zy x 222为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是____x 2+y 2-2x =0____.提示: 这实际上是求曲线⎩⎨⎧==+x z zy x 222关于xoy 面的投影柱面的方程.将方程⎩⎨⎧==+xz zy x 222中的z 消去得x 2+y 2=2x , 这就是投影柱面的方程.2．曲线⎩⎨⎧==-+00422y z z x 绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程是.答: x 2+y 2+z 2-4z =0. 提示:将方程x 2+z 2-4z =0中的x 换成22y x +±, 得 x 2+y 2+z 2-4z =0.3．直线11231-=-=-z yx 与平面3x +4y -z =2的位置关系是( C )(A)平行; (B)垂直; (C)直线在平面内; (D)相交但不垂直. 提示: 直线的方向向量为s =(3, -2, 1), 平面的法线向量为n =(3, 4, -1).因为s ⋅n =0, 所以直线与平面平面. 又因为直线上的点(1, 0, 1)满足平面方程, 所以直线是在平面上的.4．设z =x sin(2x +3y ), 则yx z∂∂∂2=______;解 )32cos(2)32sin(y x x y x xz +++=∂∂,)32s i n (6)32c o s (32y x x y x yx z +-+=∂∂∂.5．函数f (x , y , z )=x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处沿方向a ={2, -1, 2}的方向导数为____; 解 f x (1, 1, 1)=(3x 2y 2z )|(1, 1, 1)=3, f y (1, 1, 1)=(2x 3yz )|(1, 1, 1)=2, f z (1, 1, 1)=(x 3y 2)|(1, 1, 1)=1; )2 ,1 ,2(31-=a e .于是 2321)31(2323=⋅+-⋅+⋅=∂∂a f.6．曲线⎩⎨⎧+==222y x z x y 在点(1, 1, 2)处的切线方程为( ). (A)822111-=-=-z y x ; (B)622111-=--=-z y x ; (C)64211+=+=z y x ; (D)822111-=--=-z y x . 提示: C曲线的参数方程为x =t , y =t 2, z =t 2+4t 4. 点(1, 1, 2)所对应的参数为t =1. 曲线在点(1, 1, 2)处的切向量为T =(1, 2t , 2t +4t 3)|t =1=(1, 2, 6).7．设平面区域D : 1≤x 2+y 2≤4, 则⎰⎰+Ddxdy y x f )(22=( ).(A)⎰20)(2dr r rf π; (B)⎰20)(dr r f π; (C)⎰21)(2dr r rf π; (D)⎰21)(dr r f π.答: C . 提示:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===+21212022)(2)()()(dr r rf dr r rf d rdrd r f dxdy y x f DDπθθπ.8．改变二次积分⎰⎰210),(x dy y x f dx 的积分次序得____⎰⎰110),(ydx y x f dy ____.二、解下列各题:1. 求经过直线121111-=-+=-z y x 和点(3, -2, 0)的平面方程(8分).解法一: 已知直线的一般方程为⎩⎨⎧-=---=-2111z x y x , 即⎩⎨⎧=+-=+010z x y x .过已知直线的平面束方程为 x +y +λ(x -z +1)=0.将点(3, -2, 0)代入x +y +λ(x -z +1)=0得 41-=λ.于是所求平面的方程为0)1(41=+--+z x y x , 即3x +4y +z -1=0.解法二: 由题意知所求平面的法线向量n 与向量l =(1, -1, 1)及s =(3, -2, 0)-(1, -1, 2)=(2, -1, -2) (4分) 都垂直, 故212111---=kj i n =3i +4j +k , (2分)所求平面的方程为3(x -3)+4(y +2)+(z -0)=0, 即3x +4y +z -1=0. (2分)2．已知z =(x +sin y )xy , 求xz ∂∂(8分).解 设u =x +sin y , v =xy , 则z =u v . (2分)y u u vu xv v z x u u z x z v v ⋅+⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-ln 11 (4分))s i n l n ()s i n ()s i n (1y x y x y y x xy xy xy ++++=-. (2分)3. 设函数z =z (x , y )由方程(z +1)ln y +e xz -1=0确定. 求yz ∂∂在(1, 1, 0)处的值(8分).解 设F =(z +1)ln y +e xz -1. (2分) 因为在(1, 1, 0)处11)0,1,1(=+=yz F y , 1)(ln )0,1,1(=+=xz z xe y F , (4分)所以在(1, 1, 0)处111-=-=-=∂∂z y F Fy z . (2分)4. 求曲面z =x 2+y 2平行于平面x +y -2z =0的切平面方程(8分). 解 曲面z =x 2+y 2上点(x , y , z )处的法向量为n =(2x , 2y , -1). (2分) 令(2x , 2y , -1)=λ(1, 1, -2), 得21=λ. (2分)当21=λ时, 41=x , 41=y , 81=z .(2分)所求切平面的方程为0)81(2)41()41(=---+-z y x , 即0412=--+z y x . (2分)5. 求函数f (x , y )=e 2x (x +y 2+2y )的极值(10分).解 令⎩⎨⎧=+==+++=0)1(20)2(2)12(2222y e f y y e x e f xy x x x , (2分) 得驻点)1 ,21(-. (2分) f xx =e 2x (4x +3), f xy =4e 2x (y +1), f yy =2e 2x . (2分) 在驻点处f xx =5e , f xy =0, f yy =2e .因为f xx ⋅f yy -f xy 2=5e ⋅2e =10e 2>0, f yy =5e >0, (2分)所以点)1 ,21(-为函数的极小值点, 极小值为e f 21)1 ,21(-=-. (2分)三、解下列各题1．计算积分dy e dx I x y ⎰⎰-=222. (9分)解: 按原积分次序难以积分, 故交换积分次序. 