二中数学一模试卷

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二中初三数学一模试卷

考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. 0.1010010001…B. -πC. 2√3D. 1/32. 若方程x² - 2ax + a² = 0的两个根是a和b，则a+b的值为（）A. 2aB. 0C. 1D. -2a3. 在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4. 已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（2，3），且与y轴的交点坐标为（0，1），则该函数的解析式为（）A. y=2x+1B. y=3x+1C. y=2x-1D. y=3x-15. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=x²B. y=2x+1C. y=1/xD. y=x³6. 若m、n是方程x² - 2x + 1 = 0的两个根，则m+n的值为（）A. 2B. 0C. -2D. 17. 在平面直角坐标系中，点P（-2，3）关于x轴的对称点坐标为（）A. （-2，-3）B. （2，3）C. （-2，6）D. （2，-3）8. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. -2C. 0D. 29. 若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA=OB，则四边形ABCD是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形10. 已知一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的两个根是1和2，则a+b+c的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（每题5分，共50分）11. 若x² - 3x + 2 = 0的两个根是m和n，则m+n=______，mn=______。

12. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，则∠C=______°。

辽宁省沈阳二中2024-2025学年高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)

2024-2025学年辽宁省沈阳二中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.过点(−4,2)，倾斜角为3π4的直线方程为( )A. x−y +2=0B. x +y +2=0C. x−y =2D. x−y +1=02.已知两条直线l 1：ax +4y−1=0，l 2：x +ay +2=0，则“a =2”是“l 1//l 2”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.点P(−2,−1)到直线l ：(1+3λ)x +(1+λ)y−2−4λ=0(λ∈R)的距离最大时，直线l 的方程为( )A. 3x +2y−5=0B. 3x +2y +8=0C. 2x−3y−2=0D. 2x−3y +1=04.关于空间向量，以下说法错误的是( )A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B. 若a ⋅b >0，则a 与b 的夹角是锐角C. 已知向量a 、b 、c 是不共面的向量，则2a 、b 、c−a 也是不共面的向量D. 若对空间中任意一点O ，有OP =112OA +14OB +23OC ，则P ，A ，B ，C 四点共面5.如图，正四棱柱ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB =2，点E 和F 分别是线段AC 1与BD 上的动点，则EF 间最小距离为( )A.22B. 1C.33D.666.直线l 过点(2,1)，且与圆C ：(x−2)2+(y−4)2=10相交所形成的长度为整数的弦的条数为( )A. 6B. 7C. 8D. 97.直线y =x +1关于直线y =2x 对称的直线方程为( )A. 3x−y−1=0B. 4x−y−2=0C. 5x−y−3=0D. 7x−y−5=08.已知三棱锥A−BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，AD =2，若球O 的表面积为22π，则三棱锥A−BCD(以A 为顶点)的侧面积的最大值为( )A. 6B. 212 C. 252 D. 272二、多选题：本题共3小题，共18分。

