初二数学经典题练习及答案.docx

初二数学经典题型练习

1．已知：如图， P 是正方形ABCD内点，∠ PAD＝∠ PDA＝ 150．求证：△ PBC是正三角形．

证明如下。

首先， PA=PD，∠ PAD=∠ PDA=（180° - 150°）÷ 2=15°，∠ PAB=90° - 15°=75°。

A D 在正方形 ABCD之外以 AD为底边作正三角形ADQ，连接 PQ，则P

∠P DQ=60°+15°=75°，同样∠ PAQ=75°，又 AQ=DQ,，PA=PD，所以△ PAQ≌△ PDQ，

那么∠ PQA=∠PQD=60°÷ 2=30°，在△PQA中，

B C ∠A PQ=180° - 30° - 75°=75°=∠ PAQ=∠ PAB，于是 PQ=AQ=AB，

显然△ PAQ≌△ PAB，得∠ PBA=∠PQA=30°，

PB=PQ=AB=BC，∠ PBC=90° - 30°=60°，所以△PBC是正三角形。

2.已知：如图，在四边形 ABCD中， AD＝ BC，M、N 分别是 AB、CD的中点， AD、 BC的延长线交 MN于 E、

F．求证：∠ DEN＝∠ F．F

E

证明 : 连接 AC,并取 AC的中点 G,连接 GF,GM.

又点 N为 CD的中点 , 则 GN=AD/2;GN∥ AD,∠GNM=∠ DEM;(1)同理 :GM=BC/2;GM∥ BC,∠ GMN=∠ CFN;(2)

又AD=BC,则 :GN=GM,∠ GNM=∠ GMN故. : ∠ DEM=∠ CFN.

N C

D

A B

M

3、如图，分别以△ABC的 AC和 BC为一边，在△ ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点 P 是 EF

的中点．求证：点P 到边 AB的距离等于AB的一半．

证明：分别过E、 C、 F 作直线 AB 的垂线，垂足分别为M、 O、 N，

在梯形 MEFN中， WE平行 NF

因为 P为 EF 中点， PQ平行于两底

所以 PQ为梯形 MEFN中位线，

D

所以 PQ＝（ ME＋ NF） /2G

C

又因为，角 0CB＋角 OBC＝90°＝角 NBF＋角 CBO E

所以角 OCB=角 NBF

P F 而角 C0B＝角 Rt＝角 BNF

AQB

CB=BF

所以△ OCB全等于△ NBF

△MEA全等于△OAC（同理）

所以 EM＝ AO， 0B＝ NF

所以 PQ=AB/2.

4、设 P 是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠ PDA．求证：∠ PAB＝∠ PCB．

过点 P作 DA的平行线，过点 A 作 DP的平行线，两者相交于点E；连接 BE

因为 DP2a3a个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高D

A A D

度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间P t 分。求两

P

根水管各自注水的速度。

解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。B C 由题意得：

v v t B C

2x 8x

解之得： x 5v 8t

经检验得：

5v

x是原方程解。

8t5v

，大口径水管速度为5v 。

∴小口径水管速度为

8t2t

7．如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M- 1

），且

P -1

，－ 2）为双曲（－ 2，（

线上的一点， Q为坐标平面上一动点， PA垂直于 x 轴， QB垂直于 y 轴，垂足分别是A、B．

（ 1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（ 2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△ OBQ与△ OAP面积相等如果

存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（ 3）如图 12，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以

OP 、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ ，求平

行四边形 OPCQ 周长的最小值．

y

y

Q

B Q

B

A

O

AO

x

x

M

M

C

P

P

图

图

1 解：（ 1）设正比例函数解析式为

y kx ，将点 （ 2 ， 1 ）坐标代入得

M

k = ，所以正比例函数解

1 x

2

析式为 y =

2

同样可得，反比例函数解析式为

y =

2

x

（2）当点

Q 在直线 上运动时，

DO

1

设点 Q 的坐标为 Q (m ， m) ，

2

于是 S △ OBQ = 1

OB? BQ

1创1

m

m = 1

m 2 ，

2

2

2

4

1

= 1 ，

而

S △OAP = (- 1)? ( 2)

2

所以有， 1

m 2 = 1 ，解得 m

2

4

所以点 Q 的坐标为 Q 1(2 ，1) 和 Q 2 (- 2，- 1)

（3）因为四边形

是平行四边形，所以 ＝ ， ＝ ，

OPCQ

OP CQ OQ PC

而点 P （ 1 ， 2 ）是定点，所以 OP 的长也是定长，所以要求平行四边形

OPCQ 周长的最小值就

只

需求

的最小值．

OQ

因为点 Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点

Q 的坐标为

2

Q( n ， ) ，

n

由勾股定理可得 OQ 2 = n 2

+ 42 = (n - 2)2

+ 4 ，

2

2 n n

所以当 ( n - )2 = 0 即 n - = 0 时， OQ 2

有最小值 4，

n n

又因为 OQ 为正值，所以 OQ 与 OQ 2 同时取得最小值，