特殊平行四边形：证明题[1]
北师大版数学九年级上册特殊的平行四边形(含中考真题解析)
特殊的平行四边形知识点名师点晴矩形1．矩形的性质会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关问题．2．矩形的判定会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否是矩形菱形1．菱形性质能应用这些性质计算线段的长度2．菱形的判别能利用定理解决一些简单的问题正方形1．正方形的性质了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题2．正方形判定掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明☞2年中考1．下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．【答案】D．考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定．2．（连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B．【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选B．考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定．3．（徐州）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．14【答案】A．【解析】试题分析：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE 是△ABD的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选A．考点：菱形的性质．4．（柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．5．（内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．3B．23C．26D．6【答案】B．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．6．（南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：2D．1：3【答案】D．【解析】试题分析：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE长为3cm，∴BE=22AB AE-=1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴OB=22AB OA-=3（cm），∴BD=2OB=23cm，∴AC：BD=1：3．故选D．考点：菱形的性质．7．（安徽省）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．25B．35C．5 D．6【答案】C．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．8．（十堰）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=53，且∠ECF=45°，则CF的长为（）A．102B．53C5103D1053【答案】A．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题．9．（鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．201421）（B．201521）（C．201533）（D．201433）（【答案】D．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．10．（广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为cm2．【答案】93．【解析】试题分析：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，∴EH=12BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=12AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=12AB=3，∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=22AB OA=33，∴BD=63，∵EH=12BD，EF=12AC，∴EH=33，EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF•FG=93cm2．故答案为：93．考点：1．中点四边形；2．菱形的性质．11．（凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．【答案】（233-，23-）．的交点，∴点P的坐标为方程组3(13)1y xy x⎧=⎪⎨⎪=-⎩的解，解方程组得：3323xy⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以点P的坐标为（33，23-），故答案为：（233-，23）．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题．12．（潜江）菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（03），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为．【答案】（0.5，32．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题．13．（北海）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．【答案】8．【解析】试题分析：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8．考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质．14．（南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．【答案】45°．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．15．（玉林防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．【答案】9 2．【解析】试题分析：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴DQ=12AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴'''BP BEAA AE=，即164BP=，BP=32，CP=BC﹣BP=332-=32，S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣12AD•DQ﹣12CQ•CP﹣12BE•BP=9﹣12×3×2﹣12×1×32﹣12×1×32=92，故答案为：92．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．16．（达州）在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A1B1C1O 、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线1y x =+上，点C1、C2、C3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为1S 、2S、3S 、…n S ，则n S 的值为（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【答案】232n -．故答案为：232n ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．17．（齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3D4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【答案】20142(3)．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．18．（梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．【答案】（1）证明见试题解析；（21010．【解析】考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题．19．（恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．（1）求证：AG=CE；（2）求证：AG⊥CE．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）由ABCD、BEFG均为正方形，得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，从而得到△ABG≌△CBE，即可得到结论；（2）由△ABG≌△CBE，得出∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，∴∠ABG=∠CBE，在△ABG和△CBE中，∵AB=CB，∠ABG=∠CBE，BG=BE，∴△ABG ≌△CBE（SAS），∴AG=CE；（2）如图所示：∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG=∠BCE，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG⊥CE．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．20．（武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求EFAK的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．【答案】（1）①32；②3(8)2S x x=-，S的最大值是24；（2）245或24049．试题解析：（1）①∵EF∥BC，∴AK EFAD BC=，∴EF BCAK AD==128=32，即EFAK的值是32；考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题．21．（荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE．【解析】试题分析：（1）先证出△ABP≌△CBP，得到PA=PC，由PA=PE，得到PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得到∠BAP=∠BCP，进而得到∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．1．（宜宾）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（14）n﹣1 D．14n【答案】B．【解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选B．考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质．2．（山东省淄博市）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（）A． 1 B．2C．3D． 2【答案】C．考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质．3．（山东省聊城市）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）A．3B． 3 3C．3D93【答案】B．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，即BA⊥BF，∵四边形BEDF是菱形，∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，∴BE=23cos30BO=︒，∴BF=BE=23，∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO∴CF=AE=3，∴BC=BF+CF=33，故选B．考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质．4．（广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B．考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质．5．（贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=26，则MF的长是（）A15B15C．1 D．15【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质．6．（襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．【解析】试题分析：∵AE=13AB，∴BE=2AE．由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=12（180°﹣∠AEP）=12（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．∴EF=2BE．故①正确．∵BE=PE，∴EF=2PE．∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE．∴FQ=3EQ．故③错误．由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°．∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°．∴△PBF是等边三角形．故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．矩形的性质；2．含30度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定．7．（宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= cm．【答案】5．考点：1．菱形的性质；2．勾股定理．8．（山东省聊城市）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE 与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．【答案】证明见解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．9．（梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析．【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF （SAS）．∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．理由是：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质．☞考点归纳归纳1：矩形基础知识归纳：1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的大小为（）A、30°B、60°C、90°D、120°【答案】B．考点：矩形的性质．归纳2：菱形基础知识归纳：1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．【例2】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．（A）△ABD与△ABC的周长相等；（B）△ABD与△ABC的面积相等；（C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；（D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．【答案】B．考点：菱形的性质．归纳3：正方形基础知识归纳：1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【例3】如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E ﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙【答案】B．考点：正方形的性质．☞1年模拟1．（山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D．【解析】试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A、B、C选项均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D．考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质．2．（广东省广州市中考模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B．考点：矩形的性质．3．（山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积为（）A．0.7 B．0.9 C．2−2 D2【答案】C．【解析】试题分析：如图，∵∠B=45°，AE⊥BC，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE，由勾股定理得：BE2+AE2=22，解得：2，由题意得：△ABE≌△AB1E，∴∠BAB1=2∠BAE=90°，2，∴2，2-2，∵四边形ABCD为菱形，∴∠FCB1=∠B=45°，∠CFB1=∠BAB1=90°，∴∠CB1F=45°，CF=B1F，∵CF∥AB，∴△CFB1∽△BAB1，∴11B CCFAB BB=，解得：2，∴△AEB1、△CFB1的面积分别为：12212=，21(22)3222⨯=-，∴△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积=1(322)222--=．故选C．考点：1．菱形的性质；2．翻折变换（折叠问题）．4．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OABC的顶点O在坐标系原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A．（-2，2）B．（2，-2）C．（2，-2）D．（3，-3）【答案】B．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转．5．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．6．（山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD 为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【答案】B．考点：正方形的判定．7．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是．34π-．考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算．8．（河北省中考模拟二）如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为．【答案】3【解析】试题分析：过O点作GH⊥BC于G，交BE于H，连接OB、OE，∴G是BC的切点，OE ⊥BH，∴BG=BE，∵△ABE为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴3，BH=23，设OG=OE=x，则3-3，3-x，在RT△OEH中，EH2+OE2=OH2，即（3-3）2+x2=3-x）2，解得3，∴⊙O的半径为3．故答案为：3考点：1．切线的性质；2．矩形的性质．9．（山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为．【答案】14．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形．10．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG 上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．5考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．11．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；（2）证明见解析．【解析】考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型．12．（北京市平谷区中考二模）如图，已知点E，F分别是□ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．【答案】（1）见解析（22532【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形；（2）连接EF交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF的面积．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，∴AE=CE=12BC．同理，AF=CF=12AD．∴AF=CE．∴四边形AECF是平行四边形．∴平行四边形AECF是菱形．考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形．13．（山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=163，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE 与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）45．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．【解析】试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB长，那么就能求得sin∠ABC的值；（2）易得到点D的坐标为（6，4），还需求得点E的坐标，OA之间的距离是一定的，那么点E的坐标可能在点O的左边，也有可能在点O的右边．根据所给的面积可求得点E的坐标，把A、E代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形；（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．试题解析：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt△AOB中，由勾股定理有AB=225OA OB+=，∴sin∠ABC=54OAAB=；（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（-3，0）；②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F （3，8）；③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=-43x+4，直线L过（32，2），且k值为34（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），L解析式为y=34x+78，联立直线L 与直线AB求交点，∴F（4751-，722-）；④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=245，勾股定理得出，AN=75，做A关于N的对称点即为F，AF=145，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=145×35=4225，∴F（-4225，4425）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型．14．（河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B 作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．（1）求证：BE=2CF；（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．15．（广东省广州市中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为CC'，则图中阴影部分的面积为．【答案】33 42π+．【解析】试题分析：连接CD′和BC′，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵∠C′AB′=30°，∴A、D′、C及A、B、C′分别共线∴AC=3，∴扇形ACC′230(3)3604ππ⨯⨯=．∵AC=AC′，AD′=AB，∴在△OCD′和△OC'B中，CD BCACO AC DCOD C OB''=⎧⎪''∠=∠⎨⎪''∠=∠⎩，∴△OCD′≌△OC′B （AAS），∴OB=OD′，CO=C′O．∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC-AD′=3-1，OB+C′O=1，∴在Rt△BOC′中，BO2+（1-BO）2=（3-1）2，解得BO=3122-，3322C O'=-，∴考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质．。
北师大版九年级上册数学 第一章 特殊平行四边形 解答题训练(一)解析版
