高等代数论文-关于可逆矩阵及其应用的举例探讨
可逆矩阵的性质与应用
可逆矩阵的性质与应用矩阵是数学中的一个基础概念，可逆矩阵是其中一个重要的概念，它在矩阵运算和计算机图形处理等领域中有着广泛的应用。
本文旨在介绍可逆矩阵的性质与应用，为读者理解和掌握相关知识提供一些帮助。
一、可逆矩阵的定义和性质可逆矩阵的定义很简单，一个n阶矩阵A，如果存在另一个n 阶矩阵B，使得AB=BA=E（其中E为单位矩阵），则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
这也可以写成A×B=E或者B×A=E的形式。
可逆矩阵有一些重要的性质：1. 可逆矩阵是方阵：因为可逆矩阵的定义涉及到乘法，所以一个矩阵只有在行数等于列数（方阵）时才能有逆矩阵。
2. 可逆矩阵的逆是唯一的：因为只有一个矩阵能与原矩阵乘积结果为单位矩阵，所以A的逆矩阵B也是唯一的。
3. 可逆矩阵的转置仍是可逆矩阵：若A为可逆矩阵，则A的转置矩阵也是可逆矩阵。
4. 可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵：若A和B都是可逆矩阵，则它们的乘积AB也是可逆矩阵，并且(AB)的逆等于B的逆乘A的逆，即(AB)的逆=B的逆×A的逆。
5. 非零行列式的矩阵都是可逆矩阵：如果一个n×n的矩阵A行列式不为零，则A一定是可逆矩阵。
6. 可逆矩阵的行列式也为非零值：如果一个n×n的矩阵A可逆，则它的行列式也不为零。
二、可逆矩阵的应用可逆矩阵在线性代数、微积分、计算机图形学等领域中有着广泛的应用，下面简单介绍几个常见的应用。
1. 线性方程组的解法解线性方程组的基本方法就是利用矩阵的逆，假设有线性方程组Ax=b，其中A是一个可逆的矩阵，b是一个n维列向量，x是一个n维未知向量。
则可以用逆矩阵求解，即x=A⁻¹b。
2. 矩阵的求逆求一个矩阵的逆矩阵是很有用的，因为它可以用来解线性方程组、求解矩阵特征值、计算行列式等。
可以使用高斯-约旦消元法来计算逆矩阵，但是这个方法很慢而且需要做很多运算。
如果使用矩阵的初等变换的话，可以快速求解。
浅析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用
㊀㊀㊀㊀㊀１５２㊀浅析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用浅析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用Һ孟庆云㊀王玉雷㊀（河南工业大学理学院，河南㊀郑州㊀４５０００１）㊀㊀ʌ摘要ɔ可逆矩阵是矩阵家族中最重要的一类．可逆矩阵由于其可逆的性质（可以在研究对象的一侧乘上可逆矩阵，并可以通过在同一侧继续乘上其逆矩阵而将其消去），使得可逆矩阵的作用来去自如，其应用灵活㊁有效．本文从作用的角度，以实例分析的方式解析可逆矩阵的作用及其逆矩阵的反作用，进一步解析矩阵实现线性变换的机理，从而帮助我们了解矩阵的运动变换属性．ʌ关键词ɔ可逆矩阵；线性变换；作用；反作用ʌ基金项目ɔ国家自然科学基金面上项目 有限群的特征标与群结构 （１１７７１３５６）；河南工业大学高等代数一流课程项目（０１１２／２６５１０００２）．引㊀言从矩阵的定义来看，矩阵是一个数表，是信息的载体，这体现的是矩阵的静态作用．然而更多的时候，矩阵是通过运算，特别是矩阵乘法运算实现其对研究对象的动态作用．我们以 榜样 这个词作为类比：当我们说张三是我们学习的榜样，那么这里 榜样 是一个名词，但其反映更多的是张三所起到的是能对我们产生积极影响的作用．可逆矩阵由于其可逆性，使得其成为刻画和描述可逆过程的得力工具．本文中，我们以实例分析的方式探析可逆矩阵的运动变换属性，从而拓展对可逆矩阵及其逆矩阵的理解与运用．１㊀实例例１㊀加密矩阵与解密矩阵图１是保密通信系统中信息传输端的简单模型．图１通常，信息用二元域上的ｎ维向量表示．在发送端，明文信息α经过加密矩阵Ｋ（ｎ阶可逆方阵）的作用（Ｋ左乘α）得到密文信息β＝Ｋα，这是加密的过程．加密过的信息β经过传输到达信息的接收端，还需要解密还原成明文信息才能被识别．这一过程需要解密矩阵Ｘ（即加密矩阵Ｋ的逆矩阵）的作用．具体为解密矩阵Ｘ左乘作用在密文β上，即Ｘβ＝ＸＫα＝Ｋ－１Ｋα＝α，从而将明文信息α还原．由此可看出：任意ｎ阶可逆矩阵可充当加密矩阵对明文信息进行加密，而其逆矩阵则为解密矩阵，可将加密过的信息进行解密还原，两者所起到的作用是相反的．事实上，可逆矩阵在保密通信中有着深入广泛的应用．［１］例２㊀逆时针旋转矩阵与顺时针旋转矩阵记Ａ＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷，观察矩阵Ａ左乘作用在向量α上的结果Ａα，其中α＝ｘｙæèçöø÷＝ｒｃｏｓφｒｓｉｎφæèçöø÷，α为平面上任意给定的２维向量，ｒ与φ分别表示向量α的长度与辐角．记 α＝Ａα，则 α＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷ｒｃｏｓφｒｓｉｎφæèçöø÷＝ｒｃｏｓ（φ＋θ）ｒｓｉｎ（φ＋θ）æèçöø÷．由此可看出：Ａ左乘α的效果是将α逆时针旋转θ角，从而得到 α，如图２所示．由此，我们称Ａ＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷（其中θ为任意给定的角度）为逆时针旋转矩阵．图２反之，注意到矩阵Ａ可逆，且Ａ－１＝ｃｏｓθｓｉｎθ－ｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷．将Ａ－１左乘 α继续作用在α上，可得Ａ－１将 α顺时针旋转θ角变回α，如图３所示．即Ａ－１为顺时针旋转矩阵，其能够将平面上过原点的向量作顺时针旋转．在此例中，我们看到旋转矩阵能使向量旋转的动态作用．图３例３㊀沿线反射矩阵记Ａ＝１００－１æèçöø÷，观察Ａ作用在２维向量α＝ｘｙæèçöø÷上的结果Ａα＝ｘ－ｙæèçöø÷．㊀㊀㊀１５３㊀㊀图４从图４可以看出：Ａ＝１００－１æèçöø÷的作用是将向量α沿ｘ轴所在的直线进行反射．一般地，设向量ε＝ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷为任意一个单位向量，θ为向量ε与ｘ轴正向的夹角．则向量α＝ｘｙæèçöø÷沿ε＝ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷所在的直线的反射：Ｔ（α）＝２（α，ε）ε－α＝２（ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ）ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷－ｘｙæèçöø÷＝ｘ（２ｃｏｓ２θ－１）＋ｙｓｉｎθｘｓｉｎ２θ＋ｙ（２ｓｉｎ２θ－１）æèçöø÷＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷ｘｙæèçöø÷其中Ａ＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷．即矩阵Ａ＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷具有将向量α＝ｘｙæèçöø÷沿ε＝ｃｏｓθｓｉｎθæèçöø÷所在的直线反射的作用，如图５所示．图５若记α＝γｃｏｓφｓｉｎφæèçöø÷，其中：γ，φ分别为向量α的长度与辐角．显然，Ａ＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷是可逆的，其逆Ａ－１＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷＝Ａ，且Ａ－１（Ａα）＝ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎ２θ－ｃｏｓ２θæèçöø÷γｃｏｓ（２θ－φ）ｓｉｎ（２θ－φ）æèçöø÷＝γｃｏｓφｓｉｎφæèçöø÷＝α．即Ａ－１＝Ａ将Ａα还原为α，从图５来看，这显然是的．值得注意的是，例２中的旋转矩阵与例３中的沿线反射矩阵都是正交矩阵，这是一类特殊的可逆矩阵．这类矩阵所引起的变换称为正交变换，它们是保内积的变换，从而是保距也是保夹角的变换．因此，这类变换将一个图形变成与之全等的图形．更多的图形变换如：缩放变换㊁平移变换均可由相应的矩阵来实现，并且这些变换是可逆变换，相应的矩阵也均是可逆矩阵．我们需要注意的是投影变换也可以由相应的矩阵来实现，只是投影变换不是可逆变换，相应的矩阵不再是可逆矩阵．［２］２㊀理论基础从以上几个例子可以看出：如若说可逆矩阵Ａ提供一种作用，而Ａ的逆矩阵提供的则是与Ａ相反的一种反作用，且矩阵对向量的作用可通过矩阵左乘相应向量来实现．运用矩阵乘法结合律，对向量多个连续作用，可通过相应的多个矩阵的乘积来实现，从而使得可逆矩阵的应用灵活有效．定理㊀对矩阵做一次初等行变换，其结果等于在原矩阵的左端乘上相应的初等矩阵；对矩阵做一次初等列变换，其结果等于在原矩阵的右端乘上相应的初等矩阵．由于可逆矩阵是初等矩阵的乘积，因此对矩阵做初等变换就是通过可逆矩阵实现的．从这个理论层面，我们也可以理解矩阵的运动变换属性．更广泛地，对于给定数域Ｆ上的ｎ维线性空间Ｖ，记Ｖ上的所有线性变换构成的Ｆ上的线性空间为Ｌ（Ｖ）．在取定Ｖ的一组基下，我们知道：ＶɸＦｎ，Ｌ（Ｖ）ɸＭｎ（Ｆ），这里，Ｆｎ为数域Ｆ上的ｎ维向量空间，Ｍｎ（Ｆ）为Ｆ上所有ｎ阶方阵构成的ｎ２维线性空间．［３］我们借助以上两个线性同构，再通过矩阵作用于向量的坐标，可以实现所有线性变换对线性空间的作用．比如：例２中的２阶旋转矩阵实现的是对２维向量空间中向量的旋转变换．由此，从动态的角度来看，矩阵的本质是作用㊁是运动㊁是变换．而其中可逆矩阵提供可逆变换．特别地，将Ｍｎ（Ｆ）中的可逆矩阵拿出来，按矩阵的乘法构成一个群，称之为域Ｆ上的一般线性群，记为ＧＬｎ（Ｆ）．对于一般的抽象群Ｇ，通过建立Ｇ到群ＧＬｎ（Ｆ）的同态映射，则可以赋予抽象群Ｇ中每个元素一个作用，即其同态像也就是其所对应的矩阵的作用，从而使得Ｇ有更广泛㊁丰富的内涵，由此进一步研究抽象群Ｇ的性质与结构，这便是群的表示理论．３㊀总结本文通过几个例子从实用性和几何直观两个方面来说明和阐述可逆矩阵的动态作用以及其逆矩阵的反作用，并进一步解释可逆矩阵实现矩阵的初等变换以及矩阵实现向量的线性变换机理，从而帮助我们了解矩阵的作用㊁运动与变换的动态属性，最后，借助矩阵的动态作用，引出群表示理论的思想方法．ʌ参考文献ɔ［１］熊小兵．可逆矩阵在保密通信中的应用［Ｊ］．大学数学，２００７，２３（３）：１０８－１１２．［２］王志俊，姜咏梅，田记．矩阵在图形学几何变换中的应用［Ｊ］．高等数学研究，２０１４（１）：８７－８８，９９．［３］北京大学数学系几何与代数教研室．高等代数（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．。