2023年河北省衡水二中高考数学一模试卷【答案版】

2023年河北省衡水二中高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 3﹣3x 2﹣x +3＜0}，B ＝{x ||x +12|≥1}，则（） A ．A ∪B ＝（﹣∞，−32）∪（1，3） B ．A ∪B ＝（﹣∞，﹣1）∪[12，+∞）C ．A ∩B ＝（﹣∞，﹣1）∪（1，3）D ．A ∩B ＝（﹣∞，−32]∪[12，3）2．已知复数z =−12+√32i ，则∑ 2023i=1z i的值为（）A ．−12+√32iB ．−12−√32iC ．0D ．13．在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →=2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，则AF =（） A ．13AB +23AD B ．34AB +14AD C ．14AB +34AD D ．13AD +AB4．已知：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积成比例，那么这两个几何体的体积也对应成比例．则椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)绕长轴旋转一周形成的几何体的体积为（） A ．43πa 2bB ．43πab 2C ．43πa 3D ．43πb 35．从11到15这5个整数中选出2个，则这2个数的因数个数之和为8的概率是（） A ．110B ．15C ．310D ．256．已知f （x ）＝2tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），f （0）=2√33，周期T ∈（π4，3π4），（π6，0）是f （x ）的对称中心，则f （π3）的值为（）A ．−√3B ．√3C ．2√33D ．−2√337．若a ＝ln 1.01，b =2201，c =√1.02−1，则（） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b8．某正六棱锥外接球的表面积为16π，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长l ∈[√3，2]，则其体积的取值范围是（） A ．[4√3，9√32] B ．[4√3，128√327] C ．[9√32，128√327]D ．[64√327，4√3]二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（） A ．过任意三点有且仅有一个平面B ．m 为直线，α，β为平面，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．m ，n 为直线，α为平面，若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．m ，n 为直线，α为平面，若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n 10．关于函数f （x ）＝x 3﹣3x +1，下列说法正确的是（） A ．f （x ）有两个极值点 B ．f （x ）的图像关于原点对称C ．f （x ）有三个零点D ．2sin10°是f （x ）的一个零点11．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点（1，2），M 是C 准线l 上的一点，过M 作C 的切线MA 、MB 与抛物线分别切于A 、B ，则（） A ．C 的准线方程是x ＝﹣1 B ．|MF |2＝|F A ||FB | C ．|AM |2＝|AF ||AB |D ．MA →⋅MB →≠012．直线l ：y ＝ax 与y ＝e x 的图像交于A （x 1，y 2）、B （x 2，y 2）两点（x 1＜x 2），y ＝e x 在A 、B 两点的切线交于C ，AB 的中点为D ，则（） A ．a ≤eB ．点C 的横坐标大于1 C ．|x 1﹣x 2|＜√(a +2−e)2−4D ．CD 的斜率大于0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（x 2+y +3）6中x 4y 的系数为（用数字作答）． 14．写出一个满足下列条件的双曲线的方程 ①焦点在x 轴上②渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2＝3有交点15．已知函数f （x ）、g （x ），g （x ）的图像关于x ＝1对称，且f （x ）﹣g （x ）＝1，f （x +1）+g （2﹣x ）＝1，g （1）＝3，则∑ 23i=1f(x)= ． 16．已知x 2+y 2＝4，则√2−y +√5−2x 的最小值为四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }满足S n =n(a 1+a n )2，其中S n 是{a n }的前n 项和．（1）求证：{a n }是等差数列；（2）若a 1＝1，a 2＝2，求b n =2n(1−a n )a n a n+1的前n 项和T n ．18．（12分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2R ﹣a =a(b 2+c 2−a 2)a 2+c 2−b2，其中R 是三角形外接圆半径，且A 不为直角．（1）若B =π6，求A 的大小；（2）求2a 2−c 2b 2的最小值．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，O 为AB 中点，AC 与OD 交于点E ，△P AB 的重心为G ．（1）求证：EG ∥平面PCD ；（2）若P A ＝PB ＝5，AB ＝8，BC ＝4，求二面角C ﹣GE ﹣D 的正弦值．20．（12分）某工厂生产一批零件，其直径X 满足正态分布X ～N （10，0.25）（单位：mm ）（1）现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在（8.5，11.5）之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题．求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性．（已知：P （μ﹣3σ＜X ＜μ+3σ）≈0.9973，0.997315≈0.9603）（2）若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？21．（12分）已知A （﹣2，0），B （2，0），P （x ，y ）满足P A 与PB 的斜率之积为−34．（1）求P 的轨迹C 的方程．（2）l 1，l 2是过C 内同一点D 的两条直线，l 1交椭圆于MN ，l 2交椭圆于EF ，且MNEF 共圆，求这两条直线斜率之和．22．（12分）已知函数f （x ）＝（π﹣x ）sin x ，x ∈[0，π]．（1）求f （x ）在（0，0）处的切线方程；（2）若f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2，求证： ①a ＜2；②|x 1﹣x 2|≤π﹣a −a．2023年河北省衡水二中高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 3﹣3x 2﹣x +3＜0}，B ＝{x ||x +12|≥1}，则（） A ．A ∪B ＝（﹣∞，−32）∪（1，3） B ．A ∪B ＝（﹣∞，﹣1）∪[12，+∞）C ．A ∩B ＝（﹣∞，﹣1）∪（1，3）D ．A ∩B ＝（﹣∞，−32]∪[12，3）解：A ＝{x |（x 2﹣1）（x ﹣3）＜0}＝{x |1＜x ＜3或x ＜﹣1}，B ={x|x +12≤−1或x +12≥1}={x|x ≤−32或x ≥12}，∴A ∪B ＝（﹣∞，﹣1）∪[12，+∞），A ∩B =(−∞，−32]∪(1，3)．故选：B ． 2．已知复数z =−12+√32i ，则∑ 2023i=1z i的值为（）A ．−12+√32iB ．−12−√32iC ．0D ．1解：由于复数z =−12+√32i ，故z 2=(−12+√32i)2=−12−√32i ，z 3=(−12−√32i)(−12+√32i)=14+34=1，故∑ 2023i=1z i =z 1+z 2+⋯+z2023=z(1−z 2023)1−z =z(1−z 674×3+1)1−z =z(1−z)1−z =z =−12+√32i ．故选：A ．3．在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →=2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，则AF =（） A ．13AB +23AD B ．34AB +14AD C ．14AB +34AD D ．13AD +AB解：如图：∵在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →=2ED →，AE 与对角线BD 交于F ， ∴DE =13AB ，且DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ，可得EFAF=13，可得AF =34AE ，∴AF →=34AE →=34（AD →+DE ）=34（AD →+13AB →）=14AB →+34AD →，故选：C ．4．已知：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积成比例，那么这两个几何体的体积也对应成比例．则椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)绕长轴旋转一周形成的几何体的体积为（） A ．43πa 2bB ．43πab 2C ．43πa 3D ．43πb 3解：根据题意可得图形如图所示，由图可得O 1P =ba √a 2−ℎ2，圆柱中大圆的半径为b ，小圆的半径为OB =bℎa ，易得S 圆＝S 圆环，则由祖暅原理可得V 椭球＝2（πb 2a −13πb 2a ）=43πb 2a ．故选：B ．5．从11到15这5个整数中选出2个，则这2个数的因数个数之和为8的概率是（） A ．110B ．15C ．310D ．25解：从11到15这5个数中取出2个数，基本事件为C 52=10，故：11的因数为1和11，，12的因数为1，12，2，6，3，4， 13的因数为1，13；15的因数为1，15，3，5， 14的因数为1，14，2，7，故两个因数的和为8的是：11和12，12和13，14和15一共3种，故P(A)=310．故选：C ．6．已知f （x ）＝2tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），f （0）=2√33，周期T ∈（π4，3π4），（π6，0）是f （x ）的对称中心，则f （π3）的值为（）A ．−√3B ．√3C ．2√33D ．−2√33解：∵f （x ）＝2tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），f （0）＝2tan φ=2√33， ∴tan φ=√33，∴φ=π6，f （x ）＝2tan （ωx +π6）．∵周期T =πω∈（π4，3π4），∴43＜ω＜4．再根据（π6，0）是f （x ）的对称中心，可得ωπ6+π6=kπ2，k ∈Z ，即ω＝3k ﹣1，∴ω＝2，f （x ）＝2tan （2•x +π6），则f （π3）＝2tan5π6=−2tanπ6=−2√33，故选：D ． 7．若a ＝ln 1.01，b =2201，c =√1.02−1，则（） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解：a ＝ln 1.01＝ln （1+0.01），b =22×100+1=110.01+12，c =√1+2×0.01−1，先比较a 与b ，设f （x ）＝ln （1+x ）−11x +12=ln （1+x ）−2xx+2，0＜x ＜1，则f '（x ）=11+x −2(x+2)−2x (x+2)2=x 2(x+1)(x+2)2＞0，所以f （x ）在（0，1）上单调递增，所以f （x ）＞f （0）＝0，即a ＞b ，再比较a 与c ，设g （x ）＝ln （1+x ）﹣（√1+2x −1），0＜x ＜1，则g '（x ）=11+x 1√1+2x 11+x −11+x=0，所以g （x ）在（0，1）上单调递减，所以g （x ）＜g （0）＝0，即a ＜c ，综上，b ＜a ＜c ．故选：B ．8．某正六棱锥外接球的表面积为16π，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长l ∈[√3，2]，则其体积的取值范围是（）A．[4√3，9√32]B．[4√3，128√327]C．[9√32，128√327]D．[64√327，4√3]解：如图所示：设该正六棱锥的高PO1＝h，侧棱长为a，设该正六棱锥外接球的半径为r，因为正六棱锥外接球的表面积为16π，所以有16π＝4πr2⇒r＝2，因为外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，所以h≥2，设∠OPB＝θ，在正六边形ABCDEF，因为正六边形边长为l，所以O1B＝l，在△OPB中，由余弦定理可知cosθ=4+a2−42⋅2a=a4，在直角三角形△O1PB中，cosθ=ℎa，所以有cosθ=ℎa=a4⇒a2＝4h，由勾股定理可知h2+l2＝a2⇒h2+l2＝4h⇒l2＝4h﹣h2，因为l∈[√3，2]，所以l2∈[3，4]，因此有3≤4h﹣h2≤4⇒1≤h≤3，而h≥2，所以2≤h≤3，该正六棱锥的体积V=13×6×12⋅l⋅l⋅√32⋅ℎ=√32(4ℎ2−ℎ3)，V′(ℎ)=√32(8ℎ−3ℎ2)=−3√32ℎ(ℎ−83)，当2≤ℎ＜83时，V′（h）＞0，V（h）单调递增，当83＜ℎ≤3时，V′（h）＜0，V（h）单调递减，所以V(ℎ)max=V(83)=128√327，因为V(2)=4√3，V(3)=9√32，V(2)＜V(3)，所以V(ℎ)min=4√3，因此该正六棱锥的体积的取值范围是[4√3，128√327]，故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（） A ．过任意三点有且仅有一个平面B ．m 为直线，α，β为平面，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βC ．m ，n 为直线，α为平面，若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．m ，n 为直线，α为平面，若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n解：对于A ，过不共线的任意三点有且仅有一个平面，所以选项A 错误；对于B ，m 为直线，α，β为平面，若m ⊥α，m ⊥β，根据直线与平面垂直的性质定理知，α∥β，选项B 正确；对于C ，m ，n 为直线，α为平面，若m ∥α，n ∥α，不能得出m ∥n ，也可能是m 、n 相交或异面，选项C 错误；对于D ，m ，n 为直线，α为平面，若m ⊥α，n ⊥α，根据直线与平面垂直的性质定理知，m ∥n ，选项D 正确．故选：BD ．10．关于函数f （x ）＝x 3﹣3x +1，下列说法正确的是（） A ．f （x ）有两个极值点 B ．f （x ）的图像关于原点对称C ．f （x ）有三个零点D ．2sin10°是f （x ）的一个零点解：因为f （0）＝1≠0，所以B 错；由f ′（x ）＝3x 2﹣3＝0得x ＝±1，且f ′（x ）＜0⇒﹣1＜x ＜1；f ′（x ）＞0⇒x ＜﹣1或x ＞1，所以f （x ）的极大值为f （﹣1）＝3＞0，极小值f （1）＝﹣1＜0，所以f （x ）有两个极值点，且有三个零点，所以AC 对；由三倍角公式sin3α＝3sin α﹣4sin 3α得：f （2sin10°）＝﹣2（3sin10°﹣4sin 310°）+1＝﹣2sin30+1＝0，所以2sin10°是f （x ）的零点，D 对．故选：ACD ．11．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点（1，2），M 是C 准线l 上的一点，过M 作C 的切线MA 、MB 与抛物线分别切于A 、B ，则（） A ．C 的准线方程是x ＝﹣1 B ．|MF |2＝|F A ||FB | C ．|AM |2＝|AF ||AB |D ．MA →⋅MB →≠0解：将A （1，2）代入抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）中可得p ＝2，则C 为y 2＝4x ，故C 的准线方程为x ＝﹣1，故A 正确，设点M （﹣1，m ），先考虑m ≠0情况，则过点M 作C 的切线MA ，MB ，切线斜率必存在且不等于0，设切线方程为y ＝k （x +1）+m ，k ≠0，联立y 2＝4x ，可得y 2−4k y +4mk +4＝0，则Δ=16k2−16（m k+1）＝0，即k 2+mk ﹣1＝0，△′＝m 2+4＞0，设MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1+k 2＝﹣m ，k 1k 2＝﹣1，即MA ⊥MB ，即MA →•MB →=0，故D 错误；设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），不妨设A 在第一象限，B 在第四象限，则y 1＝2√x 1，y 2＝﹣2√x 2，由于y 2＝4x ，对于曲线在第一象限内部分有y ＝2√x ，y ′=1√x ，则k 1=1√x ，对于曲线在第四象限内部分有y ＝﹣2√x ，∴y =1√x ，则k 2=1x ，由于k 1k 2＝﹣1，故√x ×（1x ）＝﹣1，∴x 1x 2＝1，则（y 1y 2）2＝16x 1x 2＝16，∴y 1y 2＝﹣4，由于m ≠﹣0，故AB 斜率一定存在，设直线AB 的方程为y ＝μx +v ，联立y 2＝4x ，得y 2−4μy +4v μ+4＝0，故y 1+y 2=4μ，y 1y 2=4vμ=−4，∴μ＝﹣v ，则直线AB 的方程为y ＝μx ﹣μ＝μ（x ﹣1），即直线AB 过定点F （1，0），所以A ，F ，B 三点共线，由于k AB ＝μ=4y 1+y 2=42√x −2√x =21k 1+1k2=2k 1k 2k 1+k 2=−2−m =2m ，k MF =−m2，故k AB •k MF ＝﹣1，∴MF ⊥AB ，在Rt △AMB 中，△MBF ∽△AFM ∽△AMB ，则|MF |2＝|F A ||FB |，|AM |2＝|AF ||AB |，当m ＝0时，即M （﹣1，0），A ，B 关于x 轴对称， k 1+k 2＝0，k 1k 2＝﹣1，MA →•MB →=0成立；此时AB 斜率不存在，不妨取k 1＝1，k 2＝﹣1，则MA ：y ＝x +1，MB ：y ＝﹣x ﹣1，联立y 2＝4x ，解得A （1，2），B （1，﹣2），则AB 过定点（1，0），且MF ⊥AB ，则|MF |2＝|F A ||FB |，|AM |2＝|AF ||AB |成立，综合上述，BC 正确．故选：ABC ．12．直线l ：y ＝ax 与y ＝e x 的图像交于A （x 1，y 2）、B （x 2，y 2）两点（x 1＜x 2），y ＝e x 在A 、B 两点的切线交于C ，AB 的中点为D ，则（） A ．a ≤eB ．点C 的横坐标大于1 C ．|x 1﹣x 2|＜√(a +2−e)2−4D ．