矩阵的初等变换及其应用

以初 等行 变换将 矩 阵 Ａ 化 为单 位矩 阵 Ｅ， 上 述 则
初 等 行 变换 同时也 将其 中 的矩 阵 Ｂ化 为Ａ Ｂ， 即
（ ； Ａ Ｂ）
７ ２
解 利 用矩 阵的初 等变换 求解 过程 如下 ：
ｆ Ａ Ｂ ＝ ＝ ＝
１ — １ ２ — １
一
１
３ ５
３
２
—
；
～
３
一
１ ２ ５
—
１
Ｏ
１
所 以 Ｘ ＝
—
２ １
３ ３
了ｎ
— １ ０ — ３ １ １ — １ ３
Ｏ
—
０
。 。
１ ４
—
５ 利用矩 阵的初 等变 换解 线性 方程 组 对 线性 方程组
５ ｓ 吨 ｒ＋
根 性 ３ Ｌｓｔ 据 质 ． ｒ 一 ￣ ｉ］ ｎ
一
一 号
（） ４ｒ
０
￡
ｔ
ａｒ ａｎ ｃｔ Ｓ
所 以
（） ５ｒ ＝！ ｅｔ Ｊ －ｄ Ｓ￡
解：
—
ｃ 一ｒ ｎ）ｊ＝号 号 ａｔ Ｉ ｃ ｓ一 ａ 。
（） ， ￡ ５ 设 （）一 １ ｃｓ 一 ｏ
（）设 ， ￡ １ （）一 ｓ ｔ 则 Ｆ（）一 Ｌ 厂 ￡］ ｉ ３， ｎ ｓ ［ （）
１ ４ １ １ ４
因此可 利用 矩 阵的初 等变换 解线性 方程 组 。 例 ４ 解方 程组
ｆ １一 ｘ２一 ｘ３ ２，
４ 用初等 变换 法求 解矩阵 方程
． ｘ — ２ ３ ３— １ ｛ ｌ — ｘ ２ ，
【ｘ１ ２ ２ ５ ３ ＋ ｘ — ｘ３— ０ ．
设 矩阵 Ａ可 逆 ， 求解 矩阵方 程 Ａｘ — Ｂ等 则 价 于求 矩 阵 Ｘ ： Ｂ， 这此 可采 用类 似于初 等行 变 换 求逆矩 阵 的方 法 ， 构造 矩 阵 （ ； ） 对 其 施 Ａ Ｂ ，
１ — ２ １ １
２
５
１
—
Ｏ Ｏ
］
Ｏ 一 １ — ５
２ １ ０
Ｏ 一 ３ — １ １ Ｏ １ １ ２ ５
—
１ ０ １ １
０
— —
３ ２－ ｎ ｒ ４ －
ｒ２十 ｒ１
２
—
１
ｈ 一
［ ］ 费 定 晖 ． 等 数 学 （ 一 版 ） 北 京 ： 械 工 业 出 版 １ 高 第 ． 机
社 ，０ ０ ２０．
（ ）设 厂 ｆ ４ （）一 ｓ ，则 Ｆ（） 一 Ｌ［ （） ｉ ｔ ｎ ｓ 厂 ￡］
一
［ ］韩新社． ２ 高等数学． 国科学技术大学 出版社 ，０ ６ 中 ２０．
ｓ ０ 只要 ｓ 足这个 条件 ， 应 的广义 积分就 都 ＞ ， 满 相 是存 在 的。
参 考 文 献
则 Ｆ（）＝ Ｌ 厂 ￡］一 ｓ ［ （）
，＋ ∞ ’
再 根 据性 质 ２ 得 Ｉ ｔＯ ｔｔ一一 Ｆ（）一 ， ＣＳ４ ｄ Ｏ
Ｊ０
１６一 ｓ
．
１
丽 上
２ １ ０２
１
１ １
２ ～ １ 的 １
例 ２ 求方 阵 Ａ 一
２
逆
１ — ２
一
…
。
矩阵。
Ａ Ｅ）一 解 （
１ ２ １ １
—
２ １ １ ２
１ ０ Ｏ １
０ ０
—
２ ｌ＋ ｒ ｒ ２ 一 ｎ ＋ ｒ ３
ｓ ０＋ 】
当然 ， 线 性 方 程 组 的 方 法 很 多 ， 解 比如 消 元
一
［ １一 ３ ］ ］
一
＝＝
Ｉ ｆ ０ — ２ １
法、 克莱 姆法 则等方 法 ， 但如果 方 程组 中未知 数较 多时 ， 择矩 阵 的初 等 变 换 法来 解 则 解 法 将会 简 选
口 ｌ ２
３
１ ２
０
３ ＋ ｒ ｎ ｌ
ａ ｌ ｌ ａ ２ １
口 ｌ ＾ 口 ２ ＾
．
Ｚｌ
０ ０ １
１ ０ ０
ｉ
１
５ １ ４ ５ １ ４
１
Ｊ＿＿一
０ ．２ ２
若 记 Ａ —
Ｚ２
４ １ １ ４ ３ １ ４
三类 变换 并 不会 改 变 方 程组 的解 ， 们 称 这 三 种 我
Ａ。（ ） 兰 一
例 １ 将矩阵 Ａ 一
方 程 的运 算 为方 程 组 的初 等变 换 ． 这 三类 初 等 把
变换 转移 到 矩 阵上 ， 就是矩 阵的初 等变 换 。 定 义 １ 对 矩 阵进 行 下 列 三种 变 换 ， 为 矩 称 阵 的初 等行 变 换 ： 对 换 矩 阵 两 行 的 位 Baidu Nhomakorabea ； 用 ① ②