积分区域为D : 0≤x ≤2, x ≤y ≤2, 画出积分区域图形 (1分)积分区域又可表为0≤y ≤2, 0≤x ≤y , (2分) 故 ⎰⎰⎰⎰--==yy xy dx e dy dy e dx I 0202222(2分)⎰-=22dy ye y (2分))1(214--=-e . (2分)2．计算⎰⎰⎰Ω+dv z x )(, 其中Ω是由曲面22y x z +=与221y x z --=围成(9分).解 画出积分区域图形 (1分)积分区域Ω关于yOz 面对称并且f (x )=x 是x 的奇函数, 所以f (x )=x 在Ω上的三重积分为零.(1)在柱面坐标下积分区域Ω可表示为21 ,220 ,20 :r z r r -≤≤≤≤≤≤Ωπθ, (2分)于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=+z d V dV z x )(⎰⎰⎰-=212220r rz r d z drd πθ(4分)8)1(2122222ππ=--⋅=⎰dr r r r .(2分)(2)采用先二后一的方法. ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=+z d vdv z x )( ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-≤+≤++=222222112121z y x z y x zdxdy dzzdxdy dz8)1(12122103πππ=-+=⎰⎰dz z z dz z .(3)利用球面坐标: ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=+z d vdv z x )( ⎰⎰⎰⋅=124020s i n c o s dr r r d d ϕϕϕθππ⎰⎰⎰=134020s i n c o s dr r d d ππϕϕϕθ 8|41|s i n 2120104024πϕππ=⋅⋅+=r .3．求由z =4-x 2-y 2及z =0所围成的立体的体积(8分). 解: 画出立体图形 (1分)所求立体的体积可以看成是以曲面z =4-x 2-y 2为顶, 以区域x 2+y 2≤4为底的曲顶柱体的体的体积.⎰⎰≤++=42222)(y x dxdy y x V (2分)⎰⎰⋅-=20220)4(ρρρθπd d (3分)πρρπ8|)412(22042=-⋅=. (2分)高等数学试卷试卷号：B020017校名___________ 系名___________ 专业___________ 姓名___________ 学号___________ 日期___________（请考生注意：本试卷共 页）一、解答下列各题(本大题共3小题，总计13分) 1、(本小题4分)对函数在上验证拉格朗日中值定理的正确性f x x ()arctan [,].=01 2、(本小题4分)指出x y z 222441+-=的类型，它是由yoz 平面上的什么曲线绕什么轴旋转而产生的？3、(本小题5分)处连续．在之值，使补充定义 0)()0()0()2tan arcsin()(=≠=x x f f x xxx f 二、解答下列各题(本大题共6小题，总计31分) 1、(本小题1分).,d 2是常数其中求 a x x a ⎰ 2、(本小题5分)．求数列的极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++++∞→2)1(321(21lim2n n n n 3、(本小题6分)设 求y xdy =-arcsin,.124、(本小题6分)[][]．试求，，上连续，且，在设)( , )()()()( x F b a x dt t f t x x F b a x f xa''∈-=⎰5、(本小题6分)设A x y z B x y z C x y z (,,),(,,),(,,)111222333为空间不共线的三点，以点P x y z (,,)000为相似中心，将∆ABC 伸缩成∆A B C '''（如图），使面积之比S S k A B C ABC∆∆'''=。
东南大学大一公共课高等数学期中考试卷及答案
东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）课程名称 高等数学期中 考试学期X X -X X -3得分适用专业考试形式闭卷考试时间长度 150分钟一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．2244lim x y x y x y →∞→∞+=+ ； 2． 设(,)()zxyz z x y z f t dt ==⎰由方程确定，其中f 连续，则 dz =；3．设(2),Re z Ln i z =-= 则 , Im z =；4．曲面231(1,2,0)z xy z e --=在点处的法线方程为 ； 5．交换积分次序：12201d (,)d d (,)d y yy f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）1．设曲线C 为圆周221x y +=，则曲线积分22(4)Cx y x ds +-=⎰[ ](A) 1 (B) 3- (C) 2π (D) 6π-2. 设{(,)1,11}D x y y x x =-≤≤-≤≤，则 [ ](A)20Dx dxdy =⎰⎰ (B) 34(3)0Dy x dxdy +=⎰⎰(C)ln(0Dx y dxdy +=⎰⎰ (D) (sin cos )0Dy x dxdy +=⎰⎰ 3. 二次积分sin 20d (cos ,sin )d f πϕϕρϕρϕρρ⎰⎰可以写成 [ ](A) 10d (,)d y f x y x ⎰(B) 100d (,)d y f x y x ⎰ (C)11d (,)d x f x y y ⎰⎰(D) 10d (,)d x f x y y ⎰4. 以下表述正确的是 [ ](A) 若(,)f x y 在点00(,)x y 处存在偏导数，则00lim (,)x x y y f x y →→ 一定存在；(B) 若复变函数()f z 在点0z 处解析，则()f z 在点0z 的某个邻域内必然连续； (C) 若(,)z f x y =在点00(,)x y 处存在偏导数,x y f f ，则(,)z f x y =在该点处必可微； (D) 以上表述皆不正确。
《 高等数学》(下)期中考试题及评分标准.
《 高等数学》（下）期中考试题及评分标准一、填空题（每小题4分，共28分，写出各题的简答过程，并把答案填在各题的横线上，仅写简答过程不填答案或只填答案不写简答过程均不给分）。