北师大版九年级上册数学第一章特殊平行四边形解答题训练（一）解析版1．在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：（1）△ABF≌△DAE；（2）DE＝BF+EF．2．（1）计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（﹣2）0；（2）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．3．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．4．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连结AE，AF．求证：AE＝AF．5．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．6．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD 边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．7．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．8．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．9．如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE 与AC相交于点O．（1）求证：△OEC为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．10．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD 于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．11．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．12．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．13．如图，在矩形ABCD中，分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，求证：四边形EFGH是菱形．14．如图，矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）只需添加一个条件，即，可使四边形BEDF为菱形．15．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．（1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．16．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ．（1）求证：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．17．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD 是正方形．18．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．19．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD、BC的中点．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．第一章特殊平行四边形解答题训练（一）参考答案与试题解析1．【分析】（1）根据菱形的性质得到AB＝AD，AD∥BC，由平行线的性质得到∠BOA＝∠DAE，等量代换得到∠BAF＝∠ADE，求得∠ABF＝∠DAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AE＝BF，DE＝AF，根据线段的和差即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∴∠BPA＝∠DAE，∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE，∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，∴∠ABF＝∠DAE，∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE（ASA）；（2）∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF，DE＝AF，∵AF＝AE+EF＝BF+EF，∴DE＝BF+EF．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．2．【分析】（1）先根据相反数，绝对值，零指数幂进行计算，再求出即可；（2）先求出四边形ABCD是平行四边形，再求出AC＝BD，最后根据矩形的判定得出即可．）【解答】解：（1）﹣（﹣1）+|﹣2|+（﹣2）0＝1+2+1＝4；（2）证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了相反数，绝对值，零指数幂，平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能求出四边形ABCD是平行四边形是解（2）的关键．3．【分析】（1）根据矩形的性质得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG＝∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四边形ABGE 是平行四边形，得到AB＝EG，于是得到结论．【解答】解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG，∵EG＝FH＝2，∴AB＝2，∴菱形ABCD的周长＝8．【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．4．【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝CF．【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．5．【分析】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝CE．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．6．【分析】（1）根据矩形的性质得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠DFO＝∠BEO，根据全等三角形的性质得到DF＝BE，于是得到四边形BEDF是平行四边形；（2）推出四边形BEDF是菱形，得到DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x 根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE（ASA），∴DF＝BE，又因为DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形∴四边形BEDF是菱形，∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2∴x2+62＝（8﹣x）2，解之得：x＝，∴DE＝8﹣＝，在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2∴BD＝，∴OD＝BD＝5，在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2﹣OD2＝OE2，∴OE＝，∴EF＝2OE＝．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．7．【分析】（1）设出正方形CEFG的边长，然后根据S1＝S2，即可求得线段CE的长；（2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出HD和HG的长，即可证明结论成立．【解答】解：（1）设正方形CEFG的边长为a，∵正方形ABCD的边长为1，∴DE＝1﹣a，∵S1＝S2，∴a2＝1×（1﹣a），解得，（舍去），，即线段CE的长是；（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1，∴CH＝0.5，∴DH＝＝，∵CH＝0.5，CG＝，∴HG＝，∴HD＝HG．【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．【分析】由菱形的性质得出AD＝CD，由SAS证明△ADF≌△CDE，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1＝∠2．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ACB，根据平移得出AB∥DE，求出∠B＝∠DEC，再求出∠ACB＝∠DEC即可；（2）求出四边形AECD是平行四边形，再求出四边形AECD是矩形即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵△ABC平移得到△DEF，∴AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，∴∠ACB＝∠DEC，∴OE＝OC，即△OEC为等腰三角形；（2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，理由是：∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，BE＝EC，∵△ABC平移得到△DEF，∴BE∥AD，BE＝AD，∴AD∥EC，AD＝EC，∴四边形AECD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴四边形AECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、平移的性质、等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．10．【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG ＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB ＝FB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．11．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG ∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．【分析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB＝OA，根据AM⊥BE，即可得出∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，从而证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE＝OF．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．∴△BOE≌△AOF（AAS）．∴OE＝OF．【点评】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．13．【分析】连接AC，BD，根据三角形的中位线定理和矩形的对角线相等证明EF＝FG＝GH＝HE，即可得出结论．【解答】证明：连接AC，BD，如图所示：∵E为AB的中点，F为BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝AC，同理HG＝AC，EH＝FG＝BD，∵矩形ABCD，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形．【点评】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定定理和矩形的性质，根据题意正确找出辅助线是解决问题的关键．14．【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）根据根据菱形的性质作出判断：EF与BD互相垂直平分．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，∴AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）EF⊥BD或DE＝BE或∠EDO＝∠FDO．∵四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形．故答案为：EF⊥BD或DE＝BE或∠EDO＝∠FDO（答案不唯一）【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形以及全等三角形的判定与性质，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．15．【分析】（1）这里利用正方形的轴对称性质和线段垂直平分线的性质证明PC＝PC，再利用三角形的内角和的关系证明∠CPF＝∠FDE，再结合正方形的每个内角是90°，证明∠CPF＝90°即可．（2）由菱形轴对称性质，利用题（1）的方法证明∠CPF＝60°，又因为PC＝PE，所以△PCE是等边三角形，因此CE＝PC＝AP．【解答】解：（1）PC＝PE，PC⊥PE证明：∵正方形ABCD，点P是对角线上一点∴PA＝PC∵点P位于AE的垂直平分线上∴PA＝PE∴PC＝PE由正方形的轴对称性质可得，∠PAD＝∠PCD，∵PA＝PE∴∠PAD＝∠E∴∠PCD＝∠E∵∠PFC＝∠DFE∴∠CPF＝∠FDE∵正方形ABCD∴∠ADC＝90°∴∠FDE＝90°∴∠CPF＝90°∴PC⊥PE（2）PA＝CE．理由如下：∵菱形ABCD，点P是对角线BD上一点∴AP＝PF，∠PAD＝∠PCD∵点P在AE的垂直平分线上∴AP＝PE∴PE＝PC，∠PAD＝∠PED∵∠PFC＝∠DFE∴∠CPF＝∠EDF∵菱形ABCD，∠ABC＝120°∴∠ADC＝∠ABC＝120°∴∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°∴∠CPF＝60°∵PE＝PC∴△PCE是等边三角形∴CE＝PE∴AP＝CE【点评】本题主要考查了线段垂直平分线、等边三角形、正方形和菱形的性质．注意正方形和菱形是轴对称图形．16．【分析】（1）只要证明AD＝BC，∠ADP＝∠BCQ，DP＝CQ即可解决问题；（2）首先证明四边形ABQP是平行四边形，再证明AB＝AP即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵CQ∥DB，∴∠BCQ＝∠DBC，∴∠ADB＝∠BCQ∵DP＝CQ，∴△ADP≌△BCQ．（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ＝DP，∴四边形CQPD是平行四边形，∴CD＝PQ，CD∥PQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB＝PQ，AB∥PQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∵△ADP≌△BCQ，∴∠APD＝∠BQC，∵∠APD+∠APB＝180°，∠ABP+∠BQC＝180°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∴四边形ABQP是菱形．【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．【分析】先判断出AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，进而求出∠AFD＝∠AEB＝75°，进而判断出△AEB≌△AFD，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，判断出∠AFD＝∠AEB是解本题的关键．18．【分析】（1）如图1，连接DF，根据对称得：△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得结论；（2）证法一：如图2，作辅助线，构建AM＝AE，先证明∠EDG＝45°，得DE＝EH，证明△DME ≌△EBH，则EM＝BH，根据等腰直角△AEM得：EM＝AE，得结论；证法二：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE＝HN，AD＝EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．【解答】证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF＝GC；（2）BH＝AE，理由是：证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ADC＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴2∠2+2∠3＝90°，∴∠2+∠3＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，∴∠1＝∠BEH，在△DME和△EBH中，∵，∴△DME≌△EBH，∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM＝AE，∴BH＝AE；证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH＝90°，由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH，∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝HN＝AE．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．19．【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°．∵E是AB的中点，∴AE＝BE．在△ADE与△BCE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS）；（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE＝EC．在直角△ADE中，AD＝4，AE＝AB＝3，由勾股定理知，DE＝＝＝5，∴△CDE的周长＝2DE+CD＝2DE+AB＝2×5+6＝16．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．20．【分析】（1）根据四边形的性质得到AB∥CD，求得∠MAB＝∠NCD．根据全等三角形的判定定理得到结论；（2）连接EF，交AC于点O．根据全等三角形的性质得到EO＝FO，AO＝CO，于是得到结论．【解答】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠MAB＝∠NCD．在△ABM和△CDN中，，∴△ABM≌△CDN（SAS）；（2）解：如图，连接EF，交AC于点O．在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO，AO＝CO，∴O为EF、AC中点．∵∠EGF＝90°，OG＝EF＝，∴AG＝OA﹣OG＝1或AG＝OA+OG＝4，∴AG的长为1或4．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．。
初中数学特殊的平行四边形50题(含答案)
特殊的平行四边形练习题（50题）菱形、矩形、正方形一、单选题（共18题；共36分）1.下列条件中，能判定一个四边形为矩形的条件是( )A. 对角线互相平分的四边形B. 对角线相等且平分的四边形C. 对角线相等的四边形D. 对角线相等且互相垂直的四边形【答案】B【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故B符合题意；C、对角线相等的四边形不是矩形，故C不符合题意；D、对角线相等且互相垂直的四边形不是矩形，故D不符合题意.故答案为：B.【分析】根据矩形的判定方法，逐项进行判断，即可求解2.如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，设BC=a ，EF=b ，NH= c ，则下列各式中正确的是（）A. a > b > cB. a =b =cC. c > a > bD. b > c > a【答案】B【解析】【解答】解：连接OA、OD、OM，如图所示：则OA=OD=OM，∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，∴OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，∴a=b=c；故答案为：B.【分析】连接OA、OD、OM，则OA=OD=OM，由矩形的对角线相等得出OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，再由同圆的半径相等即可得出a=b=c.3.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是( )A. 1B. 2C.D.【答案】 D【解析】【解答】解：连接DE交AC于P，连接BD，BP，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，∴PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠BAD=60°，AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∵AE=BE=AB=1，∴DE⊥AB，在Rt△ADE中，DE=，∴ PE+PB的最小值是.故答案为：D.【分析】连接DE交AC于P，连接BD，BP，根据菱形的性质得出B、D关于AC对称，得出DE就是PE+PB 的最小值，根据等边三角形的判定与性质得出DE⊥AB，再根据勾股定理求出DE的长，即可求解.4.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（）A. 4B. 2C.D.【答案】B【解析】【解答】解：设正方形的边长为xcm，根据题意得：x2+x2=22，∴x2=2，∴正方形的面积=x2=2（cm2）.故答案为：B.【分析】设正方形的边长为xcm，利用勾股定理列出方程，求出x2=2，即可求出正方形的面积为2.5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A. 72B. 24C. 48D. 96【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH，∵OH=4，∴BD=8，∵OA=6，∴AC=12，∴菱形ABCD的面积= AC•BD＝×12×8＝48．故答案为：C．【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．6.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC等于( )A. 73°B. 56°C. 68°D. 146°【答案】A【解析】【解答】如图，∵∠CBD=34°，∴∠CBE=180°﹣∠CBD=146°，由折叠的性质可得∠ABC=∠ABE= ∠CBE=73°.故答案为：A【分析】根据补角的知识可求出∠CBE，从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE= ∠CBE，可得出∠ABC的度数.7.如图，已知矩形AOBC的顶点O(0，0)，A（0，3），B(4，0)，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OC，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G的坐标为（）A. (4，1)B. (4，)C. (4，)D. (4，)【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，A（0，3），B（4，0），∴OB＝4，OA＝BC＝3，∠OBC＝90°，∴OC＝＝5，作GH⊥OC于H，如图，由题意可知：OG平分∠BOC，∵GB⊥OB，GH⊥OC，∴GB＝GH，设GB＝GH＝x，由S△OBC＝×3×4＝×5×x+ ×4×x，解得：x＝，∴G（4，）.故答案为：B.【分析】根据勾股定理可得OC的长，作GH⊥OC于H，根据角平分线的性质可得GB＝GH，然后利用面积法求出GB即可.8.如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝6时，PQ的值是( )A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】【解答】解：由图象可知：AE＝3，BE＝4，在Rt ABE中，∠AEB＝90°AB= =5当x＝6时，点P在BE上，如图,此时PE=4-(7-x)=x-3=6-3=3∵∠AEB＝90°, PQ⊥CD∴∠AEB=∠PQE=90°,在矩形ABCD中，AB//CD∴∠QEP=∠ABE∴PQE BAE, ∴=∴=∴PQ=故答案为：B.【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，根据勾股定理可得AB=5,当x＝6时，点P在BE上，先求出PE的长，再根据△ PQE ∽△ BAE，求出PQ的长.9.如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（）A. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位B. 向左平移个单位，再向上平移1个单位C. 向右平移个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位【答案】 D【解析】【解答】解：因为B（1,1）由勾股定理可得OB=,所以OA=OB，而AB<OA.故以AB为对角线，OB//AC，由O（0,0）移到点B（1,1）需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，由平移的性质可得由A（,0）移到点C需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，故选D.【分析】根据平移的性质可得OB//AC，平移A到C，有两种平移的方法可使O，A，B，C四点构成的四边形是平行四边形；而OA=OB>AB，故当OA，OB为边时O，A，B，C四点构成的四边形是菱形，故点A平移到C的运动与点O平移到B的相同.10.如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500，则∠AEF的度数等于（）A. 25ºB. 50ºC. 100ºD. 115º【答案】 D【解析】解析:∵把矩形ABCD沿EF对折，∴AD∥BC，∠BFE=∠2，∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，∴∠BFE==65°，∵∠AEF+∠BFE=180°，∴∠AEF=115°．故选D11.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A. ②③B. ③④C. ①②④D. ②③④【答案】 D【解析】【解答】∵AB＝1，AD＝，∴BD＝AC＝2，OB＝OA＝OD＝OC＝1．∴△OAB，△OCD为正三角形．AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，即△ABF是一个等腰直角三角形．∴BF＝AB＝1，BF＝BO＝1．∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，∴∠CAH＝45°﹣30°＝15°．∵∠ACE＝30°（正三角形上的高的性质）∴∠AHC＝15°，∴CA＝CH由正三角形上的高的性质可知：DE＝OD÷2，OD＝OB，∴BE＝3ED．所以正确的是②③④.故选D．【分析】这是一个特殊的矩形：对角线相交成60°的角．利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答．本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质．12.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB 上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A. （3，1）B. （3，）C. （3，）D. （3，2）【答案】B【解析】【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y= ，∴点E坐标（3，）故选：B．【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．13.如图，正方形ABCD的边长为4，M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）．A. 3B. 4C. 5D.【答案】C【解析】【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM==5，故DN+MN的最小值是5．故选C．【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′，由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键．14.将矩形OABC如图放置，O为原点．若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（）A. （4，2）B. （2，4）C. （，3）D. （3，）【答案】 D【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，过点C作CM⊥x轴于点M，∵∠EAO+∠AOE=90°,∠AOE+∠MOC=90°，∴∠EAO=∠COM，又∵∠AEO=∠CMO，∴∠AEO∽△COM，∴=，∵∠BAN+∠OAN=90°,∠EAO+∠OAN=90°，∴∠BAN=∠EAO=∠COM，在△ABN和△OCM中∴△ABN≌△OCM(AAS)，∴BN=CM，∵点A(−1,2),点B的纵坐标是，∴BN= ，∴CM= ，∴MO==2CM=3，∴点C的坐标是：(3, ).故选：D.【分析】次题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.15.如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 D【解析】【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠C=90°=∠ACB，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB= FB•FG= S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；故选：D．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB= FB•FG= S四边形CEFG，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M 为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（）A. 5B.C.D.【答案】B【解析】【解答】设BE=x，则CE=6-x，∵四边形ABCD矩形，AB=4，∴AB=CD=4，∠C=∠B=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，又∵F是AB的中点，∴BF=2，又∵EF⊥ED，∴∠FED=90°，∴∠FEB+∠DEC=90°，∴∠FEB=∠CDE，∴△BFE∽△CED，∴=，∴=，∴（x-2）（x-4）=0，∴x=2，或x=4，①当x=2时，∴EF=2，DE=4，DF=2，∴AM=ME=，∴AE===2,②当x=4时，∴EF=2，DE=2，DF=2，∴AM=ME=，∴AE==2,AE==4,∴x=4不合题意，舍去故答案为：B.【分析】设BE=x，则CE=6-x，由矩形性质得出AB=CD=4，∠C=∠B=90°，又由EF⊥ED，根据同角的余角相等可得出∠FEB=∠CDE；由相似三角形的判定得出△BFE∽△CED，再根据相似三角形的性质得出=，由此列出方程从而求出x=2或x=4，分情况讨论：①当x=2时，由勾股定理算出AE===2,②当x=4时，由勾股定理算出AE==2,AE==4,故x=4不合题意，舍去.17.如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．18.如图,P是正方形ABCD内一点，∠APB=135，BP=1，AP=，求PC的值（）A. B. 3 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形，由勾股定理求解.如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′，点C的对应点C′与点A重合.根据旋转的性质可得AP′=PC，BP′=BP，△PBP′是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，然后由∠APB=135,可得出∠APP′=90°，再利用勾股定理列式计算求出.故选B.二、填空题（共15题；共16分）19.如图所示，△ABC为边长为4的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边的正方形ADEF的面积为________。
