向量组的线性相关性与线性无关性
向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关1. 线性组合设a<i, a2,…,a t匕R ,匕，k2,…,K匕R ,称匕耳十k a +…+ ka t为a^ a2,…,a t的—一个线性组合。
一k2【备注1】按分块矩阵的运算规则，匕印+k2a2+…+ k t a t=(a“ a2,…,q)亠。
这++占丿样的表示是有好处的。
2. 线性表示设aa, g R n，b R n，如果存在匕山，K R，使得b = Ka k2a2- ■■■■ k t a t则称b可由Q , a?, , a线性表示。
k2b = ki&+k2a2+■■■+k(at，写成矩阵形式，即b =(ai@, ■■■©) ■。
因此，b 可++<k t」由a,a2,…,a t线性表示即线性方程组(a i,a2,…,aj « =b有解，而该方程组有解++当且仅当r(q,a2, ,a t) ,a t,b)。
3. 向量组等价设^包，…,ad, b2,…,b s • R n，如果^总，…,耳中每一个向量都可以由匕,鸟，…,b s线性表示，则称向量组a「a2,…,a可以由向量组gp,…,b s线性表示。
如果向量组a,a2,…,a t和向量组b|,b2,…,b s可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质:(1) 自反性任何一个向量组都与自身等价。
⑵对称性若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。
⑶传递性若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III 等价。
证明：自反性与对称性直接从定义得出。
至于传递性，简单计算即可得到。
设向量组I为矽总，…,a r ,向量组II为b,b,…,b s，向量组III为G,Q,…,G。
t向量组II可由III线性表示，假设b j八yqC k，j =12…,s。
向量组I可由向s量组II线性表示，假设a「v X ji b j，i =1,2,…,r。
因此, j 二s s t t sa = ' X jjb j = ' X ji y kjc k = ' (.一y kj X ji)C k，i = h2，…,rj 1j k a km j T因此，向量组I可由向量组III线性表示。
线性代数第四章第二节
第 二 节 向量组的线性相关性
主要内容
线性相关与线性无关的定义 向量组线性相关的充要条件 向量组的线性相关性的判定定理
一 ,线性相关与线性无关的定义
1. 定义 定义 4 给定向量组 A: a1 , a2 , , am , 如果存
在不全为零的实数 k1 , k2 , , km , 使 k1a1 + k2a2 + + kmam = 0, 则称向量组 A 是线性相关的, 否则称它线性无
关.
2. 两个特殊向量组线性相关的充要条件
1) 由一个向量构成的向量组 A: a 线性相关 的充要条件是 a = 0. 2) 由两个向量构成的向量组 A : a1 , a2 线性 相关的充要条件是 a1 , a2 的分量对应成比例. 如 的分量对应成比例.
向量组 A:
1 3 a1 = 1 , a 2 = 3 , 2 6
图 4.3
从几何上讲, 从几何上讲 若 4 维向量组所对应的平面组 中至少有三个平面共线, 中至少有三个平面共线 即至少有三个平面交于 同一直线则该向量组一定线性相关. 同一直线则该向量组一定线性相关
二 ,向量组线性相关的充要条件
定理 向量组线性相关的充要条件是该向量
组中至少有一个向量可由其余向量线性表示. 组中至少有一个向量可由其余向量线性表示
图 4.1
(2) 由三个 3 维向量构成的向量组线性相关的 几何意义是这三个向量共面. 几何意义是这三个向量共面. 如给定平面 π : x+y+z 上取三点: =3. 在 π 上取三点 M1(1,1,1) , M2(2,0,1) , M3(0,2,1) , 作三个向量: 作三个向量 z R3 M3 O M1 M2 x 3 3
向量组的线性相关与线性无关向量组的线性无关
向量组的线性相关与线性无关1、线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示就是有好处的。
２.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3、向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅与向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组就是等价的。
向量组等价的性质:(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与ＩI 等价,则向量组II 也与I 等价。
线性相关与无关的判断方法
线性相关与无关的判断方法
1、定义法
令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
2、向量组的相关性质
（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关；
（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；
（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；
（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。
（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。
若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。
3、线性重要性质
（1）向量组B=(β1，β2，……，βm)能由向量组A=(α1，
α2，……，αm)线性表示的充要条件是矩阵A=(α1，α2，……，αm)的秩等于矩阵(α1，α2，……，αm，B)的秩。
（2）向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量A的秩。
反之不一定成立。
（3）零向量可由任一组向量线性表示。
（4）向量组α1，α2，……，αm中每个向量都可由向量组本身线性表示。
（5）设α1，α2，……，αm线性无关，而α1，α2，……，αm，ß线性相关，则β可由α1，α2，……，αm线性表示，且表示是唯一的。
第二节向量组的线性相关性与线性无关性
注意： 对线性无关这个概念的理解，要多多思 考。或许有同学这样认为：α1，α2，…，αm线性无 关是指当系数k1，k2，…，km全为0时，有k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0。实际上，这种看法是错误的。 大家想一想，当系数k1 ，k2 ，…，km全为0时 ， k1α1 + k2 α2 + …+ km αm 当然是零向量, 这与α1， α2，…，αm线性相关或线性无关没有任何联系。
