通量与散度(中文)
通量与散度(中文)
前述的源称为正源，而洞称为负源。
<> =3<
已知真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的 通
量等真于空该介闭电合常面数包围°之的比自，由电荷的电荷量q与
即,
皿E魅=普
当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭 合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的 无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。
= D< < > >1
已知真空中磁通密度B沿任一闭合有向曲线l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空
磁导率8 0的乘积。即
/---、
口 B 御=m I I /
式中，电流I的正方向与dl的方向构成右旋关系 。 环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但 是 环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能 显示 源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。
包围的体积。
<> =3<
口
上式表明，散度d是iv一A个= l标im量-A-，--S-它-S--可- 理解为通过包围 单位体积闭合面的通量△。v □ Ay
直角坐标系中散度可表示为
div A = □4 +里+ 吳 因此散度可用算符表示为
div A = 5 □y □z
<> =3<
〈 散度定理
@ divA dV = 0s
2.矢量场的通量与散度
矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A 通过该
中 有向曲面S的通量，以标量 表示，即
=L A -姑
通量可为正、负或零。
当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生
散度 通量
散度通量散度和通量都是物理学中涉及到矢量场的概念。
在理解散度和通量之前，需要先了解矢量场的概念。
矢量场是指在空间中各点都有一个矢量与之对应的场。
“矢量”是指具有大小和方向的物理量，比如速度、力等。
在三维空间中，矢量通常用箭头表示，箭头长度代表矢量的大小，箭头指向代表矢量的方向。
矢量场描述了在空间中每个点的矢量是什么。
散度是描述矢量场的一个物理量。
它表示在一个给定点上的矢量场流出或流入的程度。
可以理解为矢量场的源与汇。
如果在一个点上，矢量场大量流出，则散度为正；如果流入，则散度为负；如果没有流入或流出，则散度为零。
通量则是散度的一种数学描述。
通量表示的是矢量场通过一个给定平面的流量，也可以理解为矢量场与该平面垂直的分量。
通量可以用来衡量矢量场在某个平面上的流动情况。
为了更好地理解散度和通量的概念，可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个假想的空气流场，我们在其中放置了一个球体。
球体内外的空气流动方式可能会有所不同。
在球体表面上，空气可能会流出或者流入。
如果空气大量流出，那么球体内的分子数就会减少，表示散度为正。
反之，如果空气流入球体内，散度就为负。
如果球体内外的空气流动情况相同，则表示散度为零。
与散度不同，通量主要描述的是矢量场通过某个平面的情况。
假设我们取球体表面为一个平面，那么空气流动通过这个平面的通量就是描述空气流动情况的一个量。
如果通量为正，表示有空气流出；如果通量为负，表示有空气流入；如果通量为零，则表示球体内外的空气流动情况相同。
散度和通量是紧密相关的物理量，它们描述了矢量场在空间中的流动情况。
散度描述了在一个给定点上的流出或流入程度，而通量描述了通过某个平面的流动情况。
需要注意的是，散度和通量是不同的概念。
散度是一个矢量场的性质，它是矢量场的一个标量函数；而通量是矢量场与一个平面垂直分量的大小。
在数学上，散度通过向量微积分中的散度算子表示，通量则是矢量场在某个平面上的贡献。
总结起来，散度和通量都是矢量场中重要的物理概念。
高等数学 第六节 高斯公式 通量与散度
Φ Pdydz Qdzdx Rdxdy
n
Σ