CD 的斜率大于0解：对于A ：因为直线y ＝ax 与曲线y ＝e x 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点（x 1＜x 2），ax ＝e x，即a =e xx 有两个不同的正根，即直线y ＝a 与曲线y =e xx 有两个不同的交点，因为（e xx）′=e x (x−1)x 2，所以y =e xx 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以函数y =e xx的最小值为e ，又x →0，y →+∞；x →+∞，y →+∞，所以a ＞e ，故A 错误；对于B ：由题意可得ax 1＝e x 1，ax 2＝ex 2（x 1＜x 2），所以0＜x 1＜1＜x 2， g （x ）=e xx ，设h （x ）＝g （x ）﹣g （2﹣x ），（0＜x ＜1）， h ′（x ）＝（e x x −e 2−x 2−x）′＝（x ﹣1）[e x x 2−e 2−x (2−x)2]，令m（x）=e xx2，m′（x）=e x(x−2)x3，所以m（x）在（0，2）单调递减，因为x∈（0，1），2﹣x∈（1，2），所以m（x）＞m（2﹣x），所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上单调减，所以h（x）＞h（1）＝0，g（x）＞g（2﹣x），因为0＜x1＜1＜x2，所以g（x1）＞g（2﹣x1），又g（x1）＝g（x2），所以g（x2）＞g（2﹣x1），因为x2∈（2，+∞），2﹣x1∈（2，+∞），所以x2＞2﹣x1，x1+x2＞2，直线AC的方程：y﹣e x1=e x1（x﹣x1），直线BC的方程为y﹣e x2=e x2（x﹣x2），联立得x=x1e x1−x2e x2e x1−e x2−1=ax12−ax22ax1−ax2−1＝x1+x2﹣1＞1，故B正确；对于C：设s（x）＝e x﹣ax﹣[x2﹣（a+2﹣e）x+1]，s′（x）＝e x﹣2x+2﹣e，s″（x）＝e x﹣2＝0，得x＝ln2，所以在（0，ln2）上，s″（x）＜0，s′（x）单调递减，在（ln2，+∞）上，s″（x）＞0，s′（x）单调递增，且s′（1）＝0，s′（x）min＝s′（ln2）＜s′（1）＝0，因为s′（0）＞0，设m∈（0，1），x∈（0，m）时，s′（x）＞0，s（x）单调递增，x∈（m，1）时，s′（x）＜0，s（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，s′（x）＞0，s（x）单调递增，又因为s（0）＝s（1）＝0，所以s（x）min＝0，所以s（x）＝e x﹣ax﹣[x2﹣（a+2﹣e）x+1]≥0，所以e x ﹣ax ≥x 2﹣（a +2﹣e ）x +1，因为x 1，x 2是方程e x ﹣ax ＝0的两个根，x 3，x 4是方程x 2﹣（a +2﹣e ）x +1＝0的两个根，所以|x 1﹣x 2|＜|x 3﹣x 4|=√(a +2−e)2−4，故C 正确；对于D ：因为D （x 1+x 22，a(x 1+x 2)2），C （x 1+x 2﹣1，ax 1x 2），所以k CD =a[2x 1x 2−(x 1+x 2)]x 1+x 2−2，因为a ＞e ，x 1+x 2＞2，0＜x 1＜1＜x 2，设f （x ）＝e x ﹣ax −a2（x ﹣lna ）2， f ′（x ）＝e x ﹣ax ﹣a （x ﹣lna ），所以f ″（x ）＝e x ﹣a ，所以当x ∈（0，lna ）时，f ″（x ）＜0，f ′（x ）＞f ′（lna ）＝0，当x ∈（lna ，+∞）时，f ″（x ）＞0，f ′（lna ）＝0，所以在（0，+∞）上，f ′（x ）≥0，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （lna ）＝0，所以当x ∈（0，lna ）时，e x ﹣ax −a2（x ﹣lna ）2＜0，e x ﹣ax ＜a2（x ﹣lna ）2，所以x ∈（lna ，+∞）时，e x ﹣ax −a2（x ﹣lna ）2＞0，e x ﹣ax ＞a2（x ﹣lna ）2，因为0＜x 1＜1＜x 2，a2（x 1﹣lna ）2＞a 2（x 2﹣lna ）2，lna ﹣x 1＞x 2﹣lna ，所以x 1+x 2＜2lna ，所以a 2x 1x 2＝e x 1+x 2＜a 2，x 1x 2＜1，又x 1+x 2＞2，所以k CD ＜0，故D 错误，故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x 2+y +3）6中x 4y 的系数为 1620 （用数字作答）．解：（x 2+y +3）6＝[x 2+（y +3）]6，其展开式为C 6r (x 2)6−r(y +3)r ，依题意，2（6﹣r ）＝4，解得r ＝4，又（y +3）4的展开式为C 4k y 4−k 3k ，依题意，4﹣k ＝1，解得k ＝3，所以（x 2+y +3）6中x 4y 的系数为C 64×C 43×33=1620．故答案为：1620．14．写出一个满足下列条件的双曲线的方程 x 2−y 23=1（答案不唯一）． ①焦点在x 轴上②渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2＝3有交点解：设双曲线的渐近线方程为：bx ±ay ＝0，渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2＝3有交点，可得√a 2+b 2≤√3，可得b ≤√3a ，不妨取a ＝1，b =√3，所以满足条件的双曲线方程可以为：x 2−y 23=1．故答案为：x 2−y 23=1（答案不唯一）．15．已知函数f （x ）、g （x ），g （x ）的图像关于x ＝1对称，且f （x ）﹣g （x ）＝1，f （x +1）+g （2﹣x ）＝1，g （1）＝3，则∑ 23i=1f(x)= 26 ．解：因为g （x ）的图像关于x ＝1对称，所以g （1+x ）＝g （1﹣x ），即有g （x ）＝g （2﹣x ），因为f （x +1）+g （2﹣x ）＝1，所以f （x +1）+g （x ）＝1，又因此f （x ）﹣g （x ）＝1，所以f （x +1）+f （x ）＝2，所以f （x +2）+f （x +1）＝2，所以f （x ）＝f （x +2），所以f （x ）的周期为2，又因为g （1）＝3，f （x ）﹣g （x ）＝1，所以f （1）＝g （1）+1＝4，又因为f （x +1）+g （2﹣x ）＝1，所以f （2）+g （1）＝1，所以f （2）＝1﹣g （1）＝﹣2，所以f （1）+f （2）＝4﹣2＝2，所以∑ 23i=1f(x)=f （1）+f （2）+…+f （23）＝11[f （1）+f （2）]+f （1）＝11×2+4＝26．故答案为：26．16．已知x 2+y 2＝4，则√2−y +√5−2x 的最小值为 √5 ．解：设t =√2−y +√5−2x =√1−y +1+√4−2x +1 =√x 2+y 24−y +1+√x 2+y 2−2x +1 =12√x 2+(y −2)2+√(x −1)2+y 2，设圆x 2+y 2＝4上任意点P （x ，y ），M （0，2），N （1，0），则t =12|PM |+|PN |，设Q （n ，0），且|PN |=12|PQ |， ∴|PN||PQ|=12，又|ON||OP|=12，∴|PN||PQ|=|ON||OP|=12，又∠PON ＝∠QOP ，∴△PON ∽△QOP ， ∴|OP||OQ|=|ON||OP|=12，又|OP |＝2，∴|OQ |＝4，∴Q （4，0）又M （0，2），∴t min =12(|PM|+|PQ|)min =12|MQ |=12√12+4=√5．故答案为：√5．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知数列{a n }满足S n =n(a 1+a n )2，其中S n 是{a n }的前n 项和．（1）求证：{a n }是等差数列；（2）若a 1＝1，a 2＝2，求b n =2n(1−a n )a n a n+1的前n 项和T n ．（1）证明：因为数列{a n }满足S n =n(a 1+a n )2，当n ≥2时，S n−1=(n−1)(a 1+a n−1)2，两式子相减得（n ﹣2）a n ＝﹣a 1+（n ﹣1）a n ﹣1，① 因此可得（n ﹣1）a n +1＝﹣a 1+na n ，②①②相减得：（2n ﹣2）a n ＝（n ﹣1）a n +1+（n ﹣1）a n ﹣1，由于n ﹣1＞0，所以2a n ＝a n +1+a n ﹣1，所以{a n }是等差数列；（2）解：由（1）知{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＝2，所以a n ＝n ，因此b n =2n(1−a n )a n a n+1=2n(1−n)n(n+1)=2nn −2n+1n+1，所以T n =(211−222)+(222−233)+⋯+(2nn −2n+1n+1)=2−2n+1n+1．18．（12分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2R ﹣a =a(b 2+c 2−a 2)a 2+c 2−b2，其中R 是三角形外接圆半径，且A 不为直角．（1）若B =π6，求A 的大小；（2）求2a 2−c 2b 2的最小值．解：（1）由余弦定理可得2R ﹣a =a⋅2bccosA2accosB，可得2R cos B ﹣a cos B ＝b cos A ，再由正弦定理可得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以cos B ＝sin A cos B +sin B cos A ＝sin （A +B ），在三角形中，可得A +B =π2−B ，而B =π6，可得A =π6；（2）由（1）可得cos B ＝sin （A +B ）＝sin C ，在三角形中，可得sin （π2−B ）＝sin C 或sin （π2+B ）＝sin C ，即π2−B ＝C ，即B +C =π2，可得A =π2，与A 角不是直角矛盾，或π2+B ＝C ，可得A ＝π﹣B ﹣C =π2−2B ，所以2a 2−c 2b 2=2sin 2A−sin 2Csin 2B=2cos 22B−sin 2C sin 2B2(1−2sin 2B)2−cos 2Bsin 2B=8sin 4B−7sin 2B+1sin 2B=8sin 2B +1sin 2B −7≥2√8sin 2B ⋅1sin 2B−7＝4√2−7，当且仅当8sin 4B ＝1时取等号，即sin B =√242时取等号，所以2a 2−c 2b 2的最小值为4√2−7．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，O 为AB 中点，AC 与OD 交于点E ，△P AB 的重心为G ．（1）求证：EG ∥平面PCD ；（2）若P A ＝PB ＝5，AB ＝8，BC ＝4，求二面角C ﹣GE ﹣D 的正弦值．证明：（1）∵底面ABCD 为矩形，O 为AB 的中点，∴△AEO ∽△CED ，可得OE ED=OA DC=12，又△P AB 的重心为G ，∴OG GP=12，则OE ED=OG GP，得EG ∥PD ，∵PD ⊂平面PDC ，EG ⊄平面PDC ，∴EG ∥平面PCD ；解：（2）∵P A ＝PB ，O 为AB 中点，∴PO ⊥AB ， ∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，∴PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则C （4，4，0），D （4，﹣4，0），G （0，0，1），E （43，−43，0），EC →=(83，163，0)，EG →=(−43，43，1)，ED →=(83，−83，0)，设平面CEG 与平面DEG 的一个法向量分别为m →=(x 1，y 1，z 1)，n →=(x 2，y 2，z 2)，由{m →⋅EC →=83x 1+163y 1=0m →⋅EG →=−43x 1+43y 1+z 1=0，取y 1＝﹣1，得m →=(2，−1，4)；由{n →⋅EG →=−43x 2+43y 2+z 2=0n →⋅ED →=83x 2−83y 2=0，取y 2＝1，得n →=(1，1，0)．∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12×21=√4242．∴二面角C ﹣GE ﹣D 的正弦值为√1−(√4242)2=√172242．20．（12分）某工厂生产一批零件，其直径X 满足正态分布X ～N （10，0.25）（单位：mm ）（1）现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在（8.5，11.5）之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题．求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性．（已知：P （μ﹣3σ＜X ＜μ+3σ）≈0.9973，0.997315≈0.9603）（2）若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？解：（1）因为X ～N （10，0.52），所以P （8.5＜X ＜11.5）＝0.9973．所以随机抽取15个零件进行检测，至少有1个次品的概率为1﹣0.997315≈0.0397，如果生产状态正常，至少有一个次品的概率约为0.0397，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认定生产过程中存在问题，即这一标准是合理的．（2）次品的概率为1﹣0.9973＝0.0027，抽取100个零件进一步检测，设次品数为Y ，则Y ～B （100，p ），其中p ＝0.0027，故P （Y ＝k ）=C 100kp k （1﹣p ）100﹣k ，设次品数最可能是k 件，则{C 100k p k (1−p)100−k ≥C 100k−1p k−1(1−p)101−k C 100k p k (1−p)100−k ≥C 100k+1p k+1(1−p)99−k，解得101p ﹣1≤k ≤101p （k ∈N *）．因为p ＝0.0027，所以10lp ＝0.2727，101p ﹣1＝﹣0.7273，故k ＝0．故这100个零件中的次品数最可能是0．21．（12分）已知A （﹣2，0），B （2，0），P （x ，y ）满足P A 与PB 的斜率之积为−34．（1）求P 的轨迹C 的方程．（2）l 1，l 2是过C 内同一点D 的两条直线，l 1交椭圆于MN ，l 2交椭圆于EF ，且MNEF 共圆，求这两条直线斜率之和．解：（1）因为P （x ，y ）满足P A 与PB 的斜率之积为−34，所以有y x+2⋅yx−2=−34(x ≠±2)⇒x 24+y 23=1(x ≠±2)；（2）设D （x 0，y 0），因为D 在C 内，所以x 024+y 023＜1⇒3x 02+4y 02＜12，设l 1的参数方程为：{x =x 0+tcosαy =y 0+tsinα，α为直线l 1的倾斜角，把{x =x 0+tcosαy =y 0+tsinα代入x 24+y 23=1(x ≠±2)中，得(3cos 2α+4sin 2α)t 2+t(6x 0cosα+8y 0sinα)+3x 02+4y 02−12=0，|t 1t 2|=|3x 02+4y 02−12|3cos 2α+4sin 2α=12−(3x 02+4y 02)3cos 2α+4sin 2α，即|DM|⋅|DM|=|t 1t 2|=12−(3x 02+4y 02)3cos 2α+4sin 2α，设直线l 2的倾斜角为β，上式用β代α，同理可得|DE|⋅|DF|=|t 3t 4|=12−(3x 02+4y 02)3cos 2β+4sin 2β，因为l 1，l 2是过C 内同一点D 的两条直线，l 1交椭圆于MN ，l 2交椭圆于EF ，且MNEF 共圆，所以由圆的相交弦定理可知：|DM|⋅|DN|=|DE|⋅|DF|⇒12−(3x 02+4y 02)3cos 2α+4sin 2α=12−(3x 02+4y 02)3cos 2β+4sin 2β，因为3x 02+4y 02＜12，所以有3cos 2α+4sin 2α＝3cos 2β+4sin 2β⇒3+sin 2α＝3+sin 2β⇒sin 2α＝sin 2β，因为α，β是直线的倾斜角，所以sin α≥0，sin β≥0，所以sin 2α＝sin 2β⇒sin α＝sin β，因为l 1，l 2是过C 内同一点D 的两条直线，所以α≠β，因此由sin α＝sin β⇒α+β＝π⇒α＝π﹣β⇒tan α＝tan （π﹣β）⇒tan α＝﹣tan β，设l 1，l 2的斜率为k 1，k 2，因此有k 1＝﹣k 2⇒k 1+k 2＝0，即这两条直线斜率之和为0．22．（12分）已知函数f （x ）＝（π﹣x ）sin x ，x ∈[0，π]．（1）求f （x ）在（0，0）处的切线方程；（2）若f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2，求证： ①a ＜2；②|x 1﹣x 2|≤π﹣a −aπ．解：（1）因为f ′（x ）＝﹣sin x +（π﹣x ）cos x ，所以f ′（0）＝π，即f （x ）在（0，0）处的切线方程为y ＝πx ；证明：（2）①易得f （0）＝0，f （π）＝0，因为f （x ）＝（π﹣x ）sin x ＝（π﹣x ）sin （π﹣x ），设t ＝π﹣x ∈[0，π]，所以f （x ）＝φ（t ）＝t sin t ，所以f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2等价于φ（t ）＝a 在[0，π]上有两个不同的根t 1，t 2，即直线y ＝a 与函数φ（t ）在[0，π]上的图象有两个交点，因为φ′（t ）＝sin t +t cos t ，易知当t ∈(0，π2]时，φ′（t ）＞0，当t ∈(π2，π]时，设h （t ）＝φ′（t ）＝sin t +t cos t ，h ′（t ）＝2cos t ﹣t sin t ＜0，而φ′(π2)=sin π2+π2cos π2=1＞0，φ′(π)=sinπ+πcosπ=−π＜0，所以存在唯一的t 0∈(π2，π]，使得φ′（t 0）＝0，即sin t 0+t 0cos t 0＝0，故当t ∈(π2，t 0)时，φ′（t ）＞0，φ（t ）单调递增，t ∈（t 0，π）时，φ′（t ）＜0，φ（t ）单调递减，综上可知，当t ∈（0，t 0）时，φ′（t ）＞0，φ（t ）单调递增，t ∈（t 0，π）时，φ′（t ）＜0，φ（t ）单调递减，f max ＝φ（t 0）＝t 0sin t 0，所以0≤a ＜f max ；设F(x)=sinx −2x，x ∈[2，π)，F′(x)=cosx +2x 2=x 2cosx+2x2，设H （x ）＝x 2cos x +2，所以H ′（x ）＝2x cos x ﹣x 2sin x ＝x （2cos x ﹣x sin x ）＜0，因为π3＜2＜π，所以−1＜cos2＜−12，H(2)=4cos2+2＜0，从而，F （x ）在x ∈[2，π）上递减，故F （x ）≤F （2）＝sin2﹣1＜0，即sinx ＜2x，当x ∈(π2，2)，显然sinx ＜2x ，故x ∈（0，π）时，sinx ＜2x 恒成立，故f max ＝φ（t 0）＝t 0sin t 0＜2，即方程f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2时，0≤a ＜2，原命题得证； ②由①知，设t ＝π﹣x ∈[0，π]，所以f （x ）＝φ（t ）＝t sin t ，所以f （x ）＝a 在定义域上有两解x 1，x 2等价于φ（t ）＝a 在[0，π]上有两个不同的根t 1，t 2，不妨设t 1＜t 2，且0≤a ＜2，所以|x 1﹣x 2|＝|t 1﹣t 2|＝t 2﹣t 1，设s （t ）＝t sin t +π（t ﹣π），t ∈[0，π]，所以s ′（t ）＝t sin t +π（t ﹣π）＝sin t +t cos t +π≥π﹣t ≥0，所以，s （t ）≤s （π）＝0，即t sin t ≤﹣π（t ﹣π），又t sin t ≤t ，所以，a =t 1sint 1≤t 1⇒t 1≥a ，a =t 2sint 2≤−π(t 2−π)⇒t 2≤π−a π，即t 2−t 1≤π−aπ−a ，所以|x 1−x 2|≤π−a −aπ，原不等式得证．。