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用
逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵那么是矩阵理论中一个非常重要的概念。
关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。
目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比拟成熟。
本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。
关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix一：引言在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。
数学 学年论文 毕业论文 关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨
关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。
本文给出 判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。
关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 分块矩阵矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。
下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。
定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果n 级方阵B ，使得 AB=BA=E （1） 这里E 是n 级单位矩阵。
定义2 如果B 适合（1），那么B 就称为A 的逆矩阵，记作1-A 。
定理1 如果A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的基本性质：性质1 当A 为可逆阵，则AA 11=-. 性质 2 若A 为可逆阵，则k kA A (,1-为任意一个非零的数)都是可逆阵，且A A =--11)( )0(1)(11≠=--k A kkA . 性质3 111)(---=A B AB ，其中A ，B 均为n 阶可逆阵. 性质4 A ()()'11'=--A . 由性质3有 定理2若)2(,21≥n A A A n 是同阶可逆阵，则n A A A 21,是可逆阵，且21(A A下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法： 方法一 定义法利用定义1，即找一个矩阵B ，使AB=E ，则A 可逆，并且B A =-1。
方法二 伴随矩阵法定义3 设)(ij a A =是n 级方阵，用ij A 表示A 的),(j i 元的代数余子式)1,(n j i =，矩阵 ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫nn n n n n A A A A A A A A A212221212111称为A 的伴随矩阵，记作A*。
定理3 矩阵A 可逆的充分必要条件是0≠A ，并且当A 可逆时,有*11A AA =-。
定理证明见[1].定理3不仅给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，但是这种方法主要用在理论上以及2级或3级矩阵的情形，如果阶数较大，那么使用此方法计算量太大。
可逆矩阵的求法及应用论文
可逆矩阵的求法及应用论文可逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用，如图像处理、机器学习和密码学等。
本文将首先介绍可逆矩阵的定义和求法，然后探讨其应用领域的相关论文。
首先，我们先了解什么是可逆矩阵。
在线性代数中，如果一个n×n矩阵A满足存在另一个矩阵B使得AB=BA=I（其中I是单位矩阵），则矩阵A被称为可逆矩阵。
矩阵B被称为A的逆矩阵，记作A^-1。
那么如何求一个矩阵的逆呢？有几种常见的方法。
一种是使用伴随矩阵法。
给定一个n×n矩阵A，首先计算其伴随矩阵Adj(A)，再计算行列式det(A)。
如果det(A)≠0，则A可逆，逆矩阵为A^-1=Adj(A)/det(A)。
另一种是使用初等变换法。
我们将A写成增广矩阵[A, I]，然后利用初等行变换将矩阵A变为I，此时增广矩阵的右半部分即为A的逆矩阵。
接下来，我们将探讨可逆矩阵的一些应用及相关论文。
1. 图像处理：可逆矩阵在图像处理中有广泛应用，如图像压缩和图像加密。
在图像压缩中，矩阵变换被用于将图像从空间域转换到频域，以便执行更高效的压缩。
其中一种常用的变换是离散余弦变换（DCT），它通过可逆矩阵的乘法运算进行。
该应用的相关论文包括《基于可逆矩阵变换的图像压缩算法》(刘洁, 2017)等。
2. 机器学习：可逆矩阵在机器学习算法中也起着重要作用。
例如，在线性回归中，我们使用最小二乘法来估计回归参数，其中需要对矩阵进行求逆运算。
此外，可逆矩阵还用于主成分分析（PCA）等降维技术中。
相关的论文包括《基于可逆矩阵变换的主成分分析算法在人脸识别中的应用》(邓阳, 2016)等。
3. 密码学：可逆矩阵在密码学中用于数据加密和解密。
例如，Hill密码就是一种基于矩阵运算的密码算法。
该算法使用一个可逆矩阵作为密钥，将明文分为若干长度为矩阵维度的组，然后对每个组进行矩阵乘法加密。
只有知道密钥的人才能解密。
相关的论文包括《基于可逆矩阵的Hill密码算法研究与应用》(张琦, 2014)等。
可逆矩阵及其简单应用
它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。
可逆矩阵作为矩阵乘法的逆运算,是矩阵的一种重要运算,在解决矩阵问题中起着重要的作用。
因而掌握可逆矩阵的求法,在解决实际问题时,往往可以起到事半功倍的效果。
本文将对一些常用的可逆矩阵的求法作系统的总结，并进一步介绍几种常见得可逆矩阵的在数学领域和通讯领域的简单应用。
【关键词】矩阵可逆矩阵通信【Abstract】In the discussion of linear equations, we can see that someimportant properties of the linear equations are reflected in its coefficient matrix and augmented matrix of nature, what`s more, the process of the solution performance of the process of transformation of these matrices. Invertible matrix multiplication as the inverse of the matrix is an important matrix operations,and plays an important role in solving the problem. master ring the method of Invertible matrix often can play a multiplier effect in solving practical problems.The following are the system summary of the commonly used reversible method for the evaluation of Invertible matrix, and further descripitions of several common application in the field of mathematics and simple communications.【Key Words】Matrix Invertible matrix Communications目录前言 (5)一、可逆矩阵 (5)二、可逆矩阵的性质及求法 (5)（一）性质 (5)（二）逆矩阵求法 (6)三、可逆矩阵的简单应用 (10)（一）可逆矩阵在数学方面的应用 (10)（二）可逆矩阵在通信方面的应用 (11)（1）加密保密通信模型 (12)（2）可逆矩阵的应用 (12)（3）加密密钥的生成 (13)（4）解密密钥的生成 (14)（5）明文矩阵的选择 (14)（6）加密矩阵的选择 (14)（7）算法优化 (14)结论 (15)参考文献 (15)致谢16前言矩阵作为高等代数，这一伟大数学图腾的重要分支的一大重要部分，在我们的生活，学习，工作，更是在人类的进步中发挥了卓越的工具作用。
学年论文(逆矩阵)
逆矩阵的求法1.引言矩阵理论是线性代数以及高等代数的核心内容，无论是二次型，还是线性变换以及欧几里得空间都可以借助于矩阵简便的解决相关问题．可以说，掌握矩阵理论是学好线性代数必不可少的条件．而求逆矩阵在矩阵中占有重要地位．所以，笔者详细归纳了一系列的求解方法，并力求在某些方法的基础上推广逆矩阵的求法或找到一种新的求法．矩阵对角化在国内外已有一定的研究．早在十九世纪末，人们在研究行列式的性质和计算时，提出了对角矩阵的概念，由于计算机的发展，更是为矩阵对角化的应用开辟了广阔的前景，它经常出现在诸如可用于求解微分方程组，用于研究数理统计量的分布，还有用于研究集合曲面的标准形等不同的科技领域中，这就使得对角矩阵成为计算数学中应用及其广泛的矩阵．而在且逆矩阵的方法中经常利用对角矩阵为过渡过程，在本文中就运用了此法．2.主要内容定义1 ：n阶方阵A是可逆的，如果有n阶方阵B,使得AB BA I==,-=这里I是n阶单位矩阵，B就称为A的逆矩阵，记为1A B关于逆矩阵的求法经归纳大致分为以下几类．