2021-2022年高一12月月考 数学 含答案
河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)
河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．全集{*x x =∈U N 且}10x <,{}1,3,5,7A =,{}6,7,8,9B =,则()A B =U( )A.{}2B.{}2,4C.{}7D.{}2,4,72．已知()1f x ax =+,()222g x x x a =-+,1x ∃,[]20,1x ∈,()()12f x g x >,则a 的取值范围是( ) A.(),2-∞B.()2,+∞C.(),1-∞D.()1,+∞3．“a <1<-”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．已知0a >且1a ≠,()()1a x f x a -=与()a g x x =的图象可以是( )A. B. C. D.5．已知2log 3a =,3log 5b =,113c ⎛= ⎝A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >>6．已知0a >,0b >,a b +=A.4B.6C.8D.97．已知0a >,b >2的一个充分不必要条件是( ) A.1ab ≥B.a b +≥1b+≥2≥8．已知()()1,2,x a x f x a x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩1>)的值域为D ,2,3D ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭,则a 的取值范围是( )A.()1,2B.()2,3C.161,9⎛⎤ ⎥⎝⎦D.16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多项选择题9．已知13a -≤≤,12b ≤≤,则以下命题正确的是( ) A.16ab -≤≤B.05a b ≤+≤C.21a b -≤-≤D.()()114a b +-≤10．以下函数是偶函数的是( ) A.()22x x f x -=+ B.()211f x x x =-+ C.()()11f x x x =-≠±D.()()lg 1012x x f x =+-11．已知()()22log 3f x x mx m =-++的定义域为D ,值域为M ,则( ) A.若D =R ,则M ≠RB.对任意m ∈R ,使得()()57f f -=-C.对任意m ∈R ,()f x 的图象恒过一定点D.若()f x 在(),3-∞上单调递减,则m 的取值范围是{}6 12．20x bx c -+<的解集为()00,2x x +,则( ) A.244b c =+B.若10b c -+>,则201x <C.若00x >,则210cx bx -+<的解集为0011,2x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭D.b c +有最小值为94-三、填空题13．0x >时,22(1)x y x =+14．写出一个函数()f x 的解析式,满足:①()f x 是定义在R 上的偶函数;②0x ≠时,()1f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()f x =________.15．全集{}1,2,3,4,5,6,7,8=U ,{}1,2,4,5,6A =,{}1,2,3,4,7B =,{}2,3,5,6,7C =,如图中阴影部分的集合为M ,若x M ∃∈使得:2430x mx m -+-<,则m 的取值范围是________.16．教材必修1第87页给出了图象对称与奇偶性的联系:若()y f x =为奇函数,则()y f x a b =-+的图象关于点(),a b 中心对称,易知:()f x =()g x =四、解答题17．已知集合{}2120,{2}(0)A x x mx B x x m m =+-<=-<>∣∣. （1）1m =时,求A B ;（2）若B A ⊆,求m 的取值范围.18．已知()f x 满足212x f x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭.（1）求()f x 的解析式;（2）解不等式()()211f x f x -<--.19．已知())2log f x x =是奇函数.（1）求a ;（2）证明:()f x 是R 上的增函数. 20．()()()22222x x x x f x t --=-++.（1）若t =()0f x <的解集;（2）若()f x 最小值为1,求t .21．已知二次函数()2f x x bx c =++,()f x x =的解为1-,3. （1）求b ,c ;（2）证明:1-,3也是方程()()f f x x =的解,并求()()f f x x =的解集.22．已知()12f x mx n x =-++的图象的对称中心为722,4m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（1）求m ,n ;（2）若在区间[],(2)a b a >-上,()f x 的值域为[],a b ,求a ,b .参考答案1．答案：B解析：由题意可知:{}1,3,5,6,7,8,9A B =, 又因为{}1,2,3,4,5,6,7,8,9=U ,所以(){}2,4A B =U.故选:B. 2．答案：A解析：[]12,0,1x x ∃∈,()()12f x g x >,所以,()()12max min f x g x >,()()2222121g x x x a x a =-+=-+-在[]0,1上单调递减,所以()2min 21g x a =-,当0a =时,()()2122212f x g x x x =>=-,即22212x x >-,取210x x ==成立. 当<0a 时,()1max 1f x =,即211a -<,得1a <,所以<0a当0a >时,()1max 1f x a =+,即121a a +>-,得2a <,所以02a <<, 综上:a 的取值范围是(),2-∞. 故选:A 3．答案：B解析：不等式a <1a -<0<,所以()210a a -<, 即()()110a a a -+<,解得01a <<或1a <-,故1a <-能推出a <<1<-,所以“a <1<-”的必要不充分条件. 故选:B 4．答案：D解析：对()()1a x f x a -=,该函数过定点()0,1,且()0f x >恒成立, 对()a g x x =,该函数过定点()0,0,若01a <<,对()()1a x f x a -=,10a -<,则()1a x -在R 上单调递减, 又01a <<,故()f x 在R 上单调递增,若1a >,对()()1a x f x a -=,10a ->,则()1a x -在R 上单调递增, 又1a >,故()f x 在R 上单调递增, 故排除AB;对()g x ,由0a >且1a ≠,故()g x 在定义域内单调递增, 故排除C. 故选:D. 5．答案：A解析：因为32234=<<,可知:32222log 2log 3log <<2a <<;35<<=3333log 5log <<b <<105>,可知:15111033⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=,即01c <<; 综上所述:c b a <<. 故选:A. 6．答案：C解析：0a >,0b >,1a b +=,()414144144b a b a a b a b a b a b a b -⎛⎫∴+=+=++-=++≥= ⎪⎝⎭=a ==故选:C 7．答案：A解析：对A 选项:若ab ≥2≥≥,当且仅当a b =时等号成立,当4a =,b =2≥,但1ab <,故0a >,0b >时,ab ≥2≥的充分不必要条件,故A 正确;对B 选项:取a ==825=<,故a b +≥2≥的一个充分条件,故B 错误;对C选项:取a b ==12=<,1b≥2≥的一个充分条件,故C错误;2≥2≥2,2≥2≥的充要条件,故D错误.故选:A.8．答案：D解析：若12a<<,当x≤()()1xf x a=-在1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦上单调递减,此时())fx∈+∞,当x>()22af x xx=+-≥,当且仅当x=>又函数()f x的值域D满足2,3D⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭,则21a≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎪⎩2a≤<;若2a=,()11,222,xf xx xx⎧≤⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩12≤时,()1f x=,当x>()222f x xx=+-≥,当且仅当x=又函数()f x的值域)2,D⎡=+∞⎣,满足2,3D⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭,成立;若2a>,当x≤()()1xf x a=-在1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦上单调递增,此时()(f x∈, 则(D⊆,又(2,3⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭不成立,所以此时2,3D ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭不成立;2a ≤≤,故选:D. 9．答案：BD解析：对于A:[]1,3a ∈-,[]1,2b ∈,[]2,6ab ∴∈-,故A 错误. 对于B:[]1,3a ∈-,[]1,2b ∈,[]0,5a b ∴+∈,故B 正确. 对于C:[]1,2b ∈,[]3,2a b ∴-∈-,故C 错误.对于D;[]10,4a +∈,[]10,1b -∈,()()[]110,4a b ∴+-∈,故D 正确. 故选:BD. 10．答案：AD解析：A 选项,()f x 的定义域为R ,()()22x x f x f x --=+=, 所以()f x 是偶函数,符合题意.B 选项,22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭,()f x 的定义域为R , ()113f -=,()11f =,()()11f f -≠,所以()f x 不是偶函数.C 选项,()23f -=-==()21f ==()()22f f -≠,所以()f x 不是偶函数.D 选项,()()lg 101x f x =+()()110lg 101lg 2102x xx x x f x -+-=++=+()()()lg 101lg10lg 10122x x x x xf x =+-+=+-=,所以()f x 是偶函数. 故选:AD 11．答案：ACD解析：对于A,要使定义域为R ,只需230x mx m -++>恒成立,所以判别式()2430m m -+<,所以真数23x mx m -++不能取遍所有正实数,所以M ≠R ,故A 对对于B,若()()57f f -=-,即()()()()()()2222log 553log 773m m m m ---++=---++,整理得()()22log 286log 528m m +=+,得28605280286528m m m m +>⎧⎪+>⎨⎪+=+⎩, 此时m ∈∅,故B 错;对于C,()22331x mx m x m x -++=++-,因为与m 无关,所以10x -=,1x =,2log 42y ==,过定点（1,2),故C 正确;对于D,若()f x 在(),3-∞上单调递减,只需函数23t x mx m =-++在(),3-∞上递减,且()30t ≥,即329330m m m ⎧≥⎪⎨⎪-++≥⎩,解得6m =,故D 对. 故选:ACD 12．答案：AC解析：由题意可知:方程20x bx c -+=的根为00,2x x +,则()000002222x x x bx x c ++=+=⎧⎨+=⎩,)0022x x +-===,整理得244b c =+,故A 正确;对于选项B:例如02x =,则68b c =⎧⎨=⎩,满足116830b c -+=-+=>, 则2041x =>,故B 错误;对于选项C:若00x >,则0020x x +>>,不等式210cx bx -+<即为()()200022210x x x x x +-++<, 整理得()()001210x x x x -+-<⎡⎤⎣⎦,令()()001210x x x x -+-=⎡⎤⎣⎦,解得x ==且022x +>>所以210cx bx -+<的解集为0011,2x x ⎛⎫⎪+⎝⎭,故C 正确;对于选项D:因为()()()20000222222b c x x x x +=+++=+-≥-, 当且仅当02x =-时,等号成立, 所以b c +有最小值为2-,故D 错误; 故选:AC.13．答案：3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：因为0x >,令()10,11t x =∈+,则11x t=-, 则222111111t y t t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,()0,1t ∈, 可知21y t t =-+开口向上,对称轴为t =0112||1,|t t t y y y ======所以21y t t =-+在()0,1内的值域为3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭,即22(1)x y x =+)0,+∞内的值域为3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为:3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭.14．答案：0,0ln ,0x x x =⎧⎨≠⎩(答案不唯一)解析：由题意可得:()0,0ln ,0x f x x x =⎧=⎨≠⎩符合题意.故答案为:0,0ln ,0x x x =⎧⎨≠⎩.15．答案：()46,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭解析：因为{}1,2,4,5,6A =,{}1,2,3,4,7B =,{}2,3,5,6,7C =,所以{}2,3,7B C =, 图中阴影部分表示的集合为(){}3,7B C A =U ,即{}3,7M =,由题意,233430m m -+-<或277430m m -+-<,解得6m <-或m >所以m 的取值范围是()46,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为:()46,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 16．答案：51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：因为()2121212121x x x x f x -+-===-++()121121x f x --=-+,()()1111312221232212221221x x x x x x g x ----⎛⎫⨯+++ ⎪+⎝⎭====++⨯+所以()()()151115444g x f x f x =--+=---⎡⎤⎣⎦, 因为()y f x =为奇函数,则()14y f x =-也奇函数, 所以()g x 关于点51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭对称, 故答案为:51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭17．答案：（1）{}13A B x x =<<（2）01m <≤解析：（1）当1m =时,{}{}212043A x x x x x =+-<=-<<, {}13B x x =<<,所以{}13A B x x =<<.（2）化简{}21202m A x x mx x ⎧-+⎪=+-<=<<⎨⎪⎪⎩⎭, {}{}222(0)B x x m x m x m m =-<=-<<+>,若B A ⊆,则1m <≤. 18．答案：（1）()21,22x f x x x -=≠- （2）()2,2-解析：（1）令2132222x t x x -==+≠--,则x =则()f t =()212x f x x -=-,2x ≠. （2）因为211x -≤,11x --≤-,因为()2122x f x x -==-),2-∞内单调递减, 若()()211f x f x -<--,则211x x ->--,即220x x --<, 则2020x x x ≥⎧⎨--<⎩或2020x x x <⎧⎨+-<⎩,解得02x ≤<或20x -<<, 所以不等式()()211f x f x -<--的解集为()2,2-. 19．答案：（1）1a =（2）证明见解析解析：（1）因为())2log f x x =是奇函数,则()()0f x f x +-=,可得))()222222log log l 0og log x x x a x a +==+-=,解得1a =. （2）由（1）可知:())2log f x x =,x>=≥-0x >对任意x ∈R 恒成立,所以()f x 的定义域为R .对任意1x ,[)20,x ∈+∞,且120x x ≤<,则2212111x x ≤+<+,可得1≤<所以121x x ≤<,则))2122log log x x <,即()()12f x f x <, 所以()f x 在[)0,+∞内单调递增,又因为()f x 为奇函数,则()f x 在(],0-∞内单调递增, 且()f x 连续不断,所以()f x 是R 上的增函数. 20．答案：（1）()1,1-（2）12t = 解析：（1）因为()()()()()()()22222222242222224x x x x x x x x x x x x f x t t t ------⎡⎤=-++=+-++=+++-⎢⎥⎣⎦, 令222x x m -=≥=+,当且仅当22x x -=,即0x =时,等号成立, 则24y m tm =+-,2m ≥,若t =29410y m m =--,2m ≥,令294010y m m =--<,可得2m ≤<即22x x -+<()22522x x -⨯+<22x <<,可得11x -<<, 所以()0f x <的解集为()1,1-.（2）若()f x 最小值为1,结合（1）可知:24,2y m tm m =+-≥的最小值为1,因为24y m tm =+-的开口向上,对称轴为2t m =-, 若22t -≤,即4t ≥-时,24y m tm =+-在[)2,+∞内单调递增, 可知当2m =时,24y m tm =+-取得最小值,即4241t +-=,解得t =2>,即4t <-时,24y m tm =+-在2,2t ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭内单调递减,在,2t ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭单调递增,可知当m =24y m tm =+-取得最小值,412t t ⎛⎫⨯--= ⎪⎝⎭,无解;综上所述:t =21．答案：（1）1b =-,3c =-（2）证明见解析,{}- 解析：（1）因为()f x x =的解为1-,3,则11933b c b c -+=-⎧⎨++=⎩,解得13b c =-⎧⎨=-⎩. （2）由（1）可知:()23f x x x =--,且()11f -=-,()33f =, 则()()()111f f f -=-=-,()()()333f f f ==, 即1-,3也是方程()()f f x x =的解,对于()()f f x x =,即()()()22223333f x x x x x x x --=------=,整理得:()(()(310x x x x -+=,解得x =所以()()f f x x =的解集为{}-.22．答案：（1）m =14= （2）1a =-,2b =解析：（1）由()12f x mx n x =-++可知,定义域为{}2x x ≠-,其图象对称中心为722,4m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,故有222m n --=-,即1m n +=,有()2m n -⨯-+===即()1324f x x x =-+72,4⎫-⎪⎭,检验计算得()()()131131442444244f x f x x x x x +--=-++---+=+--+即m ==（2）当x >-34x 都随x 的增大而减小, 故()f x 在()2,-+∞上单调递减,又()f x 在区间[],(2)a b a >-上,()f x 值域也为[],a b ,故有()()f a b f b a =⎧⎪⎨=⎪⎩,即131********4a b a b a b ⎧-+=⎪⎪+⎨⎪-+=⎪+⎩,且2a b -<<, 解得1a =-,2b =.。
北京市2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析
2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --< D.x ∀∈R ，2230x x --≥4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈，求得整数k 的取值，由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<，得3322k -<<，k Z ∈ ，所以，整数k 的可能取值有1-、0、1，因此，{}2,0,2A B =- .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩，所以2y x =-代入225x y +=，即()2225x x +-=，解得1x =±.当=1x -时，()212y =-⨯-=；当1x =时，212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选：A.3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --<D.x ∀∈R ，2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ，2230x x --≥.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以ln y x =是非奇非偶函数，故A 不正确；对于B ，2x y =的定义域为R ，关于原点对称，而()()122xx f x f x --==≠-，所以2x y =不是奇函数，故B 不正确；对于C ，3y x =的定义域为R ，关于原点对称，而()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，1y x=-定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x f x x -==-，所以1y x=-是奇函数，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D 不正确.故选：C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】C 【解析】【分析】借助中间量0,1可确定大小.【详解】对于lg2a =，由lg2lg1=0,lg2lg10=1><得01a <<，对于12log 3b =，由1122log 3log 10<=得0b <，对于0.22c =，由0.20221>=得1c >，所以b a c <<.故选：C.7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==，即4a b =，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数，先得到()0f x <的解集，再由()10f x -<，将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，所以由()0f x <，解得01x ≤<，又因为()f x 是偶函数，所以()0f x <的解集是11x -<<，所以()10f x -<，得111x -<-<，解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<，故选：C9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x，640()5x，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22xx+=）B 产品的年产量为1640(140()55x x +=，依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40(25xx>化简得154x x +>，即lg 5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，由韦达定理可得124x x +=，121=x x ，所以，()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯，12x x -===.故答案为：14；.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设12x x ∀<，即210x x ->，都有()()21210f x f x x x -<-，即()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =，不妨设一次函数y x b =-+满足题意，则10b =-+，即1b =.故答案为：1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与3y =的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当5a =时，()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>，所以()43381log 81log 345f ===<，所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点，所以()3f x =，即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =，3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<，即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为：①2；②[)9,27.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝(0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝(0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹，即1x ≠±，所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，所以x D ∀∈，()()()221111f x f x x x -===---，故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <，则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------，由()12,1,x x ∀∈+∞，12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，从而()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数，所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）25（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：()()5020f x x C x =--，()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时，函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增，此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时，函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增，在()16,20上单调递减，此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得：当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.【答案】（1）1-（2）12m =-（3）21log 3x >【解析】【分析】（1）直接将0x =代入计算；（2）通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值；（3）解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-；【小问2详解】函数()f x 是偶函数，()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=，又()210x m -+=要恒成立，故210m +=，解得12m =-；【小问3详解】当1m =-时，()()12log 21x f x x =++，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-，()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
2022-2023学年江苏省镇江市扬中市第二高一年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．函数的定义域是（ ）()f x =A ．B ．()3,-+∞()()3,11,---+∞ C ．D ．[)()3,11,---+∞ R【答案】B【分析】根据函数解析式的特点列出限定条件求解即可.【详解】由题意可得，解得且，所以函数的定义域为.1030x x +≠⎧⎨+>⎩3x >-1x ≠-()()3,11,---+∞ 故选：B.2．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a 的取值不可以是（ ）x a >220x x ->A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】由“”是“”的充分不必要条件，所以对应的集合为不等式解x a >220x x ->x a >220x x ->集集合的真子集，建立不等式解出即可.【详解】由不等式得，或，220x x ->0x <2x >∵“”是“”的充分不必要条件，x a >220x x ->∴集合是集合或的真子集，{}|x x a >{|0x x <2}x >∴，2a ≥∴实数a 的取值不可以是1.故选：A.3．设，，，则，，的大小关系为（ ）3log 8a = 1.12b = 1.10.8c =a b c A ．B ．C ．D ．c<a<b b a c<<b<c<ac b a<<【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解.【详解】解：，，3331log 3log 8log 92=<<= 12a ∴<<，，1.11222>= 2b ∴>，，1.1000.80.81<<= 01c ∴<<.c a b ∴<<故选：A.4．函数的零点所在的大致区间是（ ）3()ln f x x x =-A ．B ．C ．D ．(1,2)(2,e)1(,1)e(e,3)【答案】D【分析】首先判断函数的单调性，再利用零点存在定理判断即可.【详解】解：因为与在上单调递增，ln y x =3y x =-()0,∞+所以在上单调递增，3()ln f x x x =-()0,∞+又，，由，()3e 10ef =-<()3ln310f =->()()e 30f f <所以在上存在唯一零点.()f x (e,3)故选：D5．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为()f x [2,2]b -[2,0]b -(1)(1)f x f +≤-（ ）A ．B ．[2,0]-[3,1]-C ．D ．[3,2][0,1]-- (,2][0,)-∞-⋃+∞【答案】C【分析】根据是定义在上的偶函数，得到，解得，结合函数奇偶性得()f x [2,2]b -220b -+=1b =到在上单调递减，从而列出不等式，求出不等式的解集.()f x [0,2]【详解】因为是定义在上的偶函数，()f x [2,2]b -所以，解得：，220b -+=1b =因为在上单调递增，所以在上单调递减，()f x [2,0]-()f x [0,2]因为，所以，(1)(1)f x f +≤-()()11f x f +≤-故，解①得：或，11212x x ⎧+≥⎨-≤+≤⎩①②0x ≥2x ≤-解②得：，故31x -≤≤[3,2][0,1]x ∈-- 故选：C6．诺贝尔化学奖得主，瑞典物化学家阿伦尼乌斯提出了电离学说，并在总结大量实验结果的基础上导出了著名的反应速率公式，即阿伦尼乌斯方程：，其中k 为温度T 时的反应速度常数，e aE RTk A -=A 为阿伦尼乌斯常数，为实验活化能（与温度无关的常数），T 为热力学温度（单位：开），R 为a E 摩尔气体常数， e 为自然对数的底．已知某化学反应，若热力学温度为时，反应速度常数为，1T 1k 则当热力学温度为时，反应速度常数为（ ）14T A ．B ．C ．D ．12k 11441k A341k A13441k A【答案】D【分析】分别将热力学温度代入，用指数运算性质找关系即可.【详解】当温度为时，，当温度为时，，设，则，1T 11ea E RT k A -=14T 142e aE RT k A -=1ea E RT t -=1e tk A =.()31314444421e e t tk A A Ak A==⋅=故选：D7．已知函数（其中为自然对数的底数），则函数的大致图象为()ln 1exf x x x =--e (1)y f x =+（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据对数运算，将写成分段函数的形式，数形结合即可求得结果.()(),1f x f x +【详解】由题意，，则.()0111x x f x x x <<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，，()1,1011,01x x f x x x +-<<⎧⎪+=⎨≥⎪+⎩数形结合可知，的图象为选项A 中的图象.()1y f x =+故选：A.8．函数，若关于x 的方程有4个不同的根，则a 的取||1()1e x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22()(23)()30-++=f x a f x a 值范围（ ）A ．B ．C ．D ．(1,2)3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭330,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 331,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【分析】令，求得的两根，再结合函数的图象，数形结合即可()f x t=()222330t a t a -++=()f x 求得的范围.a 【详解】令，，即，解得；()f x t=()222330t a t a -++=()()230t t a --=123,2t t a ==故要使得方程有四个不相等的实数根，则与的图象有22()(23)()30-++=f x a f x a 3,2y y a ==()f x 四个交点，如下图所示：数形结合可知，.a ∈331,,222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：D.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．若函数的定义域为，则函数的定义域为()2f x [02]，()f x []01，B ．若函数过定点，则函数经过定点()y f x =()01，()11y f x =-+()12，C ．幂函数 在是减函数23y x -=()0-∞，D ．图象关于点成中心对称()212x f x x -=+()22-，【答案】BD【分析】根据复合函数定义域判断A ；根据函数图像平移判断BD ；根据幂函数的性质判断C.【详解】解：对于A ，若函数的定义域为，则函数的定义域为，故错误；()2f x [02]，()f x []04，对于B ，函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数图像，由()y f x =()11y f x =-+于过定点，故函数经过定点，正确；()y f x =()01，()11y f x =-+()12，对于C ，幂函数 在是减函数，由于，23y x -=()0,∞+()23g x x-==()(),00,∞-+∞ ，为偶函数，故幂函数 在是增函数，故错误；()()g x g x -===23y x -=23y x -=()0-∞，对于D ，，其图像由向左平移2个单位，再向上平移()()2252152222x x f x x x x +--===-+++5y x =-2个单位得到，且图像关于原点对称，故图像关于点成中心对称，正确.5y x =-()212x f x x -=+()22-，故选：BD10．以下命题正确的是（ ）A ．函数与函数()2f x x =-()g x =B ．，使(0,)∀∈+∞x 43x x>C ．若不等式的解集为，则220ax x c ++>{}12x x -<<2a c +=D ．若，且，则的最小值为0x >0y >41x y +=216x y+【答案】BCD【分析】对A ，通过化简知，即可判断，对B ，根据在同一坐标系内不同底数的指数()|2|g x x =-函数图像特点即可判断，对C 利用韦达定理即可，对D 利用基本不等式即可求出最值，注意取等条件.【详解】对于A ，，,()2f x x =-()|2|g x x ==-故与不是同一个函数，故A 错误，()f x ()g x对于B ，根据指数函数图像与性质可知，当，的图像在的图像的上方，故,()0x ∈+∞14x y =23xy =对,使，故B 正确，(0,)∀∈+∞x 43x x>对C ，由题意知为方程的两根，且，1,2-220ax x c ++=0a ≠由韦达定理得，故，故C 正确，21242a ac c a ⎧-=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩2a c +=对D ，，421622x y x y +=+== 当且仅当,即时,等号成立，42241x yx y ⎧=⎨+=⎩11,28x y ==故的最小值为D 正确.216x y+故选：BCD.11．函数，则（ ）2()ln(e 1)xf x x =+-A ．f (x )的定义域为R B ．值域为()f x RC ．为偶函数D ．在区间上是增函数()f x ()f x [0,)+∞【答案】ACD【分析】根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于函数，2()ln(e 1)xf x x =+-由于恒成立，所以的定义域为，A 选项正确.2e 110x +>>()f x R ，()()()()22e 1ln e 1ln e ln ln e e e x xxx x x f x -⎛⎫+=+-==+ ⎪⎝⎭由于，当且仅当时等号成立，e e 2-+≥=x x e e ,0x x x -==所以，B 选项错误.