2025届安徽省马鞍山二中高三最后一模数学试题含解析

2025届安徽省马鞍山二中高三最后一模数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(,)a bi a b R +∈是11ii +-的共轭复数,则a b +=（） A ．1-B ．12- C ．12D ．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．53πB ．43π C ．223π+D ．243π+3．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（） A ．8B ．12C ．14D ．104．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨-⎩，则()R A C B ⋂=（） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<6．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e=+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（）A ．(),2-∞B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞7．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．a c b >>8．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（） A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π9．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,1)(1,)⋃+∞10．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1B ．2C ．3D ．711．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（）A ．6481B ．3227C ．89D ．162712．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（）A ．eB ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年新疆乌鲁木齐市兵团一中、二中中考数学一模试卷及答案解析

2024年新疆乌鲁木齐市兵团一中、二中中考数学一模试卷一、选择题（本题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求）1．（4分）有理数的相反数是（）A．B．3C．﹣3D．﹣2．（4分）下列运算中正确的是（）A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a6﹣a2＝a4D．a5+a5＝2a103．（4分）下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（）A．B．C．D．4．（4分）下列条件：①∠AEC＝∠C，②∠C＝∠BFD，③∠BEC+∠C＝180°，其中能判断AB∥CD 的是（）A．①B．①③C．②③D．①②③5．（4分）已知点A（x，4）在第二象限，则点B（﹣x，﹣4）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（4分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣3的大致图象是（）A．B．C．D．7．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B、C、D恰好在同一条直线上，则∠B的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°8．（4分）如图所示，直线AB、CD相交于点O，“阿基米德曲线”从点O开始生成，如果将该曲线与每条射线的交点依次标记为2，﹣4，6，﹣8，10，﹣12，…那么标记为“﹣2024”的点在（）A．射线OA上B．射线OB上C．射线OC上D．射线OD上9．（4分）关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（）A．B．C．D．一、选择题（本题共6小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）10．（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为．11．（4分）在一个不透明的塑料袋中装有红色白色球共40个，除颜色外其他都相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在20%左右，则口袋中红色球可能有个．12．（4分）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，＝1，则k的值为．若点C是x轴上一点，S△ABC13．（4分）如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若弧CD与弧AB所在的圆心都为点O，则弧CD与弧AB的长度之比为．14．（4分）将边长为6的等边三角形OAB按如图所示的位置放置，AB边与y轴的交点为C，则OC ＝．15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形对角线BD所在直线上的一个动点，连接AE．以AE为斜边作等腰Rt△AEF（点A，E，F按逆时针排序），则CF长的最小值为．三、解答题（本题共8小题，共90分。

湖南省株洲市第二中学2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)

株洲市第二中学2024届九年级下学期中考一模数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．2024的相反数是( )A.2024B.C.D.2．华为Mate60Pro手机是全球首款支持卫星通话的智能手机.预计至2024年底,这款手机的出货量将达到70000000台.将70000000用科学记数法表示应为( )A. B. C. D.3．下列图形中,既是轴对称又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.4．下列算式中,结果等于的是( )A. B. C. D.5．某空气质量监测点记载的今年三月份某五天的空气质量指数(AQI)为：33,27,34,40,26,则这组数据的中位数是( )A.26B.27C.33D.346．黄金分割数是一个很奇妙的数,大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面,如果估算的值应该在( )A.和0之间B.0和1之间C.1和2之间D.2和3之间7．光线在不同介质中的传播速度是不同的,因此当光线从水中射向空气时,要发生折射,由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的.如图,,的度数为( )A. B. C. D.8．如图,点P是反比例函数图像上的一点,轴于F点,且面积为4.若点也是该图像上的一点,则m的值为( )A.-2B.-4C.2D.49．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛.问大小器各容几何.”其大意为：有大小两种盛酒的桶,已知5个大桶和1个小桶可以盛酒3斛,1个大桶和5个小桶可以盛酒2斛.问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛,1个小桶可以盛酒y斛,根据题意,可列方程组为( )A. B. C. D.10．若一个点的坐标满足,我们将这样的点定义为“倍值点”.若关于x的二次函数(s,t为常数,)总有两个不同的倍值点,则s的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

2023年北京市二中初三一模数学试卷

北京二中教育集团2022—2023学年度第二学期初三数学模拟一模考试试卷命题人：孙竹溪审核人：曲莹第Ⅰ卷 (选择题共16分)一、选择题(以下每题只有一个．．．．正确的选项，每小题2分，共16分) 1．根据北京市统计局发布的统计数据，2022年首都的各项事业都取得了新进展，其中GDP 总量达到41600亿元，数字41600用科学记数法可表示为 A ．4.16×104 B ．41.6×104 C ．4.16×105 D ．0.416×1052．有理数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b 满足b ＜−a ，则b 的值可能是A ．2B ．-2C ．0D ．-3班级姓名考号座位号密封线 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------A ．B ．C ．D ．4．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角是A ．60°B ．72°C ．90°D ．108° 5．关于x 的一元二次方程x 2−（k +3）x +2k +1＝0根的情况是A ．无实根B ．有实根C ．有两个不相等实根D ．有两个相等实根6．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是甲乙 A ．S甲2＜S 乙2，＝ B ．S 甲2＝S 乙2，＞ C ．S甲2＞S 乙2，＝D ．S 甲2＝S 乙2，＜7．如图是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图不可能是A ．B ．C ．D ．8．已知在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上一个动点，过P 作CD 、AD 的平行线分别交正方形ABCD 的边于E 、F 和M 、N ，若BP=x ，图中阴影部分的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系图象大致是A. B.C.D.第II 卷 (非选择题共84分)二、填空题(本题共16分，每题2分)9．方程3-x4+2x =0的解是．10．因式分解：4x 2-8x +4=____________.11．已知点A (m-1，y 1)，B (m ，y 2)都在一次函数y=-2x+1的图象上，那么y 1与y 2的大小关系是y 1_____ y 2 (填“>”，“=”“<”) .12．如图（示意图）所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 的高为2.4m ，测得AB ＝1.8m ，BC ＝13.2m ，则建筑物CD 的高为 m ．13．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 长为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若BG ＝1，AC ＝4，则 △ACG 的面积为．第12题图第13题图cos ∠ACB 的值为______．15．一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，标号分别为1，2 ，3 .小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号.若两次抽取的小球标号之和为奇数，则小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢.小林赢的概率是_______．16．一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画╳．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则m 的值为．三、解答题(本题共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题,每题7分)17．计算：3tan30°- (14)-1−√12+|-√3|．18．解不等式组：26312+13x x x x −<⎧⎪−⎨−≤⎪⎩.密封线 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------20. 同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明.已知在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，求证：BC =12AB .法一：如图1，在AB 上取一点D ，使得BC=BD ，连接CD .法二：如图2，延长BC 到D ，使得BC=CD ，连接AD .图1 图2你选择方法_____ 证明：21．如图，四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，BC ，EO 为矩形BECO 对角线，BC ∥AD ，AD =EO . (1) 求证：四边形ABCD 是菱形；(2) 连接DE , 若AC =4，∠BCD=120°，求DE 的值.班级姓名考号座位号密封线 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------B AC D B AC D BACBD22．在平面直角坐标系xOy 中，直线y 1=-2x+1与反比例函数y 2 =x(k ≠0)图象的一个交点为点M .(1) 当点M 的坐标为（2，m ）时，求k 的值； (2) 当x <-1时，对于x 的每一个值，都有y 1> y 2，求k 的取值范围.23．第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京成为历史上第一座既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．北京冬奥会的成功兴办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级举行了两次“冬奥知识”竞赛．该校九年级共有学生480人参加了竞赛，从中随机抽取30名学生的两次竞赛成绩，小明对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a ．小明在统计第二次竞赛成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表：b ．将竞赛成绩按四舍五入取整后，得出的频数分布折线图如下（数据分组：x ≤45，45＜x ≤46，46＜x ≤47，47＜x ≤48，48＜x ≤49，49＜x ≤50）：x(1)请补全折线统计图，并标明数据；(2)请完善c中的统计表，m的值是；(3)若成绩为46.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，第二次竞赛九年级约有名学生成绩达到优秀；(4)通过观察、分析，小明得出这样的结论“在抽取30名学生的第一次竞赛成绩中，众数一定出现在45＜x≤46这一组”．请你判断小明的说法_______（填“正确”或“错误”），你的理由是．24．如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，演员在弹跳过程中，当身体离地面最大高度为5米时，与点A所在y轴的水平距离为3米，已知点A距离地面高度为1米．(1) 求该抛物线的解析式．(2) 已知人梯BC＝3.15米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是5米，问这次表演能否成功(接触到人梯则代表表演成功)？请说明理由．切点，OE ⊥BD 于点H ，交CD 于点E .(1)求证：∠BDC=∠BOE ；(2)若sin C =13，AD =4，求EH26．在平面直角坐标系xOy 中，A （-3，y 1），B （a2，y 2），C （m ，y 3）在抛物线y =-x 2+2ax +c (a ＞0)上.(1) 抛物线的对称轴为直线x ＝，直接写出y 1和y 2的大小关系y 1 y 2； (2) 若m =4，且y 1=y 3，则a 的值是；(3) 若对于任意1≤m ≤4，都有y 1＜y 3＜y 2，求a 的取值范围．密封线 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C线AD 绕点A 顺时针旋转α，与BD 相交于点E . (1) 如图1，探究∠AEB 和∠ADC 的数量关系并证明；(2) 如图2，当a =90°时，过点E 作EG //AD 交BC 于点G ，射线AD 与射线BC 相交于点F .请补全图形，写出FG 与AB 的数量关系，并证明.图1 图2班级姓名考号座位号密封线 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------BCDEAADCB为射线l .对于定点A （032，）和直线y=kx （k ≠0），给出如下定义：同时将射线AO 和直线y=kx 分别绕点A 和原点O 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到l 1和l 2，l 1与l 2的交点为点P ，我们称点P 为射线l 的“k-α”双旋点.如图，点P 为y=2x 的“2-30°”双旋点.(1)若k=−√3① 在给定的平面直角坐标系xoy 中，画出“k -90°”的双旋点P 1； ② 直接写出α=30°的双旋点P 2的坐标____；③ 点P 1(1，1)、P 2(√3，3)、P 3(0，2)是y=kx 的“-√3-α”双旋点的是_______；(2)直线y =-2x +4分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，若存在α，使直线y=kx 的“k-α”双旋点在线段MN 上，求k 的取值范围； (3)当-√3≤k ≤-√32时，对于任意的α，若存在某个三角形上的所有点都是射线y=kx 的“k -α”双旋点，直接写出这个三角形面积的最大值.备用图备用图。

