赣县中学高中数学竞赛数论第10讲不定方程(中)

第10讲 不定方程（二）

一、知识点介绍

1、 勾股方程：222z y x =+

这是一个相当特殊的三元二次不定方程，它有鲜明的几何意义，并应用广泛。

这里只讨论勾股方程的正整数解，由方程不难看出如果d y x =),(，则22z d ，从而

z d ，这样可在勾股方程两边约去2d ，所以我们只须讨论1),(=y x 的解，此时易知z y x ,,实际上两两互素，这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为勾股方程的本原解，也称为本原勾股数。下面给出勾股方程的全部本原解：

定理1：方程222z y x =+满足1),(=y x ，2y 的全部正整数解),,(z y x 可表示为： 2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中b a ,是满足b a b a ,,0>>一奇一偶

且1),(=b a 的任意整数。

2、 佩尔（Pell ）方程：122=-dy x ，其中+∈N d ,且不是完全平方数…………①

定理2：方程①有无穷多组正整数解，则①的全部正整数解由 +∈⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-++=-++=N n y d x y d x d y y d x y d x x n n n n n n ,])()[(21])()[(2111111111给出 通常称),(11y x 正整数解),(y x 中的最小解。

二、例题讲解

例1、解下列不定方程（1）、18777143=-y x ；

（2）、2537107=+y x

例2、设z y x ,,是222z y x =+的正整数解，

证明：（1）、x 3，y 3至少有一个成立；（2）、x 5，y 5，z 5至少有一个成立。

例3、求出方程172

2=-y x 的所有正整数解。

第二十讲 不定方程（二）练习

1、（1）、不定方程110673190321=+x x 的正整数解得个数为______.

（2）、不定方程1000979621=+x x 的非负整数解得个数为________.

2、求不定方程213197=+y x 的正整数解

3、整数边直角三角形的内切圆半径长是整数。

4、 求出方程1222=-y x 的所有正整数解。

附加题：

1、求函数2621015--+-=x x y 的值域。

2、求函数29103x x y -+-=的值域.

3、求函数22224124182x x x x y --+++=

的值域。

4、求223413x x y ---=的值域。