写成向量的形式就是
a11 a12 a a 21 22 k1 k2 a a m,1 m,2 a1n a 2n kn 0 a m,n
写成分量的形式就是 a11k1 a12 k 2 a1n k n 0 a k a k a k 0 21 1 22 2 2n n a m 1,1k1 a m 1,2 k 2 a m 1,n k n 0 取其前面m个方程，即 a11k1 a12 k 2 a1n k n 0 a k a k a k 0 21 1 22 2 2n n a m,1k1 a m,2 k 2 a m,n k n 0
定义2 设α 1 ，α 2 ，…，α m是一组n维向量， 如果存在m个不全为0的常数k1，k2，…，km使得 k1 α 1 + k2 α 2 + … + km α m = 0，则称向量组 α 1 ，α 2 ，…，α m线性相关(linearly dependent)；否则，称向量组α 1，α 2，…，α m 线性无关。
注： 类似可以证明，若一个向量组仅由α ，β ， γ 三个向量构成，则 α ， β ， γ 线性相关的充要条件 是α ，β ，γ 共面。 上述定义2是通过否定线性相关来给出线性无关的 定义，下面我们将用肯定的表述来说明线性无关这个 概念。为此，我们先检查线性相关的定义。称 α 1 ， α 2 ，…， α m 线性相关是指存在不全为 0 的 m 个常数 k1 ， k2 ，…， km 使得 k1 α 1 + k2 α 2 + … + km α m = 0 , 这即是说：以k1，k2，…，km为未知数的方程（实际上， 若按向量的分量来看，这是一个方程组）： k1 α 1 + k2 α 2 + … +km α m = 0 有非零解（ k1 ， k2 ，…，km）。
向量组的线性相关性与线性无关性
向量组的线性相关性与线性无关性在线性代数中，向量组是指由一组向量所组成的集合。
而向量组的线性相关性与线性无关性则是研究向量组内向量之间的关系，是线性代数中的重要概念之一。
一、线性相关性线性相关性是指存在一组不全为零的实数或复数使得向量组中的向量可以通过线性组合得到零向量。
换句话说，如果存在不全为零的实数或复数c1，c2，...，cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组v1，v2，...，vn是线性相关的。
举个例子来说，考虑一个二维向量组{(1, 2), (2, 4)}，我们可以发现这两个向量是线性相关的，因为存在一个实数c，使得c(1, 2) + (2, 4) = (0, 0)。
实际上，这两个向量是共线的，它们的方向相同，只是长度不同。
二、线性无关性线性无关性是指向量组中的任意向量不能由其他向量线性表示出来。
换句话说，如果对于向量组v1，v2，...，vn中的任意一个向量vi，都不存在一组实数或复数c1，c2，...，cn（其中ci≠0），使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = vi，则称向量组v1，v2，...，vn是线性无关的。
继续以上面的例子来说，考虑一个三维向量组{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}，我们可以发现这三个向量是线性相关的。
实际上，第三个向量可以由前两个向量线性表示出来：(3, 6) = 3(1, 2) + 0(2, 4)。
因此，这三个向量是线性相关的。
三、线性相关性与线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
如果一个向量组是线性相关的，那么它就不是线性无关的；反之亦然。
换句话说，线性相关性与线性无关性是两个互斥的概念。
在实际应用中，我们经常需要判断一个向量组的线性相关性或线性无关性。
这对于解方程组、求解特征值等问题都有着重要的意义。
四、判断线性相关性与线性无关性的方法判断一个向量组的线性相关性或线性无关性有多种方法，其中最常用的方法是通过求解线性方程组来判断。
向量组的线性相关与线性无关
1 2 4 0 5 5 0 3 3 0 9 9
1 0 0 0
2 1 0 0
4 1 ， 0 0
r(A) =(a1 a2 am)秩2<3 （向量的个数） ，
所以向量组 a1，a 2，a 3 线性相关。
判定定理 首页 上页 返回 下页 结束 铃
例2．判断向量组 A: a1(1, 2, 0, 1)，a 2(1, 3, 0, 1)， a 3(1, 1, 1, 0)是否线性相关。
∴此向量组 线性相关
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判定向量组线性相关与线性无关的步骤：
a11 a12 a 设n个m维向量组 A： a1 ， 2 a 1m
a21 a22 a ， ， n a2m
an1 an2 anm
（1）比较向量组 A的个数n与向量的维数m
①当n＞m时，向量组 A线性相关（如例6）
试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性．
解：
可见 R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关； 同时，R(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关．
11
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推论1：设n个n维向量为 a11 a12 a21 a22 a1 a a ， 2 ， ， n an1 an2
1 0 0 k1 0 若 k1e1 k2 e2 k3 e3 k1 0 k2 1 k3 0 k2 0 0 0 1 k 0 3
＝0，线性相关 （2）当n=m时，计算行列式|A| =| a1 a2 an | ≠0，线性无关 （如例4，例5） ＜ n ，线性相关 （3）当n＜m时，计算r(A)=秩（ a1 a2 an ） ＝ n ，线性无关 （如例1,例2,例3 ）
向量组的线性相关与线性无关
定义１ 给定向量组A :1,2 , ,m，对于任何一
组实数k1，k2， , km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km称为这 个线性组合的系数.
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
容易验证 x=1, y=1, z= -1是上述方程的一组非零解 即存在一组不全为零的数 1，1，－1使
1 1 (1) 0
所以 , , 线性相关
例3 已知向量组1,2 ,3 线性无关, b1 1 2 ,
b2 2 3 , b3 3 1, 试证b1, b2 , b3线性无关.