江西省莲塘一中、临川二中2024届高三年级一模数学试题

江西省莲塘一中、临川二中2024届高三年级一模数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（）A ．∅B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞2．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A ．413B ．1313C ．926D 3133．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦长为5实数m 的取值为 A ．9-或11B ．7-或11C ．7-D ．9-4．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（）A ．-5B ．2C ．7D ．115．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（）A ．5B ．52C ．52-D ．-56．已知平面向量,a b 满足||||a b =，且(2)a b b -⊥，则,a b 所夹的锐角为（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．07．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1y x +的取值范围为（）A ．(-2,-1］B ．(-1,4］C ．[-2,4)D ．[0,4]8．已知集合A ＝{y |y 21x =-}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2）}，则∁R （A ∩B ）＝（）A ．[0，12） B ．（﹣∞，0）∪[12，+∞） C ．（0，12）D ．（﹣∞，0]∪[12，+∞） 9．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．10．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（） A ．sin sin αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos cos αβ>D ．cos cos αβ<11．在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈，设,n n A B 到直线()310x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．已知抛物线2()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，，若抛物线C 上的点A 关于直线22l y x +：＝对称的点B 恰好在射线()113y x ≤＝上，则直线AF 被C 截得的弦长为（） A ．919B ．1009C ．1189D ．1279二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年河南省南阳市第二中学校等两校中考一模数学试卷含答案

2023年河南省南阳二中等两校中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。

1．（3分）﹣的相反数是（）A．B．3C．﹣D．﹣32．（3分）时至今日，“双减”政策依然是一个热门话题．将“减负提质培优”分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，将它折成正方体后，与“减”字所在面相对的面上的汉字是（）A．提B．质C．培D．优3．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB．若∠DOE＝2∠AOC，则∠BOD的度数为（）A．25°B．30°C．60°D．75°4．（3分）下列运算正确的是（）A．B．C．（﹣a）2•a3＝a5D．（a﹣b）2＝a2﹣b25．（3分）某校规定学生的学期学业成绩由平时成绩和期中成绩、期末成绩三部分组成，依次按照2：3：5的比例确定学期学业成绩．若小明的平时成绩为90分，期中成绩为80分，期末成绩为94分，则小明的学期学业成绩为（）分．A．86B．88C．89D．906．（3分）若关于x的方程﹣x2+2x+a＝0无实数根，那么a的值可以为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．27．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5．①以点B为圆心，适当长为半径作弧分别交AB，BC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点Q；③作射线BQ交AD于点P，交CD的延长线于点E，则AB：DE＝（）A．2：1B．2：5C．4：3D．3：28．（3分）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为200cm2，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（）A．6×107cm2B．0.6×106cm2C．6×106cm2D．60×106cm2 9．（3分）如图，菱形OACB的边OB在x轴上，点A的坐标为（1，），若菱形OACB 绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，点C的对应点C60的坐标为（）A．（﹣，﹣3）B．（﹣3，﹣）C．（﹣，2）D．（2，﹣）10．（3分）在钝角三角形ABC中（如图1），AB＝AC，点P为边AB上一动点，连接PC，在直线CP的上方构造等腰直角三角形CPQ，使CP＝PQ，连接BQ，设BP的长为x，△BPQ的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积为（）A．20B．10C．8D．4二.填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）已知正比例函数y＝kx的图象经过第一，三象限，请写出一个符合条件的函数表达式：．12．（3分）不等式组的解集是．13．（3分）小明将四张正面分别标有数字﹣3，﹣2，0，1的卡片（除数字外其他都相同）置于暗箱内摇匀，从中随机抽取两张，则所抽卡片上的数字都是方程x2+2x﹣3＝0的解的概率是．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2AB＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD，点C的对应点为点D．若DE∥BC，则图中阴影部分的面积为．15．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，，把△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，点A的对应点为A′，若△AA′C为直角三角形，连接AB'，则线段AB'的长为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（10分）计算：（1）20230+﹣（）﹣1；（2）÷．17．（9分）某校举办了校服设计大赛，并从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，要求每名学生从4个获奖作品中选择一个自己最喜欢的作品，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：（1）参加此次问卷调查的学生人数是；（2）在扇形统计图中，选择“作品1”的学生所对应扇形的圆心角的度数是；（3）将条形统计图补充完整；（4）若该校七年级学生共有200名，请估计七年级学生中选择“作品3”的人数．18．（9分）如图，一次函数y1＝mx+n的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，D（3，a），过点C作CP⊥x轴于点P，已知OP＝2OA＝6，OB＝2．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）连接PD，求△CPD的面积；（3）当mx+n﹣＞0时，根据图象直接写出x的取值范围．19．（9分）悟颖塔位于河南省汝南县，楼阁式塔身为实体，塔身下部为石砌须弥座．某数学兴趣小组运用“解直角三角形”的知识来计算悟颖塔的高度AB，先将无人机垂直上升至60m高的点P处，在点P处测得悟颖塔顶端A的俯角为25°，再将无人机沿水平方（结向继续飞行12m到达点Q，在点Q处测得塔底端B的俯角为45°，求悟颖塔的高度AB．果保留一位小数，参考数据：≈1.41，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）20．（9分）王林在步行街摆摊出售A，B两款摆件．已知B款摆件的进价比A款摆件多10元，150元购进的A款摆件与200元购进的B款摆件数量相同．（1）求A，B两款摆件每个的进价；（2）王林计划用2800元全部购进A，B两款摆件，且A款摆件的购进数量不超过40件．已知每个A款摆件的售价为45元，每个B款摆件的售价为50元．若王林全部售出这两款摆件可获利w元，则如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？21．（9分）如图是从独轮车中抽象出来的几何模型，在△ABC中，AC＝AB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，连接OE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CD＝6，∠ACB＝30°，求线段OE的长．22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：△AOC∽△COB；（3）若点D为抛物线上位于x轴下方一点，且∠ABD＝2∠BCO，求点D的坐标．23．（10分）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．问题情景：在矩形ABCD中，点E为AD边上一动点，点F为BC边上一点，连接EF，将四边形CDEF沿EF折叠，点C、D分别落在点C'、D'处，设∠EFC＝α．（1）如图1，若∠EFC＝75°，AD＝AB，点F为BC的中点，延长D'C'交AB于点P．则PC'与PB的数量关系是，写出图中一个30°的角：；（2）如图2，若点F为BC的中点，AD＝2AB，45°＜α＜90°，延长D'C'交AB于点P．求PC'与PB的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若AB＝3，AD＝6，BF＝1，连接C'E，当点E为AD的三等分点时，直接写出的值．2023年河南省南阳二中等两校中考数学一模试卷（参考答案与详解）一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。

2025届昆明市第二中学高三下学期一模考试数学试题含解析

2025届昆明市第二中学高三下学期一模考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（）A ．217B ．25C ．3D ．22．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移8π个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（）A ．()2cos(2)4f x x π=+B ．()cos(2)4f x x π=+ C ．()2cos(2)4f x x π=-D ．()cos(2)4f x x π=-3．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）4．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（）A ．6B ．7C ．5D ．85．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（） A ．24B ．36C ．48D ．646．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+7．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（） A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．36种8．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．69．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（）． A ．0B ．1C ．2D ．310．已知函数()2ln e x f x x =，若关于x 的方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（） A ．3(0,)4B ．2C ．23)4D ．2 11．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种12．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（）A ．5B ．52C ．52-D ．-5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年内蒙古乌海二中中考数学一模试卷及参考答案