③ ｋ ＋ ２ 利 用初 等行 变 换把 矩 阵化为等 价 标准 形
ｌ １１ ｆ 一～ ： Ｊ １ ］ ｏ
１
。
２
３
。
。
３ 利用 初等行 变 换求逆 矩 阵 可 以证 明 ： 由方 阵 Ａ 作 矩 阵 （ ； ） 用 矩 阵 Ａ Ｅ ，
定 义 ２ 如果 矩 阵 Ａ经过 若干 次初 等 变换 后 变 为 Ｂ， 称 Ａ 与 Ｂ 是等 价 的 ， 则 记作 ： 兰 Ｂ Ａ 显然 ， 等价 是 同型矩 阵 间 的一 种关 系 ， 具有反
Ｖ０． ５Ｎｏ ２ １２ ．
２ ２ Ｏ１
・
高职 高专教 学 ・
矩 阵 的初 等 变 换 及 其 应 用
陈 祥 云
（ 西 现 代 职 业 技 术 学 院 ， 西 河 池 ５ ７０ ） 广 广 ４ ０ ０
摘 要 ： 文 主 要 探 讨 矩 阵初 等 变换 在 把 矩 阵 化 为 等 价 标 准 形 、 逆 矩 阵 、 解 矩 阵 方 程 、 本 求 求 解 线性方程组等 方面的应用。
Ｏ
０ — ３ — １
１
０ 一 — 一５ 二 ０１ － 一 ２ 一； １卜 ３ ４ ９ ＇ ｆ Ｉ 一 一ｌ。一 ０ ３ 一 一 。１１ 一 １１ ｌ １ ｌ０２ １ ０ ３ — Ｉ 一１３ Ｉ ０
２ ０ ４ ６
：
●
：
●
Ｘ —
：
●
口 ＾ １
口ｎ ２
口ｍ
Ｚ ＾
１ ４
ｂ １
０ １ ０ ｉ
０ ０ １ ；
１ １ ４
３
３
１ ４ ５ １ ４
１
１ ４ ３ １ ４ ３ １ ４
５
５
１ ４ １ １ ４
所 以
，
Ｊ０
Ｆ（ ） 也 就 是 ： ２， ｅ２ ｉ ｔ￡ 两 －ｔ ｎ３ｄ 一 ３ ｓ
（ ）设 ， ｔ ２ （）一 ｔ 。
。。
再 根 据 性 质 ３ 得 Ｌ［ ，
］ 一
则 Ｆ㈤ 一 Ｌ［ （） ， ￡］一 一 ６
ｄ 丢 ｌ一 － ｓ ・ 号 一ｎ ｎ 令 ｓ＝ ３ 得 ， Ｊ 半‘ ｑ 丢 訾 ‘＝厶 ｄ ｌ ｎ
行 初 等 变换 表 示 为 ： ① — ｒ； ｒ（ ②ｋ 愚≠ Ｏ ； ） ③ ＋
２ｉ ］ ３堂
１
’— 。
【 —３ —６ ０
ｌ ２ Ｉ １ —２ —３ｌ ０ 。 ３ Ｊ
—
列初 等 变 换 表 示 为 ： ｉ ｆ； ①ｃ ② （ — 愚≠ Ｏ ； ）
３
．— —
则 据 质１ （ 一 ［￡ ＝ 根 性 ， ５ Ｌ（ ＝ 有Ｆ） 厂） ＝ ］ ÷一
ｓ １
ｓ＋ ９ 。
可以看出 广义积分Ｉ ２ ： ３ ｔ 信 目且 Ｉ喜 、 ， 和 ｆ ＋ 。 ｔ 的值 即是 ｎ ｓ ｄ ｉ ｎ
，
ｓ ＋１ ｓｓ＋１ 。 。 十 （ 十 ）
的初 等行 变 换 将 （ Ｅ）化 为 （ ； ） Ｃ即 为 Ａ Ａｉ Ｅ Ｃ，
的逆 阵 Ａ～。
收 稿 日期 ： ０ １１ —５ ２ １—２０ ． 作 者 简介 ： 祥 云 （ ９ ９ ） 男 ， 陈 １ ６ 一 ， 广西 河 池 人 ， 师 ， 究 方 向 ： 学 教 学 法 讲 研 数
第 ２ ５卷 第 ２期 ２１ ０ ２年 ３月
高等 函授学 报 （ 自然 科学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｉ ｈ ｒＣ ｒｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｄ ｃ ｔ ｎ Ｎａ ｕ ａ ｃ ｎ ｅ ） ｏ ｒ ａ ｇ ｅ ｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅＥ ｕ ａｉ （ ｔ ｒ ｌ ｉ ｃ ｓ ｏ ｏ Ｓ ｅ
０
从 例题 中可 以看 出 ， 很 多 广义 积 分 可 以借 有
令一得 ｅｔ詈 ｓ２』ｔ２＝ 一 Ｉｓ ÷ Ｊ ｄ ｏ 得 － ０ 『
（ ）设 ， ￡ ３ （）一 Ｃ Ｓ ｔ Ｏ ４
助于拉 普拉 斯变 换 来求 出 。 用这 个 方 法 有 一 点是 值得 注意 的是广 义 积分 的存 在性 。 实上 ， 事 上述 几 个 常见 函数 的拉 普拉 斯变换 公式 成立 的范 围都 是
