外接球的表面积和体积高考试题精选一资料1资料全

外接球的表面积和体积高考试题精选（一）一．选择题（共30小题）1．一几何体的三视图如图所示，三个三角形都是直角边为2的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在球O上，球O的表面积为（）A．16πB．3πC．D．12π2．如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．3π3．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π4．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．5．已知三棱锥O﹣ABC，A，B，C三点均在球心为O的球表面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积是（）A．544πB．16πC．πD．64π6．点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=AC=，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．8πC．D．7．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．32π8．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（）A．πB．2πC．πD．3π9．已知在三棱锥P﹣ABC中，V P﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A．B．C．D．10．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π11．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．πB．3πC．4πD．6π12．已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB ⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC．D．2π13．球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中AB=18，BC=24，AC=30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为（）A．1200πB．1400πC．1600πD．1800π14．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC 的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）A．πB．πC．πD．π15．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．32π16．已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=90°，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于（）A．4πB．πC．12πD．20π17．四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB=2，BC=CD=1，∠BCD=60°，AB⊥平面BCD，则球O的表面积为（）A．8πB．C．D．18．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O上，底面ABCD是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为（）A．B．C．32πD．64π19．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π20．已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（）A．8πB．12πC．πD．3π21．一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（）A．B．C．D．322．已知SC是球O的直径，A，B是该球面上的两点，△ABC是边长为的正三角形，若三棱锥S﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）A．16πB．18πC．20πD．24π23．已知三棱锥P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，PA⊥面ABC，PA=2，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．πB．4πC．πD．16π24．已知A，B，C在球O的球面上，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，直线OA 与截面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为（）A．4πB．16πC．πD．π25．一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．21πB．24πC．28πD．36π26．在三棱锥P﹣ABC中，PA=2，PC=2，AB=，BC=3，∠ABC=，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．4πB．πC．πD．16π27．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π28．已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点A、B、C、D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=，BC=2，CD=，则球O的表面积为（）A．12πB．7πC．9πD．8π29．用一个与球心距离为1的平面去截球，所得截面的面积为π，则球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π30．在三棱锥A﹣BCD中，AB=，其余各棱长都为2，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．3πB．πC．6πD．π外接球的表面积和体积高考试题精选（一）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2017•达州模拟）一几何体的三视图如图所示，三个三角形都是直角边为2的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在球O上，球O的表面积为（）A．16πB．3πC．D．12π【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，如图所示，AB=AC=AD=2，且AB，AC，AD两两垂直．把此三棱锥补成正方体，则这个空间几何体的外接球的直径为此正方体的对角线2，因此这个空间几何体的外接球的表面积S=4π•3=12π．故选：D．2．（2017•达州模拟）如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．3π【解答】解：∵该几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，∴该几何体为从底面直角顶点出发的三条棱两两垂直的三棱锥，可将其补成一个边长为1的正方体，则该几何体的外接球就是补成的正方体的外接球，∵补成的正方体的对角线长l==为其外接球的直径d，∴外接球的表面积S=πd2=3π，即该几何体的外接球的表面积为3π，故选：D．3．（2016•新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π．故选：A．4．（2016•上饶三模）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S球=4πR2，截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．5．（2016•河南模拟）已知三棱锥O﹣ABC，A，B，C三点均在球心为O的球表面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积是（）A．544πB．16πC．πD．64π【解答】解：三棱锥O﹣ABC，A、B、C三点均在球心O的表面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，AC=，∴S△ABC=×1×1×sin120°=，∵三棱锥O﹣ABC的体积为，△ABC的外接圆的圆心为G，∴OG⊥⊙G，外接圆的半径为：GA==1，∴S△ABC•OG=，即×OG=，OG=，球的半径为：=4．球的表面积：4π42=64π．故选：D6．（2016•安徽校级一模）点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=AC=，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．8πC．D．【解答】解：根据题意知，△ABC是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1．小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ=，∴DQ=4，设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（4﹣R）2，∴R=则这个球的表面积为：S=4π（）2=故选C．7．（2016•衡水模拟）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．32π【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R===2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．8．（2016•南昌三模）已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（）A．πB．2πC．πD．3π【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1A∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，∴Rt△O1OA中，O1A=．又∵E为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴AE=AO1cos30°=．∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r=，可得截面面积为S=πr2=．故选C．9．（2016•河南模拟）已知在三棱锥P﹣ABC中，V P﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，设PC=2x，则∵PA⊥AC，∠APC=，∴△APC为等腰直角三角形，∴PC边上的高为x，∵平面PAC⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距离为x，∵∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，∴PB=x，BC=x，∴S△PBC==，∴V P﹣ABC=V A﹣PBC==，∴x=2，∵PA⊥AC，PB⊥BC，∴PC的中点为球心，球的半径为2，∴三棱锥P﹣ABC外接球的体积为=．故选：D．