内蒙古乌海市第二中学2024年初三年级第一次模拟考试数学卷分值：120分考试时间：120分钟一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项) 1.下列计算结果正确的是 ( )A.3ab -2ab =1B.23246()a b a b =C.(-a )3.a =a 4D.(a +b )2=a 2+b 22.将直尺和一块含30°和60°角的三角板按图1放置，若∠CDE =40°，则∠BAF 的大小为 ( )A.10°B.15°C.20°D.25°3.关于x 的不等式x -a ≤-1的解集在数轴上表示如图所示，则a 的值是 ( )A.a =-1B.1a =C.0a =D.2a =4.如图2，是6个大小相同的小正方体组成的几何体，随机移走标号为①～⑤的小正方体中的一个，左视图不发生改变的概率是 ( )A.1B.12C.35D.45 5.点Q (a ，b )满足二元一次方程组的解，则点Q 关于原点对称点Q ¢的坐标为( ) A.(-1，-3) B.(1，-3) C.(-1，3) D.(1，3)6.如图3，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 在边AC 上，∠DBC =∠A ，若AC =4，4cos 5A =，则BD 的长度为 ( ) A.4 B.94 C.125 D.1547.将直线1l :y =ax -2(a ≠0)向上平移1个单位长度后得到直线2l ，将直线1l 向左平移1个单位长度后得到直线3l ，若直线2l 和直线3l 恰好重合，则a 的值为 ( )图2 图3 图1 24a b a b ì+=ïí-=-ïîA.-2B.-1C.1D.-38.如图4，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠C =30°，按以下步骤作图：分别以点B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧交于M ，N 两点，作直线MN ，与边AC ，BC 分别交于D ，E 两点，连接BD ，AE ，若AE =3，则BCD △的周长为 ( )A.643+B.623+C.343+D.323+9.如图5，点A 在反比例函数0)k y k x=?(k ≠0)图象的一支上，点B 在反比例函数 (k ≠0)图象的一支上，点C ，D 在x 轴上.若四边形ABCD 是面积为9的正方形，则实数k 的值为( )A.6B.3C.-6D.-910.如图6，在正方形ABCD 中，G 为边AD 上一个动点(点G 不与点D 重合)，连接CG 交对角线BD 于点E ，将线段CE 绕点C 逆时针旋转90°得到CF ，连接BF ，EF ，EF 交BC 于点N ，则①BF ⊥BD ；②△DCB ∽△ECF ；③CN ﹒CB =2EF 2；④若132AB DG AG ==，，则 .以上结论正确的有 ( ) A.①②③ B.②③④ C.①②③④ D.①②④ 二、填空题(本大题共有6小题，每小题3分，共18分，请把正确的答案填在对应的横线上) 11.分解因式：2b 3-4b 2+2b = .12.对于任意两个不相等的正实数a ，b 定义新运算“※”，规定：a ※b = ，求2※(x -1)中x 的取值范围是 .13.若方程x 2-2(a +1)x+a+4=0的两根满足12111x x +=，则a 的值为 . 14.如图7，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，连接AC ，AD ，BD ，若∠C =20°，∠BPC =70°，则∠ADC = .图4 图5 图6352EF =a b b a⨯−2k y x =-15.如图8，将扇形AOB 沿OB 方向平移，使点O 移动到OB 的中点O ¢处，得到扇形B O A '''，若∠O =90°，OA =4，则阴影部分的面积为 .16.已知抛物线y =x 2-2x -3与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，且抛物线与y 轴交于点C ，点D (4，y )在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE +DE 的值最小时，点E 的坐标为 .三、解答题(本大题共有7小题，共72分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在对应的位置)17.(本小题满分8分)(1)先化简，再求值：(a -2)(a +2)+(a -2)2，其中 60tan 327311+−⎪⎭⎫ ⎝⎛=−a (2)解方程：18.(本小题满分8分)某中学开展课外经典阅读活动，为了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间.从本校学生中随机抽取100名学生进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间x (h )分为5组：①1≤x <2；②2≤x <3；③3≤x <4；④4≤x <5；⑤5≤x <6，并将调查结果用如图所示的统计图进行描述，根据以上信息，回答下列问题：(1)本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的中位数落在第组(填序号)，估计全校一周课外经典阅读的平均时间大于等于4小时的学生有人；(2)若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少；(3)若把一周课外经典阅读的平均时间大于等于4小时的人数百分比超过40%，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议.图8图7 131122x x +=--19.(本小题满分8分)如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A 处接到指挥部通知，在他们东北方向距离6海里的B 处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时5海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时7海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C 处成功拦截捕鱼船.(1)图中∠ABC = ；(2)求图中点A 到捕鱼船航线BC 的距离；(3)求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.20.(本小题满分11分)某服装厂生产A 品牌服装，每件成本为70元，零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 件时，批发单价为y 元，y 与x 之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x 为正整数.(1)当100≤x ≤300时，求：y 与x 的函数关系式；(2)若零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x (100≤x ≤450)件，服装厂的利润为w 元，问：x 为何值时，w 最大？最大值是多少？21.(本小题满分12分)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°以AB 为直径的⊙O 与AC 交于点D ，点E 是BC 的中点，连接BD 、DE .(1)求证：DE 是⊙O 的切线(请用两种证法解答)；(2)若DE =2，21tan =∠BAC ，求AD 的长.22.(本小题满分12分)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F.(1)如图①，当12CEBE=时，求CEFADFSS= ；(2)如图②当DE平分∠CDB时，求证：2AF OA=；(3)如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：12CG BG=.23.(本小题满分13分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).(1)求抛物线的解析式；(2)设该抛物线的顶点为点H，求△BCH的面积；(3)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；(4)在(3)的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.备用图初三年级第一次模拟考试数学卷参考答案一．选择题1．B 2.．A 3．C 4．D 5．B 6．D 7．C 8．A 9．C 10．D二．填空题11．2b (b -1)2 12．31≠≥x x 且 13．2 14．40° 15．4233p + 16．(1，2) 三．解答题 222217.(1)(2)(2)(2)44424329-126a a a a a a a a a 解：原式当时，原式 -++-=-+-+=-\==?= 13(2)11223232210232x x x x x x +=--==-=?\=解：检验：把代入原分式方程的解为： 18．解：(1)∵抽取100名进行调查，第50名、51名学生均在第③组，∴一周课外经典阅读的平均时间的中位数落在第③组；由题意得：（20+8）÷100×100%＝28%，∴一周课外经典阅读的平均时间大于等于4小时的学生人数占被调查人数的百分比为28%； 2000×28%＝560（人），即估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有560人；故答案为：③，560；(2)由题意可知，每组的平均阅读时间分别为1.5小时，2.5小时，3.5小时，4.5小时，5.5小时， 1.510 2.526 3.536 4.520 5.58 3.4100?????\=(小时) 答：估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间为3.4小时；(3)一周课外经典阅读的平均时间大于等于4小时的学生的人数的百分比为28%，∵28%＜40%，∴此次开展活动不成功；建议：①学校多举办经典阅读活动；②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣（答案不唯一）． 19．解：(1)∠ABC =120°(2) 过点A 作AD ⊥CB 于点D ，由∠ABC =120°，得∠ABD =60°，AB=6∴ABAD ABD ==∠ 60sin sin ∴33236=⨯=AD (海里)；(3)设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x 小时；如图所示，由题意得：∠ABC ＝45°+75°＝120°，AB ＝6，BC ＝5x ，AC ＝7x ，在Rt △ACD 中，由勾股定理得：222)33()35()7(++=x x ，解得：43221−==x x ，(不合题意舍去)．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．20．解：(1)当100≤x ≤300时，设y 与x 的函数关系式为：y ＝kx +b (k ≠0，k 、b 为常数)，根据题意得出：⎩⎨⎧=+=+80300100100b k b k ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=−=110101b k ， ∴y 与x 的函数关系式为：110101+−=x y ， (2)分两种情况：①当100≤x ≤300时，4000)200(10140101)70110101(22+−−=+−=−+−=x x x x x w ∵0101<−=a ∴当x ＝200时，w 有最大值是：w 最大值=﹣(200﹣200)2+4000＝4000元； ②当300＜x ≤450时，w ＝(80﹣70)x ＝10x ，当x ＝450时，w 有最大值是：：w 最大值=10×450＝4500元，∵4500>4000∴当x 为450件时，w 最大，最大值是4500元．20．(1)证明：方法一：连接OD ，如图所示，方法二：连接OD ，OE 如图所示，∵AB 为⊙O 的直径， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠ADB ＝90°，∴∠BDC ＝90°， ∴∠BDC ＝90°，∵点E 为BC 的中点， ∵点E 为BC 的中点，∴DE ＝BE ＝BC ， ∴DE ＝BE ＝BC ，∴∠EDB ＝∠EBD ， ∵OB ＝OD ． ∵OB ＝OD ，OE =OE∴∠ODB ＝∠OBD ． ∴ △OBE ≌△ODE (SSS)∵∠ABC ＝90°， ∴∠ODE ＝∠OBC=90°．∴∠EBD +∠OBD ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径，∴∠ODB +∠EDB ＝90°， ∴DE 与⊙O 相切；∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 与⊙O 相切；(2)解：由(1)知，∠BDC ＝90°，∵E 是BC 的中点， ∴221==BC DE ． ∴BC ＝4， ∵tan ∠BAC ＝21==AD BDAB BC∴AB ＝8．AD ＝2BD ，又∵在Rt △ABD 中，AD 2+BD 2＝AB 2，即(2BD )2+BD 2＝82， ∴558=BD (负值已舍去)，∴5516=AD .22．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴△CEF ∽△ADF ，19CEFADF S S \=(2)∵DE 平分∠CDB∴∠ODF ＝∠CDF∵AC 和BD 是正方形ABCD 的对角线∴∠ADO ＝∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA =OD∴∠ADF ＝∠ADO+∠ODF=67.5°，∠AFD ＝∠FCD+∠CDF=67.5° ∴∠ADF ＝∠AFD∴AD ＝AF在直角三角形AOD 中，根据勾股定理得： ∴ (3)证明：连接OE ，∵点O 是正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，∴点O 是BD 的中点，又∵点E 是BC 的中点，∴OE 是△BCD 的中位线， 12CE BE =222AD OA OD OA =+=2AF AD OA==∴OE ∥CD ，CD OE 21=， ∴△OFE ∽△CFD ， ∴21==CD OEDF EF，∴31=ED EF，又∵FG ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴FG ∥CD ，∴△EGF ∽△ECD ，∴31==ED EFCD FG，∵AB ∥CD 且AB =CD∴FG ∥AB∴△CGF ∽△CBA ，∴31===ED EF AB FGCD FG，∴31==AB FG CB CG ，∴21=BG CG ，∴BG CG 21=．23.解：(1)∵直线y ＝﹣3x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ， ∴A (﹣1，0)，C (0，﹣3)，∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A (﹣1，0)，C (0，﹣3)， ∴⎩⎨⎧−==+−301c c b ，解得⎩⎨⎧−=−=32c b ，∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3．(2)设抛物线的对称轴交BC 于点F ，交x 轴于点G ．设直线BC 的解析式为y ＝kx ﹣3，则3k ﹣3＝0，解得k ＝1，∴y ＝x ﹣3；∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝(x ﹣1)2﹣4，∴抛物线的顶点H (1，﹣4)，当x ＝1时，y ＝1﹣3＝﹣2，∴F(1，﹣2)，∴FH＝﹣2﹣(﹣4)＝2，∴S△BCH＝FH•OG+FH•BG＝FH•OB＝×2×3＝3．(3)设E(x，x2﹣2x﹣3)(0＜x＜3)，则M(x，x﹣3)，∴ME＝x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)＝﹣x2+3x＝﹣(x﹣)2+，∴当x＝时，ME最大＝，此时M(，)．(4)存在．如图，由(2)得，当ME最大时，则D(，0)，M(，)，∴DO＝DB＝DM＝；∵∠BDM＝90°，∴OM＝BM＝＝．点P1、P2、P3、P4在x轴上，当点P1与原点O重合时，则P1M＝BM＝，P1(0，0)；当BP2＝BM＝时，则OP2＝3﹣＝，∴P2(，0)；当点P3与点D重合时，则P3M＝P3B＝，P3(，0)；当BP4＝BM＝时，则OP4＝3+＝，∴P4(，0)．综上所述，P1(0，0)，P2(，0)，P3(，0)，P4(，0)．。

2024北京二中初三一模数学(教师版)

