信息论-基础理论与应用第三版(傅祖芸)-第三章PPT课件
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信息论基础课件3.1-3.2
X 例：设信源 = p ( X ) 0 .2 0 .3 0 .6 0 .2 转移矩阵为 0 .5 0 .2 0 .1 0 .3 ( 2 )输出 y 4的概率
x3 x1 x 2 0 .1 0 .3 0 .2 0 .1 0 .4 0 .1 0 .1 0 .1 0 .2 0 .4 0 .2 求：（ 1）“输入 x 3 输出 y 2 " 的概率
解：（1）H (Y / X ) = − ∑ ∑ p( x i ) p y j / x i log p y j / x i
i j
(
)
(
)
5 5 1 1 1 1 3 3 = −(0.6 × log + 0.6 × log + 0.4 × log + 0.4 × log ) 6 6 6 6 4 4 4 4 = 0.715bit / symbol
b2
L
bs
p (bs / a1 ) p (bs / a2 ) =1 M p (bs / ar )
p (b2 / a1 ) L p (b2 / a2 ) L O p (b2 / ar ) L M
[P] → 信道矩阵 ( r × s )
图3.2.2 传递图
6
上式是已知输入X的情况下，信道输出 表现出来 上式是已知输入 的情况下，信道输出Y表现出来 的情况下 的统计特性。 的统计特性。它描述的是信道输入和输出之间的相 互依赖关系。反过来，已知输出 考察输入 考察输入X的统 互依赖关系。反过来，已知输出Y,考察输入 的统 计变化规律，即用 也可以描述信道两端的相 计变化规律，即用p(xi/yj)也可以描述信道两端的相 互依赖关系。 称为反信道转移概率， 互依赖关系。p(xi/yj)称为反信道转移概率，它所构 称为反信道转移概率 造的矩阵称为反信道矩阵。 造的矩阵称为反信道矩阵。
信息论-第三章PPT课件
条件概率被称为信道的传递概率或转移概率。
一般简单的单符号离散信道的数学模型可以用概率空
间[X,p(y|x),Y]来描述。
a1
b1
X
P (b j | ai )
Y
ar
2021/6/7
bs
6
第一节 信道的数学模型及分类
表示成矩阵形式：
…
y1
y2
… x1 p(y1/x1) p(y2/x1)
[P]=
…
x2 p(y1/x2) p(y2/x2)
2021/6/7
27
第四节 信道容量及其一般计算方法
(3)无噪有损信道
x1
x2
y1
x3
x4
y2
x5
此时信道疑义度为0，而信道噪声熵不为0，从而
C=max{I(X;Y)}=max{H(Y)-H(Y/X)}=max{H(Y)}=logs
2021/6/7
28
第四节 信道容量及其一般计算方法
2、对称离散信道的信道容量
y1
y2
…
x1
p(y1/x1)
p(y2/x1)
…
[P]= x2
p(y1/x2)
p(y2/x2)
…
…
…
…
…
xn
p(y1/xn)
p(y2/xn)
…
ym p(ym/x1) p(ym/x2)
… p(ym/xn)
2021/6/7
10
第一节 信道的数学模型及分类
为了表述简便，可以写成 P(bj /ai)pij
因为H(X),表示传输前信源的不确定性，而H(X/Y)表示
收到一个符号后，对信源尚存的不确定性，所以二者之
差信道传递的信息量。
一般简单的单符号离散信道的数学模型可以用概率空
间[X,p(y|x),Y]来描述。
a1
b1
X
P (b j | ai )
Y
ar
2021/6/7
bs
6
第一节 信道的数学模型及分类
表示成矩阵形式：
…
y1
y2
… x1 p(y1/x1) p(y2/x1)
[P]=
…
x2 p(y1/x2) p(y2/x2)
2021/6/7
27
第四节 信道容量及其一般计算方法
(3)无噪有损信道
x1
x2
y1
x3
x4
y2
x5
此时信道疑义度为0，而信道噪声熵不为0，从而
C=max{I(X;Y)}=max{H(Y)-H(Y/X)}=max{H(Y)}=logs
2021/6/7
28
第四节 信道容量及其一般计算方法
2、对称离散信道的信道容量
y1
y2
…
x1
p(y1/x1)
p(y2/x1)
…
[P]= x2
p(y1/x2)
p(y2/x2)
…
…
…
…
…
xn
p(y1/xn)
p(y2/xn)
…
ym p(ym/x1) p(ym/x2)
… p(ym/xn)
2021/6/7
10
第一节 信道的数学模型及分类
为了表述简便，可以写成 P(bj /ai)pij
因为H(X),表示传输前信源的不确定性，而H(X/Y)表示
收到一个符号后，对信源尚存的不确定性，所以二者之
差信道传递的信息量。
《信息论基础》课件
2
信息论与数学中的概率论、统计学、组合数学等 学科密切相关，这些学科为信息论提供了重要的 数学工具和理论基础。
3
信息论与物理学中的量子力学、热力学等学科也 有密切的联系，这些学科为信息论提供了更深层 次的理论基础。
信息论未来发展趋势
信息论将继续深入研究量子信 息论和网络信息论等领域，探 索更高效、更安全的信息传输
和处理技术。
随着人工智能和大数据等技 术的快速发展，信息论将在 数据挖掘、机器学习等领域
发挥更大的作用。
信息论还将继续关注网络安全 、隐私保护等问题，为构建安 全可靠的信息社会提供重要的
理论支持。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
海明码（Hamming Code）： 一种能够纠正一位错误的线性 纠错码。
里德-所罗门码（ReedSolomon Code）：一种广泛 应用于数据存储和通信领域的 强纠错码。
差错控制机制
前向纠错（FEC）
01
在发送端采用纠错编码，使得接收端能够自动纠正传输过程中
的错误。
自动重传请求（ARQ）
02
接收端检测到错误后请求发送端重传数据，直到接收正确为止
常见信道编码技术
线性分组码