()()ln e e ln 2x x f x -=+≥由于，所以为偶函数，C 选项正确.()()()ln e e x x f x f x --=+=()f x 对于函数，()()11g x x x x =+≥任取，121x x ≤<()()12121211g x g x x x x x -=+--，()()1212121212121x x x x x x x x x x x x ---=--=由于，所以，1212120,10,0x x x x x x -<->>()()()()12120,g x g x g x g x -<<所以在区间上递增.()g x [)1,+∞当时，令，则在区间上递增，0x ≥e 1xt =≥1y t t =+[)1,+∞根据复合函数单调性同增异减可知在区间上是增函数，D 选项正确.()f x [0,)+∞故选：ACD12．已知函数，下列说法中正确的有（ ）()()4,0,0x x x f x x x ⎧--≥=⎨-<⎩A ．()()13f f -=B ．函数单调减区间为()f x ()(),02,-∞+∞ C ．若，则的取值范围是()3f a >a ()(),31,3-∞- D ．若方程有三个解，则的取值范围是()f x b=b ()0,4【答案】ACD【分析】直接计算得到A 正确，根据函数图像得到B 错误，D 正确，考虑和两种情况，a<00a ≥计算得到答案.【详解】，A 正确；()()()113f f f -==画出函数图像，根据图像知函数单调减区间为和，B 错误；()f x (),0∞-()2,+∞当时，，解得；当时，，解得，故a<0()3f a a =->3a <-0a ≥()()43f a a a =-->13a <<，C 正确；()(),31,3a ∈-∞- ，方程有三个解，根据图像知，，D 正确.()24f =()f x b=04b <<故选：ACD三、填空题13．计算__________．2ln 23:lg25e 82lg2+-+=【答案】0【分析】根据指数幂的运算律及对数的运算法则运算即得.【详解】2ln 23lg25e82lg2+-+()()23lg 25422=⨯+-2lg10022=+-.2240=+-=故答案为：0.14．函数的单调减区间是__________．()|lg(1)|f x x =+【答案】(1,0)-【详解】，在上递增，在()()()()lg 1,0lg 1lg 1,10x x f x x x x ⎧+≥⎪=+=⎨-+-<<⎪⎩ ()1t h x x ==+ ()0,∞+上递增，在上递增，在上递减，复合函数的性质，可得()1,0-lg y t =()0,∞+lg y t =-()1,0-∴单调减区间是，故答案为.()()lg 1f x x ∴=+()1,0-()1,0-15．理论上，一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离，但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了.一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为，厚度变为.在理w x 12w4x 想情况下，对折次数有下列关系：，根据以上信息，一张长为30，厚度为0.05n 82log wn x ≤cm 的纸张最多能对折的次数为___________.mm 【答案】8【分析】解不等式来求得次数.82log wn x ≤【详解】依题意()388830102log 2log 60002log 811.718750.05n ⨯≤⨯=⨯=⨯⨯，()()38882log 8log 11.7187523log 11.71875=⨯+=⨯+，((332322816⎡⎤===>⎢⎥⎣⎦所以，即，32888log 8log 11.71875log 8<<831log 11.718752<<所以正整数的最大值为.n ()2318⨯+=故答案为：816．一对实数满足，则______.,a b 334,log 1aa b +==3a b+=【答案】3【分析】令，则有，进而可得，结合函数在R 上单调log t =3313t b -=3334t t +=3xy x =+递增及，可得，，代入求解即可.34a a +=33log (31)a t b ==+331a b =-【详解】解：令3log t=则，3313t b -=又因为，3log 1b =所以+，t 33113t -=所以，3334tt +=又因为函数在R 上单调递增，3xy x =+，34a a +=所以，33log (31)a t b ==+所以331ab =-所以.331413aab a +=+-=-=故答案为：3四、解答题17．已知集合{}1,1.3xA xB x x a ⎧⎪⎛⎫=>=->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩⎭(1)当时，求；2a =A B ⋂(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.x A ∈x B ∈a 【答案】(1){}1A B x x ⋂=<-(2)7,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）由指数函数的单调性解不等式，求出，解绝对值不等式求出34A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭或，求出交集；{3B x x =>}1x <-（2）解不等式得到或，根据“”是“”的充分条件，得到集合的{1B x x a =>+}1x a <-+x A ∈x B ∈包含关系，列出不等式组，求出求实数的取值范围.a 【详解】（1），而单调递增，341333xx -⎛⎫> ⎪⎭=⎝3xy =故，34x <-所以，3413334x A x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>=<-⎨⎬⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭，2a = ∴，解得：或，12x ->3x >1x <-∴或，{3B x x =>}1x <-；{}1A B x x ∴⋂=<-（2）或，{1B x x a =>+}1x a <-+∵“”是“”的充分条件，x A ∈x B ∈∴是的子集，A B ∴，解得：，3111—411aa a a a ⎧-≤-⎪+<⎨⎪+≥-⎩或74a ≤所以实数的取值范围为a 7,.4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦18．已知函数是定义在R 上的奇函数24()(0,1)2x x a af x a a a a -+=>≠+(1)求的解析式()f x (2)若时，恒成立，求实数的取值范围.(1,2)x ∈2()20xmf x +->m【答案】(1)；21()21x xf x -=+(2).10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据，即可求得参数值，再验证即可；()00f =（2）分离参数，利用换元法和函数单调性求分离参数所得函数的最值，即可求得结果.【详解】（1）由题意，是定义在R 上的奇函数，则，经检验，满足题()f x 24(0)022af a a -+==⇒=+意；故.21()21x xf x -=+（2）由得即2()20x mf x +->()22xmf x >-122221x x x m ->+-⋅又，故，则；(1,2)x ∈2121x x -+0>(22)(21)21x x x m -+>-令，，，21xt -=(1,2)x ∈ (1,3)t ∴∈由题意，时，恒成立，(1,3)t ∈(1)(2)21t t m t t t -+>=-+又都在上单调递增，故在上递增，2,y t y t ==-()1,32()1g t t t =-+(1,3)，故，10()(3)3g t g ∴<=103m ≥即实数的取值范围为.m 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭19．若函数为奇函数.()1ln1ax f x x +=-(1)求的值；a (2)判断单调性并用单调性定义证明；()f x (3)若求实数的取值范围.()1302f x f ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭x 【答案】(1)1a =(2)在上单调递增()f x ()1,1-(3)722x <<【分析】（1）奇函数满足恒成立，然后求解得，最后检验即可；()()0f x f x +-=1a =±（2）先设，然后判断的正负，利用定义得得到在1211x x -<<<()()21f x f x -()()21210f x f x x x ->-()f x 上单调递增；()1,1-（3）利用函数的奇偶性与单调性求解即可.【详解】（1）由题可知恒成立()()0f x f x +-=得，既恒成立11lnln 011ax ax x x +-++=-+11111ax ax x x +-+⨯=-+化简得，得21a =1a =±当时，，此时定义域为，满足，1a =()1ln1x f x x +=-()1,1-()()f x f x =--所以满足；1a =当时，，此时定义域为，所以非奇非偶，1a =-()1ln01x f x x -+==-{}1x x ≠()f x 所以不满足；1a =-故.1a =（2）在上单调递增()f x ()1,1-设，1211x x -<<<得()()21212111lnln 11x x f x f x x x ++-=---212111ln 11x x x x ⎛⎫+-=⨯ ⎪-+⎝⎭211221121ln1x x x x x x x x +--=-+-因为，所以，1211x x -<<<21122112110x x x x x x x x +-->-+->得()()21122121121lnln101x x x x f x f x x x x x +---=>=-+-得()()21210f x f x x x ->-所以在上单调递增.()f x ()1,1-（3）由题得()132f x f ⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭即()132f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭由（2）可得1132x -<-<解得722x <<20．已知函数且在上最大值和最小值的和为12，令．(0xy a a =>1)a ≠[]1,2()f x =(1)求实数的值.a (2)并探究是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；()()1f x f x +-(3)解不等式：．()()2121f x f x -+<【答案】(1)3a =(2)是定值，证明见解析(3)1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由单调性得最大值与最小值的和，从而求得值；a （2）由（1）所得参数值，直接计算可得；()(1)f x f x +-（3）根据（2）的结果化简不等式求得，再解之可得．1()2f x <【详解】（1）因为函数且在上为单调函数，(0xy a a =>1)a ≠[]1,2所以，解得或．因为且，所以；212a a +=3a =4a =-0a >1a ≠3a =（2）由（1）得， ，所以()f x ()()1f x f x +-==；1==（3）由（2）得，，且，所以，()()11f x f x -=-()0f x >()()()2211f x f x f x <--=所以，整理得，，()12f x <123x 12x <所以原不等式的解集为．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭21．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元.x 21()150600p x x x =++(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按（1）中的数量购买机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落m 袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：8(60),130()15480,30m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量.【答案】(1)300(2)120【分析】（1）由总成本，得到平均成本，再利用基本不等式求解；21()150600p x x x =++（2）引进300台机器人后，求得分段函数的最大值，再除以1200求解.300()q m【详解】（1）每台机器人的平均成本,()1150112600p x x x x =++≥=当且仅当，即时，等号成立，1150600x x =300x =所以若使每台机器人的平均成本最低，问应买300台；（2）当时，，130m ≤≤()2300160(60)1609600q m m m m m =-=-+，()216030144000m =--+当m=30时，300台机器人每日的平均分拣量的最大值为件；当时，300台机器人每日的平均分拣量为件，30m >480300144000⨯=所以300台机器人每日的平均分拣量为件，144000若传统人工分拣量达到最大值时，则需人数为人.1440001201200=22．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已()f x ()g x 知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：①定义域均为；R ②为奇函数，为偶函数；()f x ()g x ③（常数e 是自然对数的底数，）．()()e xf xg x +=e 2.71828= 利用上述性质，解决以下问题：(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式：(2)解不等式；21e (())2e f f x ->(3)已知，记函数的最小值为，求．m ∈R 2(2)4(),[0,ln 2]y m g x f x x =⋅-∈()m ϕ()m ϕ【答案】(1)e e e e (),()22x x x xf xg x ---+==(2)1),)+∞(3)()1723,43122,3mm m m m m ϕ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩【分析】（1）由题意，建立方程组，解得答案；（2）根据函数解析式，可得函数的单调性，利用单调性解不等式，可得答案；（3）代入函数解析式，利用配方法和换元法，化简函数，分类讨论，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】（1）由性质③知，所以，()()e x f x g x +=()()e x f x g x --+-=由性质②知，，所以，()(),()()f x f x g x g x -=--=()()e xf xg x --+=即，解得．()()()()e e xx f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩e e e e (),()22x x x x f x g x ---+==（2）因为函数均为上的增函数，故函数为上的增函数，e e x xy y -==-、R ()f x R 由题设．，又单调递增，21e (())(1)2e f f x f ->=-()f x 所以，整理得，解得，e e()12x x f x --=>-2e 2e 10xx+->e 1x>=所以，故不等式解集为1)x >-1),)-+∞（3）函数，设()()()()2222(2)4()e e 2e e e e 22e e x x x x x x x x y m g x f x m m ----⎡⎤=⋅-=+--=-+--⎢⎥⎣⎦，e e x x t -=-由（2），在是增函数知，当时，，e e ()2x xf x --=R [0,ln 2]x ∈30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以原函数即，设，2322,0,2y mt t m t ⎡⎤=-+∈⎢⎣⎦23()22,0,2h t mt t m t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦当时，在上单调递减，此时．0m =()2h t t =-30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦min 3()32h t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭当时，函数的对称轴为，0m ≠()h t 1t m =当时，则在上单调递减，此时，0m <10,()h t m <30,2⎡⎤⎢⎣⎦min 317()324m h t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，1302m <<23m >()h t 10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭13,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭此时．min 11()2h t h m m m ⎛⎫==-⎪⎝⎭当时，即时，在上单调递减，此时．132m ≥203m <≤()h t 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦min 317()324m h t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭综上所述，．()1723,43122,3mm m m m m ϕ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩。
2022-2023学年上海市浦东新区名校高一年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
浦东新区名校2022-2023学年高一上学期12月月考 数学试卷（时间90分钟，满分100分）一、填空题（本题满分36分，共有12题，每小题3分） 1．设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,6A =，{}1,3,4B =，则A B =______．2．函数()21log 21y x =-的定义域为______．3．设α：14x ≤<，β：x m ≤，若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是______． 4．已知函数()5f x x a x a =-++-，若存在0x ∈R ，使得()204f x m m <+，则实数m 的取值范围为______． 5．已知函数331()5f x ax bx x=+--，且(2)2f -=，那么(2)f =______． 6．已知幂函数()122()2n f x n n x-=-在()0,+∞上为严格增函数，则n =______．7．若函数()f x =[)0,+∞，则实数m 的取值范围为______． 8．已知曲线lg y x =上的相异两点A ，B 到直线1x =的距离相等，则点A ，B 的纵坐标之和的取值范围是______．9．设函数2,1()11,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若(1)f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为______．10．设平行于x 轴的直线l 分别与函数2xy =和12x y +=的图像相交于点A ，B ，若在函数2x y =的图像上存在点C ，使得ABC △为等边三角形，则C 点的纵坐标为______．11．若关于x 的不等式222x x a x x a +++--≥的解集为R ，则实数a 的范围是______． 12．已知函数()()(2)f x m x m x m =-++和()33xg x =-同时满足以下两个条件：①对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <②总存在()0,2x ∈-∞-，使得()()000f x g x <成立，则m 的取值范围是______．二、选择题（本题满分16分，共有4题，每小题4分）13．若函数222,0,()log ,0,x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦（ ） A ．2- B ．2 C ．3-D ．314．函数3()6x f x x =+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知定义域为R 的函数()f x 为偶函数，且()f x 在[)0,+∞是严格减函数，记23a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()21c f t t =-+-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<16．若关于x 的方程24x kx x =-有四个不同的实数解，则实数k 的取值范围为（ ）A ．11,44⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭三、解答题（本题满分48分，共有5小题） 17．（本题满分6分）证明：函数()lg 12y x =-在其定义域上是严格减函数． 18．（本题满分8分）设a R ∈，函数2()21x x a f x +=+；（1）求a 的值，使得()f x 奇函数；（2）若3()2a f x +<对任意a R ∈成立，求a 的取值范围． 19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 为了加强“疫情防控”，并能更高效地处理校园内的疫情突发情况，某校决定在学校门口右侧搭建一间高为3米，底面面积为20平方米的长方体形状的临时隔离室，设临时隔离室的左右两侧的地面长度均为x 米（15x ≤≤）．现就该项目对外进行公开招标，其中甲公司给出的报价细目为：临时隔离室的左右两侧墙面报价为每平方米200元，前后两侧墙面报价为每平方米250元，屋顶总报价为3400元；而乙公司则直接给出了工程的整体报价t 关于x的函数关系为23024014900t x x =-++．（1）设公司甲整体报价为y 元，试求y 关于x 的函数解析式； （2）若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分已知函数()()2()11f x m x mx m m R =+-+-∈．（1）若不等式()0f x <的解集是空集，求m 的取值范围； （2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[]1,1D -⊆，求m 的取值范围．21．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分对于在某个区间[),a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得对于任意的[),x a ∈+∞，有()()1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在区间[),a +∞上的弱渐近函数．（1）判断()g x x =是否是函数()f x =[)1,+∞上的弱渐近函数，并说明理由．（2）若函数()31g x x =+是函数()3mf x x x=+在区间[)4,+∞上的弱渐近函数，求实数m 的取值范围；（3）是否存在函数()g x kx =，使得()g x 是函数()f x =[)1,+∞上的弱渐近函数？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由．浦东新区名校2022-2023学年高一上学期12月月考 数学试卷答案一、填空题（本题满分36分，共有12题，每小题3分） 1．【答案】{}2,6 2．【答案】()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭3．【答案】[)4,+∞ 4．【答案】()(),51,-∞-+∞5．【答案】12- 6．【答案】17．【答案】[)1,+∞ 8．【答案】(),0-∞ 9．【答案】[]1,210． 11．【答案】2a ≥ 12．【答案】()3,2m ∈--二、选择题（本题满分16分，共有4题，每小题4分）13．【答案】D 14．【答案】D 15．【答案】B 16．【答案】D三、解答题（本题满分48分，共有5小题） 17．（本题满分6分）【答案】证：设1x 、2x 是定义域1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上任意给定的两个实数，且12x x <， 则1212120x x ->->，()()2112112x x ->- ()()()()()()21221112lg 12lg 12lg12x f x f x x x x --=---=-， 由对数函数的性质，可知()()2112lg012x x ->-所以，()()120f x f x ->因此，函数()lg 12y x =-在其定义域上是严格减函数18．（本题满分8分） 【答案】（1）因为()f x 为奇函数，所以(0)0f =，可得1a =-因为2112()()2121x xxx f x f x -----===-++， 所以1a =-时()f x 为奇函数，所以1a =-（2）3()3(1)22x a f x a a +<⇔-<+ 当1a >-时，321x a a -<+恒成立，∵20x >，∴301a a -≤+，∴13a -<≤当1a =-时，40-<恒成立，所以1a =-当1a <-时，321x a a ->+恒成立，()Q20,x ∈+∞，显然不满足题意．综上所述，13a -≤≤ 19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 【答案】（1）解：因临时隔离室的左右两侧的长度均为x 米，则隔离室前后面的地面长度为20x米， 于是得20252003225032340012003400y x x x x ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯+=++ ⎪⎝⎭，15x ≤≤，所以y 关于x 的函数解析式是()251200340015y x x x ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭．（2）解：由（1）知，对于公司甲，25120034001200340015400x x ⎛⎫++≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当25x x=，即5x =时取“=”，则当左右两侧墙的长度为5米时，公司甲的最低报价为15400元，对于公司乙，函数23024014900t x x =-++在[]1,4上单调递增，在[]4,5上单调递减，即乙公司最高报价为15380元，因1538015400<，因此，无论x 取何值，公司甲的报价都比公司乙的高，所以公司乙能竞标成功．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分【答案】（1）当10m +=时，即1m =-，则由()20f x x =-<，得2x <，不合题意， 当10m +≠，即1m ≠-时，由不等式()0f x <的解集为∅得()()210Δ4110m m m m +>⎧⎨=-+-≤⎩，解得3m ≥，所以m 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭； （2）因为()f x m ≥，所以()2110m x mx +--≥，即()()1110m x x ⎡⎤++-≥⎣⎦， 当10m +=，即1m =-时，解得1x ≥，所以不等式的解集为[)1,+∞， 当10m +>，即1m >-时，()1101x x m ⎛⎫+-≥ ⎪+⎝⎭， 因为101m -<+，所以不等式的解集为[)1,1,1m ⎛⎤-∞-+∞ ⎥+⎝⎦，当10m +<，即21m -<<-时，()1101x x m ⎛⎫+-≤ ⎪+⎝⎭， 因为21m -<<-，所以110m -<+<，所以111m ->+， 所以不等式的解集为11,1m ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦， 综上，当1m =-，不等式的解集为[)1,+∞，当1m >-时，不等式的解集为[)1,1,1m ⎛⎤-∞-+∞ ⎥+⎝⎦，当21m -<<-时，不等式的解集为11,1m ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦； （3）因为不等式()0f x ≥的解集为D ，且[]1,1D -⊆，所以对任意的[]1,1x ∈-，不等式()2110m x mx m +-+-≥恒成立，即()2211m x x x -+≥-+，因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭所以22212111x x m x x x x -+-≥=-+-+-+恒成立，令2t x =-，则[]1,3t ∈，2x t =-， 所以2222131(2)(2)1333x t t x x t t t t t t-===-+---+-++-，由基本不等式可得3y t t =+≥=3t t=，即t =时取等号，所以当2x =221x x x --+取最大值，最大值为1-+=， 所以m的取值范围为,3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭． 21．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分 【答案】解： （1）[)()()()1,f x g x x x x -===∈+∞在区间[)1,+∞上单调递减，且(]()()0,1f x g x -∈，得证． （2）因为函数()31g x x =+是函数()3mf x x x=+在区间[)4,+∞上的弱渐近函数， 所以()()11mf xg x x-=-≤，在区间[)4,+∞上恒成立，即08m ≤≤． （3）不存在。
2022-2023学年山东省菏泽市成武高一年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省菏泽市成武高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度是（ ）A ．B ．C ．D ．π3π3-π6π6-【答案】B【分析】利用分针转一周为分钟，转过的角度为，得到分针是一周的六分之一，进而可得602π10答案．【详解】∵分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨快是顺时针旋转，602π∴分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度数为.10π2π603-⨯=-故选：B2．设，则的大小关系为（ ）0.30.20.212,,log 0.32a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A ．B ．a b c <<b a c <<C ．D ．b<c<a c<a<b【答案】D【分析】可以根据指数函数和对数函数的单调性得出的范围，然后即可得出的大小关系.,,a b c ,,a b c 【详解】解：，，0.30.30.201()22212-=>>= 0.20.2log 0.3log 0.21<=∴．c<a<b 故选：D3．已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）()(1)nf x a x =-(2,8)(2)(12)f b f b -<-b A ．B ．C ．D ．(0,1)(1,2)(,1)-∞(1,)+∞【答案】C【解析】先根据题意得幂函数解析式为，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.3()f x x =【详解】解：因为幂函数的图像过点，()(1)nf x a x =-(2,8)所以，所以，所以，1128n a -=⎧⎨=⎩23a n =⎧⎨=⎩3()f x x =所以，解得：．(2)(12)212f b f b b b -<-⇔-<-1b <故的取值范围是.b (,1)-∞故选：C.【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.14．sin 345︒=ABC ．D．【答案】A【分析】直接利用诱导公式以及两角差的正弦公式即可求出．【详解】()()sin 345sin 36015sin15sin 4530︒=︒-︒=-︒=-︒-︒，故选A．12⎫=-=⎪⎪⎭【点睛】本题主要考查诱导公式和两角差的正弦公式应用．5．设函数在区间内有零点，则实数a 的取值范围是（ ）()32log x f x a x +=-()1,2A ．B ．C ．D ．()31,log 2--()30,log 2()3log 2,1()31,log 4【答案】C 【分析】令得，由复合函数单调性即可求解.()0f x =32log x a x +=【详解】令得，令，由复合函数单调性可知，当()0f x =32log x a x +=()3322log log 1x h x x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭时，单减，，，故，要使在()1,2x ∈()h x ()32log 2h =()31log 31h ==()()3log 2,1h x ∈()32log x f x a x +=-区间内有零点，即.()1,2()3log2,1a ∈故选：C 6．已知函数，则其图象可能是（ ）()2cos 4x xf x x =-A ．B ．C．D．【答案】C【分析】从奇偶性，特殊点处的函数值的正负即可判断.【详解】函数的定义域为，其定义域关于原点对称，{}|2x x ≠±由函数的解析式可得：，()()f x f x -=-则函数图象关于坐标原点对称，选项B,D 错误；而，选项A 错误，C正确；06f π⎛⎫=< ⎪⎝⎭故选：C.7．已知函数，下列说法正确的有（ ）()tan 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭①函数最小正周期为；()f x 2π②定义域为|R,,Z 28k x x x k ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭③图象的所有对称中心为；()f x ,0,Z 48k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭④函数的单调递增区间为．()f x 3,,Z 2828k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据正切函数的图象与性质，代入周期、定义域、对称中心和单调递增期间的公式即可求解.【详解】对①，函数，可得的最小正周期为，所以①正确；()tan 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 2T π=对②，令，解得，2,Z42x k k πππ-≠+∈3,Z 82k x k ππ≠+∈即函数的定义域为，所以②错误；()f x 3{|,Z}82k x x k ππ≠+∈对③，令，解得，所以函数的图象关于点2,Z 42k x k ππ-=∈,Z 84k x k ππ=+∈()f x 对称，所以③正确；,0,Z 48k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭对④，令，解得，故函数的单调递2,Z242k x k k πππππ-<-<+∈3,Z 2828k k x k ππππ-<<+∈()f x 增区间为，所以④正确；3,,Z 2828k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭故①③④正确；故选：C8．若函数y ＝f （x ）（x ∈R ）满足f （x +2）＝f （x ），且x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＝1﹣x 2，已知函数g （x ），则函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣6，6]内的零点的个数为（ ）lg 0xx x e x ⎧=⎨⎩，＞，＜A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】B【分析】由题意可判断函数y ＝f （x ）在R 上是周期为2的函数，从而作出函数f （x ）与g （x ）的图象，得到交点的个数即可．【详解】∵f （x+2）＝f （x ），故函数y ＝f （x ）在R 上是周期为2的函数，作出函数f （x ）与g （x ）的图象如下，由于当时，，因此在轴左侧有6个交点；0x <01xe <<y [6,0)-当时，，，因此在轴右侧有6个交点；0x >max ()1f x =lg 61<y (0,6]综上可知函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣6，6]内的零点的个数为12个．二、多选题9．下列计算正确的有（ ）A ．B ．120318202072-⎛⎫++= ⎪⎝⎭522545log lg lg +-=C ．D ．()20.50.51log log=2=【答案】AB【分析】利用指数的运算性质可判断A ；利用对数的运算性质可判断B 、C ；由根式的性质可判断D.【详解】，正确；120318202024172-⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭A ，B 正确；52254525421002220log lg lg lg lg lg +-=+-=-=-=，C 不正确；()20.520.510log log log ==，D 不正确.21122a a a =-+-=-故选：AB.10．下列函数中，最小正周期为的是（ ）π2A ．B ．cos y x=sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．cos 24y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭tan2y x=【答案】BD【分析】首先根据函数的性质判断出A 错误，然后再根据三角函数的周期计算公式可判断cos y x =选项C 错误，选项B 和D 正确.【详解】对于A ，由函数的性质可知：函数的最小正周期为，故选项A 错误；cos y x =cos y x=π对于B ，由正弦函数的周期公式可得：，最小正周期为，故选项B 正确；2ππ42T ==π2对于C ，由余弦函数的周期公式可得：，最小正周期为，故选项C 错误；2ππ2T ==π对于D ，由正切函数的周期公式可得：，最小正周期为，故选项D 正确；ππ22T ==π211．设函数，则下列结论正确的是（ ）()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．的一个周期为B ．的图象关于直线对称()f x 2π-()y f x =83x π=C ．的一个零点为D ．在上单调递减()f x π+6x π=()f x ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】根据周期、对称轴、零点、单调性，结合整体思想即可求解.【详解】对于A 项，函数的周期为，，当时，周期，故A 项正确；2k π,0k k ∈≠Z 1k =-2T π=-对于B 项，当时，为最小值，此时的83x π=89cos cos cos cos3cos 13333x ππππ⎛⎫⎛⎫+=+=-π=π=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =图象关于直线对称，故B 项正确；83x π=对于C 项，，，所以的一个零点为，故4()cos 3f x x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭43cos cos 0632πππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭()f x π+6x π=C 项正确；对于D 项，当时，，此时函数有增有减，不是单调函数，故D 项错2x ππ<<54633x πππ<+<()f x 误.