条件概率与事件的独立性
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1 PAB A1 · A 47 3 47 P(B|A)＝ ＝ 1 1＝ . A49 49 PA A3·
条件概率与事件的独立性
知识梳理 一、相互独立事件
1．相互独立事件的定义：事件A(或B)是否发生对事 件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互 独立事件． 若A与B是相互独立事件，则A与 也相互独立．
2．相互独立事件同时发生的概率 P(A· B)＝____________. 若事件A1，A2，…，An相互独立， 则P(A1· A2· …· An) ＝________________________. 答案：一、2.P(A)·P(B) P(A1)·P(A2)·…·P(An)
(2)∵n(AB)＝A2 4＝4×3＝12， nAB 12 2 ∴P(AB)＝ ＝ ＝ . nΩ 30 5
(3)解法一：由(1)(2)可得，在第一次抽到理科题 的情况下，第二次抽到理科题的概率为
解法二：∵n(AB)＝A2 4＝4×3＝12， 1 1 n(A)＝A4· A5＝20， nAB 12 3 ∴P(B|A)＝ ＝ ＝ . nA 20 5
1 1 A · A 得n(A)＝ 3 49，
A
2 ， 5
1 1 nAB A3 · A47 1 1 ∵n(AB)＝A3· A47，∴P(AB)＝ ＝ 2 . A50 nΩ nA A1 A1 3· 49
P(A)＝ ＝ ， nΩ A250 于是在第一次抽到次品的情况下，第二次抽到正品的概率为 1 A1 · A 3 47 A2 PAB 47 50 P(B|A)＝ ＝ 1 1＝ . A49 49 PA A3· A2 50
解法二：设第1次抽到次品为事件A, 第2次抽到正品 为事件B，则第1次抽到次品和第2次抽到正品为事件AB.
从50件产品中不放回地依次抽取2件产品第1次抽到次品的 1 1 · A49 ，∵n(AB)＝A1 A1 事件数为 n(A)＝A3 于是在第一次抽到次 3· 47， 品的情况下，第二次抽到正品的概率为
， 与B， 与
二、条件概率及其性质 1．条件概率的定义：设A，B为两个事件，且 P(A)>0，称P(B|A)＝________为在事件A发生的条 件下，事件B发生的概率．把P(B|A)读作“A发生的 条件下B的概率”．
2．条件概率的性质
(1)条件概率具有一般概率的性质，即 0≤P(B|A)≤1； (2)若B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝ ____________.
解析：记两个零件中恰好有一个一等品的 事件为A，则 2 1 1 3 5 P(A)＝P(A1)＋ P(A2)＝ × ＋ × ＝ . 3 4 3 4 12 答案：B
2．在10个球中有6个红球，4个白球(各不相 同)，不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球
5 9 的条件下，第2次也摸出红球的概率是________ ．
1 P(A)＝P(B)＝P(C)＝ ， 6 53 125 P( A ·B ·C )＝P( A )P( B )P( C )＝ 6 ＝ . 216 125 答：三位同学都没有中奖的概率是 . 216 12 5 13 25 ＝1－3× 6 × － 6 ＝ . 6 27 25 或P( A ·B ·C ＋A·B ·C ＋ A · B·C ＋ A ·B · C)＝ . 27 25 答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为 . 27
答案：二、1.
PAB 2.(2)P(B|A)＋P(C|A) PA
1．(2010年辽宁卷)两个实习生每人加工一个
零件，加工为一等品的概率分别为
2 3
和
3 4
，两
个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件 中恰有一个一等品的概率为( )
1 A. 2 5 B. 12 1 C. 4 1 D. 6
(2)1－P( A · B· C＋A·B · C＋A· B·C ＋A· B· C)
点评：(1)在学习过程中，要善于将较复杂的事件 分解为互斥事件的和及独立事件的积，或者对立事 件． (2)某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对 立事件的概率，这样可减少运算ห้องสมุดไป่ตู้，提高正确率要注 意“至多”“至少”等题型的转化．
3．(2009年湖北卷)甲、乙、丙三人将参加某项 测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则 三人都达标的概率是________，三人中至少有一人 达标的概率是________． 解析：三人均达标为0.8×0.6×0.5＝0.24， 三人均不达标为(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04， 三人中至少有一人达标为1－0.04＝0.96. 答案：0.24 0.96
点评：对于问题3，解法一是依据条件概率的 定义去求；在实际应用中，解法二是一种重要的求 条件概率的方法．
练1．50件产品中有3件次品，不放回地抽取2次，每次抽一 件，已知第一次抽出的是次品，求第二次抽出正品的概率．
解析：解法一：设第1次抽到次品为事件A, 第2次抽到 正品为事件B，则第1次抽到次品和第2次抽到正品为事件AB. 从50件产品中不放回地依次抽取2件的事件数为n(Ω)＝ 根据分步乘法计数原理，
(2010年四川卷)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印 有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若 1 其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概 率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮 6 料．
(1)求三位同学都没有中奖的概率；
(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率． 解析：(1)设甲、乙、丙中奖的 事件分别为A、B、C，那么
例2在6道题中有4道理科题和2道文科题．如果不放回地依次
抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次又抽到理科题的概 率． 解析：设第1次抽到理科题为事件A, 第2次抽到理科题为 事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB. (1)从6道题中不放回地依次抽取2道的事件数为 n(Ω)＝ ＝30，根据分步乘法计数原理，得 于是