证 设有x1, x2 , x3使
若向量组A线性无关，则向量组B也线性无关。 说明 增加方程个数相当于向量 j ( j 1, 2,L m)
增加分量，但向量组所含向量的个数不变
由于线性方程组的解与方程组中方程的次 序无关，由此我们得到如下命题
命题2 设有两个向量组
A : j (a1 j , a2 j ,L anj )T ( j 1, 2,L m), B : j (ap1 j , ap2 j ,L , apn j )T ( j 1, 2,L m),
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的.
5.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组, 它 线 性 相 关 的 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向 量共面.
线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个方程是其余方程的线性组 合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各 个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方 程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线 性独立）.
向量组的线性相关与线性无关分析
向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ⎛⎫⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示是有好处的。
2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。
线性相关性与线性无关性
线性相关性与线性无关性线性相关性和线性无关性是线性代数中的两个基本概念，它们在向量空间和矩阵运算中有着重要的应用。
本文将介绍线性相关性和线性无关性的概念、判定条件以及相关性质。
一、线性相关性的概念和判定条件1. 线性相关性的概念线性相关性是指在向量空间中存在一种非零的线性组合，使得线性组合的系数不全为零。
换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，存在不全为零的实数k₁, k₂, ..., kₙ，使得k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性相关。
2. 线性相关性的判定条件线性相关性的判定条件是通过求解线性方程组来完成的。
对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。
若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关；若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关。
二、线性无关性的概念和判定条件1. 线性无关性的概念线性无关性是指在向量空间中不存在非零的线性组合使得线性组合的系数全为零。
换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，当且仅当线性组合的系数全为零时，才有k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性无关。
2. 线性无关性的判定条件线性无关性的判定条件是通过构造一个齐次线性方程组来完成的。
对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。
若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关；若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关。
三、线性相关性和线性无关性的性质1. 线性相关性和线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
当一组向量线性相关时，它们线性无关；当一组向量线性无关时，它们线性相关。
线性相关性与线性无关性
线性相关性与线性无关性线性相关性和线性无关性是线性代数中重要的概念，用于描述向量之间的关系。
本文将介绍线性相关性和线性无关性的定义、性质以及它们在矩阵和向量运算中的应用。
一、线性相关性的定义在向量空间中，如果存在一组非零向量，其中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么我们称这组向量是线性相关的。
换言之，如果存在实数$c_1, c_2, ..., c_n$，使得$c_1\mathbf{v_1} +c_2\mathbf{v_2} + ... + c_n\mathbf{v_n} = \mathbf{0}$，其中$\mathbf{v_i}$是向量集合中的向量，且至少存在一个$c_i$不为零，则这组向量是线性相关的。
二、线性无关性的定义与线性相关性相反，如果一组向量中的任意一个向量都不能表示为其他向量的线性组合，那么我们称这组向量是线性无关的。
换言之，如果仅当$c_1 = c_2 = ... = c_n = 0$时，$c_1\mathbf{v_1} +c_2\mathbf{v_2} + ... + c_n\mathbf{v_n} = \mathbf{0}$，其中$\mathbf{v_i}$是向量集合中的向量，则这组向量是线性无关的。
三、线性相关性与线性无关性的性质1. 若向量组中有一个零向量，则向量组线性相关。
2. 若向量组中的向量个数少于向量的维数，则向量组线性相关。
3. 若向量组中的向量个数多于向量的维数，则向量组线性无关。
4. 若向量组中的向量组成的矩阵的行数大于列数，则向量组线性相关。
5. 若向量组中的向量组成的矩阵的行数小于列数，则向量组线性无关。
四、线性相关性与线性无关性的应用线性相关性和线性无关性在矩阵和向量运算中有广泛的应用。
1. 判断向量组的线性相关性与线性无关性可以通过求解线性方程组$c_1\mathbf{v_1} + c_2\mathbf{v_2} + ... + c_n\mathbf{v_n} = \mathbf{0}$，其中$\mathbf{v_i}$是向量集合中的向量，判断一组向量的线性相关性或线性无关性。
向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关1。
线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭.这样的表示是有好处的. 2。
线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示.1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭.因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3。
向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：（1） 自反性 任何一个向量组都与自身等价.（2） 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价.（3) 传递性 若向量组I 与II 等价,向量组II 与III 等价，则向量组I 与III 等价。
向量组线性相关与线性无关
