高中数学线性回归方程

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2025高考数学一轮复习-9.1.2-线性回归方程【课件】

(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产，即产品全部售出). 根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据(2)的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由.
因为 y ＝3860＝45，
8
uiyi－8 u y
i＝1
所以b^ ＝
8
u2i －8 u 2
i＝1
＝1831..45－ 3－8×8×0.03.411×545＝06.611＝100，
则a^ ＝ y －b^ u ＝45－100×0.34＝11，所以y^ ＝11＋100u，所以 y 关于 x 的回归方程为y^＝11＋10x0.
三、非线性回归问题
知识梳理
解非线性回归分析问题的一般步骤有些非线性回归分析问题并不给出函数，这时我们可以根据已知数据画出散点图，与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，用适当的变量进行变换，把问题转化为线性回归分析问题，使之得到解决.
n
v2i －n
v
2
i＝1
i＝1
解 ①当产品单价为100元，设订单数为m千件，因为签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2，所以E(m)＝9×0.8＋10×0.2＝9.2，所以企业利润为 100×9.2－9.2×190.20＋21＝626.8(千元). ②当产品单价为90元，设订单数为n千件，因为签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7，所以E(n)＝10×0.3＋11×0.7＝10.7，

高中数学 2.4 线性回归方程课件苏教版必修3

的特征．解析：由图可知①是一次函数关系，不是相关关系；
②中的所有点在一条直线附近波动，是线性相关的；栏
目
③中的点杂乱无章，没有什么关系，是不相关的；④
链接
中的所有点在某条曲线附近波动，是非线性相关的，
即两个变量(biànliàng)具有相关关系的是②④.
答案： ②④
第二十页，共39页。
典例剖析
规律总结：散点图直观地描述了两个变量之间有没
有相关关系，由散点图判断相关关系有两种情况，若
栏
所有的点看上去都在一条直线附近波动，则两个变量
目链
是线性相关的；若所有的点看上去都在某条曲线接
(qūxiàn)附近波动，则两个变量是非线性相关的，这
两种情况都说明两个变量间具有相关关系．
第二十一页，共39页。
栏目链接
xiǎo)，这种关系称为________．负相关
3．线性回归方程是________________，其中b＝
_n____________，a＝_______y_^．＝bx＋a
iΣ＝1xiyi－nx y
y－bx
iΣ＝n1xi2－nx2
第六页，共39页。
自主学习
4．线性回归方程 (jiāodiǎn)________．,
第三十一页，共39页。
典例
剖析题型四用回归直线估计总体
例3高二(2)班学生(xué sheng)每周用于数学学习的
时间x(单位：h)与数学成绩y(单位：分)之间有如下数据：
栏
目
x
2 4
1 5
2 3
1 9
1 6
1 1
2 0
1 6
1 7
1 3

高中数学人教A版必修3课件：2-3-2《线性回归方程》

3.1.3
二倍角的正弦、余弦、正切公式
2.3 变量间的相关关系
2.3.2 线性回归方程
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、正切公式
本课主要学习变量间的相关关系的相关内容，具体包括线性回归方程的求解。本课开始回顾了上节课所学变量间的相关关系与散点图的相关内容，紧接着引入回归直线的定义及特征，回归直线方程的定义及求法（最小二乘法），并且通过例题和习题进行讲解。最后通过习题进行加深巩固。
y
500 450 400 350
水稻产量
300 10
(施化肥量)
20
30
40
50
x
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、正切公式
3、最小二乘法假设我们已经得到两个具有线性相关的变量的一组数据（x1，y1），（x2,y2），…（xn,yn）.
n n ( xi x)( yi y ) xi yi nxy i 1 i 1 b n n 2 2 2 ( xi x) xi nx i 1 i 1 a y bx
注意：求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”，即最贴近已知的数据点，最能代表变量x与y之间的关系.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、正切公式
在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：kg）：
施化肥量x 水稻产量y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455
第四步：写出直线方程.
二倍角的正弦、余弦、正切公式解：1、列表
3.1.3
2、代入公式计算

高一数学必修三课件第章线性回归方程

01
02
03
变量
在某一过程中可以取不同数值的量。
自变量
能够影响其它变量，而又不受其它变量影响的变量。
因变量
依赖于其它变量，而又不能影响其它变量的变量。
散点图及其特点
散点图
用点的密度和变化趋势表示两指标之间的直线和曲线关系的图。
特点
能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势。
线性回归方程定义
通过绘制自变量和因变量的散点图，观察数据点分布形态，若呈现非线性形态，则可能存在非线性关系。
曲线拟合
根据散点图形态，选择合适的曲线类型进行拟合，如二次曲线、指数曲线、对数曲线等。
3
变换自变量或因变量
通过对自变量或因变量进行变换，如取对数、平方、开方等，将非线性关系转化为线性关系。
可化为线性关系非线性模型
一致性
随着样本量的增加，线性回归方程的系数估计值会逐渐接近真实值。
预测值与置信区间估计
预测值
根据回归方程和给定的自变量值，可以计算出因变量的预测值。
置信区间
通过构造置信区间，可以对预测值进行区间估计，表示预测值的可靠程度。
置信水平
置信水平表示了置信区间包含真实值的概率，常用的置信水平有95%和99% 。
在数据采集过程中，可能存在某些自变量被重复测量或高度相关的情况。
变量设计问题
样本量问题
在变量设计时，可能存在某些自变量之间存在固有的高度相关性。
当样本量较小而自变量较多时，也容易出现多重共线性问题。
识别和处理多重共线性方法
观察自变量间的相关系数
如果两个自变量间的相关系数很高，则可能存在多重共线性。
案例二

