初一升初二 数学 衔接

20XX年秋季初一升初二数学衔接·第2讲

——一元一次不等式及一元一次不等式组【知识要点】

一、不等式的定义：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子叫不等式。

不等符号常见的有5种：“＜”、“≤”、“＞”、“≥”及“≠”。

注意：“≠”也是不等号，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能确定哪个大，哪个小。“≤”表示“小于或等于”或“不大于”，“≥”表示“大于或等于”或“不小于”。

二、不等式的基本性质：

不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变.

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要变向.

等式性质与不等式性质的最大区别在于不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变

三、不等式的解集：

1．不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值，叫做不等式的解．

2．不等式的解集：不等式的解的集合叫做不等式的解集．它包含两个方面的意思：第一，解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；第二，解集外的任何一个数值，都不能使该不等式成立。因此，解集要达到不多不漏的严格要求。

3．不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，在表示的时候，要注意“两定”：一是定边界点，若边界点含于解集，为实心点，不含于解集为空心点；二是定方向，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”．

不等式的解集在数轴上的表示

4．不等式的解与解集的区别:解是一个或几个未知数的值，解集是所有的解组成的.

5．求不等式解集的过程叫做解不等式.

四、一元一次不等式

1．一元一次不等式的定义：不等式的左右两边都是整式．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式．

注意：一元一次不等式须具备的三个条件：不等式左、右两边都是整式；只有一个未知数；未知数的最高次数是1．

2．一元一次不等式的解题步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1．与一元一次方程的解法步骤类似，但要注意化系数为1时，不等号是否改变方向．

五、一元一次不等式组

1．一元一次不等式组的定义：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组．

2．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．

3．解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组．

4．利用数轴求不等式组解集分以下四种情况．设a＞b．

（1）不等式组

⎩

⎨

⎧

>

>

b

x

,a

x

的解集为x＞a．“大大取大”。

（2）不等式组

⎩

⎨

⎧

<

<

b

x

a

x

的解集为x＜b．“小小取小”。

（3）不等式组

⎩

⎨

⎧

>

<

b

x

.a

x

的解集为b＜x＜a。“大小小大中间找”

（4）不等式组

⎩

⎨

⎧

<

>

b

x

a

x

的解集为无解．“大大小小找不了”

六、列不等式（组）解应用题的步骤：

（1）审题，找不等关系

（2）设未知数，列不等式

（3）解不等式

（4）根据实际问题，写出答案

七、一次函数与一元一次不等式

（1）利用一次函数图象可以直接求解一元一次不等式，从而得到一元一次不等式的另一种解法.

（2）还可以运用一元一次不等式来帮助研究一次函数问题.

【综合例题】

.

1

3

4

2

1

1

1x

x

x

-

-

>

-

-

、解不等式

例

自主解答：

解：

.

3.3 515

562336668)1(366<∴<-->-->+--->--x x x x x x x x 原不等式的解集为，得两边同除以，得乘以去分母，不等式两边同

点评：

().

3

.02 01.，更要特别注意掌握等号方向要改变除以）同一个负数，不不等式两边都乘以（或是基本性质等式问题的基础，尤其简单，但它们是解决不不等式的基本性质虽然时，解集为）当（；时，解集为）当（）；；（或式性质，把它化为一般形可以利用不等式的基本一个一元一次不等式总a

b

x a a b x a b ax b ax b ax b ax ><<

>≥≤><

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

+<+-+->-.2533

521)7(21222x x x x 、解不等式组

例 自主解答：

解：

.

7

10

31710

3

1 107133034525102

744<<-∴⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧<->∴⎩⎨⎧<->∴⎩⎨

⎧+<+-+->-x x x x x x x x x 原不等式组的解集为由原不等式组得：

点评：

各个解集的公共部分。

解集，再通过数轴找出应先求出各个不等式的，解不等式组解集的公共部分。因此不等式组的各个不等式不等式组的解集是组成

均为正数？，的解为何整数时，方程组、例 22

2 3 y x k y x y x k ⎩

⎨⎧=+=+

自主解答：

分析：

的整数值。

的取值范围确定的范围，再根据从而求，

可列出不等式组均为正数、，根据条件、解本题应先求出方程组的k k k y x y x y x ⎩⎨⎧>>00

""

解：

.

3 2 3

2 4

1 .41 0

3

403

2

2 .00.343

22 数时，原方程组的解为正或所以，只有当或取整数，因此，此方程组有正数解，即容易得方程组有唯一解===∴<<⎩⎨

⎧<>∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-∴>>⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

-=-=k k k k k k k k k y x k y k x

点评：

等，其解法类似。

或解一对非负数，均不大于决。如果方程组的解为等式组顺利解审题，将问题转化为不综合的题目，通过仔细此题是方程组与不等式y x >3

轴上表示出来。

在数

的取值范围，并把解集的解，求的解都是不等式

、若不等式例 512

9

32 4a x a x ≥++->- 自主解答：