同步北师大高中数学必修二培优新方案课时跟踪检测十六直线方程的两点式和一般式含解析

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(北师大版)高中数学必修2检测2.1.2 第二课时直线方程的两点式和一般式 Word版含解析

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．直线－＋＝在两坐标轴上的截距之和是( )．．．．解析：令＝得＝，即直线在轴上的截距为；令＝得＝－，即直线在轴上的截距为－.因此直线在两坐标轴上的截距之和是＋(－)＝，故选.答案：．过点()和点(，－)的直线方程是( )．－＝．＋＝．－＝．＋＝解析：∵，两点横坐标相同，∴直线方程为＝，即－＝.答案：．下列命题中正确的是( )．经过点(，)的直线都可以用方程－＝(－)表示．经过定点(，)的直线都可以用方程＝＋表示．经过任意两个不同点(，)，(，)的直线都可用方程(－)(－)＝(－)·(－)表示．不经过原点的直线都可以用方程＋＝表示解析：中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为＝；中经过定点(，)的直线＝无法用＝＋表示；中不经过原点但斜率不存在的直线不能用方程＋＝表示．只有符合，故选.答案：．若方程(＋－)＋(－)－＋＝表示一条直线，则实数满足( )．≠．≠－．≠．≠且≠－且≠解析：∵当＋－＝时，＝或＝－；当－＝时，＝或＝.要使方程(＋－)＋(－)－＋＝表示一条直线，则＋－，－不能同时为，∴≠，故选.答案：二、填空题(每小题分，共分)．直线(－＋)－(－)＋＝的倾斜角是°，则的值为．解析：由条件知＝，∴－＋＝－，解得＝或，当＝时，－＋＝－＝，应舍去，故＝.答案：．过两点(－)和()的直线在轴上的截距为．解析：∵过两点(－)和()的直线方程为＝，整理得－＋＝，令＝，得＝－，∴直线在轴上的截距为－.答案：－三、解答题(每小题分，共分)．已知(－)，()，线段的中点在轴上，的中点在轴上．()求点的坐标；()直线交轴于，交轴于，的中点为，求的方程．解析：()设的坐标为(，)，则(\\((－)＝，,(＋)＝，))得(\\(＝，＝－)).∴的坐标为(，－)．()设，的坐标分别为()，(，)．则(\\(()＝，,()＝－，))得(\\(＝，＝－.))∴的方程为＋＝，即－－＝.．△的三个顶点分别为()，(－)，(－)．求：()边所在直线方程；()边上的中线所在直线方程．解析：()∵()，(－)，∴由直线方程的截距式得＋＝，即为－＋＝.∴边所在直线的方程为－＋＝.()设中点(，)，由中点坐标公式得＝＝－，＝＝.由直线方程的两点式得所在直线的方程为＝，即为－＋＝.∴边上的中线所在直线的方程为－＋＝.☆☆☆．(分)一条直线过点(－，－)，且与坐标轴围成的面积为，求直线方程．解析：法一：设所求直线方程为＋＝，∵点(－，－)在直线上，∴＋＝.①又∵直线与坐标轴围成的面积为，∴＝＝.②由①②得＝，＝－或＝－，＝.∴所求直线方程为－＝或－＋＝，即－－＝或－＋＝.法二：由题意知直线的斜率存在，且≠.设直线方程为＋＝(＋)．。

高中数学课时作业16 2.1 直线与直线的方程北师大版必修2

解析：当直线经过坐标原点时，直线在x轴、y轴上的截距都是0，符合题意，设其方程为y＝kx，又直线经过点A(1,4)，所以4＝k，即方程为y＝4x；当直线不经过坐标原点时，设其方程为＋＝1，又直线经过点A(1,4)，所以＋＝1，解得a＝，此时直线方程为＋＝1，即x＋2y－9＝0.故所求直线方程为y＝4x或x＋2y－9＝0.
解析：因为ab≠0，则
①当a>0，b>0时，其图像可能为：
此时没有符合的．
②当a>0，b<0时，其图像可能为：
因此B符合．
③当a<0，b>0时，其图像可能为：
没有符合的．
④当a上，选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第________象限．
答案：x＋y－3＝0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知▱ABCD的顶点A(1,2)，B(2，－1)，C(3，－3)，求直线BD的方程．
解析：因为平行四边形ABCD两对角线AC与BD的交点M为AC的中点，所以M ，
直线BM的方程为x＝2，
即直线BD的方程为x－2＝0.
10．若直线经过点A(1,4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线的方程．
此时，方程为x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0.
答案：C
12．直线y＝ x＋k与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k的取值范围是________．
解析：由已知得k≠0，
令x＝0，y＝k，令y＝0，x＝－2k，
则与两坐标轴围成的面积 |k|·|－2k|≤1，
即k2≤1，
所以－1≤k≤1.

高中数学第二章解析几何初步 1.2.2 直线方程的两点式和一般式练习(含解析)北师大版必修2-北

第二课时直线方程的两点式和一般式填一填1.直线方程的两点式和截距式名称两点式截距式已知条件 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在x ，y 轴上的截距分别为a ，b示意图方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋y b＝1 适用X 围y 1≠y 2且x 1≠x 2 ab ≠02.直线的一般式方程把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0叫做直线的一般式方程，简称一般式．其中系数A ，B 满足A ，B 不同时为0.判一判1.两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．(√) 2．截距式可表示除过原点外的所有直线．(×)3．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(×)4．平面上任一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示．(√)5．过点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1表示．(×)6．在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋y b＝1.(×) 7．能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(√)8．若直线Ax ＋By ＋想一想1.过点(1,3)和，(5,3)的直线呢？提示：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．2．截距式方程能否表示过原点的直线？提示：不能，因为ab ≠0，即有两个非零截距． 3．任何直线方程都能表示为一般式吗？提示：能．因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示． 4．当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？提示：当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面；当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图像．故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线．思考感悟：练一练1.直线x a ＋y b＝1(ab <0)的图像可能是( )答案：C2．过两点(2018,2019)，(2018,2020)的直线方程是( ) A ．x ＝2018 B ．x ＝2019 C ．y ＝2018 D ．x ＋y ＝2020 答案：A3．直线x －y ＋5＝0的倾斜角为( ) A ．45° B．60° C ．120° D．135° 答案：A4．在x 轴、y 轴上的截距分别是5，－3的直线的截距式方程为( ) A.x 5＋y 3＝1 B.x 5－y 3＝1 C.y 3－x5＝1 D.x 5＋y3＝0 答案：B5．直线2x ＋3y －6＝0与坐标轴围成的三角形面积为________．答案：3知识点一直线的两点式方程1.已知直线l 经过点A (1，－2)，B (－3,2)，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0 D ．x ＋2y －1＝0解析：由两点式得直线l 的方程为y ＋22－－2＝x －1－3－1，即y ＋2＝－(x －1)．故选A.答案：A2．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32B ．－23C.25D ．2 解析：由直线的两点式方程可得直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0得x＝－32.故选A.答案：A知识点二直线的截距式方程3.过点A (4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x －4y ＝0解析：当直线过点(0,0)时，直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为x a ＋y a＝1(a ≠0)，把(4,1)代入，解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知，直线方程为x ＋y ＝5或x －4y ＝0.选C. 答案：C4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一平面直角坐标系中的图像可以是( )解析：将两直线方程化成截距式为l 1：x a ＋y －b ＝1，l 2：x b ＋y－a＝1，则l 1与x 轴交于(a,0)，与y 轴交于(0，－b )，l 2与x 轴交于(b,0)，与y 轴交于(0，－a )．结合各选项，先假定l 1的位置，判断出a ，b 的正负，然后确定l 2的位置，知A 项符合．选A.答案：A知识点三直线的一般式方程5.已知直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B．45° C ．60° D ．150°解析：设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ＝13，则θ＝30°.答案：A6．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )，若l 不经过第二象限，则实数a 的取值X 围是________．解析：将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2. 则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＝0，a －2≤0，∴a ≤－1. 答案：(知识点四直线方程的应用7.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值X 围．解析：(1)证明：方法一将直线l 的方程整理为 y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15， ∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．方法二直线l 的方程可化为(5x －1)a ＋(3－5y )＝0. 当定点为(x ，y )时，上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，3－5y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35，即l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.以下同方法一．(2)如图，直线OA 的斜率为 k ＝35－015－0＝3. 要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，∴a ≥3.8．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1.(1)求证：对于任意的实数k ，直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，某某数k 的取值X 围．解析：(1)由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线的点斜式方程，可知直线l 恒过定点(－2,1)． (2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1.若－3<x <3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，则⎩⎪⎨⎪⎧f －3≥0，f 3≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1. 综合知识直线的方程9.(1)经过点(－1,3)，且斜率为－3； (2)经过两点A (0,4)和B (4,0)；(3)经过点(2，－4)且与直线3x －4y ＋5＝0平行； (4)经过点(3,2)，且垂直于直线6x －8y ＋3＝0.解析：(1)根据条件，写出该直线的点斜式方程为 y －3＝－3(x ＋1)，即y －3＝－3x －3，整理得其一般式为3x ＋y ＝0.(2)根据条件，写出该直线的截距式为x 4＋y4＝1，整理得其一般式为x ＋y －4＝0.(3)设与直线3x －4y ＋5＝0平行的直线为3x －4y ＋c ＝0，将点 (2，－4)代入得6＋16＋c ＝0，所以c ＝－22.故所求直线的一般式为3x －4y －22＝0.(4)设与直线6x －8y ＋3＝0垂直的直线为8x ＋6y ＋c ＝0，代入点(3,2)得24＋12＋c ＝0，c ＝－36.从而得8x ＋6y －36＝0，即所求直线的一般式为4x ＋3y －18＝0.10．已知△ABC 的三个顶点为A (0,3)，B (1,5)，C (3，－5)． (1)求边AB 所在的直线方程； (2)求中线AD 所在直线的方程．解析：(1)设边AB 所在的直线的斜率为k ，则k ＝5－31－0＝2.它在y 轴上的截距为3.所以，由斜截式得边AB 所在的直线的方程为y ＝2x ＋3.(2)B (1,5)、C (3，－5)，1＋32＝2，5＋－52＝0，所以BC 的中点D (2,0)．由截距式得中线AD 所在的直线的方程为x 2＋y3＝1.基础达标一、选择题1．下列四个命题中的真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示解析：当直线与y 轴平行或重合时，斜率不存在，直线方程不能用点斜式、斜截式，选项A 、D 不正确；当直线垂直于x 轴或y 轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C 不正确；选项B 正确．故选B.答案：B2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②当a ≠0时，令x ＝0，得y ＝2＋a ，令y ＝0，得x ＝a ＋2a ，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．直线l 过点P (1,3)，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0 D ．x －3y ＋8＝0 解析：设所求的直线方程为x a ＋yb＝1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，12|ab |＝6，解得a ＝2，b ＝6.故所求的直线方程为3x ＋y －6＝0.故选A.答案：A4．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：因为直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，又AB <0，BC <0，所以－A B >0，－C B>0，所以直线过第一、二、三象限，不过第四象限．故选D. 答案：D5．已知m ≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率为( ) A ．3 B ．－3 C.13 D ．－13解析：由题意，得a －3m ＋2a ＝0，所以a ＝m ，又因为m ≠0，所以直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率k ＝－a 3m ＝－13.故选D.答案：D6．已知两条直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c解析：由题图可知，直线l 1的斜率－1a >0，在y 轴上的截距－ba<0，因此a <0，b <0；直线l 2的斜率－1c >0，在y 轴上的截距－d c >0，因此c <0，d >0.且l 1的斜率大于l 2的斜率，即－1a >－1c，因此a >c ，故选C.答案：C7．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足( )A ．m ≠0 B．m ≠－32C ．m ≠1 D．m ≠1且m ≠－32且m ≠0解析：∵当2m 2＋m －3＝0时，m ＝1或m ＝－32；当m 2－m ＝0时，m ＝0或m ＝1，要使方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，∴m ≠1，故选C.答案：C 二、填空题 8．经过A (1,3)和B (a,4)的直线方程为________________________________________________________________________．解析：当a ＝1时，直线AB 的斜率不存在，所求直线的方程为x ＝1；当a ≠1时，由两点式，得y －34－3＝x －1a －1，即x －(a －1)y ＋3a －4＝0.这个方程中，对a ＝1时方程为x ＝1也满足．所以，所求的直线方程为x －(a －1)y ＋3a －4＝0. 答案：x －(a －1)y ＋3a －4＝09．过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是________________。

