2021年数列中分奇偶项求和问题之欧阳学文创编

数列中分奇偶数项求和问题

欧阳光明（2021.03.07）

数列求和问题中有一类较复杂的求和,要对正整数n 进行分奇数和偶数情形的讨论,举例说明如下： 一、相邻两项符号相异；

例1：求和：n 1

n

S n-3-+ =1-5+9-13++(∈)…（-1）（4） n N 解：当n 为偶数时：()()[]()S 1591342

n =-+-+⋯+(4-7) - (4-3) =-=-2n

n n n

当n 为奇数时：()()[]()159134n 32n S =-+-+⋯+(4-11) - (4-7) +=-+=2-1（4-3）（4-）n -1

n n n n

二、相邻两项之和为常数；

例2：已知数列{an}中a1=2，an+an+1=1，Sn 为{an}前n 项和，求Sn

解：①当n 为偶数时：12341n n n S a a a a a a -=++++++… ②当n 为奇数时：123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++++… 三、相间两项之差为常数；

例3：已知数列{an}中a1=1，a2=4，an=an-2+2 （n≥3），Sn 为{an}前n 项和，求Sn

解：∵an-an-2=2 （n≥3）

∴a1,a3,a5,…,a2n -1为等差数列；a2,a4,a6,…,a2n 为等差数列 当n 为奇数时：1

1(1)22

n n a n +=+-•= 当

n 为偶数时：4(1)222

n n

a n =+-•=+

即n ∈N+时， 1(1)n n a n ⎡⎤=++-⎣⎦

∴①n 为奇数时：

1(1)

(123)2122n n n n S n n -+=+++++

⋅=+-…

②n 为偶数时：(1)

(123)222n n n n S n n

+=+++++⋅=+…

四、相间两项之比为常数；

例4：已知an ，an+1为方程21

()03

n n x C x -+=的两根n ∈N+，a1=2，Sn=C1+C2+…+Cn ，求an 及S2n 。 解：依题意：11

()3

n n n a a +•=∴

213n n a a += 其中121

2,6

a a ==。 ∴13521,,,...,n a a a a -为等比数列；2462,,,...,n a a a a 为等比数列

∴①n 为偶数时：

11222

211111

()()()36323n n n

n a a --=== ②n 为奇数时：11122

112()2()33

n n n a +--== 则有：12

2

12()21()

311()2()23

{n n n n k k N a n k k N -++=-∈==∈

而Cn=an+an+1

∴①n 为奇数时，n+1为偶数：111222

11111312()()()

32363n n n n n n C a a -+-+=+=+=

则：

②n 为偶数时，n+1为奇数：

22

2

1

11151()2()()23323n n n

n n n C a a +=+=+= 则：

于是：

246251

6

3113n n C C C C ++++=-

（1-）

…