高考素材复习素材：一题多解 专题三 利用导数证明不等式问题

一题多解专题三：利用导数证明不等式问题 1.构造函数证明不等式的方法

(1)对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数f(x),使原不等式成为形如 f(a)>f(b)的形式.

(2)对形如f(x)>g(x),构造函数F(x)= f(x)-g(x).

(3)对于(或可化为)A x x f ≥),(21的不等式,可选1x (或2x )为主元,构造函数),(2x x f (或 ),(1x x f ).

2.利用导数证明不等式的基本步骤

(1)作差或变形. (2)构造新的函数h(x).

(3)对h(x)求导. (4)利用)(x h '判断h(x)的单调性或最值. (5)结论. 例：设b a R b a b ax x x x f ,,,(1)1ln()(∈++++

+=为常数），曲线)(x f y =与直线

x y 2

3

=

在(0，0)点相切. (1)求b a ,的值. (2)证明：当20<

9)(+<

x x

x f . 【解题指南】(1)点在曲线上，则点的坐标满足曲线方程；同时据导数的几何意义可以建立 另一个方程，求出a,b;

(2) 构造函数，利用导数研究单调性，借助函数单调性证明不等式 【解析】方法一：（1）由b ax x x x f +++++=1)1ln()(的图象过点（0，0）得b=-1；

由b ax x x x f +++++=1)1ln()(在点（0，0）的切线斜率为

2

3，

则0

13

(

)012

x x y a a x =='

=+=

⇒=+. （2）当0>x 时，12

12111)1(2+<

+⇒+=++<⋅+x

x x x x ， 令69)()(+-

=x x x f x h ，则2

2)6(54

12111)6(54)()(+-+++=+-'='x x x x x f x h 2

322)6)(1(4)1(216)6()6(54)1(21

22)6(54)1(212+++-+=+-+++

<+-+++=x x x x x x x

x x x . 令)1(216)6()(3+-+=x x x g ，则当20<

9)()(+-

=x x

x f x h 在（0,2）内是递减函数， 由0)0(=h ，则20<

9)()(<+-

=x x x f x h ，即69)(+<

x x

x f . 方法二：由（1）知，11)1ln()(-++

+=x x x f

由基本不等式，当0>x 时，12

12111)1(2+<

+⇒+=++<⋅+x

x x x x （i) 令x x x k -+=)1ln()(，则0)0(=k ，01

111)(<+-=-+='x x x x k 故0)(x 时，x x f 2

3)(<

， 记x x f x x h 9)()6()(-+=，则当20<

2111)(6(239)()6()()(-+++++<

-'++='x x x x x f x x f x h <+-++++++=

)]1(18)12)(6()1(3[)

1(21

x x x x x x

0)187()

1(4)]1(18)23)(6()1(3[)1(21<-+=+-+++++x x x

x x x x x x

因此)(x h 在（0,2）内是递减函数，又0)0(=h ，得0)(

9)(+<

x x

x f . 针对性练习：

1．设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R.

(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x ＞x 2－2ax ＋1. 解析 (1)由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R.令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

故f 处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝2(1－ln 2＋a )．

(2)设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R. 由(1)知当a ＞ln 2－1时，g ′(x )的最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )＞0. 于是对任意x ∈R 都有g ′(x )＞0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a ＞ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0. 即e x －x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1. 2. 设函数x ax

x

x f ln 1)(+-=

在),1[+∞上是增函数。 （1） 求正实数a 的取值范围；

（2） 设1,0>>a b ，求证：

.ln 1b

b

a b b a b a +<+<+ 解：（1）01

)(2'

≥-=

ax ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， x

a 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立 又11

≤x 1≥∴a 为所求。

（2）取b b a x +=，1,0,1>+∴>>b

b

a b a ，

一方面，由（1）知x ax

x

x f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数， 0)1()(=>+∴f b b a f ,0ln 1>+++⋅+-

∴

b b a b

b a a b b a 即b a b b a +>+1ln ； 另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G )1(0111)('

>>-=-=x x

x x x G

∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G ∴当1>x 时，0)1()(>>G x G , ∴x x ln >, 即b

b

a b b a +>+ln 综上所述，

.ln 1b

b

a b b a b a +<+<+。 3.已知函数)0(ln 2)(<+=a x a x x f ，