第1章特殊平行四边形《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型-北师大版九年级数学上册
《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型【知识梳理】 总体解题思路和方法：①直接证明：不一定按顺序，哪个结论最好证就先证哪个； ②已证明的结论可以作为题目的已知条件；③假设法：遇到不好证的，可以假设它成立，倒过去反推，若推出的结论与题目已知条件相符，说明假设成立，即结论也成立，反之，结论错误；④涉及几何计算时，常用解题技巧是：特殊值法或字母参数法【典型例题】例1.如图，在平行四边形ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③；④∠CFE=3∠DEF ；其中正确结论的个数有（ D ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：多结论题型，几何综合题型，压轴题（1）数学典型模型：“等腰△+平行线=角平分线”，∵FC=BC ，FC//AB ， ∴∠CFB=∠ABF=∠CBF ，∴∠ABC=2∠ABF ，①正确；（2）数学典型模型：“中线倍长”；延长BC 交EF 的延长线于点G ，由AAS 易证△DEF ≌△CGF ，则EF=FG ，∵AD//BC ，∴∠AEB=∠EBC=90°，则BF 是Rt △EBG 斜边上的中线，∴BF=EF=FG ，②正确； （3）由△DEF ≌△CGF 可得，由BF 是中线，可得， ∴，③正确；CBADEFGFEDABC（4）依几何图形的审题技巧：想办法拉近∠CFE与∠DEF的位置距离，由AD//BG，可得∠DEF=∠G，由BF=FG可得∠G=∠FBG，由CF=CB可得∠FBG=∠CFB，∴∠DEF=∠CFB，由外角定理可得∠EFB=∠G+∠FBC=2∠FBC=2∠CFB，∴∠CFE=3∠CFB=3∠DEF，④正确，故选D.例2.已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M,连接DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC,OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD 是菱形；④MB:OE=3:2，其中正确结论是___________解析：多结论题型，压轴题。
北师大版九年级数学上第一章特殊平行四边形基本功强化训练(一)特殊平行四边形的计算与证明习题课件
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10．如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为 CD 上一点，BF 与 AC 交于点 E，若 ∠CBF＝20°，则∠AED 等于 6655°°.
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11．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AB，CD 于点 E，F，AB＝6，BD＝10，则图中阴影部分的面积为 224 4.
A．4 3
B．4
C．2 3
D．2
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3．(徐州中考)如图，菱形中，对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 AD 边的中
点，菱形 ABCD 的周长为 28，则 OE 的长等于
（A ）
A．3.5
B．4
C．7
D．14
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4．如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边△ADE，AC，BE 相交于点 F，则
6．如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一个动点，矩
形的两条边 AB，BC 的长分别为 3 和 4，那么点 P 到矩
形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和 PE＋PF 是（ A ）
12
6
24
A. 5
B.5
C. 5
D．不确定
【解析】连接 OP，由矩形的两条边 AB，BC 的长分别为 3 和 4，可求得 OA
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13．(北京中考)如图，在四边形 ABCD 中，BD 为一条 对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E 为 AD 的中点，连接 BE. (1)求证：四边形 BCDE 为菱形； (2)连接 AC，若 AC 平分∠BAD，BC＝1，求 AC 的长．
平行四边形经典证明题例题讲解
--经纬教育平行四边形证明题 经典例题(附带详细答案)1.如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证:AF CE =．【答案】证明：平行四边形ABCD 中,AD BC ∥,AD BC =,ACB CAD ∴∠=∠.又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠, BEC DFA ∴△≌△,∴CE AF =２．如图6，四边形AB ＣD 中,A Ｂ∥CD ，∠B=∠D ,,求四边形ABCD 的周长. 【答案】２0、解法一: ∵∴又∵∴∴∥即得是平行四边形∴∴四边形的周长解法二：3 ,6==AB BC AB CD ∥︒=∠+∠180C B B D ∠=∠︒=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=DCABE FAD CB连接∵∴又∵∴≌∴∴四边形的周长解法三:连接∵∴又∵∴∴∥即是平行四边形∴∴四边形的周长3.(在四边形ABCD中,∠D=60°，∠Ｂ比∠Ａ大2０°,∠Ｃ是∠A的2倍,求∠A,∠B，∠C的大小.【关键词】多边形的内角和【答案】设xA=∠(度),则20+=∠xB,xC2=∠．根据四边形内角和定理得,360602)20(=++++xxx.解得，70=x．∴︒=∠70A，︒=∠90B,︒=∠140C．4.（如图,E F，是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF CE DF BE DF BE==，，∥．ACAB CD∥DCABAC∠=∠B D AC CA∠=∠=，ABC△CDA△36AB CD BC AD====，ABCD183262=⨯+⨯=BDAB CD∥CDBABD∠=∠ABC CDA∠=∠ADBCBD∠=∠AD BC ABCD36AB CD BC AD====，ABCD183262=⨯+⨯=A DCBA DCB----求证：(1）AFD CEB △≌△. (2）四边形ABCD 是平行四边形.【关键词】平行四边形的性质,判定 【答案】证明:（1）DF BE ∥,DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又AF CE DF BE ==，，AFD CEB ∴△≌△(SAS).(２)由（1)知AFD CEB △≌△,DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，,AD BC ∴∥．∴四边形ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)5.）２5.如图1３-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥,2BE =．(1）求EC ∶CF 的值;（2)延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点(如图１3－２），试判断AE EP 与的大小关系,并说明理由；(３)在图１3-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【关键词】平行四边形的判定【答案】解：(1)AE EF ⊥2390∴∠+∠=°四边形ＡBCD 为正方形90B C ∴∠=∠=° 1390∴∠+∠=°12∠=∠ABDEFCADCBEBCE DA F PF90DAM ABE DA AB∠=∠==°，DAM ABE∴△≌△DM AE∴=AE EP=DM PE∴=∴四边形DMEP是平行四边形.解法②:在AB边上存在一点M,使四边形DMEP是平行四边形证明:在AB边上取一点M，使AM BE=，连接ME、MD、DP.90AD BA DAM ABE=∠=∠=，°Rt RtDAM ABE∴△≌△14DM AE∴=∠=∠，1590∠+∠=°4590∴∠+∠=°AE DM∴⊥AE EP⊥DM EP∴⊥∴四边形DMEP为平行四边形６.（2０09年广州市）如图9，在ΔAＢC中，D、E、F分别为边ＡB、BC、CA的中点。
平行四边形专题证明题33道-含答案
图1 平行四边形专题练习1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．2．（08贵阳市）如图1，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．3.若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．4．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝5．以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 .6．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ．7．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ．二、选择题（每题3分，共30分）8．如图2在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( )A ．110°B ．30°C ．50°D ．70°图2 图3 图49．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等10．如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm11．已知：如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )A ．8B ．6C ．4D ．3E AF D C B H G12．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( )A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤13．如图5所示，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是( )A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm图5 图614、（08甘肃省白银市）如图6所示，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=，∠=（）则AEFA．110° B．115°C．120° D．130°15、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=ADA.2组B.3组C.4组D.6组16、下列说法错误的是（）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.B.每组邻边都相等的四边形是菱形.C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D.四个角都相等的四边形是矩形.三、解答题17、如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm ,BD＝6 cm, DH⊥AB于H，求：DH的长。
特殊平行四边形-证明题
特殊平行四边形-证明题(总9页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-特殊平行四边形之证明题 题型一：菱形的证明1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线2．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △．（1）求证：BE DG =；（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ．（1）求证：AD ＝CE ；（2）填空：四边形ADCE 的形状是 ．5.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置，AB BF=，求证：四边形BNDM 为菱形．DBCAENMOA BCDEF D ′ADGCBFE6.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE .（1）求证：△ABE ≌△ACE（2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由.7.如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△．（1）证明A AD CC B '''△≌△；（2）若30ACB ∠=°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC D ''是菱形，并请说明理由．8．在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，．点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ．（1）求BDE △的周长；（2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ．求证：BP DQ =．9．如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ． （1）求证：△ABC ≌△DCB ；（2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论．C DE MAB FNAQ DEBCOCB AD A 'C '（第19D ' A DM10．如图，在△ABC 中，∠A 、∠B 的平分线交于点D ，DE ∥AC 交BC 于点E ，DF ∥BC 交AC 于点F ． （1）点D 是△ABC 的________心； （2）求证：四边形DECF 为菱形．11、如图,已知:在四边形ABFC 中，ACB ∠=90BC ,︒的垂直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且CF=AE(1) 试探究,四边形BECF 是什么特殊的四边形;(2) 当A ∠的大小满足什么条件时,四边形BECF 是正方形?请回答并证明你的结论. (3) (4)(特别提醒:表示角最好用数字)12、如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB CD ，的延长线分别交于E F ，．（1）求证：BOE DOF △≌△； （2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．13、如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC 平分BAD ∠，CE AD ∥交AB 于E ．（1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）若点E 是AB 的中点，试判断ABC △的形状，并说明理由．FDOCB EA14、如图8，在ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，连接DE BF BD ，，．（1）求证：ADE CBF △≌△．（2）若AD BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．15、如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F 。
初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析
初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析1. (2011福建莆田)如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．(1)求证：DB＝CF；(2)如果AC＝BC，试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论．【答案】见解析【解析】(1)证明：∵CF∥AB，∴∠DAE＝∠CFE．又∵DE＝CE，∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF．∵AD＝DB，∴DB＝CF．(2)四边形BDCF是矩形．证明：由(1)知DB＝CF，又DB∥CF，∴四边形BDCF为平行四边形．∵AC＝BC，AD＝DB，∴CD⊥AB．∴四边形BDCF是矩形．2.矩形ABCD中，点O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为20cm，则AB的长为()A．1cmB．2cmC．cmD．cm【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC．又∵O是BC的中点，∴BO＝CO，∴△ABO≌△DCO，∴AO＝DO．∵∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∴∠BAO＝∠AOB＝45°，∴AB＝OB．设AB＝xcm，则BC＝2xcm，∴2(x＋2x)＝20，解得，故选D．3. (2014重庆)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】在矩形ABCD中，OA＝OB＝OC＝OD，所以∠OBC＝∠OCB＝30°，所以∠AOB＝∠OCB＋∠OBC＝60°．4.(2014四川巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF．(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是________，并证明；(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由．【答案】见解析【解析】(1)添加条件：BE∥CF(答案不唯一)．证明：如图，∵BE∥CF，∴∠1＝∠2．∵点H是边BC的中点，∴BH＝CH．又∵∠3＝∠4，∴△BEH≌△CFH．(2)当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形，理由如下：连接BF，CE．∵△BEH≌△CFH．∴EH＝FH，又BH＝CH，∴四边形BFCE是平行四边形．又∵BH＝EH，∴EF＝BC，∴四边形BFCE是矩形．5.已知在四边形ABCD中，，请添加一个条件，使四边形ABCD成为矩形，添加的条件可以是________．(只填一个即可)【答案】∠A＝90°(答案不唯一)【解析】由可知，该四边形是平行四边形，根据矩形的定义，只要加上条件“一个角是直角”即可，故填∠A＝90°，或∠B＝90°，或∠C＝90°，或∠D＝90°．6.如图所示，在□ABCD中，点E，F分别为BC边上的点，且BE＝CF，AF＝DE求证：□ABCD是矩形．【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．∵BE＝CF，∴BF＝CE．又∵AF＝DE，∴△ABF≌△DCE．∴∠B＝∠C．又∵∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝90°．∴□ABCD是矩形．【解析】已知四边形ABCD是平行四边形，欲证它是矩形，只需证一角是直角即可，由题意易知△ABF≌△DCE，而∠B＋∠C＝180°，因此有∠B＝∠C＝90°，问题迎刃而解．7.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使顶点B与顶点D重合，折痕为EF．若，AD＝3，则△DEF的周长为________．【答案】6【解析】∵沿EF折叠后，点B与点D重合，点A在点A′的位置，∴A′E＝AE，，BF＝DF．∵四边形ABCD为矩形，∴，BC＝AD＝3，∠C＝∠A＝90°．在Rt△DCF中，设CF＝x，则DF＝BF＝3－x，由勾股定理得，解得x＝1，∴DF＝3－x＝3－1＝2．同理，DE＝2．连接BD，交EF于点O，则点B与点D关于EF称，∴，BD⊥EF．在Rt△EDO中，，由DE＝DF，BD⊥EF，得EO＝OF＝1，∴EF＝2，∴△DEF的周长为DE＋DF＋EF＝2＋2＋2＝6．8.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD、BC于点E、F，AB＝2，BC ＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】矩形ABCD的面积＝AB·BC＝2×4＝8，图中阴影部分面积的和等于矩形面积的一半，故选C．9.如图，在矩形ABCD中，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，∠BDF＝15°，求∠DOC与∠COF的度数．【答案】75°【解析】解：∵DF平分∠ADC，∴∠FDC＝45°．又∵∠BDF＝15°，∴∠BDC＝45°＋15°＝60°．又∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝OC＝BO＝OD，∴△DOC是等边三角形．∴∠DOC＝60°．在Rt△DCF中，∠FDC＝45°，∴CF＝CD＝OC，∴∠COF＝∠CFO．又∵∠OCF＝90°－∠OCD＝90°－60°＝30°，∴∠COF＝75°．10.（2013湖南邵阳）如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件________，使四边形ABCD为矩形．【答案】∠B＝90°（答案不唯一）【解析】∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，∴AB＝CD，∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．当∠B＝90°时，平行四边形ABCD为矩形，∴添加的条件为∠B＝90°．11.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是()A．AB＝CDB．AD＝BCC．∠AOB＝45°D．∠ABC＝90°【答案】D【解析】因为四边形ABCD的对角线互相平分，所以四边形ABCD为平行四边形，A、B两选项为平行四边形具有的性质，C选项添加后也不是矩形，根据矩形的定义知D正确．故选D．12.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A．对角相等B．对角线互相平分C．一组对边平行另一组对边相等D．对角线相等【答案】D【解析】矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．13.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H．(1)判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由：(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．(提示：旋转前后，图形中对应的角和对应的边分别相等)【答案】见解析【解析】(1)DE⊥FG，理由如下：由题意得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°．∴∠BDE＋∠BED＝90°．∴∠GFE＋∠BED＝90°．∴∠FHE＝90°．∴DE⊥FG．(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE，∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°．∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE．∴四边形CBEG是正方形．14.如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( )A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【解析】在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OB＝OC＝OD，所以等腰三角形有△ABC，△ADC，△ABD，△CBD，△OAB，△OBC，△OCD，△OAD．15.下列命题错误的是( )A．有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形B．有一组邻边相等的矩形是正方形C．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形D ．有一个角是直角的菱形是正方形【答案】A【解析】由定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，A 不正确，故选A ．16. 如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 也是正方形A′B′C′O 的一个顶点，两个正方形的边长都等于1，当正方形A′B′C′O 绕顶点O 转动时，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？并说明理由．【答案】两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终为．理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°． ∵四边形A′B′C′O 是正方形， ∴∠EOF ＝90°，∴∠BOC ＝∠EOF ． ∴∠BOC －∠BOF ＝∠EOF －∠BOF ，即∠COF ＝∠BOE ．∴△BOE ≌△COF(ASA)，∴S △BOE ＝S △COF ．∴重叠部分面积等于S △BOC ．∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1，∴，即两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终为．【解析】正方形的两条对角线分正方形为四个全等的等腰直角三角形．通过证△BOE ≌△COF ，得．17. 如图，将矩形ABCD 中的△AOB 沿着BC 的方向平移线段AD 长的距离．（1）画出△AOB 平移后的图形．（2）设（1）中O 点平移后的对应点为E ，试判断四边形CODE 的形状，并说明理由．（3）当四边形ABCD 是什么四边形时，（2）中的四边形CODE 是正方形？并说明你的理由．【答案】（1）平移后的图形如图．（2）四边形CODE 是菱形．理由如下：∵△AOB 平移后得到△DEC ， ∴DE ∥AC ，CE ∥BD ． ∵四边形ABCD 是矩形，∴，，且AC＝BD，∵OC＝OD，∴四边形CODE是菱形．（3）当四边形ABCD是正方形时，（2）中的四边形CODE是正方形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∴菱形CODE是正方形．【解析】在图形移动过程中，图形的大小、形状不变，可得四边形CODE是菱形．当AC⊥BD 时，四边形CODE是正方形，此时四边形ABCD是正方形．18.（2013江苏南京）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD 上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB．（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°．又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN．∴四边形MPND是正方形．19.（2013济宁）如图中图（1），在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF＝BE．（2）如图中图（2），在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．【答案】（1）证明：如图（1），在正方形ABCD中，AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°，∴∠DAF＋∠BAF＝90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴BE＝AF．