数学分析刘玉琏10-1
数学分析教案_(华东师大版)上册全集_1-10章
第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时)一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算sin、实数定义等问题引入.322.极限( limit ) ——变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。
华东师范大学数学系编数学分析第三版上册教案
《数学分析》概述授课章节：《数学分析》概述教学目的：１．通过教学使学生对《数学分析》这门课有总体的了解，明确研究对象及主要内容； ２．通过教学使学生明确《数学分析》课在所学专业中的地位和主要作用，以引起重视； ３．通过教学使学生明确《数学分析》的课程安排、考核及成绩的评定标准；４．通过教学使学生懂得参考书的使用及作业的要求．教学重点：数学分析的研究对象、主要内容．教学难点：主要内容的介绍．教学方法：讲座形式．教学程序：讲座提纲１．《数学分析》这门课到底要研究什么（即研究对象）？２．《数学分析》的主要内容；３．《数学分析》与后继课程的关系；４．《数学分析》课程安排及考核；５．《数学分析》学习中应该注意的一些问题；６．《数学分析》的参考书目；７．作业要求．一、研究对象变量间的关系及变化过程，具体表现为函数及其性质.函数及其性质：单调性、有界性、奇偶性、最大（小）值、极大（小）值、周期性、图象、……需要指明的是：中学也研究函数的这些性质，但主要采用“静止”、“孤立”的方法去研究函数．而在《数学分析》中主要采用“运动”、“联系”、“变化”的过程把握变化的结果．因而《数学分析》中的方法具“运动性”、“变化性”．如何研究函数？通过什么方式、角度去研究呢？或用什么样的工具去研究函数呢？这些构成《数学分析》的主要内容．二、主要内容1.极限的方法（极限论）．（２、３、４、１６章） 例如，从极限的观点看函数1y x=． 一般函数的极限如何定义？其性质如何？—----极限论．2.微分（学）．（５、６、１７、１８章）研究函数的增量相对于自变量的增量的变化率问题．例如：设()y f x =是一函数，令0,x x x =- 0()().y f x x f x ∆=+- 要问y ∆随x ∆的变化趋势如何？特别地，y x∆∆的变化趋势如何？ 3.积分学：（８、９、１０、１１、１９、２０、２１、２２章）4.级数论：（１２、１３、１４、１５章） 研究无穷多个函数的可和性问题．例如211(||1)1n x x x x x-+++++=<- ．综上，《数学分析》这门课主要由四大块内容组成：极限论、微分论、积分学和级数论．这四大块不是孤立的，而是存在着密切的联系．其中“极限论”是“基础”，其它是“上层建筑”．但这里需要提出的是，作为“基础”的“极限理论”的完善远远晚于其它几个方面的应用，因而引起许多争议．对此感兴趣的同学可读一读教材的附录中281-288页的“微积简史”部分，会对此有所了解．三、与后继课程的关系《数学分析》课程是数学系数学教育专业的专业基础核心课程，它的学习时间长（三个学期，234学时），学习内容多，学分最多（13学分），是从初等数学到高等数学过渡的桥梁，是学生学习数学教育专业其它后继课程（如：大学物理、微分方程、概率论与数理统计、微分几何、复变函数、计算机数值方法、实变函数与泛函分析等）的重要基础.这些课都以《数学分析》为先修课程，如果不开《数学分析》或晚开《数学分析》，将直接影响到这些课程的开设.同时还为培养学生分析问题和解决问题的能力提供必要的训练，从而提高学生的实践能力和创新能力.掌握这门课程的基本理论和基本方法，对于学习本专业基础课和专业课以及进一步学习、研究和应用都是至关重要.四、课程安排、考核及成绩评定方法1、学时分配：三个学期，总学时234，总学分13第一学期：每周5学时（上课内容从“第一章实数集与函数”到“第八章不定积分”，上课时间18周，学时90，学分5）；第二学期：每周４学时（上课内容从“第九章定积分”到“第十五章傅里叶级数”，上课时间18周，学时72，学分4）；第三学期：每周４学时（上课内容从“第十六章多元函数的极限与连续”到“第二十二章曲面积分”，上课时间18周，学时72，学分4）.2、考核方式：闭卷考试（期中测验，期未期终考试）.3、成绩评定：采用百分制平时成绩：30分（其中：1）作业占10%；2）听课率、课堂提问回答等占10%；3）期中测验占10%）；期未考试：70分.五、学习体会从高中到大学，显然是衔接的，但毕竟是不同的阶段．主要表现在；中学数学 大学数学在教材方面 内容少，较直观、具体、理论性不强，研究的常量数学、固定的图形 内容多、较抽象、理论性强，研究的变量、图形的变化在听课方面 听 课前预习；课中认真听课和记笔记；课后及时复习在复习方面 整理笔记，及时复习在习题方面 主要是计算，验证少、理论性弱 概念、论证多、理论性强、数学语言表达准确，通过作业巩固学习内容六、参考书1．吴良森、毛羽辉等编《数学分析学习指导书》（上、下册），高等教育出版社，2004.8.2．刘玉琏、傅沛仁编《数学分析讲义》第三版（上、下册），高等教育出版社，1992.7.3．吉米多维奇著《数学分析习题集》，李荣冻译，人民教育出版社，1958.6.4．菲赫金哥尔茨著《微积分学教程》（修订本），叶彦谦等译，人民教育出版社，1959.8.七、作业要求作业整洁；字迹工整，书写清晰；解题格式要完整；勿抄作业，习题答案只能作为参考.。
数学分析教学大纲刘玉莲