2.1 利用矩阵可逆的定义求逆矩阵引理2.1.1 设F是一数域，对于n nA F⨯B F⨯∈，∈，如果存在n n-=使得AB BA=，则A可逆且1A B证明 由逆矩阵的定义可得 例1 已知n n A F ⨯∈，设280A A I --=,求2A I +的逆矩阵解 因为280AA I --=，故有262A A I I--=，即()()232A I A I I +-=,那么，所以()()11232A I A I -+=-,即2A I +的逆矩阵是()13.2A I -从此例子可看出，只要有AB I =,则有1A B -=，或者BA I =，则1.A B -=2.2 利用伴随矩阵求逆矩阵引理2.2.1 设n n A F ⨯∈，若det()0A ≠,那么()11*.det A A A -=证明 设()1n >阶矩阵111212212212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭由行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和，以及行列式的某一行（列）的元素与另外一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零，以下等式成立：()()11221122det ,,0,;det ,,0,.i j i j in jn i j i j ni nj A i j a A a A a A i j A i j a A a A a A i j =⎧⎪+++=⎨≠⎪⎩=⎧⎪+++=⎨≠⎪⎩若若若若这里st A 是行列式()det A 中元素st a 的代数余子式，由此容易看出，若是令1121121222*12,n n nnnn A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么()()()()**det 00det 00det .00det A A AA A A AI A ⎛⎫⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 因为det()0A ≠，由此可得()()**11.det det A A A A I A A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有()1*1.det A A A -=例2 设5218A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭求A 的逆矩阵． 解 因为()det 420A =≠，所以A 是可逆的，又*8215A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()1*1.det A A A -=可得1412121154242A -⎛⎫- ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 2.3 利用分块矩阵求逆矩阵引理2.3.1 如果方阵A 、D 可逆，那么分块矩阵1A O T O D ⎛⎫= ⎪⎝⎭可逆，且其逆矩阵为1111.A O TOD ---⎛⎫= ⎪⎝⎭引理2.3.2 如果方阵B 、C 可逆，那么分块矩阵可逆，且其逆矩阵为1121.O C T B O ---⎛⎫= ⎪⎝⎭引理2.3.3 如果r 方阵A 和s 阶方阵B 都是可逆，且r s n +=，那么n 阶方阵A C P O B ⎛⎫= ⎪⎝⎭可逆，且其逆矩阵为11111.A A CB P O B -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 证明 假定P 有逆矩阵X ，将X 按P 的分法进行分块：1234,XX X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭那么有1234.r s X X I O A C X X O I O B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是得1324,,r AX CX I AX CX O +=+=34.,s BX O BX I ==因为B 有逆矩阵，用1B -左乘第二行的两个等式得134,.X O X B -==将3XO=代入上面第一个等式得1.AX I =再以1A -左乘，得11.X A -=再把14.X B -=代入等式24AX CX O +=中得 12.AX CB O -+=将第二项移到等号右端，再以1A -左乘得112.X A CB --=-于是1111.A A CB X O B ----⎛⎫-= ⎪⎝⎭直接验证可知.PX XP I == 例3 求矩阵2 -1 31 -23-3 2 -19 14 0 0 3 -4 0 0 -2 3 A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵．解 将矩阵A 进行分块得1A B A O C ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中121312334,,.32191423A B C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为()()det 10,det 10,A C =≠=≠所以矩阵1A 、C 都是可逆的，且1112134,.3223A C --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有111213123346576.321914238397A BC -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么矩阵A 可逆，且1111112 1 -65 -763 2 -83 -97. 0 0 34 0 0 2 3 A A BC A OC ----⎛⎫ ⎪⎛⎫- ⎪==⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2.4 利用初等变换求逆矩阵引理2.4.1 在通过行（列）初等变换把可逆矩阵A 化为单位矩阵I 时，对单位矩阵I 施行同样的初等变换，就得到A 的逆矩阵1A -．证明 因为A 可逆，则1A -可逆，那么存在初等矩阵12,k G G G 使得112,k A G G G -=就有112,k A A G G G A -=I 即12k I G G G A=因此112.k A G G G I -=例4 设001110,101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设求1.A - 解()0 0 1|1 0 0 1 0 1|0 0 1 1 0 1|0 0 1, 1 1 0|0 1 0 1 1 0|0 1 00 1 -1|0 1 -11 0 1|0 0 10 0 1|1 0 00 0 1|1 0 0A I ⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ =→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎫⎪→⎪⎪⎭ 1 0 1|0 0 1 1 0 0|-1 0 10 1 0|0 1 -10 1 0|1 1 -1.0 0 0|1 0 00 0 0|1 0 0⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 于是，1-1 0 1 1 1 -1.1 0 0A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 引理2.4.2 如果用有限次行、列初等变换可以将可逆矩阵A 化为单位矩阵I ，且设用其中的行变换将单位矩阵I 化成C ，用其中的列变换将单位矩阵化成B ，那么1.A BC -=证明 设A 是一个n 阶可逆矩阵，则12121......s k k A Q Q Q P P P P -= (1.1)其中()()1,2,...,,1,2,...,i j Q i s P j k ==都是n 阶初等矩阵，由此得：111111112112......k s kQ Q Q AP P P P I --------= (1.2)又12121.......s k k A IQ Q Q P P P PI -= (1.3)那么()111111111111212112121(......)......s s k k k k s A IQ Q Q P P P PI IP P P P Q Q Q Q I -------------== (1.4) 记11111111112121...,....s k k s B IP P P P C Q Q Q Q I ----------==比较（1.2）和（1.4）得1.A BC -=引理 2.4.3 如果用有限次第三种行、列的初等变换可以将可逆矩阵A 化为对角型矩阵B ，且设用相应的初等变换将单位矩阵I 化成Q ，那么11.A B Q --= 证明 设A 是n 阶可逆矩阵，则1212...,....s s B PPP A Q PP P I ==因为B 是对角矩阵，故1111111...,s s B A P P P ------=所以11112....s A B PP P B Q ---==2.4 求矩阵多项式的逆的方法引理 2.4.1 设A 为一个n 阶方阵，C 为复数域，()f x ，[]()g x P x ∈，且()0.f A =则()g A 可逆的充分条件为()()(),1;f x g x =此时有()()[],u x v x P x ∈使得()()()()1,u x f x v x g x +=且1())().g A v A -= 证明 设()f x 与()g x 互素，故()f x 与)g x （在C 上无公共根．因()0f A =，故()f A 的特征值均为0，但()i f λ为()f A 之特征值，故()0(1,2,).i f i n λ==由于()0,i g λ≠即()g A 无零特征值，从而()g A 可逆．当((),())1f x g x =时，必有()()[],u x v x C x ∈使得()()()()1,u x f x v x g x +=从而()(),v A g A E =即1()().g A v A -=例５已知n 阶方阵A 满足2A A =，证明A E +可逆，并求1().A E -+ 证明 令2(),()1,f x x xg x x =-=+由于((),())1f x g x =且()0f A =，故()g A A E =+可逆，又因1*()(2)()2,f x x g x +-=故()(2)2,g A E A E -=从而11().2g A E A -=-参考文献：[1] 张禾瑞，郝炳．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，1983．[2] 曹春娟．矩阵逆的另一种求法[J]．运城学院学报，2006,5(24):83-84．[3] 刘新文，王雪松．可逆分块矩阵的逆矩阵的求法[J]．衡阳师范学院学报，2008,3(29):29-31．[4] 高明．逆矩阵的求法[J]．阴山学刊．2006,2(20):14-16．[5] 苏敏．逆矩阵求法的进一步研究[J]．2004,2(16):28-30．[6] 杜汉玲．求逆矩阵的方法也与解析[J]．2004,4(17):18-20．[7] 张玉莲，董李娜．求逆矩阵的一些方法[J]．2007,2(22):71-73．。
浅谈逆矩阵的求法及其应用论文
本科生毕业论文（设计）册论文（设计）题目：浅谈逆矩阵的求法及其应用毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。
尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。