高三线性回归方程知识点

高三线性回归方程知识点线性回归是数学中的一种方法，用于建立一个自变量与因变量之间的关系。

在高三数学中，线性回归方程是一个重要的知识点。

本文将介绍高三线性回归方程的基本概念、推导过程以及应用范围。

一、基本概念1. 线性回归方程线性回归方程，也叫作线性回归模型，表示自变量x和因变量y之间的关系。

它可以用如下的一般形式表示：y = β0 + β1x + ε其中，y表示因变量，x表示自变量，β0和β1表示模型中的参数，ε表示误差项。

2. 参数估计线性回归方程中的参数β0和β1需要通过观测数据进行估计。

常用的方法是最小二乘法，即通过最小化实际观测值和预测值之间的差异，来得到最优的参数估计值。

二、推导过程1. 求解参数通过最小二乘法，可以得到线性回归方程中的参数估计值。

具体推导过程包括以下几个步骤：（1）确定目标函数：将观测值和预测值之间的差异平方和作为目标函数。

（2）对目标函数求偏导：对目标函数分别对β0和β1求偏导，并令偏导数为0。

（3）计算参数估计值：根据求得的偏导数为0的方程组，解出β0和β1的值。

2. 模型拟合度评估在得到参数估计值之后，需要评估线性回归模型的拟合度。

常用的指标包括相关系数R和残差平方和SSE等。

相关系数R可以表示自变量和因变量之间的线性相关程度，取值范围在-1到1之间，越接近1表示拟合度越好。

三、应用范围线性回归方程在实际问题中有广泛的应用，例如经济学、统计学、社会科学等领域。

它可以用来分析自变量和因变量之间的关系，并预测未来的结果。

1. 经济学应用在线性回归模型中，可以将自变量设置为经济指标，例如GDP、通货膨胀率等，将因变量设置为某一经济现象的数值。

通过构建线性回归方程，可以分析不同经济指标对经济现象的影响，为经济决策提供参考依据。

2. 统计学应用线性回归方程是统计学中的一项重要工具。

通过对观测数据的拟合，可以得到参数估计值，并进一步分析自变量和因变量之间的关系。

统计学家可以利用线性回归分析建立统计模型，为实验数据的解释提供更为准确的结论。

高中数学：2.4《线性回归方程》素材(苏教版必修3)