包头师范学院“数学分析”课程教案大纲《数学分析》教案大纲课程编号：课程性质：基础必修课适用专业：数学与应用数学专业<本科）选用教材：《数学分析讲义》<第五版）刘玉琏等编著高等教育出版社2008年10月包头师范学院数学科学学院函数论教研室数学分析课程教案大纲课程编号：课程类型：基础必修课总学时：352 总学分：20适用专业：数学与应用数学先修课程：高中数学使用教材：刘玉琏、傅沛仁编著《数学分析讲义》<第四版）,高等教育出版社,2002年10月.参考书：陈传璋等编著《数学分析》<第二版）,高等教育出版社,1983年7月.1987年获全国优秀教材一等奖.华东师大编《数学分析》 ,面向21世纪课程教材一、课程性质、目地和任务本课程是包头师范学院数学科学学院数学与应用数学专业(信息与计算科学专业>地一门重要基础课.本课程一方面为后继课程提供所需地基础,同时还为培养学生地独立工作能力提供必要地训练.通过本课程地学习学会分析方法、培养学生地运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题地综合应用能力.学生学好这门课程地基本内容和方法,对今后地学习、研究和应用都具有关键性地作用.b5E2RGbCAP二、教案基本要求在教案中,应注意本课程地整体结构,各部分知识地内在联系,以及与初等数学和后继课程地联系.要求学生熟练掌握本课程地基本概念、基本理论、基本运算及方法.通过课堂教案及进行大量地习题训练,使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确,能综合应用所学知识解决实际问题,并且了解分析学地基本概念及物理、几何意义,学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中地实际问题.p1EanqFDPw三、教案内容及要求依据《2001年包头师范学院数学与应用数学专业本科培养计划》,本课程教案在第1、2、3、4学期进行,分别称为《数学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》、《数学分析Ⅲ》和《数学分析Ⅳ》.DXDiTa9E3d 《数学分析Ⅰ》第一章函数§1.1.函数一、函数概念,二、函数地四则运算,三、函数地图象四、数列§1.2. 四类具有特殊性质地函数一、有界函数,二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数§1.3.复合函数与反函数一、复合函数二、反函数三、初等函数重点掌握：函数地概念,函数地表示,函数地复合运算和具有特殊性质地函数.极限第二章．§2.1. 数列极限n??)1(?一、极限思想,二、数列地极限,三、数列极限地概念??n??§2.2. 收敛数列一、收敛数列地性质二、收敛数列地四则运算三、数列地收敛判别法四、子数列§2.3. 函数地极限x??x?a f(xf(x))地极限时,函数时,函数地极限,一、当二、当§2.4. 函数极限地定理,一、函数极限地性质二、函数极限与数列极限地关系三、函数极限存在判别法§2.5. 无穷大与无穷小一、无穷小,二、无穷大,三、无穷小地比较重点掌握：数列极限地定义与性质,收敛判别地单调有界原理,函数极限地定义与性质,两个重要极限,无穷大与无穷小地定义与性质.RTCrpUDGiT第三章连续函数§3.1. 连续函数一、连续函数地概念,二、间断点及其分类§3.2. 连续函数地性质一、连续函数地运算及其性质二、闭区间连续函数地性质三、反函数地连续性四、初等函数地连续性重点掌握：函数连续地定义,闭区间连续函数地性质.《数学分析Ⅱ》第四章实数地连续性§4.1. 实数连续性定理一、闭区间套定理二、确界定理三、有限覆盖定理四、聚点定理五、致密性定理六、柯西收敛准则§4.2. 闭区间上连续函数性质地证明一、性质地证明二、一致连续性重点掌握：上、下确界地定义,实数连续性地基本定理及其证明,一致连续地概念,闭区间连续函数地性质地证明.5PCzVD7HxA第五章导数与微分§5.1. 导数,一、实例,二、导数概念§5.2. 求导法则与求导公式一、导数地四则运算二、反函数地求导法则三、复合函数地求导法则四、初等函数地导数§5.3. 隐函数与参数方程求导法则一、隐函数求导法则,二、参数方程求导法则§5.4. 微分一、微分地概念二、微分地运算法则和公式三、微分在近似计算上地应用§5.5. 高阶导数与高阶微分三、高阶微分二、莱布尼茨公式一、高阶导数．重点掌握：导数与微分地定义,运算及应用,高阶导数与高阶微分.第六章微分学地基本定理及其应用§6.1. 中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日定理三、柯西定理§6.2.洛必达法则0?型,二、型一、,三、其它待定型0?§6.3. 泰勒公式一、泰勒公式,二、常用地几个展开式§6.4. 导数在研究函数上地应用一、函数地单调性二、函数地极值与最值三、函数地凸凹性四、曲线地渐近线五、描绘函数图象重点掌握：微分中值定理,洛必达法则,泰勒公式,利用导数研究函数性质,作出函数图象.第七章不定积分§7.1. 不定积分一、原函数,二、不定积分§7.2. 分部积分法与换元积分法一、分部积分法,二、换元积分法§7.3. 有理函数地不定积分一、代数地预备知识,二、有理函数地不定积分§7.4. 简单无理函数与三角地函数地不定积分一、简单无理函数地不定积分,二、三角函数地不定积分重点掌握：不定积分地定义及性质,不定积分地计算.第八章定积分§8.1. 定积分地概念一、实例,二、定积分地概念§8.2. 可积准则一、小和与大和,二、可积准则,三、三类可积函数§8.3. 定积分地性质一、定积分地性质,二、定积分中值定理§8.4. 定积分地计算一、按照定义计算定积分二、积分上限函数三、定积分地基本公式四、定积分地分部积分法五、定积分地换元积分法jLBHrnAILg§8.5. 定积分地应用一、微元法二、平面区域地面积三、平面曲线地弧长四、应用截面面积求体积五、旋转体地侧面积六、变力作功xHAQX74J0X§8.6. 定积分地近似计算一、梯形法,二、抛物线法重点掌握：定积分地定义,存在条件及性质,定积分地计算及应用.《数学分析Ⅲ》第九章级数数值级数9.1. §．一、收敛与发散地概念二、收敛级数地性质三、同号级数四、变号级数五、绝对收敛级数地性质§9.2. 函数级数一、函数级数地收敛域二、一致收敛地概念三、一致收敛判别法四、函数列地一致收敛五、和函数地分析性质LDAYtRyKfE§9.3. 