将信息序列划分为若干组，对每组进行线性 编码，常见的有汉明码、格雷码等。
循环码
将信息序列进行循环移位后进行编码，常见的有 BCH码、RS码等。
卷积码
将信息序列进行卷积处理后进行编码，常见 的有Convolutional Code等。
2023
PART 04
信息传输与错误控制
。
混合纠错（HEC）
03
结合前向纠错和自动重传请求，以提高数据传输的可靠性和效
信息论基础 ppt课件
他认为“信息是事物运动状态或存在 方式的不确定性的描述”。
ppt课件
(2)信息与消息和信号的区别
在通信中对信息的表达分为三个层次：信号、消息、信 息。
信号：是信息的物理表达层，是三个层次中最具体的层 次。它是一个物理量，是一个载荷信息的实体，可测量、
可描述、可显示。如电信号、光信号等。
消息：(或称为符号)是信息的数学表达层，它虽不是一 个物理量，但是可以定量地加以描述，它是具体物理信 号的进一步数学抽象，可将具体物理信号抽象为两大类 型： 1) 离散(数字)消息，是一组未知量，可用随机序列来 描述：U=(U1…Ui…UL) 2) 连续(模拟)消息，也是未知量，它可用随机过程来 描述：U(t,ω)
ppt课件
学习方法
本课程以概率论为基础，数学推导较多，学 习时主要把注意力集中到概念的理解上，不要 过分追求数学细节的推导。学习时一定要从始 至终注意基本概念的理解，不断加深概念的把 握。学习时注意理解各个概念的“用处”，结 合其他课程理解它的意义，而不要把它当作数 学课来学习，提倡独立思考，注重思考在学习 中的重要性。
信息论--基础理论与应用
北京理工大学 信息与电子学院 2014年3月
ppt课件
课程类型：专业选修课 学 时：32学时 授课时间：第一周----第八周 考试时间：第九周 教 材：《信息论—基础理论与应用》,傅祖芸,电子工业出版社 参考教材：
①《信息论与编码》,陈运,电子工业出版社 ②《应用信息论基础》,朱雪龙，清华大学出版社 ③《信息论与编码学习辅导及习题详解》傅祖芸,电子工业出版社
ppt课件
信息论
信息论已经成为现代信息科学的一个重要组成部分，它 是现代通信和信息技术的理论基础。现代信息论又是数 学概率论下的一个分支，与遍历性理论、大偏差理论以 及统计力学等都有密切关系，因此信息论已成为大学诸 多专业的必修课和选修课，并不再局限于已有的通信工 程、电子工程、信息工程等专业。
ppt课件
(2)信息与消息和信号的区别
在通信中对信息的表达分为三个层次：信号、消息、信 息。
信号：是信息的物理表达层，是三个层次中最具体的层 次。它是一个物理量，是一个载荷信息的实体，可测量、
可描述、可显示。如电信号、光信号等。
消息：(或称为符号)是信息的数学表达层，它虽不是一 个物理量，但是可以定量地加以描述，它是具体物理信 号的进一步数学抽象，可将具体物理信号抽象为两大类 型： 1) 离散(数字)消息，是一组未知量，可用随机序列来 描述：U=(U1…Ui…UL) 2) 连续(模拟)消息，也是未知量，它可用随机过程来 描述：U(t,ω)
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学习方法
本课程以概率论为基础，数学推导较多，学 习时主要把注意力集中到概念的理解上，不要 过分追求数学细节的推导。学习时一定要从始 至终注意基本概念的理解，不断加深概念的把 握。学习时注意理解各个概念的“用处”，结 合其他课程理解它的意义，而不要把它当作数 学课来学习，提倡独立思考，注重思考在学习 中的重要性。
信息论--基础理论与应用
北京理工大学 信息与电子学院 2014年3月
ppt课件
课程类型：专业选修课 学 时：32学时 授课时间：第一周----第八周 考试时间：第九周 教 材：《信息论—基础理论与应用》,傅祖芸,电子工业出版社 参考教材：
①《信息论与编码》,陈运,电子工业出版社 ②《应用信息论基础》,朱雪龙，清华大学出版社 ③《信息论与编码学习辅导及习题详解》傅祖芸,电子工业出版社
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信息论
信息论已经成为现代信息科学的一个重要组成部分，它 是现代通信和信息技术的理论基础。现代信息论又是数 学概率论下的一个分支，与遍历性理论、大偏差理论以 及统计力学等都有密切关系，因此信息论已成为大学诸 多专业的必修课和选修课，并不再局限于已有的通信工 程、电子工程、信息工程等专业。
信息论 基础理论与应用第三版(傅祖芸)-第9章-讲义
t
V U
d min
图
dmin =5, 码距和纠错能力关系示意图
设V,U为距离最小的两个许用码字。 自接收序列中码字分别发生t位错误和e位错误，要检错、纠错， 需要使得大球和小球不相交。故： 须dmin≥ e+t+1，否则，译码时引起码字译码混淆。
若为随机差错，错误码元为： 2，3，7，错误数量 =W(E)=3； 若为突发差错，错误码元串长度为：6；
•
出错范围：从错误图样E中的第一个1到最后一个1， 其 错误串中的0表示该位码元未发生错误。
BSC（二元无记忆对称信道）的错误图样的出现概率
设p为错误概率(<<1),则n次无记忆扩展信道中，随机差错 的某错误图样E的出现概率为：
差错类型： 随机差错是相互独立的、不相关，存在这种差错 的信道是无记忆信道或随机信道； 突发差错指成串出现的错误,错误与错误间有相关 性,一个差错往往要影响到后面一串码元。
例 发送码字
接收序列 错误图样
•
C= 010110111,
R= 001110011, E=C+R= 011000100
1、纠错码的分类：
按纠正错误的类型分类：
纠随机差错码：无记忆信道中，噪声随机独立地影响每个 码元，造成了随机差错； 纠突发差错码：有记忆信道中，突发噪声可造成突发性的 成群差错（如太阳黑子、雷电等引起）。 纠混合差错码
按应用目的分类：
检错码——只能检测错误是否存在。
纠错码——能够检测错误，并能够自动纠正错误。 纠删码——能够纠正删除（丢失）了的信息。