（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图（2），过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则BE＝NQ，AF＝MP．只需证BE＝AF即可．与（1）的情况完全相同．【解析】（1）根据正方形的性质可得AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°，再根据同角的余角相等求∠ABE＝∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的性质证明即可；（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后解法与（1）相同．20.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下面能判断这个四边形是正方形的是（）A．AD⊥CD，AC＝BDB．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【解析】对角线相等、互相平分且垂直的四边形是正方形．21.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A、C作l的垂线，垂足分别为点E、F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为________．【答案】【解析】由题意，知△BFC≌△AEB，∴CF＝BE，∴．22. 已知，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A ．∠D ＝90°B ．AB ＝CDC ．AD ＝BCD ．BC ＝CD【答案】D【解析】由∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°可判定为矩形，根据正方形的定义，再添加条件“一组邻边相等”即可判定为正方形，故选D ．23. (2014福建福州)如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为( )A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°【答案】C【解析】由已知得AB ＝AE ，∠BAE ＝150°，∴∠ABF ＝15°，∴∠BFC ＝∠ABF ＋∠BAF ＝15°＋45°＝60°．24. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是________．【答案】1【解析】由题意可知△DEO ≌△BFO ，∴S △DEO ＝S △BFO ，∴．25. 如图所示，在菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，AB ＝4cm ．那么，菱形ABCD的面积是________，对角线BD的长是________．【答案】cm2；cm【解析】在菱形ABCD中，由AE垂直平分BC可知△ABC是正三角形，故BC＝AC＝4cm，由勾股定理可知cm，∴菱形ABCD的面积是(cm2)，同时菱形的面积还等于两条对角线乘积的一半，∴对角线BD的长为(cm)．26.如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O，并且BD＝4，AC＝6，．(1)AC与BD有什么位置关系？为什么？(2)四边形ABCD是菱形吗？为什么？【答案】见解析【解析】(1)AC⊥BD，理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，．在△OBC中，OC2＋OB2＝9＋4＝13＝BC2，∴△OBC为直角三角形，即OC⊥OB，∴AC⊥BD．(2)四边形ABCD是菱形，理由如下：∵AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形．27.(2012山西)如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )A．cmB．cmC．cmD．cm【答案】D【解析】由菱形的性质知菱形边长为(cm)，所以，得cm，故选D．28. (2013山东潍坊)如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件________，使ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)【答案】本题答案不唯一，如OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC等【解析】根据对角线互相垂直平分可添加OA＝OC；或添加AD＝BC或AB＝DC或AD∥BC或AB∥DC或AB＝BC或AD＝DC，由三角形全等得到AO＝CO，再由对角线互相垂直平分得到四边形ABCD是菱形．29.如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，求证：四边形AFCE是菱形．【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠CAE＝∠ACF又∵∠AOE＝∠COF，OA＝OC，∴△AOE≌△COF．∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵EF⊥AC．∴四边形AFCE是菱形．【解析】要证四边形AFCE是菱形，首先要证四边形AFCE是平行四边形．30.如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝10．(1)求∠ABC的度数；(2)求对角线AC的长度；(3)求菱形ABCD的面积．【答案】(1)连接BD，交AC于点O，如图．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB．∵E是AB的中点，且DE⊥AB，∴AD＝BD．∴△ABD是等边三角形．∴∠ABD＝60°．∴∠ABC＝60°×2＝120°．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分．∴．∴在Rt△AOB中，，∴．(3)．【解析】(1)连接BD，与AC相交于点O，可证△ABD是等边三角形，所以∠ABD＝60°，可得∠ABC的度数；(2)在Rt△OAB中，由勾股定理可求出OA的长，则AC＝2OA；(3)根据菱形的面积公式可求其面积．。
北师大版九年级数学上学期期末备考压轴题专项习题：特殊的平行四边形(含答案)
期末备考压轴题专项习题：特殊的平行四边形1．已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，求证：AE＝EF；（2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长．2．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）判断四边形ACDF的形状；（2）当BC＝2CD时，求证：CF平分∠BCD．3．在菱形A BCD中，∠ABC＝60°，延长BA至点F，延长CB至点E，使BE＝AF，连结CF，EA，AC，延长EA交CF于点G．（1）求证：△ACE≌△CBF；（2）求∠CGE的度数．4．如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）试判断四边形AEDF的形状．（2）当△ABC满足条件时，EF∥BC；当△ABC满足条件时，EF＝AD．5．如图正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．（1）若∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF；（2）若该正方形ABCD的边长为1，如果△CEF的周长为2．求∠EAF的度数．6．一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中四边形PRBA，RQDC，QPFE为正方形．记正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为S1，S2，S3，RH⊥PQ，垂足为H．（友情提示：正方形的四个内角都等于90度，四边都相等）（1）若PR⊥QR，S1＝16，S2＝9，则S3＝，RH＝；（2）若四边形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为25m2、13m2、36m2①求△PRQ的面积；②请判断△PRQ和△DEQ的面积的数量关系，并证明你的结论；③六边形花坛ABCDEF的面积是m2．7．已知，如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D 不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．（1）求证：①△BCG≌△DCE．②BH⊥DE．（2）当BH平分DE时，求GC的长．8．如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O做EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝，∠DCF＝30°，求EF的长．9．已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当平行四边形ABCD满足条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，探究四边形GEHF的形状，并说明理由．10．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结C E，DF．（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，①当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，AD＝16，BC＝22，∠ABC＝90°，点P 从点A出发，以每秒1单位的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以每秒v单位的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当v＝3时，若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为平行四边形，且线段PQ为平行四边形的一边，求t的值；（2）若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为菱形，且线段PQ为菱形的一条对角线，请直接写出t的值．12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC垂直平分BD，交BD于点F，延长DC到点E，使得CE＝DC，连接BE．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）填空：①当∠ADC＝°时，四边形ACEB为菱形；②当∠ADC＝90°，BE＝4时，则DE＝．13．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，EF垂直平分AM，分别交BC，AM，AD于点E，O，F，连接AE，MF．（1）求证：四边形AEMF是菱形；（2）若AB＝6，H为AB的中点，连接OH交AE于点P，OH+OA＝9，求△OPE的周长．14．在菱形ABCD中，P、Q分别是边BC、CD的中点，连接AP、AQ．（1）如图（1），求证：AP＝AQ；（2）如图（2），连接PQ、AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形．15．如图，四边形ABCD为菱形，∠BCD＝60°，E为对角线AC上一点，且AE＝AB，F 为CE的中点，接DF、BF，BG⊥BF与AC交于点G；（1）若AB＝2，求EF的长；（2）求证：CG﹣EF＝BG．参考答案1．（1）证明：如图1，在AB上截取BM＝BE，连接ME，∵∠B＝90°，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∴∠AME＝135°＝∠ECF，∵AB＝BC，BM＝BE，∴AM＝EC，在△AME和△ECF中，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）解：取AB中点M，连接EM，∵AB＝BC，E为BC中点，M为AB中点，∴AM＝CE＝BE，∴∠BME＝∠BME＝45°，∴∠AME＝135°＝∠ECF，∵∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，在△AME和△ECF中，∴△AME≌△ECF（ASA），∴EM＝CF，∵AB＝2，点E是边BC的中点，∴BM＝BE＝1，∴CF＝ME＝．2．（1）解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠F AE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△F AE和△CDE中，，∴△F AE≌△CDE（ASA），∴CD＝F A，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）证明：∵BC＝2CD，AB＝CD，四边形ACDF是平行四边形，∴AF＝CD，BF＝BC，∴△BCF是等腰直角三角形，∴∠BCF＝45°，∴∠DCF＝45°，∴CF平分∠BCD．3．（1）证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，∵BE＝AF，∴BE+BC＝AF+AB，即CE＝BF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（SAS）；（2）解：由（1）可知：△ABC是等边三角形，△ACE≌△CBF，∴∠E＝∠F，∵∠BAE＝∠F AG，∴∠E+∠BAE＝∠F+∠F AG，∴∠CGE＝∠ABC，∵∠ABC＝60°，∴∠CGE＝60°．4．解：（1）四边形AEDF是菱形；理由如下：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠F AD，∴∠ADF＝∠F AD，∴F A＝FD，∴四边形AEDF是菱形；（2）当△ABC满足AB＝AC条件时，EF∥BC；当△ABC满足∠BAC＝90°条件时，EF ＝AD．理由如下：由（1）得：四边形AEDF是菱形，∴AD⊥EF，∵AB＝AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，∴EF∥BC；当∠ABC＝90°时，四边形AEDF是正方形，∴EF＝AD；故答案为：AB＝AC，∠BAC＝90°．5．（1）证明：如图，延长CD至E'，使DE'＝BE，连接AE'，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠B＝90°，∴∠ADE'＝90°＝∠ABE，在△ADE'和△ABE中，，∴△ADE'≌△ABE（SAS），∴AE'＝AE，∠DAE'＝∠BAE，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠B AE＝45°，∴∠DAF+∠DAE'＝∠E'AF＝45°＝∠EAF，在△E′AF和△EAF中，，∴△E′AF≌△EAF（SAS），∴E′F＝EF，∵E′F＝DE′+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（2）延长CD至E'使DE'＝BE，连接AE'，由（1）知，△ADE'≌△ABE（SAS），∴AE'＝AE，∠DAE'＝BAE，设BE＝x，DF＝y，∵正方形ABCD的边长为1，∴CE＝1﹣x，CF＝1﹣y，∵△CEF的周长为2，∴CE+CF+EF＝2，∴1﹣x+1﹣y+EF＝2，∴EF＝x+y＝BE+DF＝DE'+DF＝E'F，在△E'AF和△EAF中，，∴△E'AF≌△EAF（SSS），∴∠E'AF＝∠EAF，∴∠DAE'+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°，∴∠EAF＝45°．6．解：（1）∵PR⊥QR，∴∠PRQ＝90°，∴PR2+RQ2＝PQ2，∵S1＝16，S2＝9，∴S3＝16+9＝25，∴PR＝4，RQ＝3，PQ＝5，∵RH⊥PQ，∴PR•RQ＝PQ•RH，∴RH＝＝，故答案为：25，2.4；（2）①设PH＝a，则QH＝6﹣a，∵RH2＝PR2﹣PH2＝RQ2﹣HQ2，∴25﹣a2＝13﹣（6﹣a）2，解得：a＝4，∴RH2＝PR2﹣PH2＝25﹣16＝9，∴RH ＝3，∴S △PQR ＝×6×3＝9；②S △PRQ ＝S △DQE ，证明：延长RQ 到点M ，使QM ＝RQ ，连结PM ，∵QD ＝QM ，∠DQE ＝∠MQP ，QE ＝QP∴△DQE ≌△MQP （SAS ），∴S △DQE ＝S △MQP ，∵RQ ＝QM ，∴S △PRQ ＝S △MQP ，∴S △PRQ ＝S △DQE ；③六边形花坛ABCDEF 的面积＝25+13+36+4×9＝74+36＝110m 2． 故答案为：110．7．（1）证明：∵正方形ABCD ，∴∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，同理：CG ＝CE ，∠GCE ＝90°，∴∠BCD ＝∠GCE ＝90°，，∴△BCG ≌△DCE （SAS ），∴∠GBC＝∠CDE，在Rt△DCE中∠CDE+∠CED＝90°，∴∠GBC+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BHE）＝90°，∴BH⊥DE；（2）若BH垂直平分DE，连接BD，∴BD＝BE，∵BD＝，∴CG＝CE＝BE﹣BC＝﹣1．8．解：（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO＝∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AF＝CF＝CE＝AE，∴四边形AECF是菱形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝，在Rt△CDF中，cos∠DCF＝，∠DCF＝30°，∴CF＝＝2，∵四边形AECF是菱形，∴CE＝CF＝2．9．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴BD的中点在AC上，∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，∴E、F分别为OB、OD的中点，∵G是AD的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，同理：EH∥OC，EH＝OC，∴EH＝GF，EH∥GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：连接GH，如图2所示：则AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB∥GH，∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四边形GEHF是菱形；故答案为：AB⊥BD；（3）解：四边形GEHF是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，∵BD＝2AB，∴AB＝BD＝EF，∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形．10．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCD＝∠GCD，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，∴△CFG≌△EDG（ASA），∴FG＝EG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝6，∴BM＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，∵AE＝7，∴DE＝3＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：7；②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD＝10，AE＝4，∴DE＝6，∵CD＝6，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：4．11．解：（1）∵当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时，∵AP∥BQ，∴当AP＝BQ时，四边形APQB为平行四边形．此时，t＝22﹣3t，t＝．当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD∥QC，∴当PD＝QC时，四边形PQCD为平行四边形．此时，16﹣t＝3t，t＝4，∵线段PQ为平行四边形的一边，故当t＝或4时，线段PQ为平行四边形的一边．（2）当PD＝BQ＝BP时，四边形PBQD能成为菱形．由PD＝BQ，得16﹣t＝22﹣3t，解得t＝3，当t＝3时，PD＝BQ＝13，AP＝AD﹣PD＝16﹣13＝3．在Rt△ABP中，AB＝8，根据勾股定理得，BP═≠13∴四边形PBQD不能成为菱形；如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，由题意得，，解得，．故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在t＝6时为菱形．12．（1）证明：∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BF＝DF，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CD B．∵∠AFB＝∠CFD，∴△AFB≌△CFD（ASA），∴AB＝CD．又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）①当∠ADC＝60°，四边形ACEB为菱形，∵∠ADC＝60°，∴∠BCE＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴CE＝BE，∴四边形ACEB为菱形，故答案为：60；②当∠ADC＝90°，BE＝4时，DE＝4，故答案为：4．13．（1）证明：∵EF垂直平分AM，∴AE＝EM，OA＝OM．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠AFO＝∠MEO，在△OF和△MOE中，，∴△AOF≌△MOE（AAS）．∴OF＝OE．∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE＝EM．∴四边形AEMF是菱形；（2）解：∵O、H分别为AM、AB的中点，∴BM＝2OH，AM＝2OA，∴AM+BM＝2OA+2OH＝18．设BM＝x，则AM＝18﹣x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：62+x2＝（18﹣x）2，解得：x＝8，∴BM＝8，AM＝10．∴OA＝AM＝5，设EM＝m，则BE＝8﹣m，AE＝EM＝m，在Rt△ABE中，由勾股定理得：62+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝，∴AE＝EM＝在Rt△AOE中，EO＝＝＝．∵OP∥EM，∴＝＝1，∴AP＝PE，∴OP＝EM＝，∵PE＝AE＝，∴△OPE的周长＝EO+PE+OP＝++＝10．14．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∵P、Q分别是边BC、CD的中点，∴BP＝CQ，在△ABP和△ADQ中，，∴△ABP≌△ADQ（SAS），∴AP＝AQ，（2）∵AP＝AQ，∴△APQ是等腰三角形，∵BC＝CD，∵P、Q分别是边BC、CD的中点，∴PC＝CQ，∴△PQC是等腰三角形，∵AB＝BC，AD＝CD，∴△ABC，△ACD是等腰三角形，∴图中所有的等腰三角形有△ABC，△APQ，△ACD，△CPQ．15．（1）解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，∠OAB＝∠BAD＝30°，∴OB＝AB＝1，OA＝OB＝，∴AC＝2OA＝2，∵AE＝AB＝2，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2，∵F为CE的中点，∴EF＝CE＝﹣1；（2）证明：设AB＝2a，同（1）得：OB＝AB＝a，OA＝OB＝a，∴AC＝2OA＝2a，∵AE＝AB＝2a，∴CE＝AC﹣AE＝（2﹣2）a，OE＝AE﹣OA＝（2﹣）a，∵F为CE的中点，∴EF＝CE＝（﹣1）a，∴OF＝OE+EF＝（2﹣）a+（﹣1）a＝a，∴OB＝OF，∵AC⊥BD，∴△BOF是等腰直角三角形，∴∠BFG＝45°，∵BG⊥BF，∴△BFG是等腰直角三角形，∴GF＝BG，∵GF＝CG﹣CF＝CG﹣EF，∴CG﹣EF＝BG．。
平行四边形判定专项练习30题
平行四边形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，ED∥BF，AF=CE，求证：ABCD是平行四边形．2．如图，四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=11﹣x，BC=5，CD=x﹣5，AD=x﹣3，AC=4．求证：四边形ABCD为平行四边形．3．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，现给出四个条件：①OA=OC；②AB=CD；③∠BAD=∠DCB；④AD∥BC．请你从中选择两个，推出四边形ABCD为平行四边形，并写出你的推理过程．（1）从以上4个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有（用序号表示）_________ ．（2）从（1）中选出一种情况，写出你的推理过程．4．如图，已知：点B、E、F、D在一条直线上，DF=BE，AE=CF．请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使四边形ABCD是平行四边形，并说明理由，供选择的三个条件（请从其中选择一个）：①AB=DC；②BC=AD；③∠AED=∠CFB．5．如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．6．如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF，猜想：四边形ADEF 是什么四边形，试证明你的结论．7．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．求证：（1）AD是△ABC的中线；（2）请连接BF、CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．8．如图，矩形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O，E、F是BD上的两点，且∠AEB=∠CFD．求证：四边形AECF 是平行四边形．9．如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是BC上一点，DE=AB．求证：四边形ABED是平行四边形．10．如图，已知 AB∥DC，E是BC的中点，AE，DC的延长线交于点F；（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）连接AC，BF．则四边形ABFC是什么特殊的四边形？请说明理由．11．等边△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD=BE，以AD为边作等边△ADF，如图．求证：四边形CDFE是平行四边形．12．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．若∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．求证：（1）△ABC≌△EAF；（2）四边形ADFE是平行四边形．13．已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．14．如图所示：在四边形ABCD中，AD∥BC、BC=18cm，CD=15cm，AD=10cm，AB=12cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2cm/秒的速度由A向D运动，点Q以3cm/秒的速度由C向B运动．（1）几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长（2）几秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ的周长．15．求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．16．△ABC中，中线BE、CF相交于O，M是BO的中点，N是CO的中点，求证：四边形MNEF是平行四边形．17．如图，AD=DB，AE=EC，FG∥AB，AG∥BC．（1）证明：△AGE≌△CFE；（2）说明四边形ABFG是平行四边形；（3）研究图中的线段DE，BF，FC之间有怎样的位置关系和数量关系．18．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．19．已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF=DE，图中有几个平行四边形？请说明你的理由．20．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形．21．如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，BC=2AD．找出图中所有的平行四边形，并选择一个说明它是平行四边形的理由．22．