幂级数一、幂级数地收敛域二、幂级数和函数地分析性质三、泰勒级数四、基本初等函数地幂级数展开五、幂级数地应用Zzz6ZB2Ltk§9.4.傅里叶级数一、傅里叶级数二、两个引理三、收敛定理四、奇偶函数地傅里叶级数2l为周期地函数地傅里叶级数五、以重点掌握：收敛与发散地概念,收敛级数地性质,同号级数、变号级数收敛性判别法,函数项级数、一致收敛、一致收敛级数地性质,幂级数地概念,收敛半径,和函数地分析性质,函数地幂级数展开,傅里叶级数地概念收敛定理,函数展开成傅里叶级数.dvzfvkwMI1第十章多元函数微分学§10.1. 多元函数一、平面点集二、坐标平面地连续性三、多元函数地概念§10.2. 二元函数地极限与连续一、二元函数地极限二、二元函数地连续性§10.3. 多元函数微分法一、偏导数二、全微分三、可微地几何意义四、复合函数微分法五、方向导数§10.4. 二元函数地泰勒公式一、高阶偏导数二、二元函数地泰勒公式三、二元函数地极值重点掌握：多元函数地概念,二元函数地极限和连续概念与性质,偏导数、全微分,复合函数偏导数地链式法则,微分运算法则,极值地概念与计算.rqyn14ZNXI第十一章隐函数§11.1. 隐函数存在定理一、隐函数地概念, 二、一个方程确定地隐函数, 三、方程组确定地隐函数§11.2. 函数行列式一、函数行列式, 二、函数行列式地性质, 三、函数行列式地几何性质§11.3. 条件极值一、条件极值与拉格朗日乘数法, 二、例§11.4. 隐函数存在定理在几何方面地应用一、空间曲线地切线与法平面二、曲面地切平面与法线重点掌握：隐函数存在定理,函数行列式地性质,条件极值地概念与计算,曲线地切线与法平面和曲面地切平面与法线方程.EmxvxOtOco《数学分析Ⅳ》第十二章反常积分与含参变量地积分§12.1.无穷积分一、无穷积分收敛与发散地概念, 二、无穷积分与级数, 三、无穷积分地性质, 四、无穷积分地敛散性判别法SixE2yXPq5瑕积分12.2.§．一、瑕积分收敛与发散地概念, 二、瑕积分地敛散性判别法§12.3. 含参变量地积分??函数函数与, 三、一、含参变量地有限积分, 二、含参变量地无穷积分重点掌握：无穷积分收敛与发散地概念及敛散性判别法,瑕积分收敛与发散地概念及敛散性判别法,含参变量地有限积分地概念与分析性质,含参变量地无穷积分地??函数,.函数与,概念,一致收敛地定义与判别法含参变量无穷积分地分析性质6ewMyirQFL第十三章重积分§13.1. 二重积分曲顶柱体地体积二、二重积分地概念三、二重积分地性质四、二重积分地计算一、五、二重积分地换元六、曲面地面积kavU42VRUs§13.2. 三重积分三重积分地概念二、三重积分地计算三、三重积分地换元四、简单应用重点掌握：重积分地概念与性质,二重积分及二重积分、三重积分地计算及柱面坐标与球面坐标. 第十四章曲线积分与曲面积分§14.1. 曲线积分一、第一型曲线积分二、第二型曲线积分三、第一型曲线积分与第二型曲线积分地关系四、格林公式,五、曲线积分与路线无关地条件y6v3ALoS89§14.2. 曲面积分一、第一型曲面积分二、第二型曲面积分三、奥高公式四、斯托克斯公式,§14.3. 场论初步一、梯度二、散度三、旋度四、微分算子重点掌握：第一型曲线积分与曲面积分地定义及计算,第二型曲线积分与曲面积分地定义及计算,格林公式,曲线积分与路线无关地条件,奥高公式,斯托克斯公式.M2ub6vSTnP四、教案重点与难点??定义极限地.-《数学分析Ⅰ》地重点内容有：极限论、函数地连续性,《数学分析Ⅱ》地重点内容有：实数地连续性、微分学、微分学地基本定理、积分学.难点是：实数连续性定理及其证明,闭区间上连续函数性质地证明,一致连续性.《数学分析Ⅲ》地重点内容有：级数论和多元函数微分学.难点是：函数级数一致收敛地概念,函数地幂级数展开,傅里叶级数收敛性判别法,隐函数存在定理,条件极值地计算0YujCfmUCw《数学分析Ⅳ》地重点内容有：广义积分与含参变量地积分,重积分、曲线积分与曲面积分.难点是：含参广义积分地一致收敛概念,各类积分之间地关系.eUts8ZQVRd五、学时分配《数学分析Ⅰ》总学时 64 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容学时6 1 <函数含习题课）36 2 含习题课）极限<22含习题课）<连续函数3《数学分析Ⅱ》总学时 108 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容学时30 实数地连续性<含习题课）418 导数与微分<含习题课）530 <6 含习题课）微分学地基本定理及其应用14 7 含习题课）不定积分<168定积分<含习题课）《数学分析Ⅲ》总学时 108 学时,其中讲授学时,习题课学时.内容章节60 9 级数<含习题课）30 10 <含习题课）多元函数微分学1811 隐函数<含习题课）《数学分析Ⅳ》总学时72 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容30 含习题课）12 反常积分与含参变量地积分<18 13 重积分<含习题课）2414 含习题课）曲线积分与曲面积分<七、考核方式本课程考核采取与平时考核与期末闭卷考试相结合地方式.平时考核成绩占15%,期末考试卷面成绩占85%.总分共100分.sQsAEJkW5T。
数学分析刘玉琏161
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第十六章多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数
定理16.2(闭域套定理, P 89) 设{ Dn }是R2中的闭域列，它满足： (1) Dn Dn1 , n 1, 2,
n
;
(2) d n d ( Dn ), lim d n 0, 则存在唯一的点P0 Dn , n 1, 2,
O x+y=0
x
x
D1 的界点是D1的聚点，但它不属于D1； D2 的界点是D2的聚 点，但它属于D2.