.____________x )1,1,1(1y )xy arcsin()1y (x z .1轴的倾角是处的切线对上点曲线⎩⎨⎧=-+=4:π解 .41a r c t a n ,1)]xy arcsin(0x [dx d )1,x (f x π==θ=⋅+=故,e z .2xy=设.__________dz )2,1(=则)dy dx 2(e :2+-解.e x1e y z,e 2)xy (e xz 2)2,1(xy )2,1(2)2,1(2xy)2,1(=⋅=∂∂-=-=∂∂._________,4z 31y x t z ,t y ,t x .332则切点的坐标是的切线平行于平面已知曲线=++===)1,1,1(:--解.1z ,1y ,1x 1t 0t t 21n T },31,1,1{n },t 3,t 2,1{T 22-==-=⇒-=⇒=++=⋅==.____________2z )y x (214z .422于所围成的立体的体积等与面曲面=+-=π4:解ππθπ402)8(2)212()21212(]2)(214[42202022222=-=-=--=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r rdr r d dxdy y x dxdy y x V xyxy D D则平面所围成的闭区域与是上半球面设,x oy )0z (1z y x .5222≥=++Ω.______zdxdydz =⎰⎰⎰Ω4:π解.44r 2s i n 2dr sin r cos r d d zdxdydz 1042022010220π=⋅ϕπ=ϕ⋅ϕϕθ=πππΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰则曲线积分的交线与平面是球面设,0z y x R z y x .62222=++=++Γ._________z y x ds222=++⎰Γ π2:解 .2R 2R 1R ds π=π⋅==∴⎰Γ原式._________)x (f ,x oy dy )x (f dx ye .7x =-+则分平面上是某函数的全微在设 )y (e :x ϕ+-解.)y (e )x (f e )x (f )x (f x Q ,e y P x x x ϕ+-=⇒='⇒'-=∂∂=∂∂二、选择题（每小题4分，共28分。
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大一下学期高等数学期中考试试卷及答案大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。
1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim()ex y x y x y xy x y +→-+=+5、设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。
以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。
1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ）（A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;(B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++;(D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++3、已知直线π22122:-=+=-zy x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ）(A) 两向量a r 与b r 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=r r；(B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ∂∂,22yz∂∂在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；(C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条件；(D) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微 的必要条件.5、设),2,2(y x y x f z -+=且2C f ∈（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则=∂∂∂yx z2（ ） (A)122211322f f f --; (B)12221132f f f ++; (C)12221152f f f ++; (D)12221122f f f --.三、计算题（本大题共29分）1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。
(1)（6分）221xy y x y +++='(2)（7分）x xe y y y 223=+'-''2、（本题8分）设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dtdz 。
3、（本题8分）求函数()()y y x e y x f x 2,22++=的极值。
四、应用题（本题8分）1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y 台，成本函数为xy y x y x c -+=222),( （万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？五、综合题（本大题共21分）1、（本题10分）已知直线⎪⎩⎪⎨⎧==+011x c z b y l ：，⎪⎩⎪⎨⎧==-012y c z a x l ：，求过1l 且平行于2l 的平面方程．2、（本题11分）设函数(,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++ 在球面22225(0,0,0)x y z R x y z ++=>>>上求一点，使函数(,,)f x y z 取到最大值．六、证明题（本题共12分）1、设函数⎪⎭⎫⎝⎛=x y xzF x u k ,，其中k 是常数，函数F 具有连续的一阶偏导数．试证明:z u z y u y x u x ∂∂+∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xz F kx k ,第二学期高等数学期中考试试卷答案一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）1.、 ()()()21113222=-+++-z y x2、12．3、2450x y z +--=．