求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．23．已知：如图，A、B、C、D在同一条直线上，且AB=CD，AE∥DF，AE=DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．24．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．图中的四边形BFCE 是平行四边形吗？为什么？25．已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点，试问四边形EFGH的形状并说明理由．26．如图，已知四边形ABCD中AD=BC，点A、B、E在同一条直线上，且∠B=∠EAD，试说明四边形ABCD是平行四边形．27．如图，AD∥BC，ED∥BF，且AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．28．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．29．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．当AB≠AC时，求证：四边形ADFE为平行四边形．30．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AB=DC=5，AC=4，BC=3．求证：四边形ABCD为平行四边形．平行四边形的判定30题参考答案：1．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BCF，∵ED∥BF，∴∠DEF=∠BFE，∴∠AED=∠CFB，又∵AF=CE，∴AE=CF，在△ADE和△CBF中：∵∠DAE=∠BCF，∠AED=∠CFB，AE=CF，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AD=CB，即：AD∥CB，AD=CB，∴四边形ABCD是平行四边形，2．∵∠BAC=90°，AB=11﹣x，BC=5，AC=4．∴（11﹣x）2+42=52，解得：x1=8，x2=14＞11（舍去），当x=8时，BC=AD=5，AB=CD=3，∴四边形ABCD为平行四边形．3．（1）解：能推出四边形ABCD是平行四边形的有①④、③④；故答案是：①④、③④；（2）以①④为例进行证明．如图，在四边形ABCD中，OA=OC，AD∥BC．证明：∵AD∥BC，∴∠DAO=∠BCO．∴在△AOD与△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD=BC，∴在四边形ABCD中，AD BC，∴四边形ABCD为平行四边形．4．选择①，∵DF=BE，AE=CF，AB=CD，∴△ABE≌△CDF（sss），∴∠ABE=∠CDF，∴四边形ABCD是平行四边形．5. BE=DF，BE∥DF因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD，因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE=OF，所以BFDE是平行四边形，所以BE=DF，BE∥DF 6．四边形ADEF是平行四边形．连接ED、EF，∵△ABD、△BCE、△ACF分别是等边三角形，∴AB=BD，BC=BE，∠DBA=∠EBC=60°．∴∠DBE=∠ABC．∴△ABC≌△DBE．同理可证△ABC≌△FEC，∴AB=EF，AC=DE．∵AB=AD，AC=AF，∴AD=EF，DE=AF．∴四边形ADEF是平行四边形7．（1）∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD．∵∠BDE=∠CDF，BE=CF，∴△BED≌△CFD．∴BD=CD．∴AD是△ABC的中线．（2）四边形BECF是平行四边形，由（1）得：BD=CD，ED=FD．∴四边形BECF是平行四边形8．∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠AEB=∠CFD，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF，又∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，∴OB﹣BE=OD﹣DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形9．∵AD∥BC，AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵DE=AB，∴∠DEC=∠B，∴AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．10．（1）证明：∵AB∥DC，∴∠1=∠2，∠FCE=∠EBA，∵E为BC中点，∴CE=BE，∵在△ABE和△FCE中，∠1=∠2，∠FCE=∠EBA，CE=BE，∴△ABE≌△FCE；（2）四边形ABFC是平行四边形；理由：由（1）知：△ABE≌△FCE，∴EF=AE，∵CE=BE，∴四边形ABFC是平行四边形11．连接BF，∵△ADF和△ABC是等边三角形，∴AF=AD=DF，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACD=∠CAB=∠FAD=60°，∴∠FAD﹣∠EAD=∠CAB﹣∠EAD，∴∠FAB=∠CAD，在△FAB和△DAC中，∴△FAB≌△DAC（SAS），∴BF=DC，∠ABF=∠ACD=60°，∵BE=CD，∴BF=BE，∴△BFE是等边三角形，∴EF=BE=CD，在△ACD和△CBE中∵，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴AD=CE=DF，∵EF=CD，∴四边形CDFE是平行四边形．12．（1）∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；（2）∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四边形ADFE是平行四边形13．在△ABC中，∵AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC且DE=BC．在△OBC中，∵OF=FB，OG=GC，∴FG∥BC且FG=BC．∴DE∥FG，DE=FG．∴四边形DFGE为平行四边形14．（1）x秒后，四边形ABQP为平行四边形．则2x=18﹣3x，解得x=3.6．3.6秒钟后，四边形ABQP为平行四边形，此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2+12×2=38.4cm．（2）y秒后，四边形PDCQ为平行四边形．10﹣2y=3y，解得y=2.2秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形，此时四边形PDCQ的周长是3.6×2×2+15×2=43.2cm．15．：连接BD，∵E、F为AD，AB中点，∴FE BD．又∵G、H为BC，CD中点，∴GH BD，故GH FE．同理可证，EH FG．∴四边形FGHE是平行四边形16．∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M是BO的中点，N是CO的中点，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．17．（1）证明：∵AG∥BC（已知）∴∠G=∠EFC（两直线平行，内错角相等）∵∠AEG=∠FEC（对顶角相等），又AE=EC（已知）∴△AGE≌△CFE（AAS）；（2）说明：∵FG∥AB，AG∥BC（已知）∴四边形ABFG是平行四边形（平行四边形的定义）；（3）解：线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE=BF=FC，理由：由（1）可知△AGE≌△CFE∴AG=FC，FE=EG（全等三角形的对应边相等），∴E是FG的中点，又∵AD=DB（已知）∴DE为三角形ABC的中位线，∴DE=BC，DE∥BC，即DE∥BF，DE∥FC，由（2）可知四边形ABFG是平行四边形∴AG=BF，∴BF=FC=BC，∴DE=BF=FC，即线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE=BF=FC．18．（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD，即：∠EAB=∠DAC，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）证明：∵△ABE≌△ACD，∴BE=DC，∠EBA=∠DCA，又∵BF=DC，∴BE=BF．∵△ABC是等边三角形，∴∠DCA=60°，∴△BEF为等边三角形．∴∠EFB=60°，EF=BF∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥BC，即EF∥DC，∴四边形EFCD是平行四边形19．平行四边形ADCF和平行四边形DBCF．理由：（1）∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC ，．又∵EF=DE，∴DF=BC，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）在四边形ADCF中，∵EF=DE，又∵E是AC边的中点，∴EA=EC，∴四边形ADCF是平行四边形20．∵E为AD中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，在△AEF和△CED中∵，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF=DC，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∴AF=BD，即AF∥BD，AF=BD，故四边形AFBD是平行四边形21．图中有两个平行四边形：▱ABED、▱AECD．∵，∴AD=BE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．22．已知：四边形ABCD，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形，证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴2∠A+2∠B=360°，∴∠A+∠B=180°，∴AD∥BC，同理AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．在△ABE和△DCF中∴△ABE≌△DCF（SAS），∴EB=FC，∠ABE=∠DCF，∵∠ABE+∠EBC=180°，∠DCF+∠FCB=180°，∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥FC，∵BE=FC，∴四边形EBFC是平行四边形24．∵CE∥BF，BD=CD，∴△BDF≌△CDE，∴BF=CE，∴四边形BFCE是平行四边形．25．四边形EFGH是平行四边形证明：连接AC、BD∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点∴EH=BD，FG=BD，HG=AC，EF=AC∴EH=FG，EF=HG∴四边形EFGH是平行四边形．26．∵∠B=∠EAD，∴AD∥BC，∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．27．∵AD∥BC，∴∠EAD=∠FCB，又ED∥BF，∴∠FED=∠EFB，∠AED=180°﹣∠FED，∠CFB=180°﹣∠EFB，∴∠AED=∠CFB，又已知AE=CF，∴△AED≌△CFB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．28．∵AD∥BC，∴∠EAD=∠FCB，又ED∥BF，∴∠FED=∠EFB，∠AED=180°﹣∠FED，∠CFB=180°﹣∠EFB，∴∠AED=∠CFB，又已知AE=CF，∴△AED≌△CFB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．29．∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．∴∠FBE=∠CBA，在△FBE和△CBA中，，∴△FBE≌△CBA（SAS）．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形30．∵AB=5，AC=4，BC=3∴AB2=AC2+BC2∴∠BCA=90°∵AD∥BC∴∠DAC=∠BCA=90°∵DC=5，AC=4，∴AD2=DC2﹣AC2=9∴AD=BC=3∴四边形ABCD为平行四边形．。
8证明三——特殊平行四边形
证明三——特殊平行四边形知识要点1．矩形一、性质矩形除具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形的四个角都是直角，对角线相等二、判定（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形；（3）矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．三、推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形2．菱形一、性质：菱形除具有平行四边形的所有性质之外，还具有，菱形的四边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角二、判定（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）菱形的判定定理1：四边都相等的四边形是菱形；（3）菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．3．正方形一、性质：正方形除具有平行四边形所有性质外，还具有，正方形的四个角都是直角，两条对角线相等，并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角二、判定（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（2）判定定理1：一组邻边相等的矩形是正方形；（3）判定定理2：一个角是直角的菱形是正方形．（一）菱形、矩形、正方形的有关概念：（二）菱形、矩形、正方形的性质（三）菱形、矩形、正方形的判别：题型归类一、选择题1．下列命题正确的是（ ）A 、有两个角是直角的四边形是矩形B 、两条对角线相等的四边形是矩形C 、两条对角线垂直且相等的四边形是矩形D 、四个角都是直角的四边形是矩形 2．过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是（ ） A 、不等边三角形 B 、等腰三角形C 、等边三角形D 、等腰直角三角形3．矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则边与对角线组成的直角三角形的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4．如图4-4-1，已知正方形ABCD 的边长为cm 35，E 为DC 边上一点，∠EBC=30°，则BE 的长为（ ）∥ = A 、cm 5B 、cm 52C 、5cmD 、10cm5．如图4-4-2，等边三角形ABE 与正方形ABCD 有一条公共边，则∠AED 等于（ ） A 、10° B 、12.5° C 、15° D 、20° 6．若矩形各角平分线能围成一个四边形，则这个四边形是（ ） A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形 7．E 为矩形ABCD 中AB 边上的中点，CE ⊥DE ，那么∠CEB 等于（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、75° 8．下列命题中错误的是（ ） A 、正方形既是矩形又是菱形 B 、有一个内角是直角的菱形是正方形C 、有一组邻边相等的矩形是正方形D 、两条对角线想到垂直且相等的四边形是正方形 9．正方形具有而矩形不一定具有性质是（ ） A 、对角线互相垂直 B 、对角线相等C 、对角线互相平分D 、对角线互相平分且相等10．如图4-4-3，E 是正方形ABCD 内一点，且△EAB 是等边三角形，则∠ADE 等于（ ） A 、70° B 、72.5° C 、75° D 、77.5° 11．用长为30cm 的一根绳子，围成一个矩形，其面积最大值为（ ）A 、225cm 2B 、112.5cm 2C 、56.25cm 2D 、100cm 2 12．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个边形是正方形的是（ ）A 、AC=BD ，∠A=∠B ，∠C=∠D B 、∠ABD=∠CBD ，AB CD ，∠A=∠BC 、AO=CO ，BO=DO ，∠A=∠BD 、AO=CO ，BO=DO ，AB=BC13．如图4-4-4，设M 、N 是正方形ABCD 的边AB 、AD 的中点，MD 与NC 相交于P ，若△PCD 的面积是S ，则四边形AMPN 的面积是（ ） A 、S 32 B 、S C 、S 34 D 、非上述答案14．如图4-4-4（上题图），若CE=MN ，∠MCE=35°，那么∠ANM 的度数是（ ） A 、45° B 、55° C 、65° D 、35°15．如图4-4-5，正方形ABCD 的边长为3，以CD 为一边向CD 两旁作等边△PCD 和等边△QCD ，那么PQ 的长为（ ） A 、233 B 、332C 、33D 、3616．一个正方形和一个等腰三角形周长相等，等腰三角形两边长为13cm 和6cm ，这个正方形的面积是（ ） A 、64cm 2B 、16625cm 2C 、32cm 2D 、25cm 2图4-4-1 图4-4-2图4-4-3B17．在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，EF ⊥AC ，EG ⊥BD ，垂足为F 、G ，如果AC=10cm ，那么EF+EG 等于（ ） A 、10cm B 、7.5cm C 、5cm D 、2.5cm 18．用两个全等的直角三角形拼下面图形：（1）平行四边形（2）矩形（3）菱形（4）正方形（5）等腰三角形（6）等边三角形，可以拼成的图案是（ ） A 、（1）（4）（5） B 、（2）（5）（6） C 、（1）（2）（3） D 、（1）（2）（5） 19.下列判别错误的是（ ）A 、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形B 、有一条对角线平分对角的四边形是菱形C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D 、邻边相等的平行四边形是菱形20.在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，且AE=4cm ，则菱形ABCD 的边长为（ ） A 、4cm B 、5cm C 、6cm D 、7cm 21.在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，且BE=EC ，CF=FD ，则∠AEF 等于（ ）A 、120°B 、45°C 、60°D 、150° 22.已知菱形的周长是40cm ，一条对角线的长是12cm ，那么这个菱形的面积是（ ） A 、190cm 2 B 、96cm 2 C 、48cm 2 D 、40cm 2 23.菱形的周长等于它的高的8倍，则它的相邻两个角的度数是（ ） A 、20°和160° B 、60°和120° C 、45°和135° D 、30°和150° 24.菱形中，两条对角线相交于一点，则这个图形中，面积相等的三角形有（ ） A 、8对 B 、12对 C 、15对 D 、16对 25.菱形ABCD 中，若∠ABC=120°，则BD ：AC 的值是（ ） A2BC 、1:2D26.如图4-3-1，等边△AEF 与菱形ABCD 有一个公共顶点A ，且边长相等；△AEF 的顶点E 、F 分别在菱形的边BC 、CD 上，则BAD 等于（ ） A 、80° B 、90° C 、100° D 、120°二、填空题1．已知矩形的周长为72cm ，一边中点与对边的两个端点连线的夹角是直角。
初中数学特殊平行四边形的证明及详细答案
初中数学特殊平行四边形的证明一. 解答题（共30小题）1．（2019•泰安模拟）如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC的垂直平分线DE交BC于D, 交AB于E, F在DE上, 并且AF=CE．（1）求证: 四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时, 四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论.2．（2019•福建模拟）已知: 如图, 在△ABC中, D、E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 延长DE到点F, 使得EF=BE, 连接CF．求证: 四边形BCFE是菱形.3．（2019•深圳一模）如图, 四边形ABCD中, AB∥CD, AC平分∠BAD, CE∥AD交AB于E．（1）求证: 四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点, 试判断△ABC的形状, 并说明理由.4．（2019•济南模拟）如图, 四边形ABCD是矩形, 点E是边AD的中点．求证: EB=EC.5. （2019•临淄区校级模拟）如图所示, 在矩形ABCD中, DE⊥AC于点E, 设∠ADE=α, 且cosα= , AB=4, 则AC的长为多少？6. （2019春•宿城区校级月考）如图, 四边形ABCD是矩形, 对角线AC、BD相交于点O, BE ∥AC交DC的延长线于点E. 求证：BD=BE.7．（2019•雅安）如图：在▱ABCD中, AC为其对角线, 过点D作AC的平行线及BC的延长线交于E．（1）求证: △ABC≌△DCE；（2）若AC=BC, 求证: 四边形ACED为菱形.8．（2019•贵阳）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D.E分别为AB, AC边上的中点, 连接DE, 将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE, 连接AF, AC．（1）求证: 四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8, AC=6, 求四边形ABCF的周长.9．（2019•遂宁）已知：如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O, E是CD中点, 连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F, 连结DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形.10. （2019•宁德）如图, 在梯形ABCD中, AD∥BC, 点E是BC的中点, 连接AC, DE, AC=AB, DE∥AB. 求证: 四边形AECD是矩形.11. （2019•钦州）如图, 在正方形ABCD中, E、F分别是AB、BC上的点, 且AE=BF. 求证：CE=DF.12．（2019•贵港）如图, 在正方形ABCD中, 点E是对角线AC上一点, 且CE=CD, 过点E 作EF⊥AC交AD于点F, 连接BE．（1）求证: DF=AE；（2）当AB=2时, 求BE2的值.13．（2019•吴中区一模）已知：如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB.CD上的点, ∠BAF=∠DAE．（1）求证: AE=AF；（2）若AE垂直平分BC, AF垂直平分CD, 求证: △AEF为等边三角形.14. （2019•新乡一模）小明设计了一个如图的风筝, 其中, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形, 点C在AF上, 点E, G分别在BC, CD上, 若∠BAD=135°, ∠EAG=75°, AE=100cm, 求菱形ABCD的边长.15. （2019•槐荫区三模）如图, 菱形ABCD的边长为1, ∠D=120°. 求对角线AC的长.16. （2019•历城区一模）如图, 已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm, AE ⊥BC于点E, 求AE的长.17．（2019•湖南校级模拟）如图, AE=AF, 点B.D分别在AE、AF上, 四边形ABCD是菱形, 连接EC、FC（1）求证: EC=FC；（2）若AE=2, ∠A=60°, 求△AEF的周长.18．（2019•清河区一模）如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D.E、F分别是△ABC三边的中点．求证: 四边形ADEF是菱形.19. （2019春•防城区期末）如图, 已知四边形ABCD是平行四边形, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是为E, F, 并且DE=DF. 求证：四边形ABCD是菱形.20．（2019•通州区一模）如图, 在四边形ABCD中, AB=DC, E、F分别是AD.BC的中点, G、H分别是对角线BD.AC的中点．（1）求证: 四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1, 则当∠ABC+∠DCB=90°时, 求四边形EGFH的面积.21．（2019•顺义区二模）如图, 在△ABC中, D、E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 过点C 作CF∥BE交DE的延长线于F．（1）求证: 四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4, ∠BCF=120°, 求菱形BCFE的面积.22．（2019•祁阳县校级模拟）如图, O为矩形ABCD对角线的交点, DE∥AC, CE∥BD．（1）求证: 四边形OCED是菱形.（2）若AB=6, BC=8, 求四边形OCED的周长.23. （2019•荔湾区校级一模）已知点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点, 且AD=DE, 连结BE交CD于点O, 求证：△AOD≌△BOC.24．（2019•东海县二模）已知：如图, 在正方形ABCD中, 点E、F在对角线BD上, 且BF=DE, （1）求证: 四边形AECF是菱形；（2）若AB=2, BF=1, 求四边形AECF的面积.25．（2019•玉溪模拟）如图, 正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上, 连接BE、DG．求证: BE=DG.26．（2019•工业园区一模）已知：如图正方形ABCD中, E为CD边上一点, F为BC延长线上一点, 且CE=CF（1）求证: △BCE≌△DCF；（2）若∠FDC=30°, 求∠BEF的度数.27．（2019•深圳模拟）四边形ABCD是正方形, E、F分别是DC和CB的延长线上的点, 且DE=BF, 连接AE、AF、EF．（1）求证: △ADE≌△ABF；（2）若BC=8, DE=6, 求△AEF的面积.28. （2019•碑林区校级模拟）在正方形ABCD中, AC为对角线, E为AC上一点, 连接EB、ED. 求证：∠BEC=∠DEC.29．（2019•温州一模）如图, AB是CD的垂直平分线, 交CD于点M, 过点M作ME⊥A C, MF ⊥AD, 垂足分别为E、F．（1）求证: ∠CAB=∠DAB；（2）若∠CAD=90°, 求证: 四边形AEMF是正方形.30．（2019•湖里区模拟）已知：如图, △ABC 中, ∠ABC=90°, BD 是∠ABC 的平分线, DE⊥AB 于点E, DF ⊥BC 于点F ．求证：四边形DEBF 是正方形．初中数学 特殊平行四边形的证明参考答案及试题解析一. 解答题（共30小题）1．（2019•泰安模拟）如图, 在△ABC 中, ∠ACB=90°, BC 的垂直平分线DE 交BC 于D, 交AB 于E, F 在DE 上, 并且AF=CE ．（1）求证: 四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时,四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的菱形的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定. 菁优网版权所有结论．考点:考点：专题:证明题.（1）ED是BC的垂直平分线, 根据中垂线的性质: 中垂线上的分析:点线段两个端点的距离相等, 则EB=EC, 故有∠3=∠4, 在直角三角形ACB中, ∠2及∠4互余, ∠1及∠3互余, 则可得到AE=CE, 从而证得△ACE和△EFA都是等腰三角形, 又因为FD⊥BC, AC⊥BC, 所以AC∥FE, 再根据内错角相等得到AF∥CE, 故四边形ACEF是平行四边形；（2）由于△ACE是等腰三角形, 当∠1=60°时△ACE是等边三角形, 有AC=EC, 有平行四边形ACEF是菱形．（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形.（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．解: （1）∵ED是BC的垂直平分线解答:∴EB=EC, ED⊥BC,∴∠3=∠4,∵∠ACB=90°,∴FE∥AC,∴∠1=∠5,∵∠2及∠4互余, ∠1及∠3互余∴∠1=∠2,∴AE=CE,又∵AF=CE,∴△ACE和△EFA都是等腰三角形,∴∠5=∠F,∴∠2=∠F,∴在△EFA和△ACE中∵,∴△EFA≌△ACE（AAS）,∴∠AEC=∠EAF∴AF∥CE∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时, 四边形ACEF是菱形. 