2024北京二中初三一模数学考查目标1．知识：人教版初中数学教材第1-29章全部内容2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力．考生须知1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷6页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题．2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共16分）一、选择题（以下每题只有一个．．．．正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 2023年上半年我国新能源汽车取得显著成绩，新能源汽车使用环境持续优化，截至6月底，全国累计建成各类充电桩超过660万台．将数据“660万”用科学记数法表示为（） A. 66.610⨯B. 60.6610⨯C. 56610⨯D. 70.6610⨯2. 下列图形中，不属于中心对称图形的是（） A. 圆B. 等边三角形C. 平行四边形D. 线段3. 如图，利用工具测量角，有如下4个结论： ①=90AOC ︒∠； ②AOB BOC ∠=∠；③AOB ∠与BOC ∠互为余角； ④AOB ∠与AOD ∠互为补角．上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ②③B. ①②④C. ①③D. ①③④4. 关于x 的一元二次方程22210x mx m ++−=的根的情况是（） A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 实数根的个数由m 的值确定5. 正八边形每个内角的度数为（） A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 90︒6. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（） A. 23B.12C.13D.167. 数轴上点A ，M ，B 分别表示数,,a a b b +，那么下列运算结果一定是正数的有（）A. a b +B. a b −C. abD. ||a b −8. 如图，作线段AC a =，在线段AC 的延长线上作点B ，使得()CB b a b =<，取线段AB 的中点O ，以O 为圆心，线段OA 的长为半径作O ，分别过点C O 、作直径AB 的垂线，交O 于点D F 、，连接OD AF CF 、、，过点C 作CE OD ⊥于点E ．设CF c =，给出下面4个结论：①2a b c +<c <()2a b <+；④2ab ac bc <+；上述结论中，正确结论的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（每小题2分，共16分）9. 当x =__________时，分式12x x +−的值为零． 10. 分解因式：4x 3﹣16x 2+16x=________________________． 11. 方程1242xx x=++的解是______． 12. 点()11,A x y ，()22,B x y 是反比例函数2y x=的图象上的两点，如果120x x <<，那么1y __________2y （填“>”，“=”，“<”）13. 为了了解我市初中学生的视力情况，随机抽取了该区200名初中学生进行调查整理样本数据，得到下表：14. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O ，物体AB 在幕布上形成倒立的实像CD （点,A B 的对应点分别是,C D ）．若物体AB 的高为12cm ，实像CD 的高度为8cm ，则小孔O 的高度OE 为______cm ．15. 如图，AB 是O 的弦，且6AB =，点C 是弧AB 中点，点D 是优弧AB 上的一点，30ADC ∠=︒，则圆心O 到弦AB 的距离等于______．16. 某班教室桌椅摆放成三个组，每天放学后安排三位同学做清洁，清洁内容包括以下3项：①调整桌椅；②扫地；③拖地，其中项目①②顺序可以交换，但项目③必须放在最后完成．某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成：A 同学只负责项目①，B 同学只负责项目②，C 同学只负责项目③，每组每项完成时间详见表：___分钟．三、解答题（共68分，其中第17-19、22-23、25题每题5分，第20-21、24题、26题每题6分，第27-28题7分）17.计算：1012cos30(2024)2π−⎛⎫−+︒−+− ⎪⎝⎭． 18. 解不等式组()22315133x x x x ⎧+>−⎪⎨+≥+⎪⎩，并写出满足条件的非正整数解．19. 先化简，再求值：21242x x x xx x x −+−⎛⎫−÷⎪−⎝⎭，其中2x =． 20. 如图，在等腰ABC 中，,AB BC BO =平分ABC ∠，过点A 作AD BC ∥交BO 的延长线于D ，连接CD ，过点D 作DE BD ⊥交BC 的延长线于E ．（1）判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；（2）若4,120AB ABE =∠=︒，求DE 的长．21. 在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是150cm 90cm ⨯的原材料板材进行裁剪得到A 型长方形纸板和B 型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张150cm 30cm ⨯的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A 型长方形纸板或5张B 型正方形纸板，如图1所示．（单位：cm ）（1）每张原材料板材可以裁得A 型纸板______张或裁得B 型纸板______张；（2）现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A 型与B 型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A ，B 型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点(,0)A a 作x 轴的垂线，分别交直线21y x =−与反比例函数ky x=图像于M ，N 两点，点M ，N 的纵坐标分别为m ，n ．（1）若点M 与点N 重合，且m a =，求k 的值；（2）当2a >时，总有m n >，直接写出k 的取值范围．23. 某校舞蹈队共16名学生，将其身高（单位：cm ）数据统计如下：A ．16名学生身高：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，173，176；B ．16名学生身高的平均数、中位数、众数：（1）m = ，n = ；（2列两组学生中，舞台呈现效果更好的是；（填“甲组”后“乙组”）（3）该舞蹈队计划选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为169，169，173，他们身高的方差为329．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生身高的方差小于329，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生身高分别为和． 24. 如图，AB 是O 的直径，C 为圆上一点，D 是劣弧BC 的中点，DE AB ⊥于E ，过点D 作BC 的平行线DM ，连接AC 并延长与DM 相交于点G ，连接AD 与BC 交于点H ．（1）求证：GD 是O 的切线；（2）若6,8CD AD ==，求AH 的值．25. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵全红婵·位列第三，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C （向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy ．如果她从点()3,10A 起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）近似满足函数关系式()()20y a x h k a =−+<．图1图2（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：___________；（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系，254068y x x =−+−记她训练的入水点的水平距离为1d ；比赛当天入水点的水平距离为2d ，则1d ____2d （填,,>=<）；（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B 开始计时，若点B 到水平面的距离为c ，则她到水面的距离y 与时间t 之间近似满足25y t c =−+，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的207C 动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线23y ax bx =++经过点()2,3a −．（1）求该抛物线的对称轴（用含有a 的代数式表示）；（2）点()()()2,,2,,,M t m N t n P t p −+−为该抛物线上的三个点，若存在实数t ，使得m n p >>，求a 的取值范围．27. 如图，在正方形ABCD 中，将边AD 所在直线绕点D 逆时针旋转α度得到直线DM ，作点A 关于直线DM 的对称点P ，连接CP DP 、．（1）依题意补全图形；（2）求DPC ∠的度数；（3）延长DP CP 、分别交直线AB AD 、于点E F 、，试探究：线段DE BE 、和AF 之间的数量关系，并证明．28. 对于平面内的点K 和点L ，给出如下定义：若点Q 是点L 绕点K 旋转所得到的点，则称点Q 是点L 关于点K 的旋转点；若旋转角小于90︒，则称点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．如图1，点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．（1）已知点()4,0A ，在点()(((12340,4,2,,2,,Q Q Q Q −−中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是______．（2）已知点()5,0B ，点C 在直线2y x b =+上，若点C 是点B 关于点O 的锐角旋转点，求实数b 的取值范围；（3）点D 是x 轴上的动点，()(),0,3,0D t E t −，点(),F m n 是以D 为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足0n ≥．若直线26y x =+上存在点F 关于点E 的锐角旋转点，请直接写出t 的取值范围．参考答案第Ⅰ卷（选择题共16分）一、选择题（以下每题只有一个．．．．正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 【答案】A【分析】本题考查科学记数法，关键是熟记科学记数法的一般形式为10n a ⨯，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数．先把660万化为6600000，再据此求解即可．【详解】解：660万66600000 6.610==⨯，故选：A ． 2. 【答案】B【分析】根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：A ．是中心对称图形，故本选项错误； B ．不是中心对称图形，故本选项正确； C ．是中心对称图形，故本选项错误； D ．是中心对称图形，故本选项错误．故选B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 【答案】D【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．根据余角和补角的定义，进行计算逐一判断即可解答．【详解】解：易知=90AOC ︒∠，故①正确，50,9040AOB BOC AOB ∠=︒∠=︒−∠=︒ AOB BOC ∴∠≠∠，故②错误， 90AOB BOC ∠+∠=︒∴AOB ∠与BOC ∠互为余角，故③正确；50130AOB AOD ∠=︒∠=︒， 180AOB AOD ∴∠+∠=︒，∴AOB ∠与AOD ∠互为补角．故④正确；故选：D 4. 【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据000∆>∆=∆<，，，分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答．【详解】解：∵22210x mx m ++−=∴()()222224241144440b ac m m m m ∆=−=−⨯⨯−=−+=>故选：A 5. 【答案】B【分析】本题考查了正多边形的内角与外角的关系．根据正多边形的每一个内角相等，则对应的外角也相等，根据多边形的外角和为360︒，进而求得一个外角的度数，即可求得正八边形每个内角度数．【详解】解：∵正多边形的每一个内角相等，则对应的外角也相等，一个外角等于：360845÷=︒， ∴内角为18045135︒−︒=︒，故选：B ． 6. 【答案】A【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有12个等可能的结果，抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的结果有8个，再由概率公式求解即可．【详解】解：把“龘”“龙”“行”分别记为A 、B 、C ，画树状图如图：共有12个等可能的结果，欢欢抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的结果有8个， ∴抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的概率为82123=．故答案为：A ． 7. 【答案】A【分析】数轴上点A ，M ，B 分别表示数a ，a b +，b ，AM a b a b =+−=，可得原点在A ，M 之间，由它们的位置可得a<0，0a b +>，0b >且||||a b <，再根据整式的加减乘法运算的计算法则即可求解．【详解】解：数轴上点A ，M ，B 分别表示数a ，a b +，b ，AM a b a b =+−=，原点在A ，M 之间，由它们的位置可得a<0，0a b +>，0b >且||||a b <，则0a b −<，0ab <，||0a b −<，故运算结果一定是正数的是a b +．故选：A ．【点睛】本题考查了列代数式，数轴，正数和负数，绝对值，关键是得到a<0，0a b +>，0b >且||||a b <．8. 【答案】B【分析】本题考查了圆的基本性质以及勾股定理内容以及完全平方公式的应用，先找出半径，结合斜边大于直角边，得知①2a bc +<是正确的，结合勾股定理以及完全平方公式的变形运算，得证③是错误的；同理得证②是正确的．对④运用反证法，得出2a bc +>，与①2a b c +<的结论相矛盾，即可作答．【详解】解：∵()A b C a CB b a ==>， ∴()1122OF AB a b ==+ ∵OF AB ⊥∴CF （斜边）大于OF 即2a b c +>故①是正确的； ∴()111222OC AO AC a b a b a =−=+−=− 在Rt COF △中，222OC OF FC +=即22211222a b b a c +⎛⎫⎛⎫−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2222a b c +==∵2a b c +<()2a b =>+ 故③是错误的； ∵b a > ∴()20b a −> ∴222b a ab +>>=>oc=x 半径=r a=r-x,b=r+xac+bc=(a+b)c=2r.c>2r 22ab=2(r-x)(r+x)=2(r 2-x 2)<2r 2所以2ab<ac+bc故④是正确的综上：正确结论的个数是3个故选：B第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（每小题2分，共16分）9. 