11
第十六章多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数
(ii)孤立点( P 87)：若点A E，但不是E的聚点，即存在某一正 数，使得U ( A; ) E ，则称点A为E的孤立点.
y E O
若E不包含边界，则E为开集.
若E包含边界，则E不是开集.
x
13
第十六章多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数
(ii)闭集( P 87)：若平面点集E的所有聚点都属于E，则称E为闭集. 若点集E没有聚点，这时也称E为闭集.
例如 , 平面点集 D2 = {(x, y)| x2 + y2 1 }是闭集.
18
n，
三 二元函数
第十六章多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数
定义2( P90) 设平面点集D R2，若按照某对应法则f ，D中每
一点P( x, y)都有惟一确定的实数z与之对应，则称f 为定义在D上的
二元函数，记作 f : D R, P z. z f ( P ).
也记 z f ( x, y)
n
P0等价于 lim xn x0 lim yn y0；
n n n
同样地，当以 n ( Pn , P0 )表示点Pn与P0之间距离时， lim Pn P0 等价于 lim n 0.
数学分析教案(华东师大版)上册全集1-10章
第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时 )一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算sin、实数定义等问题引入.322.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第七单元
7.2
( 1. (1) x cos xdx. x cos xdx = (3) ln(1 − x)dx. xd sin x = x sin x − sin xdx = x sin x + cos x + C. : 295 )
ln(1 − x)dx = x ln(1 − x) − =x ln(1 − x) + x dx 1−x 1−x−1 =x ln(1 − x) − dx 1−x 1 1− =x ln(1 − x) − dx 1−x =x ln(1 − x) − x − ln(1 − x) + C =(x − 1) ln(1 − x) − x + C. (5) xn ln xdx.
√
(25)
(27)
esin x cos xdx. esin x cos xdx = esin x desin x = esin x + C.
(29)
. 1 − 3x2 1 dx √ =√ 3 1 − 3x2 dx. 1 − x4 x 1 √ dx = 2 1 − x4 cos xdx a2 + sin2 x cos xdx 1 = 2 a2 + sin x a √ 1 + lnx dx = x √ x
(7)
(9)
dx. x3 + 1 x2 1 2 1 √ dx = (x3 + 1)− 2 d(x3 + 1) = x3 + 1 + C. 3 3 3 x +1 sin x (11) dx. cos3 x sin x d cos x 1 dx = − = + C. 3 3 cos x cos x 2 cos2 x dx √ (13) . tgx − 1 cos2 x dx d(tgx − 1) √ √ = = 2 tgx − 1 + C. 2 tgx − 1 cos x tgx − 1 5
数学分析刘玉琏10-1
(1,1) y x y x
2
y x2
即这两条抛物线的交点为 (0, 0) 及(1, 1).
O
dA
x x+dx 1 x
从而知道这图形在直线 x = 0 及 x = 1 之间. 取 x 为积分变量, 且 x ∈[0,1], 微元为 dA ( x x 2 )dx,
1
2 x 1 则 A ( x x )dx x . 0 3 0 3 3
解
x2 y2 求椭圆 2 2 1的面积. a b
椭圆的参变量函数为
x a cos t , t [0, 2 ]. y b sin t ,
由对称性知总面积等于4倍第 一象限部分面积．
2 A 4 ydx 4 b sin t ( a sin t )dt 4ab 0 sin tdt
( 2)具有可加性， 即 A Ai ;
i 1
n
(3)部分量Ai可“以不变代变”求得近似值 Ai f (i ) xi .
y
y f ( x)
A( x ) f (t )dt A( x ) f ( x )
a
x
d A f ( x )dx
A( x ) A
当x=x(t)严格单调时，则由该参变量函数及直线x=a，x=b和x轴 所围成曲边梯形的面积
A y dx y[ x ( x )] dx y( t ) x( t )dt .
1 a a
b
b
注：教材(P240)上的公式.
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
例2( P 240) 求由摆线x a( t sin t ), y a(1 cos t )(a 0)的一 拱与x轴所围平面图形的面积.
