信号与系统 第5章

本章我们着重介绍离散时间信号与系统的时域分析方法。
5. 1 离散时间信号及基本运算
5. 1. 1 离散时间信号的描述 1. 离散时间信号的定义 对于连续时间信号 f (t )，除有个别间断点外，都是时间
t 的连续函数，其波形都是光滑曲线。实际中，还有一类信 号为离散时间信号( DiscreteSignal )，它仅在一些离散时刻 t k(k =0 ， ±1 ， ±2 ，…)上才有定义(定的函数值)，而在两 个有定义的时刻 t k 和 t k +1 之间没有定义。
移位 n 个单位的单位阶跃序列 ε (k - n )为 如图 5.1－6 ( b )所示。
图 5.1－6 ε ( t )和 ε ( k - n )的图形
单位阶跃序列 ε (t )有以下特性: (1 )截取特性。
( 2 ) ε ( t )与 δ ( t )的关系。
对连续时间信号 f (t )进行取样后，便可得到离散时间信 号。如果采用均匀的等时间间隔 T 进行取样，则 T 称为取 样间隔，信号只在 kT 时刻有定义，故用 f (kT )表示离散时 间信号。 f (kT )一般简写为 f (k )。这里的 k 是纯离散整数变 量，它既可代表离散的时间，也可代表次序的整数序号，所 以 f (k )具有普遍意义，离散时间信号 f (k )也被称为数值序 列。
图 5.1－5 δ ( t )和 δ ( k - n )的图形
单位序列 δ (k )有以下性质: (1 )加权特性。
因此，任意离散信号 f ( k )可表示为一系列延时单位函数的 加权和，即
( 2 )采样特性。
2. 单位阶跃序列 ε ( k ) 单位阶跃序列 ε (k )定义为
其波形如图 5. 1－6 ( a )所示。与连续信号 ε ( t )相比， 单位阶跃序列 ε (k )在 k =0 处取值为 1 ，而 ε (t )在 t =0 时是 不确定的。
5. 序列差分 序列差分是与连续信号中的微分对应的运算，序列 f (k ) 的一阶前向差分 Δ f ( k )定义为
以此类推，还可得到更高阶的前向和后向差分。
6. 序列的求和(累加) 序列差分是与连续信号中的积分对应的运算，序列求和 定义为
如图 5.1－4 所示。
图 5.1－4 序列求和

5. 1. 3 常见的离散信号 1. 单位序列 δ ( k ) 单位序列 δ (k )定义为
图 5.1－1 离散信号的图形形式
3. 离散时间信号分类 (1 )双边序列：对所有的 k ，即 -∞< k <∞ ， f ( k ) ≠0 。 (2 )右边序列：当 k > M 时， f ( k ) =0 。 (3 )左边序列：当 k < M 时， f ( k ) =0 。 (4 )因果序列：当 k <0 时， f ( k ) =0 。 (5 )反因果序列：当 k <0 时， f ( k ) =0 。 (6 )有限序列：仅当 a < k < b 时， f ( k ) ≠0 。 (7 )周期序列：每 N 个采样点重复一次，即 f ( k ) = f ( k ± mN )( m =1 ， 2 ， 3 ，…)。
2. 离散时间信号的表示方法 离散信号 f (k )的表示通常有三种形式：序列形式、图 形形式、解析式形式。 1 )序列形式 将离散信号 f (k )按 k 的先后次序罗列一个有序的数列， 在 k =0 的位置用下划线(_)标识。如果序列任一边有无限大 的范围，则用省略号(…)表示，如
2 )图形形式 和连续信号一样，离散信号也可以用图形来表示。如图 5.1－1 所示。 3 )解析式形式 解析式就是用数学函数式的方法来表示，例如:
单位序列 δ (k )又叫做单位函数或单位样值序列，仅在 k =0 处取值为 1 ，其它位置均为 0 ，如图 5.1－5 ( a )所示。 它与连续信号的 δ ( t )相比， δ ( t )在 t =0 时取值为 ∞ 。
移位 n 个单位的单位序列 δ (k - n )为 如图 5.1－5 ( b )所示。
离散时间信号与系统的分析方法在许多方面与连续时间 信号与系统的分析方法相似。例如，在连续系统中，描述系 统的数学模型是微分方程，而在离散系统中，描述系统的数 学模型是差分方程;在连续系统中，卷积积分可用于时域求 解零状态响应，在离散系统中，卷积和也起到相同的作用;
在连续系统中，常采用变换域的方法来分析，有频域、 s 域， 而在离散系统中则对应有 z 域分析。因此，在学习离散时间 信号与系统的时候，经常把它与连续时间信号与系统的分析 方法对应起来进行理解，以及对不同之处进行区分。这样， 才能更好掌握离散系统，并对连续系统的内容有更深入的认 识。
5. 1. 2 离散信号的一些基本运算 1. 序列相加 两个序列相加，是指两序列同序号的序列值逐项对应相
加，其和为一个新的序列，即
2. 序列相乘 两个序列相乘，是指两序列同序号的序列值逐项对应相 乘，其乘积为一个新的序列，即
【例 5. 1－1 】 已知序列
3. 序列折叠 将序列 f (k )相对于纵轴翻折，得到一个新的序列 f ( k )，即为序列折叠。如图5. 1－2 所示。
图 5.1－2 序列折叠
4. 序列移位 序列移位也称为移序，是指序列沿横轴逐项依次移位。 若 m 为正整数，则 (1 ) f ( k + m )表示序列 f (k )逐项依次左移 m 位。 (2 ) f ( k - m )表示序列 f (k )逐项依次右移 m 位。 如图 5.1－3 所示。
图 5.1－3 序列移位
第 5 章 离散信号与系统的时域分析
5. 1 离散时间信号及基本运算 5. 2 离散系统的数学模型和模拟 5. 3 离散系统的零输入响应 5. 4 离散系统的零状态响应 习题5
前面几章中，我们分析了连续时间信号和连续时间系统， 学习了系统分析的一些重要方法。与连续时间信号相对应， 离散时间信号与系统的分析同样也是十分重要的研究领域， 特别是在电子计算机和数字化技术迅速发展的今天，离散时 间系统的研究显得更加重要。