当 > 0， 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉;
n
当 < 0， 说明流入 的流体质量多于流出的,
表明 内有洞 ; 当 = 0， 说明流入与流出 的流体质量相等 。
根据高斯公式, 流量也可表为
P x
Q y
R z
dxdydz
2、是否满足高斯公式的条件；
3、Σ 是取闭曲面的外侧。
第2xzdydz yzdzdx z2dxdy ，
其中 是由曲面 z x2 y2 与
z 2 x2 y2 所围立体的表面外侧。
z
Dxy
2y
x
第十一章 第六节
7
例2 计算 ( x y)dxdy ( y z)xdydz ，其中 Σ 是
cos
n
0
r
0
n
0
r
0
则
x cos y cos z cos
r
r
r
1 3
r
cos
dS
1
3dv V
3 第十一章 第六节
23
内容小结
1 高斯公式及其应用
公式
P Q R
Ω
(
x
y
z
)dv
Σ
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
应用 (1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
(2) 闭曲面积分为零的充要条件:
Gauss
I 2 (x y z)dv
1 1
1
对称性
2 zdv h2dS
1方 程
1
1 2
h4
通量和散度的关系
通量和散度的关系通量和散度是物理学中的重要概念，它们在许多领域中都有着广泛的应用。
本文将探讨通量和散度之间的关系。
通量是指一个物理量在单位时间内通过某个曲面的大小。
通常用符号Φ表示。
在物理学中，通量可以是电场、磁场、热流等。
对于电场通量，可以通过高斯定理进行计算，高斯定理是基于电场的散度的。
在同一点周围的电荷可以产生电场，并且这个电场可能分散到周围的区域。
当电场通过一个面积向外传递时，电场通量表示电场线垂直于这个面积的数量。
即：Φ=E·A其中，E是电场的强度，A是通过它的面积。
散度是一个向量场的量。
它是在一个空间点处，该向量场的变化速率的大小和方向。
通常用符号div表示。
在物理学中，散度在热力学、电动力学和流体物理方面都有广泛应用。
在电动力学中，电场的散度定义为该点周围的电荷密度的数量。
散度也可以用来描述流体在某一点的扩散速率和方向。
它还可以用来计算温度变化率和热传导率等。
散度的大小是一个向量场在某个点处的变化量。
如果一个向量场向外分散，那么在这个点处的散度就是正的。
反之，如果一个向量场向内收敛，那么散度就是负的。
如果一个向量场在该点处不变，那么散度就为零。
当一个向量场的散度为正时，它就表示在这个点周围正向传递的物质，例如流体的决策运动或散热的传递。
当一个向量场的散度为负时，它表示在该点周围的负向传递的物质，例如在流体的吸入运动或暖气片中的热管中的吸热。
通量和散度之间的关系是由高斯定理给出的：∮ Φ · dA=∬ div F · dV其中，Φ表示通量，F表示一个向量场，dA表示一个面积元素，dV表示体积元素。
该公式表明，通过一个曲面的通量等于该曲面所包含的体积的散度。
因此，当向量场在一个点周围分散时，通量将增加，这意味着在该点的散度也将增加。
总之，通量和散度之间的关系是紧密相连的。
通量的大小取决于向量场如何分散，而向量场的分散程度可以通过散度的大小来衡量。
高斯定理描述了这种关系，它揭示了通量和散度之间的基本规律，这对于各种物理学学科的研究都是至关重要的。
2等值面与梯度和通量与散度
§2
3. 标量场的梯度（ g r a d u 或 u ）
概念： u el u | ，其中 e l l max
u 取得最大值的方向 l
意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向
梯度的表达式：
直角坐标系 圆柱坐标系
u u u u e e e x y z x y z
§2
而该点的梯度值为
2 2 2 ( 2 x ) ( 2 y ) (1 ) P
3
( 1 , 1 , 1 )
显然，梯度 描述了 P点处标量函数 的最大变化率，即 P 恒成立。 最大的方向导数，故 P l P
ห้องสมุดไป่ตู้2
1.4 矢量场的通量与散度
1. 矢量线 概念：矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场
§2