码的最小距离：dmin, d(C) 汉明重量（汉明势）：码字中非零码元的个数 W(C)。 对2元码，汉明重量为码字中的“1”的个数。因此，二
信息理论基础第三章课件
X (a , b) p( x ) p( x ) x X (, ), p( x ) : 密度
波形信源可以用随机过程来描述。
§3.2 离散单符号信源
模型：
X x1 p( x ) p( x ) 1
定义
假定信源每次输出的都是N长的符号序列(记为XN＝ X1X2…XN)，序列符号之间统计依赖，称该信源为 离散有记忆N次扩展信源。
信息熵：
H ( X N ) H X1 X 2
X N H ( X i | X i 1 )
注：1.这说明N维随机变量的联合熵等于X1的熵和各阶条 件熵之和。 2.熵率如何？有如下定理。
lim H X N | X N m X N m 1 lim H X m 1 | X1 X 2
N N
注：对于齐次遍历的马尔可夫信源，根据状态与符号序列 之间的关系，有
p( s j | si ) p( xim1 | xi1 xi2
于是，有：
xim ) p( xim1 | si )
H m 1 H X m 1 | X1 X 2 E ( I ( xim1 | xi1 xi2
qm qm q
Xm xim )) E ( I ( xim1 | si ))
i 1 im 1 1
p( si ) p( xim1 | si )log( p( xim1 | si ))
序列在任意时刻的概率分布完全相同，称该信源为 离散平稳信源。
注：1.平稳信源指的是各维概率分布与时间起点无关。 2.信息量该如何描述？
信息熵(平均符号熵的极限（熵率、极限熵）)：
定义 在随机变量序列中，对前N个随机变量的联合熵求
波形信源可以用随机过程来描述。
§3.2 离散单符号信源
模型：
X x1 p( x ) p( x ) 1
定义
假定信源每次输出的都是N长的符号序列(记为XN＝ X1X2…XN)，序列符号之间统计依赖，称该信源为 离散有记忆N次扩展信源。
信息熵：
H ( X N ) H X1 X 2
X N H ( X i | X i 1 )
注：1.这说明N维随机变量的联合熵等于X1的熵和各阶条 件熵之和。 2.熵率如何？有如下定理。
lim H X N | X N m X N m 1 lim H X m 1 | X1 X 2
N N
注：对于齐次遍历的马尔可夫信源，根据状态与符号序列 之间的关系，有
p( s j | si ) p( xim1 | xi1 xi2
于是，有：
xim ) p( xim1 | si )
H m 1 H X m 1 | X1 X 2 E ( I ( xim1 | xi1 xi2
qm qm q
Xm xim )) E ( I ( xim1 | si ))
i 1 im 1 1
p( si ) p( xim1 | si )log( p( xim1 | si ))
序列在任意时刻的概率分布完全相同，称该信源为 离散平稳信源。
注：1.平稳信源指的是各维概率分布与时间起点无关。 2.信息量该如何描述？
信息熵(平均符号熵的极限（熵率、极限熵）)：
定义 在随机变量序列中，对前N个随机变量的联合熵求
信息论基础理论与应用第三版(傅祖芸) 第1章 绪论
国内外已有不下百余种流行的说法， 它们都是从不同的侧面和不同的层次来揭示信息的 本质的。
1928年，哈特莱(R．V．L Hartley) 在《信息传输》一文中提出：发信者所发出的信
息，就是他在通信符号表中选择符号的具体方式， 主张用所选择的自由度来度量信息。 局限性： ➢ 只考虑选择符号的方式，不涉及到信息的价值和具 体内容。 ➢ 没有考虑各种可能选择方法的统计特性。
信源编码器的主要指标
是它的编码效率。一般来说，效率越高，编译码 器的代价也将越大。
信源译码器
把信道译码器的输出变换成信宿所需的消息形式，
相当于信源编码器的逆过程。
19
信道编码器与译码器
信道编码 主要作用是提高信息传送的可靠性。
信道编码器的作用 在信源编码器输出的代码组上有目的地增加一些监督 码元,使之具有检错或纠错的能力。
an p(an )
样本空间 概率测度
先验概率p(xi)：
选择符号xi作为消息的概率。 11
例：气象预报
甲 X 晴 阴 大雨 小雨
p(x)
1/ 2,1/
4,
1/ 8,
1/8
乙
Y p(y)
晴 阴 1/4,1/4,
大雨 小雨
1/4, 1/4
“甲地晴”比“乙地晴”的不确定性小。
某一事物状态出现的概率越小，其不确定性越大。 某一事物状态出现的概率接近于1,即预料中肯定会 出现的事件，那它的不确定性就接近于零。
信道编码的主要方法 增大码率或频带,即增大所需的信道容量。这恰与信源 编码相反。
7
信息的表达层次
狭义而言，通信中对信息的表达分三个层次：信号、 消息、信息。 信号：信息的物理表达，是一个物理量，是一个载 荷信息的实体，可测量、可描述、可传输、可存储、 可显示。 消息 (或符号) ：信息的数学表达，承载了信息， 它是具体物理信号的数学抽象。如语言、文字、语音、 图像等。 信息：更高层次的哲学抽象，是信号与消息的承载 的对象，描述事物运动状态或存在方式的不确定性。
1928年，哈特莱(R．V．L Hartley) 在《信息传输》一文中提出：发信者所发出的信
息，就是他在通信符号表中选择符号的具体方式， 主张用所选择的自由度来度量信息。 局限性： ➢ 只考虑选择符号的方式，不涉及到信息的价值和具 体内容。 ➢ 没有考虑各种可能选择方法的统计特性。
信源编码器的主要指标
是它的编码效率。一般来说，效率越高，编译码 器的代价也将越大。
信源译码器
把信道译码器的输出变换成信宿所需的消息形式，
相当于信源编码器的逆过程。
19
信道编码器与译码器
信道编码 主要作用是提高信息传送的可靠性。
信道编码器的作用 在信源编码器输出的代码组上有目的地增加一些监督 码元,使之具有检错或纠错的能力。
an p(an )
样本空间 概率测度
先验概率p(xi)：
选择符号xi作为消息的概率。 11
例：气象预报
甲 X 晴 阴 大雨 小雨
