探索傅里叶级数的一致收敛性,逐项积分性和逐项微分性

探索傅里叶级数的一致收敛性，逐项微分性和逐项积分性

在第15章的第1节和第3节分别建立和证明了傅里叶级数的收敛定理（定理15.3）：

设()f x 是以2π为周期的周期函数，若()f x 在[,]ππ-上按段光滑，则对任意(,)x ∈-∞+∞，

()f x 的傅里叶级数在x 处收敛于

()()

2

f x f x +-+，即 ()01()()cos sin 22

n n n a f x f x a nx b nx +-∞=+++=∑， 其中

01

()d a f x x π

π

π

-

=

⎰，1

()cos d n a f x nx x π

π

π

-

=

⎰，1

()sin d n b f x nx x π

π

π

-

=

⎰（1,2,

n =）

为()f x 的傅里叶系数．

以此定理为基础，请同学们按照下面的步骤进一步探索傅里叶级数的一致收敛性、逐项微分性和逐项积分性．

一、几个引理

我们知道，若()f x 在[,]a b 上按段光滑，【即()f x 在[,]a b 上除有限个第一类间断点外连续（此时也称()f x 在[,]a b 上按段连续），()f x 在[,]a b 上除有限个点外可导且()f x '在[,]a b 上也除有限个第一类间断点外连续，简单地讲：()f x 在[,]a b 上按段光滑也就是()f x 和()f x '都在[,]a b 上按段连续】，则()f x 和()f x '都在[,]a b 上可积，并且除[,]a b 上有限个点外，()f x 可作为()f x '的原函数，于是，根据定积分的定义，当我们进一步要求()f x 在[,]a b 上连续的情况下，注意到拉格朗日中值公式，可得

引理1（定积分的牛顿—莱布尼茨公式的推广）若()f x 在[,]a b 上连续，且按段光滑，则

()d ()()

()b a

b

f x x f b f a f x a

'=-⎰

．

提示：选择包含使()f x '不存在的点为分点的[,]a b 的分割011:n n T a x x x x b -=<<<<=，

由拉格朗日中值公式推出，存在1(,)i i i x x ξ-∈，使

11()()()()()i i i i i i i f x f x f x x f x ξξ--''-=-=∆（1,2,

,i n =）

， []11

1

()()()()()n

n

i i i i i i f b f a f x f x f x ξ-=='-=-=∆∑∑．

最后，注意到()f x '在[,]a b 上可积，利用定积分的定义即可．

引理2（推广的分部积分公式）若()f x ，()g x 都在[,]a b 上连续，且按段光滑，则

()()d ()()()()d b b a

a

b

f x

g x x f x g x f x g x x a ''=-⎰

⎰．

提示：首先，注意到由条件可得()()f x g x 在[,]a b 上连续，且按段光滑，()()f x g x '和

()()f x g x '都在[,]a b 上可积，且除[,]a b 上的有限个点外，

()()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''=

+．

其次，对()()()f x g x '应用引理1即可．

引理3（()f x 与()f x '的傅里叶系数的关系）设()f x 在[,]ππ-上连续，按段光滑，且

()()f f ππ-=

（注：根据周期函数的特点，上述条件意味着()f x 可看成按段光滑且以2π为周期的连续函数），

记0a ，n a ，n b 为()f x 的傅里叶系数；0

a '，n a '，n

b '为()f x '的傅里叶系数，则 0

0a '=，n n a nb '=，n n b na '=-． 提示：直接根据傅里叶系数公式，利用引理1或引理2进行计算即可，例如由引理1

[]0

1

1

()d ()()0a f x x f f π

π

πππ

π

-

''==

--=⎰．

除上面的三个引理外，在探索的过程中，还要用到关于傅里叶系数的贝塞尔不等式． 引理4（贝塞尔不等式）设()f x 在[,]ππ-上可积，记0a ，n a ，n b 为()f x 的傅里叶系数，则

级数

()22

201

2n n n a a b ∞

=++∑收敛，且 ()222

2011()d 2n n n a a b f x x π

π

π

∞-

=++≤∑⎰．

二、傅里叶级数的一致收敛性，逐项积分性和逐项微分性

1、傅里叶级数的一致收敛性

定理1（傅里叶级数的一致收敛性）设()f x 是以2π为周期的连续函数，且在[,]ππ-上按段光滑，则()f x 的傅里叶级数

()01

cos sin 2n n n a a nx b nx ∞

=++∑ 在(,)-∞+∞上绝对收敛且一致收敛于()f x ，其中0a ，n a ，n b 为()f x 的傅里叶系数．

提示：首先，由定理15.3并注意到()f x 连续推出()01

cos sin 2n n n a a nx b nx ∞

=++∑收敛于()f x ； 其次，由引理3推出

2222

22211111111()()()()222n n n n n n n n a b b a b a a b n n n n n

⎡⎤⎡⎤''''''⎡⎤+=

+≤+++=++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； 最后，注意到引理4以及cos sin n n n n a nx b nx a b +≤+，由一致收敛的优级数判别法即可．

2、傅里叶级数的逐项积分性

定理2 设()f x 是以2π为周期的函数，且在[,]ππ-上按段连续，[,]a ππ∈-，记

0()()d 2x a a F x f t t ⎡⎤

=-⎢⎥⎣

⎦⎰，

则

（1）()F x 是以2π为周期的连续函数，且在[,]ππ-上按段光滑； （2）记0A ，n A ，n B 为()F x 的傅里叶系数，有1n n A b n =-

，1

n n B a n

=（1,2,n =）；

（3）01111cos sin 2n n n A b na a na n

n ∞

=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑．

提示：（1）首先，由变限函数的连续性易得()F x 是连续函数；