例1.2.1 设一标量函数 ( x, y, z ) = x2＋y2－z 描述了空间标量 场。试求： (1) 该函数 在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向 的单位矢量。
方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度
值作以比较，得出相应结论。 解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为
§2
4. 散度定理 从散度的定义出发，可
V
S
S1
S2
以得到矢量场在空间任意闭
合曲面的通量等于该闭合曲 面所包含体积中矢量场的散 度的体积分，即
体积的剖分
en2
en1
d S F d V F
S V
散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系， 在电磁理论中有着广泛的应用。
§2
高斯公式通量与散度课件
通过高斯公式，可以对流体的能量进 行分析，了解流体在某一区域的能量 分布情况。
流速场分析
结合高斯公式和压力场，可以对流速 场进行分析，了解流体在某一区域的 流速大小和方向。
04
高斯公式通量与散度的推导
推导高斯公式通量部分
推导过程
利用微分几何中的高斯定理，将三维 空间中的通量转化为曲面上的积分， 再通过坐标变换和代数运算，得到通 量的高斯公式。
详细描述
高斯公式也称为高斯-奥斯特罗格 拉德斯基公式，它表示一个封闭 曲面内的体积等于该曲面所包围 的三维空间的体积的积分。
高斯公式的应用领域
总结词
高斯公式的应用领域包括物理学、工程学和统计学等。
详细描述
在物理学中，高斯公式被广泛应用于电磁学、流体动力学和量子力学等领域。在工程学中，高斯公式被用于解决 各种实际问题，如流体流动、热传导和结构分析等。在统计学中，高斯公式用于概率论和数理统计中的随机变量 和概率分布的计算。
实例三：流体流动的高斯公式应用
总结词
流体流动的特性
详细描述
流体流动具有连续性和不可压缩性，其流线 呈现出特定的规律。高斯公式在流体流动中 的应用，可以用来计算流速和流量。
06
高斯公式通量与散度的扩展思考
高斯公式的推广与应用
推广到多维空间
高斯公式在三维空间中得到了广泛应用，但其实它也可以推广到 更高维度的空间，为解决更复杂的问题提供工具。
总结词
散度是描述矢量场在某一点的发散程度。
详细描述
散度是矢量场的一个重要性质，它描述了矢量场在某一点的发散程度。对于标 量场，散度等于标量场在某一点的梯度的散度；对于矢量场，散度等于矢量场 在某一点的三个分量的散度的和。
通量与散度在物理中的意义
通量与散度
既是一维也是二维单连通区域 ;
是二维但不是一维单连通区域 ; 是一维但
立方体中挖去一个小球所成的区域
不是二维单连通区域 .
2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理2.
设 P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 在空间二维单
为G内任一闭曲面, ① 则
P d y d z Q d z d x Rdx d y
下面先证:
(Gauss 公式)
R z d x d y d z R d x d y
证明: 设
为XY型区域 ,
1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) , 2 : z z2 ( x, y ), 则 z 2 R z2 ( x, y ) R xd y dz z d x d y d z Dxd 3 z1 ( x , y ) z y 1 R( x, y, z 2 ( x, y ) ) Dx y y D xy R( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y x
高斯公式 通量与散度
Green 公式
一、高斯公式 二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度
推广
Gauss 公式
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数 , 则有
P d y d z Q d z d x R d x d y
( M 0 )
P Q R d x d y d z x y z
0
与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的.