p(x)
1/ 2,1/
4,
1/ 8,
1/8
乙
Y p(y)
晴 阴 1/4,1/4,
大雨 小雨
1/4, 1/4
“甲地晴”比“乙地晴”的不确定性小。
某一事物状态出现的概率越小，其不确定性越大。 某一事物状态出现的概率接近于1,即预料中肯定会 出现的事件，那它的不确定性就接近于零。
信道编码的主要方法 增大码率或频带,即增大所需的信道容量。这恰与信源 编码相反。
7
信息的表达层次
狭义而言，通信中对信息的表达分三个层次：信号、 消息、信息。 信号：信息的物理表达，是一个物理量，是一个载 荷信息的实体，可测量、可描述、可传输、可存储、 可显示。 消息 (或符号) ：信息的数学表达，承载了信息， 它是具体物理信号的数学抽象。如语言、文字、语音、 图像等。 信息：更高层次的哲学抽象，是信号与消息的承载 的对象，描述事物运动状态或存在方式的不确定性。
信息论第三版傅祖芸(3.7-3.8)
P( z / yx) P( z / y)
称这两信道的输入和输出X，Y，Z序列构成马尔 可夫链。
这两个串接信道可以等价成一个总的离散信道，其 输入为X，输出为Z， X Z P(z/x)
等价的总信道的传递概率为
P( z / x) P( y / x) 递矩阵
r t rs s t
定理3.6 对于串接信道X、Y、Z，当且仅当
P(Z / XY ) P( Z / Y ) 时， 等式 I ( XY ; Z ) I (Y ; Z )
成立 。
上式 I ( XY ; Z ) 表示联合变量XY与变量Z之间的平均互信息， 也就是接收到Z后获得关于联合变量X和Y的信息量。而 I (Y ; Z ) 是接收到Z后获得关于变量Y的信息量。由上式的成 立条件可知随机变量X、Y、Z组成一个马尔可夫链。在在串 联信道中随机变量Z往往只依赖信道Ⅱ的输入Y，不直接与 变量X发生关系，即随机变量Z仅仅通过变量Y而依赖于X。 所以得出以下定理。
谢谢
定理3.7 若X、Y、Z组成一个马尔可夫链，则有
I ( X ; Z ) I ( X ;Y )
I ( X ; Z ) I (Y ; Z )
定理3.7表明通过数据处理后，一般只会增加信息的损失，最 多保持原来获得的信息，不可能比原来获得的信息有所增加 。也就是说，对接收到的数据Y进行处理后，无论变量Z是Y 的确定对应关系还是概率关系，决不会减少关于X的不确定 性。故定理3.7称为数据处理定理。
这就是信息的不增性原理，与热熵不减原理正好相反。因而串 接信道的信道容量为 max I（X ; Z） C串（ Ⅰ， Ⅱ ） P ( x ) max I ( X ;W ) C串（ Ⅰ， Ⅱ, Ⅲ ）
P(x)
信息论 基础理论与应用第三版(傅祖芸) 第1章 绪论 PPT
• 信息是可以量度的，信息量有多少的差别。 15
1.2 信息论研究的对 象、目的和内容
16
研究对象：通信系统模型
信源 信源编码
加密 信道编码
加密 密钥
解密 密钥
信道
信宿 信源解码
解密 信道解码
干扰源
17
信源、信道、信宿
信源：发送消息的源 离散信源 模拟信源
信源是信息论的主要研究对象之一.我们不探讨信源 的内部结构和机理，而关注信源的输出。重点讨 论其描述方法及性质。
的工作开始的：
1924年奈奎斯特(Nyquist)的 “影响电报速率因 素的确定” 。
1928年哈特莱(Hartley) 的“信息传输” 一文研 究了通信系统传输信息的能力，并给出了信息度 量方法。
26
1946年柯切尔尼柯夫的学位论文“起伏噪声下的潜在抗干 扰理论”，根据最小错误概率准则和最小均方误差准则研 究了离散和连续信道的最佳接收问题。
信道编码的主要方法 增大码率或频带,即增大所需的信道容量。这恰与信源 编码相反。
信道译码器的作用 具有检错或纠错的功能,它能将落在其检错或纠错范围 内的错传码元检出或纠正,以提高传输消息的可靠性。
20
密码学
如何隐蔽消息中的信息内容,使它在传输过程中不被窃听. 提高通信系统的安全性； 将明文变换成密文,通常不需要增大信道容量,例如在二 进码信息流上叠加一密钥流； 但也有些密码要求占用较大的信道容量。
信宿：信息归宿之意，亦即收信者或用户， 是信息传送的终点或目的地。
信道：传输信息的物理媒介。
18
信源编码器与译码器
信源编码器
通过信源编码可以压缩信源的冗余度,以提高通信 系统传输消息的效率。
信源编码器分为两类
1.2 信息论研究的对 象、目的和内容
16
研究对象：通信系统模型
信源 信源编码
加密 信道编码
加密 密钥
解密 密钥
信道
信宿 信源解码
解密 信道解码
干扰源
17
信源、信道、信宿
信源：发送消息的源 离散信源 模拟信源
信源是信息论的主要研究对象之一.我们不探讨信源 的内部结构和机理，而关注信源的输出。重点讨 论其描述方法及性质。
的工作开始的：
1924年奈奎斯特(Nyquist)的 “影响电报速率因 素的确定” 。
1928年哈特莱(Hartley) 的“信息传输” 一文研 究了通信系统传输信息的能力，并给出了信息度 量方法。
26
1946年柯切尔尼柯夫的学位论文“起伏噪声下的潜在抗干 扰理论”，根据最小错误概率准则和最小均方误差准则研 究了离散和连续信道的最佳接收问题。
信道编码的主要方法 增大码率或频带,即增大所需的信道容量。这恰与信源 编码相反。
信道译码器的作用 具有检错或纠错的功能,它能将落在其检错或纠错范围 内的错传码元检出或纠正,以提高传输消息的可靠性。
20
密码学
如何隐蔽消息中的信息内容,使它在传输过程中不被窃听. 提高通信系统的安全性； 将明文变换成密文,通常不需要增大信道容量,例如在二 进码信息流上叠加一密钥流； 但也有些密码要求占用较大的信道容量。
信宿：信息归宿之意，亦即收信者或用户， 是信息传送的终点或目的地。
信道：传输信息的物理媒介。
18
信源编码器与译码器
信源编码器
通过信源编码可以压缩信源的冗余度,以提高通信 系统传输消息的效率。
信源编码器分为两类
《信息论》—基础理论与应用(傅祖芸)课后答案精编版
第二章课后习题