故选：ABC.12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）()25()log 23f x x x =--A ．函数的单调递增区间是()f x [1,)+∞B ．函数的值域是R()f x C ．函数的图象关于对称()f x 1x =D ．不等式的解集是()1f x <(2,1)(3,4)-- 【答案】BCD【解析】根据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.【详解】对于A:因为为增函数,所以求的单调递增区间即求()5log f x x=()25()log 23f x x x =--的单调递增区间,即.又对数函数的定义域有,解得.故函223t x x =--[)1,+∞2230x x -->()3,x +∈∞数的单调递增区间是.A 错误；()f x ()3,+∞对于B ：，由对数函数的定义域解得：，则，由于，223t x x =--()(),13,x ∈-∞-+∞ 2log y t =0t >所以，即函数的值域是，B 正确；R y ∈()f x R 对于C:,关于对称，所以函数的图象关于对称，故C 正确；()222312t x x x =--=--1x =()f x 1x =对于D: ,即，解得：，故D 正确；()25log 231x x --<22230235x x x x ⎧-->⎨--<⎩(2,1)(3,4)x ∈-- 故选：BCD.三、填空题13．已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________.23π3π【答案】2π【解析】利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果．r 【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为，23απ=3π则扇形的面积，解得：，221123223S r r παπ==⨯⨯=3r =此扇形所含的弧长.2323l r παπ==⨯=故答案为：.2π14．已知函数的图象恒过点，且点在角的终边上，则的值()()log 130,1a y x a a =-+>≠A A αsin α为______.【分析】根据对数函数过定点的求法可求得点坐标，由三角函数定义可直接得到结果.A【详解】当时，，，.2x =log 133a y =+=()2,3A ∴sin α∴==15．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式<0的解集为________.()()f x f x x --【答案】(－1，0)∪(0，1)【分析】首先根据奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，得到f (－1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数，从而将不等式转化为或，进而求得结果.0()0x f x >⎧⎨<⎩0()0x f x <⎧⎨>⎩【详解】因为f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (1)＝0，所以f (－1)＝－f (1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数.因为＝2·<0，()()f x f x x --()f x x 即或0()0x f x >⎧⎨<⎩0()0x f x <⎧⎨>⎩解得x ∈(－1，0)∪(0，1).故答案为：(－1，0)∪(0，1).【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数奇偶性与单调性的应用，属于简单题目.16．已知，且是第二象限角．则的值为__________．3cos 5α=-α()()()sin 6cos sin tan 2απαπααπ+-⎛⎫+- ⎪⎝⎭【答案】##-0.635-【分析】由诱导公式化简求值.【详解】由，∴.3cos 5α=-()()()sin 6πcos sin cos sin cos 3cos πcos tan sin 5sin tan π2αααααααααααα+-====-⎛⎫+- ⎪⎝⎭故答案为：35-四、解答题17．计算下列各式的值：(1)；)21132330.0021028---⎛⎫-+-⨯+ ⎪⎝⎭(2)7log 2log lg25lg47++0.53954-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()281lg500lg lg6450lg2lg5+-++【答案】(1)1679 -(2)15 4(3)2 e3 +(4)52【分析】（1）（3）利用指数的运算性质化简可得所求代数式的值；（2）（4）利用对数的运算性质化简可得所求代数式的值.【详解】（1）解：原式())212123232331271315001021 85008----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+=+-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4167201.99=+-+=-（2）解：原式143115log3lg100222.44-=++=-++=（3）解：原式．20.52211e e33⨯⎛⎫=-++=+⎪⎝⎭（4）解：原式.()2881lg500lg lg850lg10lg50050lg1005052558⎛⎫=+-+=⨯⨯+=+=⎪⎝⎭18．已知函数．()π2sin2,R4f x x x⎛⎫=-∈⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间；()f x(2)求函数在区间上的值域．()f xππ,44⎡⎤-⎢⎣⎦【答案】(1)π3ππ,π,88k k k⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)⎡-⎣【分析】（1）根据复合函数的单调性可知，内层函数单调递增，找外层函数的单调递增区间整体代入化简求解.(2)根据的范围，求出内层函数的范围，根据内层函数的范围求函数的值域.xπ24x-【详解】（1）证明：令，πππ2π22π,242k x k k-+≤-≤+∈Z得π3πππ,.88k x k k -+≤≤+∈Z 所以函数的单调递增区间：．()f x π3ππ,π,88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）因为，所以．ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦π3ππ2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以．πsin 24x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣当，即时，；ππ242x -=-π8x =-min ()2f x =-当，即时，．ππ244x -=π4x =max ()f x =所以函数在区间上的值域为．()f x ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎡-⎣19．如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边xOy αx 与单位圆交于点，11(,)P x y cos α=(1)求的值；1y (2)将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，求的值；OP O π222(,)M x y 2x (3)若点与关于轴对称，求的值.N M x tan MON ∠【答案】(1)1y =(2)2x =(3)43-【分析】（1）由三角函数的定义得到，再根据且点在第一象限，即可求出；1x 22111x y +=P 1y （2）依题意可得，再由（1），即可得解；2πcos()sin 2x αα=+=-1sin y α=（3）首先求出的坐标，连接交轴于点，即可得到，再利用二倍角公式计N MN x Q tan 2MOQ ∠=算可得；【详解】（1）解：因为角的终边与单位圆交于点，且α11(,)P xy cos α=由三角函数定义，得.1x =因为，所以.22111x y +=221115y =-=因为点在第一象限，11(,)P x y 所以1y =（2）解：因为射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，OP O π222(,)M x y 所以.2πcos()sin 2x αα=+=-因为，1sin y α=所以.2x =（3）解：因为点与关于轴对称，N M x 所以点的坐标是.N (连接交轴于点，所以． MN x Q tan 2MOQ ∠=所以tan tan 2MON MOQ∠=∠.222tan 2241tan 123MOQ MOQ ∠⨯===--∠-所以的值是.tan MON ∠43-20．已知定义域为 的函数是奇函数.R 2()2xxb f x a -=+(1)求 的值;,a b (2)用定义证明 在上为减函数;()f x (,)-∞+∞(3)若对于任意 ，不等式 恒成立，求的范围.R t ∈()()22220f t t f t k -+-<k 【答案】(1)，.1a =1b =(2)证明见解析.(3)1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数性质即可求得答案.（2）根据函数单调性的定义即可证明结论.（3）利用函数的奇偶性和单调性将恒成立，转化为对任意的()()22220f t t f t k -+-<232k t t <-都成立，结合求解二次函数的最值，即可求得答案.R t ∈【详解】（1）为上的奇函数，，可得()f x R 002(0)02b f a -∴==+1b =又 , ,解之得,(1)(1)f f -=-11121222aa ----∴=-++1a =经检验当 且时， ，1a =1b =12()21xxf x -=+满足是奇函数,1221()()2112x x x xf x f x -----===-++故，.1a =1b =（2）由（1）得，122()12121x x xf x -==-+++任取实数 ，且，12,x x 12x x <则 ，()()()()()211212122222221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，可得，且，故，12x x < 1222x x <()()1221210x x ++>()()()211222202121x x x x ->++，即，()()120f x f x ∴->()()12f x f x >所以函数在上为减函数;()f x (,)-∞+∞（3）根据 （1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数.()f x (,)-∞+∞不等式恒成立，∴()()22220f t t f t k -+-<即恒成立，()()()222222f t t f t k f t k-<--=-+也就是:对任意的都成立，2222t t t k ->-+R t ∈即对任意的都成立，232k t t <-R t ∈ ，当时取得最小值为，221132333t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ 13t =232t t -13-，即的范围是.13k ∴<-k 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭21．已知函数的最小正周期．()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+< ⎪⎝⎭π(1)求函数单调递增区间；()f x (2)若函数在上有零点，求实数的取值范围．()()g x f x m =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】(1)5,,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)[]2,1m ∈-【分析】（1）由最小正周期求得，函数式化简后由正弦函数的单调性求得结论；ω（2）转化为求在上的值域．()f x [0,]2π【详解】（1）因为函数的最小正周期，()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+< ⎪⎝⎭π所以，由于，所以．2T ππω==0ω<2ω=-所以，()2sin 22sin 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数单调递增区间，只需求函数的单调递减区间，()f x 2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，解得，3222,Z262k x k k πππππ+-+∈ 5,Z 36k x k k ππππ+≤≤+∈所以函数单调递增区间为．()f x 5,,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）因为函数在上有零点，()()g x f x m =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以函数的图像与直线在上有交点，()y f x =y m =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为，50,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故函数在区间上的值域为()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]2,1-所以当时，函数的图像与直线在上有交点，[]2,1m ∈-()y f x =y m =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以当时，函数在上有零点．[]2,1m ∈-()()g x f x m =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦22．已知函数.44()log (2)log (4)f x x x =++-（1）求的定义域；()f x （2）若函数，且对任意的，，恒成立，求实1()42x x g x a a +=⋅--1[5,6]x ∈2[1,2]x ∈()()12f x g x <数a 的取值范围.【答案】（1）.（2）（2，+∞）.(4,)+∞【解析】（1）使对数式有意义，即得定义域；（2）命题等价于，如其中一个不易求得，如不易求，则转化为max min ()()f x g x <min ()g x 恒成立，再由其它方法如分离参数法求解或由二次不等式恒成立问题求解．max ()()f x g x <【详解】（1）由题可知且，20x +>40x ->所以.>4x 所以的定义域为.()f x (4,)+∞（2）由题易知在其定义域上单调递增.()f x 所以在上的最大值为，()f x [5,6]x ∈4(6)log 162f ==对任意的恒成立等价于恒成立.1[5,6],x ∈2[1,2],x ∈()()12f x g x <max ()2()f x g x =<由题得.()2()222x x g x a a=⋅-⋅-令，则恒成立.2([2,4])x t t =∈2()22h t a t t a =⋅-->当时，，不满足题意.0a =1t <-当时，，a<022242482a a a a ⎧⋅-->⎨⋅-->⎩解得，因为，所以舍去.2a >a<0当时，对称轴为，0a >1t a =当，即时，，所以；12a <12a >2242a a ⋅-->2a >当，即时，，无解，舍去；124a ≤≤1142a ≤≤2122a a a a ⎛⎫⋅--> ⎪⎝⎭当，即时，，所以，舍去.14a >10a 4<<2482a a ⋅-->23a >综上所述，实数a 的取值范围为（2，+∞）.【点睛】本题考查求对数型复合函数的定义域，不等式恒成立问题．解题时注意转化与化归思想的应用．。
2021-2022学年江西省抚州市临川第二中学高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
2021-2022学年江西省抚州市临川第二中学高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．()sin 600-︒的值为（ ）A B ．C ．12D ．12-【答案】A【分析】根据任意角的周期性，结合诱导公式求()sin 600-︒的值.【详解】由题设，()sin 600sin(2360120)sin120-︒=-⨯︒-︒=︒=故选：A2．已知扇形OAB 的圆心角为4rad ，其面积是28cm ，则该扇形的弧长是（ ）A ．8cmB ．4cmC ．D ． 【答案】A【分析】根据圆心角和面积可求半径和弧长.【详解】设扇形的半径为R ，则21482R ⨯⨯=，故2R =，故弧长为428l cm =⨯=. 故选：A.3．设0a <，角α的终边经过点()3,4P a a -，那么sin 2cos αα+=（ ） A ．25B ．23-C ．23D ．25-【答案】A【详解】依题意有5OP a =-,所以43sin ,cos 55αα=-=,所以462sin 2cos 555αα+=-+=,故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，三角函数的正负.对于给定角的终边上一点,求出角的正弦值,余弦值和正切值的题目,首先根据三角函数的定义求得r 然后利用三角函数的定义,可直接计算得sin ,cos ,tan y x yr r xααα===.本题由于点的坐标含有参数,要注意三角函数的正负. 4．已知角α第二象限角，且cos cos22αα=-，则角2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C【分析】由α是第二象限角，知2α在第一象限或在第三象限，再由cos cos 22αα=-，知cos02α≤，由此能判断出2α所在象限． 【详解】因为角α第二象限角,所以()90360180360Z k k k α+⋅<<+⋅∈， 所以()4518090180Z 2k k k α+⋅<<+⋅∈，当k 是偶数时，设()2Z k n n =∈，则()4536090360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第一象限角； 当k 是奇数时，设()21Z k n n =+∈，则()225360270360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第三象限角.； 综上所述：2α为第一象限角或第三象限角，因为cos cos 22αα=-，所以cos 02α≤，所以2α为第三象限角．故选：C ．5．化简()()()()()3πcos πsin 2πcos 2sin πcos πsin 2παααααα⎛⎫++-- ⎪⎝⎭=-----（ ）A ．1B ．1-C ．tan αD ．tan α-【答案】B【分析】直接利用诱导公式化简即可【详解】()()()()()3πcos πsin 2πcos 2sin πcos πsin 2παααααα⎛⎫++-- ⎪⎝⎭-----()()()3πcos sin cos 2sin π+cos π+sin αααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-- cos sin sin sin cos (sin )ααααα-=--cos sin sin 1sin cos sin ααααα==--故选：B6．已知函数πsin()(0,0,||)2y A x B A ωϕωϕ=++>><的周期为T ，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（ ）A ．3,2πA T ==B ．1,2B ω=-=C ．π4π,6T ϕ==-D ．π3,6A ϕ==【答案】C【分析】首先由函数的最大值和最小值，列式求,A B ，再根据23π-和43π之间的距离求ω，最后根据“五点法”中的一个特殊点求ϕ.【详解】由题图得2,4,A B A B +=⎧⎨-+=-⎩得3,1,A B =⎧⎨=-⎩2π4π2π2()4π33T ω==+=，所以12ω=. 又14ππ2π,Z 232k k ϕ⋅+=+∈，得π2π,Z 6k k ϕ=-+∈.又π||2ϕ<，所以π6ϕ=-. 故选：C【点睛】本题考查根据三角函数的图象求函数的解析式，属于基础题型，本题的关键是根据图象，明确每个参数的求解方法.7．函数()3sin 4cos f x x x =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分别代入0，45°，90°，求得函数值，与图像作比较，即可排除BCD. 【详解】解：由()03sin04cos04f =+=，可排除选项B ，由3sin 4cos 3222f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可排除选项D ，由723sin 4cos 44442f πππ⎛⎫=+=> ⎪⎝⎭，可排除选项C ， 故选：A ．8．已知函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ）A ．19π27π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．9π13π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．17π25π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)4π,6π【答案】C【分析】根据在[0,)+∞上，从左到右第3个最大值点小于等于1，第4个最大值点大于1可解.【详解】由π2,42x k k πωπ+=+∈Z 得，2,4k x k ππωω=+∈Z ，则由题知414614ππωωππωω⎧+≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得172544ππω≤<. 故选：C 二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．如果α是第一象限的角，则α-是第四象限的角.B ．如果α，β是第一象限的角，且αβ<，则sin sin αβ<.C ．若角α为锐角，则角2α为钝角.D ．若角2rad α=，则角α为第二象限角. 【答案】AD【分析】由任意角的定义可判断A ；由周期性可判断B ；取特例可判断C ；由弧度制与角度制的关系可判断D.【详解】α与α-一个逆时针旋转，一个顺时针旋转，旋转角度都为α，故如果α是第一象限的角，则α-是第四象限的角，故A 正确；取9,34ππαβ==，易知B 错误；取6πα=，23πα=为锐角，故C 错误；2rad 114.6≈︒，故α为第二象限角，D 正确.故选：AD10．关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论中正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在区间()0,π上递减 C ．()f x 为周期函数 D ．()f x 的值域为[]1,1-【答案】AC【解析】根据奇偶性的定义判断出()f x 为偶函数，A 正确；通过,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 解析式，可知不满足单调递减定义，B 错误；通过分类讨论的方式去掉解析式的绝对值，得到分段函数的性质，可确定函数最小正周期，知C 正确；根据余弦函数值域可确定()f x 值域，知D 错误.【详解】()()()()cos cos cos cos f x x x x x f x -=-+-=+=()f x ∴为偶函数，A 正确；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos cos 0f x x x =-=，不满足单调递减定义，B 错误；当2,222x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，()2cos f x x =；当32,222x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，()0f x = ()f x ∴是以2π为最小正周期的周期函数，C 正确；当2,222x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，()[]2,2f x ∈-，故()f x 值域为[]22-,，D 错误. 故选：AC【点睛】本题考查与余弦型函数有关的函数的性质及值域的相关命题的辨析，涉及到函数奇偶性、单调性、周期性和值域的求解；关键是能够通过分类讨论的方式确定函数在不同区间内的解析式，进而研究函数性质.11．已知函数()1212()tan ,,,22f x x x x x x ππ⎛⎫=∈-≠ ⎪⎝⎭,则下列结论中正确的是A ．()()11f x f x π+=B ．()()11f x f x -=C ．()()12120f x f x x x ->-D ．()()()121212022f x f x x x f x x ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭【答案】AC【解析】根据正切函数的周期性可得A 正确，根据奇偶性判断B 错误，根据单调性判断C 正确，结合函数图象即可判断D 错误. 【详解】()tan f x x =的周期为π,故A 正确； 函数()tan f x x =为奇函数,故B 不正确；C 表明函数为增函数，而()tan f x x =为区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的增函数,故C 正确；由函数()tan f x x =的图像可知，函数在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭,在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭,故D 不正确.故选：AC【点睛】此题考查正切函数图象性质的辨析，涉及单调性，奇偶性周期性，结合图象理解凹凸性.12．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,0A ωϕπ>><<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()sin()f x A x ωϕ=+中,2T πω== B ．直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴C ．点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心D ．函数1y =与35()1212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π【答案】ACD【分析】首先根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案．【详解】解：函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，0)ϕπ<<的图象关于点5(,0)12M π成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2(,3)3N π-， 则2543124T πππ=-=， T π∴=，进一步解得22πωπ==，3A =，故A 正确．由于函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，0)ϕπ<<的图象关于点5(,0)12M π成中心对称，52()12k k Z πϕπ∴⨯+=∈， 解得56k ϕπ=π-， 由于0ϕπ<<，∴当1k =时，6π=ϕ． ()3sin(2)6f x x π∴=+．对于B ：当2x π=时，3()3sin262f ππ=-=-，故B 不正确； 对于C ：由26x k ππ+=，k Z ∈，解得212k x ππ=-，k Z ∈， 当0k =时，对称中心为：,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ：由于：351212xππ-， 则：0266x ππ+，∴函数()f x 的图象与1y =有6个交点．根据函数的交点设横坐标从左到右分别为1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x ，由2262x k πππ+=+，k Z ∈，解得6x k ππ=+，k Z ∈，所以12263x x ππ+=⨯=，432263x x ππππ⎛⎫+=⨯+=+ ⎪⎝⎭，5622463ππx x ππ⎛⎫+=⨯+=+ ⎪⎝⎭，所以156423247333x x x x x x ππππππ+++++=++++=所以函数的图象的所有交点的横坐标之和为7π，故D 正确．∴正确的判断是ACD ． 故选：ACD ． 三、填空题13．已知tan 3α=，则sin 2cos sin cos αααα+=-______.【答案】522.5【分析】根据齐次式弦化切即可求解. 【详解】因为tan 3α=， 所以sin 2cos tan 2325sin cos tan 1312αααααα+++===---，故答案为：5214．将函数()()()sin 0f x x φφπ=+<<的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移6π个单位后，所得图象关于原点对称，则φ的值为______． 【答案】12π 【详解】将函数()()()sin 0f x x φφπ=+<<的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变得到1sin 2y x φ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将图象向右平移6π个单位，得到1sin 26y x πφ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即1sin 212y x πφ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其图象关于原点对称.∴k πk Z 12πφ-=∈，，k π12πφ=+，又0φπ<< ∴12πφ=故答案为12π15．方程2sin 2103x a π⎛⎫++-= ⎪⎝⎭在[0,]π上有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________.【答案】113,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】画出函数图像，根据图像知2sin [3,2]3x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，计算3122a ≤-<得到答案.【详解】2sin 210,2sin 1233x a x a ππ⎛⎫⎛⎫++-=∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵[0,]x π∈，∴4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴2sin [3,2]3x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，当3122a ≤-<时，原方程有两个不相等的实数根，故11322a --<≤. 故答案为：113,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了根据方程根的个数求参数，画出三角函数图像是解题的关键. 16．汽车正常行驶中，轮胎上与道路接触的部分叫轮胎道路接触面.如图，一辆小汽车前左轮胎道路接触面上有一个标记P ，标记P 到该轮轴中心的距离为0.3m .若该小汽车启动时，标记P 离地面的距离为0.45m ，汽车以64.8km/h 的速度在水平地面匀速行驶，标记P 离地面的高度()f x （单位：m ）与小汽车行驶时间x （单位：s ）的函数关系式是()()sin f x A x b ωϕ=++，其中0A >，0>ω，2πϕ<，则()f x =_______________________.【答案】0.3sin 600.36x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭【分析】根据速度、车轮直径，计算出周期，利用三角函数的图像和性质进行求解. 【详解】由题意，汽车的速度64.8km/h=18m/s v =，轮胎的半径0.3m r =，所以周长20.6l r ππ==所以10.61830l T v ππ==⋅=，又2T w π=，所以230w ππ=，60w =.因为P 到该轮轴中心的距离为0.3m ，所以0.3A =，0.3b =， 即()()0.3sin 600.3f x x ϕ=++，∵刚开始启动时，P 离地面的距离为0.45m ，∴0x =时，()00.45f =，即0.3sin 0.30.45ϕ+=，得sin 0.5ϕ=， ∵2πϕ<，∴6π=ϕ，即()0.3sin 600.36f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.故答案为：()0.3sin 600.36f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.四、解答题17．求下列函数的定义域： （1）2sin 3y x =-（2）lg(12)12cos y x x =+.【答案】（1）22/,2cot ()33x k πππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ； （2）3572,22,2()4444x k k k k ππππππππ⎛⎤⎡⎫∈++⋃++∈ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Z . 【分析】（1）由题可得2sin 30x ，即3sin 2x，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，即可得答案；（2）由题可得12cos 012cos 0x x ⎧->⎪⎨+⎪⎩即22cos 22x -<，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，即可得答案.【详解】（1）∵2sin 30x -≥，∴3sin 2x，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，如图①所示，可得22,2()33x k k k ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z .①（2）∵12cos 012cos 0x x ⎧->⎪⎨+⎪⎩∴22cos 22x -<，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，如图②所示，可得3572,22,2()4444x k k k k k ππππππππ⎛⎤⎡⎫∈++⋃++∈ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Z .②【点睛】本题考查借助三角函数线解三角不等式问题，属于基础题.18．已知函数()()πsin 204f x a x a b a ⎛⎫=+++> ⎪⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(1)若函数()f x 的值域为2,2⎡⎤-⎣⎦，求常数a ，b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间. 【答案】(1)2a =，2b =-(2)单调递增区间：π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间：ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)根据x 的范围先求24x π+的范围，从而得πsin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，结合已知列方程组可解；(2)利用正弦函数的单调区间直接求解可得.【详解】(1)因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 214x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，因为0a >，由题可得22(12a b a b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩2a =，2b =- (2)由(1)知()π2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2442x πππ≤+≤得08x π≤≤，由52244x πππ≤+≤得82x ππ≤≤，则函数()f x 的单调增区间为π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间为ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 19．已知函数f （x ）＝（3ωx 3π+），其中ω＞0． （1）若f （x +θ）是最小周期为2π的偶函数，求ω和θ的值； （2）若f （x ）在（0，3π]上是增函数，求ω的最大值． 【答案】（1）ω13=，θ＝kπ6π+，k ∈Z ．（2）最大值为16．【解析】（1）先求得()f x θ+的表达式，根据()f x θ+的最小正周期和奇偶性，求得,ωϕ的值，（2）先有0,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求得3,333x πππωωπ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，由32ππωπ+≤求得ω的最大值.【详解】（1）由f （x ）＝（3ωx 3π+），其中ω＞0， ∴f （x +θ）＝（3ωx +3ωθ3π+）， ∵f （x +θ）是最小周期为2π的偶函数， ∴23πω=2π，∴ω13=，∵3ωθ33ππθ+=+=kπ2π+，k ∈Z ，即 θ＝kπ6π+，k ∈Z ．综上可得，ω13=，θ＝kπ6π+，k ∈Z ．（2）（x ）＝（3ωx 3π+）在（0，3π]上是增函数，在（0，3π]上，3ωx 3π+∈（3π，ωπ3π+]，∴ωπ32ππ+≤，∴ω16≤，即ω的最大值为16．【点睛】本小题主要考查根据三角函数的周期性和奇偶性求参数值，考查根据三角函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.20．设函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，已知函数()y f x =的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点π,08M ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.(1)求()f x 的单调区间；(2)求不等式()1f x -≤.