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可逆矩阵的应用
可逆矩阵的应用嘿，朋友！想象一下，你正在一个充满神秘数字和奇妙符号的数学王国里漫步。
今天，咱们要一起探索的是这个王国里一个超级厉害的角色——可逆矩阵。
在一个阳光明媚的周末，我和好友小明一起在图书馆里埋头苦学。
我正为一道复杂的数学题抓耳挠腮，小明凑过来瞅了一眼，笑着说：“这题得用可逆矩阵来解呀！”我一脸懵地看着他，啥是可逆矩阵？小明耐心地解释道：“你看，就像我们玩游戏有攻略一样，可逆矩阵就是解决很多数学难题的攻略。
比如说，在密码学里，它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们加密和解密信息，保护重要的秘密不被别人知道。
”我眨眨眼，似懂非懂地点点头。
他接着说：“再比如，在图像处理中，可逆矩阵就像是一位神奇的美容师。
它能把模糊的图片变得清晰，把扭曲的图像矫正过来，让我们看到更美的画面。
”我不禁惊叹：“哇，这么厉害！”小明又指了指旁边的一本书上的工程案例，说：“在工程领域，可逆矩阵能帮助计算结构的稳定性。
想象一下，一座高楼大厦，如果没有可逆矩阵帮忙算出准确的数据，那可就危险啦！这就好比盖房子没有坚实的地基，随时都可能摇摇欲坠。
”我忍不住问道：“那它在经济领域也有用处吗？”小明拍拍我的肩膀：“当然啦！在经济模型中，可逆矩阵可以分析市场的供求关系，预测价格的走势。
它就像一个聪明的军师，为企业的决策提供有力的支持。
”看着我逐渐开窍的样子，小明打趣道：“你想想，如果没有可逆矩阵，那这世界得有多混乱呀？很多高科技的东西都没法实现，我们的生活可就没这么便捷和精彩啦！”经过小明这么一番生动的讲解，我终于明白了可逆矩阵的强大应用。
它就像一个无处不在的精灵，在各个领域施展着神奇的魔法，为我们的生活带来便利和进步。
所以说，可逆矩阵可不是只存在于枯燥的数学课本里，它实实在在地融入了我们生活的方方面面，发挥着不可或缺的重要作用。
我们得好好掌握它，才能更好地探索这个充满奇妙的数学世界！。
关于矩阵的可逆性探讨(1)(可编辑修改word版)
上海大学2011～2012 学年冬季学期课程论文课程名称：线性代数与几何课程编号：01014108 论文题目:关于矩阵的可逆性探讨作者姓名: 学号: 成绩:论文评语:评阅人:评阅日期:关于矩阵的可逆性探讨姓名：学号：摘要：本文首先给出矩阵可逆的定义、性质，其次探讨矩阵可逆的判定方法、逆矩阵的求法以及矩阵可逆的应用，特别是在编码、解码方面的应用。
最后，本文对可逆矩阵进行了相应的推广。
关键词：矩阵矩阵的逆秩广义逆正文：引言在这篇文章中涉及到一些线性代数中的专有符号，在此做些说明。
r（A）是矩阵 A 的秩、A是矩阵 A 的行列式。
写这篇文章主要是对矩阵的可逆性由来及定义、性质、应用等等进行探讨。
这篇文章的其余部分是这么编排的，章节一是矩阵的定义，章节二主要是逆阵的性质，章节三是逆矩阵的判定方法，接下来的章节四是逆矩阵的求法，章节五就是逆矩阵的应用，最后一个章节是对矩阵逆的推广。
章节一：矩阵逆的定义首先，迎面而来的问题是逆矩阵是什么呢，我们为何要映入逆矩阵的概念。
从以前学到的知识中我们知道，矩阵和复数相仿，有加、减、乘三种运算，为了要完善矩阵的运算，我们因此引入了矩阵的逆这个概念。
对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B，使得 AB=BA=I，则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵，A 的逆矩阵记为A-1 。
章节二：可逆矩阵的性质1、若矩阵 A、B 均可逆，则矩阵 AB 可逆，其逆阵为 B -1 A -1 ，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。
2、若 A 可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1=A；3、若A 可逆，数≠ 0 ，则A可逆，且(A)-1=1A-1；4、若 A 可逆，则A T 也可逆，且（A T ）-15、( A ')-1= ( A-1 )'.=（A -1）T 。
6、逆矩阵还有一个性质，就是矩阵的逆是唯一的，下面给出相应证明：这里运用反证法，如果 A 是可逆矩阵，假设 B,C 都是A 的逆，则有AB=BA=E=AC=CA B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C（与B ≠C 矛盾）所以是唯一的。
关于可逆矩阵及其应用的举例探讨
关于可逆矩阵及其应用的举例探讨矩阵是数学中一个重要的概念，也是许多科学领域中必不可少的工具。
可逆矩阵是研究矩阵的重要概念之一，具有广泛的应用。
本文将着重探讨可逆矩阵及其应用，并通过具体的实例进行阐述。
一、可逆矩阵的定义与性质可逆矩阵在数学上也称作非奇异矩阵（non-singular matrix）或满秩矩阵（full-rank matrix），其定义如下：假设矩阵$A$是一个$n \times n$的方阵，则称$A$为可逆矩阵，当且仅当它存在一个$n \times n$的矩阵$B$，满足$AB=BA=I$，其中$I$是单位矩阵。
可逆矩阵具有以下的性质：1. 对于任意一个可逆矩阵$A$，它的逆矩阵是唯一的，用$A^{-1}$表示。
2. 如果一个$n \times n$矩阵$A$是可逆的，那么它的$n$个列向量全部线性无关。
二、可逆矩阵的应用1. 方程组解唯一性可逆矩阵在解线性方程组中常常发挥着重要的作用。
假设有一个线性方程组$Ax=b$，其中$A$是一个$n \times n$的可逆矩阵，$x$和$b$都是$n$维列向量。
这个线性方程组的解为$x=A^{-1}b$。
由于可逆矩阵的逆矩阵是唯一的，所以当$A$是可逆矩阵时，线性方程组的解是唯一的。
这说明可逆矩阵作为解线性方程组的一个必要条件，也是一个非常重要的条件。
2. 矩阵的相似性如果矩阵$A$和$B$满足$B=P^{-1}AP$，其中$P$是一个可逆矩阵，则称矩阵$A$和$B$相似。
这个概念在矩阵理论中有着重要的应用。
对于相似的矩阵，它们之间具有许多相似的性质。
比如，它们的特征值相同，而特征向量之间的关系也相同。
通过这个概念，我们可以将矩阵分解成易于处理的形式，进一步进行计算和分析。
3. 线性变换在线性代数中，一个线性变换可以用一个矩阵来表示。
如果矩阵是可逆的，则线性变换是可逆的，它对向量的变换可以被逆转。
4. 数值计算在数值计算中，可逆矩阵是一个非常有用的工具。
浅析可逆矩阵的相关结论及应用
Ａ～，而不能写成÷ 。本文中所提矩阵 Ａ如果没有特别说明， Ａ
都是指 Ｉ ｔ阶方 阵 Ａ。） 二 、与 可 逆 矩 阵 相 关 的 结 论 这一部分分 别 给 出矩 阵 可逆 与 行列 式 、矩阵 的秩 、向量
组 、线 性方程组 、特征值 的关 系。 １．与行 列 式 的 关 系
方 阵 Ａ可逆 的充分必 要条件 是 ＩＡ Ｉ。 （当 Ａ可逆 时 ，可利
关 键 词 ：可逆 矩 阵 ；行 列 式 ； 矩 阵 的秩 ；线 性 方 程组 ；特 征值
一 、 可 逆 矩 阵 的 定 义 设 Ａ为 Ｉ ｔ阶方阵 ，若存在 ｎ阶方 阵 Ｂ，满足 ＡＢ＝ＢＡ：Ｅ，则 称矩阵 Ａ是可逆的 ，日为 Ａ的逆矩阵 ，记 为 Ａ～ ＝Ｂ，这里 Ｅ表 示单位矩 阵。（关 于可逆矩 阵 ，给 出如下说 明 ：可逆 矩阵 又可 称为非退化矩 阵 ，非 奇异矩 阵 ，满秩 矩 阵；可 逆 的定义 是相 对 的 ，即若 曰为 Ａ的逆 ，则 Ａ也为 的 逆 ；可 逆矩 阵 的记 法 为
Ａ 的特征值分别为 Ａ ～， ～，… ，Ａ 一。
三 、可 逆 矩 阵 的 应 用
针对 以上结论 ，这一部分 ，我们通过一 些习题来 看可逆矩
阵 的 应 用 。
１．设 Ａ是 Ｉ１阶可逆矩 阵，Ａ 是 Ａ的伴随矩阵 ，则 （ ）。
（Ａ）ＩＡ Ｉ＝ｌＡｌ“ （Ｃ）ｆＡ Ｉ＝ ＩＡｌ
（Ｂ）ＩＡ Ｉ＝ＩＡｌ （Ｄ）ｌＡ ｆ＝ＩＡ ｆ
矩阵 的特征值之一是 （ ）。
（Ａ）入 ＩＡｌ“
（Ｂ））Ｌ ＩＡＩ
（Ｃ） ＩＡＩ
（Ｄ） ＩＡｌ”
解析 ：此题考查矩 阵可逆 与特 征值 的关 系 ，以及特 征值 的
性质 。首先 ，由 Ａ可逆可得 Ａ的特征值均为非零的。进一步 ，
【精品】高代论文--矩阵在实际中的应用
【精品】高代论文--矩阵在实际中的应用
矩阵是高等代数中的一个重要概念，它广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵在实际中的应用，包括图像处理、网络分析、量子力学等方面。
一、图像处理
图像处理是指对数字图像进行各种操作和变换的技术，其中大量的图像处理算法都基于矩阵运算。
例如，将一个彩色图像转换为黑白图像就是通过对图像的RGB三个通道进行矩阵变换
得到的。
再例如，图像匹配、图像拼接、图像增强等操作也可以使用矩阵运算实现。
二、网络分析
网络分析是指对一个复杂的系统进行分析和建模的技术，它广泛应用于社交网络、物流网络、金融网络等领域。
网络分析通常使用矩阵表示网络结构和节点之间的关系，其中最常用的矩阵是邻接矩阵和拉普拉斯矩阵。
邻接矩阵记录了网络节点之间的连接关系，而拉普拉斯矩阵则反映了网络中节点之间的相似度和差异度。
三、量子力学
量子力学是研究原子和分子的运动和相互作用的科学，其中矩阵在表达量子力学中的物理概念时具有重要作用。
例如，哈密顿矩阵用于描述粒子的能量和运动状态，而密度矩阵则用于描
述量子系统的统计特性。
矩阵的形式与操作方式不仅简化了量子力学的计算和分析过程，同时也能够更加清晰地表达量子力学的概念和结论。
综上所述，矩阵在实际中的应用非常广泛，不仅是一种数学工具，更是一种解决实际问题的有力手段。
在不同应用领域中，矩阵的作用也各有侧重，相互之间相互关联，互为补充。
逆矩阵的推广和应用毕业论文
逆矩阵的推广和应用摘要：本文首先总结和归纳了可逆矩阵的性质和几种常见的求法，最后讲述了可逆矩阵在线性方程组和保密通信中的应用，同时例举了具体的应用实例。