【2.1】设有 12 枚同值硬币，其中有一枚为假币。只知道假币的重量与真币的重量不同， 但不知究竟是重还是轻。现用比较天平左右两边轻重的方法来测量。为了在天平上称出哪 一枚是假币，试问至少必须称多少次？ 解：从信息论的角度看， 1 ； 12 1 “假币的重量比真的轻，或重”该事件发生的概率为 P = ； 2 “12 枚硬币中，某一枚为假币”该事件发生的概率为 P = 为确定哪一枚是假币，即要消除上述两事件的联合不确定性，由于二者是独立的，因 此有 I = log 12 + log 2 = log 24 比特 而用天平称时，有三种可能性：重、轻、相等，三者是等概率的，均为 P = 平每一次消除的不确定性为 I = log 3 比特 因此，必须称的次数为 I 1 log 24 = ≈ 2.9 次 I2 log 3 因此，至少需称 3 次。 【延伸】如何测量？分 3 堆，每堆 4 枚，经过 3 次测量能否测出哪一枚为假币。 【2.2】同时扔一对均匀的骰子，当得知“两骰子面朝上点数之和为 2”或“面朝上点数之 和为 8”或“两骰子面朝上点数是 3 和 4”时，试问这三种情况分别获得多少信息量？ 解： “两骰子总点数之和为 2”有一种可能，即两骰子的点数各为 1，由于二者是独立的， 因此该种情况发生的概率为 P = 1 1 1 × = ，该事件的信息量为： 6 6 36 1 ，因此天 3
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P( A | B) =
P( AB) P( A) P( B | A) 0.25 × 0.75 = = = 0.375 P( B) P( B) 0.5
已知该事件所能获得的信息量为 I = log 1 ≈ 1.415 比特 0.375
【2.1】设有 12 枚同值硬币，其中有一枚为假币。只知道假币的重量与真币的重量不同， 但不知究竟是重还是轻。现用比较天平左右两边轻重的方法来测量。为了在天平上称出哪 一枚是假币，试问至少必须称多少次？ 解：从信息论的角度看， 1 ； 12 1 “假币的重量比真的轻，或重”该事件发生的概率为 P = ； 2 “12 枚硬币中，某一枚为假币”该事件发生的概率为 P = 为确定哪一枚是假币，即要消除上述两事件的联合不确定性，由于二者是独立的，因 此有 I = log 12 + log 2 = log 24 比特 而用天平称时，有三种可能性：重、轻、相等，三者是等概率的，均为 P = 平每一次消除的不确定性为 I = log 3 比特 因此，必须称的次数为 I 1 log 24 = ≈ 2.9 次 I2 log 3 因此，至少需称 3 次。 【延伸】如何测量？分 3 堆，每堆 4 枚，经过 3 次测量能否测出哪一枚为假币。 【2.2】同时扔一对均匀的骰子，当得知“两骰子面朝上点数之和为 2”或“面朝上点数之 和为 8”或“两骰子面朝上点数是 3 和 4”时，试问这三种情况分别获得多少信息量？ 解： “两骰子总点数之和为 2”有一种可能，即两骰子的点数各为 1，由于二者是独立的， 因此该种情况发生的概率为 P = 1 1 1 × = ，该事件的信息量为： 6 6 36 1 ，因此天 3
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P( A | B) =
P( AB) P( A) P( B | A) 0.25 × 0.75 = = = 0.375 P( B) P( B) 0.5
已知该事件所能获得的信息量为 I = log 1 ≈ 1.415 比特 0.375
信息论课件第三章
D = E[d ( xi , y j )] = ∑∑ p ( xi y j )d ( xi , y j )
i =1 j =1
n
m
= ∑∑ p( xi ) p( y j / xi )d ( xi , y j )
i =1 j =1
n
m
(3-7)
清华大学出版社
第3章 信息率失真函数 最大允许平均失真度 的定义： D 的定义：
(3-22) 3．R ( D ) 在 (0, Dmax ) 区间是连续和严格递减函数。 ． 区间是连续和严格递减函数。
3.2.2 信息率失真函数的计算
信息率失真函数 R ( D ) 是在最大允许失真 D 和信源概率 已给的条件下，求解平均互信息的极小值问题。 分布 p ( xi ) 已给的条件下，求解平均互信息的极小值问题。
RN ( D) =
p ( y j / xi )∈PDN
min
I ( X N ;Y N )
(3-14)
信息率失真函数的逆函数——失真率函数D ( R )定义为： 失真率函数 定义为： 信息率失真函数的逆函数
D(R) = min {D = ∑∑ p(xi ) p( yj / xi )d(xi , yj )}
清华大学出版社
第3章 信息率失真函数 失真函数具有以下基本性质 ：
d (1)当 i=j 时， ( xi , y j ) = 0 。 当
(2)当 i 当
≠ j
d 时， ( xi , y j ) = a 。
(3) min d ( xi , y j ) = 0 。 (4) 0 ≤ d ( xi , y j ) ＜∞ 。 的定义: 平均失真度 D 的定义 失真函数的数学期望 。
n m ∑∑ p ( xi ) p( y j / xi )d ( xi , y j ) = D i =1 j =1 m ∑ p( y / x ) = 1 (i = 1, 2,L , n) j i j =1
信息论基础理论和应用第三版傅祖芸-讲义
001 010 011 100 101 110
用作消息旳码字（ 许用码字） 000 （表达0）
二元对称信 道旳三次扩
展信道
111 （表达1）
输出端 接受序列
000 001 010 011 100 101 110 111
则信道矩阵为：
根据最大似然译码准则，当p=0.01，可得译码函数为：
F(000)=000 F(100)=000
一般信道传播时都会产生错误，而选择译码准 则并不会消除错误，那么怎样降低错误概率呢？下边讨 论经过编码措施来降低错误概率。