条件概率与事件的独立性
知识梳理 一、相互独立事件
1．相互独立事件的定义：事件A(或B)是否发生对事 件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互 独立事件． 若A与B是相互独立事件，则A与 也相互独立．
2．相互独立事件同时发生的概率 P(A· B)＝____________. 若事件A1，A2，…，An相互独立， 则P(A1· A2· …· An) ＝________________________. 答案：一、2.P(A)·P(B) P(A1)·P(A2)·…·P(An)
(2)∵n(AB)＝A2 4＝4×3＝12， nAB 12 2 ∴P(AB)＝ ＝ ＝ . nΩ 30 5
(3)解法一：由(1)(2)可得，在第一次抽到理科题 的情况下，第二次抽到理科题的概率为
解法二：∵n(AB)＝A2 4＝4×3＝12， 1 1 n(A)＝A4· A5＝20， nAB 12 3 ∴P(B|A)＝ ＝ ＝ . nA 20 5
1 1 A · A 得n(A)＝ 3 49，
A
2 ， 5
1 1 nAB A3 · A47 1 1 ∵n(AB)＝A3· A47，∴P(AB)＝ ＝ 2 . A50 nΩ nA A1 A1 3· 49
P(A)＝ ＝ ， nΩ A250 于是在第一次抽到次品的情况下，第二次抽到正品的概率为 1 A1 · A 3 47 A2 PAB 47 50 P(B|A)＝ ＝ 1 1＝ . A49 49 PA A3· A2 50
解法二：设第1次抽到次品为事件A, 第2次抽到正品 为事件B，则第1次抽到次品和第2次抽到正品为事件AB.
从50件产品中不放回地依次抽取2件产品第1次抽到次品的 1 1 · A49 ，∵n(AB)＝A1 A1 事件数为 n(A)＝A3 于是在第一次抽到次 3· 47， 品的情况下，第二次抽到正品的概率为
， 与B， 与
二、条件概率及其性质 1．条件概率的定义：设A，B为两个事件，且 P(A)>0，称P(B|A)＝________为在事件A发生的条 件下，事件B发生的概率．把P(B|A)读作“A发生的 条件下B的概率”．
2．条件概率的性质
(1)条件概率具有一般概率的性质，即 0≤P(B|A)≤1； (2)若B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝ ____________.
解析：记两个零件中恰好有一个一等品的 事件为A，则 2 1 1 3 5 P(A)＝P(A1)＋ P(A2)＝ × ＋ × ＝ . 3 4 3 4 12 答案：B
2．在10个球中有6个红球，4个白球(各不相 同)，不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球
5 9 的条件下，第2次也摸出红球的概率是________ ．
1 P(A)＝P(B)＝P(C)＝ ， 6 53 125 P( A ·B ·C )＝P( A )P( B )P( C )＝ 6 ＝ . 216 125 答：三位同学都没有中奖的概率是 . 216 12 5 13 25 ＝1－3× 6 × － 6 ＝ . 6 27 25 或P( A ·B ·C ＋A·B ·C ＋ A · B·C ＋ A ·B · C)＝ . 27 25 答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为 . 27
答案：二、1.
PAB 2.(2)P(B|A)＋P(C|A) PA
1．(2010年辽宁卷)两个实习生每人加工一个
零件，加工为一等品的概率分别为
2 3
和
3 4
，两
个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件 中恰有一个一等品的概率为( )
1 A. 2 5 B. 12 1 C. 4 1 D. 6
(2)1－P( A · B· C＋A·B · C＋A· B·C ＋A· B· C)
点评：(1)在学习过程中，要善于将较复杂的事件 分解为互斥事件的和及独立事件的积，或者对立事 件． (2)某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对 立事件的概率，这样可减少运算ห้องสมุดไป่ตู้，提高正确率要注 意“至多”“至少”等题型的转化．
3．(2009年湖北卷)甲、乙、丙三人将参加某项 测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则 三人都达标的概率是________，三人中至少有一人 达标的概率是________． 解析：三人均达标为0.8×0.6×0.5＝0.24， 三人均不达标为(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04， 三人中至少有一人达标为1－0.04＝0.96. 答案：0.24 0.96
点评：对于问题3，解法一是依据条件概率的 定义去求；在实际应用中，解法二是一种重要的求 条件概率的方法．
练1．50件产品中有3件次品，不放回地抽取2次，每次抽一 件，已知第一次抽出的是次品，求第二次抽出正品的概率．
解析：解法一：设第1次抽到次品为事件A, 第2次抽到 正品为事件B，则第1次抽到次品和第2次抽到正品为事件AB. 从50件产品中不放回地依次抽取2件的事件数为n(Ω)＝ 根据分步乘法计数原理，
(2010年四川卷)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印 有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若 1 其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概 率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮 6 料．
(1)求三位同学都没有中奖的概率；
(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率． 解析：(1)设甲、乙、丙中奖的 事件分别为A、B、C，那么
例2在6道题中有4道理科题和2道文科题．如果不放回地依次
抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次又抽到理科题的概 率． 解析：设第1次抽到理科题为事件A, 第2次抽到理科题为 事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB. (1)从6道题中不放回地依次抽取2道的事件数为 n(Ω)＝ ＝30，根据分步乘法计数原理，得 于是