【答案】(1)单调递增区间：3πππ,π8282k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，无递减区间(2)ππππ,42242k kx x k ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 【分析】（1）根据函数周期性，结合函数图象过的点的坐标，代值计算即可求得参数，则解析式可求；利用整体法代换法，即可求得函数的单调区间；（2）根据（1）中所求解析式，利用正切函数的单调性，即可解得不等式. 【详解】(1)由题意知，函数f (x )的最小正周期为T ＝2π， 即2ππω=，因为ω>0，所以ω＝2，从而f (x )＝tan(2x ＋φ)， 因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以2×8π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π＋4π，k ∈Z .因为0<φ<2π，所以φ＝4π，故f (x )＝tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.令－2π＋k π<2x ＋4π<2π＋k π，k ∈Z ，得3244k x k k Z ππππ-+<<+∈，， 即38282k k x k Z ππππ-+<<+∈，所以函数的单调递增区间为3,8282k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，无单调递减区间． (2)由（1）知，f (x )＝tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由－1≤tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭得2443k x k k πππππ-+≤+≤+∈，Z ，即42242k k x k ππππ-+≤≤+∈，Z 所以不等式－1≤f (x42242k k xx k ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，. 21．已知函数()253sin cos 82f x x a x a =++-.(1)当0a =时，求()f x 的最小值；(2)是否存在实数a ，使得函数()f x 在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1？若存在，求出对应a 的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)32-(2)存在，32a =【分析】（1）首先求出函数解析式，再根据二次函数的性质计算可得；（2）利用同角三角函数的基本关系对函数解析式化简整理，进而利用x 的范围确定cos x 的范围，根据二次函数的性质对a 的范围进行分类讨论，求得函数的最大值． 【详解】(1)解：当0a =时()23sin 2f x x =-，因为[]sin 1,1x ∈-，所以当sin 0x =，即,x k k Z π=∈时()min 32f x =-；(2)解：因为()253sin cos 82f x x a x a =++-，所以()2253511cos cos cos cos 8282f x x a x a x a x a =-++-=-++-所以()2251cos 2482f a a a x x ⎛⎫=--++- ⎪⎝⎭ 当02x π时，0cos 1x ，若12a >，即2a >，则当cos 1x =时53182max y a a =+-=，20213a ∴=<（舍去） 若012a 即02a ，则当cos 2a x =时，2511482max a y a =+-=， 32a ∴=或4a =-（舍去）． 若02a <，即0a <时，则当cos 0x =时，51182max y a =-=，1205a ∴=>（舍去）． 综上所述，存在32a =符合题设． 22．已知函数()2sin(2)16f x x πω=++．(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min π2x x -=，求()f x 的对称中心； (2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，π3x =是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[,]m n （,m n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值；(3)已知函数π()cos(2)23(0)6h x a x a a =--+>，在第（2）问条件下，若对任意1π[0,]4x ∈，存在2π[0,]4x ∈，使得12()()h x g x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,或()ππ1Z 122k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,; (2)13π9; (3)80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）由()()()12f x f x f x ≤≤，12min π2x x -=可求得函数()f x 的最小正周期，进而确定参数ω的值，再由整体代换即可求得对称中心；（2）由三角函数的平移变换求得()g x 的解析式，再由零点的定义确定参数ω的值，结合图象可得n m -的最小值；（3）将所给条件转化为()h x 和()g x 的值域的包含关系，即可求得参数a 的取值范围．【详解】(1)∵()2sin(2)16f x x πω=++的最小正周期为2π2T ω=，又∵()()()12f x f x f x ≤≤，12min π2x x -=，∴()f x 的最小正周期是π， 故2ππ2T ω==，解得1ω=±， 当1ω=时，()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由()()πππ2πZ Z 6122k x k k x k +=∈⇒=-+∈，()f x 的对称中心为()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，； 当1ω=-时，()π2sin 216f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，由()()πππ2πZ Z 6122k x k k x k -+=∈⇒=-∈，()f x 的对称中心为()ππ1Z 122k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，； 综上所述，()f x 的对称中心为()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,或()ππ1Z 122k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,. (2)∵函数()f x 图象向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象， ∴ππ2sin 216)3(x g x ωω⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.又∵π3x =是()g x 的一个零点，π2ππ(π2sin 1=03363)g ωω⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=，即ππ1sin =362ω⎛⎫+- ⎪⎝⎭， ∴ππ7π2π366k ω+=+或ππ11π2πZ 366k k ω+=+∈，， 解得()36Z k k ω=+∈或()56Z k k ω=+∈， 由05ω<<可得3ω=∴5π2)6(sin 61g x x ⎛⎫-⎝=+ ⎪⎭，最小正周期π3T =.令()0g x =，则5π1sin 662x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即15ππ62π66x k -=-+或25π5π62πZ 66x k k -=-+∈，，解得1ππ39k x =+或2π3k x =，12,Z k k ∈；若函数()g x 在[,]m n （,m n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，故46T n m T <-<要使n m -最小，须m 、n 恰好为()g x 的零点，故()min ππ13π4+=399n m -=⨯. (3)由（2）知5π2)6(sin 61g x x ⎛⎫-⎝=+ ⎪⎭，对任意1π[0,]4x ∈，存在2π[0,]4x ∈，使得12()()h x g x =成立，则{|()}{|()}y y h x y y g x =⊆=，当2π[0,]4x ∈时，[]()[]25π5π2π5π6,,sin 61,1,1,36636x x g x ⎡⎤⎛⎫-∈--∈-∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当1π[0,]4x ∈时，()1ππππ132,,cos 2,1,3,3663622x x h x a a ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤-∈--∈∈-+-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦，由{|()}{|()}y y h x y y g x =⊆=可得0331233a a a >⎧⎪⎪-+≥-⎨⎪-+≤⎪⎩，解得80,3a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故实数a 的取值范围为80,3⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题第（3）小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min max f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。
2022-2023学年山东省实验中学高一年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省实验中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．下列各角中，与735°终边相同的角是（ ）A ．5°B ．15°C ．25°D ．35°【答案】B【解析】利用终边相同的角的集合求解.【详解】，所以与的终边相同.735236015=⨯+ 15 735故选：B2．已知扇形的半径是2，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ）A ．1B ．4C ．2D ．14【答案】B【分析】扇形的圆心角的弧度数为,半径为,弧长为,面积为,由面积公式和弧长公式可得到关αR l S 于和的方程,进而得到答案.l R 【详解】由扇形的面积公式得:,12S lR=因为扇形的半径长为,面积为，则281822l=⨯⨯所以扇形的弧长.8l =设扇形的圆心角的弧度数为,α由扇形的弧长公式得:，且||l R α=2R =即，解得，所以扇形的圆心角的弧度数是4.82α=4α=故选：B.3．函数的零点所在区间为（ ）()2ln 6x f x x =+-A ．B ．C ．D ．()1,2()2,3()3,4()4,5【答案】C 【分析】结合的单调性以及零点存在性定理求得正确选项.()f x 【详解】在上递增，()f x ()0,∞+，()332ln 33ln 9ln 0f e =-=-<，()()()42ln 422ln 412ln 4ln 0f e =-=-=->，所以的唯一零点在区间.()()340f f ⋅<()f x ()3,4故选：C4．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：(,)(1,2,,20)i i x y i =由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ）A ．B ．y a bx =+2y a bx =+C ．D ．e xy a b =+ln y a b x=+【答案】D【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.y x ln y a b x =+故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.5．若是第四象限角，则点在（ ）α()cos ,tan P ααA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据题意可判断的余弦和正切的符号，进而判断点横纵坐标的正负，得到答案.αP 【详解】因为是第四象限角，所以，即点在第四象限αcos 0,tan 0αα><()cos ,tan P αα故选：D.6．已知，则0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c <<a c b<<c<a<b b<c<a【答案】B【分析】运用中间量比较，运用中间量比较0,a c 1,b c 【详解】则．故选B ．22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=01,c a c b <<<<【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．7．已知函数，若，则（ ）()23log ,031,0xx a x f x x +>⎧=⎨+≤⎩()15f f -=⎡⎤⎣⎦=a A ．-2B ．2C ．-3D ．3【答案】B 【分析】先求出，再由得到关于的方程，从而可求的值.()1f -()15f f -=⎡⎤⎣⎦a a 【详解】，故，故，()141313f --=+=()214log 5f f a -=+=⎡⎤⎣⎦2a =故选：B.8．奇函数的定义域为R ，若为偶函数，且，则的值为()f x ()1f x +()12f =()()20222023f f +（ ）A ．2B ．1C ．－1D ．－2【答案】D【分析】由已知函数的奇偶性可先求出函数的周期，结合奇偶性及函数的周期性把所求函数值转化可求．【详解】由为偶函数，∴，()1f x +()()11f x f x +=-+令，则，即，1x t +=12x t -+=-()()2f t f t =-因为为奇函数，有，所以，()f x ()()f t f t =--()()2f t f t -=--令，得，∴，即函数是周期为4的周期函x t =-()()2f x f x +=-()()()42f x f x f x +=-+=()f x 数，奇函数中，已知，，()f x ()12f =()00f =则．()()()()()()()()20222023505425064121012f f f f f f f f +=⨯++⨯-=+-=--=-故选：D ．9．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A ．B ．1()|1|f x x =-1()1f x x =-C ．D ．21()1f x x =-21()1f x x =+【答案】B【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A 、D ，再根据不成立排除选项C ，即可得()01f =-正确选项.【详解】由图知的定义域为，排除选项A 、D ，()f x {}|1x x ≠±又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C ，0x =()01f =-()01f =故选：B.10．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实()21,23,21x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦数的取值范围为（ ）a A ．B ．C ．D ．()0,1()0,2()0,3()1,3【答案】A【分析】由可得或，数形结合可方程只有()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦()f x a =()1f x =()1f x =解，则直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围.2y a =()y f x =3a 【详解】由可得或，()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦()f x a =()1f x =当时，；当时，.0x ≤()[)21120,1x x f x =-=-∈02x <≤()2121x x f x =-=-作出函数、、的图象如下图所示：()f x 1y =y a =由图可知，直线与曲线有个交点，即方程只有解，1y =()y f x =2()1f x =2所以，方程有解，即直线与曲线有个交点，则.()f x a=3y a =()y f x =301a <<故选：A.二、多选题11．下列函数中在区间上单调递减的函数有（ ）()0,1A ．B ．C ．D ．12y x=()12log 1y x =+1y x =-12x y +=【答案】BC【分析】A 选项根据幂函数的性质判断；B 选项根据对数函数图像的平移变换判断；C 选项根据函数整体绝对值是将下方的图像翻折到上方判断；D 选项根据指数函数图像的平移变换判断；【详解】A 选项:根据幂函数中时在上单调递增，故此选项不符合题意；y x α=0α>()0+∞，B 选项:将 图像向左平移一个单位，所以在上单调递减，所以符12log y x=()12log 1y x =+()+∞-1，合题意；C 选项:保留图像在轴上方的部分，轴下方图像翻折到轴的上方，根据图像可知1y x =-x x x 在上单调递减， 上单调递增，符合题意；1y x =-()1∞-，()1+∞，D 选项：的图像由指数函数 图像向左平移一个单位得到，且底数大于1，所以12x y +=2xy =在R 上单调递增，所以不符合题意。
2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题含答案 (2)
（2）问从种植起，第几年树木生长最快？
22.对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点.已知f(x)＝ax2＋1.
（1）当a＝－2时，求f(x)的不动点；
（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2.
【答案】（1） ；（2） ．
19.已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的定义域，并判断函数 的奇偶性；
（Ⅱ）求解关于 的不等式 ．
【19题答案】
【答案】（Ⅰ）定义域为 ，函数 既不是奇函数，也不是偶函数；（Ⅱ） .
20.已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在区间 上 单调递增区间.
【20题答案】
A. B.
C. D.
【5题答案】
【答案】D
6. “ ”是“ ”成立的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【6题答案】
【答案】B
7.函数 的部分图象如图所示.将 图象上所有的点向右平移 个单位长度，所得图象的函数解析式是（）
A. B.
C. D.
【7题答案】
① 在区间 上是单调的；
②当定义域是 时， 的值域也是 ，则称 是函数 的一个“黄金区间”.
如果 可是函数 的一个“黄金区间“，则 的最大值为（）
A. B.1C. D.2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.若 为第二象限角，则下列结论正确的是（）
A B. C. D.
【9题答案】
2021-2022学年山西省太原市第四十八中学高一年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年山西省太原市第四十八中学校高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．与800°角终边相同的角可以表示为（ ），k ∈Z ． A ．36040k ⋅︒+︒ B ．36060k ⋅︒+︒ C ．36080k ⋅︒+︒ D ．360100k ⋅︒+︒【答案】C【分析】根据终边相同的角的定义可求出.【详解】与800°角终边相同的角可以表示为()11800360802360k k ︒+⋅︒=︒++⋅︒（1k ∈Z ），即36080k ⋅︒+︒（k ∈Z ）．故选：C.2．已知角θ的终边经过点12P ⎛- ⎝⎭，则角θ可以为（ ）A ．56πB ．23π C ．116πD ．53π 【答案】B【分析】求得sin θ，结合P 在第二象限求得θ的值，由此确定正确选项.【详解】依题意sin θ==P 在第二象限，所以22,3k k Z πθπ=+∈， 当0k =时23πθ=，所以B 选项正确，其它选项错误. 故选：B3．若点P 的坐标为()cos2020,sin 2020︒︒，则点P 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】利用终边相同的角相差360°的整数倍，把大角变小角，从而判定角2020︒的终边在第三象限，根据三角函数在各象限内的正负，确定点P 的位置.【详解】因为20205360220︒︒=⨯+︒，所以角2020︒的终边在第三象限，所以cos20200︒<，sin 20200︒<，所以点P 在第三象限．故选：C4．设函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则2(2)(log 6)f f -⋅=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【分析】根据给定分段函数直接计算即可得解【详解】函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则2(2)1log 43f -=+=，2log 62(log 6)223f =÷=，所以2(2)(log 6)9f f -⋅=. 故选：C5．已知2log 3a =，ln3b =，0.12c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）. A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．c<a<b【答案】C【分析】利用对数函数的性质比较,a b ，借助1比较c ． 【详解】易知0.121c -=<，ln31b =>，又31log b e =，31log 2a =，而330log 2log e <<，∴ ab >，∴c b a <<． 故选：C ．【点睛】本题考查幂、对数的比较大小，掌握对数函数与指数函数性质是解题关键．对不同类型的数的大小比较还需借助中间值如0，1等比较． 6．下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是( ) A ．tan 2y x = B ．sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin y x =D ．3cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性，再求函数的周期，然后确定选项．【详解】tan 2y x =是最小正周期为π2的奇函数，故A 错误；sin(2)cos 22y x x π=+=的最小正周期是π是偶函数，故B 错误；|sin |y x =是最小正周期是π是偶函数，故C 错误；3cos(2)sin 22y x x π=-=-最小正周期为π的奇函数，故D 正确﹒ 故选：D ．7．已知1cos 3θ=，则sin 22θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．79C ．23D ．23-【答案】A【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，计算求得结果．【详解】解：由题意可知，2217sin 2cos 22cos 121239πθθθ⎛⎫⎛⎫+==-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.8．函数sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ）A ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎡⎤----∈⎢⎥⎣⎦ B ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．()2πππ,πZ 36k k k ⎡⎤----∈⎢⎥⎣⎦D ．πππ,πZ 63k k k【答案】B 【分析】先化简ππsin()sin()66x x -=--，再根据复合函数单调性列不等式解出单调区间. 【详解】因为ππsin()sin()66x x -=--，所以求πsin()6x -单调减区间等价求πsin()6x -单调增区间， 因为ππ3π2π2π,Z 262k x k k -+≤-≤+∈，所以π2π2π2π,Z 33k x k k -+≤≤+∈ 所以单调减区间为()π2π2π,2πZ 33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦故选：B 9．22511sin sin 1212ππ-=（ ）A B C D ．12【答案】B【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得； 【详解】解：22511sinsin 1212ππ-22()sin sin 12)212(ππππ=--- 22cos sin 1212ππ=-cos6π==故选：B.10．《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=(弦×矢＋矢2)．弧田（如图7-1-5）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为23π，半径为4m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）A ．6m 2B ．9m 2C ．12m 2D ．15m 2【答案】B【分析】根据题设条件计算出弦和矢，再代入弧田面积公式计算作答. 【详解】依题意，弦24sin433π=⨯=，矢44cos23π=-=(m)， 则弧田面积=21(4322)43292+=≈(m 2)，所以弧田面积约是9m 2. 故选：B11．已知3sin()35x π-=，则cos 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．35B ．45C ．35 D ．45-【答案】A【分析】利用换元法设3x πθ-=，则3x πθ=-，然后利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可．【详解】设3x πθ-=，则3x πθ=-，则3sin 5θ=， 则3cos()cos()cos()sin 63625x ππππθθθ+=-+=-==，故选：A ．12．已知函数()()ln ,0e ,0x x xf x x -⎧-<=⎨≥⎩，若关于x 的方程()0m f x -=有两个不同的解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()0,∞+B ．(][),01,-∞+∞C ．(],0-∞D ．(]0,1【答案】D【分析】将问题转化为()f x 与y m =有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得结果. 【详解】()0m f x -=有两个不同解等价于()f x 与y m =有两个不同的交点， 作出()f x 图象如下图所示，由图象可知：当(]0,1m ∈时，()f x 与y m =有两个不同的交点， ∴实数m 的取值范围为(]0,1.故选：D.二、填空题13．25sin 6π⎛⎫= ⎪⎝⎭________________．【答案】12##0.5【分析】利用诱导公式计算即可.【详解】251sin sin 4sin 6662ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：12.14．已知2log 2.016m =，2log 1.016n =，则nm=________． 【答案】12##0.5.【分析】根据指对互化可表示出,m n ，由指数幂的运算性质可求得结果. 【详解】2log 2.016m =，2log 1.016n =， 2.0162m ∴=， 1.0162n =， 1.0162.0162122n m ∴==.故答案为：12.15．若43cos ,cos()55ααβ=+=，且,αβ均为锐角，则sin β=________．【答案】725##0.28 【分析】先求得()sin ,sin ααβ+的值，由()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦可求得sin β的值. 【详解】解：由于,αβ是锐角，所以0αβ<+<π，所以()34sin ,sin 55ααβ=+==，所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦44337555525=⨯-⨯=. 故答案为：725. 16．关于函数1()sin sin f x x x=+有如下四个命题： ①()f x 的图象关于原点对称． ②()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增的．③()f x 的图象关于直线2x π=对称．④()f x 的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】①③【分析】对于①：证明出()f x 为奇函数，即可得到结论；对于②：取0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内的特殊值：46ππ，否定结论；对于③：计算出()()22f x f x ππ-=+，即可证明()f x 的图象关于直线2x π=对称；对于④：取特殊情况当0x π-<<时， 1sin 02sin x x+<<，否定结论. 【详解】对于①：()f x 的定义域为{}|,x x k k Z π≠∈，关于原点对称. 因为11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭， 所以()f x 为奇函数，其图像关于原点对称.故①正确；对于②：取0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内的特殊值：46ππ，.有64ππ<，而15()2622f π=+=，5()42f π<，所以()()64ππ>f f ，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调递增．故②错误；对于③：因为11()sin()cos 22cos sin()2f x x x x x πππ-=-+=+-.而11()sin()cos 22cos sin()2f x x x x x πππ+=++=++.所以()()22f x f x ππ-=+，所以()f x 的图象关于直线2x π=对称．故③正确；对于④：当0x π-<<时，1sin 0,0sin x x <<，所以1sin 02sin x x+<<.故④错误. 真命题：①③ 故答案为：①③【点睛】（1）像这样四种说法互补关联的题目，需要对其一一验证；（2）要判断一个命题成立，需要严格的证明；要判断一个命题不成立，只需举出一个反例即可.三、解答题 17．求下列各式的值(1)2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+(2)3ln 282log 91e lg lg 20log 32+-- 【答案】(1)2 (2)233【分析】根据对数运算法则直接计算即可.【详解】（1）原式()232lg52lg23log 3log 232lg5lg2332=+-⨯+=+-+=. （2）原式()()2ln822log 322233e lg 22lg 2lg 58lg 2lg 581log 3333=++-+=+-+=+-=. 18．（1）已知tan 2θ=，求()()3sin cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值.（2）求()()()()3tan cos 2sin 2cos sin ππαπαααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭----的值. 【答案】（1）2；（2）1-【分析】（1）利用诱导公式化简，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；（2）利用诱导公式化简即可. 【详解】解：（1）因为tan 2θ=，所以()()3sin cos cos cos 2222cos sin tan 121sin sin 2πθπθθθπθθθθπθ⎛⎫++- ⎪--⎝⎭====---⎛⎫--- ⎪⎝⎭； （2）()()()()()3tan cos 2sin tan cos cos 21cos sin cos sin ππαπααααααππααα⎛⎫---+ ⎪-⋅⋅-⎝⎭==------⋅. 19．已知tan α，tan β是方程23570x x +-=的两根，求下列各式的值. (1)()tan αβ+(2)()()sin cos αβαβ+-【答案】(1)12-(2)54【分析】（1）利用韦达定理得到tan tan αβ+，tan tan αβ⋅，再根据两角和的正切公式计算可得； （2）利用同角三角函数的基本关系及和差角公式得到()5sin cos cos 3αβαβ+=-，()4cos cos cos 3αβαβ-=-，从而代入计算可得.【详解】（1）解：因为tan α，tan β是方程23570x x +-=的两根， 所以5tan tan 3αβ+=-，7tan tan 3αβ⋅=-，所以()5tan tan 13tan 71tan tan 213αβαβαβ-++===--+. （2）解：因为()sin sin sin sin cos cos sin 5tan tan cos cos cos cos cos cos 3αβαβαβαβαβαβαβαβ+++=+===-， 所以()3cos cos sin 5αβαβ=-+，即()5sin cos cos 3αβαβ+=-，又sin sin 7tan tan cos cos 3αβαβαβ⋅=⋅=-，所以7sin sin cos cos 3αβαβ=-， 所以()4cos cos cos sin sin cos cos 3αβαβαβαβ-=+=-，所以()()5cos cos sin 534cos 4cos cos 3αβαβαβαβ-+==--. 20．已知函数()1sin 262πf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求函数最小正周期(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数最大值及相应的x 的值【答案】(1)π (2)最大值12，π3x =【分析】（1）直接根据周期公式计算即可. （2）计算得到ππ5π2666x -≤-≤，再根据三角形性质得到最值. 【详解】（1）()1sin 262πf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==.（2）π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故ππ5π2666x -≤-≤， 所以当ππ262x -=，3x π=时，函数取得最大值11122-=.21．已知函数()f x =ln(ax 2 +2ax +1)定义域为R ， (1)求a 的取值范围；(2)若a ≠0，函数()f x 在[-2,1]上的最大值与最小值和为0，求实数a 的值. 【答案】(1)0≤a <1； (2)23a =.【分析】（1）由题设，问题转化为2210ax ax ++>在R 上恒成立，讨论参数a 求其范围.（2）令221t ax ax =++求[2,1]x ∈-上的值域，结合ln y t =的单调性确定()f x 的最值，根据已知列方程求参数a .【详解】（1）由题设，2210ax ax ++>在R 上恒成立， 当0a =时，易知不等号恒成立；当0a ≠时，有20{Δ440a a a >=-<，可得01a <<；综上，01a ≤<.（2）由0a ≠及（1）结论，令2221(1)1t ax ax a x a =++=++-，∴由已知及[2,1]x ∈-，有[1,31]t a a ∈-+，又ln y t =为增函数， ∴ln(1)ln(31)ln(1)(31)0a a a a -++=-+=，即(1)(31)1a a -+=， ∴0a =或23a =，由（1）知：01a <<， ∴23a =.。
2021-2022学年重庆市永川中学校高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