例：对于如下二元对称信道
0
0.99
0
0.01
0.01
1
1
0.99
按照最大似然准则译码，
怎样提升信道传播旳正确率呢？可用反复消息旳措施，即尝试 扩展信道旳措施。
未用旳码字 （禁用码字）
第二种措施旳错误率为
比较可知，第一种措施好。仔细观察发觉： 在第一种措施中，假如 000 有一位犯错，就能够鉴定犯错 了； 而在第二种措施中，假如000中任何一位犯错，就变成了其 他旳正当旳码字，我们无法判断是否犯错。 再仔细观察，发觉第二种措施中，码字之间太相同。
码字距离： 长度为n旳两个码字相应位置上不同码元旳个数。一
详细计算如下：
即：
假如先验概率相等，则：
某个输入符号ai传播引起旳 错误概率
例：某信道
1）若根据最大似然准则选择译码函数为B： 若输入等概率，则平均错误概率为
若输入不等概分布 ，则错误概率为：
2）采用最小错误概率译码准则，则联合矩阵为：
所得译码函数为：C： 平均错误概率：
6.2 错误概率与编码措施
0
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2/3
用作消息旳码字（ 许用码字） 000 （表达0）
二元对称信 道旳三次扩
展信道
111 （表达1）
输出端 接受序列
000 001 010 011 100 101 110 111
则信道矩阵为：
根据最大似然译码准则，当p=0.01，可得译码函数为：
F(000)=000 F(100)=000
一般信道传播时都会产生错误，而选择译码准 则并不会消除错误，那么怎样降低错误概率呢？下边讨 论经过编码措施来降低错误概率。
例：对于如下二元对称信道
0
0.99
0
0.01
0.01
1
1
0.99
按照最大似然准则译码，
怎样提升信道传播旳正确率呢？可用反复消息旳措施，即尝试 扩展信道旳措施。
未用旳码字 （禁用码字）
第二种措施旳错误率为
比较可知，第一种措施好。仔细观察发觉： 在第一种措施中，假如 000 有一位犯错，就能够鉴定犯错 了； 而在第二种措施中，假如000中任何一位犯错，就变成了其 他旳正当旳码字，我们无法判断是否犯错。 再仔细观察，发觉第二种措施中，码字之间太相同。
码字距离： 长度为n旳两个码字相应位置上不同码元旳个数。一
详细计算如下：
即：
假如先验概率相等，则：
某个输入符号ai传播引起旳 错误概率
例：某信道
1）若根据最大似然准则选择译码函数为B： 若输入等概率，则平均错误概率为
若输入不等概分布 ，则错误概率为：
2）采用最小错误概率译码准则，则联合矩阵为：
所得译码函数为：C： 平均错误概率：
6.2 错误概率与编码措施
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信息论3第3章1PPT课件
5
信道分类
信息论与编码
第
三 v 按输入/输出之间关系的记忆性来划分：
章 v 无记忆信道：
信 道 与
§信道的输出只与信道该时刻的输入有关,而与 其他时刻的输入无关
信 v 有无记忆信道：
道 容 量
§信道的输出不但与信道现时的输入有关而且 还与以前时刻的输入有关
11.11.2020 西北大学信息学 院
6
三 章
由定理3.1可知，对于每一个确定信道，都有一个信源分布，使得信息传 输率达到最大值，我们把这个最大值称为该信道的信道容量。
信
道 与
➢信道容量C：在信道中最大的信息传输 ( X ,Y ) } m a x { H ( X ) H ( X /Y ) }
信 §输入和输出的随机序列取值都是离散的信道
道 v 连续信道：
与 信
§输入和输出的随机序列取值都是连续的信道
道 v 半离散(半连续)信道：
容 §输入变量取值离散而输出变量取值连续
量 §输入变量取值连续而输出变量取值离散
v 波形信道：
§信道的输入和输出都是一些时间上连续的随 机信号。
11.11.2020 西北大学信息学 院
道 容
P ( X )
P ( X )
➢单位时间的信道容量Ct：若信道平均传输一个符号需要t秒钟，则
量 单位时间的信道容量为：
C 1 m a x { I(X ,Y )} 1 m a x { H (X ) H (X /Y )}
t
tP (X )
P (X )
Ct实际是信道的最大信息传输速率。
13
第
三
章 信 结论 道 C和Ct都是求平均互信息I(X;Y)的条件极大值问题，当输入
信息论基础ppt课件
计算：
（a） H ( X , Y ) , H ( X ) , H ( Y ) , H ( X |Y ) , H ( Y |X ) , I ( X ; Y ) ;
（b）如果q(x,y)p(x)p(y)为两个边际分布的乘积分布，计 算 D( p Pq) 和 D(q P p)。
解：
(a )
H (X ,Y ) 1 lo g 1 1 lo g 1 1 lo g 1 5 lo g 5 44441 21 21 21 2
1 p(X)
可见熵是自信息的概率加权平均值
引理 1.2.1 H(X) 0，且等号成立的充要条件是 X 有退化分布。
例题 1.2.1 设
1
X
0
依概率 p 依概率 1 p
则 H ( X ) p l o g p ( 1 p ) l o g ( 1 p ) h ( p ) 。
I (x) log 1 。 p(x)
1.2 熵、联合熵、条件熵
X 定义 1.2.1 离散随机变量 的熵定义为
H(X)p(x)logp(x) x
e 我们也用 H ( p ) 表示这个熵，有时也称它为概率分布 p 的熵，其中对
数函数以2为底时，熵的单位为比特（bit），若对数以 为底时，则熵的
图1.1 通信系统模型
第一章 随机变量的信息度量
1.1 自信息 1.2 熵、联合熵、条件熵 1.3 相对熵和互信息
1.1 自信息
定理1.1.1
定义 1.1.1
若自信息I ( x ) 满足一下5个条件：
( i ) 非复性：I(x) 0;
( i i ) 如 p(x) 0, 则 I(x) ;
（a） H ( X , Y ) , H ( X ) , H ( Y ) , H ( X |Y ) , H ( Y |X ) , I ( X ; Y ) ;