证明如下: ∵∠B=30°, ∠ACB=90°∴∠1=∠2=60°∴∠AEC=60°∴AC=EC∴平行四边形ACEF是菱形.点评:本题综合利用了中垂线的性质、等边对等角和等角对等边、直角三角形的性质、平行四边形和判定和性质、菱形的判定求解, 有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．2. （2019•福建模拟）已知: 如图, 在△ABC中, D.E分别是AB.AC 的中点, BE=2DE, 延长DE到点F, 使得EF=BE, 连接CF.菱形的判定. 菁优网版权所有求证：四边形BCFE是菱形.考点:考点：专题:证明题.分析:由题意易得, EF 及BC 平行且相等, ∴四边形BCFE 是平行四边形．又EF=BE, ∴四边形BCFE 是菱形．解答: 解: ∵BE=2DE, EF=BE,∴EF=2DE. （1分）∵D.E 分别是AB.AC 的中点,∴BC=2DE 且DE ∥BC. （2分）∴EF=BC. （3分）又EF ∥BC,∴四边形BCFE 是平行四边形. （4分）又EF=BE,∴四边形BCFE 是菱形. （5分）∴四边形BCFE 是菱形．（5分）点评: 此题主要考查菱形的判定, 综合利用了平行四边形的性质和判定．3. （2019•深圳一模）如图, 四边形ABCD 中, AB ∥CD, AC 平分∠BAD, CE ∥AD 交AB 于E.（1）求证: 四边形AECD 是菱形；菱形的判定及性质. 菁优网版权所有（2）若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由．考点:考点：几何图形问题.专题:（1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形, 进而证明分析:一组邻边相等可得该四边形为菱形；（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等, 进而证明∠ACB为直角即可．（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可.（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可．解: （1）∵AB∥CD, CE∥AD,解答:∴四边形AECD为平行四边形, ∠2=∠3,又∵AC平分∠BAD,∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AD=DC,∴四边形AECD是菱形；（2）直角三角形.理由: ∵AE=EC∴∠2=∠4,∵AE=EB,∴EB=EC,∴∠5=∠B,又因为三角形内角和为180°,∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°,∴∠ACB=∠4+∠5=90°,∴△ACB为直角三角形.点评:考查菱形的判定及性质的应用；用到的知识点为：一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形的4条边都相等.4. （2019•济南模拟）如图, 四边形ABCD是矩形, 点E是边AD的中点.求证：矩形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有EB=EC.考点:考点：专题: 证明题.分析: 利用矩形的性质结合全等三角形的判定及性质得出△ABE ≌△DCE（SAS）, 即可得出答案．解答: 证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC, ∠A=∠D=90°,∵点E是边AD的中点,∴AE=ED,在△ABE和△DCE中,,∴△ABE≌△DCE（SAS）,∴EB=EC.∴EB=EC．点评: 此题主要考查了全等三角形的判定及性质以及矩形的性质, 得出△ABE≌△DCE是解题关键．矩形的性质. 菁优网版权所有5. （2019•临淄区校级模拟）如图所示, 在矩形ABCD中, DE⊥AC于点E, 设∠ADE=α,且cosα= ,AB=4, 则AC的长为多少？考点：分析: 根据等角的余角相等, 得∠BAC=∠ADE=α；根据锐角三角函数定义可求AC的长．解答: 解: ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°, AD∥BC,∴∠EAD=∠ACB,∵在△ABC及△AED中,∵DE⊥AC于E, ∠ABC=90°∴∠BAC=∠ADE=α.∴cos∠BAC=cosα= ,∴AC= = .∴AC==．点评: 此题综合运用了锐角三角函数的知识、勾股定理、矩形的性质.矩形的性质；平行四边形的判定及性质. 菁优网版权所有6.（2019春•宿城区校级月图, 四边形ABCD是矩形, 对角线AC.BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. 求证:BD=BE.考点:考点：专题: 证明题.分析: 根据矩形的对角线相等可得AC=BD, 对边平行可得AB∥CD,再求出四边形ABEC 是平行四边形, 根据平行四边形的对边相等可得AC=BE, 从而得证．解答: 证明: ∵四边形ABCD 是矩形,∴AC=BD, AB ∥CD,又∵BE ∥AC,∴四边形ABEC 是平行四边形,∴AC=BE,∴BD=BE.∴BD=BE．点评: 本题考查了矩形的性质, 平行四边形的判定及性质, 熟记各性质并求出四边形ABEC 是平行四边形是解题的关键．7. （2019•雅安）如图: 在▱ABCD 中, AC 为其对角线, 过点D 作AC 的平行线及BC 的延长线交于E.（1）求证: △ABC ≌△DCE ；（2）若AC=BC, 求证：四边形ACED为菱菱形的判定；全等三角形的判定及性质；平行四边形的性质. 菁优网版权所有形．考点:考点：专题: 证明题.分析: （1）利用AAS判定两三角形全等即可；（2）首先证得四边形ACED为平行四边形, 然后证得AC=AD,利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可.（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．解答: 证明: （1）∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD, AB=CD,∴∠B=∠1,又∵DE∥AC∴∠2=∠E,在△ABC及△DCE中,,∴△ABC≌△DCE；（2）∵平行四边形ABCD中,∴AD∥BC,即AD∥CE,由DE∥AC,∴ACED为平行四边形,∵AC=BC,∴∠B=∠CAB,由AB∥CD,∴∠CAB=∠ACD,又∵∠B=∠ADC,∴∠ADC=∠ACD,∴AC=AD,∴四边形ACED为菱形.点评: 本题考查了菱形的判定等知识, 解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理, 难度不大．8. （2019•贵阳）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D.E分别为AB, AC边上的中点, 连接DE, 将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE, 连接AF, AC.（1）求证: 四边形ADCF是菱形；（2）菱形的判定及性质；旋转的性质. 菁优网版权所有若BC=8,AC=6,求四边形ABCF的周长．考点:考点：几何综合题.专题:（1）根据旋转可得AE=CE, DE=EF, 可判定四边形ADCF是平行分析:四边形, 然后证明DF⊥AC, 可得四边形ADCF是菱形；（2）首先利用勾股定理可得AB长, 再根据中点定义可得AD=5, 根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5, 进而可得答案．（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案.（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案．（1）证明: ∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,解答:∴AE=CE, DE=EF,∴四边形ADCF是平行四边形,∵D.E分别为AB, AC边上的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,∵∠ACB=90°,∴∠AED=90°,∴DF⊥AC,∴四边形ADCF是菱形；（2）解: 在Rt△ABC中, BC=8, AC=6,∴AB=10,∵D是AB边上的中点,∴AD=5,∵四边形ADCF是菱形,∴AF=FC=AD=5,∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28.∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28．此题主要考查了菱形的判定及性质, 关键是掌握菱形四边相点评:等, 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．9. （2019•遂宁）已知: 如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC.BD相交于点O, E是CD中点, 连结OE. 过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F, 连结DF. 求证:（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形. 考点: 考点：矩形的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定. 菁优网版权所有专题: 证明题.分析: （1）根据两直线平行, 内错角相等可得∠ODE=∠FCE, 根据线段中点的定义可得CE=DE, 然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC, 再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形, 根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD, 然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．解答: 证明: （1）∵CF∥BD,∴∠ODE=∠FCE,∵E是CD中点,∴CE=DE,在△ODE和△FCE中,,∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE,∴OD=FC,∵CF∥BD,∴四边形ODFC是平行四边形,在矩形ABCD中, OC=OD,∴四边形ODFC是菱形.∴四边形ODFC是菱形．点评: 本题考查了矩形的性质, 全等三角形的判定及性质, 菱形的判定, 熟记各性质及平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．10.矩形的判定. 菁优网版权所有（2019•宁德）如图, 在梯形ABCD中,AD∥BC,点E是BC的中点,连接AC,DE,AC=AB,DE∥AB.求证:四边形AECD是矩形.考点:考点：专题: 证明题.分析: 先判断四边形AECD为平行四边形, 然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．解答: 证明: ∵AD∥BC, DE∥AB,∴四边形ABED是平行四边形.∴AD=BE.∵点E是BC的中点,∴EC=BE=AD.∴四边形AECD是平行四边形.∵AB=AC, 点E是BC的中点,∴AE⊥BC, 即∠AEC=90°．∴▱AECD是矩形.∴▱AECD是矩形．点评: 本题考查了梯形和矩形的判定, 难度适中, 解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．正方形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有11.（2019•钦州）如图,在正方形ABCD中, E、F分别是AB.BC上的点, 且AE=BF.求证:CE=DF.考点:考点：专题: 证明题.分析: 根据正方形的性质可得AB=BC=CD, ∠B=∠BCD=90°, 然后求出BE=CF, 再利用“边角边”证明△BCE和△CDF全等, 根据全等三角形对应边相等证明即可．解答: 证明: 在正方形ABCD中, AB=BC=CD, ∠B=∠BCD=90°, ∵AE=BF,∴AB﹣AE=BC﹣BF,即BE=CF,在△BCE和△CDF中,,∴△BCE≌△CDF（SAS）,∴CE=DF.∴CE=DF．点评: 本题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定及性质, 熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．12. （2019•贵港）如图, 在正方形ABCD中, 点E是对角线AC上一点, 且CE=CD, 过点E作EF⊥AC交AD于点F, 连接BE.（1）求证: DF=AE；正方形的性质；角平分线的性质；勾股定理. 菁优网版权所有（2）当AB=2时,求BE2的值．考点:考点：（1）连接CF, 根据“HL”证明Rt△CDF和Rt△CEF全等, 根分析:据全等三角形对应边相等可得DF=EF, 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠EAF=45°, 求出△AEF是等腰直角三角形, 再根据等腰直角三角形的性质可得AE=EF, 然后等量代换即可得证；（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC, 然后求出AE, 过点E作EH⊥AB于H, 判断出△AEH是等腰直角三角形, 然后求出EH=AH= AE, 再求出BH, 然后利用勾股定理列式计算即可得解．（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH= AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解.（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解．（1）证明: 如图, 连接CF,解答:在Rt△CDF和Rt△CEF中,,∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL）,∴DF=EF,∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠EAF=45°,∴△AEF是等腰直角三角形,∴AE=EF,∴DF=AE；（2）解: ∵AB=2,∴AC= AB=2 ,∵CE=CD,∴AE=2 ﹣2,过点E作EH⊥AB于H,则△AEH是等腰直角三角形,∴EH=AH= AE= ×（2 ﹣2）=2﹣,∴BH=2﹣（2﹣）= ,在Rt△BEH中, BE2=BH2+EH2=（）2+（2﹣）2=8﹣4 ．本题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定及性质, 等腰直点评:角三角形的判定及性质, 勾股定理的应用, 作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．13. （2019•吴中区一模）已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB.CD上的点, ∠BAF=∠DAE.（1）求证: AE=AF ；（2）若AE 垂直平分BC, AF 垂直平分CD, 求证：△AEF 为等边三角形．考点:考点：菱形的性质；全等三角形的判定及性质；等边三角形的判定. 菁优网版权所有专题:证明题. 分析:（1）首先利用菱形的性质得出AB=AD, ∠B=∠D, 进而得出△ABE ≌△ADF （ASA ）, 即可得出答案；（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形, 进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°, 求出△AEF 为等边三角形．（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF 为等边三角形.（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF 为等边三角形．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD, ∠B=∠D,又∵∠BAF=∠DAE,∴∠BAE=∠DAF,在△ABE和△ADF中,,∴△ABE≌△ADF（ASA）,∴AE=AF；（2）解: 连接AC,∵AE垂直平分BC, AF垂直平分CD,∴AB=AC=AD,∵AB=BC=CD=DA,∴△ABC和△ACD都是等边三角形,∴∠CAE=∠BAE=30°, ∠CAF=∠DAF=30°,∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°,又∵AE=AF,∴△AEF是等边三角形.点评: 此题主要考查了等边三角形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质等知识, 熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．14. （2019•新乡菱形的性质. 菁优网版权所有一模）小明设计了一个如图的风筝, 其中, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形,点C在AF上, 点E, G分别在BC,CD上, 若∠BAD=135°, ∠EAG=75°,AE=100cm, 求菱形ABCD的边长.考点:考点：分析: 根据菱形的性质可得出∠BAE=30°, ∠B=45°, 过点E作EM⊥AB于点M, 设EM=x, 则可得出AB、AE的长度, 继而可得出的值, 求出AB即可．解答: 解: ∵∠BAD=135°, ∠EAG=75°, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形,∴∠B=180°﹣∠BAD=45°, ∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=30°,过点E作EM⊥AB于点M, 设EM=x,在Rt△AEM中, AE=2EM=2x, AM= x,在Rt△BEM中, BM=x,则= = ,∵AE=100cm, ∴AB=50（+1）cm,∴菱形ABCD的边长为：50（+1）cm.点评: 本题考查了菱形的性质及解直角三角形的知识, 属于基础题, 关键是掌握菱形的对角线平分一组对角．15. （2019菱形的性质. 菁优网版权所有•槐荫区三模）如图,菱形ABCD的边长为1, ∠D=120°.求对角线AC的长.考点:考点：分析: 连接BD及AC交于点O, 根据菱形的性质可得AB=AD, AC=2AO, ∠ADB= ∠ADC, AC⊥BD, 然后判断出△ABD是等边三角形, 根据等边三角形的性质求出AO, 再根据AC=2AO计算即可得解．解答: 解: 如图, 连接BD及AC交于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD, AC=2AO, ∠ADB= ∠ADC, AC⊥BD,∵∠D=120°,∴∠ADB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AO=AD×sin∠ADB= ,∴AC=2AO= .点评: 本题考查了菱形的性质, 等边三角形的判定及性质, 熟记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．16.菱形的性质；勾股定理. 菁优网版权所有（2019•历城区一模）如图, 已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm,AE⊥BC于点E, 求AE的长.考点：分析: 根据菱形的对角线互相垂直平分求出CO、BO, 再利用勾股定理列式求出BC, 然后利用菱形的面积等于底乘以高和对角线乘积的一半列出方程求解即可．解答: 解: ∵四边形ABCD是菱形,∴CO= AC=3cm, BO= BD=4cm, AO⊥BO,∴BC= = =5cm,∴S菱形ABCD= =BC•AE,即×6×8=5•AE,解得AE= cm.答：AE的长是cm.答: AE的长是cm．答：AE 的长是cm．点评: 本题考查了菱形的性质, 勾股定理, 熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键, 难点在于利用菱形的面积列出方程．17. （2019•湖南校级模拟）如图, AE=AF, 点B.D分别在AE、AF上, 四边形ABCD是菱形, 连接EC.FC（1）求证: EC=FC；（2）若菱形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有∠A=60°,求△AEF的周长．考点:考点：分析: （1）连接AC, 根据菱形的对角线平分一组对角可得∠CAE=∠CAF, 然后利用“边角边”证明△ACE和△ACF全等, 根据全等三角形对应边相等可得EC=FC；（2）判断出△AEF是等边三角形, 然后根据等边三角形的三条边都相等解答．（2）判断出△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的三条边都相等解答.（2）判断出△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的三条边都相等解答．解答: （1）证明: 如图, 连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴∠CAE=∠CAF,在△ACE和△ACF中,,∴△ACE≌△ACF（SAS）,∴EC=FC；（2）解: 连接EF,∵AE=AF, ∠A=60°,∴△AEF是等边三角形,∴△AEF的周长=3AE=3×2=6.点评: 本题考查了菱形的性质, 全等三角形的判定及性质, 等边三角形的判定及性质, 熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．18. （2019•清河区一模）如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D.E、F分别是△ABC三边的中点.求证：菱形的判定；三角形中位线定理. 菁优网版权所有四边形ADEF是菱形.考点:专题: 证明题.分析: 利用三角形中位线的性质得出DE AC, EF AB, 进而得出四边形ADEF 为平行四边形．, 再利用DE=EF 即可得出答案．解答: 证明: ∵D.E 、F 分别是△ABC 三边的中点,∴DE AC, EF AB,∴四边形ADEF 为平行四边形.又∵AC=AB,∴DE=EF.∴四边形ADEF 为菱形.∴四边形ADEF 为菱形．点评: 此题主要考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的判定和菱形的判定等知识, 熟练掌握菱形判定定理是解题关键．19. （2019春•防城区期末）如图, 已菱形的判定；全等三角形的判定及性质；平行四边形的性质. 菁优网版权所有形ABCD是平行四边形, DE⊥AB,DF⊥BC, 垂足分别是为E, F,并且DE=DF.求证:四边形ABCD是菱形.考点:考点：专题: 证明题.分析: 首先利用已知条件和平行四边形的性质判定△ADE≌△CDF, 再根据邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形ABCD是菱形．解答: 证明: 在△ADE和△CDF中,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∵DE⊥AB, DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°.又∵DE=DF,∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC,∴平行四边形ABCD是菱形.∴平行四边形ABCD是菱形．点评: 本题考查了平行四边形的性质, 全等三角形的判定和性质以及菱形的判定方法, 解题的关键是熟练掌握各种图形的判定和性质．20. （2019•通州区一模）如图, 在四边形ABCD中, AB=DC, E、F分别是AD.BC的中点, G、H分别是对角线BD.AC的中点.（1）求证: 四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1, 则当∠ABC+∠DCB=90°时, 求四边形EGFH 的面积．考点:考点：菱形的判定及性质；正方形的判定及性质；中点四边形. 菁优网版权所有分析: （1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH 的四边相等, 即可证得；（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°, 得到菱形EGFH 是正方形, 利用三角形的中位线定理求得GE 的长, 则正方形的面积可以求得．（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH 是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE 的长，则正方形的面积可以求得.（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH 是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE 的长，则正方形的面积可以求得．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD中, E、F、G、H分别是AD.BC.BD.AC 的中点,∴FG= CD, HE= CD, FH= AB, GE= AB.∵AB=CD,∴FG=FH=HE=EG.∴四边形EGFH是菱形.（2）解: ∵四边形ABCD中, G、F、H分别是BD.BC.AC的中点,∴GF∥DC, HF∥AB.∴∠GFB=∠DCB, ∠HFC=∠ABC．∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°.∴∠GFH=90°.∴菱形EGFH是正方形.∵AB=1,∴EG= AB= .∴正方形EGFH的面积=（）2= .点评: 本题考查了三角形的中位线定理, 菱形的判定以及正方形的判定, 理解三角形的中位线定理是关键．21. （2019•顺义区二模）如图, 在△ABC中, D.E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 过点C作CF∥BE交DE的延长线于F.（1）求证: 四边形BCFE是菱形；（2）若菱形的判定及性质. 菁优网版权所有CE=4, ∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积．考点:考点：分析: （1）由题意易得, EF及BC平行且相等, 故四边形BCFE 是平行四边形. 又麟边EF=BE, 则四边形BCFE是菱形；（2）连结BF, 交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度, 则BF=2BO．利用菱形的面积= CE•BF进行解答．（2）连结BF，交CE于点O. 利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形. 通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO. 利用菱形的面积= CE•BF进行解答.（2）连结BF，交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO．利用菱形的面积=CE•BF进行解答．解答: （1）证明: ∵D.E分别是AB.AC的中点,∴DE∥BC, BC=2DE.∵CF∥BE,∴四边形BCFE是平行四边形.∵BE=2DE, BC=2DE,∴BE=BC.∴□BCFE是菱形；（2）解: 连结BF, 交CE于点O.∵四边形BCFE是菱形, ∠BCF=120°,∴∠BCE=∠FCE=60°, BF⊥CE,∴△BCE是等边三角形.∴BC=CE=4.∴.∴.点评: 此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算, 使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．22. （2019•祁阳县校级模拟）如图, O为矩形ABCD对角线的交点, DE ∥AC, CE∥BD.矩形的性质；菱形的判定. 菁优网版权所有（1）求证: 四边形OCED是菱形.（2）若AB=6,BC=8,求四边形OCED的周长．考点:考点：分析: （1）根据矩形性质求出OC=OD, 根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形, 根据菱形判定推出即可；（2）根据勾股定理求出AC, 求出OC, 得出OC=OD=CE=ED=5,相加即可．（2）根据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可.（2）根据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=2OC, BD=2OD, AC=BD,∴OD=OC,∵DE∥AC, CE∥BD,∴四边形OCED是菱形.（2）解: ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∵AB=6, BC=8,∴在Rt△ABC中, 由勾股定理得: AC=10,即OC= AC=5,∵四边形OCED是菱形,∴OC=OD=DE=CE=5,∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20.∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20．。
平行四边形证明练习题#精选.
