考研高数三角函数复习

考研三角函数复习

1、任意角的三角函数(划红线内容重点学习，其余部分建议学习) (1)

任意角的三角函数的定义

：角a 的终边上任意一点 p 的坐标是(x , y),它与原点的距离是 r(r >0),那么角a

的正弦、余弦、正切、余切分别是

角cefi 勺正割：seca =—

x

甬汶的余割匕C5C& =

— y

(2) 三角函数值的符号

正弦值与余割值对于第一、二象限的角是正的，而对于第三、四象限的角是负的•余弦值与正割值对于第一、 四象限的角是正的，而对于第二、三象限的角是负的.

正切值与余切值对于第一、三象限的角是正的，而对于第二、

四象限角是负的，也可以按正的在各象限的函数

来记，即一全、二正弦，三切、四余弦

”正割、余割分别与余弦、正弦符号相同

)

2•同角三角函数的基本关系式

(1) 倒数关系： sin a csc=1bos a sec a=n a COt a =1

(3) 平方关系： sin 2 a +cOb a =1 1+tan 2

a =seCx 1+cot 2 a =csC a

3•诱导公式

(1) k 2n + a (kZ), -a, n± a 2 n a 的三角函数值等于

a 的同名函数值，前面加上一个把 a 角看成锐角时原函数

值的符号，即

sin(k 2 n + a=)sin a cos(k 2n + a )=cos , a an(k 2n + a tan a, cot(k 2 n + a ()et a (KE Z) sin(- a )=sin a cos(- a )= cos a, tan(- a )-tan a, cot(- a )-tan a

sin( n + a 浄门 a cos( n + a -)cos a , tan( n + a t)3n a, cot( n + a ()=t a sin( n a )=sin , a cos( n - a )pos a , tan( n a )=^an a , cot( n a )-cot a sin(2 n a )^in a cos(2 n a )=cos , (xtan( 2 n a )=an a, cot( 2 n a )=cot a

sin( -a) = cosa, cos( -a) = sina , sin( +a) = cosa, cos( +a) = -sina

2 2 2 2

(2) 90 °±a 270 ° ±的三角函数值等于

a 的余名函数值，前面加上一个把 a 看成锐角时原函数值的符号，例如

sin(90 ° + a )=cos tan (270 ° + a co* a

综上，诱导公式可概括为 k • 90°±a zk 的三角函数值，等于a 的同名(k 为偶数时)或余名(k 为奇数时)的函数值, 前面加上一个把

a 看成锐角时原函数值的符号•简称之为

奇余偶不变，符号看象限”.

sina =—

(2)商数关系.

si not tga 二 ---- COSClt cos a

c 培罠= --

sin a

4.三角函数的图象和性质

(1)三角函数线

以原点为圆心，以单位长为半径的圆叫做单位圆，

如图2 —3,设角a 的终边与单位圆的交点为 p ，过p 作PM

垂直于x 轴，垂足为M , A(1, 0)、B(0, 1)，过A 、B 点作单位的切线 AT 、BS 分别与角a 的终边或其反向延长线交 于T 、S 则有向线及 MP 、OM 、AT 、BS OT 、OS 分别叫作角a 的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割 线.

(2) 三角函数的图象 正弦函数 y=si nx 余弦函数

正切函数 y=ta nx 余切函数

(3) 三角函数的周期

① 周期函数

对于函数y=f(x)，如果存在着一个不为零的常数 T ,使得当x 取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函

数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数

T 叫做这个函数的周期.

② 最小正周期：对于一个周期函数来说、如果在所有的周期中存在着一个最小正数，就把这个最小的正数叫 做最小正周期•教科

书上所指三角函数的周期均为最小正周期

.

y=cosx （如图 2—

y=cotx （如图 2 —

③函数y = Aan(厲x; + 厲〉0)的周期T ・

(4)三角函数的性质

5、积化和差

sinasinb = 1

-[cos(a+b)-cos(a-b)]

2

cosacosb =

1

[cos(a+b)+cos(a-b)] sin acosb = 1

[sin( a+b)+s in( a-b)] cosas inb = 1

[si n(a+b)-si n(a-b)]

6和差化积

a b a b sin a+s in b=2s in cos —

2 2

, 小 a b a cosa+cosb = 2cos

cos —— 2 2

sin (a b)

tan a+ta nb=

(1)

积化和差与和差化积各有四个公式，它们实质是 一类公式的正用

a b . a b

,sina-sinb=2cos sin 2 2 b a b . a b ,cosa-cosb = -2sin sin cosacosb