条件概率与事件的独立性
条件概率与事件的独立性
P( AB)
P( A)
16 11
4 11
16
变式:若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率.
4
P(A| B)
P( AB)
P(B)
16 6
4 6
16
例3.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品， 规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取 得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是 一等品的概率．
∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.7=0.56
⑶1–P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94
⑷P(A·B)+P(A·B)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8(1-0.7)+(1-0.6)×0.7=0.38
答：两粒种子都能发芽的概率是0.56；至少有一粒种子能 发芽的概率是0.94；恰好有一粒种子能发芽的概率是0.38
P(A |
B)
P( AB) P(B)
52 1
1 13
P(A)
4
P(A | B) P(A)
P( AB) P( A) P(B)
B发生时A发生的条件概率
A发生的概率
P(AB) P(A)P(B)
则称A，B相互独立
相互独立事件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件
中一等奖的概率为多少？
P
1
C
7 31
（2）如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票，
则乙中一等奖的概率为多少？
P
1
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7 31
2．一个袋子中有5个白球和3个黑球，从袋中分 两次取出2个球。设第1次取出的球是白球叫做 事件A，第2次取出的球是白球叫做事件B。
概率论3
P AB PB | AP A
5.3
例3 已知 P( A) 0.5, P( B) 0.6, P( B / A) 0.8.
求 P( AB)与P( A B )
例4 设袋中有r只红求,t只白球.每次自袋中任 取一只球,观察其颜色然后放回,并再放入a只 与所取出的那只球同色的球.若在袋中连续取 球四次,试求第一、二次取到红球且求第三、 四次取到白球的概率.
PBi | A PA | Bi PBi
j j
5.6
5 .7
PA | B PB
j 1
n
i 1,2,,n
P A P A | B 1 P B 1 P A | B 2 P B 2 P A | B n P B n
P( A) P( B) P( A / B) P( B ) P( A / B )
例1 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件 制造厂提供的.根据以往的记录有以下数据:
元件制造厂 1 2 3 次品率 0.02 0.01 0.03 提供元件的份额 0.15 0.80 0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的, 且无区别的标志.(1)在仓库中随机地取一只元件, 求它是次品的概率;(2)在仓库中随机地取一只元件, 若已知取到的是次品,分析此次品出自何厂,需求出 由三家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率.
二 乘法定理
乘法定理 其意义是… (5.3)式容易推广到多个事件的情况.
P A1 A2 An PAn A1 A2 An 1 PAn 1 A1 A2 An 2 PA2 A1 P A1 其 中 P A1 A2 An 1 0
设P(A)>0，则有
注 对 任 一 事 件 A, A与 A 构 成 样 本 空 间 Ω 的一个分划。
概率的计算方法条件概率事件独立性的计算方法
概率的计算方法条件概率事件独立性的计算方法概率的计算方法——条件概率和事件独立性的计算方法概率是数学中的一个重要概念，用于描述事件发生的可能性。
在概率的计算过程中，条件概率和事件独立性是两个重要的概念。
本文将介绍概率中的条件概率和事件独立性的计算方法。
一、条件概率的计算方法条件概率是指在已知某个条件下，事件发生的概率。
表示为P(A|B)，读作事件B发生的条件下事件A发生的概率。
计算条件概率的方法：1. 根据条件概率的定义，可以得出P(A|B) = P(AB) / P(B)。
即事件A和事件B同时发生的概率除以事件B发生的概率。
2. 利用频率法进行计算。
通过实验或观察，记录事件A在事件B发生的条件下出现的频次，再除以事件B发生的频次。
举例说明：假设有一个扑克牌的标准牌组，从中随机抽取一张牌。
事件A表示抽到一张红心牌，事件B表示抽到一张大于等于10的牌。
求在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
根据条件概率的计算方法，我们可以得到：P(A|B) = P(AB) / P(B)首先，我们需要计算事件A和事件B同时发生的概率P(AB)。
在扑克牌标准牌组中，红心牌有13张，大于等于10的牌有16张。
其中，大于等于10的红心牌有3张。
因此，P(AB) = 3 / 52。
接下来，计算事件B发生的概率P(B)。
在扑克牌标准牌组中，大于等于10的牌有16张，总共的牌数是52张，所以P(B) = 16 / 52。
将以上结果代入条件概率的计算公式，我们可以得到：P(A|B) = (3 / 52) / (16 / 52) = 3 / 16所以，在事件B发生的条件下，事件A发生的概率为3/16。
二、事件独立性的计算方法事件独立性是指事件A和事件B的发生与否互相独立，即事件A 的发生与否不受事件B的影响。
计算事件独立性的方法：1. 如果P(A|B) = P(A)，则事件A和事件B互相独立。
2. 如果P(A|B) ≠ P(A)，则事件A和事件B不独立。
概率与统计中的事件独立性与条件概率
概率与统计中的事件独立性与条件概率概率与统计是数学中的一个重要分支，用于研究随机现象和不确定性问题。
在概率与统计的基础概念中，事件的独立性与条件概率是两个核心概念。
本文将对这两个概念进行详细解释，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、事件的独立性在概率与统计中，事件的独立性是指两个或多个事件之间的关联程度。
如果两个事件A和B相互独立，意味着事件A的发生与否不会对事件B的发生概率产生影响，反之亦然。
换句话说，事件A和B的发生概率是相互独立的，它们之间不存在任何关联。
为了判断两个事件A和B是否相互独立，可以通过下列公式进行计算：P(A∩B) = P(A) × P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和B发生的概率。
如果上式成立，则事件A和B相互独立；如果不成立，则事件A和B不相互独立。
事件的独立性在实际问题中具有广泛的应用。
例如，假设有一批产品，每个产品的质量合格的概率为0.9。
如果从该批产品中随机选取两个产品，事件A表示第一个产品质量合格，事件B表示第二个产品质量合格。
根据事件的独立性，我们可以通过计算概率来判断同时选中两个质量合格产品的概率。
二、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率通常用P(B|A)表示，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
通过计算条件概率，我们可以得出在某种条件下发生某个事件的概率。
条件概率在实际问题中非常有用。
例如，假设有一个班级，其中40%的学生会参加音乐比赛，30%的学生参加体育比赛。
如果我们知道某个学生参加了音乐比赛，那么他参加体育比赛的概率是多少？根据条件概率的计算公式，我们可以得出这个概率。
三、事件独立性与条件概率的关系事件的独立性与条件概率密切相关。
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结在概率论中，条件概率和事件的独立性是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题至关重要。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入探讨这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