【步步高学案导学设计】高中数学 2.1.2.2 直线的方程(二)课时作业北师大版必修2

1．2 直线的方程(二)【课时目标】掌握直线方程的两点式、截距式及一般式，并能应用它们解决相关问题．1．关于x ，y 的二元一次方程____________(其中A ，B ______________)叫做直线的一般式方程．2．比较直线方程的五种形式(填空)一、选择题1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠0 2．下列说法正确的是( )A ．方程y －y 1x －x 1＝k 表示过点M (x 1，y 1)且斜率为k 的直线方程B ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋y b＝1C ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点到原点的距离为bD ．不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式 3．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A ．只可以写成两点式或截距式B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式C ．只可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 4．直线x a 2－y b2＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b5．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )6．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是( )A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0二、填空题7．直线x＋2y＋6＝0化为斜截式为____________，化为截距式为____________．8．已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示直线，则m的取值范围是________．9．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是________________．三、解答题10．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A(5,3)；(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1．11．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．能力提升12．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0．(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．(1)点斜式应注意过P(x0，y0)且斜率不存在的情况．(2)斜截式，要注意斜率不存在的情况．(3)两点式要考虑直线平行于x轴和垂直于x轴的情况．(4)截距式要注意截距都存在的条件．2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，在求直线方程时，应抓住这些几何特征，求直线方程．3．强调两个问题：(1)截距并非距离，另外截距相等包括截距均为零的情况，但此时不能用截距式方程表示，而应用y＝kx表示．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线y＝1没有横截距，x ＝2没有纵截距．(2)方程y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)(x1≠x2)与y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)以及(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)代表的直线范围不同(想一想，为什么？)．1．2 直线的方程(二) 答案知识梳理1．Ax＋By＋C＝0 不同时为01．D 2．A 3．B4．B [令x ＝0得，y ＝－b 2．]5．C [将l 1与l 2的方程化为斜截式得： y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得C ．]6．D [当y 轴上截距b ＝0时，方程设为y ＝kx ，将(5,2)代入得，y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当b ≠0时，方程设为x 2b ＋y b ＝1，求得b ＝92，∴选D ．]7．y ＝－12x －3 x －6＋y－3＝1．8．m ∈R 且m ≠1解析由题意知，2m 2＋m －3与m 2－m 不能同时为0，由2m 2＋m －3≠0得m ≠1且m ≠－32；由m 2－m ≠0，得m ≠0且m ≠1，故m ≠1．9．x 3＋y 2＝1或x2＋y ＝1 解析设直线方程的截距式为xa ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即x 3＋y2＝1或x2＋y ＝1．10．解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，即3x －y ＋3－53＝0． (2)x ＝－3，即x ＋3＝0．(3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0． (4)y ＝3，即y －3＝0．(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －－2－－，即2x ＋y －3＝0．(6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0．11．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时，设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0，即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0．据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ．∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ 解之得λ＝18，此时y ＝23x ．∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或y ＝23x ．12．解 (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)．而点A (15，35)在第一象限，故l 过第一象限．∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．(2)直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3．∵l 不经过第二象限，∴a ≥3．。

高中数学 2.1.2.2直线方程的两点式和一般式课时提能演

"【世纪金榜】高中数学 2.1.2.2直线方程的两点式和一般式课时提能演练北师大版必修2 "（30分钟 50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.直线ax+by-ab=0(ab≠0)在两坐标轴上的截距之和是( )（A）a+b （B）|a|+|b|（C）|a+b| （D）只能恒为正数2.直线l过点A（-1，-1）和B（2，5），且点C（1 005，b）也在直线l上，则b的值为( )（A）2 008 （B）2 009 （C）2 010 （D）2 0113.(2012·九江高一检测）已知直线l过点（2，1），且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为( )（A）x-y-1=0（B）x+y-3=0或x-2y=0（C）x-y-1=0或x-2y=0（D）x+y-3=0或x-y-1=04.过点(1,3)作直线l，若经过点(a,0)和(0，b)，且a∈N*，b∈N*，则可作出的l的条数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题（每小题4分，共8分）5.（易错题）如果直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2与y轴平行，则m=_________.6.（2012·合肥高一检测)已知直线l与直线3x+4y-7=0斜率相同，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为_________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；（2）系数满足什么关系时，与坐标轴都相交；（3）系数满足什么条件时，只与x轴相交；（4）系数满足什么条件时，是x轴；（5）设P(x0，y0)为直线Ax+By+C=0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0.8.求过定点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．【挑战能力】（10分）一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处，送电到两村的电线用料最省？答案解析 1.【解析】选A.把直线ax+by-ab=0(ab ≠0)化成截距式得x y b a +=1，在两坐标轴上的截距之和为a+b. 2.【解析】选D.方法一：由题意可知k AB =k AC .∴,----=----51b 121 1 0051（）（）（）（）∴b=2 011.方法二：由两点式得，直线l 的方程为,y 5x 21512--=----即y=2x+1. 又点C （1 005，b ）在l 上，∴b=2×1 005+1=2 011.3.【解析】选C.当直线过原点时，直线l 的方程为x-2y=0；当直线不过原点时，设其方程为x y a a-=1,即x-y=a, 又过点（2，1），可解得a=1,故方程为x-y-1=0.4.【解题指南】本题中a ∈N *,b ∈N *是解决问题的关键，利用它可缩小a,b 的范围.【解析】选B.由题意13＋a b＝1⇒(a －1)(b －3)＝3.∵a ∈N *，b ∈N *， ∴.a ＝2a ＝4，有两个解，或b ＝6b ＝4⎧⎧⎨⎨⎩⎩5.【解析】∵直线与y 轴平行，∴m 2+3m+2=0．解得m=-1或m=-2．又当m=-2时，直线方程(m+2)x+(m 2+3m+2)y=m+2为0×x+0×y=0，它不表示直线，应舍去．故当m=-1时，直线与y 轴平行．答案：-1【误区警示】此题容易忽视直线方程一般式中的条件（A ·B ≠0）而导致失误.6.【解析】设l ：3x+4y+m=0,则当y=0得x=-m 3；则当x=0得y=-m 4. ∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24，∴12×|-m 3|×|-m 4|=24,∴m=±24. ∴直线l 的方程为3x+4y ±24=0.答案：3x+4y ±24=0【变式训练】斜率为34，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为_______. 【解析】设直线方程为y=34x+b,令y=0,得x=-43b,∴12|b ·（-4b 3)|=6, ∴b=±3,∴所求直线方程为3x-4y-12=0或3x-4y+12=0.答案：3x-4y-12=0或3x-4y+12=07.【解析】（1）把原点(0,0)代入Ax+By+C=0，得C=0.（2）此时斜率存在且不为零,即A ≠0且 B ≠0.（3）此时斜率不存在，且不与y 轴重合，即B=0且C ≠0.（4）A=C=0,且B ≠0.（5）∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，∴Ax 0+By 0+C=0,C=-Ax 0-By 0，∴A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.8.【解析】（1）当直线过原点时，所求的直线方程为y=kx ，将点P(2,3)代入得k=32，故所求直线方程为y=32x ，即3x-2y=0．（2）当直线不过原点时，设直线在两坐标轴上的截距均为a ，故所求的直线方程为x y a a +=1，即x+y=a ．将点P(2,3)代入，得a=5．故所求直线方程为x+y=5．所以，所求直线方程为3x-2y=0或x+y=5．【一题多解】（1）当直线过原点时，所求的直线方程为y=kx ，将点P(2,3)代入得k=32，故所求直线方程为y=32x ，即3x-2y=0．（2）当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距相等，∴直线的斜率k=-1，可得直线的点斜式方程为y-3=-(x-2)，即x+y=5.故所求直线方程为x+y=5．【挑战能力】【解析】如图，以河流所在直线为x 轴，以过A 点与河流垂直的直线为y 轴建立直角坐标系，则A （0，300），B （x ，700），设B 点在y 轴上的射影为H ，则x=|BH|=22AB AH -=300，故点B （300，700）．点A 关于x 轴的对称点A 1(0,-300)，则直线A 1B 的斜率k=103，直线A 1B 的方程为y=103x-300．令y ＝0得x ＝90，得点P （90，0），故水电站建在河边P （90，0）处电线用料最省．【方法技巧】巧设直线方程(1)已知一点通常选择点斜式;(2)已知斜率通常选择斜截式或点斜式;(3)已知截距通常选择截距式;(4)已知两点通常选择两点式.。

(北师大版)数学必修二课时作业：2.1.2.2直线方程的两点式和一般式(含答案)

