(完整版)2019年中考初三数学专题--隐形圆

2019年中考初三数学专题系列

辅助圆

模型一：“隐形圆”解点的存在性

模型分析“定边、定角”圆上找.具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点在两段弧上.

1. 如图，已知线段AB.

（1）请你在图①中画出使∠APB＝90°的所有满足条件的点P；

（2）请你在图②中画出使∠APB＝60°的所有满足条件的点P；

（3）请你在图③中画出使∠APB＝45°的所有满足条件的点P.

2. （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5.请你在图①中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的点P；（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝.请你在图②中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的点P；

（3）如图③，在正方形ABCD中，AB＝2，BC＝.请你在图③正方形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的点P.

3. 如图，线段AB和动点C构成△ABC，AB＝2，∠ACB＝120°，则△ABC周长的最大值为___________.

.

模型二：“隐形圆”解角的最值

模型分析同弧所对的圆周角相等，其所对的“圆外角”小于圆周角，“圆内角”大于圆周角. 如图①，∠B＝∠D ＝∠E；如图②，∠F＞∠B＞∠G.

4. 如图，线段AB是球门的宽，球员（前锋）在距球门前一定距离的直线b上，在直线b上是否存在一点P，使得球员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请说明理由.

5. 如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点.

（1）使∠APB＝30°的点P有________个；

（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；

（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，请说明理由.

模型三：“隐形圆”解线段的最值

模型分析平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值. 具体分以下三种情况讨论（规定OD＝d，⊙O半径为r）：

第一种：当点D在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为（d＋r），DE的最小值为（d－r）；

第二种：当点D在圆上时，d＝r，如图③：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r＝2r （即为⊙O的直径），DE的最小值为d－r＝0（点D，E重合）；

第三种：当点D在⊙O内时，d

6. 如图，已知⊙O及其圆外一点C，请在⊙O上找一点P，使其到点C的距离最近.

7. 如图，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CD方向向终点C和D

运动.连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为_________（请在图中画出点P的运动路径）

8. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB上一个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值为___________.（请在图中画出点A′的运动路径）

9. 如图，∠AOB＝45°，边OA，OB上分别有两个动点C，D，连接CD，以CD为直角边作等腰直角△CDE，当CD长保持不变且等于2 cm时，则OE的最大值为___________..

模型四：“隐形圆”解面积的最值

模型分析三角形中，若一边长为定值，这一边所对的角度也为定值，则满足条件的点在两段弧上运动，当这个角的顶点在其对边的中垂线与弧的交点处时该三角形的面积达到最大，此时该三角形为等腰三角形.

例：如图，AB＝2，∠APB＝90°，要求S△APB的最大值，当且仅当PO⊥AB时，△APB的面积最大.

10. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，若AD＝2，BC＝4，则四边形ABCD面积的最大值是___________..

11. 如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC＝4，则四边形ABCD面积的最小值是___________.

12. 如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝45°，分别以AC，BC为边向外作正方形ACED，正方形CBMN，连接EN，则△ECN面积的最大值为___________.___..

13.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）

A. B. C. D.

13.如图,在Rt△ABC中,∠B=60∘,BC=3,D为BC边上的三等分点,BD=2CD,E为AB边上一动点,将

△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置,连接AB′,则线段AB′的最小值为：___________.

14.如图,O 的直径为4,C 为O 上一个定点,∠ABC =30∘,动点P 从A 点出发沿半圆弧AB ˆ向B 点运动(点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点。

(1)在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为___.

(2)在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为___.

15.如图,在平面直角坐标系中,直线y =−4

3x +3与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B. 点Q 在直线AB 上,点P 在x 轴上,且∠OQP =90∘.

(1)当点P 与点A 重合时，点Q 的坐标为___；

(2)设点P 的横坐标为a ，则a 的取值范围是___.

16.如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于A (1,0)、B (4,0)两点,与y 轴交于C (0,2)，连接AC 、BC .

(1)求抛物线解析式；

(2)BC 的垂直平分线交抛物线于D. E 两点，求直线DE 的解析式；

(3)若点P 在抛物线的对称轴上，且∠CPB =∠CAB ，求出所有满足条件的P 点坐标。

17.在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E. F ，连接EF .

(1)如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；

(2)将三角板从(1)中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：

①∠PEF 的大小是否发生变化?请说明理由；

②在旋转中，当点F 与BC 边中点重合时，求四边形AEFP 的面积；

③直接写出从开始到停止，线段EF 的中点所经过的路线长。