复合材料力学 第四章层合板的宏观力学行为

B12 B 22 B 26 D12 D 22 D 26
B16 k x B 26 k y B 66 k xy D16 k x D 26 k y D66 k xy
A ij Qij k ( z k z k 1 )
1 2 z1 z2 z k N 层数 Zk-1 zk t zN-1 zN
x k y zdz k 1 xy
k
按每一层
t/2
z0
z 0 t / 2
经典层合理论
N x Q11 N N y Q21 k 1 Q 16 N xy M x Q11 N M y Q21 k 1 Q 16 M xy Q12 Q22 Q26 0 kx Q16 x zk zk 0 Q26 y dz k y z dz z k 1 z k 1 k 0 Q66 xy k xy 0 kx Q16 x zk 2 zk 0 Q26 y z dz k y z dz z k 1 z k 1 k 0 Q66 xy k xy
（i=x，y，xy）
x z y Ny Nyx
x
Nxy
Nx
y
z
My
Mxy Myx
Mx
层合平板的力矩
经典层合理论
N层层合板上作用的全部合力和力矩为：
N x N y N xy x x M x x N N t/2 z k t/2 z dz dz M z dz y t / 2 y t / 2 y zk1 y z k 1 k 1 xy xy k xy M xy
经典层合理论
u 0 v 0 u 0 v 0 T { 0 } { , ,( )} x y y x
2w 2w 2w T {k } { 2 , 2 ,2 } x y xy
分别称为中面面内应变列阵和中面弯曲应变列阵
2 w k ( w ) k x ( 2 ) y y 2 x
2
称为曲率 称为扭率
2w k xy ( 2 ) xy
剪切变形理论
w z z u w zx z x v w zy z y
w w 0 ( x, y ) u u 0 z x
不为零
v v 0 z y
u u 0 x x z x x x y v v 0 y z y y y
w 0 v v0 z y
经典层合理论
板内任一点的位移分量可表示为：
由直法线不变假设，得
z 0 zx zy 0
u u( x , y , z ) v v( x, y , z ) w w ( x, y , z )
w w 0 ( x, y ) w 0 u u0 z x w 0 v v0 z y
xy
u v u 0 v 0 x z( ) y x y x y x
x x y {k } y x y ( ) y x y
0 A16 x B11 0 A 26 y B 21 0 B A 66 xy 16 0 B16 x D11 0 B 26 y D 21 0 D B 66 xy 16
经典层合理论
{} {0 } z{k}
x y xy Q11 Q21 Q16 Q12 Q22 Q26
k Qk k
0 k x Q16 x 0 Q26 y z k y 0 k Q66 xy xy
1 2 12
S11 S 21 0
S12 S 22 0
0 1 0 2 S 66 12
x y xy
Q11 Q21 Q16
单层结构的刚度


对称于中面的层合板 反对称于中面的层合板
层合板刚度的特殊情况
各向同性单层
Et 3 D11 D 2 12(1 )
Bij 0
Et A11 A 2 1 A12 A A 22 0 A16 A 26 0 Et 1 A 66 A 2(1 ) 2
每一层的Qij是不同的
经典层合理论
1 2 z x
3 4
层合板 应变变化 特征模型 应力变化
因层合板沿厚度方向物理性质不连续导致应力的不连续
经典层合理论
定义作用在单位宽度上层合板的平均内力 Ni 和内力矩Mi为
Ni
h/ 2 h / 2
idz
Mi
h/ 2
h / 2
i zdz
M x D D 0 k x 0 k y M y D D 1 0 0 D k xy M xy 2
各向同性层板的拉伸与弯曲之间没有耦合影响，面内没有 耦合，同时
经典层合理论
2w 0 u u 0 x z x x x 2 应变有位移确定如下: 2w0 v v 0 y z y y y 2
xy 2w0 u v u 0 v 0 2z y x y x xy
若用矩阵形式表示
Q12 Q22 Q26
k Q k k 第k层的应力-应变关系 •层与层过渡和层与层的结合方式的考虑 •沿厚度方向的积分