关键词：逆矩阵；矩阵；初等变换；线性方程组；通信；保密通信Inverse matrix promotion and applicationTutor：ding wen mei(School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University，Tianshui 741000，China) Abstract:This paper firstly summarized and concluded the nature of the matrix and reversible several kind of common method, and finally tells the story of reversible matrix in linear equations and secret communication, and the application examples of specific application example.Key Words： inverse matrix, matrix, elementary transformation, linear equations, communication, communication security1 绪论矩阵是数学中一个极其重要的、应用广泛的概念，是线性代数和代数学的一个主要研究对象和重要工具.它广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域，因而也就使矩阵成为代数，特别是线性代数的一个主要研究对象.它主要讨论的是解线性方程组的理论问题，线性变换的理论，旋转坐标轴变换公式的矩阵表示，二次曲线一般方程的矩阵表示，国民经济中的调运方案等问题.而可逆矩阵是矩阵理论中一个很重要的概念，也是极难理解的一部分，在矩阵理论中占有非常重要的地位，对可逆矩阵的研究自然也就成为高等代数研究的主要内容之一.然而在很多线性代数教科书中逆矩阵的应用知识点几乎没有涉及到，以至于很多学生错误的认为所学东西没有多大用处，为了可逆矩阵在解决矩阵问题中起着很重要的作用，所学知识进一步形象认识而不是只停留在抽象的概念结论的机械记忆上为了掌握逆矩阵的本质，.因此，掌握可逆矩阵的求法，在解决实际问题时选择适当的方法，往往可以起到事半功倍的效果.那么可逆矩阵的刻画及应用就显得非常重要了.然而在很多线性代数教科书中逆矩阵的应用知识点几乎没有涉及到，以至于很多学生错误的认为所学东西没有多大用处，为了可逆矩阵在解决矩阵问题中起着很重要的作用，所学知识进一步形象认识而不是只停留在抽象的概念结论的机械记忆上为了掌握逆矩阵的本质,本文总结了逆矩阵的性质和几种常见的求法，并且提供了实际应用例子及相关背景的例子。
浅析矩阵的逆论文doc
浅谈矩阵的逆摘要:古往今来,数学一直都是以一门博而大精深的学术而存在,在这个科技愈来愈发达,通讯愈来愈便捷,节奏愈来愈快的社会里,数学越来越显得重要,而矩阵又是数学中的一个极为重要的分支.矩阵的逆及逆矩阵的研究是线性研究的主要对象之一,不论是矩阵的逆矩阵的判别,还是逆矩阵的求法及逆矩阵的应用都是一个值得我们深究,探求的课题.本文是对矩阵逆的一个探讨,第一部分主要是给出最基本的矩阵及矩阵的逆的定义,以及一些重要性质;第二部分是对矩阵逆的定义、性质研究后总结出的几种判定矩阵是否可逆的方法,这为后面第三部分的研究作了很好铺垫.第三部分是对矩阵逆的求法的总结和探讨.第四部分是通过一个例子描述了矩阵的逆在密码学中的应用.本文还介绍了两种特殊矩阵的逆的判定和求法,通过本文我们不仅可以对矩阵的逆有一个系统而深度了解,也更要知道对所学知识进行系统条理总结会更有利于知识的掌握.关键字:矩阵;矩阵的逆;判定;求法;应用目录引言 (1)一、基本概念 (1)（一）矩阵 (1)（二）逆矩阵 (1)二、可逆矩阵的判别 (2)（一）一般逆矩阵的判定 (2)（二）特殊矩阵的判别 (3)1.一种较高阶矩阵可逆的判断 (3)2.高幂次矩阵 (3)三、矩阵的逆矩阵的求法 (3)（一）一般矩阵的逆矩阵求法 (3)1.矩阵定义法求矩阵的逆矩阵 (3)2.利用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵 (3)3.通过初等变换求矩阵的逆矩阵 (4)4.用分块矩阵求矩阵的逆矩阵 (5)（三）特殊矩阵的逆矩阵的求法 (6)1.一种较高阶矩阵的逆矩阵的求法 (6)2.高幂次矩阵的逆矩阵的求法 (7)四、逆矩阵的应用 (7)五、总结 (9)引言矩阵在高等代数中具有非常重要的作用,矩阵理论已成为数学中一个极为重要且应用广泛的的概念,而其中矩阵的逆尤为重要.矩阵的逆这个概念最初是由凯莱在1858年发表的《矩阵论的研究报告》中提出的,后来经过学者们反复的应用和研究,有了广义逆矩阵论,慢慢的有越来越多的人研究它.怎样去判断一个矩阵是否可逆,怎样求出一个矩阵的逆矩阵,关于这些，在许多高校的高等代数（线性代数）教科书中,都作为很重要的一部分来学习和研究，近几年在高中数学课本的选修部分也将矩阵及矩阵的逆加进来了,可见矩阵及矩阵的逆也越来越重要,我们更有必要去学习和掌握逆矩阵.下面就将对逆矩阵的定义、性质、判定、逆矩阵的求法及应用进行探讨. 一、基本概念 （一）矩阵:由sn 个数排成的s 行（横的）n 列（纵的）的表:111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为一个s n ⨯矩A .其中ij a ，1,2,,,1,2,,i s j n ==,称为矩阵A 的元素,i 称为元素ij a 的行指标,j 称为列指标.当s n =时,我们可称A 为方阵.而111212122212n n s s sna a a a a a a a a 为矩阵A 的行列式,记作A .我们要注意:两矩阵相乘时,前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数必须相同; 矩阵的乘法不满足交换律. （二）逆矩阵 1.定义n 级方阵A 称为可逆的,若有n 级方阵B ,使得AB BA E ==,成立.（E 为n 级单位矩阵）.则称B 为A 的逆矩阵,记为1A -. 2.可逆矩阵性质（1）若矩阵A 可逆,则1A -也是可逆矩阵，且有110A A--=≠;（2）若矩阵A 可逆,则'A 也是可逆矩阵,且有()()1'1'A A --=;（3）若矩阵A 可逆，则A λ也是可逆矩阵(λ为不为0的数),且A A λλ=，同时也有()()111A A λλ--=;(4)若矩阵,A B 都是可逆矩阵，则AB 也可逆矩阵，且()111AB B A ---=;可推广为:若12,,,n A A A 均为可逆矩阵，则12n A A A 也是可逆矩阵，且有:()11111211n n n A A A A A A -----=.二、可逆矩阵的判定（一）一般逆矩阵的判定（假设矩阵A 为n n ⨯矩阵）1.矩阵A 可逆⇔0A ≠且此时有：11A A d-*=，d A =.用这种方法判定矩阵是否可逆非常容易，单用此方法求逆矩阵会比较复杂，比较实用于求低阶矩阵，如二阶， 三阶矩阵,高阶矩阵还是用其他方法.2.如果矩阵A 通过初等行变换可化为单位矩阵，则矩阵A 为可逆矩阵.不提倡用这种方法来判别矩阵是否可逆，但用这种方法来求逆矩阵是很方便简易的,也是最常用的一种方法.3.矩阵A 可逆⇔矩阵A 可表示成若干初等矩阵的乘积,即:12m A Q Q Q =.在用这种方法的过程中我们要清楚的知道初等矩阵都是可逆矩阵,且初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵.4.对于矩阵A ，若有n 级矩阵B 使得AB E =成立，则矩阵A 可逆，且矩阵B 为A 的逆矩阵.这种方法常用于没有具体数值化的矩阵.如: 矩阵,B A 满足条件A B AB -=，那么判断A E +是否可逆? 解：在A B AB -=的两边同时加上E 得:()()(A E)E A B E AB E A E B AB E A E B -+=+⇒+--=⇒+-+=(A E)(E B)E ⇒+-=,所以A E +可逆，且逆矩阵为E B -.5.若矩阵A 的行（列）向量是线性无关的，则A 为可逆矩阵;用这种方法时要因题而异，如果不用通过简算或不算就可以看出行（列）向量是线性无关还是线性有关的，那就用此方法，如果更复杂点的还是用其他方法.6.若齐次线性方程组0AX =只有零解，则A 是可逆矩阵.7.若矩阵A 没有零特征值，则A 为可逆矩阵.即:12n n λλλ≠,则,A 是可逆矩阵.这种方法是判断矩阵是否可逆从而转化成求方程的解.8.若矩阵A 的秩为n ，则矩阵A 是可逆的.这种方法是应用矩阵秩的定义，或者是通过初等行变换把矩阵化为阶梯型矩阵求出秩，看是否与矩阵的阶数相同，如果相同，则矩阵可逆.（二）特殊矩阵的判别 1.一种较高阶矩阵可逆的判断 一种高阶矩阵（是方阵）形如：1111a c bd⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭未标的元素主对角线上的都是1，其他都是0 而此矩阵可逆⇔矩阵a c b d ⎛⎫⎪⎝⎭可逆.2.高幂次矩阵若矩阵A 为n 阶零幂矩阵，即有正整数k 使得0k A =， (1)如果0p ≠,则pE qA +为可逆矩阵; (2)则有矩阵M =231234k E A A A kA -+++++是可逆矩阵.三、矩阵的逆矩阵的求法 （一）一般矩阵的逆矩阵求法 1.矩阵定义法求矩阵的逆矩阵求n 阶可逆矩阵A 的逆矩阵也就是找到矩阵B 使得AB E =成立，则矩阵B 就是所要求的矩阵A 的逆矩阵.例：已知n 阶可逆矩阵A ，且有等式20A AE E +-=,求()1A E -+? 解:由于20()A AE E A A E E +-=⇒+=,所以()1A E A -+=. 2.利用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵设矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则ij a 的代数余子式为:112111222212n n nnnn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,A *也称为A 的伴随矩阵.令d A =， 则1*1A A d-=.这种方法用起来很复杂，求伴随矩阵就需要很多的计算，过程比较麻烦，因此这种方法适用于低阶矩阵，二阶或是三阶矩阵.在做求代数余子式时，要注意符号，若i j +为偶数则为正，若i j +为奇数则为负.在写伴随矩阵时，要注意行列顺序与原矩阵是不同的.用伴随矩阵求逆矩阵的方法在应用过程中注意的地方很多，也比较繁琐，因此在遇到高阶矩阵时不要用此种方法.例:矩阵1231A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求1A -?解:先求代数余子式，111221221,3,2,1A A A A ==-=-=,所以矩阵A 的伴随矩阵为*1231A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，又，165d A ==-=-,所以1*121211553131555A A d -⎛⎫- ⎪-⎛⎫==-=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭. 3.通过初等变换求矩阵的逆矩阵设可逆矩阵A 为n 级矩阵，进过一系列初等变换，可化为单位矩阵. 假设有一系列初等矩阵12,,,m P P P ，使得1m P PA E =,即得: 111mm A P P P PE -==.把,A E 这两个n n ⨯矩阵凑一起，作成一个2n n ⨯的矩阵()A E ， 经过这样变换:()()()1111mm m P P AE P P AP PE EA -==,即用初等变换将矩阵()A E 的左半边化成E ，则右半边就是1A -.