高等代数论文-关于可逆矩阵及其应用的举例探讨

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定ห้องสมุดไป่ตู้n阶矩阵A = aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且
A11 1 A12 1 A A A1n
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
A11 A12 其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵 A1n
1 -1 A ； k
（7） 如果 A 是 m×n 矩阵， P 是 m 阶可逆矩阵， Q 是 n 阶可逆矩阵， 则r （A） =r （PA） = r（AQ）= r（PAQ）.
2、矩阵可逆的判断条件
（1）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是| A | ≠ 0（也即 r（A）= n） ； （2）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 可以通过初等变换（特别是只通过初等行 （列）变换）化为 n 阶单位矩阵； （3）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 可以写成一些初等矩阵的乘积； （4）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 的 n 个特征值不为零； （5）对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 AB = E（或 BA = E） ，则 A 可逆，且 A-1 = B.
a a12 a a A 11 12 ，其伴随矩阵 A* 22 ,即伴随矩阵具有“主对角元 a21 a22 a21 a11
素互换，次对角元素变号”的规律. ②对于分块矩阵
A B 不能按上述规律求伴随矩阵. C D
1 0 1 例 2：已知 A= 2 1 0 ，求 A-1. 3 2 5
矩阵理论是高等代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要
工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。在矩阵乘法中单位矩
阵 E 相当于数的乘法运算中的“1” ，逆矩阵类似实数的倒数。下面通过引入逆矩阵的定
义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法，以及应用例子进行探讨。
第一部分 知识预备
一、定义 1、矩阵的定义
随矩阵， 记作A*，于是有A-1 = 注 1 A*. |A|
A21 A22 A2 n
An1 An 2 称为矩阵A的伴 Ann
①对于阶数较低（一般不超过 3 阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求 其 逆 矩 阵 . 注 意 A* = （ Aij ） n × n 元 素 的 位 置 及 符 号 . 特 别 对 于 2 阶 方 阵
第三部分 可逆矩阵的应用·12 一、数学中的应用·13 二、生活中的应用·14 总结·17 参考文献·17
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关于可逆矩阵及其应用的举例探讨
摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解方法是高等代数的主要内容之一,同时 在生活应用上， 也占有很重要的地位。本文着重介绍判定矩阵是否可逆及求逆的 种方法，以及其应用的举例。 关键词：逆矩阵 引 言 伴随矩阵 初等矩阵 逆矩阵应用的举例
高等代数
课题：关于可逆矩阵及其应用的举例探讨
学院 、专业： 数 学 生 姓 名： 年 级 班：
学
与
应 用
数
学
2011 级 数本（1）班
指 导 教 师：
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目录
摘要 ·1 关键字 ·1 引言·1 第一部分·1 基础知识·1 一、定义·1 1、矩阵的定义·1 2、逆矩阵的定义·1 二、逆矩阵的性质·1 三、逆矩阵的判断条件·2 第二部分 逆矩阵的求解方法·2
矩阵 设 mn 个数 aij (i 1,2,, m ; j 1,2,, n) 排成 m 行 n 列的数表
a11 a 21 a m1
a12 a 22 am2

a1n a2n a mn
用括号将其括起来, 称为 m n 矩阵, 并用大写字母表示, 即
a11 a12 a1n a a 22 a 2 n 21 A , a m1 a m 2 a mn
（1） （A-1）-1 = A；
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（2）若 k ≠ 0，则 kA 可逆，且（kA）-1 = （3）AB 可逆，且（AB）-1 = B-1 A-1； （4）AT 可逆，且（AT）-1 = （A-1）T； （5）Ak 可逆，且（Ak）-1 = （A-1）k； （6）| A-1 | = | A |-1；
方法 1 定义法·2 方法 2 伴随矩阵法·2 方法 3 初等变换法·3 方法 4 用分块矩阵求逆矩阵·5 方法 5 解方程组求逆矩阵·5 方法 6 用克莱姆法则求解·6 方法 7 用行列式·8 方法 8 恒等变形法求逆矩阵·9 方法 9 用 Hamilton-Caley 定理求逆矩阵·10 方法 10 三角矩阵求逆法·11 方法 11 拼接新矩阵·12
2A 2 - 3A + 5E = 0 2A 2 - 3A = - 5E 2 2 3 A A =E 5 5 2 3 2 3 A (- A E) = - A E=E 5 5 5 5 2 3 A可逆且 A -1 = - A E 5 5 2
方法 2
伴随矩阵法：A-1 =
1 A*. |A|
2、逆矩阵的定义
简记为 A (aij ) mn .
定义：设 A 是数域 P 上的一个 n 阶方阵，如果存在 P 上的 n 阶方阵 B，使 得 AB = BA = E，则称 A 是可逆的，又称 B 为 A 的逆矩阵.当矩阵 A 可逆时，逆矩阵由 A 惟 一确定，记为 A-1.
二、逆矩阵的基本性质： 性设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，则
第二部分 矩阵逆的求解方法
方法 1 定义法：设 A 是数域 P 上的一个 n 阶方阵，如果存在 P 上的 n 阶方阵 B，使得 AB = BA = E，则称 A 是可逆的，又称 B 为 A 的逆矩阵.当矩阵 A 可逆时，逆 矩阵由 A 惟一确定，记为 A-1. 例 1：设 A 为 n 阶矩阵，且满足 2A - 3A + 5E = 0 ，求 A-1. 【解】