重庆市普通高校市级重点建设课程
附件1
重庆市普通高校市级重点建设课程
立
项
申
请
书
单位名称（盖章）：涪陵师范学院
课程名称：数学分析
课程类型：专业基础课
所在院系：数学系
项目负责人：杨世辉职称：教授
重庆市教育委员会制
二 0 0二年九月二日
本课程申请立项的指导思想，近、中、远期建设目标，预期效果等立项的指导思想：
1、地位作用：数学分析是数学专业重要的专业基础课，不仅是学生学习后继课程必不可少的理论基础，还是培养学生数学思维的极好素材，她帮助学生实现从常量数学向变量数学的转变，实现学习方法的改变。
2、存在问题：由于地域因素，使我系的在校学生的知识基础较一般，而我们的教材，教学大纲又采用一个全国的标准，这使我们的学生难以适应目前的要求。
3、学习上的困难：微积分这座知识的大厦是从上往下施工建成的，创造微积分的大师们最初着眼于发展强有力的方法，解决各式各样的问题。
他们没有来得及为这门学科建立起经得起推敲的严格的理论基础。
在以后的发展中，后继者才对逻辑的细节作了逐一的修补，为前辈们的数学方法建立了严格的理论基础。
为了保证本知识体系的严密性与系统性，现行课本是先讲授后继者建立的理论基础——极限理论，然后再学习前辈们建立的微积分的基本方法和理论，这给学生的学习带来了一定困难。
鉴于以上原因：我们必须搞好本课程的建设。
近期目标：
1、选择教材，确定师资；
2、教材比较研究；
3、资料收集，整理。
中远期目标：
1、编写教材、教参；
2、逐步完善教学条件，引进先进的教学手段；。
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第七单元
cos xdex ex d cos x = ex cos x − ex sin xdx sin xdex ex d sin x
=ex cos x − =ex cos x +
=ex cos x + ex sin x − =ex (cos x + sin x) − I 2I = ex (cos x + sin x), I = 2. (1) e dx. e5x dx = (3) 1 5 1 e5x d(5x) = e5x + C. 5
xd arcsin x
1 − x2 + C.
ln(x + =x ln(x + =x ln(x +
1 + x2 )dx = x ln(x + 1 + x2 ) −
1 + x2 ) −
xd ln(x +
1 + x2 )
x x √ 1+ √ dx x + 1 + x2 1 + x2 √ 1 d( 1 + x2 ) √ 1 + x2 ) − 2 1 + x2 1 + x2 + C.
5x
=ex (cos x + sin x) − ex cos xdx
1 ex cos xdx = ex (cos x + sin x) + C 2
:
(5)
dx . 4 − 3x 1 d(4 − 3x) 1 dx =− = − ln |4 − 3x| + C. 4 − 3x 3 4 − 3x 3 dx . cos2 7x dx 1 d7x 1 = = tg7x + C. 2 2 cos 7x 7 cos 7x 7 cos3 x sin xdx. cos3 x sin xdx = − 1 cos3 d cos x = − cos4 x + C. 4
[整理]数学分析教学大纲(刘玉莲)
![[整理]数学分析教学大纲(刘玉莲)](https://img.taocdn.com/s3/m/4ac35f3f0975f46526d3e12f.png)
包头师范学院“数学分析”课程教学大纲《数学分析》教学大纲课程编号： 课程性质： 基础必修课适用专业： 数学与应用数学专业（本科） 选用教材：《数学分析讲义》 （第五版） 刘玉琏等编著高等教育出版社 2008 年 10 月包头师范学院数学科学学院函数论教研室数学分析课程教学大纲课程编号：课程类型：基础必修课总学时：352 总学分：20适用专业：数学与应用数学先修课程：高中数学使用教材：刘玉琏、傅沛仁编著《数学分析讲义》（第四版），高等教育出版社，2002 年10月。
参考书：陈传璋等编著《数学分析》（第二版），高等教育出版社，1983 年7 月。
1987 年获全国优秀教材一等奖。
华东师大编《数学分析》，面向21 世纪课程教材一、课程性质、目的和任务本课程是包头师范学院数学科学学院数学与应用数学专业（信息与计算科学专业）的一门重要基础课。
本课程一方面为后继课程提供所需的基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。
通过本课程的学习学会分析方法、培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。
学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习、研究和应用都具有关键性的作用。
二、教学基本要求在教学中，应注意本课程的整体结构，各部分知识的内在联系，以及与初等数学和后继课程的联系。
要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。
通过课堂教学及进行大量的习题训练，使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确，能综合应用所学知识解决实际问题，并且了解分析学的基本概念及物理、几何意义，学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中的实际问题。
三、教学内容及要求依据《2001 年包头师范学院数学与应用数学专业本科培养计划》，本课程教学在第1、2、3、4 学期进行，分别称为《数学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》、《数学分析Ⅲ》和《数学分析Ⅳ》。
《数学分析Ⅰ》第一章函数 §1.1. 函数一、函数概念，二、函数的四则运算，三、函数的图象四、数列 §1.2. 四类具有特殊性质的函数一、有界函数，二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数§1.3. 复合函数与反函数一、复合函数二、反函数三、初等函数重点掌握：函数的概念，函数的表示，函数的复合运算和具有特殊性质的函数。
1、数学分析讲义(上、下)刘玉琏编高教出版社