向量组线性相关与线性无关的判别方法摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩1 引言在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.2 向量组线性相关和线性无关的定义定义 设向量组m ααα,,,21 都为n 维向量，如果数域P 中存在一组不全为零的数12,m k k k ,使0332211=++++m m k k k k αααα 则称向量组是线性相关, 反之，若数域P 中没有不全为零的数12,m k k k ，使0332211=++++m m k k k k αααα ，称它是线性无关.3 向量组线性相关和线性无关的判定方法 3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的.命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量.关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断.命题2 两个n 维向量()n a a a ,,,21 =α，()n b b b 21,=β线性相关的充要条件是i a 与()n i b i 2,1=对应成比例.证明 假设()n a a a ,,,21 =α，()n b b b 21,=β线性相关，则存在不全为0的数21,k k ，命题3 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则任一包含这组向量的向量组都线性相关.证明 设m ααα,,,21 线性相关，s m m m ++ααααα,,,,,,121 是包含m ααα,,,21 的一组向量，由于m ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数12,m k k k 使得0332211=++++m m k k k k αααα 此时有0001332211=+++++++++s m m m m k k k k αααααα ,因此，s m m m ++ααααα,,,,,,121 线性相关.证毕.由命题3可知，在多个向量构成的向量组中，如果该向量组中含有零向量或包含成比例的两向量，那么这个向量组必定线性相关.命题4 含有零向量或成比例的两向量的向量组必线性相关.3.2.1 运用定义判定由定义判断向量组的线性相关性是最直接的方法，于是我们知道若想判断一个向量组的线性相关性只要求出线性表示的相关系数，并由系数的值便可以判断出向量组是否线性相关.例1 设m m m ααβααβααβ+=+=+=--11322211,,, ，证明，当m 为偶数时，123,,,m ββββ线性相关.证明 令1122330ββββ+++=m m k k k k ，即()()()01322211=++++++a a k a a k a a k m m ，又即()()()0121211=++++++-m m m m a k k a k k a k k ，取1,142131-========-m m k k k k k k ，则有0332211=++++m m k k k k ββββ .由线性相关的定义知，m βββ,,,21 线性相关.3.2.2 用向量组的秩和矩阵的秩判断向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数.命题5 一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含的向量的个数相同. 若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的，若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的.例2 设向量组()()()1,4,1,2,4,5,2,4,1,3,1,2321--=-=-=ααα，判断321,,ααα的线性相关性.解()()0,0,0,04,453,2,242321321321321332211=-+++---++=++k k k k k k k k k k k k k k k ααα得0321===k k k ，于是321,,ααα线性无关.例3 设向量组m ααα,,,21 线性无关，且可由向量组m βββ,,,21 线性表示.证明：m βββ,,,21 也线性无关，且与12,,,m ααα等价.证明 如果m βββ,,,21 线性相关，假设r βββ,,,21 是它的一个极大无关组，如果m r =,就说明了m βββ,,,21 就是它本身的极大无关组，当然是线性无关的,出现矛盾！下面考虑m r <.又因为向量组m ααα,,,21 可由m βββ,,,21 线性表示，则m ααα,,,21 也可由m βββ,,,21 线性表示,于是有r m ≤,矛盾！由于m βββ,,,21 线性无关，则()m R m =βββ,,,21 ,又m ααα,,,21 可由m βββ,,,21 线性表示,所以，{}≅m βββ,,,21 {}m m βββααα,,,,,,,2121 等价，所以()m R m m =βββααα,,,,,,,2121 .于是m ααα,,,21 和m βββ,,,21 都是{}m m βββααα,,,,,,,2121 的极大无关组.所以它们是等价的，证毕.命题6 设m ααα,,,21 为n 维列向量,矩阵),,,(21m A ααα =. (i)当()m A R <时，向量组12,,m ααα线性相关; (ii)当()m A R =时，向量组12,,m ααα线性无关.例4 判断向量组()12,1,0,5αT=,()27,5,4,1αT=-- ,()33,7,4,11αT=--线性相关性.解 利用矩阵的初等行变换将方程组的系数矩阵A 化为行阶梯形矩阵=A 2731-5-70445-1-11⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡11-1-54403727-5-1→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101101107-5-1→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000001107-5-1 由行阶梯形矩阵知()23R A=<,所以向量组321,,ααα是线性相关的.上面是以321,,ααα为列向量组构造矩阵，根据矩阵的行秩与列秩的关系，用321,,ααα为行向量组构造矩阵，在进行初等行或者列变换也可以得到相同的结果.3.2.3 利用行列式的值判断命题7 若()()()nn n n n n n a a a a a a a a a ,,,,,,,,,,,,21222212112111 ===ααα,以n ααα,,,21 作为列向量构成的矩阵),,,(21n A ααα =是一个方阵，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnn n a a a a a a a a a A212221212111(i)当0=A 时，向量组ααα12,,n 线性相关. (ii)当A 0≠时，向量组ααα12,,n 线性无关.例 5 设()αT=11,1,1,()()ααTT==231,2,3,1,3,t 问t 取何值时，向量组321,,ααα线性相关.