10．（2016•湖南二模）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【解答】解：由已知中三棱锥的高为1底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等，所以底面直角三角形斜边中点就是外接球的球心；则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积S=4πR2=4π故选：A11．（2016•湖南校级模拟）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．πB．3πC．4πD．6π【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为．∴此四面体的外接球的表面积为表面积为=3π．故选：B．12．（2016•大庆一模）已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC．D．2π【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC=，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．13．（2016•中山市校级模拟）球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中AB=18，BC=24，AC=30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为（）A．1200πB．1400πC．1600πD．1800π【解答】解：∵AB2+BC2=182+242=302=AC2，∴△ABC为直角三角形，且其外接圆的半径为=15，即截面圆的半径r=15，又球心到截面的距离为d=R，∴R2﹣=152，∴R=10，∴球的表面积S=4πR2=4π×=1200π．故选：A．14．（2016•泉州校级模拟）已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O 的表面积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：在△ABC中，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC==2，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），r==2，又∵球心到平面ABC的距离d=R，∴球O的半径R=，∴R2=故球O的表面积S=4πR2=π，故选：D．15．（2016•白银模拟）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．32π【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，∴R=2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．16．（2016•广西二模）已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=90°，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于（）A．4πB．πC．12πD．20π【解答】解：设球心为O，如图．由PA=PD=AB=2，∠APD=90°，可求得AD=2，在矩形ABCD中，可求得对角线BD==2，由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，∴球的半径R=BD=则此球的表面积等于=4πR2=12π．故选：C．17．（2016•宁城县一模）四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB=2，BC=CD=1，∠BCD=60°，AB⊥平面BCD，则球O的表面积为（）A．8πB．C．D．【解答】解：如图，∵BC=CD=1，∠BCD=60°∴底面△BCD为等边三角形取CD中点为E，连接BE，∴△BCD的外心G在BE上，设为G，取BC中点F，连接GF，在Rt△BCE中，由CE=，∠CBE=30°，得BF==，又在Rt△BFG中，得BG=，过G作AB的平行线与AB的中垂线HO交于O，则O为四面体ABCD的外接球的球心，即R=OB，∵AB⊥平面BCD，∴OG⊥BG，在Rt△BGO中，求得OB=，∴球O的表面积为．故选：D．18．（2016•北海一模）已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O上，底面ABCD 是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O 的表面积为（）A．B．C．32πD．64π【解答】解：令△PAD所在圆的圆心为O1，△PAD为正三角形，AD=2，则圆O1的半径r=，因为平面PAD⊥底面ABCD，AB=4，所以OO1=AB=2，所以球O的半径R==，所以球O的表面积=4πR2=．故选：B．19．（2016•昆明三模）正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【解答】解：设三棱柱ABC﹣A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO′中点O1，∵OA=AB=1，OO1=AA′=1∴O1A=因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4πR2=8π故选：B．20．（2016•陕西模拟）已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（）A．8πB．12πC．πD．3π【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为1，正方体的对角线长为，∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴正四面体的外接球的半径为∴外接球的表面积的值为4πr2=4=3π．故选：D．21．（2016•安康三模）一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（）A．B．C．D．3【解答】解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，所以，r==．故选：A．22．（2016•抚顺一模）已知SC是球O的直径，A，B是该球面上的两点，△ABC是边长为的正三角形，若三棱锥S﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）A．16πB．18πC．20πD．24π【解答】解：根据题意作出图形．设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==1，∴OO1=，∴高SD=2OO1=2，∵△ABC是边长为的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC=××2=，∴r=．则球O的表面积为20π故选：C．23．（2016•冀州市校级模拟）已知三棱锥P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，PA⊥面ABC，PA=2，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．πB．4πC．πD．16π【解答】解：根据题意得出图形如下；O为球心，N为底面△ABC截面圆的圆心，ON⊥面ABC∵，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，∴根据正弦定理得出：=2r，即r=1，∵PA⊥面ABC，∴PA∥ON，∵PA=2，AN=1，ON=d，∴OA=OP=R，∴根据等腰三角形得出：PAO中PA=2d=2，d=∵R2=12+（）=4，∴三棱锥的外接球的表面积为4πR2=16π故选：D24．（2016•南昌校级二模）已知A，B，C在球O的球面上，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，直线OA与截面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为（）A．4πB．16πC．πD．π【解答】解：∵A，B，C在球O的球面上，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，∴BC为△ABC外接圆的直径，又∵直线OA与平面ABC成30°角则球的半径R==故球的表面积S=4×π×（）2=π故选：D．25．（2016•白山四模）一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．21πB．24πC．28πD．36π【解答】解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，所以，r==，球的表面积为：4πr2=4π（）2=21π故选：A．26．（2016•福建模拟）在三棱锥P﹣ABC中，PA=2，PC=2，AB=，BC=3，∠ABC=，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．4πB．πC．πD．16π【解答】解：由题意，AC==4，∵PA=2，PC=2，∴PA2+PC2=AC2，∴PA⊥PC．取AC的中点，则OA=OB=OC=OP，即O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，半径为2，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4πR2=16π．故选：D．27．（2016•南昌校级二模）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB==18，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．28．（2016•安徽三模）已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点A、B、C、D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=，BC=2，CD=，则球O的表面积为（）A．12πB．7πC．9πD．8π【解答】解：由题意，AC⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AC⊥BC，∵BC⊥CD，AC∩CD=C，∴BC⊥平面ACD，∴三棱锥S﹣ABC可以扩充为以AC，BC，DC为棱的长方体，外接球的直径为体对角线，∴4R2=AC2+BC2+CD2=12，∴R=∴球O的表面积为4πR2=12π，故选：A．29．（2016•永州二模）用一个与球心距离为1的平面去截球，所得截面的面积为π，则球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【解答】解：由已知中与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，故该圆的半径为1，故球的半径为，故该球的表面积S=4πR2=8π故选：B．30．（2016•新乡模拟）在三棱锥A﹣BCD中，AB=，其余各棱长都为2，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．3πB．πC．6πD．π【解答】解：取A B，CD的中点分别为E，O，连接EO，AO，BO，由题意知AO=BO=．又，所以AO⊥BO，EO=，易知三棱锥外接球的球心G在线段EO上，有R2=AE2+GE2，R2=CO2+GO2，∴R2=（）2+GE2，R2=12+（﹣GE）2，求得，所以其表面积为．故选：D．。