4、05、232x y +；二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分） 1（A ） 2（B ） 3（C ） 4（C ） 5（A ）三、计算题（本大题共29分）1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得：x x y yd )1(1d 2+=+ 上式两端积分得c x x x x y y y ++=+==+⎰⎰2)d 1(arctan 1d 22即 ： c x x y ++=2arctan 2其中c 为任意常数． （2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232=+-r r 特征根为,11=r,22=r 于是，该齐次方程的通解为,221x e C x C Y +=因2=λ是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：.)(210*x e b x b x y +=代入题设方程,得,22010x b b x b =++比较等式两端同次幂的系数,得,210=b ,11-=b于是，求得题没方程的一个特解*y .)121(2x e x x -=从而，所求题设方程的通解为.)121(2221x x x e x x e C e C y -++= 2、解：()u t v u t uv uu z sin cos 22-=+∂∂=∂∂，()uv u t uv v v z 2cos 2=+∂∂=∂∂，u tz cos =∂∂ 依复合函数求导法则，全导数为dtdt t z dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= ()1cos 12sin 2⋅+⋅+-=u t uv e u t v t()tt t t e t e t e e t t cos ln 2sin ln 2++-=3、解：解方程组()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=022,01422,222y e y x f y y x e y x f xy x x ，得驻点⎪⎭⎫⎝⎛-1,21。
由于()()124,22+++==y y x e y x f A x xx ，()()142+==y e xy f B x xy ，()x yy e y x f C 22,==在点⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21处，02>=e A ，0=B ，e C 2=，224e B AC =-，所以函数在点⎪⎭⎫⎝⎛-1,21处取得极小值，极小值为21,21e f -=⎪⎭⎫⎝⎛-。
四、应用题（本题8分） 1、解：即求成本函数()y x c ,在条件8=+y x 下的最小值构造辅助函数 ())8(2,22-++-+=y x xy y x y x F λ解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=++-='=+-='080402y x F y x F y x F y x λλλ解得 3,5,7==-=y x λ这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为：2835325)3,5(22=⨯-⨯+=c （万） 五、综合题（本大题共21分）1、解：直线1l 与2l 的方向向量分别为 {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧=b c c b 1100011101，，，，，，s ρ，{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=a cc a 1010101012，，，，，，s ρ， 作 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⨯=221111c bc ca，，s s n ρρρ，取直线1l 上的一点()c P ，，001，则过点1P 且以⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=2111c bc ca，，n ρ为法向量的平面01=+--czb y a x ，就是过1l 且平行于2l 的平面方程．2、解：设球面上点为(,,)x y z ．令 2222(,,,)ln ln 3ln (5)L x y z x y z x y z R λλ=+++++-，222211120,20,20,503x y z L x L y L z L x y z R x y zλλλλ=+==+==+==++-=由前三个式子得2223z x y ==，代入最后式子得,x y R z ===．由题意得(,,)f x y z 在球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点(,)R R 就是最大值点，最大值为5(,))f R R =． 六、证明题（本题共12分）1、证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂-22211,,,x y x y x z F x x z x y xz F x x y x z F kx x u kkk ⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=---x y xz F yx x y xz F zx x y xz F kx k k k ,,,22121⎪⎭⎫⎝⎛'=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂-x y x z F x x x y x zF x y u k k ,1,212⎪⎭⎫⎝⎛'=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂-x y xz F x x x y xz F x z u k k ,1,111 所以，zu z y u y x u x∂∂+∂∂+∂∂ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=---x y xz F yx x y xz F zx x y x zF kx x k k k ,,,22121 ⎪⎭⎫⎝⎛'⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅+--x y xz F x z x y xzF x y k k ,,1121⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x z F kx k ,。