线性回归方程导学一、学法指导利用样本数据的情况估计总体数据的情况，这是统计的基本思想．线性回归方程是从样本中各个数据之间的相关关系入手，来分析验证样本中各个数据的特点规律，进而对总体数据的相关关系作出估计．因此学好线性回归方程，要在进一步体会统计的基本思想和方法的基础上，还要回忆我们已学过的两个变量之间存在的函数关系（即确定性关系）．学习本节时，首先要知道变量相互关系有两种：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的．例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；其次是如何判断和分析具有相关关系的两个或多个变量，也就是如何寻找具有相关关系的两个变量中非确定性关系的某种确定性．本节的难点问题是建立回归直线方程的思想方法，其关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与直线的距离最小”，即最贴近已知的数据点，最能代表变量x 与y 之间的关系，这就是“最小二乘法”的思想．另外还要注意，进行回归分析，通常先进行相关性检验，若能确定两个变量具有线性相关性，再去求其线性回归方程，否则所求方程毫无意义．二、知识点概要 1．相关关系所谓相关关系是自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性．对相关关系的理解应注意以下几点：（1）相关关系与函数关系不同．因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系．因此，不能把相关关系等同于函数关系．（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，它也可能是伴随关系．（3）在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用．变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断． 2．回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析．通俗地讲，回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性． 3．散点图我们把一组具有相关关系的两个变量的数据()(123)i i x y i n ，，，，，对应的点（即样本点）画在坐标系内，得到的图形叫做散点图．利用散点图可以判断变量之间有无相关关系，所以判断两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手．画出散点图，可以作出如下判断：（1）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即说明变量之间具有函数关系；（2）如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，则说明变量之间具有相关关系；（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近，则变量之间具有线性相关关系． 4．正相关、负相关线性相关关系又分为正相关和负相关．正相关是指两个变量具有相同的变化趋势，即从整体上来看一个变量会随另一个变量变大而变大．从散点图可以看出因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域．负相关是指两个变量具有相反的变化趋势，即从整体上来看一个变量会随另一个变量变大而变小．负相关的散点图中的点分布在左上角到右下角的区域．由此，我们得出判断两个变量之间到底是不是具有线性相关关系，可以用“数据”说话，画出散点图更具有说服力．5．回归直线和回归直线方程如果散点图中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两变量之间具有线性相关关系．这条直线叫做这两个变量的回归直线，回归直线的方程叫做回归方程．这里注意，只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围的时候，才可以说两个变量之间具有线性相关关系，才有两个变量的正线性相关和负线性相关的概念，才可以用回归直线来描述这两个变量之间的关系．（1）求回归直线方程的思想方法观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近．类似图中的直线可画出不止一条，比如可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直线，也可以让画出的直线上方的点和下方的点数目相等，……，但这些能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？它们虽然都有一定的道理，却总让人感到可靠性不强．那么，其中的哪一条直线最能代表变量x 与y 之间的关系呢？实际上求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”，即最贴近已知的数据点，最能代表变量x 与y 之间的关系．最能代表变量x 与y 之间关系的直线的特征是直线与这n 个点的离差的平方和最小．（2）回归直线方程的求法根据最小二乘法的思想和公式，利用计算器或计算机，可以方便地求出回归方程．利用计算机求回归方程（Excel 软件）：在Excel 的工作表中添加“图表”得到散点图后，用鼠标选中散点，单击鼠标右键，单击“添加趋势线”，在出现的对话框中单击类型标签，选择“线性”，单击“选项”标签，选中“显示公式”单选框，最后点击“确定”即可．利用科学计算器求回归方程：大多科学计算器都有回归计算（REG 模式），但不同的计算器参数可能不同，这里不作详细介绍．一般在输入数据后按相应按键可直接得到a 和b ，这样就可以写出回归方程y bx a =+，非常简便，同学们在使用前一定要看懂计算器的使用说明书．回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并且可根据情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应能积极应用回归直线方程解决一些相关的实际问题，并进一步体会回归直线的应用价值．（3）相关系数与相关性检验给定()(123)i i x y i n =，，，，，，只要123n x x x x ，，，，不全相等，就能求出一条回归直线，但它有无意义可是一个大问题．由于根据散点图看数据点是否大致在一直线附近主观性太强，为此可以利用样本相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱．样本相关系数：()()nii xx y y r --=∑叫做变量y 与x 之间的样本相关系数，简称相关系数，用它来衡量它们之间的线性相关程度．1r ≤，且|r|越接近于1，相关程度越高；r越接近于0，相关程度越低．统计学认为，相关变量的相关系数： [10.75]r ∈--，时，两变量负相关很强； [0.751]r ∈，时，两变量正相关很强；(]0.750.3r ∈--，或[)0.30.75，时，两变量相关性一般；[0.250.25]r ∈-，时，两变量相关程度很弱．三、特别提示1．相关关系的理解．借助实例（如数学成绩与物理成绩之间的关系，粮食产量与施肥量之间的关系，吸烟与健康之间的关系，父母身高与子女身高之间的关系等）明确相关关系与函数关系不同，它是一种非确定性的关系，即一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性．相关关系包括正相关和负相关．2．相关关系的研究方法：散点图法和写出回归直线方程y bx a =+，其中11112222111nn n ni i i i i ii i i i nn nii i i i i n x y x y x ynx yb xnxn x x a y bx =======⎧⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪==⎪⎛⎫⎨-- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-⎩∑∑∑∑∑∑∑，．3．线性回归思想：把相关关系（不确定性关系）转化为函数关系（确定性关系）．当两个具有相关关系的变量近似满足一次函数关系时，所进行的回归分析又叫线性回归分析，所求的函数关系y bx a =+就是线性回归方程．4．求线性回归直线方程前应对数据进行线性相关分析，其关键是求a b ，，由于计算量大，因此计算过程要注意分层次、按步骤进行．线性回归中的相关系数线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时，应该先判断两个变量是否是线性相关，若相关再求其直线方程，判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法．下面为同学们介绍相关系数法．一、关于相关系数法统计中常用相关系数r 来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当i x 不全为零，yi 也不全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是：()()nnii i ixx y y x ynx yr ---==∑∑r 就叫做变量y 与x 的相关系数（简称相关系数）．说明：（1）对于相关系数r ，首先值得注意的是它的符号，当r 为正数时，表示变量x ，y 正相关；当r 为负数时，表示两个变量x ，y 负相关；（2）另外注意r 的大小，如果[]0.751r ∈，，那么正相关很强；如果[]10.75r ∈--，，那么负相关很强；如果(]0.750.30r ∈--，或[)0.300.75r ∈，，那么相关性一般；如果[]0.250.25r ∈-，，那么相关性较弱．下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变量间的回归直线．二、典型例题剖析例1 测得某国10对父子身高（单位：英寸）如下：（1）对变量y 与x 进行相关性检验；（2）如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程；（3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子身高．解：（1）66.8x =，67y =，102144794ii x==∑，102144929.22ii y==∑，4475.6xy =，24462.24x =，24489y =，10144836.4i ii x y==∑，所以10i ix ynx yr -=∑44836.4104475.6(4479444622.4)(44929.2244890)-⨯=--80.40.9882.04=≈≈，所以y 与x 之间具有线性相关关系．（2）设回归直线方程为y a bx =+，则101102211010i ii i i x yx yb x x==-=-∑∑44836.4447560.46854479444622.4-=≈-，670.468566.835.7042a y bx =-=-⨯=．故所求的回归直线方程为0.468535.7042y x =+．（3）当73x =英寸时，0.46857335.704269.9047y =⨯+=，所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸．点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述，利用回归直线，可以对一些实际问题进行分析、预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化．这是此类问题常见题型．例2 10其中x 为高一数学成绩，y 为高二数学成绩．（1）y 与x 是否具有相关关系；（2）如果y 与x 是相关关系，求回归直线方程．解：（1）由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得101710ii x==∑，101723ii y==∑，71x =，72.3y =，10151467i ii x y==∑．102150520i i x ==∑，102152541ii y==∑．1010i ix yx yr -=∑0.78≈．由于0.78r ≈，由0.780.75>知，有很大的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系．（2）y 与x 具有线性相关关系，设回归直线方程为y a bx =+，则1011022211051467107172.31.2250520107110i ii i i x yx yb x x==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑，72.3 1.227114.32a y bx =-=-⨯=-．所以y 关于x 的回归直线方程为 1.2214.32y x =-．点评：通过以上两例可以看出，回归方程在生活中应用广泛，要明确这类问题的计算公式、解题步骤，并会通过计算确定两个变量是否具有相关关系．方方面面评说回归直线方程一、回归分析对于线性回归分析，我们要注意以下几个方面：（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．（2）对于关系不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行回归分析．（3）通过散点图的观察，一般地，若图中数据大致分布在一条直线附近，那么这两个变量近似成线性相关关系．（4）求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大至呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．二、回归直线方程一般地，设x 与y 是具有相关关系的两个变量，且对应于n 组观测值的n 个点(()12)i i x y i n =，，，，，大致分布在一条直线的附近，求在整体上与这n 个点最接近的一条直线，记此直线方程为y a bx =+ （1）这里在y 的上方加记号“＾”，是为了区分Y 的实际值y ，表示当x 取值(12)i x i n =，，，时，Y 相应的观察值为i y ，而直线上对应于i x 的纵坐标是i y a bx =+．（1）式叫做Y 对x 的回归直线方程，a ，b 叫做回归系数．三、求回归直线方程的思想方法在观察散点图特征时，我们会发现有时各点大致分布在一条直线的附近，且画出不止一条类似的直线，而最能代表变量x 与y 之间关系的直线的特征，即为n 个离差的平方和最小．设所求直线方程为y a bx =+，其中a ，b 是待定系数，则(12)i i y a bx i n =+=，，，．于是得到各个离差()(12)i i i i y y y bx a i n -=-+=，，，．显然，离差i i y y -的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，故采用n 个离差的平方和21()ni iiQ y bx a==--∑，采用最小二乘法可求出使Q为最小值时的a和b．1122211()()()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x nx====---==--∑∑∑∑，a y bx=-，其中11niix xn==∑，11niiy yn==∑．四、求回归直线方程的一般步骤（1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；（2）如果散点在一条直线附近，用公式求出a，b，并写出回归直线方程．注：计算a，b时由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段（如计算器或计算机），认真细致，谨防计算中产生错误．例在10第几年城市居民收入x（亿元）某商品销售额y（万元）1 32.2 25.02 31.1 30.03 32.9 34.04 35.8 37.05 37.1 39.06 38.0 41.07 39.0 42.08 43.0 44.09 44.6 48.010 46.0 51.0（1）画出散点图；（2）如果散点图中各点大致分布在一条直线的附近，求x与y之间的回归直线方程；（3）试预测居民年收入50亿元时这种商品的销售额．解题指导：只有散点图大致表现为线性时，求回归直线方程才有实际意义．解：（1）散点图如图所示：（2）通过观察散点图可知各点大致分布在一条直线的附近．列出下表，利用计算器进行计算．1011022211015202.9379.739.1 1.447379.71014663.671010i ii ii x yx y b xx==--⨯==≈⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭∑∑。

高中数学：2.4《线性回归方程课件》课件(苏教版必修三)