解 向量组321,,ααα的个数和维数相等都为3，=A 531321111-=t t可见当5=t 时，0=A ，所以向量组321,,ααα线性相关.3.2.4 利用齐次线性方程组的解判断对于()111211,,,n a a a αT=,()212222,,,n a a a αT=,()12,,,m m m nm a a a αT=的线性相关判断命题8 若m ααα,,,21 为系数向量的齐次线性方程组02211=+++m m x x x ααα 有非零解，则向量组m ααα,,,21 线性相关，若该齐次线性方程组只有零解，则向量组m ααα,,,21 线性无关.例6 已知()11,1,1α=,()21,2,3α= ,()31,3,t α= (i)当t 为何值时，向量组321,,ααα线性无关？ (ii)当t 为何值时，向量组321,,ααα线性相关？(iii)当向量组321,,ααα线性相关，将3α表示为1α和2α的线性组合. 解 设有实数321,,x x x 使0332211=++αααx x x 则可以得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++020320321321321tx x x x x x x x x 其系数行列式 =D t31321111(i)当5≠t 时，0≠D ，方程组只有零解，即0321===x x x ，这时，向量组123,,a a a 线性无关.(ii)当5=t 时0=D 方程组有非零解，即存在不全为零的数，321,,x x x 使，0332211=++αααx x x此时321,,ααα线性相关，(iii)当5=t 时，由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡531321111→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0002101-01,此时有⎩⎨⎧=-=-0203231x x x x令2,121==x x ，有ααα-+=12320,从而3α可由12,αα,表示ααα=-+3122.在运用定义法，秩的判别方法，齐次线性方程组和行列式法的时候，它们之间三既有联系又有区别的，联系是，运用定义法时，要解一个齐次线性方程组，由该方程组是否有非零解判定向量组的线性相关性，在运用定义法的同时，也运用了判别齐次线性方程组的有无非零解法，如上述例子中，秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法的出发点不同，但是实质也是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的矩阵化为阶梯形矩阵，从而分别求出向量组的秩与系数矩阵的秩，然后再做判断，如行列式法实质上是根据克莱姆法则判别以向量组各向量作为系数向量的齐次线性方程组有无非零解，所以能运用行列式法进行判定时，也可以用秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法.区别是，适用的前提条件不同，定义法适用于各分量均未具体给出的向量组；秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法适用于各分量都具体给出的向量组，行列式法适用于各分量都具体给出且向量组中向量的个数与向量的维数相等的向量组，因此，在对向量组的线性相关性进行判定时，要根据题设条件适当选择判定方法.以上是从向量组的分量是否具体给出两个大的方面介绍了向量组线性相关性相关性的判断方法，由此可见，如果向量组的分量是具体给出的，则判断向量组线性相关性是比较简单的，总可用方程组的解，矩阵的秩和行列式的值得方法来判断，如果向量组的分量是没有具体给出吃的，则熟练理解和掌握向量组线性相关性的定义，定理，等知识是解题的必要条件，要灵活运用向量组线性相关性的定义，定理等知识和技巧才有助于提高分析解决问题的能力.3.2.5 用反证法在有些题目中，直接证明结论有时候比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知定义，定理，公理，相矛盾的结果，从而结论的反面不成立，则结论成立.例7 设向量组m ααα,,,21 中任一向量i α不是它前面1-i 向量的线性组合，且0≠i α证明向量组m ααα,,,21 线性无关.证明 假设向量组m ααα,,,21 线性相关，则存在不全为零的数mk k k k ==== 321使得,0332211=++++m m k k k k αααα , ○1 不妨设0≠m k 由上式可得,mm m m m m k a k k a k k a k a 112211------= ,即m α可以由它前面1-m 个向量线性表示，这与题设矛盾，因此0=m k .于是○1式转化为011332211=++++--m m k k k k αααα ，类似于上面的证明可得0221====--k k k m m ,○1式转化为011≠αk ,但01≠α，所以01≠k 这与m k k k === 21不全为零的假设相矛盾,所以向量组线性无关. 3.2.6运用相关结论判定定理1 向量n ααα,,,21 )2(≥n 线性相关的充要条件是这n 个向量中的一个为其余1-n 个向量的线性组合.例8 判断向量组1α= (0,3,1,-1), 2α= (6,0,5,1), 3α= (4,-7,1,3)是否线性相关？解 将321,,ααα以行排成矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--317415061130→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000011302472 矩阵A 化为阶梯形矩阵后出现零行，则321,,ααα中必有一向量能被其余剩下的向量线表示，故由定理1知，向量组321,,ααα线性相关.我们注意到，例9中的矩阵A 在初等行变换的过程中，不论是否化成了阶梯型矩阵，一旦出现零行，就可以断定n ααα,,,21 中必有一个向量能被其余剩下的1-n 个向量线性表示，从而向量组线性相关.定理2 一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关.例9 判断向量组：=1α ()1,2,4,0,1T, =2α()0,1,8,1,2T, =3α ()0,2,3,0,5T的线性相关性.解 取=1β()1,0,0T，=2β()0,1,1T，=3β()0,2,0T，因为由321,,βββ为列向量的行列式不为零，所以向量组321,,βββ线性无关，从而在相同位置上增加了两个分量后所得向量组321,,ααα是线性无关的.定理3 任意1+n 个n 维向量必线性相关.定理 4 如果向量组123,,,m αααα可由向量组s βββ,,,21 线性表示，若s m >,则123,,,m αααα线性相关.证明 设02211=+++n n x x x ααα ，由已知可知()m i kk k k j sj jis si i i i 112211==+++=∑=ββββα带入上式可得j s j m i i ji j i s j m i ji s j j ji mi i i mi i x k x k k x x βββα∑∑∑∑∑∑∑=======⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111要证明123,,,m a a a a 线性相关，只需证明存在不全为零的数n x x x ,,,21 使得02211=+++n n x x x ααα 成立，即只要存在不全为零的数n x x x ,,,21 使得j s j m i i ji j i s j m i ji s j j ji mi i i mi i x k x k k x x βββα∑∑∑∑∑∑∑=======⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111中的每一个j β前的系数均为零即可.