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课时提升作业(十七)直线方程的两点式和一般式一、选择题(每小题3分，共18分)1.过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线方程是( )A.=B.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0C.=D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0【解析】选B.选项A是直线的两点式，但是该方程不能表示与坐标轴垂直的直线，所以不能选A.而B选项的式子是两点式的变形，它可以表示所有情况下的直线，C，D显然不合题意，所以选B.2.(2014·佛山高一检测)直线+=1过一、二、三象限，则( )A.a>0，b>0B.a>0，b<0C.a<0，b>0D.a<0，b<0【解析】选C.直线交x轴负半轴，交y轴正半轴，所以a<0，b>0.3.(2014·焦作高一检测)过P(4，-3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选B.设直线方程为y+3=k(x-4)(k≠0).令y=0得x=，令x=0得y=-4k-3.由题意，=-4k-3，解得k=-或k=-1.因而所求直线有两条.【一题多解】选B.当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a，0)，(0，a)，a≠0，则直线方程为+=1，把点P(4，-3)的坐标代入方程得a=1.所以所求直线有两条.4.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角为45°，则a-b的值为( )A.0B.1C.-2D.2【解析】选D.由题意直线过(0，-1)，故b=-1，倾斜角为45°，斜率为1，得a=1，所以a-b=2.5.(2014·驻马店高一检测)直线l1：(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5=0的斜率与直线l2：x-y+1=0的斜率相同，则m等于( )A.2或3B.2C.3D.-3【解析】选C.直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则=1，即2m2-5m+2=m2-4，m2-5m+6=0，解得m=2或3，当m=2时，2m2-5m+2=0，-(m2-4)=0，则m=2不合题意，仅有m=3.【误区警示】本题易忽视当m=2时，2m2-5m+2=0且-(m2-4)=0而错选A.6.直线l：Ax+By+C=0过原点和第二、四象限，则( )A.C=0，B>0B.C=0，A>0，B>0C.C=0，AB>0D.C=0，AB<0【解析】选C.由直线l过原点知C=0.又直线过第二、四象限，所以-<0，所以AB>0.二、填空题(每小题4分，共12分)7.直线2x-4y-8=0的斜率k=________，在y轴上的截距b=________.【解析】直线方程化为斜截式，得y=x-2，所以k=，b=-2.答案：-28.直线l过点P(-2，3)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为________.【解析】设A(x，0)，B(0，y).因为点P恰为AB的中点，所以x=-4，y=6，即A，B两点的坐标分别为(-4，0)，(0，6).由截距式得直线l的方程为+=1.即为3x-2y+12=0.答案：3x-2y+12=09.(2014·南阳高一检测)直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，-2)，则直线l方程为________.【解析】设在y轴上的截距为a(a≠0)，所以方程为+=1，代入点A，得-=1，即a2-3a+2=0，所以a=2或a=1，所以方程为：+y=1或+=1，即x+2y-2=0或2x+3y-6=0.答案：x+2y-2=0或2x+3y-6=0【变式训练】过点(0，3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________.【解析】设直线方程为+=1，则解得a=2，b=3，则直线方程为+=1，即3x+2y-6=0.答案：3x+2y-6=0三、解答题(每小题10分，共20分)10.已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线l的方程.【解析】设所求直线l的方程为y=kx+b.因为k=6，所以方程为y=6x+b.令x=0，所以y=b，与y轴的交点为(0，b)；令y=0，所以x=-，与x轴的交点为.根据勾股定理得+b2=37，所以b=〒6.因此直线l的方程为6x-y〒6=0.【变式训练】一条直线经过点A(-2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求直线的方程.【解析】设所求直线的方程为+=1，因为A(-2，2)在直线上，所以-+=1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，所以|a|〃|b|=1.②由①②可得(i)或(ii)由(i)解得或方程组(ii)无解.故所求的直线方程为+=1或+=1，所求直线的方程为x+2y-2=0或2x+y+2=0.11.(2014·日照高一检测)已知直线ax-y+2a+1=0.(1)x∈(-1，1)时，y>0恒成立，求a的取值范围.(2)a∈时，恒有y>0，求x的取值范围.【解题指南】第(1)问可根据数形结合求出结论，在第(2)问中注意到方程是关于x，y的一次式，也是关于a，y的一次式，于是可借助一次函数解决.【解析】(1)令y=f(x)=ax+(2a+1)，x∈(-1，1)时，y>0.只需即解得即a≥-.(2)令y=g(a)=(x+2)a+1，看作a的一次函数，a∈时，y>0，只需即解得所以-3≤x≤4.一、选择题(每小题4分，共16分)1.直线ax+by-1=0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.abB.|ab|C.D.【解析】选D.令x=0，得y=；令y=0，得x=；S==.2.(2014·合肥高一检测)直线3x+4y+5=0的斜率和它在y轴上的截距分别为( ) A.， B.-，-C.-，-D.，【解析】选C.把方程化为斜截式：y=-x-，则斜率k=-，b=-.3.(2014·济源高一检测)若k∈R，直线kx-y-2k-1=0恒过一个定点，则这个定点的坐标为( )A.(1，-2)B.(-1，2)C.(-2，1)D.(2，-1)【解析】选D.y+1=k(x-2)是直线的点斜式方程，它所经过的定点为(2，-1). 4.(2014·渭南高一检测)过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为( )A.x-y-3=0B.2x-5y=0C.2x-5y=0或x-y-3=0D.2x+5y=0或x+y-3=0【解析】选C.设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为-a.若a=0，则直线过原点，其方程为2x-5y=0.若a≠0，则设其方程为+=1，又点(5，2)在直线上，所以+=1，所以a=3.所以直线方程为x-y-3=0.综上直线l的方程为2x-5y=0或x-y-3=0.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014·南昌高一检测)有下列说法：①平面内的所有直线均可写成两点式；②直线方程的斜截式均可化为截距式；③点斜式直线方程可表示任一直线；④平面上的直线最多可通过三个象限.其中不正确的是________.【解析】对于①，由两点式方程的定义知，当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时，不能用两点式方程，故①错误.由于直线的截距式方程的条件是a ≠0，b≠0，即两个非零的截距，所以说截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴垂直的直线，而直线的斜截式方程则可以表示过原点的直线，故②错误.由点斜式的定义可知，如果直线与x轴垂直，此时直线的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程就不能用点斜式表示，因此③的说法也是错误的.④显然是正确的.答案：①②③6.(2014·榆林高一检测)已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A(2，1)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是____________________.【解析】因为点A(2，1)在直线a1x+b1y+1=0上，所以2a1+b1+1=0.由此可知点P1 (a1，b1)的坐标满足2x+y+1=0.因为点A(2，1)在直线a2x+b2y+1=0上，所以2a2+b2+1=0.由此可知点P2(a2，b2)的坐标也满足2x+y+1=0.所以过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是2x+y+1=0.答案：2x+y+1=0【变式训练】已知2x1-3y1=4，2x2-3y2=4，则过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l 的方程是( )A.2x-3y=4B.2x-3y=0C.3x-2y=4D.3x-2y=0【解析】选A.因为(x1，y1)满足方程2x1-3y1=4，则(x1，y1)在直线2x-3y=4上.同理(x2，y2)也在直线2x-3y=4上.由两点决定一条直线，故过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是2x-3y=4.三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2014·九江高一检测)一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射后，通过点B(-1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程.【解析】因为点A(3，2)关于x轴的对称点为A′(3，-2)，所以由两点式可得直线A′B的方程为=，即2x+y-4=0.同理，点B关于x轴的对称点为B′(-1，-6)，由两点式可得直线AB′的方程为=，即2x-y-4=0.所以入射光线所在直线方程为2x-y-4=0，反射光线所在直线方程为2x+y-4=0.【变式训练】(2014·宜春高一检测)已知A(-1，4)，B(2，2)，点P是x轴上的点，求当|AP|+|PB|最小时点P的坐标.【解析】如图，点B关于x轴的对称点B′(2，-2)，连接PB′，则|AP|+|PB|=|AP|+|PB′|≥|AB′|，|AB′|=3，当点A，P，B′三点共线时，|AP|+|PB|取最小值3.直线AB′的方程为=，即2x+y-2=0.令y=0，得x=1.所以点P的坐标为(1，0).【拓展延伸】求直线方程时方程形式的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率.(2)已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距.(3)已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程.(4)已知直线上两点时，通常选用两点式方程.(5)不论选用哪种形式的方程，都要注意各自的限制条件，以免漏掉一些特殊情况下的直线.8.某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发，问如何设计才能使开发的面积最大？最大面积是多少？(已知BC=210m，CD=240m，DE=300m，EA=180m)【解题指南】本题的实质是在直线AB上找出恰当的点，因此，可以先建系，由截距式方程写出直线，再由矩形面积公式写出目标函数，求函数的最大值来确定点的位置.【解析】以BC边所在直线为x轴，AE边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.由已知可得A(0，60)，B(90，0).所以AB所在直线方程为+=1.即y=60-x，从而可设线段AB上一点P，其中0≤x≤90，所以所开发部分的面积为S=(300-x)(240-y).故S=(300-x)=-x2+20x+54000=-(x-15)2+54150(0≤x≤90).所以当x=15，y=60-〓15=50时，S max=54150(m2).因此点P距直线AE15m，距直线BC50m时所开发的面积最大，最大面积为54150m2. 【拓展延伸】用代数法解决几何问题(1)建立适当坐标系将几何问题代数化是常用的解题方法.(2)建立坐标系时要尽可能地应用题目中的垂直关系，且让尽可能多的元素落在坐标轴上.关闭Word文档返回原板块。

高中数学北师大版必修二 2.1.2.2直线方程的两点式和一般式课件(26张)

��-(-3) -6-(-3) ��-(-2) ,整理得 -5-(-2)
=
x-y-1=0.
(2)∵ 直线与 x 轴垂直,∴ 方程为 x=-3. (3) + =1,整理得 x-y+2=0. (4) + =1,整理得 x+y-4=0.
�� 4 �� 4 �� -2 �� 2
��-��1 ��2 -��意义,因此不能用两点式表示.当 x1=x2 时,直线方程为 ��2 -��1
x=x1;当 y1=y2 时,直线方程为 y=y1.
预习交流 2
在直线方程的一般式 Ax+By+C=0 中,为什么要规定 A,B 不同时为 0? 提示:若 A=B=0,则方程变为 C=0,此时该式不能表示任何直线.故直线方程的一般式 Ax+By+C=0 必须加上 A,B 不同时为 0 这个条件,才能表示一条直线.
4 3 4 3 �� -1 �� 1
3 ��
4 -��
问题导学
当堂检测
1.已知两点的坐标,求此两点所在直线的方程时,可首先考虑两点式方程;若两点所在直线的斜率存在时,也可利用点斜式表示方程;若利用条件能求出 x 轴、y 轴上的截距时,可用截距式表示方程,但不论用何种方法,最后结果通常化为一般式. 2.由于直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线 , 所以在利用待定系数法设直线的截距式方程求解时 ,要注意这一局限性,避免造成丢解.一般地,当直线在两坐标轴上的截距相等、在两坐标轴上的截距互为相反数、在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 k(k≠0)倍时,经过原点的直线均符合这些要求,求其方程时应分类讨论.

高中数学二章解析几何初步1.2直线的方程第二课时直线方程的两点式和一般式课后课时精练课件北师大版必修2

解析
8．若直线 l 与两坐标轴的交点分别为(－3,0)，(0，－4)，则直线 l 的方程是________．
答案 4x＋3y＋12＝0
解析因为直线 l 与两坐标轴的交点分别为(－3,0)，(0，－4)，所以直线 l 在 x，y 轴上的截距分别为－3，－4，故直线 l 的方程是－x3＋－y4＝1，可化为 4x＋3y＋12＝0.
解析
2．已知直线 l 的方程为 9x－4y＝36，则 l 在 y 轴上的截距为( ) A．9 B．－9 C．4 D．－4
答案 B 解析由 9x－4y＝36，得 y＝94x－9，∴b＝－9.
答案
解析
3．已知直线 ax＋by－1＝0，在 y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直
线 3x－y－ 3＝0 的倾斜角的 2 倍，则( )轴正方向围成面积为 2 的三角形且截距差的绝对值为 3 的直线方程的一般式是________．
答案 x＋4y－4＝0 或 4x＋y－4＝0
解析设直线方程为xa＋by＝1(a>0，b>0)，
则12ab＝2，
解得 a＝4，b＝1 或 a＝1，b＝4.
|a－b|＝3，
答案
课后课时精练
时间：25 分钟 1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A．可以写成两点式或截距式 B．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C．可以写成点斜式或截距式 D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
答案 B
答案
解析由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为 0，所以直线不一定能写成截距式．故选 B.