高斯公式通量与散度课件
测市场趋势等。
03
历史发展
高斯公式的起源可以追溯到19世纪初，经过多位数学家的努力，最终由
德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯完善并命名。
高斯公式的未来研究方向
多维高斯公式
目前对高斯公式的讨论主要集中在二 维和三维的情况，对于更高维度的推 广和应用仍需进一步研究。
数值计算方法
与其他数学定理的结合
探索高斯公式与其他数学定理（如格 林公式、斯托克斯公式等）的内在联 系，有助于更深入地理解数学的本质 。
金融预测
在金融领域，高斯公式可以用于预 测市场趋势和风险评估，为投资者 提供决策依据。
THANKS
感谢观看
高斯公式的应用场景
总结词
高斯公式的应用场景包括计算几何形状的体积、解决物理问题以及在科学和工程领域中 的应用。
详细描述
高斯公式在计算几何形状的体积方面有着广泛的应用，例如计算球体、圆柱体和圆锥体 的体积等。此外，高斯公式在解决物理问题中也有着重要的应用，例如计算电场和磁场 的分布以及解决流体动力学问题等。在科学和工程领域中，高斯公式也被广泛应用于各
04
实例分析
实例一：二维平面上的高斯公式应用
总结词
二维平面上的高斯公式应用
详细描述
在二维平面上，高斯公式可以用来计算通量或散度。例如，在电磁学中，高斯公式可以用来计算电场 或磁场通过某个区域的通量。在流体动力学中，高斯公式可以用来计算流体的散度。
实例二：三维空间中的高斯公式应用
总结词
三维空间中的高斯公式应用
判断流动方向
通过高斯公式计算出的散度，可以判 断矢量场的流动方向，对于流体动力 学和气象学等领域具有重要意义。
高斯公式在通量与散度中的综合应用
高数 高斯公式 通量与散度
P d y d z Q d z d x R d x d y
13
v v v , Q u , R u , 由高斯公式得 证 令P u x y z 2v 2v 2v x2 y 2 z 2 v v v x y z
9.4 高斯公式 通量与散度
推广
Green 公式 1.高斯公式
Gauss 公式
Hale Waihona Puke 2.通量与散度1一、高斯公式
定理1 设空间闭区域Ω 是由分片光滑的闭曲面Σ 所 围成，函数P(x，y ，z)、Q(x，y ，z) 、R(x，y ，z) 在Ω 上具有一阶连续偏导数，则有 P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy, (1)
I (
1
)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
1
2
xy
8
2 ( x y z ) d x d y d z D h d x d y
I 2 ( x y z ) d xdydz
1
1
封
6
例1 用Gauss公式计算 其中为柱面 及平面z = 0,z = 3所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)
Dx y
h d xd y
z
2
利用重心公式, 注意 x y 0
4 2 z d x d ydz h
1 h h
o x
高数 高斯公式 通量与散度(正式)
P d y d z Q d z d x Rdx d y
由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为
P cos Q cos R cos d S
v n d S
设有向量场
定义:A(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k
Rdxdy,
(1)
或
(P x
Q y
R)dv z
( P
cos
Q cos
Rcos )dS, （1′）
这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、
cosγ是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦。
公式（1）或（1′）叫做高斯公式。
证明:
1 2 3, 1 : z z1(x, y), 2 : z z2 (x, y),
I 用柱坐标
用极坐标 1 1
1 1
o
d
xdydz(1)( Dxy
x
2
)
d
x
d
y
x
1y
2
d
0
1
dr
0
2 cos2 d 0
13
12
例6.设函数
在闭区域 上具有一阶和
二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式
v
u
2v x2
2v y2
2v z2
d
x
d