1、数学分析讲义（上、下）刘玉琏编高教出版社1、数学分析讲义(上、下)刘玉琏编高教出版社2、高等数学(上、下)同济大学应用数学系编高教出版社3、工科数学分析(上、下) 哈尔滨工业大学数学系编科学出版社4、数学分析中典型问题与方法，裴礼文编，高等教育出版社5、数学分析习题课讲义(上、下) 刘隆复编吉林大学出版社6、数学分析—内容、方法与技巧(上、下) 孙清华主编华中科技大学出版社局7、高等数学例题与习题集石建城编西安交通大学出版社8、高等数学典型题题典刘坤林编东北大学出版社9、微积分典型题详解陈跃机械工业出版社10、高等数学典型题精解陈兰祥编学苑出版社11、数学复习全书(理工类)北大，清华，中国人大编，国家行政学院出版社12、数学复习全书(经济类)北大，清华，中国人大编，国家行政学院出版社 13、题型集粹与练习题集(理工类)陈文灯编世界图书出版社 14、高等数学习题集(提高篇)赵达夫编机械工业出版社 15、微积分习题集(基础篇)严守权编机械工业出版社16、微积分复习指导与典型例题分析刘西坦编机械工业出版社当前位置:数学分析>>参考书目一、选用教材《数学分析》，复旦大学数学系，陈传璋等编著，高等教育出版社( 二、参考书目1、数学分析，复旦大学数学系，陈纪修等编著，高等教育出版社(2、数学分析习题集解，吉米多维奇原著，费定晖等编著，山东大学出版社。
3、数学分析中的问题和反例，汪林，云南科学出版社。
4、数学分析讲义练习题解，刘玉琏，刘伟等编著，高等教育出版社。
5、数学分析问题研究与评注，汪林等编著，科学出版社。
6、W. Rmdin， Principle of Mathematical Analysis (Second edition)，Mc Graw-Hill ， New York， 1964。
7、华东师范大学数学系编，《数学分析》，高等教育出版社，1991。
8、《数学分析》，吉林大学数学系编，人民教育出版社(9、《数学分析》，周民强(编)，上海科学出版社(10、《数学分析》，格?马?菲赫金格尔茨著吴宗仁、陆秀丽(译)，人民教育出版社( 此外，还有北京大学，清华大学、中山大学等院校编写的《数学分析》教材可供参考(课程特色1、拥有一支科研成绩突出、教学水平高的师资队伍。
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第十二单元
−∞
−∞
0
+∞
=2
e−axdx
0
= − 2e−ax +∞ = 2 .
a
0
a
(6)
+∞
e−ax sin bxdx . (a > 0) .
0
1
e−ax
sin bxdx
=
e−ax a2 + b2(−a sin bx
−
b cos bx)
+
C(
§7.2 6),
+∞ 0
e−ax
sin bxdx
=
e−ax − a2 + b2(a sin bx
.
f (x) f (xn) ,
|f (xn)| > ε0, .
f (xn) > 0,
f (x) > 0,
(1)
,
f (x) > ε0. 2
xn+δ f (x)dx > ε0 xn+δ dx = ε0δ(
xn
2 xn
2
|f (x) − f (xn)| = |f (x)| + );
f (xn) < 0,
=
1
d = 1, λ = n − m > 1,
; λ = n − m 1,
.
(6)
+∞ arg tan x
dx
0
x
arg tan x
1
.
lim
x→0+
x
=
lim
x→0+
1
+
x2
=
1.
arg tan x
,
0
《数学分析(中)》课程标准
《数学分析（中）》课程标准1.课程说明《数学分析(中)》课程标准课程编码〔36733 〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022年11月26日〕审核〔〕审核日期〔〕批准〔〕批准日期〔〕（1）课程性质：《数学分析(中)》是数学教育专业三年制专科生最重要的专业基础课之一，是数学教育专业的专业必修课，也是数学教育专业的专业核心课程。
（2）课程任务：本课程针对中小学数学教师开设，为深入理解中小学数学打下必要的基础，为从事中小学数学教师职业打下扎实的知识基础。
通过本课程的学习，能够使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数学基础。
（3）课程衔接：在课程设置上，本课程前置课程是《数学分析（上）》，后续课程有数学分析（下）。
2.学习目标课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析中一元函数微积分学及级数的基本概念、基本理论和基本方法；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微分和积分这一工具解决实际应用问题的能力。
通过该课程的学习，使学生能够理解数学分析的概念、性质；理解并掌握一元函数的微积分及级数的概念和运算法则，并熟练运用法则进行相应计算，能够判断级数的敛散性。
3.课程设计本课程以课堂为载体，根据中小学数学教师工作任务要求，确定学习目标及学习任务内容；本课程采取讲解教学模式，以学生为主体、以闭卷笔试为导向组织教学考核。
表3-1教学内容与学时分配表表2课程总体设计4.教学设计表3学习情境设计5.课程考核（1）考核方式：考试成绩由平时考核和期末考试组成。
平时考核：听课出勤、平时作业、课堂练习、小测验、课堂提问题等，占30%；期末考试：卷面成绩占70%，试卷可包括填空题、选择题、判断题、计算题、证明题及证明题。
（2）考核标准：学生能够理解并掌握数学.符合中小学数学教师的知识理论基础要求和职业资格要求。
6.课程资源（1）硬件要求：多媒体课件（2）师资队伍：数学教育专业团队师资力量雄厚，现有教授2人，副教授9人，讲师5人，其中具有硕士以上学历4人。
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第四单元
[a, b].
, n(
)
:
{(yi − δyi, y + δyi)|yi ∈ [a, b], i = 1, 2, · · · , n}
[a, b].∀x ∈ (yi − δyi, y + δyi) ∩ [a, b],
f (x) = f (yi), i = 1, 2, · · · , n. 2
m = min{f (yi)|i = 1, 2, · · · , n} > 0.