Part
02
线性回归方程的建立与求解
线性回归方程的建立方法
STEP 01
散点图观察
STEP 02
确定回归系数
通过绘制散点图，观察自变量与因变量之间的关系，初步判断是否具有线性关系。
STEP 03
检验残差
通过观察残差图或计算残差平方和，检验模型的拟合效果，判断是否需要进一步调整模型。
根据最小二乘法原理，通过计算得到回归系数，从而确定线性回归方程的斜率和截距。
以是( )
习题
A. ŷ = 1.23x + 4 B. ŷ = 1.23x + 5
C. ŷ = 1.23x + 4.5 D. ŷ = 1.23x + 3
3、题目：已知回归直线的斜率的估计值是1.23，且样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程可以是( )
习题
01
A. ŷ = 1.23x + 4 B. ŷ = 1.23x +5
预测性
利用线性回归方程可以对未知数据进行预测。
线性回归方程的应用场景
经济预测
科学实验
通过对历史数据的分析，利用线性回归方程预测未来经济指标的变化趋势。
在科学实验中，通过控制变量法来研究自变量和因变量之间的线性关系，并利用线性回归方程进行数据分析。
销售预测
根据历史销售数据和市场调查，利用线性回归方程预测未来产品的销售情况。
增加自变量
增加自变量可以更好地解释因变量的变化，从而优化线性回归方程。
调整模型形式
根据实际情况调整模型形式，可以更好地拟合数据，从而优化线性回归方程。
Part
04
线性回归方程的实例分析

高中数学 2.4 线性回归方程学案苏教版必修3

2.4 线性回归方程1．变量间的两种关系在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．预习交流1相关关系与函数关系有何区别与联系？提示：相同点：两者均是指两个变量的关系；不同点：①函数关系是一种确定的关系；相关关系是一种非确定的关系；②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系．2．散点图为了刻画两个变量之间的相关关系，常用横坐标x 表示一个变量，纵坐标y 表示另一个变量，建立平面直角坐标系，将两个变量所表示的点在坐标系内标出，这样的图称为散点图．预习交流2散点图有什么作用？提示：可以用来判断两个变量是否相关． 3．线性回归方程(1)最小平方法：离差的平方和Q (a ，b )是直线y ^＝bx ＋a 与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和，可以用来衡量直线y ^＝bx ＋a 与图中各个点的接近程度．所以，设法取a ，b 的值，使Q (a ，b )达到最小值．这种方法叫做最小平方法，又称“最小二乘法”．其中y ^读作“y 估计”．(2)线性相关关系的概念：能用直线方程y ^＝bx ＋a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系．(3)当a ，b 使Q ＝(y 1－bx 122n n a )2取得最小值时，就称方程y ^＝bx ＋a 为拟合这n 对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线．(4)线性回归系数公式：线性回归方程y ^＝bx ＋a 中的系数a ，b 可用下面的公式计算．⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i －n x 2＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2，a ＝y －b x .预习交流3线性回归方程y ^＝bx ＋a 是否一定经过一个定点？提示：由a ＝y －b x 代入线性回归方程，得y ^＝bx ＋y －b x ，整理得(y ^－y )＝b (x －x )．因此，线性回归方程一定经过定点(x ，y )．预习交流4(1)以下两变量之间具有相关关系的是__________． ①正方形的面积与边长 ②人的身高与年龄③匀速行驶车辆的行驶路程与时间 ④人的身高与视力(2)散点图的作用是__________． ①查找个体个数②比较个体数据大小关系 ③探究个体分类④粗略判断变量是否具有相关关系(3)若施化肥量x (千克/亩)与水稻产量y (千克/亩)的回归方程为y ^＝5x ＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为__________．提示：(1)② (2)④ (3)650千克/亩一、线性相关关系的判断某公司利润(1)(2)判断y 与x 是否具有线性相关关系．思路分析：本题中涉及两个变量：利润与销售总额，以销售总额为自变量，考察利润的变化趋势，从而作出判断．解：(1)散点图如下，(2)由图知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y 与x 有线性相关关系．1．在下列各变量之间的关系中：①凸n 边形(n ≥3)的边数与内角度数之和；②烧香拜佛的次数与考试成绩；③某校高一学生的身高与体重；④一块农田的玉米产量与施肥量．其中具有相关关系的是__________．答案：③④解析：①是函数关系，②没有相关关系，③④均具有相关关系，故填③④. 2．下列各图中所示两个变量之间具有线性相关关系的是__________．答案：②解析：由散点图易知②中变量具有线性相关关系．解：(1)画出散点图如图．(2)由图知，两变量间存在相关关系．(1)两个变量x 和y 相关关系的确定方法：①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断； ②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断； ③经验法：借助积累的经验进行分析判断．(2)判断两个变量x 和y 之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．二、求线性回归方程求出y 关于x 的回归方程．思路分析：先画出散点图，判断它们是否具有相关关系，再根据题目中提供的数据先计算出x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i ，代入公式求a ，b 的值即可．解：散点图如图所示．设所求回归方程为：y ＝bx ＋a ，则由上表可得b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝12.310＝1.23， a ＝y －b x ＝5－1.23×4＝0.08.∴回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08.1答案：y ^＝0.56x ＋997.4解析：利用公式b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝0.56，a ＝y －b x ＝997.4，故回归直线的方程为y ^＝0.56x ＋997.4.2解：x ＝706＝353，y ＝2306＝1153， x 21＋x 22＋…＋x 26＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286，x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x 6y 6＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3 474.b ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x 6y 6－6x y x 21＋x 22＋…＋x 26－6x2＝3 474－6×353×11531 286－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫3532≈1.68，a ＝y －b x ≈18.73.即所求得的线性回归方程为y ^＝1.68x ＋18.73. (1)用公式求回归方程的一般步骤是：①列表x i ，y i ，x i y i ；②计算x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i ；③代入公式计算b ，a 的值； ④写出回归方程．(2)求回归方程时应注意的问题： ①知道x 与y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验；否则，应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的；②用公式计算a ，b 的值时，要先算出b ，然后才能算出a ；③使用计算器能大大简化手工的计算，迅速得出正确的结果，但输入数据时要细心，不能出任何差错；不同计算器的按键方式可能不同，可参考计算器的使用说明书进行相关计算．三、线性回归方程的应用(1)(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？解：(1)散点图如下：(2)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大．图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长．1．经调查知，某品牌汽车的销售量y (辆)与广告费用x (万元)之间的线性回归方程为y ^＝250＋4x .当广告费用为30万元时，预测汽车销售量为__________辆．答案：370解析：当x ＝30时，y ^＝250＋4×30＝370.2根据上表可得回归方程y ＝bx ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为__________．答案：65.5万元解析：∵a ＝y －b x ＝49＋26＋39＋544－9.4×4＋2＋3＋54＝9.1，∴回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.令x ＝6，得y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．3．(2012福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(Ⅰ)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80，所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25，当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．(1)回归分析是数理统计中最常见的统计方法之一，它研究的是一个变量与另一个变量的相关关系．应用线性回归方程解实际问题时，一般是先借助于散点图，直观地看出两个变量之间是否具有相关关系，再利用最小平方法思想建立线性回归方程，从而定量地描述两个变量的关系．回归系数a ，b 刻画了两个变量之间的变化趋势．利用回归直线方程，可以对实际问题进行预测．由一个变量的变化推测另一个变量的变化，从而为决策者提供依据．(2)关于回归分析的几个问题：①回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性； ②对于相关关系细节的分析，我们可以通过作统计图表来使我们对两个变量之间的关系有一个直观的印象和判断.当然还可以通过另一种图——散点图来分析两个变量间的关系.1．给出x ，y则根据数据可以判断x 和有关系”)答案：确定关系解析：由表中数据可以得到x ，y 之间是一种函数关系：y ＝2x ＋1.所以x 和y 是一种确定的关系，也即函数关系．2．下列关系中是相关关系的是__________． ①学生的学习态度和学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．答案：①②解析：根据相关性的定义可知①②为相关关系，③④不具有相关关系． 3．下列分别是3对变量的散点图，则具有相关关系的是__________．答案：①③解析：由散点图知①③中的点大致分布在一条直线附近．4．(2012湖南高考改编)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的个数是__________．①y 与x 具有正的线性相关关系；②回归直线过样本点的中心(x ，y )；③若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ； ④若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg. 答案：①解析：④中，若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重约为：0.85×170－85.71＝58.79 kg.故④不正确．5．以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格y (单位：万元)和房屋面积x (单位：m 2)(1)(2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系．如果有相关关系，是正相关还是负相关？解：(1)数据对应的散点图如图所示．(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有线性相关关系，且是正相关．。