y
d
z
P u x Q u v
第四节
第八章
高斯公式 通量与散度
推广
Green 公式
Gauss 公式
一、高斯公式 二 、通量与散度
高斯公式、通量与散度
分析流体的流动特性。
电磁学
02
在电磁学中，散度用于描述电场和磁场的变化规律，进而分析
电磁波的传播特性。
热力学
03
在热力学中，散度用于描述温度场的变化规律，进而分析热量
的传递和分布。
PART 05
高斯公式、通量与散度的 关系
REPORTING
WENKU DESIGN
高斯公式与通量的关系
高斯公式
在三维空间中，如果一个矢量场在任意封闭曲面上的通量都等于 零，则该矢量场在封闭曲面内的散度也为零。
几何解释
高斯公式可以从几何上理解为，一个封 闭曲面内的体积等于其边界曲面的面积 乘以平均高度。例如，一个球体内部的 体积等于其表面积乘以球的半径。
实例
以一个半径为 (R) 的球为例，其内部 体积 (V) 和表面积 (S) 分别为 (V = frac{4}{3}pi R^{3}) 和 (S = 4pi R^{2})，则高斯公式为
定义：高斯公式是微积分中的一个基本定理， 它描述了在一个封闭曲面内的体积分与其边界 上的面积分之间的关系。
(intintint_{V} dV = intint_{S} dS)
定理与证明
定理：如果 (f(x, y, z)) 是定义在 闭球 (B) 内的连续函数，则有
(int_{B} f(x, y, z) dV = int_{S} left( int_{z_{1}(x, y)} ^{z_{2}(x,
高斯公式的应用
高斯公式在许多领域都有广泛的应用，如流体动力学、电磁学、量子力学等。未来可以进一步探索高斯公式在这些领 域中的应用，并尝试将其应用于解决实际问题。
通量和散度的研究
通量和散度是描述物理量流动和分布的重要概念，未来可以进一步研究通量和散度的性质和计算方法，以及它们在物 理和工程领域中的应用。
通量与散度高斯公式通量与散度
P, Q, R在域Ω内 有一阶连续 偏导数, 2. 通量与散度 设向量场 A ( P , Q, R), P, Q, R在域G内 有一阶连续 偏导数,则 向量场 通过有向曲面 的通量为
P Q R G 内任意点处的散度为div A x y z
A n d S
z 3
o 1 x
y
3 2 1 d d z dz 0 0 0 1 9 9 2 ( ) 2 2 2
z d d d z
8
计算 227页1(3).
2 2 2 x y z 为锥体
的表面 为此曲面 外法线 的方向余弦
P ( x , y , z ) d y d z Q( x , y , z )d z d x R( x , y , z )dx d y
(Gauss 公式)
2
例1. 计算曲面积分
其中
x d y dz y dz dx z dx d y 的外侧
解 用高斯公式 原式
111)d x d y d z
的
外侧
解
F d S xd y dz y dz dx z dx d y
1 1 1) d x d y d z
3
7
dx d y d yd z 练习 计算 及平面 其中 为柱面 所围空间 闭域 的整个边界曲面 的外侧.
解: 利用Gauss 公式, 得 怎样计算 ( y z ) d x d yd z ( 原式 = 用柱坐标)
16
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
2.3矢量场的通量与散度
出的通量.
解法1
记
r1
r
2
,
1r表示r平面部r 分r，
表示锥面部分，
2
则通量 Ò A dS A dS A dS,
1
2
1在xoy面上的投影区域D : x2 y2 H 2 , rr
A dS xdydz ydxdz zdxdy Hdxdy H 3
1
曲面
2的外法1 向量nr
4
1 r2
rr0 nr0dS
q
4 R2
Ò dS
q
4 R2
4
R2
q.
2.散度
设
v A
v A(
x,
y,
z)
C
(1)是一个不可压缩的稳定的流速场，
对于场中任一点M，在点M的某邻域作一张包围M的光
滑封闭曲面 ，取外侧，记 所围的区域为 ，这时，
,
A dS
表示单位时间从
经
流向外侧的流量，
而
()
x,
D2
q
4 r3
y,
D3
q
4 r3
z,
D1 x
q
4
r3
x 3r2 r6
x r
q
4
r2
3x2 r5 ,L
,
r divD
D1
D2
D3
0.
x y z
r
r
r
r
r
例7 设 A 2xyz2 i (x2z2 cos y) j 2x2 yz k，求divA.
利用Hamilton的算子 ，散度及其性质可表述为
注意：∑ 与∑－是不同的曲面.