北师大版高中数学必修2学案第二章第一课时直线方程的两点式和一般式

1.2直线的方程第一课时直线方程的点斜式[学习目标] 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程． 2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义． 3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系.【主干自填】1．直线方程的点斜式和斜截式2．垂直于坐标轴的直线直线过点直线的特点方程形式(x0，y0)垂直于x轴x＝x0垂直于y轴y＝y03．(1)在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的□03纵坐标．(2)在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的□04横坐标．【即时小测】1．思考下列问题(1)若直线经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则该直线上任意一点的坐标满足什么关系？提示：设P(x，y)是直线上除P0外任意一点，那么y－y0x－x0＝k，∴y－y0＝k(x－x0)，点P0也满足该式，这就是直线的方程．(2)过点(2,1)且垂直于x轴或y轴的直线方程是怎样的？提示：x＝2，y＝1.(3)经过y轴上一点(0，b)且斜率为k的直线方程是什么？提示：设直线上除(0，b)外任一点坐标为(x，y)，则y－bx＝k，即y＝kx＋b.点(0，b)也满足该式，∴直线方程为y＝kx＋b.2．过点P(－2,0)，斜率为3的直线方程是()A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)提示：D由点斜式得y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)．3．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1提示：C∵直线方程y＋2＝－x－1，可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.4．直线方程y＝kx＋b(k＋b＝0，k≠0)表示的图形可能是()提示：B解法一：因为直线方程为y＝kx＋b，且k≠0，k＋b＝0，即k＝－b，所以令y＝0，得x＝－bk＝1，所以直线与x轴的交点为(1,0)．只有选项B中图形符合要求．解法二：已知k＋b＝0，所以k＝－b，代入直线方程，可得y＝－bx＋b，即y＝－b(x－1)．又k≠0，所以b≠0，所以直线必过点(1,0)．只有选项B中图形符合要求．解法三：由直线方程为y＝kx＋b，可得直线的斜率为k，在y轴上的截距为b.因为k＋b＝0，所以k＝－b，即直线的斜率与直线在y轴上的截距互为相反数．选项A中，k>0，b>0，则k＋b>0，不符合要求；选项B中，k>0，b<0，图形可能符合要求；选项C中，k<0，b＝0，则k＋b<0，不符合要求；选项D中，k<0，b<0，则k＋b<0，不符合要求.例1根据条件写出下列直线方程的点斜式．(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为45°；(2)经过点B(4,2)，倾斜角为90°；(3)经过原点，倾斜角为60°；(4)经过点D(－1,1)，倾斜角为0°.[解](1)直线斜率为tan45°＝1，∴直线方程为y－4＝x＋1.(2)直线斜率不存在，直线平行于y轴，∴所求直线方程为x＝4.(3)直线斜率为tan60°＝3，∴所求直线的方程为y＝3x.(4)直线斜率为0，∴直线方程为y＝1.类题通法点斜式方程使用的条件是直线的斜率必须存在，因此解答本题要先判断直线的斜率是否存在.若存在，求出斜率，利用点斜式写出方程；若不存在，直接写出方程x＝x0.[变式训练1]根据下列条件写出直线方程的点斜式．(1)经过点(3,1)，倾斜角为60°；(2)斜率为32，与x轴交点的横坐标为－7.解(1)设直线的倾斜角为α，∵α＝60°，k＝tanα＝tan60°＝3，∴所求直线的点斜式方程为y－1＝3(x－3)．(2)由直线与x轴交点的横坐标为－7得直线过点(－7,0)，又斜率为3 2，由直线方程的点斜式得y－0＝32[x－(－7)]，即y＝32(x＋7).例2(1)写出斜率为2，在y轴上截距是3的直线方程的斜截式．(2)已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k，在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．[解](1)∵直线的斜率为2，在y轴上截距是3，∴直线方程的斜截式为y＝2x＋3.(2)把直线l的方程2x＋y－1＝0化为斜截式为y＝－2x＋1，∴k＝－2，b＝1，点P的坐标为(0,1)．类题通法斜截式方程书写注意的问题(1)已知直线斜率或直线与y轴交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．(2)利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y轴上也没有截距．[变式训练2] 写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)倾斜角是30°，在y 轴上的截距是0.解 (1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y ＝3x －3.(2)由题意可知，直线的斜率k ＝tan60°＝3，所求直线的方程为y ＝3x ＋5. (3)由题意可知所求直线的斜率k ＝tan30°＝33，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y ＝33x .例3 求证：不论m 为何值时，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限． [证明] 证法一：直线l 的方程可化为 y －3＝(m －1)(x ＋2)， ∴直线l 过定点(－2,3)，由于点(－2,3)在第二象限，故直线l 总过第二象限．证法二：直线l 的方程可化为(x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0. 令⎩⎨⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3. ∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2,3)． ∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限．类题通法直线的斜截式方程的书写方法直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图像就一目了然．因此，在解决直线的图像问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断．[变式训练3] 已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，求k 的取值范围．解由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎨⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32. 所以，k 的取值范围是{|k k ≥32.易错点⊳忽略方程的适用条件致错[典例] 已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求直线AB 的方程． [错解] 由A (－1,2)，B (m,3)，得直线AB 的斜率k ＝1m ＋1，利用点斜式，得直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． [错因分析] 没有讨论直线AB 的斜率是否存在(m 的取值)，而直接认为直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． [正解] 当m ＝－1时，由A (－1,2)，B (－1,3)，得直线AB 的方程为x ＝－1；当m ≠－1时，由A (－1,2)，B (m,3)，得直线AB 的斜率k ＝1m ＋1，利用点斜式，得直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．课堂小结1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y －y 1x －x 1＝k ，此式是不含点P 1(x 1，y 1)的两条反向射线的方程，必须化为y －y 1＝k (x －x 1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x ＝x 1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b )点、斜率为k 的直线y －b ＝k (x －0)，即y ＝kx ＋b ，其特征是方程等号的一端只是一个y ，其系数是1；等号的另一端是x 的一次式，而不一定是x 的一次函数．如y ＝c 是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.1．直线y－2＝－3(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()A．60°，2 B．120°，2－3C．60°，2－ 3 D．120°，2答案B解析该直线的斜率为－3，当x＝0时，y＝2－3，∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－ 3.2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<0答案B解析∵直线经过一、三、四象限，∴图形如图所示，则由图知，k>0，b<0.3．斜率为4，经过(2，－3)的直线方程为________．答案y＋3＝4(x－2)4．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为________．答案x＝3解析直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P(3，3)，所以直线l的方程为x＝3.。