即 ()()1,,A E E A -→用这种方法求矩阵的逆矩阵是最好用的，也是最常用的，但在初等变换过程中必须很认真，很仔细，以为只要有一点不小心算错，就全错了.因此此种方法我们必须学会，并且熟练，在运用时更要按部就班，一步一步的仔细运算，这样才能更好地掌握这种求逆矩阵的方法.例:012114210A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,求1A -?解:012100114010114010114010012100012100210001210001038021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭1140101140101106-320121000104-210104-210023-2100-23-2100-23-21⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭1002-111002-110104-210104-2100-23-2131001-1-22⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ 所以-12-11=4-2131-1-22A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.4.用分块矩阵求矩阵的逆矩阵在遇到一些级数较高的矩阵时，我们把大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，即把大矩阵分成若干小矩阵，常见的是分成4个小矩阵，这就是所谓的矩阵分块. 然后计算分块矩阵的逆.如:21210000100=-1210111E O A A E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭在这种方法的运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理，在分块时注意要怎样分才会更容易些，一般单位矩阵要和其他矩阵分开.分块矩阵有许多方便之处，常常在分块之后，矩阵间相互的关系看得更清楚，很有利于问题的解决.对于用这种方法求矩阵的逆我们要记住以下常用的几种分块矩阵的逆:111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,11111A O A O C B B CA B -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 111O B O A A O BO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1111A D A A DB O B OB ----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 11111111111111()()()()A B A BD C A BD C BD C D D C A BD C D C A BD C BD D --------------⎛⎫---⎛⎫= ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭. 例:121000000000000000n na a X a a -⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭,0(i 1,2,,n),i a ≠=求1X -?解:设nOA X a O ⎛⎫=⎪⎝⎭,其中121000000n a a A a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，而111n O a X A O ---⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1111211000000n a a A a ----⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭,所以1111000101000n n a a X a --⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 5.用特征多项式求矩阵的逆设A 为n 阶矩阵，且A 可逆，则存在常数项不为零的多项式()g x 使(A)0g =， 而A 的特征多项1110()n n n f a a a λλλλ--=++++，0(1)0n a A =-≠,故()f λ符合()g x ，所以有：1110(A)0n n n f A a A a A a E --=++++=,因而有:11211110(A A )n n n n n n A a A a A A a a a E -----+++=+++=-,所以121110(A A )n n n a a A a ----+++=-.（三）特殊矩阵的逆矩阵的求法 1.一种较高阶矩阵的逆矩阵的求法高阶矩阵（是方阵）形如：1111a c A bd⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭未标的元素主对角线上的都是1，其他都是0.若a c B b d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而1e g Bf h -⎛⎫=⎪⎝⎭，则: 1111e g A fh⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 2.高幂次矩阵的逆矩阵的求法若矩阵A 为n 阶零幂矩阵，即有正整数k 使得0k A =， （1)如果0p ≠,则pE qA +为可逆矩阵,且 ()112322111(1)k k k k pE qA p E p qA p q A p q A --------+=-+++-;(2)则有矩阵M =231234k E A A A kA -+++++是可逆矩阵，且122M E A A -=-+.四、逆矩阵的应用在密码学中有明文和密文,所谓明文就是原来的信息,密文就是把明文伪装后所得.而把明文伪装成密文的过程就是加密,当我们收到的信息是密文,需要破译而密码就是把明文变成密文的方法.密码是商业机密和军事机密的保密武器,而在保密通信中矩阵起着极为重要的作用. 下面就用一个例子来说明.从我们学习过的我高等代数中,我们知道,当矩阵可逆A ,对于n R 中所有X ,有等式1A AX X -=成立,这说明,把向1A -量AX 变回成X ,1A -确定的线性变换称之为由A 所确定的线性变换的逆变换.利用这个知识点就可用可逆矩阵以及它的逆矩阵对发送的消息进行加密和译密. 假如我们发出的消息是“KILL THE MAN ”.首先我们把所有大写字母,,,,A B C Z 映射到数字1,2,3,…,2.即用1表示A ,2表示B ,3表示C ,…,26表示Z .此外,用0表示空格.则上面的信息即可表示为数集:｛11,9,12,12,0,20,8,5,0,13,1,14｝, 将这个消息按行写成43⨯矩阵:119121202085013114X ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭此消息的发送者和接受者皆知道的密码矩阵为:012114210M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭其逆矩阵（译码矩阵）是:121142131122M -⎛⎫⎪-⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭加密后的消息按乘积XM 的形式发出去，接收者收到的矩阵就为:11912338580121202040824114850513362101311429030Y XM ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当接收者收到此信息时,可以用译码矩阵1M -去乘以接收矩阵Y ,即11M Y M MX X --==,因而就根据字母与数字的映射关系翻译出原始的信息. 上述例子是矩阵的乘法和逆矩阵的应用,将所学的高等代数应用到密码学中,利用数学知识设置和破译密码,进而运用到军事机密和商业机密方面,由此可见矩阵的逆及逆矩阵的应用在生活中的作用是非常强大的.五、总结现在我们对矩阵的逆有了更深层的理解，在以后解决有关逆矩阵的问题时要学会灵活运用.逆矩阵基本概念必须掌握，这是基础，几种逆矩阵的判定方法和求逆矩阵的方法也要熟练领会.在解决问题时，不要盲目乱用,而要因题而异，选择适当的方法，将会是事半功倍的.同时也要挖掘更多的矩阵逆的应用，让逆矩阵论更广泛，更完善.参考文献：[1]王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:北京高等教育出版社，2003（9）:162-203.[2]陈公宁编著.逆矩阵理论与应用[M].北京:高等教育出版社,1990:5-200.[3]高明.逆矩阵的求法[J].阴山学刊（自然科学版），2006(02):67-72.[4]斯彩英.广义逆矩阵的一些性质[J].忻州师范学院学报,2007(02）:2-10.[5]徐德余.求逆矩阵与广义矩阵的统一方法[J].绵阳师范学院学报,2004（05）:30-35.[6]黄昱.矩阵的广义逆[D].江南:江南大学，2008.[7]王辉.矩阵理论以及应用[D].淮北:淮北师范大学，2011.[8]周立.O 000005矩阵理论及其应用[Z].中国图书年鉴，1995.[9]Mooney D D, Swift R J.A Course in Mathematical Modeling.The Mathematical Association of America ,1999.[10]Walker C Russell. Introduction to mathematical programming. Prentice Hall,1997.。
数学与应用数学专业毕业论文--逆矩阵及其应用