∑ n
∑－
n
通量和散度的概念
通量和散度的概念通量和散度是物理学中用来描述流过某一表面的物理量的概念。
它们在物理学的各个领域都有着广泛的应用，包括电磁学、流体力学和热力学等。
下面我将详细介绍这两个概念及其相关的理论和应用。
通量是一个贯穿某一表面的物理量的总量。
在物理学中，通量的概念经常用来描述一些物理量在一定时间内通过某一固定面积的流量。
通量可以是质量、能量、电荷等物理量的流量。
它的计算公式为：通量= 流量/ 时间。
通量的单位取决于所描述的物理量，例如，若是质量的通量，则单位为千克/秒；若是能量的通量，则单位为焦耳/秒。
散度是矢量场的一种性质，用来描述线、面、体积上物理量的变化情况。
矢量场是一个在空间中定义了每一个点上值与方向的矢量的场。
散度描述了一个矢量场的源头或汇聚情况，即在某一点上是否有物理量流入或流出这一点。
它的计算公式为：散度=（偏导数x方向上的分量+ 偏导数y方向上的分量+ 偏导数z方向上的分量）。
散度是一种标量场，它的大小和分布描述了物理量的变化情况，正负号则表示物理量流的方向。
如果散度为正，则表示物理量从该点流出；如果散度为负，则表示物理量流入该点；如果散度为零，则表示物理量在该点不变。
通量和散度之间有一个重要的关系，即散度定理。
散度定理是高斯定理的一种特殊形式，它表明通过一个闭合曲面的通量等于该曲面内散度的体积分。
通俗地讲，散度定理说明了通过一个封闭的表面的物理量总量等于该表面内物理量的来源或消耗总量。
散度定理为物理学家提供了一个非常有用的工具，可以利用这个定理来简化复杂的物理问题的计算。
通量和散度在电磁学中具有重要的应用。
在电磁学中，电场和磁场都可以用矢量场的形式来描述。
通量定律和散度定理是电磁场中的两个基本定律。
例如，根据电场的散度定理，通过一个封闭曲面的电场通量等于该曲面内电荷的总量除以真空介电常数。
这个定理为计算电场的分布和与电荷相互作用提供了一种简洁而有效的方法。
类似地，磁场的散度定理也可以用于计算磁场的分布以及与电流的相互作用。
9.4 高斯公式 通量与散度
div A
散度为一数量，
∂P ∂Q ∂R + + G 内任意点处的散度为 div A = ∂x ∂ y ∂z
表示 场 中一 点 处通 量 对体 积 的 变化 率
r u divA
∂ P ∂Q ∂ R ⋅ ∫∫∫ d v ∂ x + ∂ y + ∂z Ω (ξ ,η ,ζ ) = lim 其中(ξ , η , ζ ) ∈ Ω Ω→ M V
2
4
取上侧, 例3 设Σ为曲面 z = 2 − x − y , 1≤ z ≤ 2取上侧, 求
2 2
I = ∫∫ (x z + x) d y d z − x yz d z d x − x z d x d y. Σ z 3 2 2 2 解 P = x z + x , Q = − x yz , R = − x z 2 ∂P ∂ Q ∂ R Σ + + = 1 作取下侧的辅助面 ∂x ∂y ∂z 1 Σ1 2 2 Σ1 : z =1 (x, y) ∈Dxy : x + y ≤1 o 1y I = ∫∫ − ∫∫ 用柱坐标 用极坐标 x
其中P, 具有连续一阶偏导数, 其中 Q, R 具有连续一阶偏导数 M(x, y, z)是场中任意一 是场中任意一 点，Σ是场内包含该点的一个分片光滑的封闭曲面, 它所围区域 Ω 的体积为V。如果当 Ω 以任意方式向点M 收缩 时，极限 都存在， 都存在，则称此极限为向量场A在点M的散度(divergence)。 ) 记作
2 2 2
则表面 x 2 + y 2 + z 2 = 4取外侧 x 2 + y 2 + z 2 = 1取 内 侧
光滑或分片光滑， （2）高斯公式成立的条件： Σ光滑或分片光滑， 高斯公式成立的条件： P、Q、R在Ω上一阶偏导连续。 上一阶偏导连续。 不闭合时，采取“补面”的方法： （3）Σ不闭合时，采取“补面”的方法：Σ+Σ1 封 闭，所围区域Ω。
高数之高斯公式通量与散度
高数之高斯公式通量与散度高斯公式，也称为高斯定理或高斯‐斯托克斯定理，是矢量分析中的一个重要定理，用于计算矢量场的通量与散度之间的关系。
它是高等数学课程中的一个重要知识点，也是理解物理学、电磁学等领域中的许多现象的基础。
首先，让我们先来了解一下通量和散度的概念。
通量可以理解为矢量场通过一些封闭曲面的流量，即场的一些属性通过单位面积的流量。
通量的计算可以用于解释许多自然现象，比如液体或气体的流动、电场的分布等等。
散度则是矢量场在其中一点上的变化率，表示场在该点的流入流出程度。
散度可以用于描述场的源和汇。
高斯公式则是描述通量和散度之间关系的数学公式，它的数学表达如下：∬S F·dS = ∭V(nabla·F)dV其中，∬S表示对曲面S的积分，F表示矢量场，dS表示曲面S上的面积元素，∭V表示对体积V的积分，nabla·F表示矢量场F的散度。
从公式中可以看出，高斯公式表示了一个重要的等式：其中一矢量场通过其中一封闭曲面的通量等于该场在该曲面所包围的体积中的散度的积分。