要使每个j β前面的系数为零，则可得到,⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111m sm s s m m m m x k x k x k x k x k x k x k x k x k 因为s m >即，方程组的个数小于未知量的个数,得到方程组有非零解,所以123,,,m a a a a 线性相关.定理 5 如果向量组r βββ,,,21 可以由123,,,r αααα线性表示为且123,,,rαααα是线性无关的，设r j a rj jij i ,,2,1,1==∑=αβrrr r rr a a a a a a a a a A212222111211=，若0≠A 则r βββ,,,21 线性无关.证明 设02211=+++r r k k k βββ , 将()r i a a a a r ir i i rj jij i 2,122111=+++==∑=ααααβ代入上式，得()()()022112222211211221111=++++++++++++r r rr r r r r r r k a k a k a k a k a k a k a k a k a ααα 由123,,,r αααα线性无关,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111r rr r r rr r r k a k a k a k a k a k a k a k a k a则r βββ,,,21 线性无关,所以系数全为零，即方程组只有零解，0212222111211212221212111≠=rrr r rrrr r rr r a a a a a a a a a a a a a a a a a a得证！例10 设r r αααβααβαβ+++=+== 2121211,,,且向量组123,,,r αααα线性无关，求向量组r βββ,,,21 的线性相关性.解 因为r βββ,,,21 由123,,,r αααα线性表示，由定理5可得,011011011≠==A因为123,,,r αααα线性无关，且0≠A 所以r βββ,,,21 线性无关.结束语本文着重介绍了向量组线性相关和线性无关的判定方法，总介绍定义入手，介绍了它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间的重要联系，深入了解各种方法在解决向量组线性相关和线性无关的解题中的要领，掌握方法本质，最后总结了一些方法，例如；利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.参考文献[1]姚慕生，吴泉水，高等代数学[M]，第2版，上海，复旦大学出版社，2008.[2]刘仲奎，杨永保，程辉，等，高等代数[M]，北京，高等教育出版社，2003.[3]钱吉林，高等代数题解精粹[M]，北京，中央民族大学出版社,2002.[4]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，高等代数[M]，北京，高等教育出版社，2003.[5]董明秀，判断向量组线性相关与线性无关[J]，考试周刊，12;7（2013）， 61-63.[6]黄娟霞，关于向量组线性相关性的初步探讨[J]，广东石油化工学报，18;11(2012)， 40-44.[7]段辉明，李永红，线性相关性若干问题的分析和探究[J]，科技创新导报，15;9(2013)，20-23.Identification Method of Linear Dependence and Linear IndependenceAbstract The vector group’s Linear dependence and linear independence are most abstract concepts in linear algebra. How to determine Linear dependence and linear independence is the key factor to understand vector correctly.This paper introduces the relationship between determinant, matrix, the solution of linear equations and it, also concludes the methods to determine the vector's linear dependence and linear independent.Keywords Vector group Linear dependence Linear independence Matrix Rank（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）推荐精选。
向量的线性相关与线性无关
向量的线性相关与线性无关线性代数是数学的一个重要分支，研究的是与向量、线性方程组和线性变换相关的性质和问题。
在线性代数中，我们经常遇到一个重要的概念，即向量的线性相关和线性无关。
一、向量的线性相关和线性无关的定义在介绍向量的线性相关和线性无关之前，我们先来了解一下什么是向量。
向量是由一些按照一定顺序排列的数所组成的有序数组，常用来表示空间中的一个点或者一个有方向和大小的物理量。
1. 向量的定义在几何学中，向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，而箭头的方向表示向量在空间中的方向。
我们可以用两个点表示一个向量，即起点和终点的坐标差。
一个向量由其大小和方向共同决定。
2. 向量的线性相关和线性无关对于一组向量，如果存在一组不全为零的标量，使得它们的线性组合等于零向量，则称这组向量是线性相关的；如果不存在这样的标量，即只有当所有标量均为零时，线性组合才等于零向量，那么这组向量就是线性无关的。
二、判断向量的线性相关与线性无关判断向量的线性相关与线性无关主要通过向量的线性组合来进行。
对于一组向量，我们可以用以下两种方法来判断其是否线性相关或线性无关。
1. 行列式判断法对于n个n维向量构成的矩阵A，可以将其写成行向量的形式，即A=[a1,a2,...,an]。
通过计算矩阵A的行列式，如果行列式的值不等于零，则这组向量线性无关；反之，如果行列式的值等于零，则这组向量线性相关。
2. 线性组合判断法对于一组向量V1,V2,...,Vn，我们可以设想存在标量C1,C2,...,Cn，使得C1V1+C2V2+...+CnVn=0。
如果这组向量是线性相关的，那么至少存在一个标量不等于零；如果线性无关，则所有的标量均为零。
三、向量的线性相关与线性无关的应用1. 线性方程组的解的唯一性线性方程组的解的唯一性与系数矩阵的行列式是否为零有关。
如果系数矩阵的行列式不等于零，则线性方程组有唯一解；如果行列式等于零，则方程组有无穷多个解或者无解。
线性相关与线性无_图文
k1μ1+k2μ2+…+ks-1μs-1=0,
故β1，β2，。。。βs-1线性无关。
例4 设向量组α1，，α2，…αs线性无关，并 且有
(1)
证明： β1，β2，。。。βs线性无关的充要条 件是
证明：设存在s个常数x1,x2,…xs满足
x1β1+x2β2+…+xsβs=0,
│ α1，α2，…αn │=0；线性无关的充要条件是行列 式
│ α1，α2，…αn │≠0.