回归方程计算

回归方程计算回归方程是用来描述一个或多个自变量与因变量之间的关系的数学模型。

在统计学中，回归分析是一种常用的方法，用来估计自变量和因变量之间的关联度。

回归方程的计算涉及到很多数学知识和统计方法，下面我们来详细介绍一下回归方程的计算过程。

首先，我们需要明确回归方程的形式。

在简单线性回归中，回归方程通常表示为y = β0 + β1x + ε，其中 y 表示因变量，x 表示自变量，β0 和β1 分别是截距和斜率，ε 表示误差项。

而在多元线性回归中，回归方程的形式为y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε，其中 x1, x2, ..., xn 分别表示多个自变量。

其次，我们需要通过最小二乘法来估计回归方程的参数。

最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化观测值与回归方程预测值的残差平方和来确定参数的值。

对于简单线性回归来说，参数β0 和β1 的估计值可以通过以下公式计算得到：β1 = Σ((xi - x)(yi - ȳ)) / Σ((xi - x)²)β0 = ȳ - β1x其中，x和ȳ 分别表示自变量 x 和因变量 y 的均值，xi 和 yi 分别表示第 i 个观测值，Σ 表示求和符号。

对于多元线性回归来说，参数的估计需要使用矩阵的运算方法。

参数向量β 的估计值可以通过以下公式计算得到：β = (X^T X)^(-1) X^T y其中，X 是自变量 x 的设计矩阵，y 是因变量 y 的观测向量，^T 表示矩阵的转置，^(-1) 表示矩阵的逆运算。

最后，我们需要检验回归方程的拟合程度。

通常使用残差分析、方差分析和回归系数的显著性检验来评估回归方程的拟合效果。

残差分析用于检验误差项的独立性和常数方差性，方差分析用于检验回归模型的显著性，回归系数的显著性检验用于确定自变量对因变量的影响是否显著。

综上所述，回归方程的计算涉及到参数估计和拟合效果检验两个方面。

通过适当的数学推导和统计方法，我们可以得到有效的回归方程，从而描述自变量和因变量之间的关系。

苏教版高中数学高二必修3课件 2.4 线性回归方程

跟踪训练2 下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是___③_____.
解析答案
类型三线性回归方程的求法及应用例3 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系.如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由.
归方程为
^
y
＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是__①__④____.
①体重y与身高x具有函数间的关系；
②回归直线过 ( x ， y )点；
③若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg；
④若该大学某女生身高为170 cm，则可判定其体重必为58.79 kg.
解析体重与身高的关系不确定，不是函数关系.当 x＝170 时，y^ ＝ 0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为 58.79 kg.
例2 5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：
学生成绩
数学成绩物理成绩
ABCDE
80 75 70 65 60 70 66 68 64 62
判断它们是否具有线性相关关系.
解答
反思与感悟 (1)判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响. (2)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免真，导致得出错误结论.
12345
解析答案
3.已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7

线性回归方程（高中数学）

线性回归方程(高中数学)篇一：高中数学《线性回归方程》教案(2)线性回归方程教学目标:（1）了解非确定性关系中两个变量的统计方法；（2）掌握散点图的画法及在统计中的作用；（3）掌握回归直线方程的实际应用。

教学重点: 线性回归方程的求解。

教学难点: 回归直线方程在现实生活与生产中的应用。

教学过程:一、复习练习1．下例说法不正确的是（ B ）A.在线性回归分析中，x和y都是变量；B.变量之间的关系若是非确定关系,那么x不能由y唯一确定;C.由两个变量所对应的散点图,可判断变量之间有无相关关系;D.相关关系是一种非确定性关系.2．已知回归方程y??0.5x?0.81,则x=25时, y的估计值为__11.69____.,24)的线性回归方程是（D ）3．三点(3,10),(7,20),(11 1.75?1.75x By??1.75?5.75x Ay1.75?5.75x Dy??1.75?1.75x C y4．我们考虑两个表示变量x与y之间的关系的模型，?为误差项，模型如下：模型１:y?6?4x：；模型２：y?6?4x?e．（１）如果x?3,e?1，分别求两个模型中y的值；（２）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．解(1)模型１：y=6+4x=6+4×3=18;模型２：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.(2)模型１中相同的x值一定得到相同的y值.所以是确定性模型；模型２中相同的x值，因?不同，且?为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型。

