数学模型 微 分 方 程

数学模型 13.人体注射葡萄糖溶液时，血液中葡萄糖浓度g(t)的增长率与注射速率r 成正比，与人体血液容积v 成反比，而由于人体组织的吸收作用，g(t)的减少率与g(t)本身成正比。分别在以下几种假设下建立模型，并讨论稳定情况。

（1）人体血液容积v 不变。

（2）v 随着注入溶液而增加。

（3）由于排泄等因素v 的 增加有极限值

解：模型假设：

本模型中主要符号说明为：

葡萄糖浓度g(t)

注射速率r

人体血液容积v

基本模型为：

g k V

r k dt dg 21-= (1k ,02>k ,常数) ⑴ (1)V 为常数时，平衡点V k r k g 210=

稳定。 如果以g 为横轴、

dt dg 为纵轴作出方程的图形（图1），可以分析葡萄糖浓度增长速度dt

dg 随着g 的增加而变化的情况，从而大概地看出g(t)的变化规律。 令2.01=k ，5.02=k ,利用Mathematica 在操作窗口中输入以下代码命令： Plot[0.2/100-0.5g,{g,0,100},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]

得到：

图1

dt

dg ～g 曲线 再利用matlab 在操作窗口中输入以下代码命令：

g=dsolve('Dg=k1*r/v-k2*g','g(0)=g0','t')

其解为

g =k1*r/v/k2+exp(-k2*t)*(-k1*r+g0*v*k2)/v/k2

整理得到：

2

20112)(vk vk g r k e v r k t g t

k +-+=- ⑵ 令2.01=k ，5.02=k ，利用Mathematica 在操作窗口中输入以下代码命令： Plot[0.2/100+Exp[-0.5t],{t,0,100},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]

得到：

图2 g ～t 曲线

由图可以知道它在平衡点V k r k g 210=

稳定。 (2)不妨设

β=dt

dV （0>β，常数） ⑶ 方程⑴，⑵不存在平衡点。若由⑵解出t V t V β+=0)(代入⑴，得到 g k t

V r k dt dg 201-+=β ⑷ 则⑷不能是自治方程。因为平衡点及稳定性的概念只是对自治方程而言才有意义，而⑷不能是自治方程，所以不能考虑它的稳定性。

(3)不妨设

V ）（V dt

dV -=1μ （0>μ，常数） ⑸ 如果以V 为横轴、dt

dV 为纵轴作出方程的图形（图3），可以分析人体血液容积V 增长速度dt

dV 随着V 的增加而变化的情况，从而大概地看出V(t)的变化规

律。

令5.0=u ，20001=V ,利用Mathematica 在操作窗口中输入以下代码命令： Plot[0.5(2000-v),{v,0,2000},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0]}]

得到：

图3

dt

dV ～V 曲线 再利用matlab 在操作窗口中输入以下代码命令：

v=dsolve('Dv=u*(v1-v)','v(0)=v0','t')

得到：

v =v1+exp(-u*t)*(-v1+v0)

整理得到： t e V V V t V μ---=)()(011 ⑹

令5.0=u ，20001=V ,，利用Mathematica 在操作窗口中输入以下代码命令： Plot[2000-Exp[-0.5t](2000-1000),{t,0,100},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0]}] 得到：

图4 V ～t 曲线

由图可以知道它在平衡点1V V =稳定.

方程⑴，⑸存在平衡点：),(),(1121**V V k r k V g =，它是稳定的，若由⑸解出t e V V V t V μ---=)()(011代入⑴，得到：

g k e

V V V r k dt dg ut 20111)(---=- ⑺ 则⑺不能是自治方程，所以不能考虑它的稳定性。