平行四边形证明练习题一．解答题1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．2．在▱ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF．3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2求证：△ABE≌△CDF．4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF．5．如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．6．已知：如图，▱ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．求证：△ABE≌△CDF．7．如图，已知在▱ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB于点E，F．求证：DE=BF．8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：DE=BF．10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形．12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC．求证：（1）DE=DC；（2）△DEC是等边三角形．13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）连接DE、BF，试判断四边形DEBF的形状，并说明理由．14．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．求证：四边形EFGH是平行四边形．15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．（1）猜想探究：BE与DF之间的关系：_________（2）请证明你的猜想．16．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．17．如图，已知E，F分别是▱ABCD的边AB，CD的中点．求证：ED=BF．18．如图，BD是▱ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DEBF为平行四边形．19．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明：四边形BFDE 是平行四边形．20．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由．21．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：EF=DG且EF∥DG．22．已知如图所示，▱ABCD的对角线AC、BD交于O，GH过点O，分别交AD、BC于G、H，E、F在AC上且AE=CF，求证：四边形EHFG是平行四边形．平行四边形证明练习题参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．考点：平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．分析：根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF即可．解答：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴∠ADE=∠CBF又∵BE=DF，∴BF=DE，∵在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴∠DAE=∠BCF．点评：本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出△ADE和△CBF全等的三个条件，主要考查学生的推理能力．2．在▱ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF即可推出答案．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF．点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出△ABE≌△CDF是证此题的关键．3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2求证：△ABE≌△CDF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．分析：利用平行四边形的性质和题目提供的相等的角可以为证明三角形全等提供足够的条件．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，∴在：△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）点评：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，根据平行四边形找到证明全等三角形足够的条件是解决本题的关键．4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，根据平行线的性质即可求得∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又由E是CD边的中点，根据AAS即可求得△EBC≌△EFD，则问题得证．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又∵EC=ED，∴△EBC≌△EFD（AAS），∴BC=DF．点评：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．5．（2013•莒南县二模）如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA=OC，OB=OD，利用中点的意义得出OE=OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE=DF，BE∥DF．解答：解：由题意得：BE=DF，BE∥DF．理由如下：连接DE、BF．∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE=OF，∴BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．点评：本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．6．已知：如图，▱ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．求证：△ABE≌△CDF．考点：平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定．分析：根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AB=CD，根据平行线的性质推出∠BAC=∠DCF，根据SAS证出即可．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∴∠BAC=∠DCF，∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF．点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证△ABE≌△CDF的三个条件是解此题的关键．7．如图，已知在▱ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB于点E，F．求证：DE=BF．考点：平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．分析：根据平行四边形的性质得到DC=AB，DC∥AB，根据平行线的性质得到∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，能推出△AOF≌△COE，得到CE=AF，即可证出答案．解答：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∴∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，∵OA=OC，∴△AOF≌△COE，∴CE=AF，∵DC=AB，∴DE=BF．点评：本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，解此题的关键是根据平行四边形的性质证出△AOF和△COE全等．8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？考点：等腰梯形的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定．分析：根据等腰三角形性质求出∠B=∠C，根据等腰三角形性质推出∠AEC=∠B=∠C，推出AE∥CD，根据平行四边形的判定推出即可．解答：解：是平行四边形，理由：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴AB=DC，∠B=∠C，∵AB=AE，∴∠AEB=∠B，∴∠AEB=∠C，∴AE∥DC，又∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形．点评：本题考查了等腰三角形的性质，等腰梯形的性质，平行线的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的应用，关键是根据题意推出AE∥CD，培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目较好，综合性比较强．9．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：DE=BF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．分析：连接BE，DF，BD，BD交AC于O，根据平行四边形性质求出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，根据平行四边形的判定推出四边形BEDF是平行四边形即可．解答：证明：连接BE，DF，BD，BD交AC于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OD=OB，∵AE=CF，∴OE=OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE=BF．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定等应用，关键是能熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，此题的证明方法二是证△AED≌△CFB，推出DE=BF．10．如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．考点：平行四边形的判定；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．分析：求出∠AED=∠CFB=90°，根据HL证Rt△AED≌Rt△CFB，推出∠ADE=∠CBD，得到AD∥BC，根据平行四边形的判定判断即可．解答：证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△AED和Rt△CFB中，∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL），∴∠ADE=∠CBD，∴AD∥BC，∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD∥BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．11．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：求出AE=DE，∠AFE=∠DCE，证△AEF≌△CED，推出AF=DC，得出AF∥BD，AF=BD，根据平行四边形的判定推出即可．解答：证明：∵E为AD中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，在△AEF和△CED中∵，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF=DC，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∴AF=BD，即AF∥BD，AF=BD，故四边形AFBD是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，关键是推出AF=DC=BD．12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB，AD+DC=BC．求证：（1）DE=DC；（2）△DEC是等边三角形．考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定；平行四边形的判定与性质．分析：（1）证出平行四边形ABED，推出DE=AB，即可推出答案；（2）根据BE=AD，AD+DC=BC，BE+EC=BC，推出DC=EC即可证出答案．解答：证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，∵AB=DC，∴DE=DC．（2）证明：∵BE=AD，AD+DC=BC，BE+EC=BC，∴DC=EC，由（1）知：DE=DC，∴DE=DC=EC，∴△DEC是等边三角形．点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定等知识点的理解和掌握，证出平行四边形ABED和DC=EC是解此题的关键．13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）连接DE、BF，试判断四边形DEBF的形状，并说明理由．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据平行四边形的性质对边平行且相等得到AD与BC平行且相等，由AD与BC平行得到内错角∠DAF 与∠BCA相等，再由已知的AE=CF，根据“SAS”得到△ADF与△CBE全等；（2）由（1）证出的全等，根据全等三角形的性质得到DF与EB相等且∠DFA与∠BEC相等，由内错角相等两直线平行得到DF与BE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形DEBF 的形状．解答：证明：（1）∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC（1分）∴∠DAF=∠BCA（2分），∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE（3分）∴△ADF≌△CBE（4分）（2）四边形DEBF是平行四边形（5分）∵△ADF≌△CBE，∴∠DFA=∠BEC，DF=BE，∴DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形（6分）点评：本题综合考查了全等三角形的判断与性质，以及平行四边形的判断与性质．其中第2问是一道先试验猜想，再探索证明的新型题，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力，这类几何试题将成为今后中考的热点试题．14．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．求证：四边形EFGH是平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：易证得△AEH≌△CGF，从而证得对应边BE=DG、DH=BF．故有△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．解答：证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C（平行四边形的对边相等）；又∵AE=CG，AH=CF（已知），∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=GF（全等三角形的对应边相等）；在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH；∴GH=EF（全等三角形的对应边相等）；∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．点评：本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．（1）猜想探究：BE与DF之间的关系：平行且相等（2）请证明你的猜想．考点：平行四边形的判定与性质．分析：（1）BE平行且等于DF；（2）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF即可．解答：（1）解：BE和DF的关系是：BE=DF，BE∥DF，故答案为：平行且相等．（2）证明：连接BD交AC于O，∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，主要检查学生能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．16．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：由三角形全等（△ABE≌△CDF）得到BE=DF，所以四边形BFDE是平行四边形，根据对角相等即可得证．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等），∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等）；∵BE∥DF（已知），∴∠BEF=∠DFE（两直线平行，内错角相等），∴∠AEB=∠CFD（等量代换），∴△ABE≌△CDF（AAS）；∴BE=DF（全等三角形的对应边相等），∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴∠1=∠2（平行四边形的对角相等）．点评：本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，需要熟练掌握并灵活运用．平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形．17．如图，已知E，F分别是▱ABCD的边AB，CD的中点．求证：ED=BF．考点：平行四边形的判定与性质．分析：根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，根据线段的中点的定义得到EB=AB，DF=CD，即BE=DF，BE∥DF，得到平行四边形EBFD，根据平行四边形的性质即可得到答案．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E，F分别是▱ABCD的边AB，CD的中点，∴EB=AB，DF=CD，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形，∴ED=BF．点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定的理解和掌握，能灵活运用平行四边形的性质和判定进行证明是解此题的关键．18．如图，BD是▱ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DEBF为平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质；角平分线的定义．分析：根据平行四边形性质和角平分线定义求出∠FDB=∠EBD，推出DF∥BE，根据平行四边形的判定判断即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，∵DF平分∠CDB，BE平分∠ABD，∴∠FDB=∠CDB，∠EBD=∠ABD，∴∠FDB=∠EBD，∴DF∥BE，∵AD∥BC，即ED∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形．点评：本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质和判定等的应用，关键是推出DF∥BE，主要检查学生能否运用定理进行推理，题型较好，难度适中．19．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明：四边形BFDE 是平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质推知OA=OC，OB=OD；然后由已知条件“点E、F分别为AO、OC的中点”可以证得OE=OF；最后根据平行四边形的判定定理“对角线相互平分的四边形为平行四边形”即可证得结论．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）．又∵点E、F分别为AO、OC的中点，∴OE=OF．∴四边形BFDE是平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形）．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．20．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；垂线；直角三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质．分析：求出∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，推出AF=CE，连接BE、DF，根据HL证Rt△ABF≌Rt△CDE，推出DE=BF，得出平行四边形DEBF，根据平行四边形的性质推出即可．解答：解：BD平分EF，理由是：证法一、连接BE、DF．∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BD平分EF；证法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴DE=BF，∵在△BFG和△DEG中，∴△BFG≌△DEG（AAS），∴EG=FG，即BD平分EF．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，垂线，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，关键是得出平行四边形DEBF，题目比较好，难度适中．21．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：EF=DG且EF∥DG．考点：三角形中位线定理；三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定与性质．分析：根据三角形的中位线推出DE∥BC，DE=BC，GF∥BC，GF=BC，推出GF=DE，GF∥DE，得出平行四边形DEFG，根据平行四边形的性推出即可．解答：证明：∵BD、CE是△ABC的中线，∴DE∥BC，DE=BC，同理：GF∥BC，GF=BC，∴GF=DE，GF∥DE，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF=DG，EF∥DG．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的中位线，三角形的中线等知识点，主要检查学生能否熟练的运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．22．已知如图所示，▱ABCD的对角线AC、BD交于O，GH过点O，分别交AD、BC于G、H，E、F在AC上且AE=CF，求证：四边形EHFG是平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质．分析：根据平行四边形性质得出OA=OC，AD∥BC，推出OE=OF，∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，根据AAS 证△AGO≌△CHO，推出OG=OH，根据平行四边形的判定推出即可．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∵AE=CF，∴OE=OF，∵AD∥BC，∴∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，在△AGO和△CHO中，∴△AGO≌△CHO（AAS），∴OG=OH，∵OE=OF，∴四边形EHFG是平行四边形．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的性质和判定等知识点，注意：平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．最新文件仅供参考已改成word文本。
北师大九年级数学特殊的平行四边形证明题
1．如图,已知E,F，G，H分别是四边形ABCD四边形的中点；（1）当满足条件四边形EFGH是矩形；（2）当满足条件四边形EFGH是菱形；(3）当满足条件四边形EFGH是正方形．2已知，如图，四边形ABCD是菱形，∠B是锐角,AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H，在AB边上取点E，使得AE=AH，在CD边上取点G，使得CG=CF，连接EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2)当∠B为多少度时，四边形EFGH是正方形？并证明．3如图，根据图形解答下列问题（1）如图，以△ABC三边向外分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，证明四边形ADFE是平行四边形．(2）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形?（3)△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？（4）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形?4）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°,中线BE、CD相交于点O，点F、G分别是OB、OC的中点．(1）求证：四边形DFGE是平行四边形；（2）如果把Rt△ABC变为任意△ABC，如图（2），通过你的观察，第（1)问的结论是否仍然成立（不用证明）；（3）在图(2)中，试想:如果拖动点A，通过你的观察和探究，在什么条件下四边形DFGE是矩形，并给出证明；（4）在第（3)问中,试想：如果拖动点A，是否存在四边形DFGE是正方形或菱形？如果存在，画出相应的图形（不用证明）．5如图1,正方形ABCD的对角线相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，MN、MQ分别交正方菜ABCD的边于E、F两点．（1)试判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．（2）若将题中的“正方形MNPQ与正方形ABCD"改为“矩形MNPQ与矩形ABCD”，且BC=2AB,其他条件不变，当矩形MNPQ与矩形ABCD的位置如图2所示时，请判断ME与MF之间的数量关系,并给出证明．6如图1,在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE,②AF⊥DE(不须证明）．（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；（请直接回答“成立”或“不成立”）(2)如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时上面的结论①、②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立，请说明理由．(3）如图④，在(2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形"中的哪一种，并写出证明过程．7如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是AD边上一动点，PF⊥AE，PH⊥DE,垂足分别为F，H．(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明；（2）在（1）中，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？8）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC,BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上，点A恰好与BD 上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB，AC于点G，E，连接GF．（1）求∠AGD的度数；（2）证明四边形AEFG是菱形；9已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点,E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD:AB= ：时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明)．10如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB,PE交CD于点F，连接DE．(1）请判断△PDE的形状，并给予证明;（2）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②）,若∠ABC=56°，求∠DPE的度数．11．在综合实践活动课中，王老师出了这样一道题：如图1，在矩形ABCD中，M是BC的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E,作MF∥BD交AC于点F．求证：四边形OEMF是菱形．做完题后，同学们按照老师的要求进行变式或拓展，提出新的问题让其它同学解答．（1）小明同学说：“我把条件中的‘矩形ABCD'改为‘菱形ABCD',如图2所示，发现四边形OEMF是矩形．”请给予证明；（2)小芳同学说：“我把条件中的‘点M是BC的中点’改为‘点M是BC延长线上的一个动点'，发现点F落在AC的延长线上，如图3所示，此时OB、ME、MF三条线段之间存在某种数量关系．”请你写出这个结论，并说明理由．12在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°,P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=PC．（不必证明)（2)如图2，当点F在AB的延长线上时,线段PC、PG有怎样的数量关系,写出你的猜想，并给与证明；（3)如图3,当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．13(1）如图,正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°,延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°,若BM=1，CN=3,求MN的长．14已知:如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC,EF∥BC交AD于点F，求证:四边形CDEF是菱形。