其定义为：设 A、B 是两个事件，且 P(A)＞0，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率记为 P(B|A)，且 P(B|A) ＝ P(AB) ／P(A) 。
例 1：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球。
从中随机取出一个球，已知取出的是红球，求它是第二个红球的概率。
解：设 A 表示“第一次取出红球”，B 表示“第二次取出红球”。
则P(A) ＝ 5/8 。
P(AB) 表示“第一次和第二次都取出红球”，其概率为 5/8 × 4/7 ＝ 5/14 。
所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝（5/14) ／（5/8) ＝4/7 。
例 2：某班级学生的数学成绩及格率为 80%，英语成绩及格率为70%，已知某学生数学成绩及格，求他英语成绩也及格的概率。
解：设 A 表示“数学成绩及格”，B 表示“英语成绩及格”。
P(A) ＝08 ，P(AB) 表示“数学和英语成绩都及格”，假设两者相互独立，则P(AB) ＝ 08 × 07 ＝ 056 。
所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝ 056 ／ 08 ＝07 。
二、事件的独立性如果事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生也不影响事件 A 发生的概率，那么称事件 A 和事件 B 相互独立。
即 P(B|A) ＝ P(B) 且 P(A|B) ＝ P(A) ，等价于 P(AB) ＝ P(A)P(B) 。
例 3：抛掷两枚均匀的硬币，设事件 A 为“第一枚硬币正面朝上”，事件 B 为“第二枚硬币正面朝上”，判断 A、B 是否独立。
随机事件的独立性与条件概率
随机事件的独立性与条件概率随机事件是在一定条件下具有不确定性的事件，它的发生与否取决于一系列的因素。
而随机事件的独立性是指事件的发生与其他事件的发生无关，即一个事件的发生与其他事件的发生是相互独立的。
条件概率则是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
1. 随机事件的独立性随机事件的独立性是指一个事件的发生与其他事件的发生无关。
具体来说，对于两个事件A和B，如果事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率，那么事件A和事件B就是相互独立的。
例如，假设我们有一个袋子里面有红球和蓝球，事件A表示从袋子中取出一个红球，事件B表示从袋子中取出一个蓝球。
如果每次取球之前都将袋子中的球重新放回，那么事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率，因此事件A和事件B是相互独立的。
2. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
通常使用P(A|B)来表示在事件B发生的情况下事件A发生的概率。
例如，假设我们有一副扑克牌，事件A表示从中抽取一张黑桃，事件B表示从中抽取一张红心。
如果我们已知事件B发生，也就是已知从中抽取的牌是一张红心，那么事件A发生的概率就会发生变化。
因为已经抽出了一张红心，所以扑克牌中剩余的牌中，黑桃的比例就会减少，从而影响到事件A发生的概率。
3. 独立性与条件概率的关系独立性和条件概率是密切相关的概念。
如果事件A和事件B是相互独立的，那么在已知事件B发生的情况下，事件A的发生概率仍然保持不变，即P(A|B) = P(A)。
这是因为独立事件的发生与其他事件的发生无关，所以在已知事件B发生的情况下，不会对事件A的发生概率造成影响。
然而，如果事件A和事件B不是相互独立的，那么在已知事件B 发生的情况下，事件A的发生概率会发生变化，即P(A|B) ≠ P(A)。
这是因为事件B的发生会对事件A的发生概率产生影响，所以在已知事件B发生的情况下，事件A的发生概率会有所不同。
总结：随机事件的独立性与条件概率是概率论中重要的概念。
事件的独立性与条件概率
事件的独立性与条件概率事件的独立性与条件概率是概率论中非常重要的概念，它们的理解与应用在各个领域都具有广泛的意义。
在本文中，我将探讨事件的独立性和条件概率的概念及其关系。
一、事件的独立性事件的独立性是指两个或多个事件之间的发生与否互不影响。
换句话说，当两个或多个事件独立发生时，它们的概率乘积等于它们各自发生的概率之积。
以掷硬币为例，假设我们掷两枚硬币，事件A表示第一枚硬币为正面，事件B表示第二枚硬币为正面。
如果两个事件相互独立，那么P(A∩B) = P(A)×P(B)。
也就是说，第一枚硬币为正面的概率与第二枚硬币为正面的概率乘积等于两枚硬币都为正面的概率。
二、条件概率条件概率是在已知一个或多个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
通常表示为P(A|B)，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
仍以掷硬币为例，事件A表示第一枚硬币为正面，事件B表示两枚硬币都为正面。
如果已知第一枚硬币为正面，即事件A已经发生，那么事件B的概率会发生变化，变成了P(B|A)。
这时，我们可以用条件概率的公式计算出P(B|A)。
三、事件的独立性与条件概率的关系事件的独立性与条件概率有着密切的关系。
当两个事件A和B是相互独立的时候，P(A|B) = P(A)，也就是说，当事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率与事件B未发生时的概率相等。
反过来讲，如果已知事件B发生，且P(A|B) = P(A)，那么事件A 与事件B就是相互独立的。
因此，可以通过条件概率的计算来判断事件之间的独立性。
四、应用举例事件的独立性与条件概率在实际应用中有许多重要的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 疾病诊断：在医学领域，独立性与条件概率可以用于判断多个疾病的共同发生概率。
例如，根据患者的症状，通过条件概率可以计算出某种疾病的患病概率。
2. 金融风险评估：在金融领域，独立性与条件概率可以用于评估投资组合的风险。
通过将不同资产之间的独立性与条件概率应用到投资组合的构建中，可以更准确地评估风险和收益。
事件的相互独立性与条件概率
TANJIUHEXINTIXING
探究核心题型
题型一 条件概率
例1 (1)某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示.公司规
定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位.记事件A
为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B为“员工小李的
车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)等于
思维升华
求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率 之积. (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手 计算.
跟踪训练2 溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注
和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定
条件下，第二次拿到红球的概率为
√ 3
1
3
2
A.10 B.3 C.8 D.9
设A＝{甲第一次拿到白球}， B＝{甲第二次拿到红球}， 则 P(AB)＝AA12A21013＝115，P(A)＝CC11120＝15， 所以 P(B|A)＝PPAAB＝13.
思维升华
求条件概率的常用方法 (1)定义法：P(B|A)＝PPAAB . (2)样本点法：P(B|A)＝nAB .
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立.( × ) (2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B).( √ )
(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”为事件A，“第2枚为正
面”为事件B，则A，B相互独立.( √ )
第十章
考试要求
1.了解两个事件相互独立的含义. 2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.