2021年高中数学第二章2.1.2第2课时直线方程的两点式和一般式学案北师大版必修2

第2课时直线方程的两点式和一般式知识点一直线方程的两点式[填一填](1)方程：过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线的两点式方程为y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1.如图所示．(2)说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程．[答一答]1．直线的两点式方程的表示与点的选取有关吗？提示：(1)两点确定一条直线，直线的两点式方程的表示与P1，P2的选取无关．(2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1⇔y－y2y1－y2＝x－x2x1－x2，即直线的两点式方程的表示与P1(x1，y1)和P2(x2，y2)这两点的顺序无关．2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？提示：不一定．(1)若x1＝x2且y1≠y2，则直线垂直于x轴，方程为x－x1＝0或x＝x1.(2)若x1≠x2且y1＝y2，则直线垂直于y轴，方程为y－y1＝0或y＝y1.(3)若x1≠x2且y1≠y2，则直线方程可用两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1表示．知识点二直线方程的截距式[填一填](1)方程：与两坐标轴的交点分别是P(a,0)，Q(0，b)(其中ab≠0)的截距式方程为xa＋yb＝1.如图所示．(2)说明：一条直线与x 轴的交点为(a,0)，其横坐标a 叫作这条直线在x 轴上的截距；与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式．[答一答]3．直线方程的截距式在结构上有何特点？提示：直线方程的截距式为x a ＋yb ＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距．中间用“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两坐标轴上的截距，如：x 3－y 4＝1，x 3＋y4＝－1就不是直线的截距式方程．4．截距式方程不能表示哪些直线？提示：截距式方程的条件是a ≠0，b ≠0，即直线在x 轴、y 轴上的截距都不能为0，所以截距式方程不能表示与坐标轴垂直的直线及经过原点的直线．知识点三直线方程的一般式 [填一填](1)定义：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)叫作直线方程的一般式．(2)斜率：直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，当B ≠0时，其斜率是－AB ，在y 轴上的截距是－CB；当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴，没有斜率．(3)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．[答一答]5．如何理解A 2＋B 2≠0?提示：A 2＋B 2≠0表示A ，B 不能同时为零，包括三种情况：一是A ≠0且B ≠0；二是A ＝0，B ≠0；三是B ＝0，A ≠0.6．坐标平面内的直线，都可以用关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示吗？提示：可以，坐标平面内的任何一条直线，都可以用关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示．1．对直线的两点式方程的两点说明(1)直线的两点式方程应用的前提条件：x 1≠x 2，y 1≠y 2，即直线的斜率不存在及斜率为0时，不能应用两点式方程．当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1，此时直线垂直于x 轴；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1，此时直线垂直于y 轴．(2)两点式方程可以变形为(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)·(y 2－y 1)，在此方程中，不再有x 1≠x 2，y 1≠y 2的限制，因而此方程可以表示过平面上任意两点的直线方程．2．对直线的截距式方程的两点说明(1)由截距式方程可以直接得到直线在x 轴与y 轴上的截距． (2)直线方程的截距式是两点式的特例，它有三类不能表达： ①垂直于x 轴的直线(倾斜角为90°的直线)； ②垂直于y 轴的直线(倾斜角为0°的直线)； ③过原点的直线．类型一直线方程的两点式【例1】已知△ABC 的顶点分别为A (2,8)，B (－4,0)，C (6,0)，求过点B 且将△ABC 的面积平分的直线方程．【思路探究】三角形面积＝12底×高，将△ABC 的面积平分，可以考虑取底的一半就可以了，即中线从面积上平分三角形．【解】求出AC 的中点D 的坐标，即D (4,4)，则直线BD 即为所求，由直线方程的两点式得y －04－0＝x －(－4)4－(－4)，即所求的直线方程为x －2y ＋4＝0.规律方法根据中点坐标公式求线段的中点坐标，根据两点坐标写出两点的直线方程．已知三角形的顶点分别是A (－2，－1)，B (－1,5)，C (3，－3)，求BC 边上中线所在直线的方程．解：设线段BC 的中点为D (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝－1＋32＝1，y ＝5－32＝1，即D (1,1)．由两点式得AD 所在直线的方程为y －1－1－1＝x －1－2－1，整理可得2x －3y ＋1＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为2x －3y ＋1＝0.类型二直线方程的截距式【例2】已知直线l 经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．【思路探究】直线l 满足的两个条件是：(1)过点(3，－2)；(2)在两坐标轴上的截距相等，若设a ，b 分别为l 在两坐标轴上的截距，则有a ＝b ，但要注意a ＝b ＝0时的情形．【解】解法一：依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，则可得直线的方程为y ＋2＝k (x －3)．令x ＝0，得y ＝－2－3k ；令y ＝0，得x ＝2k ＋3.由题意－2－3k ＝3＋2k ，解得k ＝－1或k ＝－23.∴l 的方程为y ＋2＝－(x －3)或y ＋2＝－23(x －3)，即为x ＋y －1＝0或2x ＋3y ＝0.解法二：设直线l 在两坐标轴上的截距均为a .①若a ＝0，则直线l 过原点，此时l 的方程为2x ＋3y ＝0； ②若a ≠0，则l 的方程可设为x a ＋ya ＝1.∵l 过点(3，－2)，知3a ＋－2a ＝1，即a ＝1，∴直线l 的方程为x ＋y ＝1，即为x ＋y －1＝0.综合①②可知直线l 的方程为2x ＋3y ＝0或x ＋y －1＝0.规律方法若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式x a ＋yb＝1中，可得所求的直线方程．注意：a 为横截距，b 为纵截距，一定要明确截距式方程的结构形式．求经过点A (－3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程．解：当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ，将(－3,4)代入y ＝kx 中得4＝－3k ，∴k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.当截距不为0时，设直线方程为x a －ya ＝1，则－3a －4a ＝1，∴a ＝－7，∴直线方程为x －y ＋7＝0.∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0或4x ＋3y ＝0.类型三直线方程的一般式【例3】设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件确定m 的值．(1)直线l 在x 轴上的截距是－3； (2)直线l 的斜率是－1.【思路探究】要使直线在x 轴上的截距为－3，令y ＝0，得x ＝2m －6m 2－2m －3＝－3，但要注意m 2－2m －3≠0.(2)当斜率为－1时，有－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，但要注意2m 2＋m －1≠0.【解】 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0 ①2m －6m 2－2m －3＝－3 ②，由①可得m ≠－1，且m ≠3，由②可得m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－1且m ≠12m ＝－1或m ＝－2，∴m ＝－2. 规律方法 1.把直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．2．要学会直线方程的一般式与特殊形式之间的相互转化，在求直线方程时，并不一定要设一般式，根据题目的条件选择恰当的形式，但最终结果一般要用一般式方程来表达．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． (1)斜率是－12，经过点A (8，－2)；(2)经过点B (4,2)，平行于x 轴；(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32、－3；(4)经过两点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)．解：选择合适的直线方程形式．(1)由点斜式得y －(－2)＝－12(x －8)，即x ＋2y －4＝0.(2)由斜截式得y ＝2，即y －2＝0.(3)由截距式得x 32＋y－3＝1，即2x －y －3＝0.(4)由两点式得y －(－2)－4－(－2)＝x －35－3，即x ＋y －1＝0.类型四直线过定点的问题【例4】已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0. (1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．【思路探究】解答本题可先将一般式方程化为点斜式方程，然后指明直线恒过第一象限内的某点可证得第(1)问，也可以变形将x ，y 看成a 的系数，a 的系数与常数项均为0，解方程组得定点坐标；第(2)问可根据直线不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零求得．【解】 (1)证明：证法一：将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．证法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0. ∵上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝05y －3＝0，即⎩⎨⎧x ＝15y ＝35.即l 过定点A (15，35)．故不论a 为何值，l 恒过第一象限．(2)要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即当x ＝0时，y ＝－a －35≤0，∴a ≥3.规律方法含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，一般求定点时，只要将方程化为点斜式即可求得定点的坐标．在变形后特点如果还不明显，可采用证法二的解法，即将方程变形，把x ，y 作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x ，y 的值，即为直线过的定点．已知(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0为直线l 的方程，求证：不论k 取何实数，直线l 必过定点，并求出这个定点的坐标．解：将直线方程(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0化为k (x －y －2)＋x ＋y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2＝0x ＋y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1， ∴不论k 取任何实数，l 过定点，定点为(1，－1)．——易错警示系列—— 忽视直线的截距为0的特殊情况直线的截距是直线与坐标轴的交点的横坐标或纵坐标，在x 轴上的截距就是直线与x 轴交点的横坐标，在y 轴上的截距就是直线与y 轴交点的纵坐标．当直线过原点时，此时在x 轴、y 轴上的截距都是0，所以在两坐标轴上的截距相等时，应注意截距都为0的情形，此时直线方程的形式是y ＝kx .在非零截距的情况下，可设方程为x a ＋yb＝1.【例5】求经过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程．【错解】设直线方程为x a ＋ya＝1，将x ＝2，y ＝3代入，得2a ＋3a ＝1，解得a ＝5.故所求的直线方程为x ＋y －5＝0.【错因分析】截距相等包含两层含义，一是截距不为0时的相等，二是截距为0时的相等，而后者常常被忽视，导致漏解．【正解】 (1)当截距为0时，直线l 过点(0,0)，(2,3)， ∵直线l 的斜率为k ＝3－02－0＝32，∴直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.(2)当截距不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵直线l 过点P (2,3)，∴2a ＋3a ＝1，∴a ＝5，∴直线l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.求过点A (5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程．解：由题意知，当直线l 在坐标轴上的截距均为零时，直线l 的方程为y ＝25x .当直线l 在坐标轴上的截距不为零时，设l 的方程为x 2a ＋ya＝1.将点(5,2)代入方程得52a ＋2a ＝1，解得a ＝92.∴直线l 的方程为x ＋2y －9＝0.综上所述，所求直线l 的方程为y ＝25x 或x ＋2y －9＝0.一、选择题1．方程－x 16＋y18＝1的直线在x 轴、y 轴上的截距分别为( B )A ．16,18B ．－16,18C ．16，－18D ．－16，－18解析：令y ＝0，得x ＝－16；令x ＝0，得y ＝18，∴在x 轴、y 轴上的截距分别为－16,18.2．关于x ，y 的方程(a 2－a －2)x ＋(2－a )y ＋5＝0是直线的方程，则( C ) A ．a ＝2 B ．a ＝－1 C ．a ≠2 D ．a ≠1 解析：由题意知a 2－a －2和2－a 不同时为0，∴a ≠2.3．下列命题：①y －y 0x －x 0＝k 表示过定点P (x 0，y 0)且斜率为k 的直线； ②直线y ＝kx ＋b 和y 轴交于B 点，O 是原点，那么b ＝|OB |；③一条直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，那么该直线的方程为x a ＋yb ＝1；④方程(x 1－x 2)(y －y 1)＋(y 2－y 1)(x －x 1)＝0表示过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点的直线．其中错误命题的个数是( D ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：①不是点斜式，因为它不包含点(x 0，y 0)． ②b ≠|OB |，b 是点B 的纵坐标，可正可负可零． ③当a ＝b ＝0时，直线方程不能写成x a ＋yb＝1.④正确，过P 1(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的直线方程可以这样写．二、填空题4．直线x －y ＋1＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为12.解析：直线x －y ＋1＝0在两坐标轴上的截距分别为－1,1，故S ＝12×|－1|×|1|＝12.5．直线x a 2－yb 2＝1在y 轴上的截距是－b 2.解析：令x ＝0，得y ＝－b 2. 三、解答题6．已知两点A (1,3)，B (5,7)，直线AB 过点C (m,12)，求直线AB 的方程和m 的值．解：由两点式y －37－3＝x －15－1得AB 的方程为x －y ＋2＝0，把C (m,12)代入得m ＝10.。