Q16 x Q26 y Q66 xy
经典层合理论
层间变形一致性假设：层合板各单层之间粘合层非常薄， 单层边界两边的位移是连续的，层间不能滑移，无相对位 移 直法线不变假设：假设垂直于层合板中面的一根初始直线， 在层合板受到拉伸和弯曲后，仍保持直线并垂直于中面； 变形前垂直与板中面的直线在变形后仍保持垂直，且长度 不变，即： z 0, zx 0, zy 0 板的克希荷夫假设(Kirchhoff) 壳的克希荷夫-勒普假设(Kirchhoff-Love) 在上述假设基础上建立的层合板理论称为经典层合板理论 上述假设没有针对层合平板的限制，层合板也可以时曲面 或壳
u0
A B
B：中面上一点 C：任意点
A
B C D
wk.baidu.com
zc z
C D
x

w0
uC u0 z c
是层合板中面在X方向上的斜率
zc

变形前的横截面
变形后的横截面
w 0 x
XZ平面内的变形几何
层合板厚度上任意一点z的位移u为：
u u0 z
同样，在yz平面内，y方向上的位移v为：
w 0 x
第四章 层合板的宏观力学性能
引言
层合板定义：是由两层或多层简单层板粘合在 一起作为一个整体的结构单元。 各单层的材料主方向的布臵应使结构元件能承 受几个方向的载荷 单层板是层合板或层合结构分层的基本单元， 对它的宏观力学研究是分析层合结构的基础 层合板各单层的材料、厚度和弹性主方向等可 以互不相同。适当地改变这些参数，人们就可 以设计出最有效地承受特定外载的结构元件， 这是复合材料层合板突出的优点之一。
Q12 Q22 Q26
不是z的函数而是中面值
经典层合理论
N x N y N xy M x M y M xy
N
A 11 A 21 A 16 B11 B 21 B16
A12 A 22 A 26 B12 B 22 B 26
u 0 x v 0 { 0 } y u 0 v 0 y x
{} {0 } z{k}
2w 2 x 2 w {k } 2 y2 w 2 xy
引言
有不同物理性质和几何尺寸单层组成的层合板 具有最一般的各向异性性质 层合板不一定有确定的主方向 另一方面，这种层合板在厚度方向具有客观的 非均匀性和力学性质的不连续性 对层合板的力学分析就变得更为复杂 已知单层的性质，主要关注沿厚度方向的应力 和应变的变化
引言
单层板的应力-应变性能
1 2 12 Q11 Q 21 0 Q12 Q 22 0 0 1 0 2 Q 66 12
k 1

B ij
1 2 2 Qij k ( z k zk 1 ) 2 k 1
N

1 N 3 3 Dij Qij k ( z k zk 1 ) 3 k 1

子矩阵[A]、[B]和 [D]分别称 为面内刚度矩阵、耦合刚度矩 阵和弯曲刚度矩阵，都是3×3 对称矩阵
经典层合理论
另外


单层平面应力状态假设：层合板中各单层都可近似 地认为处于平面应力状态 z=0假设：在厚度方向上的正应力于其它应力相比 很小，可忽略不计
经典层合理论
z,w x,u
u0
y,v
A B A
zc
z
C D
x
C D
B

w0
zc
变形前的横截面
变形后的横截面
XZ平面内的变形几何
经典层合理论
经典层合理论
Bij的存在意味着层和板在弯曲和拉伸之间的相 互耦合 拉力不仅引起层合板的拉伸变形，而且也使层 合板扭转或弯曲 层合板承受力矩作用时，也会引起中面的拉伸 变形 化简问题：A B D
层合板刚度的特殊情况
具有相同材料性能和厚度的单层板，彼此的材 料主方向不同，也不同于层合板轴的方向

逐步复杂化的特殊情况 各向同性 特殊正交各向异性 一般正交各向异性 各向异性
D12 D D 22 D D16 D 26 0 Et 3 1 D66 D 24(1 ) 2
层合板刚度的特殊情况
合力仅仅与层合板中面内的应变有关，合力矩仅与中 面的曲率有关
0 N x A A 0 x 0 N A A 0 y y 1 0 0 0 A xy N xy 2