事件的独立性与条件概率
事件的独立性与条件概率无论事件的独立性如何，条件概率都是一个非常重要的概念。
它的定义是指在某种情况下，某个特定事件发生的概率。
因此，它提供了一种有效的方法来评估特定事件发生的可能性。
它对于对抗风险和机会的筛选也有用，以最大化益处和承担最小的损失。
事件的独立性是指发生某个特定事件是否受到之前发生事件的影响。
如果一个事件发生后，它不会影响其他事件发生的概率，那么它就是独立的。
例如，如果我们将一组随机10个数字抛到空中，其中的每一个数字的概率是一样的，这意味着它们是独立的，并且一个数字出现的可能性不会影响其他数字出现的可能性。
因此，事件的独立性与条件概率关系密切，它们是相互建立起来的。
独立性提供了一种可能性，即某个特定事件可能受到之前发生的其他事件的影响，而条件概率则是确定某个特定事件发生的可能性的概念。
因此，事件的独立性与条件概率之间的关系可以用来计算某个特定事件发生的概率。
在统计学中，事件的独立性与条件概率的关系被称为贝叶斯定理。
它表明，当计算某个特定事件发生的可能性时，必须考虑之前发生的事件，以提高可能性的准确性。
德尔菲法则是一种应用这一原理的工具，它可以帮助识别不同事件之间的相互关系，也可以帮助更准确地计算某个特定事件发生的概率。
总之，事件的独立性与条件概率是一种有效的方法，用于评估特定事件发生的可能性，从而确定抗风险和机会的筛选结果。
它可以在决策中起到重要的作用，帮助人们更准确的承担风险和挖掘开拓互助合作的机会。
此外，条件概率也可以用在机器学习中，有些非常复杂的机器学习模型将使用条件概率作为其特征抽取的一部分，可以更快地对数据进行分析。
例如，当分析一个单词在句子中出现的概率时，可以使用条件概率来计算。
此外，条件概率也可以应用于语音识别，它可以从大量的音频数据中提取信号特征，从而更准确地识别某个声音是什么。
例如，条件概率可以用于根据给定声音识别相应的单词或文本，并且可以用于解决有限数据集中的不平衡分类问题。
§12.7 条件概率与事件的独立性汇总
第十二章 统计与概率§12.7 条件概率与事件的独立性【知识回顾】1．条件概率及其性质(1)相互独立的定义：事件A 是否发生对事件B 发生的概率__________，即__________这时，称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件． (2)概率公式：3.(1)独立重复试验：①定义：在__________条件下，__________做n 次试验，各次试验的结果__________，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．②概率公式：在一次试验中事件A 发生的概率为p ，则n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )． (2)二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数第170页设为X ，事件A 不发生的概率为q ＝1－p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝__________，其中k ＝0,1,2，…，n .于是X 的分布列：若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝npq ．参考答案：1．事件A 发生，事件B 发生，P (B |A )，P (A )，A ∩B 2.(1)没有影响，P (B |A )＝P (B )．3.(2)概率公式：P (A )×P (B )，P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n ) 3.(1)①相同的，重复地，相互独立，(2)C k n p k q n －k ，C 0n p 0q n C 1npq n－1C n np n q 0 X ～B (n ，p )．【基础训练】1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．(×)(2)相互独立事件就是互斥事件．(×)(3)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．(×)(4)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (BA )表示事件A ，B 同时发生的概率．(√)2．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为( ) A.38 B.27 C.28 D.37解析 第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为27.答案 B3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是( )A.12125B.16125C.48125D.96125解析 每1粒发芽的概率为定值，播下3粒种子相当于做了3次重复试验，用X 表示发芽的粒数，独立重复试验服从二项分布，即B ～⎝⎛⎭⎫3，45，P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫452×⎝⎛⎭⎫151＝48125. 答案 C4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
高中数学 第2章 概率 2.2 条件概率与事件的独立性 2.2.1 条件概率 2.2.2 事件的独立
2．2.1 条件概率 2．2.2 事件的独立性1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解条件概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式．3．能利用概率公式解决实际问题．1．条件概率(1)定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“P (B |A )”来表示，读作“A 发生的条件下B 发生的概率”．类似地，事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率记为“P (A |B )”，读作“B 发生的条件下A 发生的概率”．(2)事件的交(或积)由事件A 和B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与B 的交(或积)，记作D ＝A ∩B (或D ＝AB )．(3)条件概率计算公式 一般地，条件概率公式为P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）(P (A )＞0)，类似地，P (A |B )＝P （A ∩B ）P （B ）(P (B )＞0)．2．相互独立事件(1)定义：一般地，事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即P (B |A )＝P (B )，则称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．若n 个事件A 1，A 2，…，A n ，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称这n 个事件相互独立．(2)相互独立事件的性质一般地，若事件A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． (3)相互独立事件同时发生的概率①两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P (A ∩B )＝P (A )×P (B )．②如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1∩A 2∩…∩A n )＝P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n )并且上式中任意多个事件A i 换成其对立事件后，等式仍成立．1．判断(对的打“√”，错的打“×”) (1)若事件A 、B 互斥，则P (B |A )＝1.( ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )(3)“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．已知P (AB )＝310，P (A )＝35，则P (B |A )为( )A.950 B.12 C.910D.14答案：B3．甲、乙两人各射击一次，他们各自击中目标的概率都是0.6，则他们都击中目标的概率是( )A ．0.6B ．0.36C ．0.16D ．0.84答案：B4．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．答案：0.95求条件概率[学生用书P26]在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．【解】 设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A ∩B .(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为A 25＝20. 根据分步乘法计数原理，事件A 的总数为A 13×A 14＝12. 故P (A )＝1220＝35.(2)因为事件A ∩B 的总数为A 23＝6. 所以P (A ∩B )＝620＝310.(3)法一：由(1)、(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝31035＝12.法二：因为事件A ∩B 的总数为6，事件A 发生的总数为12，所以P (B |A )＝612＝12.利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P (AB )和P (A )． (2)将它们相除得到条件概率P (B |A )＝P （AB ）P （A ），这个公式适用于一般情形，其中AB 表示A ，B 同时发生．设10件产品中有4件不合格，从中任意取出2件，那么在所取得的产品中发现有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设事件A 为“在所取得的产品中发现有一件不合格品”，事件B 为“另一件产品也是不合格品”，则P (A )＝C 14C 16C 210＝4×6×210×9＝815，P (A ∩B )＝C 24C 210＝215.因此P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝14.相互独立事件的判断判断下列各对事件是不是相互相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．【解】 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2，4，6}，B ＝{3，6}，AB ＝{6}， 所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16，所以P (A ∩B )＝P (A )·P (B )， 所以事件A 与B 相互独立．判断两事件的独立性的方法(1)定义法：如果事件A ，B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率的积，则事件A ，B 为相互独立事件．(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (3)当P (A )＞0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件， 由等可能性知概率各为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， A ∩B ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (A ∩B )＝12.由此可知P (A ∩B )≠P (A )P (B )，所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件， A ∩B 中含有3个基本事件．于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (A ∩B )＝38，显然有P (A ∩B )＝38＝P (A )P (B )成立．从而事件A 与B 是相互独立的．求相互独立事件的概率甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：(1)2个人都译出密码的概率； (2)2个人都译不出密码的概率； (3)至多1个人译出密码的概率；【解】 记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码”为事件B ，A 与B 为相互独立事件，且P (A )＝13，P (B )＝14.(1)“2个人都译出密码”的概率为：P (AB )＝P (A )·P (B )＝13×14＝112.(2)“2个人都译不出密码”的概率为：P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )]×[1－P (B )]＝(1－13)×(1－14)＝12.(3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－13×14＝1112.在本例条件下，求：(1)恰有1个人译出密码的概率； (2)至少1个人译出密码的概率．解：(1)“恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：P (A B －∪A －B )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B ) ＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝512. (2)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”，所以至少1个人译出密码的概率为：1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝1－23×34＝12.与相互独立事件有关的概率问题求解策略一般地，已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P (A )，P (B )，那么：A ，B 互斥 A ，B 相互独立P (A ＋B ) P (A )＋P (B )1－P (A －)P (B －)P (AB ) 0P (A )P (B ) P (A －B －)1－[P (A )＋P (B )]P (A －)P (B －)某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．解：记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0，1，2，3)，(1)三人都合格的概率：P 3＝P (ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝25×34×13＝110. (2)三人都不合格的概率：P 0＝P (A －B －C －)＝P (A －)·P (B －)·P (C －)＝35×14×23＝110. (3)恰有两人合格的概率：P 2＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率：P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合第一问、第二问、第三问可知P 1最大． 