也就是说，一个矢量场通过一个封闭曲面的总流量与该场在该曲面所包围的体积中的散度的总和是相等的。
这个公式的物理意义非常重要。
比如，在电磁学中，我们可以将电场看作矢量场，通过高斯公式可以得到一个非常重要的结论：电场通过一个封闭曲面的总通量等于该曲面所包围的电荷的总电荷量的1/ε0倍，其中ε0为真空中的电介质常数。
这就是著名的高斯定律，它是电磁学的基础之一高斯公式也可以应用于流体力学中，用于计算液体或气体通过其中一曲面的流量。
在这种情况下，矢量场就是流速场，而散度就是流速场的变化率，可以描述液体或气体在其中一点上的流入流出程度。
总结起来，高斯公式是描述通量和散度之间关系的重要工具，适用于解释许多自然现象，包括电磁学、流体力学等多个领域。
通过应用高斯公式，我们可以定量地描述和计算矢量场的通量和散度之间的关系，从而更好地理解和解释现象。
10、6高斯公式通量与散度
10、6高斯公式通量与散度§10.6 高斯公式通量与散度一、高斯公式格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，这个关系可陈述如下：【定理】设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有Ω∑++=??+??+??Rdxdy Qdzdx Pdydz dv Z R y Q x P )((1) 或Ω∑γ+β+α=??+??+??dS R Q P dv z R y Q x P )cos cos cos ()((1') 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，}γ是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦,公式(１)或(1'证：由两类曲面积分的关系，公式(1)与(1')的右端是相等的，因此这里只要证明公式(1)就可以了。
设闭区域Ω在xoy 面上的投影区域为xy D ，假定穿过Ω内部且平行z 轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点恰好是两个。
这样，可设∑由1∑，2∑和3∑三部分组成，其中1∑和2∑分别由方程),(1y x z z =和),(2y x z z =给定，这里),(),(21y x z y x z ≤，1∑取下侧，2∑取上侧；3∑是以xy D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面上的一部分，取外侧。
根据三重积分的计算法，有[]Ω-=??=??y x y x D D y x z y x z y x z y x R y x z y x R dxdy dz zRdv z R )],(,,[)],(,,[12),(),(21 (2) ∑-=1)],(,,[),,(1xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R∑=2)],(,,[),,(2xyD dxdy y x zy x R dxdy z y x R因为3∑上任意一块曲面在xoy 面上的投影为零，所以直接根据对坐标的曲面积分的定义可知∑=30),,(dxdy z y x R把以上三式相加，得∑-=xyD dxdy y x z y x R y x zy x R dxdy z y x R )]},(,,[)],(,,[{),,(12(3)比较(2)、(3)两式，得Ω∑=??dxdy z y x R dv z R),,( 如果穿过Ω内部且平行于x 轴的直线以及平行于y 轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点恰好有两点，那么类似地可得Ω∑=??dydz z y x P dv x P),,( Ω∑=??dzdx z y x Q dv y Q),,( 把以上三式两端分别相加，即得高斯公式(1)。
通量与散度(双语)
V divA dV S A dS
or
V Ad V S A dS
From the point of view of mathematics, the divergence theorem states that the surface integral 面积分 of a vector function over a closed surface can be transformed into a volume integral 体积分 involving the divergence of the vector over the volume enclosed by the same surface. From the point of the view of fields, it gives the relationship between the fields in a region a 区域 nd the fields on the boundary 边界 of the region.