（b）如果q(x,y)p(x)p(y)为两个边际分布的乘积分布，计 算 D( p Pq) 和 D(q P p)。
解：
(a )
H (X ,Y ) 1 lo g 1 1 lo g 1 1 lo g 1 5 lo g 5 44441 21 21 21 2
1 p(X)
可见熵是自信息的概率加权平均值
引理 1.2.1 H(X) 0，且等号成立的充要条件是 X 有退化分布。
例题 1.2.1 设
1
X
0
依概率 p 依概率 1 p
则 H ( X ) p l o g p ( 1 p ) l o g ( 1 p ) h ( p ) 。
I (x) log 1 。 p(x)
1.2 熵、联合熵、条件熵
X 定义 1.2.1 离散随机变量 的熵定义为
H(X)p(x)logp(x) x
e 我们也用 H ( p ) 表示这个熵，有时也称它为概率分布 p 的熵，其中对
数函数以2为底时，熵的单位为比特（bit），若对数以 为底时，则熵的
图1.1 通信系统模型
第一章 随机变量的信息度量
1.1 自信息 1.2 熵、联合熵、条件熵 1.3 相对熵和互信息
1.1 自信息
定理1.1.1
定义 1.1.1
若自信息I ( x ) 满足一下5个条件：
( i ) 非复性：I(x) 0;
( i i ) 如 p(x) 0, 则 I(x) ;
《信息论》—基础理论与应用 傅祖芸 课后答案
（1） 此消息的自信息是多少？
（2） 在此消息中平均每个符号携带的信息量是多少？
解：
信源是无记忆的，因此，发出的各消息之间是互相独立的，此时发出的消息的自信息
即为各消息的自信息之和。根据已知条件，发出各消息所包含的信息量分别为：
I (a0
=
0)
=
log
8 3
= 1.415 比特
I (a1 = 1) = log 4 = 2 比特
【2.6】如有 6 行 8 列的棋型方格，若有二个质点 A 和 B，分别以等概率落入任一方格内， 且它们的坐标分别为（XA,YA）和（XB,YB），但 A 和 B 不能落入同一方格内。 （1） 若仅有质点 A，求 A 落入任一个格的平均自信息量是多少？ （2） 若已知 A 已落入，求 B 落入的平均自信息量。 （3） 若 A、B 是可分辨的，求 A、B 同都落入的平均自信息量。 解：
i = q + 1, q + 2,...,2q
试写出信源 S ′ 的信息熵与信源 S 的信息熵的关系。
解：
H (S ′) = −∑ P(x) log P(x) ∑ ∑ = − (1 − ε )Pi log(1 − ε )Pi − εPi log εPi ∑ ∑ ∑ ∑ = −(1 − ε ) Pi log(1 − ε ) − (1 − ε ) Pi log Pi − ε Pi log ε − ε Pi log Pi
熵是增加的，并用熵的物理意义加以解释。
解：
设新的信源为 X ′ ，新信源的熵为：
∑ H ( X ′) = − pi log pi = −( p1 − ε ) log( p1 − ε ) − ( p2 + ε ) log( p2 + ε ) − L − pq log pq
信息论-基础理论与应用第三版(傅祖芸)-第三章PPT课件
单符号离散信道的相关概率关系
（1）联合概率
Hale Waihona Puke P ( a ib j) P ( a i) P ( b j/a i) P ( b j) P ( a i/b j)
其中
P (b j / ai ) 前向概率，描述信道的噪声特性 P ( a i ) 输入符号的先验概率 P (ai / b j ) 后向概率（后验概率）
X ,Y
p ( x ) X ,Y
p(x | y)
p ( xy ) log p ( x | y ) p ( xy ) log p ( y | x )
X ,Y
p ( x ) X ,Y
p(y)
p ( xy )
p ( xy ) log
X ,Y
p(x) p(y)
I(X;Y)是I (x ; y)的统计平均，可以证明I(X;Y)≥0 。 若I(X;Y)
r
P(ai)P(bj |ai)
i1
(其中P(bj)0,i 1,2,...r,; j 1,2,...s,)
且
含义：
r
P(ai / bj ) 1
i 1
输出端收到的某符号，必是输入端某一符号输入所致。
3.2 信道疑义度与平均互信息
研究离散单符号信道的信息传输问题。
一、信道疑义度
先验熵：即信道输入信源X的熵
X,Y
p(x)p(y)
I(X;Y) = H(X) + H(Y) - H(XY)
其中：
H ( X |Y ) ＝ p ( x ) ly o1 g ;H ( Y |X ) ＝ p ( x ) ly o1 g
X ,Y
p ( x |y )
X ,Y
p ( y |x )
信息论基础理论与应用第三版(傅祖芸)讲义(课堂PPT)
唯一可译码的条件
1）不同的信源符号变换成不同的码字(非奇异码)；
2）任意有限长的信源序列所对应的码元序列各不相同. 即: 码的任意有限长N次扩展码都是非奇异码。
Or: 码符号序列的反变换也唯一的（扩展码非奇异）
原因： 若要使某一码为惟一可译码，则对于任意有限长的码
符号序列，必须只能被惟一地分割成一个个的码字，才能 实现唯一的译码。
否则,就为非惟一可译码或非单义可译码。
例：对于二元码 C1 {1,01,00}，当任意给定一串码字 序列，例如 …10001101…
只可唯一地划分为1,00,01,1,01，因此是惟一可译码； 而对另一个二元码 C2 {0,10,01} ，当码字序列为
…01001… 可划分为0,10,01或01,0,01，所以是非惟一可译的。
编码的形式化描述： 从信源符号到码符号的一种映射
si(i1,2,..q)., W i (xi1xi2..xi.li), xik X,(k1,2, .li.).
或：
i(si1si2.s .iN .) W i(xi1xx2..xili.),
sik S,(k1 ,2,.N .).;xik X (k1 ,2,.li)..