北师大版高中数学必修二教师用书：2-1-2-2 直线方程的两点式和一般式

二直线方程的两点式和一般式1．直线方程的两点式2.直线方程的截距式3.直线方程的一般式(1)定义：关于x 、y 的二元一次方程 Ax ＋By ＋C ＝0_(A 、B 不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中任意一条直线都可用直线方程的一般式来表示．(3)系数的几何意义当B ≠0时，y ＝－A B x －C B ，它表示平面直角坐标系中一条不垂直于x 轴的直线(其中－A B 就是直线的斜率)．当B ＝0时，则A ≠0，所以有x ＝－C A ，它表示平面直角坐标系中一条与x 轴垂直的直线．1．已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程．[★答案☆] y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 2．过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？[★答案☆] 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．3．截距式方程能否表示过原点的直线？[★答案☆] 不能．因为ab ≠0，即有两个非零截距．4．当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示怎样的直线？B ＝0呢？[★答案☆] 当B ≠0时，由Ax ＋By ＋C ＝0，得y ＝－A B x －C B ，所以该方程表示斜率为－A B ，在y 轴上截距为－C B 的直线；当B ＝0时，A ≠0，由Ax ＋By ＋C ＝0，得x ＝－C A ，所以该方程表示一条垂直于x 轴的直线．题型一直线的两点式方程【典例1】已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中，(1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程．⎝ ⎛⎭⎪⎫参考公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22 [思路导引] (1)BC 边的直线方程可以用两点式表示．(2)先求出BC 边上的中点，然后利用两点式求BC 边上的中线所在直线的方程．[解] (1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，由两点式，得y －(－4)－2－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)．(2)设BC 的中点M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3，又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.[引申探究] 若本例条件不变，试求BC 边的垂直平分线所在的直线方程．[解] k BC ＝－4－(－2)5－0＝－25，则BC 的垂直平分线的斜率为52，又BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3，由点斜式方程可得y ＋3＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，即10x －4y －37＝0.(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，要判断是否满足两点式方程的适用条件．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标．[针对训练1] 若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________.[解析] 由直线方程的两点式得y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5. ∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2，∵点P (3，m )在直线AB 上，∴m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2.[★答案☆] －2题型二直线的截距式方程【典例2】过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．无数多条[思路导引] 直线l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等，应考虑直线过原点和不过原点两类，分别设出方程，再由直线l 过点A (3，－1)求得直线方程．[解析] 当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ，当截距不为零时，设直线方程为x a ＋y b ＝1，∴⎩⎨⎧ 3a ＋－1b＝1，|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－4，即直线方程为x 2＋y 2＝1或x 4＋y －4＝1， ∴满足条件的直线共有3条．故选B.[★答案☆] B如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况．[针对训练2] 直线l 过定点A (－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l 的方程为____________．[解析] 解法一：设直线方程为x a ＋y b ＝1，则⎩⎨⎧ 12|a ||b |＝4，－2a ＋3b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝2或⎩⎨⎧ a ＝－43，b ＝－6，所以直线l 的方程为x 4＋y 2＝1或x －43＋y －6＝1，即9x ＋2y ＋12＝0或x ＋2y －4＝0.解法二：由题意知，直线l 的斜率存在且不为0，设为k ，则直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，令x ＝0，得y ＝2k ＋3，令y ＝0，得x ＝－3k －2，则S ＝12|2k ＋3|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3k －2＝4，所以(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝±8. 若(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝8，即4k 2＋4k ＋9＝0，无解．若(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝－8，即4k 2＋20k ＋9＝0，解得k ＝－92或－12. 所以直线l 的方程为y －3＝－92(x ＋2)或y －3＝－12(x ＋2)．即9x＋2y ＋12＝0或x ＋2y －4＝0.[★答案☆] 9x ＋2y ＋12＝0或x ＋2y －4＝0题型三直线的一般式方程的应用【典例3】设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[思路导引] (1)直线在坐标轴上的截距相等，注意截距为零的情况．(2)直线不经过第二象限，则其斜率大于零，在y 轴上截距小于零．[解] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等．则(a ＋1)×0＋0＋2－a ＝0，∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0；若a ≠2，由题设l 在两轴上的截距相等，∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1，∴a ＝0，方程即x ＋y ＋2＝0.∴l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是a ≤－1.(1)截距概念的把握要注意两点：①可以为零．②可以为负(不能与距离混淆)；在题目中出现“截距相等”、“截距互为相反数”、“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考察，直线l 不经过某象限不要漏掉过原点的情况．(2)由直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)求直线在两轴上的截距时，令x ＝0得纵截距；令y ＝0得横截距．由两截距位置可知直线的位置．[针对训练3] 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0.(1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________；(2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________.[解析] (1)由题意知m 2－2m －3≠0，即m ≠3且m ≠－1，令y＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3， ∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)． ∴m ＝－53.(2)由题意知，2m 2＋m －1≠0，即m ≠12且m ≠－1. 把直线l 化为斜截式方程得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1，则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，得m ＝－2或m ＝－1(舍去)．∴m ＝－2.[★答案☆] (1)－53 (2)－21．下列说法正确的是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b ＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示[解析] 当直线与y 轴平行或重合时，斜率不存在，选项A 、D 不正确；当直线垂直于x 轴或y 轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C 不正确；当x 1≠x 2，y 1≠y 2时由直线方程的两点式知选项B 正确，当x 1＝x 2，y 1≠y 2时直线方程为x －x 1＝0，即(x －x 1)(y 2－y 1)＝(y －y 1)(x 2－x 1)，同理x 1≠x 2，y 1＝y 2时也可用此方程表示．故选B.[★答案☆] B2．如图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋y b ＝1，则有( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0[解析] 很明显M (a,0)、N (0，b )，由图知M 在x 轴正半轴上，N 在y 轴负半轴上，则a >0，b <0.[★答案☆] B3．直线3x －2y －4＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是( ) A.34，－12B.13，12C.34，－2D.43，－2[解析] 将3x －2y －4＝0化成截距式为x 43＋y －2＝1，故该直线在x 轴、y 轴上的截距分别是43，－2.[★答案☆] D4．如果直线l 过(－1，－1)、(2,5)两点，点(1009，b )在直线l 上，那么b 的值为( )A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019[解析] 根据三点共线，得5－(－1)2－(－1)＝b －51009－2，得b ＝2019. [★答案☆] D分类讨论思想每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．【示例】直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程．[思路分析] 已知条件中给出了截距间的关系，可设截距分别为a 、b ，列出⎩⎨⎧ 12ab ＝2|a －b |＝3，去掉绝对值，求出a 、b 的值，从而求得直线方程． [解] 设直线l 在x 轴，y 轴上的截距分别为a 、b (a >0，b >0)，则由已知可得⎩⎨⎧ 12ab ＝2， |a －b |＝3①当a ≥b 时，①可化为⎩⎨⎧ 12ab ＝2，a －b ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－4(舍去)．当a <b 时，①可化为⎩⎨⎧ 12ab ＝2，b －a ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1(舍去)．所以，直线l 的截距式方程为x 4＋y ＝1或x ＋y 4＝1.[题后反思] 利用截距求面积(1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便．(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知截距的大小，因此，需要进行分类讨论．[针对训练] 已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点A (－3,4)，求直线l 的方程．[解] 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程是y ＝k (x＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，则12|3k ＋4||－4k －3|＝3，显然k >0时不成立．解得k 1＝－23，k 2＝－83. 所以直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.课后作业(十九)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( )A ．y ＝x ＋3B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2[解析] 由两点式方程可得，y －14－1＝x ＋21＋2，即y ＝x ＋3. 选A.[★答案☆] A2．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3[解析] 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得m ＝3或m ＝2(舍去)． [★答案☆] D3．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－1 B.3，－1 C ．－3，1D.3，1[解析] 原方程化为x 1a ＋y1b ＝1，∴1b ＝－1，∴b ＝－1.又∵ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－ab ＝a ，且3x －y －3＝0的倾斜角为60°， ∴k ＝tan120°＝－3，∴a ＝－3，故选A. [★答案☆] A4．若直线l 的横截距与纵截距都是负数，则( ) A ．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限 B ．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限 C ．l 的倾斜角为锐角且不过第四象限 D ．l 的倾斜角为钝角且不过第三象限[解析] 依题意知，直线l 的截距式方程为x －a ＋y－b ＝1(a >0，b >0)，显然直线l 只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.[★答案☆] B5．直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( ) A ．(3,2) B ．(－3,2) C ．(－3，－2) D ．(3，－2)[解析] 由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3)，所以直线必过点(3,2)．[★答案☆] A6．已知直线x a ＋y6＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a 的值为________．[解析] 由x a ＋y 6＝1知S ＝12|a |·|6|＝6，所以a ＝±2. [★答案☆] ±27．过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是__________________．[解析] 设直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，当a ＝0时，b ＝0，此时直线l 的方程为y x ＝－13，所以x ＋3y ＝0；当a ≠0时，a ＝2b ，此时直线l 的方程为x 2b ＋yb ＝1，代入(3，－1)得x ＋2y －1＝0.[★答案☆] x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝08．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________．[解析] 把(3,0)代入已知方程得：(a ＋2)×3－2a ＝0，∴a ＝－6. ∴直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，令x ＝0，得y ＝－415. [★答案☆] －4159.三角形的三个顶点分别是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，如右图所示，求这个三角形三边所在直线的方程．[解] AB 边所在直线的方程，由两点式得y －0－3－0＝x －(－5)3－(－5)，即3x ＋8y ＋15＝0；BC 边所在直线的方程，由斜截式得y ＝2－(－3)0－3x ＋2，即5x ＋3y －6＝0；AC 边所在直线的方程，由截距式得x －5＋y2＝1，即2x －5y ＋10＝0.10．求满足下列条件的直线方程．(1)经过点A (－1，－3)，且斜率等于直线3x ＋8y －1＝0斜率的2倍；(2)过点M (0,4)，且与两坐标轴围成的三角形的周长为12. [解] (1)因为3x ＋8y －1＝0可化为y ＝－38x ＋18，所以直线3x ＋8y －1＝0的斜率为－38，则所求直线的斜率k ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－38＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线的方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(2)设直线与x 轴的交点为(a,0)，因为点M (0,4)在y 轴上，所以由题意有4＋a 2＋42＋|a |＝12，解得a ＝±3，所以所求直线的方程为x 3＋y 4＝1或x －3＋y4＝1，即4x ＋3y －12＝0或4x －3y ＋12＝0.应试能力等级练(时间25分钟)11．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 [解析] 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋cb ， ∵ab <0，bc <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb <0.由此可知直线通过第一、三、四象限． [★答案☆] C12．已知A (3,0)、B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．[解析] 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，∴y ＝4－4x3， ∴xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－43x ＝4x －43x 2＝－43(x 2－3x ) ＝－43⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－94＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3，∴当x ＝32时，xy 取最大值3. [★答案☆] 313．直线y ＝12x ＋k 与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k 的取值范围是________．[解析] 由已知得k ≠0，令x ＝0，y ＝k ，令y ＝0，x ＝－2k ，则与两坐标轴围成的面积12|k |·|－2k |≤1，即k 2≤1，所以－1≤k ≤1.综上，k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]． [★答案☆] [－1,0)∪(0,1]14．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．[解] 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a ，b ，则有S ＝12|a ·b |＝1，∴ab ＝±2.又直线的方程是x a ＋yb ＝1，∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1，即b ＝2aa ＋2，∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解；当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2.b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.15．直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12； (2)△AOB 的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． [解] (1)存在．设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由题意可知a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.①又因为直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，所以43a ＋2b ＝1，②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125，b ＝92.所以所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y9＝1，即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. (2)存在．设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由题意可知⎩⎨⎧ab ＝12，43a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.所以所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y6＝1，即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.。

高中数学北师大必修2课时跟踪检测：(十六) 直线方程的两点式和一般式 Word版含解析

课时跟踪检测（十六）直线方程的两点式和一般式层级一学业水平达标1．过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y2＝0 B.x 2＋y 3＝0 C.x 2＋y3＝1 D.x 2－y 3＝1 解析：选C 由截距式得，所求直线的方程为x 2＋y3＝1.2．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 3．直线x a ＋yb ＝1过第一、二、三象限，则( ) A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0解析：选C 由于直线过第一、二、三象限，故其a ＜0，b ＞0.4．直线2x ＋y ＋7＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a ，b 的值是( ) A ．a ＝－7，b ＝－7 B ．a ＝－7，b ＝－72C ．a ＝－72，b ＝7D ．a ＝－72，b ＝－7解析：选D 令x ＝0得y ＝－7，∴b ＝－7，令y ＝0得x ＝－72，∴a ＝－72.5．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y ＋1＝0解析：选A ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知点P 1(a 1，b 1)在直线2x ＋y ＋1＝0上．∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知点P 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋y ＋1＝0上．∴过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0.6．过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是________．解析：直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，∴在x 轴上的截距为－32.答案：－327．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．解析：由题意，k ＝tan 60°＝3，点斜式方程：y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x433＋y－4＝1，斜截式方程：y ＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0. 答案：y ＋4＝3(x －0)x 433＋y－4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝08．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为____________．解析：由2x －3y ＋12＝0知，斜率为23，在y 轴上截距为4.根据题意，直线l 的斜率为13，在y 轴上截距为8，所以直线l 的方程为x －3y ＋24＝0.答案：x －3y ＋24＝09．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程．解：设直线方程的截距式为x a ＋1＋ya ＝1. 则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.10．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点，由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0.整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点，由截距式得x 2＋y－5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.层级二应试能力达标1．直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( ) A.65 B ．－6 C ．－65D ．6解析：选B 令y ＝0，则直线在x 轴上的截距是x ＝2m m ＋2，∴2mm ＋2＝3，∴m ＝－6. 2．两条直线l 1：y ＝kx ＋b ，l 2：y ＝bx ＋k (k ＞0，b ＞0，k ≠b )的图像是( )解析：选C 由k ＞0，b ＞0可知，直线l 1和l 2的倾斜角都是锐角，且在y 轴上的截距为正，所以A 、B 、D 错误．3．直线x －y －1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.14 B ．2 C ．1D.12解析：选D 由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，－1)，故三角形面积为12.4．若直线Ax ＋By ＋C ＝0通过第二、三、四象限，则系数A ，B ，C 需满足条件( ) A ．A ，B ，C 同号 B ．AC ＜0，BC ＜0 C ．C ＝0，AB ＜0D ．A ＝0，BC ＜0解析：选A 将直线方程化为点斜式为y ＝－A B x －CB.由题意知直线过二、三、四象限，则有⎩⎨⎧－AB＜0，－CB ＜0.由此可知A ，B ，C 同号．5．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________．解析：(1)过原点时，设为y ＝kx ，则k ＝－32，∴y ＝－32x .(2)不过原点时，设为x a ＋y－a＝1，∴将点(－2,3)代入得a ＝－5，∴所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0. 答案：3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝06．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则直线的方程是________．解析：因为直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，所以B ≠0，且－AB ＝5，即A ＝－5B ，又A －2B ＋3C ＝0，所以－5B －2B ＋3C ＝0，即C ＝73B .此时直线的方程化为－5Bx ＋By ＋73B ＝0.即－5x ＋y ＋73＝0，故所求直线的方程为15x －3y －7＝0. 答案：15x －3y －7＝07．求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．解：(1)当直线过原点时，设为y ＝kx ，由点A (－5,2)得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.8．一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射后，通过点B (－1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．解：如图所示，作A 点关于x 轴的对称点A ′，显然，A ′坐标为(3，－2)，连接A ′B ，则A ′B 所在直线即为反射光线．∴由两点式可得直线A ′B 的方程为y －6－2－6＝x ＋13＋1，即2x ＋y －4＝0.同理，点B 关于x 轴的对称点为B ′(－1，－6)，由两点式可得直线AB ′的方程为y －2－6－2＝x －3－1－3，即2x－y－4＝0，∴入射光线所在直线方程为2x－y－4＝0，反射光线所在直线方程为2x＋y－4＝0.给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。