2021-2022学年重庆市永川中学校高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．若a R ∈，则2a =-是复数()()226a a a i +++-为纯虚数的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】根据纯虚数的概念和充分、必要条件的概念进行判定即可.【详解】设()2(2)6(2)(2)(3)z a a a i a a a i =+++-=++-+,当2a =-时4z i =-,是纯虚数，当z 为纯虚数时，()()20230a a a +=⎧⎨-+≠⎩，∴2a =-,故2a =-是复数()2(2)6a a a i ++--为纯虚数的充分必要条件.故选：C.2．已知a ，b 是不共线的非零向量，若()()2//2a kb a b -+，则实数k =（ ） A ．4- B ．1C ．1-D ．2【答案】A【分析】利用向量共线基本定理，可得()22a kb a b λ-=+，即2,2,k λλ=⎧⎨-=⎩求解即可【详解】由()()2//2a kb a b -+可知存在实数，使得()222a kb a b a b λλλ-=+=+，所以2,2,k λλ=⎧⎨-=⎩从而可得4k =-． 故选：A3．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD 是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A 到C 的路径中，最短路径的长度为A ．210B ．25C ．3D ．2【答案】A【解析】由圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求解． 【详解】圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2， 则在此圆柱侧面上从A 到C 的最短路径为线段AC ，2226210AC =+=.故选A ．【点睛】本题考查圆柱侧面展开图中的最短距离问题，是基础题．4．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A 测得滕王阁顶端仰角为30︒，此人往膝王阁方向走了42米到达点B ，测得滕王阁顶端的仰角为45︒，则滕王阁的高度最接近于（ ）（忽略人的身高）（参考数据：3 1.732≈）A ．49米B ．51米C ．54米D ．57米【答案】D【分析】设滕王阁的高度为h ，由题设可得3tan 42h CAD h ∠==+，即可求滕王阁的高度. 【详解】设滕王阁的高度为h ，由题设知：45,30CBD CAD ∠∠=︒=︒， 所以BD CD h ==，则42AD AB BD h =+=+， 又3tan 42CD h CAD AD h ∠===+5731h =≈-米. 故选：D5．一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，该圆锥的母线长为A ．83B ．4C ．D ．【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，利用扇形面积公式和圆锥表面积公式，求出圆锥的底面圆半径和母线长．【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l 它的侧面展开图是圆心角为90的扇形 22r l ππ=⋅∴ 4l r ∴=又圆锥的表面积为5π 2245r rl r r r πππππ∴+=+⋅=，解得：1r = ∴母线长为：44l r ==本题正确选项：B【点睛】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，关键是能够熟练应用扇形面积公式和圆锥表面积公式，是基础题．6．设向量a ，b 满足()1,3,0a a b a a b =+=⋅+=，则2a b -（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】B【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得24,1b a b =-⋅=，从而求得2a b -的值． 【详解】解：∵()0a a b ⋅+=，1a = ∴21a a b =-⋅=∵向量a ，b 满足3a b += ∴2223a a b b +⋅+= ∴24b =则()2222244444a b a ba ab b -=-=-⋅+=++=故选B ．【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．7．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.若四棱锥P ABCD -为阳马，已知PA ⊥面ABCD ，PA AB AD ==四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．4πB ．5πC ．6πD ．7π【答案】C【分析】由题意，将四棱锥P ABCD -补形为正方体，则四棱锥P ABCD -外接球的直径即为正方体的体对角线长，最后根据球的面积公式即可得答案.【详解】解：由题意，因为PA ⊥面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，又AB AD ⊥，2PA AB AD ===，所以将四棱锥P ABCD -放置在如图所示的正方体中，则正方体的外接球即为四棱锥P ABCD -的外接球， 所以四棱锥P ABCD -的外接球直径为()()()22222226PC R ==++=所以球O 的表面积为246S R ππ==， 故选：C.8．设O 是ABC ∆的外心，满足11()22AO t AB t AC =+-，()t R +∈，若||||4AB AC ==，则ABC ∆的面积是 A ．4 B ．3C ．8 D ．6【答案】B【分析】取AC 中点D,由AO AD DO =+以及题设条件得到8AO AC ⋅=，计算11()22AO AC t AB AC t AC AC ⋅=⋅+-⋅，得到3sin BAC ∠.【详解】取AC 中点D ，因为O 是ABC ∆的外心，所以DO AC ⊥()21=82AO AC AD DO AC AD AC AC ⋅=+⋅=⋅=11()22AO t AB t AC =+-21111()cos ()82222AO AC t AB AC t AC AC t AB AC BAC t AC ∴⋅=⋅+-⋅=⋅∠+-=则111cos ()168226BAC t t ∠+-⨯= ，解得：1cos 2BAC ∠=所以3sin BAC ∠= 即13sin 44432212ABCS AB AC BAC ∆故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角形外心的知识，属于中档题.二、多选题9．已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i-B ．z 的虚部为75i C ．3z = D ．z 在复平面内对应的点在第一象限【答案】AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】()()32232474725555i i i i iz i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，1649653z +==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数. 10．已知向量(cos ,sin )a αα=，(2,1)b =，则下列命题正确的是（ ） A ．||a b -51B ．若||||a b a b +=-，则1tan 2α=C ．若e 是与b 共线的单位向量，则255(,5e = D ．当()f a b α=⋅取得最大值时，1tan 2α=【答案】AD【分析】设(cos ,sin )OA a ==αα，(2,1)OB b ==，利用向量的减法的几何意义可判定A ；利用向量的数量积运算法则转化为2cos sin 0a b ⋅=+=αα，可判定B ；根据与b 共线的单位向量有两个相反的方向，可以否定C ；利用向量的数量积等于一个向量的模与另一个向量在第一个向量上的投影的乘积，转化为求何时向量(cos ,sin )a αα=在向量(2,1)b =上的投影最大，利用向量共线且方向相同的坐标表示即可判定D.【详解】∵22cos +sin =1a =αα，∴(cos ,sin )a αα=是单位向量，设(cos ,sin )OA a ==αα，(2,1)OB b ==，则||||||||15a b AB OA OB -=≤+=+，当(cos ,sin )a αα=，(2,1)b =方向相反，即cos 2sin 0αα=<时取等号，∴||a b -的最大值为51+，故A 正确；||||a b a b +=-等价于()()22a ba b +=-即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，即2cos sin 0a b ⋅=+=αα，∴1tan 2α=-，故B 错误；与b 共线的单位向量为(2,1)255,555b b⎛⎫±=±=± ⎪ ⎪⎝⎭，故Ｃ错误； ()f a b α=⋅最大，当且仅当向量(cos ,sin )a αα=在向量(2,1)b =上的投影最大，即向量(cos ,sin )a αα=与(2,1)b =同向，亦即cos 2sin 0αα=>，此时1tan 2α=，故D 正确. 故选：AD11．三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论正确的是（ ）A ．12m n+为常数 B ．2m n +的最小值为3 C ．m n +的最小值为169D ．2211m n +的最小值为95 【答案】ABD【分析】利用三点共线可得12133m n+=，然后利用基本不等式和构造二次函数，即可判断正误. 【详解】解：对于A ：P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =， 则1233AP AB AC =+， 若AM mAB =，AN nAC =，则1233AP AM AN m n=+，又由M 、P 、N 三点共线，可得12133m n+= 所以123m n+=，故12m n +为常数，A 选项正确；对于B ：11212212(2)5523333m n m n m n m n n m ⎡⎛⎫⎡⎤+=++=++≥+=⎢ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣，当且仅当22m nn m=，即1m n ==时等号成立，则2m n +的最小值为3，B 选项正确；对于C ：112121()33213333m n m n m n m n n m ⎡⎛⎫⎡⎤+=++=++≥+=+⎢ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣当且仅当n =时等号成立，C 选项错误； 对于D ：11120,0,3m n m n>>+=， 121330,02m n n ∴=-><<，2222221*********(3)51295555m n n n n n n ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭， 即当16123,355n m n ==-=时，2211m n +的最小值为95，D 选项正确；故选：ABD.12．在ABC 中，D 在线段AB 上，且5AD =，3BD =.若2CB CD =，1cos 4CDB ∠=-，则（ ）A ．3sin 10CDB ∠=B ．ABCC ．ABC 的周长为12+D ．ABC 为钝角三角形【答案】CD【分析】由已知结合余弦定理，同角平方关系及三角形的面积公式分别判断各选项即可．【详解】由1cos 4CDB ∠=-可得sin CDB ∠=，故A 错误；设CD x =，2CB x =，在△CBD 中由余弦定理可得，2219446x x x+--=，整理可得，2260x x --=， 解可得，2x =，即2CD =，4CB =， 所以115115325221522ABC BCD ADC S S S =+=⨯⨯⨯⨯=△△△B 错误； 由余弦定理得222222cos 22BC BD CD BC AB AC B BC BD BC AB +-+-==⋅⋅, 即216941664234284AC +-+-=⨯⨯⨯⨯，解得26AC =故周长84261226AB AC BC ++=+++C 正确； 由余弦定理可得，6cos 02426C =⨯⨯， 故C 为钝角，D 正确， 故选：CD ．【点睛】本题综合考查了余弦定理，三角形的面积公式及同角平方关系的应用，属于中档题．关键在于熟练云用余弦定理进行计算.三、填空题13．在解三角形时，往往要判断三角形解的情况，现有△ABC 满足条件：边20c =，角60B =︒，我想让它有两解，那么边b 的整数值我认为可取______（只填符合条件的一种即可） 【答案】18或19【分析】在三角形中，已知其中一边和其中一角，根据几何关系得出另一边和已知边和角的关系，求出b 的取值范围，即可求出b 的整数值 【详解】解：由题意，在△ABC 中，20c =，60B =︒，b 为整数，∵三角形有两解， ∴sin c b c B >>即2020sin 60b ，解得：10320b，∴b 的整数值为18或19. 故答案为：18或19.14．复数z 满足34i 2z ++=，则z z ⋅的最大值是______． 【答案】49【分析】利用复数z 的几何意义，得到复数z 对应的图形，由图形求出z z ⋅的最大值.【详解】解：设复数z 在复平面内对应的点坐标为(),Z a b ，复数z 满足34i 2z ++=，则z 的几何意义为复平面内到点()3,4--的距离为2的点的集合，即以()3,4--为圆心，以2为半径的圆. 2z z z ⋅=，其几何意义为复平面内点Z 到原点距离的平方，所以z z ⋅的最大值为圆心到原点的距离加半径的平方，即()22234249z z ⋅=++=.故答案为：4915．如图，点O 为ABC 内一点，且0OA OB OC ++=，0OA OB ⋅=，2AB =，则CA CB ⋅=______【答案】8【分析】由0OA OB OC ++=，知点O 为ABC 的重心．连接CO 并延长，交AB 于点D ，可得CO 和OD 的长，又·()?()CA CB CO OA CO OB =++，利用平面向量的数量积公式计算即可得解． 【详解】解：由0OA OB OC ++=，所以点O 为ABC 的重心．连接CO 并延长，交AB 于点D ．又0OA OB ⋅=，所以OA OB ⊥． 在Rt ABO △中，112OD AB ==，所以22CO OD ==． ()()()222448CA CB CO OA CO OB CO CO OA OB OA OB CO CO OD ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+⋅=+=故答案为：8.四、双空题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin 2sin sin A B C =，则c bb c +的最大值为______，此时内角A 的值为______ 【答案】 22π4【分析】由正弦定理可得22sin a bc A =，结合余弦定理和辅助角公式、正弦函数的最值，可得所求角．【详解】解：由sin 2sin sin A B C =，根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==，可得22sin a bc A =，再由余弦定理得222cos 2b c a A bc+-=，则()222cos sin b c bc A A +=+，所以()()222cos sin π2sin cos 24bc A A c b b c A A A b c bc bc ++⎛⎫+===+=+ ⎪⎝⎭，又()0,πA ∈，当π4A =时，πsin()4A +取得最大值1，则b c c b +取得最大值故答案为：π4五、解答题17．已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---.（1）若//AB BC ，求实数m 的值；（2）若AB AC ⊥，求实数m 的值.【答案】（1）12m =；（2）74m =. 【解析】（1）计算出AB 和BC 的坐标，利用//AB BC 得出关于实数m 的等式，解出即可； （2）求出AC 的坐标，由AB AC ⊥，可得出0AB AC ⋅=，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数m 的等式，解出即可.【详解】()()()6,33,43,1AB OB OA =-=---=，()()()5,36,31,BC OC OB m m m m =-=-----=---，//AB BC ，31m m ∴-=--，解得12m =； （2）()()()5,33,42,1AC OC OA m m m m =-=-----=--，AB AC ⊥，()()3211740AB AC m m m ∴⋅=⨯-+⨯-=-=，解得74m =. 【点睛】本题考查利用向量平行与垂直求参数，同时也考查了平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.18．已知复数()2i z a a =-∈R ，且()12i z -为纯虚数.（1）求复数z ；（2）若3iz ω=+，求复数ω及其模ω.【答案】（1）2i z =-；（2）11i 22ω=-，2ω=. 【分析】（1）先求出()12i z -，再由复数为纯虚数的条件求解即可；（2）先求出ω，再由模的公司求解即可【详解】（1）将2i z a =-代入()12i z -得()()()()12i 12i 2i 224i z a a a -⋅=--=--+，∵()12i z -为纯虚数，∴22040a a -=⎧⎨+≠⎩， 解得1a =，所以复数2i z =-.（2）由（1）知2i z =-， ()()()()2i 3i 2i 55i 1i 3i 3i 3i 3i 10221z ω----=====-+++-， 22112222ω⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 19．已知在直角三角形ABC 中，AC BC ⊥，2,tan ABC 22BC =∠=（如右图所示）（Ⅰ）若以AC 为轴，直角三角形ABC 旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积.（Ⅱ）一只蚂蚁在问题（Ⅰ）形成的几何体上从点B 绕着几何体的侧面爬行一周回到点B ，求蚂蚁爬行的最短距离.【答案】（Ⅰ）几何体为以2BC =为半径，高42AC =16π（Ⅱ）3【分析】（Ⅰ）若以AC 为轴，直角三角形ABC 旋转一周，形成的几何体为以2BC =为半径，高42AC =（Ⅱ）利用侧面展开图，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B 的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B 到点1B 的距离，代入数值，即可求出结果．【详解】解：（Ⅰ）在直角三角形ABC 中，由2,tan ABC 22BC =∠=即tan ABC 22AC BC∠==42AC =AC 为轴旋转一周， 形成的几何体为以2BC =为半径，高42AC =则()222426AB =+=，其表面积为212226162S πππ=⨯+⨯⨯⨯=. （Ⅱ）由问题（Ⅰ）的圆锥，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B 的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B 到点1B 的距离，122263BAB ππ⨯∠==， 在1ABB ∆中，由余弦定理得：221266266cos33BB π=+-⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了圆锥的表面积以及侧面展开图的应用，考查了学生的空间想象能力，属于基础题．20．在①2cos (cos cos )A c B b C a +=，3cos b c C C a++=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角A ；(2)若O 是ABC 内一点，120,150,1,3∠=︒∠=︒==AOB AOC b c ，求tan ABO ∠．【答案】(1)60︒；3【分析】（1）若选条件①，利用正弦定理边化角公式以及两角和的正弦公式进行化简，即可求出A 的值；若选条件②，利用利用正弦定理边化角公式以及两角和的正弦公式进行化简，3cos 1A A -=，再利用辅助角公式得1sin(30)2A -︒=，结合三角形中0180A <<︒︒，从而可求出A 的值；（2）结合题中条件及三角形内角和得出OAC ABO ∠=∠，利用正弦定理、两角和与差的正弦公式和同角三角函数关系，即可求出tan ABO ∠的值.【详解】（1）解：若选条件①：2cos (cos cos )A c B b C a +=，整理得：2cos (sin cos sin cos )sin +=A C B B C A ，则()2cos sin sin A B C A +=，即2cos sin sin A A A =，又0180A <<︒︒，sin 0A >，所以1cos 2A =， 所以60A =︒； 若选条件②：3sin cos b c C C a ++=， 整理得：sin sin 3sin cos sin B C C C A++=， 所以3sin sin cos sin sin()sin C A C A A C C +=++，化简得：(3sin cos )sin sin A A C C -=，又0180C ︒<<︒，sin 0C >，所以3sin cos 1A A -=，故1sin(30)2A -︒=，由于0180A <<︒︒，所以60A =︒．（2）解：由于60A OAC OAB ∠=∠+∠=︒，18012060OAB ABO ∠+∠=︒-︒=︒， 所以OAC ABO ∠=∠，在ABO 中，3sin sin120AO ABO =∠︒， 所以23sin AO ABO =∠，在ACO △中，1sin150sin sin(30)AO AOACO ABO ==︒∠︒-∠，所以2sin(30)AO ABO =︒-∠，2sin(30)23sin ABO ABO ︒-∠=∠， 整理得：cos 33sin ABO ABO ∠=∠，故3tan 9ABO ∠=． 21．如图，四边形ABCD 的四个顶点共圆，5cos 13ABD ∠=，14AB =，15AD =.（1）求BD 和sin A 的值；（2）求四边形ABCD 的周长的最大值.【答案】（1）13BD =，4sin 5A =；（2）29+【解析】（1）在ABD △中利用余弦定理可求得BD ，再利用正弦定理可求得sin A ；（2）求四边形ABCD 的周长的最大值，即求BC CD +的最大值，在BCD △中，利用余弦定理得到BC 与CD 关系式，利用基本不等式求最值，即可求得四边形周长的最大值.【详解】（1）在ABD △中，5cos 13ABD ∠=，14AB =，15AD = 利用余弦定理：22222214155cos 221413AB BD AD BD ABD AB BD BD +-+-∠===⋅⨯⋅，解得13BD =或2913BD =-（舍去）在ABD △中，5cos 013ABD ∠=>，可知02ABD π<∠<，则12sin 13ABD ∠= 利用正弦定理知sin sin AD BD ABD A =∠，即1513sin 1213A =，解得4sin 5A = 所以13BD =，4sin 5A =. （2）由四边形ABCD 的四个顶点共圆，可知A C π+=，即4sin 5C =， 又由（1）知，BD AB AD <<，即A 为ABD △中最小角，则2C ππ<<，所以3cos 5C =- 在BCD △中， 利用余弦定理：2222223513cos 22BC CD BD BC CD C BC CD BC CD +-+-===-⋅⋅， 整理得：()2221696964551BC CD BC CD BC CD BC CD +⋅=⇒+-⋅=+ 利用基本不等式得：()()2216944554BC CD BC CD BC CD +⨯+-=⋅≤即()216945BC CD +≤，解得0BC CD <+≤，当且仅当BC CD =时，等号成立.所以四边形ABCD 的周长的最大值为：141529+= 【点睛】关键点睛：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，求四边形周长的最值，解题的关键是利用四边形外接圆找的A C π+=，从而求出cos C ，再利用余弦定理结合基本不等式求最值，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.22．某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，为迎接“五一“观光游，欲在边界BC 上选择一点P ，修建现赏小径PM ，PN ，其中M ，N 分别在边界AB ，AC 上，小径PM ，PN 与边界BC 的夹角都是60°，区域PMB 和区域PNC 内种植郁金香，区域AMPN 内种植月季花，(1)探究“赏小径PM ，PN 的长度之和是否为定值?请说明理由(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN ，当点P 在何处时，三条小径（PM ，PN ，MN ）的长度之和最小?(3)求郁金香区域面积之和的最小值.【答案】(1)400(31);(2)P 点是MN 的中点，31)； (3)20000(33).【分析】(1)在BPM △和CPN △中分别利用正弦定理即可求得PM 与PN 的长度之和；(2)在PMN 中利用MN 边的余弦定理，再根据两边的积与和的基本不等式求解即可；(3) 由（1）可知PM ＝(31)PB ，31)PN PC =，进而表达出BPM S △与CPN S，并利用PB +PC =BC 为定值，利用基本不等式求解即可.【详解】（1）解：在BPM △中，BMP ∠＝180°－60°－45°＝75°， 由正弦定理可得：sin sin PM PB B BMP=∠∠， 即sin 45sin 75PB PM ︒⋅=︒2226PB +＝(31)PB ， 同理可得(31)PN PC =， 所以(31)()PM PN PC PB +=+＝(31)31)BC =为定值；（2）解：在PMN 中，由余弦定理可得：2222cos60MN PM PN PM PN =+-⋅︒， 即2222()()3()34PM PN MN PM PN PM PN PM PN +=+-⋅≥+-⨯， 所以22()4PM PN MN +≥，2PM PN MN +≥，又由（1）有PM PN +＝1)，故1)MN ≥，当且仅当1)PM PN ==时等号成立.故当P 点是MN 的中点时，三条小径（PM ，PN ，MN ）的长度之和最小，最小为1)；（3）解：由（1）可知PM ＝1)PB ，故1sin 602BPM S PB PM =⋅⋅⋅︒21)PB ，同理可得：21)CPN SPC =，所以BPM CPN S S +221)()PB PC +＝2)2]PB PC PB PC +-⋅22())2]4PB PC PB PC +≥+-⨯2)PB PC +＝2＝20000(3.当且仅当PB =PC =200时取得最小值20000(3.。
内蒙古包头市第九中学2021-2022学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含答案
包头中学2021-2022学年度第一学期12月月考数学试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共17个小题，1-14每小题5分，15-17每题4分共计82分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、cos300=（ ）A ．32-B ．12-C ．12D ．32 2、已知cos tan 0θθ<，则角θ是（ ）A ．第一或其次象限B ．其次或第三象限C ．第三说第四象限D ．第一或第四象限 3、集合{|,}2M k k Z πααπ==±∈与{|,}2k N k Z παα==∈之间的关系是（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．M N = D ．M N φ=4、设033log 3,2,log sin6a b c ππ===，则（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >> 5、集合{|,}42M k k k Z ππαπαπ=+≤≤+∈中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）6、若()14f x x=，则不等式()(816)f x f x >-的解集是（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,2]C ．[2,)+∞D ．16[2,)77、函数()0.52log 1xf x x =-的零点的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48、若()(),f x g x 都是奇函数，且()()()2F x f x g x =++在(0,)+∞上有最大值8，则在(,0)-∞上()F x 有（ ）A ．最小值-8B ．最大值-8C ．最小值-6D ．最小值-4 9、已知()ln f x x =，则()1f =（ ）A ．eB ．1C ．2e D ．010、已知函数()f x 是R 上增函数，(0,1),(3,1)A B -是其图象上的两点，那么()11f x +<的解集的补集是（ ） A ．(1,2)- B ．(1,4) C ．(,1][4,)-∞-+∞ D ．(,1][2,)-∞-+∞11、在222,log ,x y y x y x ===这三个函数中，当1201x x <<<时，使1222()()()22x x f x f x f ++>恒成立的函数个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 12、函数22xy x =-的图象大致是（ ）13、函数()22ln ,11,1a x x f x a x x +>⎧=⎨+-≤⎩的值域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[0,)+∞ D ．[1,)+∞ 14、一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）A ．21(2sin1cos1)2R - B ．21sin1cos12R C ．212R D ．22sin1cos1R R -⋅ 15、函数()log (6)(0,1)a f x ax a a =->≠在[]0,2上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(1,3] D ．[3,)+∞16、设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,]()m n m n <，值域为[]0,1，若n m -的最小值为13，则实数a 的值为（ ） A ．14 B ．14或23 C ．23 D ．23或3417、已知函数()2(0)f x ax bx c a =++>的零点为1212,()x x x x <，函数()f x 的最小值为0y ，且012[,)y x x ∈，则函数(())y f f x =的零点个数是（ ）A ．3B ．4C ．3或4D ．2或3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
2023-2024学年上海市高一上册12月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年上海市高一上册12月月考数学试题一、填空题1．已知集合{1,2,3},{2,4}A B ==，则A B ⋃=_________.【正确答案】{1,2,3,4}直接根据并集定义得到答案.【详解】集合{1,2,3},{2,4}A B ==，则{1,2,3,4}A B ⋃=.故答案为.{1,2,3,4}本题考查了并集计算，属于简单题.2．函数()f x _______________.【正确答案】(]3,1-【分析】由根式函数定义域的求法得到103xx-≥+，再转化为()()()310,3x x x +-≤≠-，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】因为103xx-≥+，所以()()()310,3x x x +-≤≠-，解得31-<≤x ，所以函数()f x =(]3,1-.故(]3,1-本题主要考查函数定义域的求法以及分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．已知幂函数()y f x =的图象经过点()9,3，则()f x 的解析式是______．【正确答案】()12f x x =【分析】先设解析式()f x x α=，再由点()9,3代入求得α，即得结果.【详解】幂函数()y f x =可设为()f x x α=，图象过点()9,3，则()993f α==，则12α=，所以()12f x x =.故答案为.()12f x x =4．函数4()f x x x =+，1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为__________．【正确答案】174,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据对勾函数的单调性分析出()f x 的单调性，然后即可求解出()f x 的最值，从而()f x 的值域可确定出.【详解】由对勾函数的单调性可知：4()f x x x =+在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]2,4上单调递减，所以()()min 24f x f ==，又()()max 1max ,42f x f f ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，且11178222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()4415f =+=，所以()max 172f x =，所以()f x 的值域为174,2⎡⎤⎢⎣⎦，故答案为.174,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．若函数()()()2f x x x a =+-是偶函数，则()3f =______.【正确答案】5先利用函数偶函数的定义求得解析式，再求()3f 的值.【详解】因为函数()()()2f x x x a =+-是偶函数，所以()()11f f -=，即()131a a --=-，解得2a =，所以()3f =5故56．已知()(21)1n f x x =-+，则函数()y f x =的图象恒过的定点P 的坐标为__．【正确答案】(1,2)【分析】令211x -=求解即可.【详解】令211x -=，得1,2x y ==，故函数()f x 图象过定点(1,2)P ，故(1,2)7．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，那么使得(2)()f f a -≤成立的实数a 的取值范围是_________【正确答案】(,2][2,)-∞-+∞ 【分析】利用函数是偶函数得到不等式f （﹣2）≤f （a ）等价为f （2）≤f （|a |），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．【详解】∵函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f （﹣2）≤f （a ）等价为f （2）≤f （|a |），即2≤|a |，∴a ≤﹣2或a ≥2，故(,2][2,)-∞-+∞ ．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数是偶函数的性质得到f （a ）＝f （|a |）是解决偶函数问题的关键．8．设8log 9a =，3log 5b =，则lg 2=__________．（用a 、b 表示）【正确答案】223ab+【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．【详解】由8log 9a =，3log 5b =，则328222log 9log 3log 33a ===即32log 23a=又3332log 10log 2log 53b a=+=+233ab a +=则3lg 323aab =+2lg 33log 3lg 22a==，则lg3lg 232a =32223323a ab a ab =⨯=++，故答案为.223ab+9．设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为______.【正确答案】89根据1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，由0∆≥，解得23m ≤，然后由()2212121222x x x x x x ++⋅=-，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.【详解】因为1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，所以()()22482320m m m ∆=-+-≥，解得23m ≤，所以112222322,2x x x x m m m +=⋅-=+，则()2212121222x x x x x x ++⋅=-，()22232222m m m +-=-⨯，2232m m =-+，237248m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2212x x +的最小值为2237823489⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故8910．已知函数()e e ,0x xy a b a b -=+>的最小值为2，则a b +的最小值为__．【正确答案】2【分析】利用基本不等式与指数函数的性质求解即可【详解】因为e 0,0,0,e 0x x a b ->>>>，所以e e 2x x y a b -=+≥=，仅当ln ln 2b ax -=时取等号，又e e x x y a b -=+的最小值为2，所以1ab =，所以2a b +≥，当且仅当1a b ==时取等号．故211．若一个非空数集F 满足：对任意,a b F ∈，有a b +，a b -，ab F ∈，且当0b ≠时，有aF b∈，则称F 为一个数域，以下命题中：（1）0是任何数域的元素；（2）若数域F 有非零元素，则2021F ∈；（3）集合{|3,Z}P x x k k ==∈为数域；（4）有理数集为数域；真命题的个数为________【正确答案】3【分析】根据新定义逐一判断即可求解【详解】（1）当a b =时，0a b -=属于数域，故（1）正确，（2）若数域F 有非零元素，则1bF b=∈，从而112,21,,202012021F F F +=∈+∈+=∈ ，故（2）正确；（3）由集合P 的表示可知得x 是3的倍数，当6,3a b ==时，623a P b==∉，故（3）错误，（4）若F 是有理数集，则当a ，b F ∈，则a b +，a b -，ab F ∈，且当0b ≠时，aF b∈”都成立，故（4）正确，故真命题的个数是3.故312．已知函数2(3)1,1()11log ,14a a x a x f x x ax x -+-<⎧⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()f x 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是________．【正确答案】3(1,]2根据函数()f x ()f x 在R 上是增函数，分段函数在整个定义域内单调，则在每个函数内单调，注意衔接点的函数值.【详解】解：因为函数()f x 在R 上是增函数，所以(3)1y a x a =-+-在区间(,1)-∞上是增函数且211log 4a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,)+∞上也是增函数，对于函数(3)1y a x a =-+-在(,1)-∞上是增函数，则303a a ->⇒<；①对于函数2[1,11log ,)4a y x ax x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝+∞⎭，（1）当01a <<时，12a<，外函数log a y u =为定义域内的减函数，内函数2221111(424a a u x ax x -=-+=-+在[1,)+∞上是增函数，根据复合函数“同增异减”可得01a <<时函数211log 4a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,)+∞上是减函数，不符合题意，故舍去，（2）当1a >时，外函数log a y u =为定义域内的增函数，要使函数211log 4a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,)+∞上是增函数，则内函数2221111()424a a u x ax x -=-+=-+在[1,)+∞上也是增函数，且对数函数真数大于0，即21104u x ax =-+>在[1,)+∞上也要恒成立，所以2212215111044a a a a a ⎧≤≤⎧⎪⎪⎪⇒⇒≤⎨⎨<⎪⎪-+>⎩⎪⎩，又1a >，所以12a <≤，②又()f x 在R 上是增函数则在衔接点处函数值应满足：22111531log 1044a a a a a a ⎛⎫-+-≤-+⇒+-≤ ⎪⎝⎭，化简得5322a -≤≤，③由①②③得，312a <≤，所以实数a 的取值范围是3(1,]2.故答案为.3(1,]2方法点睛：利用单调性求参数方法如下：（1）依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；（2）需注意若函数在区间[,]a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；（3）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．二、单选题13．若实数a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．1>a b B ．222a b ab +≤C ．2b a a b+≥D ．11a b<【正确答案】B【分析】根据特殊值判断ACD ，由不等式性质判断B.【详解】当2,1a b ==-时，1ab<，故A 错误；因为222()20a b a b ab -=+->，所以222a b ab +<，故B 成立；当1,1a b ==-时，2b aa b+≥不成立，故C 错误；当当2,1a b ==-时，11a b>，故D 错误.故选：B14．函数()222x xx f x -=+的图象大致是（）A ．B ．C．D．【正确答案】A【分析】根据函数的奇偶性先排除B,D ，再利用特殊值排除选项C ，进而求解.