2. Flux & Divergence
The surface integral 面积分 of the vector field A evaluated over a directed surface S is called the flux through the directed surface S, and it is denoted by scalar , i.e.
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已知真空中磁通密度 B 沿任一闭合有向曲线 l
的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空
磁导率 0 的乘积。即
l B �dl m0I
⊙ I1 I2
式中，电流 I 的正方向与 dl 的方向构成 右旋 关系 。 环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但 是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能 显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。
例 求空间任一点位置矢量 r 的散度
。
z
r
z
y
O
x
x
y
解 已知 求得
r xex + yey + zez
r
x x
+
y y
+
z z
3
算子
ex
x
+
ey
y
+
ez
z
标量场的梯度 矢量场的散度
ex
x
+ ey
ห้องสมุดไป่ตู้ y
+ ez
z
div A lim Δ0V
A dS
S
ΔV
矢量场的旋度？
A
Ax x
S E
�dS
q 0
㊉
㊉
当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭 合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的 无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。
但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能 显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。
当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过
该闭合面 S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极
2. 矢量场的通量与散度
矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲面 S 的通量，以标量 表示，即
S A dS
通量可为正、负或零。
当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭 合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。
S
S A dS
闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外 法线方向。
当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一 定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭 合面的通量一定为负。
前述的源称为正源，而洞称为负源。
已知真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的 通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量 q 与
真空介电常数 0 之比，即，
限称为矢量场 A 在该点的散度，以 div A 表示，即
div A lim Δ0V
A dS
S
ΔV
式中， div 是英文字 divergence 的缩写； V 为闭合 面 S 包围的体积。
div A lim Δ0V
A dS
S
ΔV
上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围
旋度是一个矢量。以符号 curl A 表示矢量 A
的旋度，其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的
方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，
即
en1
en
en2
curl
A
en
lim
ΔS0
A dl
l
max
ΔS
式中 curl 是旋度的英文字； en 为最大环量强度的 方向上的单位矢量， S 为闭合曲线 l 包围的面积 。 矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭 合曲线上的最大环量。
单位体积闭合面的通量。
直角坐标系中散度可表示为
div
A
Ax x
+
Ay y
+
Az z
因此散度可用算符 表示为
div A ��A
散度定理
�V div A dV �S AdS
或者写为
�V ��Ad V �S A�dS
从数学角度可以认为散度定理建立了面积分和体 积分的关系。 从物理角度可以理解为散度定理建立 了区域 V 中的场和包围区域 V 的边界 S 上的场之 间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场， 根据 散度定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。
+
Ay y
+
Az z
3. 矢量场的环量与旋度 矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为
矢量场 A 沿该曲线的环量，以 表示，即
G l A dl
l
可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 A 的方向 处处与线元 dl 的方向保持一致，则环量 > 0 ； 若处处相反，则 < 0 。可见，环量可以用来描述 矢量场的旋涡特性。