2019-2020学年同步北师大版高中数学必修2培优新方案：课时跟踪检测(二十) 点到直线的距离公式

课时跟踪检测（二十）点到直线的距离公式一、基本能力达标1．已知A (－2，－4)，B (1,5)两点到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．1或3解析：选C 由题意得|－2a －4＋1|a 2＋1＝|a ＋5＋1|a 2＋1，解得a ＝－3或3.2．点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5)D ．(4，－3)解析：选B 设对称点坐标为(a ，b )，⎩⎨⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2,5)．3．已知点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P的坐标为( )A ．(1,2)或(2，－1)B ．(3，－4)C ．(2，－1)D ．(1,2)解析：选A 设点P 的坐标为(a,5－3a )，由题意，得|a －(5－3a )－1|12＋(－1)2＝2，解得a ＝1或2，∴点P 的坐标为(1,2)或(2，－1)．4．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是坐标原点，则|OP |的最小值是( ) A.7 B. 6 C ．2 2D. 5解析：选C |OP |最小即OP ⊥l 时，∴|OP |min ＝|0＋0－4|2＝2 2.5．已知两直线2x ＋3y －3＝0与mx ＋6y ＋1＝0平行，则它们间的距离等于( ) A.21313B.51326C.71326D ．4解析：选C ∵直线2x ＋3y －3＝0的斜率k 1＝－23，直线mx ＋6y ＋1＝0的斜率k 2＝－m 6，∴－23＝－m 6，得m ＝4.∴它们间的距离d ＝|－6－1|42＋62＝71326.6．直线2x －y －1＝0与直线6x －3y ＋10＝0的距离是________．解析：法一：在方程2x －y －1＝0中令x ＝0，则y ＝－1，即(0，－1)为直线上的一点．由点到直线的距离公式，得所求距离为|6×0－3×(－1)＋10|62＋32＝13515.法二：直线2x －y －1＝0可化为6x －3y －3＝0，则所求距离为|－3－10|62＋32＝1335＝13515.答案：135157．若直线l 到直线x －2y ＋4＝0的距离和原点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是________．解析：由题意设所求l 的方程为x －2y ＋C ＝0，则|C －4|12＋(－2)2＝|C |12＋(－2)2，解得C＝2，故直线l 的方程为x －2y ＋2＝0.答案：x －2y ＋2＝08．过点M (－2,1)且与A (－1,2)，B (3,0)两点距离相等的直线的方程为________．解析：由题意直线存在斜率．设直线的方程为y －1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋1＝0. 由|－k －2＋2k ＋1|k 2＋1＝|3k ＋2k ＋1|k 2＋1，解得k ＝0，或k ＝－12.故直线的方程为y ＝1，或x ＋2y ＝0. 答案：y ＝1或x ＋2y ＝09．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)．(1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)因为直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.10．已知△ABC 三个顶点坐标A (－1,3)，B (－3,0)，C (1,2)，求△ABC 的面积S . 解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为y －02－0＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得 |BC |＝(－3－1)2＋(0－2)2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高， d ＝|－1－2×3＋3|12＋(－2)2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4，即△ABC 的面积为4. 二、综合能力提升1．两平行线分别经过点A (5,0)，B (0,12)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤5 B ．0＜d ≤13 C ．0＜d ＜12D ．5≤d ≤12解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB |＝13，所以0＜d ≤13.2．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )A ．32B ．2 3C ．3 3D ．4 2解析：选A 由题意，结合图形可知点M 必然在直线x ＋y －6＝0上，故M 到原点的最小距离为|－6|2＝3 2.3．到直线3x －4y －11＝0的距离为2的直线方程为( ) A ．3x －4y －1＝0B ．3x －4y －1＝0或3x －4y －21＝0C ．3x －4y ＋1＝0D ．3x －4y －21＝0解析：选B 设所求的直线方程为3x －4y ＋c ＝0.由题意|c －(－11)|32＋(－4)2＝2，解得c ＝－1或c ＝－21.故选B.4．直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y －6＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0D ．2x ＋3y ＋8＝0解析：选D 法一：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋c ＝0，由题意可知|2－3－6|22＋32＝|2－3＋c |22＋32.∴c ＝－6(舍)或c ＝8.故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0.法二：令(x 0，y 0)为所求直线上任意一点，则点(x 0，y 0)关于(1，－1)的对称点为(2－x 0，－2－y 0)，此点在直线2x ＋3y －6＝0上，代入可得所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.5．倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为________．解析：因为直线斜率为tan 60°＝3，可设直线方程为y ＝3x ＋b ，化为一般式得3x－y ＋b ＝0.由直线与原点距离为5，得|0－0＋b |(3)2＋(－1)2＝5⇒|b |＝10.所以b ＝±10，所以所求直线方程为3x －y ＋10＝0或3x －y －10＝0.答案：3x －y ＋10＝0或 3x －y －10＝06．若直线l 经过点A (5,10)，且坐标原点到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是________．解析：①k 存在时，设直线方程为y －10＝k (x －5)， ∴10＝|10－5k |1＋k 2.∴k ＝－43或k ＝0.∴y －10＝－43(x －5)或y ＝10.②k 不存在时，x ＝5不符合题意．综上所述，4x ＋3y －50＝0或y ＝10为所求．答案：4x ＋3y －50＝0或y ＝107．直线l 经过A (2,4)，且被平行直线x －y ＋1＝0与x －y －1＝0所截得的线段的中点在直线x ＋y －3＝0上，求直线l 的方程．解：法一：设所求的直线的斜率为k ，直线l 和平行直线x －y ＋1＝0、x －y －1＝0的交点分别为P ，B .则所求直线l 的方程为y －4＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －4＝k (x －2)，x －y ＋1＝0，可解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －3k －1，3k －4k －1；由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝k (x －2)，x －y －1＝0，可解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －5k －1，k －4k －1. ∴P ，B 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －4k －1，2k －4k －1. 又∵D 在直线x ＋y －3＝0上， ∴2k －4k －1＋2k －4k －1－3＝0，解得k ＝5. 所以，所求直线的方程为y －4＝5(x －2)，即5x －y －6＝0.法二：与x －y －1＝0及x －y ＋1＝0等距离的直线必定与它们是平行的，所以设x －y＋c ＝0，从而|c ＋1|1＋1＝|c －1|1＋1，解之得，c ＝0，∴x －y ＝0，又截得的线段的中点在x ＋y －3＝0上，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －3＝0，可解得中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，32，所以直线l 过点(2,4)和⎝⎛⎭⎫32，32，从而得l 的方程为5x －y －6＝0. 探究应用题8．已知直线l 过点P (0,1)，且分别与直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0交于B ，A 两点，线段AB 恰被点P 平分．(1)求直线l 的方程；(2)设点D (0，m )，且AD ∥l 1，求△ABD 的面积．解：(1)∵点B 在直线l 1上，∴可设B (a,8－2a )．又P (0,1)是AB 的中点，∴A (－a,2a －6)． ∵点A 在直线l 2上，∴－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即B (4,0)．故直线l 的方程是x ＋4y －4＝0. (2)由(1)，知A (－4,2)．又AD ∥l 1，∴k AD ＝2－m－4－0＝－2，∴m ＝－6.点A 到直线l 1的距离d ＝|2×(－4)＋2－8|22＋12＝1455，|AD |＝(－4－0)2＋(2＋6)2＝45，∴S △ABD ＝12|AD |·d ＝12×45×1455＝28.。

2020新培优同步北师大版数学必修2课时过关能力提升：第2章 1.2 直线的方程第2课时

第2课时直线方程的两点式和一般式课时过关·能力提升1.直线3x+4y+5=0的斜率和它在y轴上的截距分别为() AC.y=则斜率k=轴上的截距b=2.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为()A.(-1,1)和(3,9)的直线方程为--化为截距式为-故直线在x轴上的截距为3.已知直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y-a=0,则它们的图像可能为()l1:ax-y+b=0,l2:bx-y-a=0,可得直线l1:y=ax+b,l2:y=bx-a.分a>0,b>0;a<0,b>0;a>0,b<0;a<0,b<0四种情况进行讨论,根据斜率和截距的意义可知D正确.4.过点P(4,-3)且在坐标轴上截距相等的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条y+3=k(x-4)(k≠0).令y=0得x令x=0得y=-4k-3.由题意解得k=或k=-1,因而所求直线有2条.5.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是()A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.2y-x-4=0D.2x+y-7=0|PA|=|PB|,直线PA的方程为x-y+1=0,∴直线PA的斜率为1,∴直线PB的斜率为-1.∵点P的横坐标为2,当x=2时,y=3,即P(2,3).∴直线PB的方程是y-3=-(x-2),即x+y-5=0.6.已知直线l:y=ax+1-a只通过第一、第二、第三象限,则a的取值范围是()A.[0,1]B.(0,1)C.(1,+∞)D.(-∞,1)a,在y轴上的截距为1-a,由题意知-解得0<a<1.7.若点A(a,12)在过点B(1,3)和C(5,7)的直线上,则a=.B,C两点的直线方程为x-y+2=0,∴a-12+2=0,∴a=10.8.光线从点A(-3,4)出发,经过x轴反射,再经过y轴反射后过点B(-2,6),则经过y轴反射后的反射光线所在直线的方程为.A(-3,4)关于x轴的对称点A1(-3,-4)在经过x轴反射后的反射光线所在的直线上,同理A1(-3,-4)关于y轴的对称点A2(3,-4)在经过y轴反射后的反射光线所在的直线上,则--故所求直线的方程为y-6=-2(x+2),即2x+y-2=0.x+y-2=0★9.直线(2t-3)x+2y+t=0不经过第二象限,则t的取值范围是.当t时,直线方程为2y即y=不经过第二象限;②当t≠时,直线方程为y-直线不经过第二象限,∴k-且≤0,∴0≤t综上可知,t的取值范围是10.求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.当横截距、纵截距都是零时,设所求的直线方程为y=kx,将点(-5,2)的坐标代入y=kx中,得k=此时,直线方程为y=即2x+5y=0.(2)当横截距、纵截距都不是零时,设所求直线方程式为将点(-5,2)的坐标代入所设方程,解得a=此时,直线方程为x+2y+1=0.综上所述,所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.★11.某商业中心O有通往东、南、西、北的四条大街,有一公园位于东大街北、北大街东的P处,如图所示,公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现要修建一条经过公园的直线大道,分别与东大街、北大街交汇于A,B两处,并使商业中心O到A,B两处的距离之和为9 km,请确定A,B 的位置.,建立平面直角坐标系,根据题意可知P(4,1),设A(a,0),B(0,b),且a>0,b>0.则直线AB的方程为由题意得解得所以A在东大街离商业中心6 km处,B在北大街离商业中心3 km处.。