二、典例分析例1、一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验，测得数据如下：程．解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．由测得的数据表可知： x?55,y?91.7,?xi?38500,?yi?87777,?xiyi?55950 22i?1i?1i?1101010bxy10xyiii?11010?xi2?10xi?12?55950?10?55?91.7?0.668 238500?10?55a?y?bx?91.7?0.668?55?54.96因此，所求线性回归方程为y?bx?a?0.668x?54.96例2、已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线方程并画出图形．解：x?1(45?42?46?48?42?35?58?40?39?50)?44.50 10y?1(6.53?6.30?9.52?7.50?6.99?5.90?9.49?6.20?6.55?8.72)=7.37 10设回归直线方程为y?bx?a则b??xy?10xyiii?11010?xi?12i?10x2?0.175a?y?bx= -0.418所以所求回归直线的方程为y?0.175x?0.148例3、以下是收集到的新房屋销售价格y与房屋的大小x 的数据：上回归直线；（３）计算此时Q(a,b)和Q(2,0.2)的值，并作比较．解：（1）(2) n?5,?xi?15i?545,?109,?yi?116,?23.2, i?155?xi?152i?60952,?xiyi?12952 i?1b?5?12952?545?116?0.1962,a?23.2?0.1962?109?1.8166 25?60952?545所以,线性回归方程为y?0.1962x?1.8166(3) Q(1.8166,0.1962)?5.171,Q(2,0.2)?7.0由此可知,求得的a?1.8166,b?0.9162是函数Q(a,b)取最小值的a,b值.三、课堂练习1.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性,甲乙两位同学各自独立做了10次和15次实验,并且利用线性回归直线分别为l1,l2,已知两人获得的实验数据中,变量x和y的数据平均值都相等,且分别为s,t那么下例说话正确的是() A．直线l1和l2一定有公共点(s,t)B．直线l1和l2相交,但交点不一定是(s,t)C．必有l1// l2 D．l1和l2与必定重合2．已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y （万元），有如下统计资料：设y对x程线性相关关系．试求：（1）线性回归方程y?bx?a的回归系数a,b；（2）估计使用年限为10年时，维修费用多少？四、回顾小结：求线性回归方程的步骤：?(1)、(2)计算xi与yi的积，求?xiyi，2(3)计算?x2，y?i，i(4)将上述有关结果代入公式，求b，a写出回归直线方程．五、课外作业：课本第82页第9题．篇二：高中数学线性回归方程讲解练习题1审阅人：2篇三：线性回归方程[高考数学总复习][高中数学课时训] 线性回归方程基础自测①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.1.下列关系中，是相关关系的为（填序号）.答案①②2.为了考察两个变量x、y之间的线性相关关系，甲、乙两同学各自独立地做10次和15次试验，并利用最小二乘法求得回归直线分别为l1和l2.已知在两人的试验中发现变量x 的观测数据的平均值恰好相等，都为s,变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t,那么下列说法中正确的是（填序号）. ①直线l1,l2有交点（s,t)②直线l1,l2相交，但是交点未必是(s,t) ③直线l1,l2由于斜率相等，所以必定平行④直线l1,l2必定重合答案① 3.下列有关线性回归的说法，正确的是（填序号）. ①相关关系的两个变量不一定是因果关系②散点图能直观地反映数据的相关程度③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系④任一组数据都有回归直线方程答案①②③ 4.下列命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；?x+a?,可以估计和预测变量的取值和变化趋势. ?=b?及回归系数b③通过回归直线y其中正确命题的序号是. 答案①②③=0.50x-0.81,则x=25时，y?的估计值为 . 5.已知回归方程为y答案11.69例 1 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量水稻产量15 20 25 30 35 40 45 320 330 360 410 460 470 480（1）将上述数据制成散点图；（2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？解（1）散点图如下：（2）从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长.例2 （14分）随着我国经济的快速发展，城乡居民的生活水平不断提高，为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查了10个家庭，得数据如下：（1）判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？（2）若二者线性相关，求回归直线方程. 解（1）作出散点图：5分观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈线性相关关系. （2）=110n7分110(0.8+1.1+1.3+1.5+1.5+1.8+2.0+2.2+2.4+2.8)=1.74,=（0.7+1.0+1.2+1.0+1.3+1.5+1.3+1.7+2.0+2.5）=1.42，9分 =bxyi?1nii?n?≈0.813 6，2ixi?1n2a=1.42-1.74×0.813 6≈0.004 3，13分=0.813 6x+0.004 3. ∴回归方程y14分例 3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对照数据.（1）请画出上表数据的散点图；x+a=b；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 解（1）散点图如下图:（2）=43?4?5?64=4.5,=2.5?3?4?4.54=3.5xi?14iyi=3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5. xi?12i=32+42+52+62=864=∴bxyii?14i4=2i66.5?4?3.5?4.586?4?4.52=0.7xi?142=3.5-0.7×4.5=0.35. =-b=0.7x+0.35. ∴所求的线性回归方程为y（3）现在生产100吨甲产品用煤y=0.7×100+0.35=70.35，∴降低90-70.35=19.65(吨)标准煤.1.科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据（单位分别是mm,℃)，并作了统计.（1）试画出散点图；（2）判断两个变量是否具有相关关系. 解（1）作出散点图如图所示，(2)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量是非线性相关关系.2.在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：由资料看y与x呈线性相关，试求回归方程. 解=30,= 566.7?76.0?85.0?112.3?128.05=93.6.=bi?15i?1iyi?5?≈0.880 9.2ixa52=93.6-0.880 9×30=67.173. =-b=0.880 9x+67.173. ∴回归方程为y3.某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：（1）求出线性回归方程；（2）指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？（3）假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？ 66i解（1）n=6，xi?1=21，yi?1i=426，=3.5,=71, 662xii?1=79，xyii?1i=1 481，6=bxi?16i?1iyi?6?=2i1481?6?3.5?7179?6?3.52=-1.82.xa62=71+1.82×3.5=77.37. =-bx=77.37-1.82x. =a+b回归方程为y?=-1.82＜0,且产量x的计量单位是千件,所以根据回归系数b的意义有: （2）因为单位成本平均变动b产量每增加一个单位即 1 000件时,单位成本平均减少1.82元. (3)当产量为6 000件时,即x=6,代入回归方程:y=77.37-1.82×6=66.45（元）当产量为6 000件时，单位成本为66.45元.一、填空题1.观察下列散点图，则①正相关；②负相关；③不相关.它们的排列顺序与图形对应顺序是.答案a,c,b=1.5x-15,则下列说法正确的有个. 2.回归方程y①=1.5-15 ②15是回归系数a ③1.5是回归系数a ④x=10时，y=0 答案 13.（2009.湛江模拟）某地区调查了2～9岁儿童的身高，由此建立的身高y(cm)与年龄x(岁)的回归模型为y=8.25x+60.13,下列叙述正确的是.①该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cm ②该地区2～9岁的儿童每年身高约增加8.25 cm。

高中数学第2章统计2.4线性回归方程(2)教案苏教版必修3(new)

2。

4 线性回归方程第2课时导入新课在上一节课中问题1：将汽油以均匀的速度注入桶里，注入的时间t与注入的油量y如下表:从表里数据得出油量y与时间t之间的函数关系式为y=2x（x≥0）.并且在直角坐标系里很容易作出它们的图象,我们知道各点在同一条直线上。