目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)一、引言 (2)二、矩阵逆的定义 (2)三、可逆矩阵的性质 (2)四、矩阵可逆的判定方法 (2)五、矩阵逆的求法 (3)六、矩阵逆的应用 (12)七、逆矩阵求某些函数的不定积分 (13)八、矩阵逆的推广 (14)参考文献 (16)逆矩阵及其应用摘要：本文首先给出矩阵可逆的定义、性质，其次探讨矩阵可逆的判定方法、逆矩阵的求法以及逆矩阵求不定积分,矩阵可逆的应用，特别是在编码、解码方面的应用.最后，本文对可逆矩阵进行了相应的推广.关键词：矩阵矩阵的逆广义逆矩阵The inverse matrix and its applicationAbstract: This paper presents the definition and properties of inverse matrix, then discusses the method about how to identify inverse matrix and how to evaluate it. Next, this paper discusses how to evaluate indefinite integral by inverse matrix and the application of inverse matrix, especially its application in the encoding, decoding. Finally, this thesis generalizes inverse matrix.Keywords: Matrix Inverse matrix Generalized inverse matrix一：引言矩阵是现代数学的一个强有力的工具，应用非常广泛，逆矩阵又是矩阵理论的一个非常重要的概念，文章主要是对矩阵的可逆性由来及定义、性质、判定方法、应用进行探讨.目的在于改进教学，促进学生的学习，提高教育教学质量，让学生了解逆矩阵的应用. 二：矩阵逆的定义引入矩阵的逆这个概念:对于n n ⨯矩阵A ，如果有一个n n ⨯矩阵B ，使得AB=BA=E ，E 为单位矩阵则说矩阵A 是可逆的，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，A 的逆矩阵记为A 1-. 三：可逆矩阵的性质1、若矩阵A 、B 均可逆,则矩阵AB 可逆，其逆阵为B 1-A 1-，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆.2、若A 可逆，则1-A 也可逆，且()1-A 1-=A ；3、若A 可逆，数λ0≠，则A λ可逆，且()111A A λλ--=；4、若A 可逆，则TA 也可逆，且()()11TT A A --=.5、A ()()'11'=--A .6、矩阵的逆是唯一的，证明：运用反证法，如果A 是可逆矩阵，假设B,C 都是A 的逆，则有AB=BA=E=AC=CA B=BE=B （AC ）=（BA ）C=EC=C （与B ≠C 矛盾），所以是唯一的. 四：矩阵可逆的判定方法矩阵可逆有如下若干充要条件：（A 为n 阶方阵） 1、存在B 为n 阶方阵，使得AB=I ；2、对于PAQ=000I ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中r （A ）=n ；3、A ≠；4、A 的行向量组线性无关；5、A 的列向量组线性无关；6、A 可表示成一系列初等矩阵的乘积；7、A 可经过一系列初等行变换化成单位矩阵I ；8、A 可经过一系列初等列变换化成单位矩阵I ；9、对于齐次线性方程组 AX=0只有零解； 10、A 是非奇异矩阵. 五：矩阵的逆的求法 （一）.定义法定义 设A 是n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B 使得AB=E,那么A 称为可逆j 矩阵，B 称为A 的逆矩阵，记为1-A .例1. 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121011322A 的逆矩阵.解 ： 因为A ≠0,所以1-A 存在.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-33323123222113121113x x x x x x x x A ,由定义知1-A A=E, 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121011322⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3332312322211312113x x x x x x x x =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001.由矩阵乘法得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++-++----++++++332313322212312111231322122111332313322212312111222322322322x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001.由矩阵相等可解得⎪⎩⎪⎨⎧-===111312111x x x ;⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=654322212x x x ;⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=433332313x x x .故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-4613513411A（二）.伴随矩阵法定理 n 阶矩阵A = a ij 为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且11211122221121n n n nnn A A A A A A A A A A A -⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，其中A ij 是|A|中元素a ij 的代数余子式. 矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A*，于是有 A -1= 1|A|A*.注释 ①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A* = （A ji ）n ×n 元素的位置及符号.特别对于2阶方阵11122122aa A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其伴随矩阵22122111*a a A a a -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知101A=210325⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭，求A -1.解: ∵A = 2 ≠ 0 ∴A 可逆.由已知得111213212223313233A = - 5, A = 10, A = 7A = 2, A = - 2, A = - 2A = - 1, A = 2, A = 1A -1 = 1|A| A* = 5115212211022511272171122⎛⎫-- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭（三）.行(列)初等变化法设n 阶矩阵A ，作n ×2n 矩阵，然后对此矩阵施以行初等变换，若把子块A 变为n I ，则子块n I 将变为1-A ，即初等行变换 [E,A -1].注 ①对于阶数较高（n ≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.②也可以利用1E A E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换求得A 的逆矩阵.③当矩阵A可逆时，可利用()()11E A B E A ,C A B C A --⎛⎫⎛⎫−−−−→−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换初等列变换求得A -1B 和CA -1.这一方法的优点是不需求出A 的逆矩阵和进行矩阵乘法仅通过初等变换，即求出了A -1B 或CA -1.例3：:用初等行变换求矩阵231A 013125⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.解：()231100125001125001A E 013010013010013010125001231100006112125001125001013010013010019102111001663113410066313010122111001663⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭-- ⎪⎝⎭⎛-- →---⎝⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎭（四）. 用分块矩阵求逆矩阵 设A 、B 分别为P 、Q 阶可逆矩阵，则：1111111111111111A A 000B 0C O A A A CB A O A O BD B O B B DA B B O A O B B O AO ----------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例4：已知0052002112001100A ⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪⎝⎭，求A -1. 解： 将A 分块如下：12005200211200110O A A A O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭其中 125212,2111A A -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求得 1*1*1122121212111,2511||||3A A A A A A ---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 112111200331100331200250OA A A O ---⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪-⎪-⎝⎭（五）.解方程组求逆矩阵根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A -1A = E 两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.例5： 求1000120021301214A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵. 解： 设21131324142431000100210314X A X X X X X -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,先求A-1 中主对角线下的次对角线上的元素213243X ,X ,X ,再求3142X ,X ，最后求41X .设E 为4阶单位矩阵, 比较21313241424310001100000212001213003121414X E X X X X X ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭的两端对应元素,得到元素213243X ,X ,X ,再求3142X ,X ，最后求41X .设E 为4阶单位矩阵, 比较21313241424310001100000212001213003121414X E X X X X X ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭的两端对应元素,得到 414243433132434142434241424343110X 0X 3X 0;,X ;412211X 1X 100;,X ;32250X 2X 1X 0;,X ;44111X 1X 2X 0;,X 48+++==-+++==-+++==-+++==-解得解得解得解得。