所以出现恰有1人合格的概率最大．相互独立事件的综合应用在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率． (2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列．【解】 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.因为事件A 与B 相互独立，所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B －)＝P (A )·P (B －)＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415.(或P (A B －)＝C 12·C 34C 23·C 35＝415)． (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝C 24C 35＝35，因为X 可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝P (A －B －C －)＝13×25×25＝475，P (X ＝1)＝P (A B － C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075， P (X ＝2)＝P (A B C －)＋P (A －BC )＋P (A B －C )＝23×35×25＋13×35×35＋23×25×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P475207533751875概率问题中的数学思想(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P (A )＋P (A －)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为互独事件)．(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．解：记“三个元件T 1，T 2，T 3正常工作”分别为事件A 1，A 2，A 3， 则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，P (A 3)＝34，不发生故障的事件为(A 2∪A 3)A 1，P ＝P [(A 2∪A 3)A 1]＝P (A 2∪A 3)·P (A 1) ＝[1－P (A 2)·P (A 3)]·P (A 1) ＝(1－14×14)×12＝1532.————————————————————————————————————————————————1．求条件概率的方法(1)利用定义，分别求P (A )和P (A ∩B )，得P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n （A ∩B ）n （A ）.2．判定两个事件相互独立的方法(1)定义法：如果A 、B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率的积，则事件A 、B 为相互独立事件．(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．3．事件A 、B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )．注意与事件互斥区别．1．求复杂事件的概率时，先判断事件间的关系，是互斥还是独立，特别对“至多”“至少”等问题，可分成互斥事件求概率，也可用对立事件求概率．2．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义，已知两个事件A 、B ，它们的概率分别为P (A )、P (B )，那么：A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； A 、B 都发生的事件为AB ；A 、B 都不发生的事件为A －B －；A 、B 恰有一个发生的事件为A B －∪A －B ；A 、B 中至多有一个发生的事件为A B －∪A －B ∪A －B －.1．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝38，则P (A )等于( )A.316B.1316C.34D.14解析：选C.由P (AB )＝P (A )P (B |A )可得P (A )＝34.2．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12，现3人各投篮1次，则3人都没有投进的概率为( )A.115 B.215C.15D.110解析：选C.甲、乙、丙3人投篮相互独立，都不进的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝15.3．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为________．解析：设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16C 27，P (AB )＝1C 27，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝16.答案：16[A 基础达标]1．设A 与B 是相互独立事件，则下列事件中不相互独立的是( ) A ．A 与B －B.A －与B C.A －与B －D ．A 与A －解析：选D.A 、B 、C 选项的两事件相互独立，而A 与A －是对立事件，不是相互独立事件． 2．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )A ．0.2B ．0.33C ．0.5D ．0.6解析：选A.A ＝“数学不及格”，B ＝“语文不及格”，P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.030.15＝0.2，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.3．7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是( ) A.14 B.15 C.16D.17解析：选C.记“甲站在中间”为事件A ，“乙站在末尾”为事件B ，则n (A )＝A 66，n (AB )＝A 55，P (B |A )＝A 55A 66＝16.4．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率解析：选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A 、B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A 、B 相互独立，所以1－P (A －)P (B －)＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．5．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y (若指针停在边界上则重新转)，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )A.116B.18C.316D.14解析：选C.满足xy ＝4的所有可能如下：x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1.所以所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋ P (x ＝4，y ＝1)＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 6．已知有两台独立在两地工作的雷达，它们发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则两台雷达都未发现飞行目标的概率为________．解析：所求概率为(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015. 答案：0.0157．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 解析：设此队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，所以p ＝35.答案：358．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．解析：设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D ＝B ∪C ，且B 与C 互斥， 又P (A )＝C 12C 14C 25＝45，P (AB )＝C 12C 11C 25＝15，P (AC )＝C 12C 12C 25＝25，故P (D |A )＝P (B ∪C |A ) ＝P (B |A )＋P (C |A ) ＝P （AB ）P （A ）＋P （AC ）P （A ）＝34.答案：349．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45、56、23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 45×56×(1－23)＝29， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×(1－56)×23＝445， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为 (1－45)×56×23＝19，所以恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为 (1－45)×(1－56)×(1－23)＝190，所以至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.10．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率．(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C 28＝28，这2个产品都是次品的事件数为C 23＝3.所以这2个产品都是次品的概率为328.(2)设事件A 为“从乙箱中取一个正品”，事件B 1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B 2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B 3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B 1、事件B 2、事件B 3彼此互斥．P (B 1)＝C 25C 28＝514，P (B 2)＝C 15C 13C 28＝1528，P (B 3)＝C 23C 28＝328，P (A |B 1)＝69，P (A |B 2)＝59，P (A |B 3)＝49，所以P (A )＝P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)·P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3) ＝514×69＋1528×59＋328×49＝712. [B 能力提升]11．抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A ＝{2，3，5}，B ＝{1，2，4，5，6}，则P (A |B )等于( )A.25B.12C.35D.45解析：选A.因为A ∩B ＝{2，5}，所以n (AB )＝2. 又因为n (B )＝5，故P (A |B )＝n （AB ）n （B ）＝25.12．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )＝________．解析：由题意，P (A －)·P (B －)＝19，P (A －)·P (B )＝P (A )·P (B －)．设P (A )＝x ，P (B )＝y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（1－y ）＝19，（1－x ）y ＝x （1－y ）. 即⎩⎪⎨⎪⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y ， 所以x 2－2x ＋1＝19，所以x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，所以x ＝23.答案：2313．一只口袋内装有2个白球和2个黑球．求：(1)在先摸出1个白球不放回的条件下，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是多少？ 解：(1)记A ＝“先摸出一个白球不放回”，B ＝“再摸出一个球为白球”， 则AB ＝“先后两次摸到白球”． 因为P (A )＝24＝12，P (A ∩B )＝A 22A 24＝16，所以P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝13.(2)记A 1＝“先摸出一个白球放回”，B 1＝“再摸出一个球为白球”， 则AB 1＝“先后两次摸到白球”． 因为P (A 1)＝24＝12，P (A 1∩B 1)＝2×24×4＝14，所以P (B 1|A 1)＝P （A 1∩B 1）P （A 1）＝12.14．(选做题)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.求：(1)恰有一名同学当选的概率； (2)至多有两人当选的概率．解：设甲，乙，丙当选分别为事件A ，B ，C ， 则有P (A )＝45，P (B )＝35，P (C )＝710.(1)因为事件A ，B ，C 相互独立， 所以恰有一名同学当选的概率为P (A ∩B －∩C －)＋P (A －∩B ∩C －)＋P (A －∩B －∩C )＝P (A )P (B －)P (C －)＋P (A －)P (B )P (C －)＋P (A －)P (B －)P (C ) ＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710 ＝47250. (2)至多有两人当选的概率为 1－P (A ∩B ∩C )＝1－P (A )P (B )P (C )4 5×35×710＝83125.＝1－。
条件概率与事件的独立性
＝0.648.
(2)X的可能取值为2,3. 由于各局比赛结果相互独立，所以
P(X＝2)＝P(A3A4∪B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4) ＝0.6×0.6＋0.4×0.4 ＝0.52， P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－0.52＝0.48.