例 设信源
4
S P(s)sP 1(s1)
最佳编码： 一般来说，抗干扰能与信息传输率二者相互矛盾。而编码
定理理论上证明，至少存在某种最佳的编码能够解决上述矛盾， 做到既可靠又有效地传输信息。
信源编码： 信源虽然多种多样，但无论是哪种类型的信源，信源符号
之间总存在相关性和分布的不均匀性，使得信源存在冗余度。 信源编码的目的就是要减少冗余，提高编码效率。
3、非奇异码与奇异码 非奇异码: 一组码中所有码字都不相同。
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信道参数与时间的关系
固定参数信道 时变参数信道
根据输入端和输出 端的关联
无反馈信道 有反馈信道
根据输入输出信号的 特点
离散信道
（离散随机序列-离散随机序列）
连续信道
（连续值随机序列-连续值随机序列）
半离散半连续信道
（离散随机序列-连续值随机序列）
波形信道（模拟信道）
（时间、取值连续随机信号时间、取值连续随机信号）
P(b1 | a1) P(0 | 0) 1 p p a1=0
P(b2 | a2) P(1| 1) 1 p p
P(b1 | a2) P(0 | 1) p
P(b2 | a1) P(1| 0) p
a2=1
• p是单个符号传输发生错误的概率。
1－p
p p
1－p
0=b1 1=b2
•（1-p）表示是无错误传输的概率。
（2）输出某符号的概率 r P(bj) p(ai)p(bj /ai) i1
p(b1) p(a1)
p(b2)PT p(a2)
... ...
p(bs)
p(ar)
(传递矩 P:r阵 s, PT:sr)
（3）后验概率
根据贝叶斯定理，可知：
P (y|x)fun(x c ,y)t i 1 0 oy y n ff((x x ))
(2) 有干扰无记忆信道
信道输入和输出之间的条件概率是一般的概率分布。 如果任一时刻输出符号只统计依赖于对应时刻的输入符 号，则这种信道称为无记忆信道。
N
P (y|x ) P (y 1 y 2 .y .N .|x 1 x 2 .x .N .) P (y i|x i) i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、离散信道的数学模型
条件概率 P(y|x) 描述了输入信号和输出信号之间统计 依赖关系，反映了信道的统计特性。根据信道的统计特性 的不同，离散信道又可分成3种情况：
1.无干扰信道 2.有干扰无记忆信道 3.有干扰有记忆信道
(1)无干扰(无噪声)信道
信道中没有随机性的干扰或者干扰很小，输出符号
y 与输入符号 x 之间有确定的、一 一对应的关系。即： y ＝ f (x)
(3) 有干扰(噪声)有记忆信道
实际信道往往是既有干扰(噪声)又有记忆的这种类 型。
例如在数字信道中，由于信道滤波频率特性不理 想时造成了码字间串扰。
在这一类信道中某一瞬间的输出符号不但与对应时 刻的输入符号有关，而且还与此以前其他时刻信道的 输入符号及输出符号有关，这样的信道称为有记忆信 道。
三、单符号离散信道
我们只研究： 无反馈、固定参数的单用户离散信道。
信道分析的方法
信源输出的是携带者信息的消息，而消息必须首 先转换成能在信道中传输或存储的信号，然后经过信 道传送到接收者。
一般认为，噪声或干扰主要从信道中引入，它使信 号通过信道传输后产生错误和失真。
因此，信道的输入和输出信号之间一般不是确定的 函数关系，而是统计依赖关系。只要知道信道的输入 信号、输出信号，以及它们之间的统计依赖关系，那 么信道的全部特性就确定了。
pij0
s
pij1 (各列元素 1之 ) 和
j1
矩阵P完全描述了信道的特性，可用它作为离散单符号信道
的另一种数学模型的形式。矩阵 P中元素有些是信道干扰引起
的错误概率，有些是信道正确传输的概率。
[例] 二元对称信道，[BSC，Binary Symmetrical Channel] 解：此时，X:{0,1} ; Y:{0,1} ; r=s=2，a1=b1=0；a2=b2=1。 传递概率:
单符号离散信道特性：
➢ 输入符号为X，取值于{a1,a2, …,ar} ➢ 输出符号为Y，取值于{b1,b2, …,bs} ➢ 条件概率：P(y|x)＝P(y=bj|x=ai)＝P(bj|ai)
这一组条件概率称为信道的传递概率或转移 概率。
信道中有干扰(噪声)存在，可以用传递概率 P(bj|ai) 来描述干扰影响的大小。
• 转移矩阵:
0
0 1 - p
1
p
1
p
1
p
[例]二元删除信道。[BEC，Binary Eliminated
Channel]
0
p
0
1－p
解：X:{0，1} Y:{0，1，2}
2
此时，r ＝2，s ＝3， 传递矩阵为：
1－q
1
q
1
021
0 p 1 p 0 1 0 1q q
符号“2”表示接收到了“0”、“1”以外的特殊符 号
一般简单的单符号离散信道可用 X, P(y|x) , Y
三者加以表述，其数学模型可以用如下概率空间
[X, P(y|x) ,Y]
也可用图形来描述：
a1
a2
X
.
.
ar
P(bj/ai) 单符号离散信道
b1 b2 .Y . bs
信道矩阵（转移矩阵）模型
一般离散单符号信道的传递概率可用矩阵形式表 示，即
b1
第三章 离散信道及其信道容量
第一节 信道的数学模型及分类 第二节 平均互信息 第三节 平均互信息的特性 第四节 信道容量及其计算方法 第五节 离散无记忆扩展信道及其信道容量 第六节 信源与信道的匹配
信道的任务： 以信号方式传输信息和存储信息。
研究内容： 信道中能够传送或存储的最大信息量，即信道容量。
3.1 信道的数学模型和分类
干扰源
信源
编码器 调制器 物理信道 解调器 译码器
信宿
实际信道
编码信道 等效信道
数字通信系统的一般模型
一、信道的分类
根据载荷消息的媒体不同
邮递信道 电、磁信道 光信道 声信道
根据信道用户的多少
单用户（两端）信道
一个输入端和一个输出端的 单向通信；
多用户信道
至少有一端有两个以上的用 户，可以是双向通信；（计算机 通信、卫星通信、广播通信等）
单符号离散信道的相关概率关系
（1）联合概率
P ( a ib j) P ( a i) P ( b j/a i) P ( b j) P ( a i/b j)
其中
P (b j / ai ) 前向概率，描述信道的噪声特性 P ( a i ) 输入符号的先验概率 P (ai / b j ) 后向概率（后验概率）
b2 … bs
a1 P(b1|a1) P(b2|a1) … P(bs|a1)
a2 P(b1|a2) P(b2|a2) … P(bs|a2)
… …. … …
p11 p12 ... p1s
P
p 21
p22 ...
p
2
s
: : : :
p
r1
pr 2 ...
p
rs
ar P(b1|ar) P(b2|ar) … P(bs|ar)