【详解】函数()222x xx f x -=+的定义域为R ，且22()()()2222x x x x x x f x f x ----===++，则函数()f x 为偶函数，故排除选项B,D ；又因为当0x >时，()0f x >，故排除选项C ，故选.A15．在物理中，我们已学习过匀加速直线运动以及如下式子：2001,2t v v at s v t at =+=+，22102v v as -=，现小明以加速度(0)a a ≠做匀加速直线运动，在A 地处的速度为1v ，在B 地处的速度为2v ，则它在A 地和B 地的中点处的速度3v 满足（）A ．123122v v v v v =+B ．1232v v v +=C ．1232v vv +<<D ．3v =【正确答案】D【分析】由匀加速直线运动的公式结合已知条件求解即可【详解】因为匀加速直线运动速度与位移的关系为22102v v as -=，所以由题意得223122s v v a -=⋅，222322s v v a -=⋅，所以3v =A 、B 、C 均错.故选：D.16．命题p ：存在R a ∈且0a ≠，对于任意的x ∈R ，使得()()()f x a f x f a +<+；命题1q ：()f x 单调递减且()0f x >恒成立；命题2q ：()f x 单调递增，存在00x <使得()00f x =，则下列说法正确的是（）A ．只有1q 是p 的充分条件B ．只有2q 是p 的充分条件C ．1q ，2q 都是p 的充分条件D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件【正确答案】C【分析】对于命题1q ：当0a >时，结合()f x 单调递减可得出()()()()f x a f x f x f a +<<+，对于命题2q ：当00a x =<时，()()00f a f x ==，结合()f x 单调递增可得出()()f x a f x +<，进而可得()()()f x a f x f a +<+，由充分条件的定义可判断1q ，2q ，进而可得正确选项.【详解】对于命题1q ：当0a >时，x a x +>，因为()f x 单调递减，所以()()f x a f x +<，因为()0f x >恒成立，所以()()()f x a f x f a +<+，所以由命题1q 可得出p 成立，所以1q 是p 的充分条件；对于命题2q ：当00a x =<时，x a x +<，()()00f a f x ==，因为()f x 单调递增，所以()()f x a f x +<，所以()()()f x a f x f a +<+，所以由命题2q 可得出p 成立，所以2q 是p 的充分条件；所以1q ，2q 都是p 的充分条件，故选：C.三、解答题17．已知全集U =R ，集合{}22|440,{||25|3}A x x x a B x x =--+≤=-≥.(1)当3a =时，求A B ⋂；(2)当“x A ∈”是“B R ð”的必要非充分条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)[1,1][4,5]- (2)(,2][2,)-∞-+∞ 【分析】（1）将3a =代入，解一元二次不等式以及绝对值不等式求出集合,A B ，再根据集合的交运算即可求解.（2）求出B R ð，根据题意可得()B R ðA ，再由集合的包含关系即可求解.【详解】（1）当3a =时，{}{}{}22244045015A xx x a x x x x x =--+≤=--≤=-≤≤∣，{||253}{|253B x x x x =-≥=-≥∣或253}x -≤-{|4x x =≥或1}x ≤，所以{11A B x x ⋂=-≤≤或}[][]451,14,5x ≤≤=-⋃.（2）由（1）可得()1,4R B =ð，{}()()()(){}22440220A x x x a x x a x a ⎡⎤=--+≤=+--+≤⎣⎦∣∣，当0a >时，{}22A x a x a =-≤≤+，当0a =时，{}2A =，当0a <时，{}22A x a x a =+≤≤-，“x A ∈”是“R x B ∈ð”的必要不充分条件，则()B R ðA ，显然0a =，不成立；当0a >时，2124a a -≤⎧⎨+≥⎩，解不等式可得2a ≥，此时2a ≥；当0a <时，2124a a +≤⎧⎨-≥⎩，解不等式可得2a ≤-，此时2a ≤-，所以实数a 的取值范围为2a ≥或2a ≤-.实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞ .18．已知11()f x a x=-.(1)判断函数()y f x =的奇偶性并说明理由；(2)判断函数()y f x =在区间(0,)+∞上的单调性并证明.【正确答案】(1)非奇非偶函数，理由见解析(2)增函数，证明见解析【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可求解；（2）利用函数单调性的定义即可求解.【详解】（1）函数()y f x =是非奇非偶函数，理由如下：由题意可知，()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，所以()1111()f x a x a x -=-=+-，11()f x a x-=-+，所以()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，所以函数()y f x =是非奇非偶函数；（2）函数()y f x =在区间(0,)+∞上的单调递增，证明如下：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，因为120x x <<，所以121212120,00,x x x x x x x x --<<>，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <.所以函数()y f x =在区间(0,)+∞上是增函数.19．用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合01()(12)kt m c t kV-=-，其函数图象如图所示，其中V 为中心室体积（一般成年人的中心室体积近似为600)，0m 为药物进入人体时的速率，k 是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值．此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合2()2ktc t c -=⋅，其中c为停药时的人体血药浓度．(1)求出函数1()c t 的解析式；(2)一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（如果计算结果不是整数，保留小数点后一位）【正确答案】(1)()1411612t c t -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭(2)最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．【分析】（1）根据已知条件及函数的图象，利用点在图象上列方程求解即可；（2）根据已知条件得出最迟停止注射时间，利用函数关系式及对数的运算性质即可求解.【详解】（1）令0m N KV=，则1()(12)kt c t N -=-，由图象可知，图象经过(4,8)，(8,12)两点，则()()481281212k k N N --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得1614N k =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()1411612t c t -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）由题意，可知有治疗效果的浓度在4到15之间，所以浓度为15时为最迟停止注射时间，故()141161215t c t -⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，解得16t =，浓度从15降到4为最长间隔时间，故142()1524t c t -=⨯=，即144215t -=，两边同时取以2为底的对数，则14224log 2log 15t -=，即221lg(310)lg152log 4log 15224lg 2lg 2t ⨯⨯-=-=-=-lg31lg 20.4810.322 1.93lg 20.3+-+-=-≈-=-，所以 1.9347.7t =⨯≈，所以最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．20．已知幂函数223()()m m f x x m -++=∈Z 是奇函数，且()f x 在(0,)+∞为严格增函数．（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求2212log ()log [2()]y f x f x =-，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最值，并求出取得最值时的x 取值．【正确答案】（1）0m =，3()f x x =；（2）162x -=时取到最小值为34；2x =时，取得最大值13．（1）由()f x 单调递增得出312m -<<，又m Z ∈，得0m =或1m =，再根据函数奇偶性即可得出结果；（2）化简函数为()222log 13log 9y x x =++，令2log t x =可得213964y t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，根据二次函数单调性，即可求出结果.【详解】（1）因为幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈，在(0,)+∞为增函数，所以2230-++>m m ，即()23(1)0-+<m m ，解得312m -<<，又m Z ∈，所以0m =或1m =，当0m =时，()3f x x =，满足()3()=--=-f x f x x ，因此()3f x x =是奇函数；当1m =时，()2213-++==f xx x ，显然是偶函数，不符合题意；所以0m =，()3f x x =；（2）因为()3f x x =，所以()()()2233212229log log 2log 13log y x x x x =-++=，令2log t x =，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]1,1t ∈-，所以2213319649y t t t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭=，所以2193t t y ++=在11,6t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,16⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，当16t =-即21log 6x =-，162x -=时min 34y =；因为1517(1)16666⎛⎫---=<--= ⎪⎝⎭，当1t =时，即2log 1x =，2x =时max 93113y =++=.本题主要考查由幂函数奇偶性求参数与函数解析式，以及求复合函数的最值，熟记函数奇偶性，以及二次函数的性质是解题的关键，属于常考题型.21．已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数．(1)当1a =时，解不等式()2f x <的解集；(2)当6a =时，写出函数()y f x =的单调区间；(3)若在[0,2]上存在2021个不同的实数(1,2,,2021)i x i = ，122021x x x <<<L ，使得122320202021|()()||()()||()()|8f x f x f x f x f x f x -+-++-= ，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)(,2)-∞(2)增区间为(,3]-∞和[6,)+∞，减区间为[3,6](3)(,2][6,)-∞-+∞ 【分析】（1）分区间讨论去掉绝对值号解不等式即可；（2）根据二次函数直接写出函数单调区间即可；（3）分类讨论，根据二次函数的单调性及函数最大值最小值的分析求解.【详解】（1）当1a =时，()|1|f x x x =-，当1x >时，2()2f x x x =-<，解得12x -<<，所以12x <<，当1x =时，()02f x =<成立，当1x <时，2()2f x x x =-+<，解得1x <，综上，不等式()2f x <的解集为(,2)-∞；（2）当6a =时，()226,666,6x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，所以由二次函数的单调性知，()f x 的严格增区间为(,3]-∞和[6,)+∞，严格减区间为[3,6]；（3）①当0a ≤时，()()f x x x a =-在[0,2]上严格增，所以12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x +-+-++- 213220212020(()())(()())(()())f x f x f x f x f x f x =-+-++- 20211(()()(2)(0)2(2)f x f x f f a =-≤-=-，所以2(2)8a -≥，解得2a ≤-；②当4a ≥时，()()f x x a x =-在[0,4]上严格增，12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x +-+-++- 213220212020(()())(()())(()())f x f x f x f x f x f x =-+-++- 20211()()(2)(0)2(2)f x f x f f a =-≤-=-，所以2(2)8a -≥，解得6a ≥，③当24a ≤<时，()f x 在[0,]2a 上严格增，在[],22a 上严格减，122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-++- ()()0222a a f f f f ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2224(4)4442a a a a =⨯-+=-+<，不满足条件，④当02a <<时，()f x 不单调，max ()max{(),(2)}42a f x f f =<，122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x-+-++- max 2()8f x ≤<，不满足条件，所以实数a 的取值范围为(,2][6,)-∞-+∞ ．关键点点睛：本题的关键在于求12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x +-+-++- 的最大值或利用放缩法求函数的最大值的上界，最大值只需满足不小于8，而最大值的上界小于8不符合题意即可得出参数的取值范围，结合二次函数及绝对值不等式的性质对a 需结合单调性分类讨论.。
2022-2023学年四川省达州市宣汉县宣汉中学高一年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年四川省达州市宣汉县宣汉中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．若集合，，则下列结论正确的是（ ）{}21A x x =-<{}(1)(4)0B x x x =--≥A ．B ．C ．D ．A B ⋂=∅A B =R A B ⊆R B A⊆ 【答案】A【分析】解不等式求得集合A 、B ，然后逐一验证所给选项即可．【详解】，{}{}{}2112113A x x x x x x =-<=-<-<=<<，，{}{}(1)(4)014B x x x x x x =--≥=≤≥或{}R14B x x =<< ，选项A 正确；A B ⋂=∅，选项B 错误；{}34A B x x x ⋃=<≥或不是的子集，选项C 错误；A B ，选项D 错误．R A B ⊆ 故选：A ．2．若，都为正实数，，则的最大值是（ ）a b 21a b +=ab A ．B ．C ．D ．29181412【答案】B【分析】由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.【详解】因为，都为正实数，，a b 21a b +=所以，221212228ab a b ab +⎛⎫=≤=⎪⎝⎭当且仅当，即时，取最大值.2a b =11,42a b ==ab 18故选：D 3．已知，命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）{}|12A x x =≤≤2,0x A x a ∀∈-≤A ． B ． C ．D ．4a ≥4a ≤5a ≥5a ≤【答案】C【分析】首先求出命题为真时参数 的取值范围，再找出其一个充分不必要条件；a 【详解】解：因为，为真命题，所以，，因为函{}|12A x x =≤≤2,0x A x a ∀∈-≤()2maxa x ≥x A ∈数在上单调递增，所以，所以()2f x x =[]1,2()2max4x =4a ≥又因为[)[)5,4,+∞+∞ 所以命题“，”是真命题的一个充分不必要条件为2,0x A x a ∀∈-≤{}|12A x x =≤≤5a ≥故选：C【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围，以及充分条件、必要条件，属于基础题.4．若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为()21f x ax bx =++[]1,2a a --A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A【详解】试题分析：偶函数定义域关于原点对称，所以，函数开口向上.由于函120,1a a a --+==数为偶函数，故，所以，最大值为.0b =()21f x x =+()2415f =+=【解析】二次函数最值.5．函数则下列命题正确的是（ ）21,1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩A ．函数是偶函数B ．函数最小值是0()f x ()f x C ．函数的单调递增区间是D ．函数的图象关于直线对称()f x [)1,+∞()f x 1x =【答案】B【解析】画出函数图像，由图判断.【详解】画出函数图象如图：()fx 可知函数是非奇非偶函数，A 错误；()f x 函数最小值是0，B 正确；()f x函数的单调递增区间是，，C 错误；()f x [)1,+∞()1,0-，，，所以函数不关于对称，D 错误.()01f =()2ln2f =()()02f f ≠1x =故选:B.【点睛】此题考查函数的性质，属于基础题.6．设，，，则a ，b ，c 的大小关系是0.40.5a =0.4log 0.3b =8log 0.4c =A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【答案】C【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】∵0＜a=0.50.4＜0.50=1，b=log 0.40.3＞log 0.40.4=1，c=log 80.4＜log 81=0，∴a ，b ，c 的大小关系是c ＜a ＜b ．故选C ．【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助0,1其“桥梁”作用，来比较大小．7．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足()()2265m m m f x x -=--1x ()20,x ∈+∞12x x ≠，若，，且，则的值（ ）()()1212f x f x x x ->-a b ∈R 0a b +>()()f a f b +A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】利用幂函数的定义求出m ，利用函数的单调性和奇偶性即可求解．【详解】∵函数是幂函数，()()2265mm m f x x -=--∴，解得：m = -2或m =3．25=1m m --∵对任意，，且，满足，1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()12120f x f x x x ->-∴函数为增函数，()f x∴，260m ->∴m =3（m = -2舍去）∴为增函数．()3=f x x 对任意，，且，a b ∈R 0a b +>则，∴- a b >()()()f a f b f b >-=-∴．()()0f a f b +>故选：A【点睛】(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x 前的系数为1；(2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．二、多选题8．下列说法正确的是（ ）A ．函数的增区间是()22log 23y x x =--()1,+∞B ．函数是偶函数2xy =C ．函数的减区间是22312x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,+∞D ．幂函数图象必过原点【答案】BC【分析】由复合函数单调性、函数的奇偶性和幂函数知识进行判断即可.【详解】对于A ，由解得或，2230x x -->1x <-3x >∴定义域为，()22log 23y x x =--()(),13,-∞-⋃+∞令，则当时，单调递增，2log y t =()0,t ∈+∞2log y t =令，其图象为开口向上，对称轴为直线的抛物线，当时，223t x x =--1x =(),1x ∈-∞单调递减，当时，单调递增，223t x x =--()1,x ∈+∞223t x x =--又∵定义域为，()22log 23y x x =--()(),13,-∞-⋃+∞∴由复合函数的单调性知，的增区间是，故选项A 错误；()22log 23y x x =--()3,+∞对于B ，令，定义域为，，都有，()2xy f x ==R x ∀∈R x -∈R 且，∴是偶函数，故选项B 正确；()()22xxf x f x --===()2xy f x ==对于C ，定义域为，22312x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭R 令，则当时，单调递减，12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭(),t ∈-∞+∞12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭令，由A 选项的判断过程，当时，单调递减，当时，223t x x =--(),1x ∈-∞223t x x =--()1,x ∈+∞单调递增，223t x x =--∴由复合函数的单调性知，的减区间是，故选项C 正确；22312x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,+∞对于D ，幂函数的定义域为，其图象不过原点，故选项D 错误.1y x ={}0x x ≠故选：BC.9．给出下列结论，其中正确的结论是（ ）A ．函数的最大值为2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭12B ．已知函数（且）在（0，1）上是减函数，则实数a 的取值范围是()log 2a y ax =-0a >1a ≠（1，2]C ．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称2xy =2log y x =y x =D ．若，则的值为13436a b==21a b +【答案】BCD【解析】直接利用复合函数的性质判定的结论，利用对数的运算判断、的结论，利用函数的A B D 对称性判断的结论．C 【详解】解：对于：函数的最小值为，故错误；A 211(2x y -+=12A 对于：已知函数且在上是减函数，B log (2)(0a y ax a =->1)a ≠(0,1)所以，解得，故正确．120a a >⎧⎨-⎩ 12a < B 对于：同一平面直角坐标系中，由于函数与互为反函数，所以他们的的图象关于C 2xy =2log y x =直线对称，故正确；y x =C对于：由于，则，则，同理，D 3436ab==361log 3a =362log 9a =361log 4b =所以，故正确．3621log 361a b +==D 故选：．BCD 【点睛】本题考查复合函数的单调性的应用，复合函数的单调性由“同增异减”的法则判断即可；10．下列说法正确的是（ ）A ．已知方程的解在内，则8x e x =-()(),1k k k Z +∈1k =B ．函数的零点是，()223f x x x =--()1,0-()3,0C ．函数，的图像关于对称3xy =3log y x =y x =D ．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，3380x x +-=()1,2x ∈()10f <()1.50f >，则方程的根落在区间上()1.250f <()1.25,1.5【答案】ACD【解析】由函数零点的概念判断选项B ，由函数零点存在性定理判断选项AD ，由函数与函数3xy =互为反函数判断选项C.3log y x =【详解】对于选项A ，令，()=8x f x e x +-因为在上是增函数，且，()f x R ()()2170,260f e f e =-<=->所以方程的解在，所以，故A 正确；8x e x =-()1,21k =对于选项B ，令得或，故函数的零点为和，故B 错误；2230x x --==1x -3x =()f x 1-3对于选项C ，函数与函数互为反函数，所以它们的图像关于对称，故C 正确；3xy =3log y x =y x =对于选项D ，由于，所以由零点存在性定理可得方程的根落在区()()()()1.2550,1 1.250f f f f ⋅<⋅>间上，故D 正确.()1.25,1.5故选：ACD三、填空题11________.=【答案】0【分析】根据根式的定义求值．【详解】因为，4π<.440ππ=-+-=故答案为：.0【点睛】本题考查根式的运算，解题时要注意偶次根式表示的非负数．12．函数的单调递增区间是__________.2()ln(2)f x x x =-【答案】（2，+∞）【解析】根据复合函数“同增异减”的方法求函数的单调递增区间，注意函数的定义域.【详解】是复合函数，可以写成，，根据复合函数单调性“同增异()2ln 2y x x =-ln y t =22t x x =-减”的判断方法可知外层函数是增函数，所以只需求在定义域内的单调递增区间，ln y t =22t x x =-，解得：或，函数在单调递增，在单调递减，220x x ->2x >0x <()2,∞+(),0∞-所以函数的单调递增区间是.()2,∞+故答案为：()2,∞+13．函数（且）恒过定点，则______．()log 5a y kx b=-+0a >1a ≠()2,2k b +=【答案】5【分析】根据对数函数的图象与性质，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，函数恒过定点，()log 5a y kx b=-+()2,2可得，解得，所以.2512k b -=⎧⎨=⎩3,2k b ==325k b +=+=故答案为：.514．已知 ，方程与的根分别为，若，则1a >e 0+-=x x a ln 0+-=x x a 12,x x 2212122=++m x x x x 的取值范围为___________．m 【答案】()1,+∞【分析】由题意知，与图象交点的横坐标分别为，数形结合知e xy =ln y x =y a x =-12,x x ，结合，即可求解.12x x a +=1a >【详解】方程的根，即与图象交点的横坐标，e 0+-=xx a e xy =y a x =-方程的根，即与图象交点的坐标， ln 0+-=x x a ln y x =y a x =-而与的图象关于直线轴对称，如图所示：e xy =ln y x =y x =与交点为，，y a x =-y x =,22a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x x a ∴+=，()22121222122∴+=+=+x x x x x x a 又，，即1a >22121221∴++>x x x x 1m >故答案为：()1,+∞四、解答题15．（1）解方程：；24230x x +-+=（2）解不等式：.()3log 23x +<【答案】（1）；（2）．{}20,log 3{}225x x -<<【分析】（1）使用换元法进行求解；（2）将变为，利用对数函数的单调性进行求解.33log 273log y x =【详解】（1）解：令（），2xt =0t >则，，()()22224222x x x x t ====22222424x x x t +=⋅=⋅=∴原方程可化为（），2430t t -+=0t >解得或，1t =3t =∴或，21x=23x =解得或，0x =2log 3x =∴原方程的解集为.{}20,log 3（2）解：原不等式等价于，即，()333log 2log 3x +<()33log 2log 27x +<∵是定义在上的增函数，3log y x =()0,∞+∴由，有，()33log 2log 27x +<0227x <+<∴，225x -<<∴原不等式的解集为.{}225x x -<<16．菜农小李种植的某种蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．小李为了减少损失，对价格经过两次下调，以每千克3.2元的价格对外批发销售．(1)若两次下调的幅度相同，求每次下调的百分率；(2)小华准备到小李处购买5吨该蔬菜，因数量多，小李决定在给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨蔬菜优惠200元．试问小华选择那种方案更优惠？请说明理由．【答案】(1)20%(2)小华选择方案一更优惠；理由见解析【分析】（1）设每次下调的百分率为，由题意得，求解即可；x ()251 3.2x -=（2）分别计算方案一和方案二所需费用，比较即可得解.【详解】（1）设每次下调的百分率为，x 由题意得：，解得：，（舍去）()251 3.2x -=10.220%x ==2 1.8x =所以每次下调的百分率为20%（2）小华选择方案一更优惠． 理由如下：小华选择方案一所需费用：(元)3.20.9500014400⨯⨯=小华选择方案二所需费用：元3.25000200515000⨯-⨯=()因为 ，1440015000<小华选择方案一更优惠．17．已知定义在上的奇函数．在时，．()1,1-()f x ()1,0x ∈-()22x x f x -=+(1)试求的表达式；()f x (2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．()0,1x ∈()241x x t f x <⋅⋅-t【答案】(1)()()()221,000220,1x x x x x f x x x --⎧+∈-⎪==⎨⎪--∈⎩(2)0t ≥【分析】（1）依题意可得，再设，根据奇偶性及上的函数解析式，计算()00f =()0,1x ∈()1,0x ∈-可得；（2）依题意参变分离可得，令，，根据指数函数的性质求出函数4141x x t -+>+()4141x xg x -+=+()0,1x ∈的单调性，即可求出函数最小值，从而得解；【详解】（1）解：是定义在上的奇函数，，()f x ()1,1-()00f ∴=因为在时，，()1,0x ∈-()22x xf x -=+设，则，()0,1x ∈()1,0x -∈-则，()()()22x xf x f x -=--=-+故.()()()221,000220,1x x x x x f x x x --⎧+∈-⎪==⎨⎪--∈⎩（2）解：由题意，可化为()241x x t f x <⋅⋅-()22241x x x x t --<⋅⋅--化简可得， 4141x xt -+>+令，，()41214141x x xg x -+==-+++()0,1x ∈因为在定义域上单调递增，在上单调递减，41xy =+()0,12y x =()2,5所以在上单调递减，()g x ()0,1，()()0201041g x g ∴<=-+=+故．0t ≥。
2021-2022学年辽宁省名校联盟高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2021-2022学年辽宁省名校联盟高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．设函数()f x =的定义域A ，函数()()ln 2g x x =-的定义域为B ，则集合A B 为（ ） A ．（2，3） B ．(]2,3C ．[)3,2-D ．（-3，2）【答案】C【解析】由函数的定义域，分别算出A 和B ，然后根据集合交集的定义，即可得到本题答案.【详解】由290x -≥，得33x -≤≤，所以{|33}A x x =-≤≤， 又由20x ->，得2x <，所以{|2}B x x =<， 所以{|32}A B x x ⋂=-≤<. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的定义域和集合的交集运算，属基础题. 2．“x A ∃∈，使得22250x x -->”的否定为（ ） A ．x A ∃∈，使得22250x x --< B ．x A ∃∈，使得22250x x --≤ C ．x A ∀∈，使得22250x x --≤ D ．x A ∀∈，使得22250x x -->【答案】C【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“x A ∃∈，使得22250x x -->”的否定为“x A ∀∈，使得22250x x --≤”． 故选：C3．设a ，b 都是不等于1的正数，则“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解.【详解】由222a b >>可得1222a b >>，即1a b >>，可推出log 2log 2a b <， 当01a <<，1b >时，不等式log 2log 2a b <成立，但推不出222a b >>，根据充分和必要条件的定义可得“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的充分不必要条件， 故选：A.4．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234493582003623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．01【答案】D【详解】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.【解析】此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力. 5．函数()2x xe ef x x --=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由1(1)e e 0f -=->排除不正确的选项，从而得出答案..【详解】详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，排除A, 1(1)0f e e -=->，故排除D. ()()()()()243222,xx x x x x e x e xx e x e f x x e e x ---+---++=='，当2x >时，()0f x '>，所以()f x 在()2+∞，单调递增，所以排除C ； 故选：B.6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ，空气的温度是0θ，t 分钟后物体的温度θ可由公式()0.24010e tθθθθ-=+-（e 为自然对数的底数）求得．已知ln 20.693≈，把温度是100℃的物体放在10-℃的空气中冷却到45℃约需要（ ） A ．1.69分钟 B ．2.89分钟 C ．4.58分钟 D ．6.61分钟【答案】B【分析】根据题中的公式代入数据，根据指数与对数运算法则计算即可. 【详解】由题意得，()0.24451010010e t-=-++℃℃℃℃，化简得，0.241e2t-=， 即0.24ln 20.693t =≈， 所以()2.89min t ≈ 故选：B7．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在区间[)0,∞+上单调递增．若实数a 满足()()212log (log )22f a f a f +≤，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,2B ．(]0,4C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据给定条件利用对数换底公式变形，再结合函数奇偶性、单调性求解不等式作答.【详解】函数()f x 是定义域为R 的偶函数，则1222(log )(log )(log )f a f a f a =-=，21222(log )(log )2(2)2(log )2(2)(|log |)(2)f a f a f f a f f a f +≤⇔≤⇔≤，函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，于是得：22|log |22log 2a a ≤⇔-≤≤22222log 2log log 2a -⇔≤≤，解得144a ≤≤，所以a 的取值范围是1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D8．已知5log 2a =，8log 3b =，0.012c =，则下列判断正确的是（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a b c << D ．a c b <<【答案】C【分析】根据给定条件利用指数函数、对数函数单调性，借助“媒介”数比较大小作答.【详解】函数5log y x =与函数8log y x =在(0,)+∞上都单调递增，238<<，则有58881log 2log log log 3log 812a =<==<=，即1a b <<， 函数2x y =在R 上单调递增，0.010>，则0.010221c =>=， 所以a b c <<. 故选：C 二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ）A ．极差和标准差都能描述一组数据的离散程度B ．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变C ．一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，则这组数据总和等于60 D ．数据1a ，2a ，…，n a 的方差为2s ，则数据12a ，22a ，…，2n a 的方差为22s 【答案】ABC【分析】根据平均数、极差、方差及标准差的概念即得.【详解】根据极差和标准差的定义可知二者均可描述一组数据的离散程度，故A 正确， 根据平均数及方差的计算公式可得，如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变，故B 正确；由一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，可知样本平均数为3，这组数据总和等于60，故C 正确；数据1a ，2a ，，n a 的方差为2s ，则数据12a ，22a ，，2n a 的方差为24s ，故D 错误.故选：ABC ．10．若a b >，则（ ） A ．22ac bc > B ．22a b --< C ．330a b -> D ．()ln 0a b ->【答案】BC【分析】由0c 判断A ；根据指数函数和幂函数的单调性判断BC ；由对数函数的性质判断D.