X的分布列为
[题组自测] 3 3 1．(2010· 南京三月模拟)已知P(AB)＝ ，P(A)＝ ，则 10 5 P(B|A)等于________．
PAB 3 5 1 解析：P(B|A)＝ ＝ × ＝ . PA 10 3 2
1 答案： 2
2．某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女
生40人；来自北京的有20人，其中男生12人，若
[归纳领悟] 1．若事件A、B相互独立，则A与 B 、 A 与B、 A 与 B 也都 相互独立． 2．要正确理解含有“恰好”“至少”“至多”等词的相 互独立事件的含义，恰当分类． 3．对于“至少”“至多”型问题，可考虑对立事件求其 概率.
[题组自测]
1．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概
此时称随机变量X服从参数为n、p的二项分布， 记作 X～B(n，p) ．
[究 疑 点] 1．条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？
提示： P(B|A)是在A发生条件下B发生的概率．
P(A|B)是在B发生条件下A发生的概率，不一样． 2．“相互独立”与“事件互斥”有何不同？ 提示：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两 事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生 的概率没有影响．两事件相互独立不一定互斥．
1 P(X＝1)＝C4×0.4×(1－0.4)3＝0.345 6， 2 P(X＝2)＝C4×0.42×(1－0.4)2＝0.345 6， 3 P(X＝3)＝C4×0.43×(1－0.4)＝0.153 6，
条件概率与独立性
条件概率与独立性1、条件概率：一般地，若有两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下考虑事件A发生的概率，则称此概率为B 已发生的条件下A的条件概率。
记作：P(A|B)。
2、事件的积的概率：两个事件A、B同时发生时，其概率通常称为事件A与事件B的积的概率。
记作：P(A∩B)或P(AB)。
3、条件概率的有关计算：P(A|B)＝P(A B)/ P(B)；P(AB)＝P(A|B)·P(B)＝P(B|A)·P(A)。
4、事件的独立性：若事件A、B满足P(A|B)＝P(A)，即事件B的发生不影响事件A发生的概率(同样，事件A发生也不影响事件B发生的概率，即P(B|A)＝P(B))，则称事件A、B互相独立。
5、当事件A、B 互相独立时，P(AB)＝P(A)·P(B)。
若有n个事件(n＞2)互相独立，则有P(A1A2……A n)＝P(A1)·P(A2)·……·P(A n)。
例1：将一枚硬币抛掷两次，事件A表示两次正面向上，事件B表示至少有一次正面向上，求P(A)、P(B)、P(A B)、P(A|B)、P(B|A)。
例2：抛掷一颗质地均匀的骰子所得点数的样本空间记为S＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A＝{2，3，4}，B＝{1，2，4，6}，求P(A)、P(A B)、P(A|B)。
例3：如图一所示的正方形被平均分成A、B、C、D、E、F、G、H、I九个部分，向大正方形区域随机投掷一个点(每次均能投中)，若投中左侧3个小正方形区域(即A、B、C)的事件记作M，投中最上面三个小正方形及正中间的一个小正方形事件(即A、D、G、E)，记作N，求P(MN)、P(M|N) 。
例4：在一个盒子中有大小相同的10个红球和10个白球，求第一个人摸出一个红球(不放回)，第 2 个人摸出一个白球的概率。
例5：连续抛掷一枚硬币n次(n＞2)，若前n－1次均为正面，求第n次出现反面的概率。
计算概率的条件概率与事件独立性
计算概率的条件概率与事件独立性在概率理论中，条件概率和事件的独立性是两个重要的概念。
它们在计算概率、统计分析和决策制定等领域中有广泛的应用。
本文将介绍条件概率和事件的独立性的概念、性质及其应用。
一、条件概率的概念与性质在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在条件B下的条件概率，记作P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。
条件概率的计算公式如下：P(A∩B)P(A|B) = ───────────────────P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率具有以下重要性质：1.非负性：对于任意事件A和B，条件概率P(A|B) ≥ 0；2.单位概率：当B是必然事件（P(B) = 1）时，条件概率P(A|B) = P(A)；3.互斥概率：当事件A与事件B互斥时，条件概率P(A|B) = 0。
二、事件的独立性的概念与性质事件A和事件B的独立性是指事件A的发生与否不受事件B的发生与否的影响，即P(A|B) = P(A)或P(B|A) = P(B)。
换句话说，事件A和事件B的独立性意味着它们的条件概率与边际概率相等。
事件的独立性具有以下重要性质：1.对称性：如果事件A与事件B独立，那么事件B与事件A也独立；2.自反性：事件A与自身独立；3.传递性：如果事件A与事件B独立，事件B与事件C独立，则事件A与事件C独立。
三、条件概率与事件独立性的应用条件概率和事件独立性在实际问题中有着广泛的应用，以下举几个例子。
1.生活中的应用假设某地区有50%的男性和50%的女性，有10%的人患有某种疾病。
已知患病率在男性中为5%，在女性中为15%。
现在我们来计算一个人是男性的条件下，他患病的概率。
根据条件概率的定义，可以得到： P(男性∩患病)P(患病|男性) = ────────────────── = ───── = 0.1P(男性）这个例子中，我们使用了条件概率来计算一个人是男性的条件下，他患病的概率。
条件概率与事件的独立性
条件概率与事件的独立性概率论中的条件概率和事件的独立性是两个基本概念，它们在统计学、机器学习等领域中具有重要的应用。
条件概率用于描述在给定另一个事件发生的条件下，某个事件发生的概率；而事件的独立性则描述了两个或多个事件之间的相互独立性。
在本文中，我们将深入探讨条件概率与事件的独立性的概念、性质以及应用。
一、条件概率条件概率是在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
用数学符号表示为P(A|B)，读作"A在B发生的条件下发生的概率"。
其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的概念在实际问题中广泛应用。
例如，假设一批产品中有10%的次品，现在从这批产品中随机抽取一件，已知这件产品是次品，求其实际上是某个特定厂家生产的概率。
这个问题就可以利用条件概率来求解，假设事件A表示该产品是某个特定厂家生产的事件，事件B表示这件产品是次品的事件，那么我们需要求解的就是P(A|B)。
二、事件的独立性事件的独立性是指两个或多个事件之间的发生没有相互影响，即一个事件的发生与否不会改变其他事件发生的概率。
具体地，对于两个事件A和B，如果满足以下条件，则称事件A和事件B是相互独立的：P(A∩B) = P(A) * P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
事件的独立性在概率论中具有重要的应用。
例如，假设有两个骰子，求它们同时投掷时出现两个特定数字的概率。
我们可以将出现某个特定数字的事件定义为事件A和事件B，利用事件的独立性可以得到P(A∩B) = P(A) * P(B)。
三、条件概率与事件的独立性的关系条件概率与事件的独立性之间存在着紧密的联系。
如果事件A和事件B相互独立，那么有以下关系成立：P(A|B) = P(A)这表示在已知事件B发生的条件下，事件A的发生概率与事件B无关。
概率问题的条件概率与独立性
概率问题的条件概率与独立性概率论是数学的一个分支，研究随机事件的发生及其规律性。
在概率论中，条件概率与独立性是两个重要的概念。
本文将详细讨论条件概率与独立性的概念、性质以及应用。
一、条件概率的概念与计算方法条件概率是指在已知某一事件发生的前提下，另一事件发生的概率。
设A、B是两个事件，且P(A)>0，则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率记为P(B|A)，读作“在A发生的条件下B发生的概率”。
条件概率的计算方法如下：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
二、条件概率的性质1. 乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)。
2. 独立事件的条件概率：对于独立事件A和B，有P(B|A) = P(B)，P(A|B) = P(A)，即事件A的发生与否不影响事件B的概率，反之亦然。
三、独立性的概念与判定方法独立性是指两个事件之间的发生与否相互独立，即一个事件的发生不受另一个事件的影响。
设A、B是两个事件，如果满足P(A∩B) =P(A) × P(B)，则称事件A和事件B是独立事件，简写为A⊥B。
判定事件的独立性可以通过以下方法：1. 乘法法则：若P(A) × P(B) = P(A∩B)，则可以推断A与B是独立事件。
2. 条件概率的性质：若P(B|A) = P(B)，则A与B是独立事件。
四、条件独立性的概念与判定方法条件独立性是指在已知某一条件的前提下，两个事件之间仍然相互独立。
设A、B、C是三个事件，若满足P(A∩B|C) = P(A|C) × P(B|C)，则称事件A和事件B在条件C下是条件独立的，简写为A⊥B|C。
我们可以通过以下方法判断事件的条件独立性：若满足P(A∩B|C) = P(A|C) × P(B|C)，则可以推断在条件C下事件A 与事件B是条件独立的。
12.5条件概率与事件的独立性
1．条件概率及其性质条件概率的定义条件概率公式对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“P(B|A)”表示P(B|A)＝P(A∩B)P(A)，其中P(A)>0，A∩B称为事件A与B的交(或积).2.事件的独立性(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B)．这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．(2)概率公式：条件公式A，B相互独立P(A∩B)＝P(A)×P(B)A1，A2，…，A n相互独立P(A1∩A2∩…∩A n)＝P(A1)×P(A2)×…×P(A n)3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验①定义：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验．②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．(2)二项分布在n次独立重复试验中，事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝C k n p k qn －k，其中k ＝0,1,2，…，n .于是得到X 的分布列： X 01… k… nPC 0n p 0q nC 1npq n －1 …C k n p k qn －k…C n n p n q 0此时称离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( × ) (2)相互独立事件就是互斥事件．( × )(3)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( × )(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n 二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( × ) (5)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率．( √ ) (6)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝C 13·⎝⎛⎭⎫131·⎝⎛⎭⎫1－133－1＝49.( × )1．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为( ) A.38 B.27 C.28 D.37答案 B解析 第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为27.2．(2014·课标全国Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.45 答案 A解析 已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8.3.如图，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8，0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576答案 B解析 方法一 由题意知K ，A 1，A 2正常工作的概率分别为P (K )＝0.9，P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.8， ∵K ，A 1，A 2相互独立，∴A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96.∴系统正常工作的概率为P (K )[P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)]＝0.9×0.96＝0.864. 方法二 A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为1－P (A 1A 2)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，故系统正常工作的概率为P (K )[1－P (A1A 2)]＝0.9×0.96＝0.864.4．(2015·南京模拟)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 答案 35解析 设该队员每次罚球的命中率为p ，则依题意有1－p 2＝1625，即p 2＝925.又0<p <1，故p ＝35.5．(教材改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________． 答案 12解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，又P (A B )＝P (A )·P (B )＝[1－P (A )][1－P (B )]＝(1－13)(1－14)＝12，“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”，所求概率为1－P (A B )＝1－12＝12.