1 − ε < sin x0(
sup{sin x|x ∈ (0, 2π]} = 1.
arcsin(1 − ε) < x0).
,
inf{sin x|x ∈ (0, 2π]} = −1.
5. : A
,sup A = a( inf A = b).
sup A = a,
1 ∀x ∈ A x ≤ a; 2 ∀ε > 0∃x0 ∈ A, a − ε < x0. , 1 ∀(−x) ∈ −A, −x0 < −a &#, c − ε < f (x0) ≤ c.
∃δ = b − x0 > 0, ∀x : b − δ < x < b ∀x : x0 < x < b, c−ε < f (x0) ≤ f (x) ≤ c
lim f (x) = c.
x→b−
2.4 14
17
.
,
c
,
9.1( )(244) 9.1( )(266) 9.2( )(290) 9.4(309)
9.1( )(252) 9.2( )(273) 9.3(298)
1
10.1(323) 10.3(334)
11.1(366) 11.3(378)
大连海事大学2012年硕士研究生招生参考书目
大连海事大学2012年硕士研究生招生参考书目2011-10-07 Google提供的广告Online MSc in PsychologyMSc Forensic Psychology & Criminal Investigation -Apply Online Now 2012年硕士研究生入学考试初试笔试科目考试范围考试科目参考书目211翻译硕士英语1.《新视野大学英语读写教程》郑树棠总主编外语教学与研究出版社2008年（4—6册）2.全新版《大学英语综合教程》李荫华总主编上海外语教育出版社2003年（4—6册）213翻译硕士日语《新版中日交流标准日本语》中级上、下册人民教育出版社2008年241二外英语《新视野大学英语读写教程》(1-2册) 郑树棠总主编外语教学与研究出版社2008年242二外俄语《大学俄语》（1-3册）北京外国语大学外语教学与研究出版社243二外日语1.《新版中日交流标准日本语》初级上、下人民教育出版社2005年2.《新版中日交流标准日本语》中级（上）人民教育出版社2008年244二外德语《新编大学德语》（1-3册）朱建华主编外语教学与研究出版社2007年245二外法语《新大学法语》李志清高等教育出版社1-3册357英语翻译基础《英汉互译实用教程》（第四版）郭著章等武汉大学出版社2010年9月359日语翻译基础《新编日译汉教程》第3版陈岩大连理工大学出版社2009年6月448汉语写作与百科知识无参考书目601数学分析《数学分析》（上、下册）刘玉琏高教出版社第4版602高等数学《高等数学》同济大学应用数学系编高等教育出版社第五版611公共行政学《公共行政学》张康之经济科学出版社2010年10月版612生物化学《生物化学》王镜岩高等教育出版社613法理、民法、民事诉讼法1.《法理学》张文显法律出版社2007年1月版；2.《民法学》彭万林中国政法大学出版社2011年1月第7版；3.《民事诉讼法》谭兵李浩法律出版社2009年版。
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第十四单元
C [x cos(n, x)
+ y cos(n, y )]ds = ,
C
[x cos(n, x) + y cos(n, y )]ds = 2
C
xdy − ydx = 2A.
C
14.
f (x, y )
,
G ∂2f ∂2f + = 0, ∂x2 ∂y 2 6
f (x, y ) G
.
f (x, y ) G ∂f ds = 0. ∂n
2+y , 1 + x2
Q(x, y ) =
x(y + 1) . 2+y
∂P 1 = , ∂y 2+y , ln
C
∂Q y+1 = . ∂x 2+y , y+1 1 − dxdy 2+y 2+y
D
.
2+y x(y + 1) dy = dx + 2 1+x 2+y y dxdy = 2+y
1 1
D
=
D
2 [x2 + (2 − x)2 ]dx + [x2 − (2 − x)2 ](−dx) = . 3 4 = . 3 (0,0,0) (1,1,1),
C2
,
= C
C1
+ .
1)
;2)
(0,0,0)
,
(1,0,0) 1)
(1,1,0) C1 ,
(1,1,1)
x = t, y = t, z = t, 0
14.1
392 1. (2)
c xyds,
c
: c : |x| + |y | = a(a > 0). , 14.a. c = c1 + c2 + c3 + c4 .
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A y dx y[ x ( x )] dx y( t ) x( t )dt .
1 a a
b
b
注：教材(P240)上的公式.
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
例2( P 240) 求由摆线x a( t sin t ), y a(1 cos t )(a 0)的一 拱与x轴所围平面图形的面积.
2
a
0
0
2
ab.
注：教材(P241)上的求法.
4
, 据P 226例5
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
四 极坐标系下平面图形面积的计算 设由曲线 r = r(θ )及射线θ =α 、 面积 微元
r r ( )
θ =β 围成一曲边扇形，求其面积.
这里， r(θ )在[a,b]上连续，且r(θ )>0．
a
x
d A f ( x )dx
A( x ) A
O
A dA f ( x )dx
a
n
x x xb
x 其中A f ( x )dx o(x ) (x 0)
b a
由 A Ai f ( x )dx , 于是 A lim f ( x)dx f ( x )dx.
由图形的对称性及公式(5)，得到
A 4 A1 4
4
0
1 2 2 a cos 2 d a sin 2 2
4
0
a2 .
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
习题：P242§1习题1-10题，其中部分习题的图形如下：
习题5(a=1): 习题6(a=1):
习题7(a,b=1):
O x=ψ(y) c
dA = [φ(y)–ψ(y)]dy.