【详解】0c 时，选项A 错误；利用()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减可知22a b --<，选项B 正确；利用()3f x x =在R 上单调递增可知330a b ->，选项C 正确；若01a b <-<，则选项D 错误． 故选：BC11．已知函数()f x 在区间I 上连续，若对于任意1x ，2x I ∈，且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，则称函数()f x 为区间I 上的下凸函数，下列函数在定义域上为下凸函数的是（ ） A ．1lny x= B ．23y x -= C ．231x y x +=+，()1,x ∈-+∞ D ．()121222x x y x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】利用下凸函数的定义逐项分析即得. 【详解】对于A ，由1lny x=，可知()0,x ∈+∞，任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠， 则()()()()212121212ln ln ln ln 22222x x f x f x x x x x +⎛⎫ ⎪++⎝⎭=-=->-1212ln 22x x x x f ++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B，23y x-==()(),00,x ∈-∞⋃+∞，函数在定义域上不连续，故B 错误；对于C ，231211x y x x +==+++，()1,x ∈-+∞，任意1x ，()21,x ∈-+∞，且12x x ≠， ∴()()1212112,2,11f x f x x x =+=+++12121212222212x x f x x x x +⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭+， ∵()()()()121212121122112222211f x f x x x x x x x ++++++++==+++，∴()()121222211x x x x +++++12222x x ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭()()121212222112x x x x x x ++-++++ ()()()()()()()()()()22121212121212122411021122112x x x x x x x x x x x x x x ++-++-==>++++++++，即()()122f x f x +>122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，()()1212242222x x x x f x x x --⎛⎫=++=+⋅+ ⎪⎝⎭，可知R x ∈，任意1x ，2R x ∈，且12x x ≠，∵121224424x xx x ++>⋅，12122222242x x x x +⋅+⋅>⋅，()1212222x x x x +=+，∴()()121212121212224422222242222x x x x x x x x f x f x x x +++++⋅+⋅++=>+⋅()12122x x x x f +⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：ACD ．12．设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=++⋅⋅⋅+，则（ ）A ．()41ω=B ．()()2n n ωω=C ．()()231n n ωω+=+D ．()()4523n n ωω+=+【答案】ABD【分析】根据()n ω定义判断B 和D ，运用特殊值法判断A 和C 即可.【详解】对于选项A ，0124020212=⋅+⋅+⋅，()40011ω=++=，选项A 正确；对于选项B ，()01k n a a a ω=++⋅⋅⋅+，12101122222k k k k n a a a a +-=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，所以()012k n a a a ω=+++ ()n ω=，选项B 正确；对于选项C ，取2n =，012237121212n +==⋅+⋅+⋅，所以()73ω=，而0120212=⋅+⋅，则()21ω=，即()()721ωω≠+，选项C 错误；对于选项D ，23201452225k k n a a a ++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+()01223201232010112021222212021222k k k k a a a a a a ++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，所以()12101120101011452.2322231212222k k k k k n a a a n a a a a a a ω+++=+++⋅⋅⋅++=⋅+⋅++⋅++⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅()012101121222k k a a a +=⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，所以()01232k n a a a ω+=+++⋅⋅⋅+，因此()()4523n n ωω+=+．选项D 正确.故选：ABD【点睛】数列新定义类的题目，往往有一定的难度，需要在认真分析题意的基础上巧妙运用赋值等方法进行判断，从而快速准确地判断一些选项. 三、填空题13．写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______．①()()()1212f x x f x f x =；②()()f x f x -=；③任取1x ，[)20,x ∈+∞，12x x ≠且()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦．【答案】2x （答案不唯一）【分析】取()2f x x =，利用幂函数的性质逐一验证即可.【详解】取()2f x x =，函数()f x 为幂函数，满足①；()()2f x x f x -==，则函数()f x 为偶函数，满足②；③表示函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，由幂函数的性质可知()2f x x =满足③.故答案为：2x （答案不唯一） 14．函数f （x ）＝ln |x |11x --的零点的个数是 【答案】3【分析】由f （x ）＝0得ln |x |11x =-，然后分别作出函数y ＝ln |x |与y 11x =-的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】解：由f （x ）＝ln |x |11x -=-0得ln |x |11x =-，设函数y ＝ln |x |与y 11x =-，分别作出函数y ＝ln |x |与y 11x =-的图象如图： 由图象可知两个函数的交点个数为3个， 故函数的零点个数为3个， 故答案为3【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数和方程之间的关系，转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．15．已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<=>≠⎨++≥⎩且在R 上单调递减，则a 的取值范围是_________. 【答案】13[,]34【分析】根据分段函数在R 上单调递减可得01a << ，且二次函数在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 上单调递减，所以02ba-≥，且()()2max min4330log 110a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤+-+<≥++≥⎣⎦⎣⎦（）（），从而可得答案．【详解】由题分段函数在R 上单调递减可得01a << 又因为二次函数图像开口向上，所以4302a --≥，解得34a ≤ 且()()2max min4330log 110a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤+-+<≥++≥⎣⎦⎣⎦（）（）， 将0x =代入可得31a ≥，解得13a ≥所以a 的取值范围是13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查分段函数的单调性，解题的关键是明确01a <<且()()2max min4330log 110a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤+-+<≥++≥⎣⎦⎣⎦（）（）属于一般题．16．已知1a >，2a b ab +-=，则4a b -的最小值为______． 【答案】1【分析】由题可得21a b a -=-，进而可得44131a b a a -=-+--，利用基本不等式即得. 【详解】∵2a b ab +-=，1a >， ∴21111a b a a -==---， ∴44134311a b a a -=-+-≥-=-，当且仅当411a a -=-，即3a =时等号成立，∴4a b -的最小值为1. 故答案为：1. 四、解答题 17．计算下列各式：(1)()3122318642--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(2)552lg 4lg log log 48++．【答案】(1)312； (2)43. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即得； （2）利用对数的运算性质及换底公式计算即得.【详解】(1)()()()()331212433212323181864282216-----⎛⎫⎛⎫-++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32133128822⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．(2)285551lg 5lg 42lg 4lg log log 4lg 4882lg8lg 5⎛⎫++=⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭14133=+=．18．已知集合1282xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，()(){}210B x x a x a =---≤．(1)当2a =时，求A B ；(2)设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1){}23A B x x ⋂=≤≤(2)a ≤【分析】（1）首先解指数不等式得到{}13A x x =-≤≤，再求A B 即可.（2）首先根据题意得到{}21B x a x a =≤≤+，再根据充分不必要条件求解即可.【详解】(1)，2a =时，{}25B x x =≤≤，{}23A B x x ⋂=≤≤(2){}2221310124a a a B x a x a ⎛⎫+-=-+>⇒=≤≤+ ⎪⎝⎭， p 是q 的充分不必要条件，则且A B ≠，所以2a ≤19．已知幂函数()()22722m f x m m x -=+-（m Z ∈）的定义域为R ，且在[)0,∞+上单调递增． (1)求m 的值；(2)[]1,2x ∀∈，不等式()320af x x -+>恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1m =或3m =- (2)98a >【分析】（1）根据幂函数的性质求解即可.（2）首先根据题意转化为[]1,2x ∀∈，22321132x a x x x -⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．再利用换元法求解即可.【详解】(1)22211m m m +-=⇒=或3m =-， 又因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，1m =，()6f x x -=（舍），3m =-，()2f x x =.(2)[]1,2x ∀∈，2320ax x -+>恒成立，[]1,2x ∀∈，22321132x a x x x -⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立． 令11,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，()232g t t t =-，则()g t 在区间13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()max 3948g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故98a >． 20．已知函数()lg f x x =，若ab >，()()f a f b =，求证：2224a b a b+-≥-． 【答案】证明见解析 【分析】根据分段函数单调性及函数值相等，得到()1,a ∈+∞，()0,1b ∈，利用对数运算得到1ab =，对不等式变形后利用基本不等式进行证明.【详解】证明：()[)()lg ,1,,lg ,0,1,x x f x x x ∞⎧∈+⎪=⎨-∈⎪⎩()f x 在()0,1单调递减：在[)1,+∞上单调递增，所以()1,a ∈+∞，()0,1b ∈，()()()lg lg 0lg 01f a f b a b ab ab =⇒+=⇒=⇒=，()2222224a b ab a b a b a b a b a b-++++==-+---， ()4424a b a b a b a b-+≥-=--，当且仅当 4a b a b -=-即21a =+，21b =-时等号成立，所以2224a b a b ++≥-． 21．某学校为了解本校文、理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：甲样本数据直方图乙样本数据直方图已知乙样本中数据在[)70,80的有10个.（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）81.5,82.【分析】（1）首先计算乙样本中数据在[)70,80的频率，然后计算样本容量，利用频率和等于1求a ；（2）根据样本平均值和中位数的计算公式分别计算；【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在[)70,80的频率为0.020100.20⨯=，而这个组学生有10人，则100.20n=，得50n =. 由乙样本数据直方图可知()0.0060.0160.0200.040101a ++++⨯=，故0.018a =.（2）甲样本数据的平均值估计值为()550.005650.010750.020850.045950.0201081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.由（1）知0.018a =，故乙样本数据直方图中前三组的频率之和为()0.0060.0160.020100.420.50++⨯=<，前四组的频率之和为()0.0060.0160.0200.040100.820.50+++⨯=>，故乙样本数据的中位数在第4组，则可设该中位数为80x +，由()0.0060.0160.020100.0400.50x ++⨯+=得2x =，故乙样本数据的中位数为80282+=.根据样本估计总体的思想，可以估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为81.5，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为82.【点睛】本题考查了样本频率分布直方图中的相关计算问题，需熟记公式：每个小矩形的面积是本组的频率，频率之和等于1，频数=频率⨯样本容量，样本平均数等于每组数据的中点乘以本组的面积之和，中位数两侧的面积都是0.5.22．已知函数()()log 1x a f x a kx =++（0a >且1a ≠，k ∈R ）是偶函数．(1)求k 的值：(2)若0a ∀>且1a ≠，函数()y f x =的图象与函数()12g x x b =+的图象都没有交点，求b 的值；(3)设函数()24log 3x a h x c a c ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数c 的取值范围．【答案】(1)12k =- (2)0(3){}()31,c ∈-⋃+∞【分析】（1）利用()()f x f x -=列方程，化简求得k 的值.（2）由()()f x g x =分离常数b ，结合对数函数的性质求得b 的值.（3）由()()f x h x =列方程，利用换元法，结合对c 分类讨论来求得c 的取值范围.【详解】(1)()()f x f x =-，即()(log 1log 1)x x a a a kx a kx -++=+-，()()2log 1log 1x x a a kx a a -=+-+，12log log 1x x a a x a kx a x a --⎛⎫+===- ⎪+⎝⎭， 12k =-． (2)()11log 122x a a x x b +-=+，即()log 1x a b a x =+-， ()log 1log x x a a b a a =+-，11log log 1x a a x x a b a a ⎛⎫+⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为111xa +>， 所以()0,1a ∈，()1log 1,0a x y a⎛⎫=+∈-∞ ⎪⎝⎭，()1,a ∈+∞，()1log 10,a x y a ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭， 所以0b =．(3)由题意得，()22411log log 1log 32x x x a a a x a c a c a x a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有唯一解， 222244033143x x x x x c a c c a a c a c a ⎧⎛⎫⋅-=⋅->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨+⎪=⋅-⎪⎩有唯一解． 令x t a =，()0,t ∈+∞，有唯一解，()241103c t ct ---=有唯一解． 设()()24113r t c t ct =---， 当1c =时，()413r t t =--，()0,t ∈+∞，()0r t <，所以不符合题意； 当1c >时，()010r =-<，4161616251039999r c c ⎛⎫=---=-< ⎪⎝⎭，所以恰好一个大于43的解：符合题意；当1c <时，()244103c c ⎛⎫∆=-+-= ⎪⎝⎭， 解得3c =-或34， 3c =-，12t =符合题意； 34c =，2t =-不符合题意， 综上，{}()31,c ∈-⋃+∞.【点睛】求解方程根、函数图象的交点、函数零点等问题，可考虑分离常数法来进行求解.如本题中第（2）问，()f x 与()g x 有0个交点，转化为()()f x g x =有0个解，分离常数b 后，转化为b 与1log 1a x y a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象没有交点来进行求解.。
【KS5U发布】辽宁省沈阳二中2020-2021学年高一上学期12月月考试题 数学 Word版含答案
沈阳二中2022——2021学年度上学期12月份小班化学习成果阶段验收高一（ 17 届）数学试题命题人： 数学组 审校人： 数学组说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一．选择题：（满分60分）1.已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤3}，则A ∩B ＝( )A ．(0,1)B ．(0,3]C ．(1,3)D ．(1,3]2.若函数y ＝f (x )的定义域为[－3,5]，则函数g (x )＝f (x ＋1)＋f (x －2)的定义域是( C )A ．[－2,3]B ．[－1,3]C ．[－1,4]D ．[－3,5] 3.以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )A ．球的三视图总是三个全等的圆B ．正方体的三视图总是三个全等的正方形C ．水平放置的正四周体的三视图都是正三角形D ．水平放置的圆台的俯视图是一个圆4. 设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)5.假如一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2 B.1＋22 C.2＋22D ．1＋ 26.如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且EF ＝2，动点Q 在棱D ′C ′上，则三棱锥A ′－EFQ 的体积( ) A ．与点E ，F 位置有关 B ．与点Q 位置有关C ．与点E ，F ，Q 位置都有关D ．与点E ，F ，Q 位置均无关，是定值7.若始终线上有相异三个点A ，B ，C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α相交且不垂直D ．l ∥α或l ⊂α8. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎡⎭⎫138，2 9. 已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12C.34D ．1 10. 已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎦⎤－2，12 11.已知函数f (x )=log 2(t +1t−m),(t >0)的值域为R ，则m 的取值范围是（ ） A.（−∞，−2） B.（−2,2） C. [2,+∞) D .(−∞,+∞)12.2x 3−x 2−2x +1=0的三个根分别是α，β，γ，则α+β+γ+αβγ的值为（）A ．-1B ．0C ．−12 D ．12第Ⅱ卷 （90分）二．填空题：(满分20分)13. 若方程4(3)20xxm m +-•+=有两个不相同的实根，则m 的取值范围是 14. 已知在三棱锥BCD A -中, 22CABD,23CD ，2ADAB BC ,则该棱锥的外接球半径15. 已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为16. 在直角坐标系中，A (4,0)，B (0，4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最终经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是三.解答题：（70分）17. 已知定义在R 上的单调函数f (x )满足：存在实数x 0，使得对于任意实数x 1，x 2，总有 f (x 0x 1＋x 0x 2)＝f (x 0)＋f (x 1)＋f (x 2)恒成立． 求：(1)f (1)＋f (0)； (2)x 0的值．18. 如图，把边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 折起，使AC ＝ 6.(1)求证：平面ABEF ⊥平面BCDE ； (2)求五面体ABCDEF 的体积．。
2021-2022学年辽宁省实验中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2021-2022学年辽宁省实验中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．设集合{1,2,3,4,5}U =，{}1,3A =，{}2,3,4B =，则()()U UA B =（ ）A ．{}1B ．{}5C ．{}2,4D ．{}1,2,3,4【答案】B【分析】先求,A B 的补集，然后求两个集合的交集，即可得答案. 【详解】依题意，{}{}2,4,5,1,5UU A B ==，所以()(){}5U U A B ⋂=. 故选：B.2．设集合(){}A x I p x =∈，(){}B x I q x =∈，若A B ，则()p x 是()q x 的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】根据集合的关系及充分条件，必要条件的概念即得. 【详解】因为A B ，(){}A x I p x =∈，(){}B x I q x =∈， 所以()p x 是()q x 的充分非必要条件. 故选：B.3．设命题p ：x ∀∈R ，4221x x +>．则p ⌝为（ ） A ．x ∃∈R ，4221x x +≤． B ．x ∀∈R ，4221x x +≤． C ．x ∃∈R ，4221x x+<． D ．x ∀∈R ，4221x x+<． 【答案】A【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得p ⌝为x ∃∈R ，4221x x +≤． 故选：A.4．小明同学在课外阅读中看到一个趣味数学问题“在64个方格上放米粒：第1个方格放1粒米，第2个方格放2粒米，第3个方格放4粒米，第4个方格放8粒米，第5个方格放16粒米，……，第64个方格放632粒米．那么64个方格上一共有多少粒米？”小明想：第1个方格有1粒米，前2个方格共有3粒米，前3个方格共有7粒米，前4个方格共有15粒米，前5个方格共有31粒米，……．小明又发现，1121=-，2321=-，3721=-，41521=-，53121=-，……．小明又查到一个数据：710粒米的体积大约是1立方米，全球的耕地面积大约是131.510⨯平方米，lg 20.3010=，lg1.8360.2640=．依据以上信息，请你帮小明估算，64个方格上所有的米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为（ ） A ．0.0012米 B ．0.012米 C ．0.12米 D ．1.2米【答案】C【分析】由题意知格子上的米粒数是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列求和公式可得64个方格上一共有6421-粒米，设米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为h ，可得71364210 1.51110=⨯⨯-h ，两边取对数计算可得答案.【详解】第1个方格放1粒米，第2个方格放2粒米，第3个方格放4粒米，第4个方格放8粒米，第5个方格放16粒米，……，可知格子上的米粒数是以1为首项，2为公比的等比数列， 那么64个方格上一共有6464112212-=--粒米， 设米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为h ，因为710粒米的体积大约是1立方米，全球的耕地面积大约是131.510⨯平方米， 所以71364210 1.51110=⨯⨯-h ， 可得()64641371372112lg lg lg lg 1.51010 1.51010h ⎛⎫-=⨯≈-⨯ ⎪⨯⎝⎭， 用lg1.8360.2640=近似替代lg1.5，所以()641372lg lg 1.51064lg 27lg1.51364lg 2lg1.52010-⨯=---=--0.30100.264020164⨯--=-≈，即lg 1=-h ，可得0.1h =，又0.10.12≈，故64个方格上所有的米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为0.12（米）. 故选：C.5．下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（ ）A ．()2xf x =与()2log g x x =B ．()12f x x =与()32g x x -=C ．()12f x x -=与()13log g x x =D ．()2f x x -=与()13xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质逐项分析即得.【详解】因为函数()2xf x =的值域为()0,∞+，函数()2log g x x =的值域为R ，故A 不合题意； 因为函数()12f x x =的值域为[)0,∞+，函数()32g x x -=的值域为()0,∞+，故B 不合题意；因为函数()12f x x -=的值域为()0,∞+，函数()13log g x x =的值域为R ，故C 不合题意；因为函数()2f x x -=的值域为()0,∞+，函数()13xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为()0,∞+，故D 正确.故选：D.6．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x x =-，则当0x <时，（ ）A ．()2f x x x =- B ．()2f x x x =+C ．()2f x x x =-- D ．()2f x x x =-+【答案】C【分析】根据函数的奇偶性求解0x <的解析式. 【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数， 当0x <时，0x ->，所以()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦， 故选：C7．函数()22221x x f x x -+=的图像简图可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由题可得()21111f x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭可排除AB ，然后根据0x <时函数值的范围可排除C.【详解】因为()()2222221221111x x x x f x x x x --+⎛⎫===+- ⎪⎝⎭+， 所以()21111f x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，故排除AB ；当0x <时，()2111112f x x ⎛⎫=+->+= ⎪⎝⎭，故排除C.故选：D.8．已知函数()231x x k f x x +=--有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】将函数零点问题转化为曲线23y x x =+与直线1y kx =+的交点问题，如图分析临界直线，可得k 的取值范围.【详解】2310x x kx +--=,即231x x kx +=+，函数1y kx =+表示恒过点()0,1的直线，如图画出函数23y x x =+，以及1y kx =+的图象，如图，有两个临界值，一个是直线过点()3,0-，此时直线的斜率()101033k -==--，另一个临界值是直线与23y x x =--相切时，联立方程得()2310x k x +++=，()2340k ∆=+-=，解得：1k =-，或5k =-，当1k =-时，切点是1,2如图，满足条件，当5k =-时，切点是()1,4-不成立，所以1k =-，如图，曲线23y x x =+与直线1y kx =+有4个交点时，k 的取值范围是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B二、多选题9．函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()12log g x x =，()12h x x -=，在区间()0,+∞上（ ）A ．()f x 递减速度越来越慢B ．()g x 递减速度越来越慢C ．()h x 递减速度越来越慢D ．()g x 的递减速度慢于()h x 递减速度【答案】ABC【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质即得.【详解】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间()0,+∞上，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭递减速度越来越慢，故A 正确；()12log g x x =递减速度越来越慢，故B 正确；()12h x x -=递减速度越来越慢，故C 正确；()h x 的递减速度慢于()g x 递减速度，故D 错误.故选：ABC.10．已知12a <<且53b -<<，则（ ） A ．a b +的取值范围是()4,5- B ．a b -的取值范围是()2,7- C ．ab 的取值范围是()10,6- D ．b a 的取值范围是35,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】根据不等式的性质逐项分析即得. 【详解】因为12a <<且53b -<<，35b -<-<， 所以45a b -<+<，27a b -<-<，故AB 正确；当50b -<<时，05b <-<，又12a <<，所以010ab <-<，故100ab -<<； 当03b <<时，又12a <<，所以06ab <<；当0b =时，0ab =； 综上，12a <<且53b -<<，可得106ab -<<，故C 正确；当50b -<<时，05b <-<，又1112a <<，所以05ba <-<，故50b a -<<；当03b <<时，又1112a<<，所以03ba <<；当0b =时，0b a =；综上，12a <<且53b -<<，可得53b a-<<，故D 错误. 故选：ABC.11．函数()()2ln e 1xf x x =+-，则（ ）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为RC ．()f x 是偶函数D ．()f x 在区间[)0,+∞上是增函数【答案】ACD【分析】由题可得函数的定义域判断A ，根据基本不等式及对数函数的性质可得函数的值域判断B ，根据奇偶性的定义可判断C ，根据指数函数，对勾函数及对数函数的性质可判断D.【详解】因为函数()()2ln e 1xf x x =+-，所以函数()f x 的定义域为R ，故A 正确；因为()()()()222e 1ln e 1ln e 1ln e ln ln e e ex xxxx x x f x x -+=+-=+-==+，又e e 2-+≥x x ，当且仅当e e x x -=，即0x =取等号，所以()ln 2f x ≥，故B 错误；因为()()()ln e e x xf x f x --=+=，所以()f x 是偶函数，故C 正确；因为函数e x t =在[)0,+∞上单调递增，且e 1x t =≥，根据对勾函数的性质可知1u t t=+在1t ≥上单调递增，又函数ln y u =为增函数，故函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数，故D 正确. 故选：ACD.12．若定义在R 上的函数()f x 满足： （ⅰ）存在R a +∈，使得()0f a =； （ⅱ）存在R b ∈，使得()0f b ≠；（ⅲ）任意12,R x x ∈恒有()()()()1212122f x x f x x f x f x ++-=． 则下列关于函数()f x 的叙述中正确的是（ ） A ．任意x ∈R 恒有()()4f x a f x += B ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[]0,a 上是减函数D ．函数()f x 最大值是1，最小值是-1【答案】ABD【分析】A 选项，赋值法得到()()f x a f x a +=--，从而得到()()4f x a f x +=； B 选项，令20x =得到()01f =，再令120,x x x ==-得到()()=f x f x -，B 正确； C 选项，可举出反例； D 选项，令12x x t 得到()()20212f f t t +=≥⎡⎤⎣⎦，令2t x =，则()1f x ≥-，由()()f x a f x a +=--，得到()()2f x a f x +=-，故可得()()21f x a f x +=-≤，求出函数()f x 最大值是1，最小值是-1. 【详解】令12,x x x a ==得()()()()20f x a f x a f x f a ++-==，故()()f x a f x a +=--， 上式中，用2x a -代替x 得：()()22f x a a f x a a -+=---，即()()3f x a f x a -=--， 从而()()3f x a f x a +=-，故()()4f x a f x +=，A 正确；()()()()1212122f x x f x x f x f x ++-=，令20x =得：()()()()11120f x f x f x f +=，即()()()11022f x f x f =，∵1R x ∈，()1f x 不恒为0， ∴()01f =，令120,x x x ==-，得()()()()20x f f x x f f +=--，即()()=f x f x -， 又()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称， 所以()f x 为偶函数，B 正确；不妨令()cos f x x =，满足()()()()12121212cos cos f x x f x x x x x x ++-=++- 1212121212cos sin sin c 2cos s co os in sin co s co s s x x x x x x x x x x =-++=，故()()()()1212122f x x f x x f x f x ++-=，此时存在3π2a =，使得3π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且存在π3b =，使得()0f b ≠；但函数()f x 在区间0,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，C 错误；令12x x t 得：()()()2220f f f t t +=⎡⎤⎣⎦，即()()20212f f t t +=≥⎡⎤⎣⎦，所以()12f t ≥-，令2t x =，则()1f x ≥-，因为()()f x a f x a +=--，所以()()2f x a f x +=-， 因为()1f x ≥-，所以()()21f x a f x +=-≤， 故函数()f x 最大值是1，最小值是-1. 故选：ABD三、填空题13．51log 25+=______． 【答案】10【分析】根据对数运算求解即可. 【详解】解：551log 2log 215055521+==⨯=⨯ 故答案为：1014．设2log 3a =，3log 5b =，则5log 6=______． 【答案】1a ab+【分析】利用换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】∵2lg3log 3lg 2a ==，3lg 5log 5lg 3b ==， ∴lg 3lg 2=a，lg5lg3=b ， ∴5lg31lg31lg 6lg 2lg3l 1lg5lg3l o 3g g 6++++=====a a a b b b ab ． 故答案为：1a ab+. 15．设方程1502xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的解为1x ，2x ，方程12log 50x x +-=的解为3x ，4x ，则1234x x x x +++=______．