题型一 条件概率例1 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( ) A.18 B.14 C.25 D.12(2)如图所示，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.答案 (1)B (2)14解析 (1)P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14. (2)AB 表示事件“豆子落在△OEH 内”， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝△OEH 的面积正方形EFGH 的面积＝14. 引申探究若将本例(1)中的事件B ：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？解 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25， P (B )＝C 23C 25＝310，又A ⊇B ，则P (AB )＝P (B )＝310，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝34. 思维升华 条件概率的求法：(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A )，这是通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). 已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A.310 B.29 C.78 D.79答案 D解析 方法一 设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730，则所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝730310＝79.方法二 第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为C 17C 19＝79. 题型二 相互独立事件的概率例2 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手． (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，“求X ≥2”的事件概率． 解 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”， 则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.∵事件A 与B 相互独立，A 与B 相互独立，则A ·B 表示事件“甲选中3号歌手，且乙未选中3号歌手”． ∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )] ＝23×25＝415． (或P (A B )＝C 12·C 34C 23·C 35＝415)．(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”， 则P (C )＝C 24C 35＝35，依题意，A ，B ，C 相互独立，A ，B ，C 相互独立， 且AB C ，A B C ，A BC ，ABC 彼此互斥． 又P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC ) ＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3375＋1875＝1725.思维升华 解答此类问题的方法技巧 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立； (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．(2015·陕西改编)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T (分钟) 25 30 35 40 频数(次)20304010(1)求T 的分布列；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 解 (1)由统计结果可得T 的频率分布为T (分钟) 25 30 35 40 频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T 的分布列为T 25 30 35 40 P0.20.30.40.1(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同，设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．方法一 P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.方法二 P (A )＝P (T 1＋T 2＞70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40) ＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09， 故P (A )＝1－P (A )＝0.91. 题型三 独立重复试验与二项分布 命题点1 根据独立重复试验求概率例3 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列．解 (1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝23×23×23＝827，P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝827，P (C )＝C 24⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－232×12＝427. (2)X 的可能的取值为0,1,2,3. 则P (X ＝0)＝P (A )＋P (B )＝1627，P (X ＝1)＝P (C )＝427，P (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫1－232×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－12＝427， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫133＋C 23⎝⎛⎭⎫132×23×13＝19. ∴X 的分布列为命题点2 根据独立重复试验求二项分布例4 在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名学生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的分布列．解 (1)设事件A 表示“甲选做第21题”，事件B 表示“乙选做第21题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB ＋A B ，且事件A 、B 相互独立． 故P (AB ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×12＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－12＝12. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4， 且ξ～B (4，12)，则P (ξ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫12k ⎝⎛⎭⎫1－124－k ＝C k 4⎝⎛⎭⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． 故变量ξ的分布列为思维升华 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率．(2)根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率．(2014·四川改编)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列． (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为X 10 20 100 －200 P38381818(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是511512.20．独立事件概率求解中的易误点典例 (12分)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．易错分析 解本题第(2)问易因不明独立事件与独立重复试验的区别，误认为是n 次独立重复试验，可导致求得P ＝C 35(23)3×(13)2＝80243这一错误结果． 规范解答解 (1)设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫5，23.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P (X ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－233＝40243.[2分] (2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则 P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A1A 2A 3A 4A 5)＝⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233＝881.[4分] (3)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3)． 由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.[5分] P (ξ＝0)＝P (A1A2A 3)＝⎝⎛⎭⎫133＝127；P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝23×⎝⎛⎭⎫132＋13×23×13＋⎝⎛⎭⎫132×23＝29； P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427；P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3) ＝⎝⎛⎭⎫232×13＋13×⎝⎛⎭⎫232＝827；P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827.[11分] 所以ξ的分布列是[12分]温馨提醒 (1)正确区分相互独立事件与n 次独立重复试验是解决这类问题的关键．独立重复试验是在同一条件下，事件重复发生或不发生．(2)独立重复试验中的概率公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k 表示的是n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率，p 与1－p 的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A 有k 次不发生的概率．[方法与技巧]1．古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝n (AB )n (A )，其中，在实际应用中P (B |A )＝n (AB )n (A )是一种重要的求条件概率的方法． 2．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P (AB )＝P (A )P (B )．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．3．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次可看作是C k n 个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k 个A 事件与n －k 个A 事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k (1－p )n －k .因此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为C k n p k (1－p )n －k. [失误与防范]1．运用公式P (AB )＝P (A )P (B )时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A 、B 相互独立时，公式才成立． 2．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意“恰好”与“至多(少)”的关系，灵活运用对立事件.A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．已知A ，B 是两个相互独立事件，P (A )，P (B )分别表示它们发生的概率，则1－P (A )P (B )是下列哪个事件的概率( ) A ．事件A ，B 同时发生 B ．事件A ，B 至少有一个发生 C ．事件A ，B 至多有一个发生 D ．事件A ，B 都不发生 答案 C解析 P (A )P (B )是指A ，B 同时发生的概率，1－P (A )·P (B )是A ，B 不同时发生的概率，即事件A ，B 至多有一个发生的概率．2．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( ) A.34B.23C.45D.710答案 A解析 设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，“丙命中目标”为事件C ，则击中目标表示事件A ，B ，C 中至少有一个发生．又P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )]＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率P ＝1－P (A B C )＝34.3．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( ) A ．C 1012(38)10(58)2B ．C 912(38)9(58)238 C ．C 911(58)2(38)2 D ．C 911(38)10(58)2 答案 D解析 由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于每次取到红球的概率为38，所以P (X ＝12)＝C 911⎝⎛⎭⎫389×⎝⎛⎭⎫582×38. 4．