关于逆矩阵求法的讨论【毕业论文(设计)】
关于逆矩阵求法的讨论【毕业论文（设计）】南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（一三届）题目：关于逆矩阵求法的讨论院（系、部）：数学科学与应用学院专业：数学与应用数学姓名：张利明学号 08090231指导教师：肖艳艳南京师范大学泰州学院教务处制摘要：为了更便捷地解决求矩阵的逆，本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法。
主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法，并对部分进行了简要论证。
关键字：逆矩阵；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵Abstract:In the aim of extracting the inverse of the matrix more conveniently, this paper introduces several methods of extracting the inverse matrix according to the different features of the matrix. It mainly includs the definition method, the adjoint matrix method, the elementary operation method, the partitioned matrix method and the method of solving the equations. Some of these methods are briefly demonstrated in the paper.Keywords: inverse matrix; partitioned matrix; elementary operation; adjoint matrix目录1 绪论 (3)1.1研究意义 (3)1.2国内外研究现状 (3)1.3本文主要解决的问题 (4)2 矩阵的基础知识 (4)2.1矩阵的定义及性质 (4)2.1.1矩阵的定义 (4)2.1.2矩阵的性质 (5)2.2逆矩阵的定义与性质 (6)2.2.1逆矩阵的定义 (6)2.2.2逆矩阵的性质 (7)3 逆矩阵的求法 (7)3.1用定义求逆矩阵 (7)3.2用伴随矩阵求逆矩阵 (8)3.3用初等变换求逆矩阵 (9)3.3.1初等行变换 (9)3.3.2初等列变换 (9)3.3.3混合采用初等行、列变换 (10)3.4用分块矩阵求逆矩阵 (12)3.5用解方程组求逆矩阵 (13)结论 (14)谢辞 (15)参考文献 (16)1 绪论矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的主要研究对象之一，也是数学研究和应用的一个重要工具。
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（2）若 k ≠ 0，则 kA 可逆，且（kA）-1 = （3）AB 可逆，且（AB）-1 = B-1 A-1； （4）AT 可逆，且（AT）-1 = （A-1）T； （5）Ak 可逆，且（Ak）-1 = （A-1）k； （6）| A-1 | = | A |-1；
高等代数
课题：关于可逆矩阵及其应用的举例探讨
学院 、专业： 数 学 生 姓 名： 年 级 班：
学
与
应 用
数
学
2011 级 数本（1）班
指 导 教 师：
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目录
摘要 ·1 关键字 ·1 引言·1 第一部分·1 基础知识·1 一、定义·1 1、矩阵的定义·1 2、逆矩阵的定义·1 二、逆矩阵的性质·1 三、逆矩阵的判断条件·2 第二部分 逆矩阵的求解方法·2
第二部分 矩阵逆的求解方法
方法 1 定义法：设 A 是数域 P 上的一个 n 阶方阵，如果存在 P 上的 n 阶方阵 B，使得 AB = BA = E，则称 A 是可逆的，又称 B 为 A 的逆矩阵.当矩阵 A 可逆时，逆 矩阵由 A 惟一确定，记为 A-1. 例 1：设 A 为 n 阶矩阵，且满足 2A - 3A + 5E = 0 ，求 A-1. 【解】
随矩阵， 记作A*，于是有A-1 = 注 1 A*. |A|
A21 A22 A2 n
An1 An 2 称为矩阵A的伴 Ann
①对于阶数较低（一般不超过 3 阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求 其 逆 矩 阵 . 注 意 A* = （ Aij ） n × n 元 素 的 位 置 及 符 号 . 特 别 对 于 2 阶 方 阵
矩阵 设 mn 个数 aij (i 1,2,, m ; j 1,2,, n) 排成 m 行 n 列的数表
a11 a 21 a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n a mn
用括号将其括起来, 称为 m n 矩阵, 并用大写字母表示, 即
a11 a12 a1n a a 22 a 2 n 21 A , a m1 a m 2 a mn
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定理n阶矩阵A = aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且
A11 1 A12 1 A A A1n
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
A11 A12 其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵 A1n
2、逆矩阵的定义
简记为 A (aij ) mn .
定义：设 A 是数域 P 上的一个 n 阶方阵，如果存在 P 上的 n 阶方阵 B，使 得 AB = BA = E，则称 A 是可逆的，又称 B 为 A 的逆矩阵.当矩阵 A 可逆时，逆矩阵由 A 惟 一确定，记为 A-1.
二、逆矩阵的基本性质： 性设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，则
1 -1 A ； k
（7） 如果 A 是 m×n 矩阵， P 是 m 阶可逆矩阵， Q 是 n 阶可逆矩阵， 则r （A） =r （PA） = r（AQ）= r（PAQ）.
2、矩阵可逆的判断条件
（1）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是| A | ≠ 0（也即 r（A）= n） ； （2）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 可以通过初等变换（特别是只通过初等行 （列）变换）化为 n 阶单位矩阵； （3）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 可以写成一些初等矩阵的乘积； （4）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 的 n 个特征值不为零； （5）对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 AB = E（或 BA = E） ，则 A 可逆，且 A-1 = B.
第三部分 可逆矩阵的应用·12 一、数学中的应用·13 二、生活中的应用·14 总结·17 参考文献·17
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关于可逆矩阵及其应用的举例探讨
摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解方法是高等代数的主要内容之一,同时 在生活应用上， 也占有很重要的地位。本文着重介绍判定矩阵是否可逆及求逆的 种方法，以及其应用的举例。 关键词：逆矩阵 引 言 伴随矩阵 初等矩阵 逆矩阵应用的举例
a a12 a a A 11 12 ，其伴随矩阵 A* 22 ,即伴随矩阵具有“主对角元 a21 a22 a21 a11
素互换，次对角元素变号”的规律. ②对于分块矩阵
A B 不能按上述规律求伴随矩阵. C D
1 0 1 例 2：已知 A= 2 1 0 ，求 A-1. 3 2 5
方法 1 定义法·2 方法 2 伴随矩阵法·2 方法 3 初等变换法·3 方法 4 用分块矩阵求逆矩阵·5 方法 5 解方程组求逆矩阵·5 方法 6 用克莱姆法则求解·6 方法 7 用行列式·8 方法 8 恒等变形法求逆矩阵·9 方法 9 用 Hamilton-Caley 定理求逆矩阵·10 方法 10 三角矩阵求逆法·11 方法 11 拼接新矩阵·12
矩阵理论是高等代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要
工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。在矩阵乘法中单位矩
阵 E 相当于数的乘法运算中的“1” ，逆矩阵类似实数的倒数。下面通过引入方法，以及应用例子进行探讨。
第一部分 知识预备
一、定义 1、矩阵的定义
2A 2 - 3A + 5E = 0 2A 2 - 3A = - 5E 2 2 3 A A =E 5 5 2 3 2 3 A (- A E) = - A E=E 5 5 5 5 2 3 A可逆且 A -1 = - A E 5 5 2
方法 2
伴随矩阵法：A-1 =
1 A*. |A|