高中数学课下能力提升十六直线方程的两点式和一般式北师大版必修25含答案

课下能力提升（十六）直线方程的两点式和一般式一、选择题1．直线x 3＋y 4＝1与x 、y 轴所围成的三角形的周长等于 ( ) A ．6 B ．12C ．24D ．602．直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0过原点和第二、四象限，则( )A ．C ＝0，B ＞0 B ．C ＝0，A ＞0，B ＞0C ．C ＝0，AB ＞0D ．C ＝0，AB ＜03．两条直线l 1：y ＝kx ＋b ，l 2：y ＝bx ＋k (k ＞0，b ＞0，k ≠b )的图像是下图中的( )4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足( )A ．m ≠1 B．m ≠－32C ．m ≠0 D．m ≠1且m ≠－32且m ≠0 5．经过点A (1,2)，并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题6．若3x 1－2y 1＝5,3x 2－2y 2＝5(x 1≠x 2)，则过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线的方程为________．7．直线(m －3)x －2y ＋m ＋2＝0过第一、二、四象限，则m 的取值范围是________．8．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角是45°，则m 的值为________．三、解答题 9．已知直线l 1为x 2－2y 3＝1，求过点(1,2)并且纵截距与直线l 1的纵截距相等的直线l 的方程．10．直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB 的周长为12；②△AOB 的面积为6.若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由．答案1. 解析：选B 直线在x 轴、y 轴上的截距分别为3、4，∴直线所围成的三角形是直角边长分别为3和4的直角三角形，其斜边长为5，故周长为3＋4＋5＝12.2. 解析：选C ∵直线l 过原点和第二、四象限，∴其截距为零，斜率为负，由Ax ＋By ＋C ＝0可变形为y ＝－A B x －C B ，∴－A B ＜0，－C B＝0，即C ＝0，AB ＞0. 3. 解析：选C 由k ＞0，b ＞0可知，直线l 1和l 2的倾斜角都是锐角，且在y 轴上的截距为正，所以A ，B ，D 错误．4. 解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，得m ＝1，依题意只要x 、y 的系数不同时为0，即m ≠1该方程就表示一条直线．5. 解析：选C ①当直线过原点时，两坐标轴上截距均为0，满足条件，方程为y ＝2x . ②当直线不过原点时，截距的绝对值相等，则斜率k ＝±1，∴直线方程为y －2＝±(x －1)，即x ＋y －3＝0和x －y ＋1＝0，所以满足条件的直线共3条．6. 解析：由3x 1－2y 1＝5，知点A (x 1，y 1)满足方程3x －2y ＝5，即点A 在直线3x －2y ＝5上，同理点B 也在直线3x －2y ＝5上，又过点A ，B 的直线有且只有一条，所以直线l 的方程为3x －2y ＝5，即3x －2y －5＝0.答案：3x －2y －5＝07. 解析：将方程变为y ＝m －32x ＋m ＋22，∵直线过一、二、四象限． ∴m －32＜0且m ＋22＞0，即－2＜m ＜3.答案：(－2,3)8. 解析：由2m 2－5m ＋2＝m 2－4，∴m ＝2或3.而m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝m 2－4同时为零，不合题意，应舍去，∴m ＝3.答案：39. 解：∵l 1的方程可化为x 2＋y－32＝1， ∴直线l 1的纵截距为－32.设直线l 的方程为x a ＋y－32＝1，即x a －2y 3＝1. 并且直线l 过点(1,2)，所以1a －2×23＝1，解得a ＝37. 因此直线l 的方程为7x 3－2y 3＝1，即7x －2y －3＝0. 10. 解：假设存在这样的直线，设直线方程为x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)．由△AOB 的周长为12，知a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.① 又∵过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2 ∴43a ＋2b＝1.② 由△AOB 的面积为6知ab ＝12.③由①②③解得a ＝4，b ＝3.则所求直线的方程为x 4＋y 3＝1.即3x ＋4y －12＝0.给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。

2019-2020学年同步北师大版高中数学必修2培优新方案课件：第二章直线方程的两点式和一般式

一象限．
(2)直线 OA 的斜率为 k＝3515－－00＝3. 如图所示，要使 l 不经过第二象限，需斜率 a≥kOA＝3，∴a≥3. 故 a 的取值范围为[3，＋∞)．
[类题通法] 含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条
直线，称为直线系．这无穷多条直线是过同一个点的．这里对一般式灵活变形后变成点斜式是解决问题的关键．
考点二直线方程的一般式
[典例] 设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y ＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值；
(1)l在x轴上的截距是－3；(2)l的斜率是－1.
m2－2m－3≠0， ①
[解](1)由题意可得m22－m2－m6－3＝－3.
②
由①得：m≠－1且m≠3，
(√) ( ×)
(3)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( × )
(4)平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋
By＋C＝0(A，B不同时为0)表示．
(√ )
2．直线xa＋by＝1(ab＜0)的图像可能是
()
答案：C
3．过两点(2 015,2 016)，(2 015,2 017)的直线方程是 ( )
A．x＝2 015
B．x＝2 016
C．y＝2 015
D．x＋y＝2 017
答案：A
4．直线 x－y＋5＝0 的倾斜角为
()
A．45°
B．60°
C．120°
D．135°
答案：A
考点一直线方程的两点式和截距式 [典例] (1)求满足下列条件的直线方程： (1)过点A(－2,3)，B(4，－1)； (2)在x轴，y轴上的截距分别为4，－5； (3)过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．

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课时跟踪检测（十六）直线方程的两点式和一般式
一、基本能力达标
1．过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y
2＝0 B.x 2＋y 3＝0 C.x 2＋y
3
＝1 D.x 2－y 3
＝1 解析：选C 由截距式得，所求直线的方程为x 2＋y
3＝1.
2．经过点A (2,5)，B (－3,6)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．2 B ．－3 C ．－27
D ．27 解析：选D 由两点式得直线方程为y －6
5－6＝x ＋3
2＋3，即x ＋5y －27＝0.令y ＝0，得x ＝27.
3．直线x a ＋y
b ＝1过第一、二、三象限，则( ) A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0
D ．a ＜0，b ＜0
解析：选C 由于直线过第一、二、三象限，故其a ＜0，b ＞0.
4．直线2x ＋y ＋7＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a ，b 的值是( ) A ．a ＝－7，b ＝－7 B ．a ＝－7，b ＝－7
2
C ．a ＝－7
2
，b ＝7
D ．a ＝－7
2
，b ＝－7
解析：选D 令x ＝0得y ＝－7，∴b ＝－7，令y ＝0得x ＝－72，∴a ＝－7
2
.
5．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )
A ．2x ＋y ＋1＝0
B ．2x －y ＋1＝0
C ．2x ＋y －1＝0
D ．x ＋2y ＋1＝0
解析：选A ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知点P 1(a 1，b 1)在直线2x ＋y ＋1＝0上．∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知点P 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋y ＋1＝0上．∴过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0.
6．过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是________．解析：直线方程为y －1
9－1＝x ＋1
3＋1，即y ＝2x ＋3，
令y ＝0得x ＝－32，∴在x 轴上的截距为－3
2.
答案：－3
2
7．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．
解析：由题意，k ＝tan 60°＝3，点斜式方程：y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x 433＋
y －4＝1，斜截式方程：y ＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0.
答案：y ＋4＝3(x －0)
x 433
＋
y
－4
＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝0
8．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的1
2，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y
＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为____________．
解析：由2x －3y ＋12＝0知，斜率为23，在y 轴上截距为4.根据题意，直线l 的斜率为1
3，
在y 轴上截距为8，所以直线l 的方程为x －3y ＋24＝0.
答案：x －3y ＋24＝0
9．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程．解：设直线方程的截距式为x a ＋1
＋y
a ＝1. 则
6
a ＋1
＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，
则直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y
1＝1，
即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.
10．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点，
由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0
－3－0.
整理，得8x ＋3y ＋15＝0.
∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点，由截距式得x 2＋y
－5＝1，
整理得5x －2y －10＝0，
∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0. 二、综合能力提升
1．直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( ) A ．6
5
B ．－6
C ．－65
D ．6
解析：选B 令y ＝0，则直线在x 轴上的截距是x ＝
2m m ＋2，∴2m
m ＋2
＝3，∴m ＝－6. 2．两条直线x m －y n ＝1与x n －y
m ＝1的图象可能是下图中的( )
解析：选B 两直线的方程分别化为y ＝n m x －n ，y ＝m
n x －m ，易知两直线的斜率符号相同． 3．直线x －y －1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.14 B ．2 C ．1
D.12
解析：选D 由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，－1)，故三角形面积为1
2.
4．若直线Ax ＋By ＋C ＝0通过第二、三、四象限，则系数A ，B ，C 需满足条件( ) A ．A ，B ，C 同号 B ．AC ＜0，BC ＜0 C ．C ＝0，AB ＜0
D ．A ＝0，BC ＜0
解析：选A 将直线方程化为点斜式为y ＝－A B x －C
B
.
由题意知直线过二、三、四象限，则有⎩⎨⎧
－A
B ＜0，－
C B ＜0.由此可知A ，B ，C 同号．
5．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________．解析：(1)过原点时，设为y ＝kx ，则k ＝－3
2，
∴y ＝－3
2
x .
(2)不过原点时，设为x a ＋y
－a ＝1，
∴将点(－2,3)代入得a ＝－5，
∴所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0. 答案：3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0
6．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则直线的方程是________．解析：因为直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，所以B ≠0，且－A
B ＝5，即A ＝－5B ，又A －2B ＋3
C ＝0，所以－5B －2B ＋3C ＝0，即C ＝73
B .
此时直线的方程化为－5Bx ＋By ＋7
3B ＝0.
即－5x ＋y ＋7
3
＝0，
故所求直线的方程为15x －3y －7＝0. 答案：15x －3y －7＝0
7．求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．解：(1)当直线过原点时，设为y ＝kx ，由点A (－5,2)得k ＝－2
5，
此时，直线方程为y ＝－2
5
x ，即2x ＋5y ＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y
a ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－
12
，
此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.
综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0. 探究应用题
8．一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射后，通过点B (－1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．
解：如图所示，作A 点关于x 轴的对称点A ′，显然，A ′坐标为(3，－2)，连接A ′B ，则A ′B 所在直线即为反射光线．
∴由两点式可得直线A ′B 的方程为y －6－2－6＝x ＋1
3＋1，
即2x ＋y －4＝0.
同理，点B 关于x 轴的对称点为B ′(－1，－6)，由两点式可得直线AB ′的方程为y －2
－6－2＝x －3
－1－3，
即2x －y －4＝0，
∴入射光线所在直线方程为2x －y －4＝0，反射光线所在直线方程为2x ＋y －4＝0.。