八下平行四边形,证明题
八下平行四边形证明题1 ．如图，在四边形 ABCD 中，∠ BAC ＝∠ ACD ＝ 90°， CD ，点 E 是CD 的中点．求证：四边形 ABCE 是平行四边形．2 ．如图， B ， E ， C ， F 在一条直线上，已知 AB ∥ DE ， AC ∥ DF ， BE ＝CF ，连接 AD ．求证：四边形 ABED 是平行四边形．3 ．如图，将▱ ABCD 的对角线 BD 向两个方向延长，分别至点 E 和点 F ，且使 BE = DF ．求证：四边形 AECF 是平行四边形．4 ．如图，▱ ABCD 中， E 是 AD 边的中点， BE 的延长线与 CD 的延长线相交于F ．求证： DC ＝ DF ．5 ．如图，△ ABC 中， D 是 AB 边上任意一点， F 是 AC 中点，过点 C 作 CEAB 交 DF 的延长线于点 E ，连接 AE ， CD ．(1) 求证：四边形 ADCE 是平行四边形；(2) 若∠ B ＝ 30°，∠ CAB ＝ 45°，，求 AB 的长．6 ．如图，▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E ，点 F 在线段 BD 上，且DE ＝ BF ．求证： AE ∥ CF ．7 ．如图，四边形 ABCD 为平行四边形，∠ BAD 的平分线 AF 交 CD 于点 E ，交 BC 的延长线于点 F ．点 E 恰是 CD 的中点．求证：（ 1 ）△ ADE ≌△ FCE ；（ 2 ） BE ⊥ AF ．8 ．如图，在平行四边形 ABCD 中，，点 E 、 F 分别是 BC 、 AD 的中点．（ 1 ）求证：；（ 2 ）当时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于的 2 倍的所有角．9 ．已知：如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分別为、．求证：四边形是正方形．10 ．如图，在△ ABC 中，点 D ， E 分别是 AC ， AB 的中点，点 F 是 CB 延长线上的一点，且 CF ＝ 3 BF ，连接 DB ， EF ．（ 1 ）求证：四边形 DEFB 是平行四边形；（ 2 ）若∠ ACB ＝ 90°， AC ＝ 12cm ， DE ＝ 4cm ，求四边形 DEFB 的周长．11 ．已知：在菱形中，点 E ， O ， F 分别为 AB ， AC ， AD 的中点，连接，．求证：；12 ．如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 在 BC 延长线上， DF ⊥ AE 于点 F ，点 G 在 AE 上，且∠ ABG ＝∠ E ．求证： AG ＝ DF ．13 ．如图是直角三角尺（）和等腰直角三角尺（）放置在同一平面内，斜边 BC 重合在一起，，，．交 AB 于点 E ；作交 AC 的延长线于点 F ．(1) 求证：四边形 AEDF 是正方形．(2) 当时，求正方形 AEDF 的边长．14 ．如图，矩形 ABCD 中， E 、 F 分别为边 AD 和 BC 上的点， BE ＝ DF ，求证：DE ＝ BF ．15 ．如图，点 E 、 F 在菱形 ABCD 的对角线 AC 上，且 AF ＝ CE ，求证： DE ＝BF ．16 ．已知：如图，▱ ABCD 中，延长 BC 至点 E ，使 CE = BC ，连接 AE 交 CD 于点O ．(1) 求证： CO = DO ；(2) 取 AB 中点 F ，连接 CF ，△ COE 满足什么条件时，四边形 AFCO 是正方形？请说明理由．17 ．在中， AE 平分∠ BAD ， O 为 AE 的中点，连接 BO 并延长，交AD 于点 F ，连接 EF ， OC ．(1) 求证：四边形 ABEF 是菱形；(2) 若点 E 为 BC 的中点，且 BC ＝ 8 ，∠ ABC ＝ 60°，求 OC 的长．18 ．如图，在菱形 ABCD 中，点 E 、 F 分别是边 CD 、 BC 的中点(1) 求证：四边形 BDEG 是平行四边形；(2) 若菱形 ABCD 的边长为 13 ，对角线 AC ＝ 24 ，求 EG 的长．19 ．已知：如图，在▱ ABCD 中， AE ⊥ BC ，，点 E ， F 分别为垂足．(1) 求证：△ ABE ≌△ CDF ；(2) 求证：四边形 AECF 是矩形．20 ．已知：如图，在中， E ， F 是对角线 AC 上的两点，且 AF ＝CE ．求证：．参考答案：1 ．证明：∵∠ BAC ＝∠ ACD ＝ 90°，∴ AB ∥ EC ，∵点 E 是 CD 的中点，∴，∵，∴ AB ＝ EC ，∴四边形 ABCE 是平行四边形．2 ．证明：∵∴∠ B =∠ DEF ，∵，∴∠ ACB =∠ F ，∵ BE ＝ CF ，∴ BE+EC ＝ CF+EC ，即 BC=EF ，∴△ ABC ≌△ DEF ，∴ AB=DE ，∵，∴四边形 ABED 是平行四边形．3 ．证明：连接 AC ，设 AC 与 BD 交于点 O ．如图所示：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA = OC ， OB = OD ，又∵ BE = DF ，∴ OE = OF ．∴四边形 AECF 是平行四边形．4 ．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD ， AB ＝ DC ，∴∠ F ＝∠ EBA ，∵ E 是 AD 边的中点，∴ DE ＝ AE ，在△ DEF 和△ AEB 中，∵，∴△ DEF ≌△ AEB （ AAS ），∴ DF ＝ AB ，∴ DC ＝ DF ．5 ．(1)证明：∵ AB CE ，∴∠ CAD ＝∠ ACE ，∠ ADE ＝∠ CED ．∵ F 是 AC 中点，∴ AF ＝ CF ．在△ AFD 与△ CFE 中，，∴△ AFD ≌△ CFE （ AAS ），∴ DF ＝ EF ，∴四边形 ADCE 是平行四边形；(2)解：过点 C 作 CG ⊥ AB 于点 G ，∵∠ CAB ＝ 45°，∴，在△ ACG 中，∠ AGC ＝ 90°，∴，∵，∴ CG ＝ AG ＝，∵∠ B ＝ 30°,∴ ,∴ ,在 Rt △ BCG 中，，∴．6 ．证：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ＝ CB ， AD ∥ BC ，∴∠ ADE ＝∠ CBF ，在△ ADE 和△ CBF 中，∴△ ADE ≌△ CBF （ SAS ），∴∠ AED ＝∠ CFB ，∴ AE ∥ CF ．7 ．证明：（ 1 ）∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴ AD ∥ BC ，∴∠ D ＝∠ ECF ，∵ E 为 CD 的中点，∴ ED ＝ EC ，在△ ADE 和△ FCE 中，，∴△ ADE ≌△ FCE （ ASA ）；（ 2 ）∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴ AB ＝ CD ， AD ∥ BC ，∴∠ FAD ＝∠ AFB ，又∵ AF 平分∠ BAD ，∴∠ FAD ＝∠ FAB ．∴∠ AFB ＝∠ FAB ．∴ AB ＝ BF ，∵△ ADE ≌△ FCE ，∴ AE ＝ FE ，∴ BE ⊥ AF ．9 ．证明：∵平分，，，∴，，，又∵，∴四边形是矩形，∵，∴矩形是正方形．10 ．（ 1 ）证明：∵点 D ， E 分别是 AC ， AB 的中点，∴ DE 是△ ABC 的中位线，∴ DE // BC ， BC ＝ 2 DE ，∵ CF ＝ 3 BF ，∴ BC ＝ 2 BF ，∴ DE ＝ BF ，∴四边形 DEFB 是平行四边形；（ 2 ）解：由（ 1 ）得： BC ＝ 2 DE ＝ 8 （ cm ）， BF ＝ DE ＝ 4cm ，四边形DEFB 是平行四边形，∴ BD ＝ EF ，∵ D 是 AC 的中点， AC ＝ 12cm ，∴ CD ＝ AC ＝ 6 （ cm ），∵∠ ACB ＝ 90°，∴ BD ＝＝ 10 （ cm ），∴平行四边形 DEFB 的周长＝ 2 （ DE + BD ）＝ 2 （ 4+10 ）＝ 28 （ cm ）．11 ．证明：∵四边形是菱形，∴，，∵点，，分别为，，的中点，∴在和中，，∴；12 ．证明：四边形是正方形，，，，，，，，，，，，在和中，，，．13 ．证明：∵，∴∵∴四边形 AEDF 是矩形∵∴在和中∴∴四边形 AEDF 是正方形．(2)解：∵，，∴，设得解得：∴正方形 AEDF 的边长是．14 ．证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB ＝ CD ， AD ＝ BC ，∠ A ＝∠ D ＝ 90 °，在 Rt △ ABE 和 Rt △ CDF 中，，∴ Rt △ ABE ≌ Rt △ CDF （ HL ），∴ AE ＝ CF ，∴ DE ＝ BF ．15 ．证明：四边形是菱形，，，，在和中，，，．16 ．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD = BC ， AD // BC ，∴∠ DAE =∠ E ，∵ CE = BC ，∴ CE = AD ，又∵∠ AOD =∠ COE ，∴△ AOD ≌△ EOC （ AAS ），∴ CO = DO ；(2)解：当 CO = EO ，∠ COE =90°时，四边形 AOCF 是正方形；理由如下：∵ CO = DO ，∴ CO = CD ，又∵ F 是 AB 的中点，∴ AF = AB ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB = CD ， AB // CD ，∴ AF = CO ， AF // CO ，∴四边形 AFCO 是平行四边形，∵△ AOD ≌△ EOC ，∴ AO = EO ，∵ CO = EO ，∴ AO = CO ，∴平行四边形 AFCO 是菱形，∵∠ COE =90°，∴菱形 AFCO 是正方形．17 ．证明：在中，，∴∠ FAO =∠ BEO ，∵ O 为 AE 的中点，∴ AO=EO ，∵∠ AOF =∠ BOE ，∴△ AOF ≌△ BOE ，∴四边形 ABEF 是平行四边形，∵ AE 平分∠ BAD ，∴∠ BAE =∠ FAE ，∴∠ BAE =∠ AEB ，∴ AB=BE ，∴四边形 ABEF 是菱形；(2)解：过点 O 作 OG ⊥ BC 于 G ，∵点 E 为 BC 的中点，且 BC ＝ 8 ，∴ BE=CE =4 ，∵四边形 ABEF 是菱形，∠ ABC ＝ 60°，∴∠ OBE =30°，∠ BOE =90°，∴ OE =2 ，∠ OEB =60°，∴ GE =1 ，，∴ GC =5 ，∴ OC ．．18 ．证明：∵ AC 平分∠ BAD ， AB ∥ CD ，∴∠ DAC ＝∠ BAC ，∠ DCA ＝∠ BAC ，∴∠ DAC ＝∠ DCA ，又∵ AB ∥ CD ， AB ＝ AD ，∴ AB ∥ CD 且 AB ＝ CD ，∴四边形 ABCD 是平行四边形，∵ AB ＝ AD ，∴四边形 ABCD 是菱形．(2)解：连接 BD ，交 AC 于点 O ，如图：∵菱形 ABCD 的边长为 13 ，对角线 AC ＝ 24 ，∴ CD ＝ 13 ， AO ＝ CO ＝ 12 ，∵点 E 、 F 分别是边 CD 、 BC 的中点，∴ EF ∥ BD （中位线），∵ AC 、 BD 是菱形的对角线，∴ AC ⊥ BD ， OB ＝ OD ，又∵ AB ∥ CD ， EF ∥ BD ，∴ DE ∥ BG ， BD ∥ EG ，∵四边形 BDEG 是平行四边形，∴ BD ＝ EG ，在△ COD 中，∵ OC ⊥ OD ， CD ＝ 13 ， CO ＝ 12 ，∴，∴ EG ＝ BD ＝ 10 ．19 ．证明：四边形是平行四边形，，，，在和中，，．(2)证明：，，四边形是平行四边形，，，在四边形中，，四边形是矩形．20 ．证明：在中，，∴∠ DAC =∠ ACB ，∵ AF ＝ CE ．∴△ ADF ≌△ CBE （ SAS ），∴∠ AFD =∠ BEC ，∴．。
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特殊平行四边形之证明题 题型一：菱形的证明1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )A. DE 是△ABC 的中位线B. AA '是BC 边上的中线C. AA '是BC 边上的高D. AA '是△ABC 的角平分线2．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △．（1）求证：BE DG =；（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．ABCDEA 'ADGCBFEA BCDEF D ′4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ． （1）求证：AD ＝CE ；（2）填空：四边形ADCE 的形状是 ．5.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置，AB BF =，求证：四边形BNDM 为菱形．6.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE.（1）求证：△ABE ≌△ACE（2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由.7.如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△． （1）证明A AD CC B '''△≌△；（2）若30ACB ∠=°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC D ''是菱形，并请说明理由．CDEMABFNDAENMOCBAD A 'C '（第19题）D '8．在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，．点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ． （1）求BDE △的周长； （2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ．求证：BP DQ =．．9．如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ． （1）求证：△ABC ≌△DCB ；（2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN的数量关系，并证明你的结论．10．如图，在△ABC 中，∠A 、∠B 的平分线交于点D ，DE ∥AC 交BC 于点E ，DF ∥BC 交AC 于点F ．（1）点D 是△ABC 的________心； （2）求证：四边形DECF 为菱形．AQ DE B PCOB CA DM N11、如图,已知:在四边形ABFC 中，ACB ∠=90BC ,︒的垂直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且CF=AE(1) 试探究,四边形BECF 是什么特殊的四边形;(2) 当A ∠的大小满足什么条件时,四边形BECF 是正方形?请回答并证明你的结论. (特别提醒:表示角最好用数字)12、如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB CD ，的延长线分别交于E F ，．（1）求证：BOE DOF △≌△； （2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．13、如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC 平分BAD ∠，CE AD ∥交AB 于E ． （1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）若点E 是AB 的中点，试判断ABC △的形状，并说明理由．FDOB EA14、如图8，在ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，连接DE BF BD ，，． （1）求证：ADE CBF △≌△．（2）若AD BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．15、如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F 。
请你猜想DE 与DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想ABCDEF题型二：正方形的证明题1、四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ． （1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想．2、如图8-1，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点(不与A 、C 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F .(1) 求证：BP =DP ；(2) 如图8-2，若四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP =DP ？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形ABCD 的两个顶点，分别与四边形PECF 的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .3、把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．图8-2图8-1DCABGHFE（第5题）4、如图12，B 、C 、E 是同一直线上的三个点，四边形ABCD 与四边形CEFG 是都是正方形.连接BG 、DE.（1）观察猜想BG 与DE 之间的大小关系，并证明你的结论.（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.图12G FEDC BA5．如图①，四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F .(1) 求证：DE －BF = EF ．(2) 当点G 为BC 边中点时, 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由． (3) 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．6．如图 ，ABCD 是正方形．G 是 BC 上的一点，DE ⊥AG 于 E ，BF ⊥AG 于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△； （2）求证：DE EF FB =+．ADE F C GB7、已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：△BCG ≌△DCE ； （2）将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE ′，判断四边形E ′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由．8.如图，l 1、l 2、l 3、l 4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h ，正方形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD 的面积是25。
（1）连结EF ，证明△ABE 、△FBE 、△EDF 、△CDF 的面积相等。
（2）求h 的值。
9．如图：已知在ABC △中，A B A C =，D 为BC 边的中点，过点D 作DE AB DF AC ⊥，⊥，垂足分别为E F ，. （1） 求证：BED CFD △≌△； （2）若90A ∠=°，求证：四边形DFAE 是正方形.ABCDEF E 'GDC BE AF题型五：矩形的证明题1.如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF 。
（1） 求证：BD =CD ； （2） 如果AB =AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。
2.如图，在梯形ABCD 中，AD BC AB DE AF DC E F ∥，∥，∥，、两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形．（1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由；（2）当AB DC 时，求证：ABCD 是矩形．3.如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）PA =PQ ．ACBD PQAD C FE B4.如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE ⊥AE ． （1）求证：DA ⊥AE ；（2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论．5、如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证：EO =FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．ACEF M NO (第19题图）6、如图，在ABC △中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，且AF DC =，连接CF ． （1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB AC =，试猜测四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．BA FCEDA B CD EF7、已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.求证:AE平分∠BAD.（第23题）8、如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于F，连结DE，求证：DF＝DC．9、在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与AB、BC分别相交于点M，N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。
题型五：梯形的相关证明题10.如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =DC ，E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且DE =CF ，AF 、BE 交于点P ．（1）求证：AF =BE ；（2）请你猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论．11．如图（七），在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AD DC ==，AC AB ⊥，将CB 延长至点F ，使BF CD =．（1）求ABC ∠的度数；（2）求证：CAF △为等腰三角形．12.）如图9，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，P 为梯形ABCD 外一点，PA PD 、分别交线段BC 于点E F 、，且PA PD =．（1）图中除了ABE DCF △≌△外，请你再找出其余三对全等的三角形（不再添加辅助线）．（2）求证：ABE DCF △≌△．D AF BC 图七DE PBA（第22题） C D C F E A B P题型六：综合证明题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =60°，BC =2．点0是AC 的中点，过点0的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________； ②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．2.如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ．（1）求证：四边形AFCD 是菱形；（2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？3．如图，ABC △中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F ．（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；（3）当点O 运动到何处，且ABC △满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？A DF C EG B4、如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AB DC ∥，90A ∠=，CD AD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ．连接EF 并展开纸片．（1）求证：四边形ADEF 是正方形；（2）取线段AF 的中点G ，连接EG ，如果BG CD =，试说明四边形GBCE 是等腰梯形．5、如图15，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB =，BC =．对角线AC BD ，相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，．（1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF 是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．6、如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．AF N D C B ME O ECBAA BC D OF EE CB D AG F。