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｉｈ ｒＣ０ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅＥｄ ｃ ｔｏ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｇ ｅ ｒｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａｉｎ（ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ） ｏ
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ ２ １２ ．
２ １ ０ ２
（ ） ｔｏ ｔ ３ ｌ ｃ ｓ４ｄｔ
种 变 换 ： 交 换 方程 组 中某 两 个 方程 的 位 置 ； ① ② 用 一个 非 零 常数 ｋ乘 以某 一 个 方 程 ； 将 某 一 个 ③ 方 程 的 忌倍 （ 忌≠ Ｏ 加 到另 一个 方程 上 。 然 ， ） 显 这
定理 １ 任 意矩 阵 Ａ 一 （ 都 可通过 初 ｎ）
７ １
第 ２ ５卷第 ２ 期 ２１ ０ ２年 ３月
高 等 函授 学报 （ 自然科学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｇ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅＥｄ ｃ ｔ ｎ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｅ ） ｏ ｒ ａ ｆＨｉｈｅ ｒ ｅｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａｉ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎｃ ｓ ｏ
Ｖｏ－ ５ Ｎｏ ２ ｌ２ ．
关 键 词 ： 等 变换 ；矩 阵 标 准 形 ；逆 矩 阵 ；线 性 方 程 组 初
中 图分 类 号 ： ４ ３ Ｇ ２ 文献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ６ ３３ ２ １ ）２ ０ ７ － ０ １ ０ —７ ５ （ ０ ２ ０ — ０ １ ２
１ 矩 阵的初 等 变换 在 解 线 性 方 程 组 时 ， 常对 方 程 实 施 下 列 三 经
Ｂ ＝ ＝
ｂ ２
，
●
则 利用 矩阵 的乘法 ， 线性 方程组 （ ） １ 表
：
ｂ
示 为矩 阵形 式 ： ｘ ＝ Ｂ Ａ
５ １ ４
１
由逆矩 阵 的运 算 性 质 可知 ， 矩 阵 方程 的解 此
为 Ｘ ＝ Ａ～Ｂ。
１ ４ ５ １ ４
１ ４ ３ １ ４
一
［ ｉ为 等 ］ 化
１
—
个 非 零 的数 ｋ遍 乘矩 阵 的某 一 行 元 素 ； 将 矩 ③
解 Ａ 一 Ｉ ｆ １ ２ ｌ ２ ０ ３ ４
阵某 一 行 的 志 数 加到 另一 行上 。 称 ① 为对 换 倍 并 变换 ， ② 为倍 乘 变换 ， ③ 为倍 加 变换 。 称 称 在 定义 中 ， 把 对 矩 阵 施 行 的 三 种 “ ”变 若 行 换 ， 为 “ ”变 换 ， 改 列 我们 就 能 得 到 对 矩 阵 的 三 种 列 变换 ， 将其 称 为矩 阵 的初等 列变 换． 并 矩阵 的初 等行 变 换 和初 等列 变换 统称 为初 等变 换 。 为 了方便 ， 入记 号 ： 引
洁。
参 考 文 献
１ １ —１ ｌ ０
１ — １ — １ ０ １
２
—
— １ — ３
３
２
—
０
５
— ２ — ６
初等行 变换 （ ｉ Ｅ Ａ Ｂ）
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第 ２ ５卷第 ２期 ２１ ０ ２年 ３月
，＋ ∞ ’
高等 函授学报 （ 自然科 学版）