再看下面的问题（即上一节课的练习2）:某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：请大家动手作出热茶销售量与气温的坐标图，说说它的特点，能得到什么规律？分析：该图中所有点不像第一个问题中函数关系的图象对应的点在同一条直线上，但是分布也是很有规律，它们散布在从左上角到右下角的区域，因此,可以得到规律是随着气温的增加，热茶卖出的杯数在减少。

但究竟以什么样的方式在减少呢？这就是今天要继续学习的内容——线性回归方程.推进新课新知探究以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立平面直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到上图，今后我们称这样的图为散点图。

1。

散点图（scatterplot)：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。

散点图形象地反映了各对数据的密切程度。

粗略地看，散点分布具有一定的规律。

在本图中这些点散布的位置也是值得注意的，它们散布在从左上角到右下角的区域，对于这种相关关系，我们称它为负相关.如果点散布在从左下角到右上角的区域.对于这种相关关系,我们称它为正相关.请学生举例:两个变量之间是正相关的关系.例如:某小卖部卖的冷饮销售量与气温之间的关系.再看上节课的练习 1.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：如果作出散点图如右图,它是散布在从左下角到右上角的区域,也是正相关的关系.回到解热茶销售量与气温之间的关系的散点图来,从图中可以得到规律是随着气温的增加，热饮的销售量在减少，究竟以什么样的方式减少呢？分析：分布情况是在从左上角到右下角的区域的某条直线附近摆动。

《线性回归方程》课件1

i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
方程
类似地，我们可以推得，求回归
yˆ bx a 中系数a,b的一般公式:
n
n
xi yi nx y (xi x)(yi y)
b
i1 n
xi2
2
nx
i1
n
(xi x)2
,
i1
i1
a ybx
以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。
线性回归方程
问题引入：
有些教师常说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题” 按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间也存在着某种关系。你如何认识它们之间存在的关系？
数学成绩
物理成绩
学习兴趣
学习时间
其他因素
结论：变量之间除了函数关系外，还有
。
变量之间的关系
函数关系---变量之间是一种确定性的关系.如:圆的面积S和半径r之间的关系.
b
i 1 n
xi2
2
nx
i1
n
(xi x)2
,
i 1
i 1
a y bx
数学３——统计 1. 画散点图 2. 了解最小二乘法的思想 3. 求回归直线方程 4. 用回归直线方程解决应用问题
近似表示的相关关系叫做线性相关关系.
如果散点图中的点分布从整体上看大致在一条直线附近我们就称这两个变量之间具有线性相关关系
线性回归方程：一般地,设有n个观察数据如下：
x x1 x2 x3 … xn
y y1 y2 y3 … yn 当a,b使
Q ( y1 bx1 a)2 ( y2 bx2 a)2 ... ( yn bxn a)2

高中数学选修2-3统计案例之线性回归方程习题课

1．相关关系的分类从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关．2．线性相关从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．3．回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法．(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其回归方程为y^＝b^x＋a^，则b^，a^其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距．4．样本相关系数r＝∑i＝1n(x i－x)(y i－y)∑i＝1n(x i－x)2∑i＝1n(y i－y)2，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．(1)当r＞0时，表明两个变量正相关；(2)当r＜0时，表明两个变量负相关；(3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．5．线性回归模型(1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误差．(2)相关指数用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：R2＝，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好．规律(1)函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．注意(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．(2)线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本数据估计而来的，存在误差，这种误差会导致预报结果的偏差；而且回归方程只适用于我们所研究的样本总体．考向一相关关系的判断例1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是( )A．正方形的面积与周长B．匀速行驶车辆的行驶路程与时间C．人的身高与体重D．人的身高与视力答案：C例2．对变量x、y有观测数据(x i，y i)(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v 有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C.变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：选C.由题图1可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关，由题图2可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．例3．下面哪些变量是相关关系()．A．出租车车费与行驶的里程B．房屋面积与房屋价格C．身高与体重D．铁块的大小与质量解析A，B，D都是函数关系，其中A一般是分段函数，只有C是相关关系．答案 C例4.如图所示，有5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．解析：因为A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得远．答案：D例5．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v 有观测数据(u i、v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()．A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析由题图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由题图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．答案 C例6．下列关系属于线性负相关的是( )A．父母的身高与子女身高的关系B．球的体积与半径之间的关系C．汽车的重量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程D．一个家庭的收入与支出解析：选C.A、D中的两个变量属于线性正相关，B中两个变量是函数关系．例7.山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：(1)画出散点图；(2)判断是否具有相关关系．[审题视点] (1)用x 轴表示化肥施用量，y 轴表示棉花产量，逐一画点．(2)根据散点图，分析两个变量是否存在相关关系．解 (1)散点图如图所示(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系．利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较简便的方法．在散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系．即变量之间具有函数关系．如果所有的样本点落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系；如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．例8. 根据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系________(填“是”与“否”)．解析从散点图看，散点图的分布成团状，无任何规律，所以两个变量不具有线性相关关系．答案否考向二线性回归方程例9．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y^＝a＋bx中，回归系数b( )A．不能小于0 B．不能大于0C．不能等于0 D．只能小于0解析：选C.∵b＝0时，r＝0，这时不具有线性相关关系，但b能大于0也能小于0.例10．已知回归方程y^＝4.4x＋838.19，则可估计x与y的增长速度之比约为________．解析：x与y的增长速度之比即为回归方程的斜率的倒数14.4＝1044＝522.答案：5 22例11．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()．A.y^＝－10x＋200 B.y^＝10x＋200 C.y^＝－10x－200 D.y^＝10x－200 解析因为销量与价格负相关，由函数关系考虑为减函数，又因为x，y不能为负数，再排除C，故选A.答案 A例12.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；(3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程．预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)[审题视点] (2)问利用公式求a ^、b ^，即可求出线性回归方程．(3)问将x ＝100代入回归直线方程即可．解 (1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．(2)由对照数据，计算得：i ＝14x 2i ＝86，x ＝3＋4＋5＋64＝ 4.5(吨)，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5(吨)．已知∑i ＝14x i y i ＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：b ^＝∑i ＝14x i y i －4x ·y ∑i ＝14x 2i －4x 2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此，所求的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．在解决具体问题时，要先进行相关性检验，通过检验确认两个变量是否具有线性相关关系，若它们之间有线性相关关系，再求回归直线方程．例13.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y对x的线性回归方程为()．A．y＝x－1 B．y＝x＋1C．y＝88＋12x D．y＝176解析由题意得x＝174＋176＋176＋176＋1785＝176(cm)，y＝175＋175＋176＋177＋1775＝176(cm)，由于(x，y)一定满足线性回归方程，经验证知选C.答案 C例14.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y^＝bx＋a；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．解(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得，x＝0，y＝3.2，b＝26040＝6.5，a＝y－b x＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y －257＝b(x－2 006)＋a＝6.5(x－2 006)＋3.2，即y^＝6.5(x－2 006)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为6．5(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．例15．下列有关回归直线方程y^＝bx＋a 的叙述正确的是( )①反映y^与x之间的函数关系；②反映y与x之间的函数关系；③表示y^与x之间的不确定关系；④表示最接近y与x之间真实关系的一条直线．A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选D.y^＝bx＋a表示y^与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系；但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系，故选D.例16．设有一个回归方程y^＝3－5x，变量x增加一个单位时( )A．y平均增加3个单位B．y平均减少5个单位C．y平均增加5个单位D．y平均减少3个单位解析：选B.∵－5是斜率的估计值，说明x每增加一个单位，y平均减少5个单位．例17．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，则下列说法中不．正确的是( ) A．由样本数据得到的回归方程y^＝b^x＋a^必过样本中心(x，y)B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数为r ＝－0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系解析：选C.C中应为R2越大拟合效果越好．例18．已知回归方程y^＝2x＋1，而试验得到一组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.1)，则残差平方和是( )A ．0.01B ．0.02C ．0.03D ．0.04解析：选C.当x ＝2时，y ^＝5，当x ＝3时，y ^＝7，当x ＝4时，y ^＝9.∴e ^1＝4.9－5＝－0.1，e ^2＝7.1－7＝0.1， e ^3＝9.1－9＝0.1.∴ i ＝13e ^i 2＝(－0.1)2＋(0.1)2＋(0.1)2＝0.03.例19．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②回归方程y ^＝bx ＋a 必过点(x ，y )； ③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是 90%.其中错误的是________．解析：①正确．由回归方程的定义及最小二乘法思想，知②正确．③④不正确．答案：③④例20．在2009年十一国庆8天黄金周期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品的一天销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：9通过分析，发现销售量对商品的价格x具有线性相关关系，则销售量y对商品的价格x的回归直线方程为________．解析：由数据表可得x＝10，y＝8，离差x－x：－1，－0.5,0，0.5,1；离差y－y：3,2,0，－2，－3.∴b^＝－1×3－0.5×2－0.5×2－1×3 1＋0.25＋0＋0.25＋1＝－3.2，a ^＝y －b ^x ＝40，∴回归直线方程为y ^＝－3.2x ＋40. 答案：y ^＝－3.2x ＋40例21．在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如表：根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系．解：以x 轴表示身高，y 轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．12.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程y^＝b^ x＋a^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？解：(1)设抽到不相邻2组数据为事件A，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻2组数据的情况有4种，所以P(A)＝1－410＝35.(2)由数据求得，x＝12，y＝27，由公式求得．b^＝52，a^＝y－b^x＝－3.所以y关于x的线性回归方程为y^＝5 2 x－3.(3)当x＝10时，y^＝52×10－3＝22，|22－23|<2；当x＝8时，y^＝52×8－3＝17，|17－16|<2.所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的．。