设随机变量X 服从二项分布X ～B (5，12)，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( )A.56B.45C.3132D.12 答案 C解析 ∵函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点， ∴Δ＝16－4X ≥0，∴X ≤4. ∵X 服从X ～B (5，12)，∴P (X ≤4)＝1－P (X ＝5)＝1－125＝3132.5．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512 C.14 D.16 答案 B解析 设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品； 事件B ：乙实习生加工的零件为一等品， 则P (A )＝23，P (B )＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝23×(1－34)＋(1－23)×34＝512. 6．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________． 答案 0.72解析 设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B (发芽又成活为幼苗)． 依题意P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9.根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 7．设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝________.答案1927解析 ∵X ～B (2，p )，∴P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02(1－p )2＝59， 解得，p ＝13.又Y ～B (3，p )，∴P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－C 03(1－p )3＝1927. 8．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人，且各人之间互不影响，有下列结论：①3位病人都被治愈的概率为0.93； ②3人中的甲被治愈的概率为0.9；③3人中恰有2人被治愈的概率是2×0.92×0.1； ④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.12； ⑤3人中恰好有2人被治愈，且甲被治愈的概率是0.92×0.1. 其中正确结论的序号是________．(把正确的序号都填上) 答案 ①②④9．某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为13，该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比． (1)设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；(2)若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P (A )． 解 (1)依题意知X ～B (4，13)，P (X ＝0)＝C 04(13)0(1－13)4＝1681， P (X ＝1)＝C 14(13)1(1－13)3＝3281， P (X ＝2)＝C 24(13)2(1－13)2＝2481， P (X ＝3)＝C 34(13)3(1－13)1＝881， P (X ＝4)＝C 44(13)4(1－13)0＝181. ∴X 的分布列为(2)设A i 表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1,2. B i 表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1,2. 依题意知P (A 1)＝P (B 1)＝0.1， P (A 2)＝P (B 2)＝0.3，A ＝A 1B 1∪A 1B 1∪A 1B 1∪A 2B 2， 所求的概率为P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 2B 2) ＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2) ＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3 ＝0.28.10．(2014·陕西)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X 表示在这块地上种植1(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．解 (1)设A 表示事件“作物产量为300 kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6 元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本．∴X 所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800.P (X ＝4 000)＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3， P (X ＝2 000)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 所以X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知， P (C i )＝P (X ＝4 000)＋P (X ＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)， 3季的利润均不少于2 000元的概率为 P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为 P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3) ＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11．设两个独立事件A 和B 同时不发生的概率是p ，A 发生B 不发生与A 不发生B 发生的概率相同，则事件A 发生的概率为( ) A ．2p B.p2 C ．1－p D ．1－2p答案 C解析 根据题意，设事件A 发生的概率为a ，事件B 发生的概率为b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )(1－b )＝p ， ①a (1－b )＝(1－a )b . ② 由②知a ＝b ，代入①即得a ＝1－p .12．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( ) A ．C 57×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫235 B ．C 27×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫135C ．C 57×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫135 D ．C 27×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫235答案 B解析 由S 7＝3知，在前7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为23，摸取白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫135，故选B. 13．先后掷骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6)两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y .设事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数，且x ≠y ”，则概率P (B |A )＝________. 答案 13解析 由题意知P (A )＝P (x 是偶数)·P (y 是偶数)＋P (x 是奇数)·P (y 是奇数)＝12×12＋12×12＝12.记事件AB 表示“x ＋y 为偶数，x ，y 中有偶数，且x ≠y ”即“x 、y 都是偶数且x ≠y ”，所以P (AB )＝16，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13.14．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲，乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列． 解 依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有k 人去参加甲游戏”为事件A k (k ＝0,1,2,3,4)．则P (A k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫234－k . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为 P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133×23＋C 44⎝⎛⎭⎫134 ＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.所以ξ的分布列是15.现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． (1)求该射手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分X 的分布列．解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D . 由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝B C D ∪B C D ∪B C D ， 根据事件的独立性和互斥性，得P (A )＝P (B C D ∪B C D ∪B C D ) ＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝736. (2)根据题意知，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性，得 P (X ＝0)＝P (B C D ) ＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝136. P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D ) ＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝112，P (X ＝2)＝P (B C D ∪B C D )＝P (B C D )＋P (B C D ) ＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23 ＝19， P (X ＝3)＝P (BC D ∪B C D )＝P (BC D )＋P (B C D ) ＝34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝13， P (X ＝4)＝P (B CD )＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×23＝19， P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为。
随机事件的独立性与条件概率
随机事件的独立性与条件概率随机事件的独立性和条件概率是概率论中的重要概念，它们在统计学和实际应用中有着广泛的应用。
了解和理解这些概念对于正确分析和解释随机事件具有重要意义。
首先，我们来看随机事件的独立性。
两个事件A和B被称为独立事件，当且仅当事件A的发生与事件B的发生是相互独立的，即事件A的发生与事件B的发生没有任何关联。
数学上可以用概率的乘法定理来描述独立事件的概率关系。
假设事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B)，则当且仅当P(A∩B) = P(A) × P(B)时，事件A和B是独立的。
例如，假设我们有一副扑克牌，抽出一张牌的事件A是抽出红心，抽出一张牌的事件B是抽出Q牌。
如果P(A) = 1/4，P(B) = 1/13，而P(A∩B) = 1/52，则事件A 和B是独立的，因为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
另外一个重要的概念是条件概率。
条件概率是指在已经发生了某个事件的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作“在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率”。
条件概率可以通过概率的除法定理来计算。
假设事件A和事件B是两个不独立的事件，则P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
以前面的例子为例，已经抽出的牌是红心的条件下，抽出Q牌的概率即为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
根据前面的数据，我们可以计算得到P(B|A) = (1/52) / (1/4) = 1/13，即在已经抽出红心的条件下，抽出Q牌的概率为1/13。
通过条件概率的概念，我们可以进一步引入贝叶斯公式。
贝叶斯公式是一种计算条件概率的方法，它是由英国数学家贝叶斯提出的。
贝叶斯公式可以用于计算在一些已知条件下，另一个事件发生的概率。
贝叶斯公式可以表示为P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)。
贝叶斯公式的应用非常广泛，例如在医疗诊断、信号处理和机器学习等领域中都有重要的应用。
条件概率与事件的独立性
有可能结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素, 它们的出现是等 可能的, 其中只有 1个在集A中，
于是P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B)116 P(AB) 3 36 P(B)
又如，10件产品中有7件正品，3件次品， 7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这 10件中任取一件，记
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
由于 A2 A1A2
由乘法公式
因为若第2个人抽到
了入场券，第1个人
P (A 2)P (A 1 )P (A 2|A 1 ) 肯定没抽到.