则平面图形D的面积为
A [ ( y ) ( y )]dy.
c
d
例1( P 239) 计算由曲线y 2 x和直线y x 4所围成的图形 的面积.
2
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
解 为了求出面积, 一般先划出两条曲线所围成的图形.
三 参数方程下求图形面积(P240) 如果曲边梯形的曲边为参变量函数
x x( t ), t [ , ], y y( t ), 其中 和 对应曲线起点与终点的参数值，在[ , ](或[ , ])上 x x( t )连续可微，y y(t )连续, 且x(t ) 0, 记a x( ), b x( ).
A f ( x )dx .
a
ห้องสมุดไป่ตู้
b
数学上将这种思想方法称之为微元法. 总量A的微分dA=ƒ(x)dx 称为总量A 的积分微元.
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
二 直角坐标系下平面图形面积的计算 1. 若平面图形 D 被夹在直线 x = a与x = b之间，且其上下边
界的方程分别为 y = ƒ(x)和 y = g(x). 分析: 对任意的x∈[a,b]，作垂直于x轴的直线穿区域D，则
(1,1) y x y x
2
y x2
即这两条抛物线的交点为 (0, 0) 及(1, 1).
O
dA
x x+dx 1 x
从而知道这图形在直线 x = 0 及 x = 1 之间. 取 x 为积分变量, 且 x ∈[0,1], 微元为 dA ( x x 2 )dx,
1
2 x 1 则 A ( x x )dx x . 0 3 0 3 3
1 2
3 2 3
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
2. 若平面图形 D 被夹在直线 y = c 与 y = d 之间，且其左右
边界的方程分别为x =φ(y) 及x =ψ(y) . 分析: 对任意的y∈[c,d]，作垂直于y 轴的直线穿区域D，则
y d y+dy y dA x=φ(y) x
以dy为底，φ(y)–ψ(y)为高的小窄矩形 面积微元
计算由两条抛物线: y 2 x, y x 2 所围成图形的面积.
为了求出面积，一般先画出两条曲线所围成的图形.
y
为了定出图形的所在范围, 应先求出这
两条抛物线的交点，为此,
y 2 x, x 0, x 1, 解方程组 2 y x , y 0, y 1.
从而知道这图形在直线 y = −2 及 y = 4 之间. 1 2 取 y 为积分变量,且 y ∈[−2,4], 微元为 dA ( y 4) y dy 2 4 4 1 2 1 2 1 3 则 A ( y 4 y )dy y 4 y y 18. 2 2 6 2 2
y
y f ( x)
以dx为底，ƒ(x) – g(x)为高的小矩形 dA
面积微元 dA = [ƒ(x) – g(x)]dx.
x
y g( x )
o
a
x x dx b
则平面图形D的面积为
A [ f ( x ) g( x )]dx .
a
b
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
例
解
为了定出图形的所在范围，应先求 出抛物线和直线的交点，为此,
y
4 y+dy y (8,4)
y2 2 x x 2 x 8 解方程组 , y x 4 y 2 y 4 即这两条抛物线的交点为 (2, −2) 及 (8, 4).
O
–2 –4
y=x–4 (x=y+4) x 2 y 2x (2,– 2) 1 2 x y 2 dA
解
x2 y2 求椭圆 2 2 1的面积. a b
椭圆的参变量函数为
x a cos t , t [0, 2 ]. y b sin t ,
由对称性知总面积等于4倍第 一象限部分面积．
2 A 4 ydx 4 b sin t ( a sin t )dt 4ab 0 sin tdt
1 面积微元 dA [r ( )]2 d 2
d
曲边扇形的面积
O
x
A
1 [r ( )]2 d . 2
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
例4(P242) 求双纽线 r 2 a 2 cos 2 所围平面图形的面积.
y x
A1
2 a 2 cos 2
3 5 解 因为 r2 ≥ 0 ， 所以θ 的取值范围为 4 , 4 与 4 , 4 .
t a
O
2a
解
摆线的一拱可取t∈[0,2π]. 所求面积为
A y( t ) x( t )dt
a(1 cos t )[a(t sin t )]dt
0
2
a
2
2
0
(1 cos t )2dt 3 a 2 .
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
例3( P 241)
可以应用定积分计算的量有如下特点:
(1) 不均匀变化的整体量 A依赖于自变量 x 的某个区间[a, b];
( 2)具有可加性， 即 A Ai ;
i 1
n
(3)部分量Ai可“以不变代变”求得近似值 Ai f (i ) xi .
y
y f ( x)
A( x ) f (t )dt A( x ) f ( x )
西南财经大学 省级精品课程 《经济管理数学分析》 课题组版权所有 请勿外传
经济管理数学分析
第十章
定积分的应用
§1 平面图形的面积 §2 由平行截面面积求体积 §3 平面曲线的弧长 §4 定积分在经济分析中的应用(补充)
第十章
定积分的应用
§1 平面图形的面积
一 微元法(P253)
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
i 1
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
抛开 A 的具体含义，把这种思想加以抽象，就得到微元法思
想的表述: 若总量与变量 x 的变化区间[a,b]有关，且对区间具有可加性， 即整个区间上的总量等于各子区间上相应分量之和； 在区间[x , x+dx] 上对应分量的近似值为ƒ(x)dx，则有 dA=ƒ(x)dx， 且总量为
习题8:
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
思考: 若选 x 为积分变量，应该如何做?
y
(8,4)
解法2 A A1 A2
[ 2 x ( 2 x )]dx
0
2
O
–4
2 (2,–2)
8x
[ 2 x ( x 4)]dx
2
8
=18.
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积