3，一般地，把向量组的向量作为矩阵的行（ 或列），得矩阵Am×n，通过初等变换求其秩 r(Am×n)，若r=m(＜m)，则A的行向量组线性 无关（相关）；若r=n(＜n)，则A的列向量组 线性无关（相关）。
(2)
把（1）代入（2）式得
X1(a11α1+…+a1sαs)+x2(a21α1+…+a2sαs)+ …+xs (as1α1+…+assαs)=0,
即(a11x1+a21x2+…+as1xs) α1+
(a12x1+a22x2+…+as2xs) α2+…
+(a1sx1+a2sx2+…+assxs) αs=0,
解：因为向量组α1 ，α2 ，α3可以由β1 ，β2 ，β3 线性表示，故三个方程组x1β1+x2β2+x3β3=αi(i=1 ，2，3)均有解，对增广矩阵进行初等行变换，
可见a≠4且a≠-2时， α1 ，α2 ，α3可以由β1 ，β2 ，β3线性表示
向量组β1 ，β2 ，β3不能由α1 ，α2 ，α3线性表示， 即方程组x1α1+x2α2+x3α3=βj（j=1,2,3）无解
向量的线性相关性与线性无关性
向量的线性相关性与线性无关性向量是线性代数中的重要概念，它们在数学和物理问题的求解中有着广泛应用。
在研究向量时，我们经常会遇到线性相关性和线性无关性的概念。
本文将详细介绍向量的线性相关性和线性无关性的概念、判别方法以及相关性和无关性的应用。
一、向量的线性相关性在线性代数中，我们说一组向量是线性相关的，当且仅当存在不全为零的实数（即系数），使得这组向量的线性组合等于零向量。
换句话说，如果我们有向量v1、v2、...、vn，并存在不全为零的实数a1、a2、...、an，使得方程a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0成立，则这组向量是线性相关的。
例如，考虑两个二维向量v1 = (1, 2)和v2 = (2, 4)。
我们可以看到这两个向量是线性相关的，因为它们成比例，即v2 = 2v1。
通过将v2代入线性组合中，我们可以得到2v1 - v2 = 0。
为判断一组向量是否线性相关，我们可以使用以下两种方法：1. 行列式法：将这组向量构成一个矩阵A，计算矩阵A的行列式。
如果行列式的值等于零，则这组向量是线性相关的；如果行列式的值不等于零，则这组向量是线性无关的。
2. 线性组合法：我们可以设立一个线性组合方程，通过求解方程组判断是否有解。
如果存在不全为零的解，则这组向量是线性相关的；如果方程组只有零解，则这组向量是线性无关的。
二、向量的线性无关性如果一组向量不满足线性相关性的条件，即不存在不全为零的实数使得它们的线性组合等于零向量，那么这组向量就是线性无关的。
线性无关性与线性相关性是相对的概念。
如果一组向量是线性无关的，那么它们可以说是线性相关的向量组的最简组合。
这意味着，通过去掉线性相关向量组中的任意一个向量，所剩下的向量组任然是线性无关的。
三、线性相关性与线性无关性的应用线性相关性和线性无关性不仅仅是理论概念，在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 解方程组：线性代数中的方程组可以通过判断系数矩阵的线性相关性来确定有唯一解、无解或无穷多解的情况。
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定理3 即是说，如果已知一个向量组线性相关， 则在此基础上增加一些同维数的向量，得到的 新的向量组一定线性相关。 推论1 若某向量组含有零向量，则此向量组一定 线性相关。 定理4 设两个向量组T1：α1, α2，α3，…，αn 和T2：β1 ，β 2 ,…，β n，其中 αj = (a1j, a2j, …，a mj)T, βj = (a1j, a2j, …，a mj, a m+1,j) T, j = 1，2，…，n. 若向量组T1：α1, α2，α3，…，αn线性无关, 则向量组T2：β1 ，β 2 ,…，β n线性无关。
定理2 设 （1） 向量组α1, α2，α3，…，αm，β线性相 关； （2） 向量组α1, α2 ，α3 ，…，αm 线性无 关， 则向量β可以由α1, α2，α3，…，αm线 性表示，且表示式唯一。
证 由α1, α2，α3，…，αm，β线性相关知存 在m＋1个不全为0的常数k1，k2，k3，…，km， km+1使得 k1α1 + k2α2 + k3 α3 + … ＋km αm + km+1 β = 0, 要证明β可由α1 ，α2 ，…，αm 线性表示，只 须证明km+1≠0即可。因为若km+1≠0，则
⎛ k1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ k2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜ k ⎟ ⎜0⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠
所以 k1= k2 = k3 =0 。 因此，e1, e2 , e3 线性无关。 定理1 向量组α1，α2，…，αm ( m 2 ) 线 性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量 可以由其余m－1个向量线性表示。 证明：先证必要性。 因为 α1，α2，…，αm线性相关，所以存 在不全为0的m个常数k1 , k2 , … ,km使得k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0。不妨设 k1≠0, 则
取其前面m个方程，即
⎧ a11k1 + a12 k 2 + ⎪ a k +a k + ⎪ 21 1 22 2 ⎨ ⎪ ⎪a m,1k1 + a m,2 k 2 + ⎩
+ a1n k n = 0 + a 2n k n = 0 + a m,n k n = 0
写成向量的形式就是
⎛ a11 ⎞ ⎛ a12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a 21 ⎟ a 22 ⎟ k1 ⎜ + k2 ⎜ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜a ⎟ ⎟ ⎜a ⎟ ⎟ m,1 ⎠ m,2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ a1n ⎞ ⎜ ⎟ a 2n ⎟ kn ⎜ =0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜a ⎟ ⎟ m,n ⎠ ⎝
k1 k2 β =− α1 − α2 − km +1 km +1 km − αm km +1
下面用反证法证明 km+1≠0. 假设km+1= 0，则有不全为0的m个数k1， k2，…，km 使得k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0, 这与α1，α2，…，αm线性无关矛盾！