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1 个人未抽到，
计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须 第1、第2个人都没有抽到. 因此
下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
容易证明,若两事件A、B独立，则
A与 B,A与 B,A与 B也相互独立.
证明: 仅证A与 B 独立 概率的性质 P(AB )= P(A-A B)
A、B独立
= P(A)-P(AB)= P(A)-P(A) P(B)
的球具有相同颜色的球.
b个白球, r个红球
解: 设Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4
Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”
用乘法公式容易求出 P(W1W2R3R4)
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
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3．(2009年湖北卷)甲、乙、丙三人将参加某项 测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则 三人都达标的概率是________，三人中至少有一人 达标的概率是________． 解析：三人均达标为0.8×0.6×0.5＝0.24， 三人均不达标为(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04， 三人中至少有一人达标为1－0.04＝0.96. 答案：0.24 0.96
1 PAB A1 · A 47 3 47 P(B|A)＝ ＝ 1 1＝ . A49 49 PA A3·
， 与B， 与
二、条件概率及其性质 1．条件概率的定义：设A，B为两个事件，且 P(A)>0，称P(B|A)＝________为在事件A发生的条 件下，事件B发生的概率．把P(B|A)读作“A发生的 条件下B的概率”．
2．条件概率的性质
(1)条件概率具有一般概率的性质，即 0≤P(B|A)≤1； (2)若B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝ ____________.
条件概率与事件的独立性
知识梳理 一、相互独立事件
1．相互独立事件的定义：事件A(或B)是否发生对事 件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互 独立事件． 若A与B是相互独立事件，则A与 也相互独立．
2．相互独立事件同时发生的概率 P(A· B)＝____________. 若事件A1，A2，…，An相互独立， 则P(A1· A2· …· An) ＝________________________. 答案：一、2.P(A)·P(B) P(A1)·P(A2)·…·P(An)
点评：对于问题3，解法一是依据条件概率的 定义去求；在实际应用中，解法二是一种重要的求 条件概率的方法．
练1．50件产品中有3件次品，不放回地抽取2次，每次抽一 件，已知第一次抽出的是次品，求第二次抽出正品的概率．
解析：解法一：设第1次抽到次品为事件A, 第2次抽到 正品为事件B，则第1次抽到次品和第2次抽到正品为事件AB. 从50件产品中不放回地依次抽取2件的事件数为n(Ω)＝ 根据分步乘法计数原理，
(2)1－P( A · B· C＋A·B · C＋A· B·C ＋A· B· C)
点评：(1)在学习过程中，要善于将较复杂的事件 分解为互斥事件的和及独立事件的积，或者对立事 件． (2)某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对 立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率要注 意“至多”“至少”等题型的转化．
解法二：设第1次抽到次品为事件A, 第2次抽到正品 为事件B，则第1次抽到次品和第2次抽到正品为事件AB.
从50件产品中不放回地依次抽取2件产品第1次抽到次品的 1 1 · A49 ，∵n(AB)＝A1 A1 事件数为 n(A)＝A3 于是在第一次抽到次 3· 47， 品的情况下，第二次抽到正品的概率为
1 P(A)＝P(B)＝P(C)＝ ， 6 53 125 P( A ·B ·C )＝P( A )P( B )P( C )＝ 6 ＝ . 216 125 答：三位同学都没有中奖的概率是 . 216 12 5 13 25 ＝1－3× 6 × － 6 ＝ . 6 27 25 或P( A ·B ·C ＋A·B ·C ＋ A · B·C ＋ A ·B · C)＝ . 27 25 答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为 . 27
(2010年四川卷)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印 有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若 1 其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概 率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮 6 料．
(1)求三位同学都没有中奖的概率；
(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率． 解析：(1)设甲、乙、丙中奖的 事件分别为A、B、C，那么
答案：二、1.
PAB 2.(2)P(B|A)＋P(C|A) PA
1．(2010年辽宁卷)两个实习生每人加工一个
零件，加工为一等品的概率分别为
2 3
和
3 4
，两
个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件 中恰有一个一等品的概率为( )
1 A. 2 5 B. 12 1 C. 4 1 D. 6
(2)∵n(AB)＝A2 4＝4×3＝12， nAB 12 2 ∴P(AB)＝ ＝ ＝ . nΩ 30 5
(3)解法一：由(1)(2)可得，在第一次抽到理科题 的情况下，第二次抽到理科题的概率为
解法二：∵n(AB)＝A2 4＝4×3＝12， 1 1 n(A)＝A4· A5＝20， nAB 12 3 ∴P(B|A)＝ ＝ ＝ . nA 20 5
解析：记两个零件中恰好有一个一等品的 事件为A，则 2 1 1 3 5 P(A)＝P(A1)＋ P(A2)＝ × ＋ × ＝ . 3 4 3 4 12 答案：B
2．在10个球中有6个红球，4个白球(各不相 同)，不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球
5 9 的条件下，第2次也摸出红球的概率是________ ．
例2在6道题中有4道理科题和2道文科题．如果不放回地依次
抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；(源自)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次又抽到理科题的概 率． 解析：设第1次抽到理科题为事件A, 第2次抽到理科题为 事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB. (1)从6道题中不放回地依次抽取2道的事件数为 n(Ω)＝ ＝30，根据分步乘法计数原理，得 于是
1 1 A · A 得n(A)＝ 3 49，
A
2 ， 5
1 1 nAB A3 · A47 1 1 ∵n(AB)＝A3· A47，∴P(AB)＝ ＝ 2 . A50 nΩ nA A1 A1 3· 49
P(A)＝ ＝ ， nΩ A250 于是在第一次抽到次品的情况下，第二次抽到正品的概率为 1 A1 · A 3 47 A2 PAB 47 50 P(B|A)＝ ＝ 1 1＝ . A49 49 PA A3· A2 50