【答案】10【分析】在同一坐标系下做出函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭、()12log g x x =，y x =的图象，设1324x x x x <<<，根据函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()12log g x x =的图象关于y x =对称得点111,2⎛⎫⎪⎝⎭x x 与点1244,log ⎛⎫ ⎪⎝⎭x x 、点2122,log x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点331,2⎛⎫ ⎪⎝⎭x x 都关于y x =对称，求出5、==-y x y x 的交点坐标再根据中点坐标公式计算可得答案.【详解】由方程1502x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭得152⎛⎫=- ⎪⎝⎭xx ，由方程12log 50x x +-=得12log 5=-x x ，在同一坐标系下做出函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭、()12log g x x =，y x =的图象，不妨设1324x x x x <<<，如下图，因为函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()12log g x x =的图象关于y x =对称，即点111,2⎛⎫⎪⎝⎭x x 与点1244,log ⎛⎫ ⎪⎝⎭x x 、点2122,log x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点331,2⎛⎫ ⎪⎝⎭x x 都关于y x =对称， 由5y x y x =⎧⎨=-⎩解得5252x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即两直线的交点为55,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，则231455,2222x x x x ++==，则123410x x x x +++=. 故答案为：10.16．如果函数()()2log 3log 1log a a a f x x a x-=+>在区间[]2,3上是减函数，那么实数a 的取值范围是______． 【答案】[)3,+∞【分析】根据2log 3a -的正负，考虑13a <≤3a >log 32log 3a a -.【详解】()()2log 3log 0,1log a a a f x x a a x-=+>≠，设log a t x =，当13a <≤2log 30a -≤，()2log 3a f t t t-=+单调递增，log a t x =单调递增，故函数()f x 单调递增，不成立；当3a >2log 30a ->，log a t x =单调递增， 故()2log 3a f t t t-=+在[]log 2,log 3a a t ∈上单调递减，故log 32log 3a a - 解得2log 31a -≤≤，故3a ≥.综上所述：3a ≥. 故答案为：[)3,+∞四、解答题17．设a ,b ∈R ，集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，求b a -．【答案】2b a -=【分析】根据题意，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得0a b +=，进而分析可得a 、b 的值，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，又0a ≠，0a b ∴+=，即a b =-，∴1ba=-， 1b =；故1a =-，1b =， 则2b a -=， 故答案为：2【点睛】本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．18．（1）设()xf x a =（0a >且1a ≠），证明：()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭；（2）设()212xx g x -+=，证明：()()121222g x g x x x g ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）结合均值不等式及幂运算即可证明；（2）结合（1）中121222x x x x a a a ++≥得()()()()1222211112222x x x x g x g x -++-++≥，结合均值不等式可得()()22221121221111222xx x x x xx x -++-+++⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，即可证.【详解】（1）证明：()()121212122222x x x x f x f x x x a a a f ++++⎛⎫=≥== ⎪⎝⎭；（2）证明：由（1）得：()()()()222221111222111112222222x x x x x x x x g x g x -++-+-+-+++=≥，因为()()222211221212111222xx x x x x x x -++-+++=-+22212121212122114222x x x x x x x x x x +++++⎛⎫≥-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()()2222121212221111222x x x x x x x x ++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-++-+≥， 故()()121222g x g x x x g ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 19．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，已知用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为()f x ．(1)试确定()0f 的值，并解释其实际意义； (2)设()f x cc x=+，其中c 是正的常数．现有A （A >0）个单位量的水，计划把水分成2份后清洗两次，设第一次清洗用水m （0m A <<）个单位量，第二次清洗用水A m -个单位量，试问m 为何值时清洗后蔬菜上残留的农药量最少，说明理由． 【答案】(1)()01f =，答案见解析； (2)当2Am =时清洗后蔬菜上残留的农药量最少，理由见解析.【分析】（1）根据实际意义结合条件即得；（2）由题可得两次清洗后蔬菜上残留的农药量与清洗前残留的农药量之比，然后利用基本不等式即得.【详解】（1）由题意可规定()01f =，表示的是未用清水冲洗蔬菜时，蔬菜上残留的农药量没有变化： （2）两次清洗后蔬菜上残留的农药量与清洗前残留的农药量之比为：()()()()()2c c c y f m f A m c m c A m c m c A m =⋅-=⋅=++-++-⎡⎤⎣⎦，其中0m A <<,因为()()()()222=2c m c A m A c m c A m c +++-⎡⎤⎛⎫++-≤+⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦， 当且仅当()c m c A m +=+-时，即2Am =时等号成立，所以()()222c y f m f A m A c =⋅-≥⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当2A m =时等号成立． 所以，当2Am =时清洗后蔬菜上残留的农药量最少． 20．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t（单位：h ）间的关系为：0e ktP P -=，其中0P ，k 是正的常数．(1)如果过滤5h 消除了废气中20%的污染物，求：过滤15h 后，废气中还剩百分之几的污染物； (2)如果过滤5h 消除了废气中%M 的污染物，那么需要过滤多少时间，废气中的污染物减少50%？（用M 表示）【答案】(1)还剩51.2%的污染物； (2)()5ln 0.5ln 1%t M =-．（或()5ln 2ln 1%t M =--）【分析】（1）由题可得5e 120%k -=-，然后可得15t =时污染物含量，即得； （2）根据条件表示出k ，然后利用函数关系式进而即得. 【详解】（1）因为过滤5h 消除了废气中20%的污染物，所以()500120%ek P P --=，即5e 120%k -=-， 所以当15t =时，()31500e 120%t P P P -==-00.512P =，即过滤15h 后，废气中还剩51.2%的污染物：（2）由题意得()()500001%e 150%e kkt M P P P P --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，即()()00ln 1%5150%e kt M k P P -⎧-=-⎪⎨⎪-=⎩， 所以，()()ln 1% 500150%eM t P P --=，从而，()ln 1%ln 0.55M t -=， 即，()5ln 0.5ln 1%t M =-．（或()5ln 2ln 1%t M =--） 21．已知函数()f x 是函数x y a =（0a >且0a ≠）的反函数，且()21f =． (1)求函数()f x 的解析式； (2)设()()1g x f x =-．（i ）写出函数()g x 的单调区间，并指明单调性；（无需证明）（ⅱ）求()g x 在区间[],1t t +（其中R t ∈且0t >）上的的最小值()h t 和最大值()H t ． 【答案】(1)()2log f x x =(2)（i ）函数()g x 在区间(]0,2上是减函数，在区间[)2,+∞上是增函数；（ⅱ）()()221log 1,01,0,12log 1,2t t h t t t t ⎧-+<≤⎪=<≤⎨⎪->⎩，()()221log ,0log 11,t t H t t t ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩【分析】（1）首先设函数()log a f x x =，代入()21f =，即可求解；（2）（ⅰ）首先去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数的解析式，直接判断函数的单调区间； （ⅱ）根据函数的单调性，讨论t 的取值，分别求函数的最值.【详解】（1）由题意得()log a f x x =，且log 21a =，所以2a =，从而()2log f x x =．（2）()2221log ,02log 1log 1,2x x g x x x x -<<⎧=-=⎨-≥⎩（i ）函数()g x 在区间(]0,2上是减函数，在区间[)2,+∞上是增函数． （ⅱ）当012t t <<+≤时，即1t ≤时，()()()211log 1h t g t t =+=-+，()()21log H t g t t ==-．当2t >时，()()2log 1h t g t t ==-，()()()21log 11H t g t t =+=+-． 当21t t ≤<+时，即12t <≤时，()()20h x g ==，()()()()()22221log 111log log 1log 2g t g t t t t t +-=+---=++-⎡⎤⎣⎦当1t <≤()()21log H t g t t ==-；2t <≤时，()()()21log 11H t g t t =+=+-； 综上，()()221log 1,01,0,12log 1,2t t h t t t t ⎧-+<≤⎪=<≤⎨⎪->⎩，()()221log ,0log 11,t t H t t t ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩22．已知函数()232log 1x ax bf x x cx ++=++同时满足下列三个条件：（i ）函数()f x 的定义域是R ：（ⅱ）函数()f x 是奇函数； （ⅲ）函数()f x 的最大值是1． 求()f x 的解析式．【答案】()2321log 1x x f x x x -+=++或()2321log 1x x f x x x ++=-+．【分析】由题可知()30log 0f b ==，然后根据奇函数可得22a c =，结合条件可得22420x cx ++≥恒成立，且等号成立，进而即得.【详解】由题意可知函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()30log 0f b ==，即1b =， 又()()f x f x -=-，所以223322log log 11x ax b x ax b x cx x cx -+++=--+++，所以222211111x ax x ax x cx x cx -+++⋅=-+++， 即()()2222222211x a x x c x +-=+-恒成立；所以22a c =，可得a c =或a c =-， 当a c =时，()0f x =，不合题意， 所以a c =-，()2321log 1x cx f x x cx -+=++， 由题知当x ∈R 时，()232log 11x ax bf x x cx ++=≤++，即22131x cx x cx -+≤++恒成立，且等号成立， 即当x ∈R 时，22420x cx ++≥恒成立，且等号成立； 所以，()244220c ∆=-⨯⨯=， 解得：1c =或1c =-，从而，()2321log 1x x f x x x -+=++或()2321log 1x x f x x x ++=-+，经检验，符合题意；故()2321log 1x x f x x x -+=++或()2321log 1x x f x x x ++=-+．。
宁夏育才中学勤行校区2021-2022学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含答案
5()4()3()2()1()宁夏育才中学2021-2022-1高一班级12月月考 数学试卷(试卷满分 120 分，考试时间为 120 分钟)一． 选择题（本题共12题，每个题目只有一个正确选项，每题4分，共48分）。
1.下列说法不正确的．．．．是 （ ） A.空间中，一组对边平行且相等的四边形是肯定是平行四边形；B.同一平面的两条垂线肯定共面；C. 过直线上一点可以作很多条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.2.点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点， 若AC=BD ，且AC 与BD 成900，则四边形EFGH 是 （ ） A ．菱形 B.梯形 C.正方形 D.空间四边形 3.有下列四个命题：（1）过三点确定一个平面（2）矩形是平面图形（3）三条直线两两相交则确定一个平面 （4）两个相交平面把空间分成四个区域其中错误命题的序号是 （ ）． A ．（1）和（2） B ．（1）和（3） C ．（2）和（4） D ．（2）和（3） 4.下列命题正确的是 （ ）． A ．空间中两直线所成角的取值范围是：0°<θ≤ 90° B ．直线与平面所成角的取值范围是：0°≤θ≤90° C ．直线倾斜角的取值范围是：0°<θ≤180°D ．两异面直线所成的角的取值范围是：0°<θ< 90°．5．若直线1x =的倾斜角为α，则α等于 （ ） A ．0 B ．45° C ．90° D ．不存在 6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ） A ．2B ．1C ．23D ．137. 球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是 （ ）A.3πB.4πC.2πD.π8.如图，将无盖正方体纸盒开放，直线AB,CD 在原正方体中的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交且垂直C ． 异面D ．相交成60°9．设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ其中正确命题的序号是 ( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④10．在长方体''''D C B A ABCD -中，3'=BB ,1''=C B ,则'AA 与'BC 所成的角是（ ）A ．︒90B ．︒45C ．︒60D ．︒3011．如下图所示，最左边的几何体有一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，所截得的截面图形可能是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（1）（4）D ．（1）（5）12.已知直角三角形ABC ，其三边分为a,b,c,（a>b>c ）。
天津市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案
天津2023年12月高一年级月考数学试卷（答案在最后）一、选择题（每题4分，共计48分）1.已知集合{1,3,5,7}A =，{4,5,6,7}B =，则A B = （）A.{5,7}B.{1,3,4}C.{1,3,4,6}D.{1,3,4,5,6,7}【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用交集的运算即可求出A B ⋂.【详解】解：由题可知，{1,3,5,7}A =，{4,5,6,7}B =，由交集的运算可得{}5,7A B = .故选：A.2.命题“0x ∀>，2210x x -+≥”的否定是（）A.0x ∃>，2210x x -+<B.0x ∀>，2210x x -+<C.0x ∃≤，2210x x -+<D.0x ∀≤，2210x x -+<【答案】A 【解析】【分析】根据题意，全称命题的否定是存在命题，全称改存在，再否定结论.【详解】因为命题“0x ∀>，2210x x -+≥”是全称命题，全称命题的否定是存在命题，所以命题“0x ∀>，2210x x -+≥”的否定是“0x ∃>，2210x x -+<”故选：A3.设x R ∈，则“1x <”是“220x x +-<”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解出两个不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解不等式1x <，可得11x -<<；解不等式220x x +-<，可得2<<1x -.因为，()1,1-()2,1-，因此，“1x <”是“220x x +-<”的充分而不必要条件.故选：A.4.半径为1，圆心角为2π3的扇形的面积是（）A.4π3 B.2π3C.πD.π3【答案】D 【解析】【分析】利用扇形的面积公式即可得解.【详解】因为扇形的半径为1，圆心角为2π3，所以扇形的面积为212ππ1233⨯⨯=.故选：D.5.已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）【答案】C 【解析】【分析】判断函数的单调性，以及f （2），f （3）函数值的符号，利用零点存在性定理判断即可．【详解】函数()ln 4f x x x =+-，是增函数且为连续函数，又f （2）ln 2240=+-<，f （3）ln3340=+->，可得()()230f f <所以函数()ln 4f x x x =+-包含零点的区间是(2,3)．故选：C ．【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6.已知角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，其中0a <，则sin α=（）A.4aB.45C.35D.45-【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为0a <，所以a a =-，因为角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，所以44sin 55a a α===-.故选：D.7.已知2log 5a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得解.【详解】由题意，得22log 54log 2a ==>，3331log 3log 8log 92=<<=，即12b <<，0.2000.30.31c <=<=，所以a b c >>.故选：A.8.函数()2213x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（）A.()0,1 B.()0,3 C.(]0,3 D.()3,∞+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数、指数函数性质求指数复合函数的值域.【详解】由222(1)1[1,)t x x x =-=--∈-+∞，则1()(0,3]3ty =∈，所以()2213x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,3.故选：C9.若函数()f x 和()g x 都是R 上的奇函数，()()()2F x af x bg x =++，若()25F -=，则()2F =（）A.1B.1- C.5- D.5【答案】B 【解析】【分析】利用奇函数的性质，即可求解()()22af bg +的值，即可求解()2F 的值.【详解】因为函数()f x 和()g x 都是R 上的奇函数，所以()()22f f -=-，()()22g g -=-，()()()()()22222225F af bg af bg -=-+-+=-++=⎡⎤⎣⎦，则()()223af bg +=-，()()()2222321F af bg =++=-+=-.故选：B10.化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A.1B.2C.4D.6【答案】B 【解析】【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=，故选：B11.函数y =）A.[)1,+∞B.[)1,3C.()1,3 D.(),3-∞【答案】B 【解析】【分析】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的性质即可得解.【详解】因为y =所以()12log 31030x x ⎧-+≥⎪⎨⎪->⎩，解得13x ≤<.故选：B.12.已知函数()21,01ln ,0x x f x x x-⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--，若函数()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)1,0- B.[)1,+∞ C.(],1-∞ D.[)2,+∞【答案】D 【解析】【分析】根据题意，转化为()y f x =和y x a =+有两个交点，画出两个函数的图形，结合函数的图象，即可求得实数a 的取值范围.【详解】由函数()21,01ln ,0x x f x x x-⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，因为()()g x f x x a =--，令()0g x =，即()f x x a =+，由函数()g x 有2个零点，即()y f x =和y x a =+有两个交点，在同一坐标系内画出两个函数的图形，如图所示，结合函数的图象，要使得函数()g x 有2个零点，则2a ≥，所以实数a 的取值范围为[2,)+∞.故选：D.二、填空题（每题4分，共计24分）13.cos120︒=__________．【答案】-12【解析】【详解】()1cos120cos 18060cos602=-=-=-oooo .故答案为12-.14.若幂函数()f x 的图象经过点()25,5，则()f x 的解析式为______.【答案】()12f x x =【解析】【分析】由幂函数所过的点求解析式即可.【详解】令幂函数()f x x α=，且过点()25,5，则12552αα=⇒=，所以()12f x x =.故答案为：()12f x x=15.已知102m =，103n =，则10m n -=________．【答案】23【解析】【分析】利用指数及指数幂的运算律求解.【详解】102m= ，103n=，10032110m m n n-∴==故答案为：23.16.已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5x =，则tan x =________．【答案】34-【解析】【分析】根据同角平方关系，先求出3sin 5x =-，再根据商数关系，求出tan x .【详解】由4cos 5x =，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得3sin 5x ==-，则根据商数关系得sin 3tan cos 4x x x ==-.故答案为：34-.17.函数12(01)1y x x x=+<<-的最小值为________．【答案】3+【解析】【分析】函数变形为12(1)1y x x x x ⎛⎫=++- ⎪-⎝⎭，利用基本不等式“1”求最小值.【详解】01x <<Q ，011x ∴<-<，121212(1)3332111x x y x x x x x x x x -⎛⎫∴=+=++-=++≥++ ⎪---⎝⎭，当且仅当121x xx x-=-，即1x =时，等号成立.所以函数12(01)1y x x x=+<<-的最小值为3+.故答案为：3+【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18.若f (x )＝(31)4,1,1a x a x ax x -+<⎧⎨-≥⎩是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是________.【答案】1183⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】根据分段函数的单调性可得310(31)140a a a a a -<⎧⎪-⨯+≥-⎨⎪>⎩，解不等式组即可求解.【详解】由题意知，310(31)140a a a a a -<⎧⎪-⨯+≥-⎨⎪>⎩，解得1380a a a ⎧<⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎩，所以11,83a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了由分段函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.三、解答题（共计28分）19.若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，（1）求a 的值；（2）求不等式22510ax x a -+->的解集.【答案】（1）2-（2）13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由已知不等式的解集得到2520ax x +-=的两个实数根为12和2，利用韦达定理即可求出a 的值；（2）代入a 的值，由一元二次不等式的求解即可得解．【小问1详解】依题意可得：2520ax x +-=的两个实数根为12和2，由韦达定理得：15221222aa ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩，解得：2a =-；【小问2详解】由（1）不等式22510ax x a -+->，即22530x x +-<，解得：132x -<<，故不等式的解集是1(3,2-．20.已知函数()()22log 43f x x ax =-+（1）当1a =时，求()f x 的定义域和单调递减区间；（2）若函数()f x 在()1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）() f x 的定义域为(,1)(3,)-∞+∞ ；单调递减区间为(,1)-∞（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）先由对数函数的性质求得()f x 的定义域，再利用复合函数的单调性，结合二次函数与对数函数的单调性即可得解；（2）利用复合函数单调性的性质，得到243u x ax =-+的性质，从而得到关于a 的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】令243u x ax =-+，2log y u =．当1a =时，243u x x =-+，由0u >得2430x x -+>，解得3x >或1x <．故()f x 的定义域为(,1)(3,)-∞+∞ ．因为函数2log y u =在定义域上单调递增，()224321u x x x =-+=--在(,1)-∞上单调递减，在(3,)+∞单调递增，所以()22()log 43f x x x =-+的单调递减区间为(,1)-∞．【小问2详解】因为()f x 在()1,+∞上单调递增，又2log y u =在定义域上单调递增，所以243u x ax =-+在()1,+∞上单调递增，且0u >恒成立，因为243u x ax =-+开口向上，对称轴为2x a =，所以2211430a a ≤⎧⎨-+≥⎩，解得12a ≤，故实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.21.已知函数()221x x af x +=-，且函数()f x 为奇函数（1）求函数的定义域；（2）求实数a 的值（3）用定义证明函数()f x 在()0,∞+上单调递减【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）1a =；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由分式的性质，解指数方程求定义域；（2）由奇函数性质有()()f x f x -=-，得到(1)21x a a -⋅=-恒成立，即可求参数；（3）令120x x >>，应用作差法比较()()12,f x f x 大小即可证结论.【小问1详解】由题设210x -≠，即0x ≠，故函数的定义域为{|0}x x ≠.【小问2详解】由()212()2112x x x x a a f x f x --++⋅-===---，则1221221x x x x a a +⋅+=---，所以122x x a a +⋅=+，即(1)21x a a -⋅=-恒成立，故1a =.【小问3详解】令120x x >>，则()()1212211212122121(21)(21)(21)(21)2121(21)(21)x x x x x x x x x x f x f x +++--+--=-=----21122(22)(21)(21)x x x x -=--，由21220x x -<，1210x ->，2210x ->，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.。
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2021年高一12月月考 数学 含答案
一、选择题
1. 函数的定义域是 （ ） A ． B ． C ． D ．
2.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )
①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 A 、①② B 、①③ C 、①③ D 、②④
3.设集合，，给出如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是
A B C D 4.若直线∥平面，直线，则与的位置关系是
A 、∥a
B 、与异面
C 、与相交
D 、与没有公共点 5.若函数在区间上是减函数，在区间上是增函 数则实数的值是
A B C D
6.在空间四边形各边上分别取四点，如果与能相交于点，那么 A 、点不在直线上 B 、点必在直线BD 上
C 、点必在平面内
D 、点必在平面外
7.方程的实数解落在的区间是
A B C D
8.若球的半径是cm ，则球的内接正方体的体积是（ ） A 、8cm 3 B 、8cm 3 C 、24cm 3 D 、46cm 3 9.当时，在同一坐标系中，函数与的图象是
(A) (B) (C)
(D)
10.平面与平面平行的条件可以是（ ）
A.内有无穷多条直线与平行；
B.直线a//,a//
C.直线a,直线b,且a//,b//
D.内的任何直线都与平行
11.下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是
A 、
B 、
C 、
D 、
12. 已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是 （A ） （B ） （C ） （D ）
二、填空题（每小题4分，共16分） 13.计算 .
14．函数的单调递增区间是 . 15、若函数的定义域为，则值域为 . 16.如图边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A ′DE 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是 .
①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上； ②BC ∥平面A ′DE ；
③三棱锥A ′－FED 的体积有最大值． 三、解答题
17.（本小题满分12分）
已知：集合，集合， 求.
18.（本小题满分12分）
已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且ＥＨ∥ＦＧ． 求证：EH ∥BD .
H E
A
19.（本小题满分12分）
设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任 意恒成立，求实数的取值范围。
20、（本小题满分12分）
一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积与的函数关系式,并求出函数的定义域. (12分)
21.（本小题满分12分）
某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每
生产产品（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为万元，并且每生产百台的生产成本为万元（总成本 = 固定成本 + 生产成本）；销售收入（万元）满足：
20.4 4.20.8 (05)()10.2 (5)x x x R x x ⎧-+-≤≤=⎨>⎩，
假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律: （Ⅰ）要使工厂有赢利，产量应控制在什么范围？ （Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？
22.（本小题满分14分）
已知如图，斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点D 、D 1分别为AC 、A 1C 1上的点．
(1)当A 1D 1
D 1C 1
等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1?
x 105
O F E D B C
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求AD
DC的值．
高一数学月考测试题答案
一．选择题
1—5, B D D D B ， 6--10, C C A C D , 11--12, D A 二．填空题
13：2 14：[-1，1）15：16：①③
三、简答题
17. 解：是函数的定义域
解得即…………………………….4分
是函数的值域.
解得即………………………………..8 分
……………………………………………………..12分
18、证明：面，…………………………..….. 2分
面…………………………..………4分
∴EH∥面……………………………….…. 6分
又面，………………………………….…. 8分
面面，………………………………….10分
∴EH∥BD…………………………………….12分
19. 解：是增函数对于任意恒成立
对于任意恒成立………………………2分 对于任意恒成立， 令，，所以原问题……4分 又
即2min
1,0
()1,2042,2
a a a
g x a a a - >⎧⎪⎪=--+-≤≤⎨⎪ <-⎪⎩…… 10分 易求得。
12分
20解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为. 在Rt △EOF 中,
, …………………………………….. 2分
所以, …………………………………….. 5分
于是 …………………………………………. 9分
依题意函数的定义域为……………………………12分
21 解：依题意，设成本函数.利润函数为，则
20.4 3.2 2.8(05)
()()()8.2(5)
x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨->⎩………………. 4分
(Ⅰ) 要使工厂有赢利，即解不等式，当时，
解不等式。
即.
∴ ∴。
…………………………………. 6分 当x>5时，解不等式， 得。
∴。
综上所述，要使工厂赢利，应满足，
即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内。
……………….8分
(Ⅱ) 时，
故当时，有最大值3.6. …………………………………..10分
而当时，
所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多. ………………………..12 分
22. 解：(1)如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1
D 1
C 1
＝1，
连结A 1B 交AB 1于点O ，连结OD 1. 由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形， 所以点O 为A 1B 的中点．
在△A 1BC 1中，点O 、D 1分别为A 1B 、A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1. …………………………………………3分 又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，
∴BC 1∥平面AB 1D 1. ………………………………………6分
∴A 1D 1
D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1，…………………….. 7分 (2)由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O .
因此BC 1∥D 1O ， ......................................................... 10分 同理AD 1∥DC 1.....................................................................11分 ∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC
AD ....................................................13分 又∵A 1O
OB ＝1， ∴DC AD ＝1，即AD
DC ＝1. ...........................................................14分。