下面再证明表示式唯一。设有两个表示式： β = k1α1 + k2 α2 + … + km αm 及 β = l1α1 + l2 α2 + … + lm αm 则两式相减就有 0 = (k1－l1)α1+ (k2－l2)α2 + (k3－l3 )α3 + … + (km－lm )αm， 由α1，α2，…，αm 线性无关, 知 (k1－l1 ) = (k2－l2 ) = … = (km－ lm ) = 0， 即 k1= l1, k2= l2 , … , km= lm 故表示式唯一。
因此，我们有下述几种等价说法： α1，α2，…，αm线性无关 以k1 ，k2 ，…，km 为未知数的方程k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0没有非零解 k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0只有零解：k1 = k2 = … = k m = 0 由k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0一定可以推 出 k1 = k2 = … = km = 0 若k1，k2，…，km不全为0，则必有k1α1 + k2 α2 + … + km αm ≠ 0。
这即是说对于上述不全为0的数k1，k2，…，kn 有 k1α1 + k2α2 + …+ knα n = 0， 即α1, α2，α3，…，αn线性相关。
定理4是说，如果已知某向量组（向量个 数为n）线性无关，则此向量组中的每个向量 增加一个分量而得到的多一维的向量组（向量 个数还是n）一定仍然线性无关。增加一维分 量如此，增加任意k维分量显然也是如此。
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定理3 若向量组α1, α2，α3，…，αm线性相 关，则向量组α1, α2，α3，…，αm， αm+1，…，αn也线性相关。 证: 设α1, α2，α3，…，αm线性相关，则有不 全为0的m个数k1，k2，…，km 使得 k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0, 从 而 k1α1 + k2 α2 + …+ km αm+0·αm+1 +…+0·αn = 0. 因为k1，k2，…，km，0, …，0这n个数不全为0 （因为k1，k2，…，km不全为0），故α1, α2， α3，…，αm，αm+1，…，αn线性相关。
证 反证法。（假设T2线性相关，证明T1线性 相 关 。 ） 若 T2 线 性 相 关 ， 则 有 不全为0的数 k1，k2，…，kn使得 k1β1 + k2β 2 + …+ knβ n = 0, 即
⎛ a11 ⎞ ⎛ a12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a 21 ⎟ + k ⎜ a 22 ⎟ + k1 ⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ m +1,1 ⎠ m +1,2 ⎠ ⎝ ⎝
例 设e1 = (1, 0, 0 )T, e2 = (0, 1, 0 ) T, e3 = (0, 0, 1) T, 证明：e1, e2 , e3线性无关。 证明：如果存在数k1 ，k2 ，k3使得 k1 e1 + k2 e2 + k3 e3 = 0，即 ⎛1 ⎞ ⎛0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ k1 ⎜ 0 ⎟ + k2 ⎜ 1 ⎟ + k3 ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 通过左边的数乘和加法，上述等式即是
注意： 对线性无关这个概念的理解，要多多思 考。或许有同学这样认为：α1，α2，…，αm 线性无关是指当系数k1，k2，…，km全为0 时，有k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0。实际 上，这种看法是错误的。大家想一想，当系数 k1 ，k2 ，…，km全为0时 ，k1α1 + k2 α2 + …+ km αm 当然是零向量, 这与α1， α2，…，αm线性相关或线性无关没有任何联 系。
第二节 向量组的线性相关性与 线性无关性
定义1 设α1 ，α2 ，…，αm ，β是一组n维 向量，若存在m个实数 k1 ，k2 ，…，km使得 β = k1α1 + k2 α2 + … + km αm ，则称β可以 由α1 ，α2 ，…，αm线性表示( linear representation )。或称α1 ，α2 ，…，αm线性 表示(linear generate)β。 例如：α1 = (1, 2, 0) T，α2 = (1, 0, 3) T, α3 = (3, 4, 3)T，则α3 = 2α1 + α2 ，即存在实数k1 ＝2，k2＝1使得α3 = k1α1 + k2α2，故α3可以 由α1 ，α2线性表示。（大家想一想，这里的常 数k1 ＝2，k2＝1是怎么求出来的？）
定义2 设α1 ，α2 ，…，αm是一组n维向量， 如果存在m个不全为0的常数k1，k2，…，km使得 k1 α1 + k2 α2 + … + km αm = 0，则称向量组 α1 ，α2 ，…，αm线性相关(linearly dependent)；否则，称向量组α1，α2，…，αm 线性无关。
例1 若一个向量组仅由一个向量α组成， 则 由定义2 易知它线性相关的充要条件是α = 0。 例2 若一个向量组仅由α，β两个向量组成， 则α，β线性相关是指α，β这两个向量的分 量对应成比例，换句话说，即是指α与β平行 或α，β共线。 证明： α，β线性相关 存在不全为0的 两个数k1，k2使得k1α + k2β = 0 ，不妨假设 k1≠ 0，则由k1 α + k2 β = 0 知α = β, 此即 说明α ，β的分量对应成比例。
⎛ a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 2n ⎟ = 0 + kn ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ m +1,n ⎠ ⎝
写成分量的形式就是
⎧ a11k1 + a12 k 2 + + a1n k n = 0 ⎪ a k +a k + +a k = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⎨ ⎪ ⎪a m +1,1k1 + a m +1,2 k 2 + + a m +1,n k n = 0 ⎩
从上述关于线性无关的几种等价说法可以看 出：α1，α2，…，αm线性无关是指，只有当 k1= k2 = … = km = 0时才有k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0。或者换句话说，在k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0这个条件 下，一定可 以推出k1= k2 = … = km = 0。实际上，以后我 们证明一个向量组线性无关时，一般均采用此 观点，即先假设k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0，然后在此假设条件下去证明k1= k2 = … = km = 0.