线性回归直线方程公式解题方法是什么

线性回归直线方程公式解题方法是什么
线性回归建模直线观察到的数据通过使用一个线性方程变量之间的关系是一种方法，下文是回归直线方程公式及解题方法，快来参考吧！
线性回归直线方程公式解题方法是什么
1回归直线方程公式
线性回归方程公式：b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。

回归直线方程指在一组具有相关关系的变量的数据（x与Y）间，一条最好地反映x与y之间的关系直线。

离差作为表示Xi对应的回归直线纵坐标y与观察值Yi的差，其几何意义可用点与其在回归直线竖直方向上的投影间的距离来描述。

数学表达:Yi-y^=Yi-a-bXi.
总离差不能用n个离差之和来表示，通常是用离差的平方和，即(Yi-a-bXi)^2计算。

2线性回归方程怎么解
第一：用所给样本求出两个相关变量的(算术）平均值
第二：分别计算分子和分母：（两个公式任选其一）分子
第三：计算b：b=分子/分母
用最小二乘法估计参数b,设服从正态分布,分别求对a、b的偏导数并令它们等于零。

先求x,y的平均值X,Y
再用公式代入求解:b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)
后把x,y的平均数X，Y代入a=Y-bX
求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程
(X为xi的平均数，Y为yi的平均数)。

回归方程式

回归方程式
回归方程公式：b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。

1、回归直线方程可以用最小二乘法求回归直线方程中的a,b，从而得到回归直线方程。

线性回归也是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。

按自变量个数可分为一元线性回归分析方程和多元线性回归分析方程。

2、回归方程是对变量之间统计关系进行定量描述的一种数学表达式。

线性回归模型，是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。

其表达形式为y = w'x+e，e为误差服从均值为0的正态分布。

3、最小二乘法又称最小平方法，是一种数学优化技术。

与最小二乘法不同的是，最大似然法需要已知这个概率分布函数，这在实践中是很困难的。

一般假设其满足正态分布函数的特性，在这种情况下，最大似然估计和最小二乘估计相同。

2018版高中数学必修三课件：第二章 2-4 线性回归方程精品

对于具有线性相关关系的两个变量
来说，当求得其线性回归方程后，
可以用一种确定性的关系对这两个
变量间的取值进行评估；②相关关
系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的一般的情况
之间即是一种非确定性的关系；也可能是伴随关系
②相关关系不一定是因果关系，关系模型，而相关关系是一种更为
知识点二 1.回归直线
①正方体的棱长与体积；
②角的度数与它的正弦值；
③单产为常数时，土地面积与粮食总产量；
④日照时间与水稻的单位产量. 解析函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系，但是这两种关系是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定性的关系. 因为①V＝a3，②y＝sin α，③y＝ax(a＞0，且a为常数)，所以这三项均是函数关系.④是相关关系.
之间有如0
4
40
5
60
6
50
8
70
(1)画出散点图；解散点图如图所示.
解析答案
(2)求线性回归方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3
如图是我国 2008 年至2014 年生活垃圾无害化处理量 ( 单位：
亿吨)的折线图：
注：年份代码分别对应年份2008～2014
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y与t 的关系，请用相关系数
第2章统计
§ 2.4 线性回归方程
学习目标
1.理解两个变量的相关关系的概念.
2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有线性
相关关系. 3.会求线性回归方程.
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