【答案】1−【分析】根据分式的值为零时，分母不为0，且分子为0，求解即可．【详解】分式12x x +−0=， 1=0x +且20x −≠ 解得x =1−；故答案为1−．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为零时，分母不为0，且分子为0，掌握分式的值为零的条件是解题的关键．10. 【答案】4x(x ﹣2)2．【详解】3241616x x x −+=24(44)x x x −+=24(2)x x −.11. 【答案】2x =##2x =【分析】本题考查了分式方程的解法．先把两边同时乘以()22x +，去分母后整理为2x =，经检验即可得方程的解．【详解】解：1242x x x=++，两边同时乘以()22x +，得2x =，即2x =，经检验，2x =是原方程的解，故答案为：2x =．12. 【答案】12y y >．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x 1＜x 2＜0即可得出结论．【详解】∵反比例函数2y x=中，20k =>，∴函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵120x x <<∴12y y >．故答案为：12y y >．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．13. 【答案】9600【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数所占比例即可．【详解】解：估计该市16000名初中学生视力不低于4.8的人数为：16000×334047200++＝9600(名)，故答案为：9600．【点睛】本题主要考查了用样本估计总体；一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．解题的关键是熟练掌握用样本估计总体．14. 【答案】4.8【分析】本题考查了相似三角形的应用：利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系．利用相似三角形的性质得出对应线段成比例，再对两组对应线段进行变形即可求解；【详解】解：OE AB ∥COE CAB ∴∽CE OE CB AB∴=① OE CD ∥BOE BDC ∴∽BE OE BC CD∴=②， +①②得CE BE OE OE BC BC AB CD +=+， 1OE OE AB CD ∴+= 111OE AB CD ∴=+ 即128111OE =+ 4.8cm OE =∴，故答案为:4.815. 【分析】连接OA 、OC ，根据垂径定理，C 是弧AB 的中点可知，OC AB ⊥，30D ∠=︒，可知60AOC ∠=︒，再用三角函数关系就可以求出OE 的长；【详解】如图，连接OA 、OC ，OC 交AB 于点E ，∵点C 是弧AB 中点，6AB =，∴OC AB ⊥，且3AE BE ==，∵30ADC ∠=︒，∴260AOC ADC ∠=∠=︒，∴30OAE ∠=︒，∴tan 3033OE AE =⋅︒=⨯=故圆心O 到弦AB【点睛】本题考查垂径定理、圆周角圆心角的关系和三角函数关系求边长；熟练掌握圆周角与圆心角的关系和垂径定理是解决本题的关键．16. 【答案】17【分析】先找出项目①和项目②完成最少时间，在加上项目③最少的时间即可得．【详解】解：项目①和项目②完成最少时间需要：5+6+4=15（分钟），在这15分钟内，项目③最多完成两组的拖地，剩下最少时间第三组，则15+2=17（分钟），故答案为：17．【点睛】本题考查了有理数的加法的应用，解题的关键是掌握有理数加法的应用．三、解答题（共68分，其中第17-19、22-23、25题每题5分，第20-21、24题、26题每题6分，第27-28题7分）17. 【答案】1−【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别代简()1012,120242π−⎛⎫−==⎪⎭− ⎝=−，再代入特殊角三角函数值后，再进行计算即可．【详解】解：1012cos30(2024)2π−⎛⎫−+︒−+− ⎪⎝⎭2212=−+⨯−21=−+1=−18. 【答案】不等式组的解集为12x −<≤，不等式组的非正整数解为0x =．【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分确定不等式组的解集，最后写出满足条件的非正整数解即可．【详解】解：()22315133x x x x ⎧+>−⎪⎨+≥+⎪⎩①② 解不等式①得，1x >−；解不等式②得，2x ≤，所以，不等式组的解集为12x −<≤，所以，不等式组的非正整数解为0x =．19. 【答案】2x x −，1 简，得2x x −，再把2x =代入，即可作答．【详解】解：21242x x x xx x x −+−⎛⎫−÷ ⎪−⎝⎭ ()()()()12242x x x x x x x−−−+−=÷− ()232242x x x x x x x−+−−−=÷− ()2442x x x x x x−−=÷− ()()424x x x x x x −=⨯−− 2x x =−把2x =代入2x x −得12x x ===− 20. 【答案】（1）四边形ABCD 是菱形，理由见详解（2）【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．（1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得AO CO =，再利用平行线的性质可得DAO ACB ∠=∠，ADO CBO ∠=∠，从而利用AAS 证明ADO CBO ≌，进而可得DO BO =，再利用对角线互相平分线的四边形是平行四边形可得四边形ABCD 是平行四边形，然后利用菱形的定义可得四边形ABCD 是菱形，即可解答；（2）先利用角平分线的定义可得60DBC ∠=︒，再利用菱形的性质可得3BC CD AB ===，从而可得BCD 是等边三角形，进而可得4BD BC ==，然后利用垂直定义可得90BDE ∠=︒，从而可得30E ∠=︒，进而可得28BE BD ==，再利用勾股定理进行计算，即可解答．【小问1详解】解：四边形ABCD 是菱形，理由：AB BC =，BO 平分ABC ∠，AO CO ∴=，AD BE ，DAO ACB ∴∠=∠，ADO CBO ∠=∠，()ADO CBO AAS ∴≌，DO BO ∴=，∴四边形ABCD 是平行四边形，AB BC =，∴四边形ABCD 是菱形；【小问2详解】 BO 平分ABC ∠，120ABE ∠=︒，1602DBC ABE ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是菱形，4BC CD AB ∴===，BCD ∴是等边三角形，4BD BC ∴==，BD DE ⊥∵，90BDE ∴∠=︒，9030E DBC ∴∠=︒−∠=︒，28BE BD ∴==，DE ∴===DE ∴的长为21. 【答案】（1）9；15（2）用200张原材料板材裁A 型纸板，60张原材料板材裁B 型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒【分析】（1）根据题意进行解答即可；（2）设用x 张原材料板材裁A 型纸板，y 张原材料板材裁B 型纸板，根据原材料板材共260张，每个长方体纸盒有4个侧面，2个底面列出方程组，解方程组即可．【小问1详解】解：每张原材料板材可以裁得A 型纸板903930⨯=（张）或裁得B 型纸板9051530⨯=（张）．故答案为：9；15．【小问2详解】解：设用x 张原材料板材裁A 型纸板，y 张原材料板材裁B 型纸板，根据题意得：26091542x y x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：20060x y =⎧⎨=⎩，经检验：20060x y =⎧⎨=⎩是方程组的解且符合题意 ∴能做纸盒数为：9920045044x ⨯==（个）答：用200张原材料板材裁A 型纸板，60张原材料板材裁B 型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确解方程组．22. 【答案】（1）1k =；（2）6k ≤且0k ≠．【分析】（1）将x a =代入直线与反比例函数结合m a =，即可得到答案；（2）求出2a =，两个函数相等时，6k =，根据函数的图象即可得到答案；【小问1详解】解：∵过点(,0)A a 作x 轴的垂线，分别交直线21y x =−与反比例函数k y x=图像于M ，N 两点，点M ，N 的纵坐标分别为m ，n ，∴点M ，N 的横坐标为a ，将x a =代入直线与反比例函数得， 21m a =−，k n a=， ∵点M 与点N 重合，m a =，∴1a =，1m n ==，∴1k =；【小问2详解】解：将2a =代入直线与反比例函数得，3m =，2k n =，当m n =时，32k =，6k = 此时，2a >时，m n >，∴6k ≤且0k ≠．【点睛】本题考查一次函数反比例函数图像共存问题及利用函数图像解不等式，解题的关键是根据题意找到横坐标代入解析式．23. 【答案】（1）167，166（2）甲组（3）171，173【分析】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．（1）根据众数和中位数的定义进行计算；（2）根据方差的计算公式计算方差，然后根据方差的意义进行比较；（3）根据方差进行比较．【小问1详解】解：数据按由小到大的顺序排序:162,163,163,165,166,166,166,167,167,168,169,169,171,173,173,176，则舞蹈队16名学生身高的中位数为()167167167cm 2m +==，众数为()166cm ,n =故答案为: 167，166；【小问2详解】甲组学生身高的平均值是：()163166166167167165.8cm 5++++=，甲组学生身高的方差是：()()221[165.8163165.81665⨯−+− ()()()165.8166?165.8167?165.8167?] 2.16+−+−+−= 乙组学生身高的平均值是：()162163165166176166.4cm 5++++= 乙组学生身高的方差是：()()()()()221166.4162166.4163166.4165?166.4166?166.4176?25.045⎡⎤⨯−+−+−+−+−=⎣⎦， 25.04 2.16>，∴甲组舞台呈现效果更好；故答案为：甲组；【小问3详解】∵169,169,173的平均数为()()11169169173170cm 33++=，且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329， ∵数据的差别较小，可供选择的有171cm,173cm ，平均为： ()()1169169171173173171cm 5++++= 方差为：()()()()()22211632169171169171170171?171171?173171559⎡⎤−+−+−+−+−=<⎣⎦， ∴选出的另外两名学生的身高分别为171cm 和173cm .故答案为: 171，173．24. 【答案】（1）见解析（2）3.5【分析】本题主要考查切线的判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质等知识：（1）连接OD ，得90ONC ∠=︒，再由DM BC ∥可得90ODM ONC ∠=∠=︒，故可证明GD 是O的切线；（2）运用勾股定理求出10AB =，再CDH ABH ∽△△，可求出DH ,从而求出AH【小问1详解】证明：连接OD ，如图所示：∵D 是劣弧BC 的中点，∴OD BC ⊥，OD 平分BC ，∴90,ONC ∠=︒∵DM BC ∥，∴90ODM ONC ∠=∠=︒∴DM OD ⊥，∵OD 是O 的半径，∴GD 是O 的切线；【小问2详解】∵D 是劣弧BC 的中点，∴6BD CD ==， ∴12BN BC =，∵AB 是O 的直径，∴90,ADB ∠=︒∴10AB ===，∵DCH BAH ∠=∠，CHD AHB ∠=∠，∴CDH ABH ∽△△， ∴63105CHDHCD AH BH AB ====，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ADB ︒∠=∠=， ∵35DHBH =， ∴45BDBH =， ∴55156442BH BD ==⨯=∴3952DH BH ==， ∴98 3.52AH AD DH =−=−= 25. 【答案】（1）11.25，25( 3.5)11.25y x =−−+（2）<（3）不能，见详解【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．（1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解；（2）分别求出两个解析式当0y =时，x 的值，进行比较即可；（3）先求出c 的值，再求出 1.6t =时的y 值，进行判断即可．【小问1详解】解：由表格可知，图象过点(3,10),(4,10)(4.5,6.25)， ∴34 3.52h +==， ∴2( 3.5)y a x k =−+，∴22(3 3.5)10(4.5 3.5) 6.25a k a k ⎧−+=⎨−+=⎩，解得∶511.25a k =−⎧⎨=⎩， 25( 3.5)11.25; y x ∴=−−+故答案为∶11.25，25( 3.5)11.25y x =−−+；【小问2详解】 25( 3.5)11.25y x =−−+，当0y =时∶205( 3.5)11.25x =−−+，解得∶5x =或2x =(不合题意，舍去)； 15d ∴=（米），254068,y x x =−+−当0y =时∶2540680x x −+−=，解得∶45x =+或45x =−+(不合题意，舍去)；245,d ∴=>12,d d ∴<故答案为∶<；【小问3详解】22540685(4)y x x x =−+−=−−12+(4,12),B ∴12,c ∴=2512,y t ∴=−+当6 1.t =时25 1.6120.8y =−⨯+=− 0.80,−<即她在水面上无法完成此动作，她当天的比赛不能成功完成此动作．26. 【答案】（1）对称轴x a =−（2）()202t a t −<<>【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及增减性，运用数形结合思想，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据二次函数的对称轴公式代入数值进行化简，即可作答．（2）要分类讨论，分为0a >以及a<0，分别作出相对应的图象，灵活运用数形结合思想，分析作答即可．【小问1详解】解：把()2,3a −代入23y ax bx =++得()23423a a ab =⨯−+ ∴22b a = 则对称轴222a x a a=−=−；【小问2详解】解：当0a >时，开口方向向上，对称轴2202a x a a=−=−<，在负半轴上，且经过点()2,3a −，越靠近对称轴的x 所对应的函数值越小，则大致图象如下：当0t <时∵()()()2,,2,,,M t m N t n P t p −+−∴22t t −<+∴此时p m n >>与题干m n p >>相矛盾，故舍去；当0t >时∵()()()2,,2,,,M t m N t n P t p −+−∴22t t −<+∴此时m n <与题干m n p >>相矛盾，故舍去；当a<0时，开口方向向下，对称轴2202a x a a=−=−<，在正半轴上，且经过点()2,3a −，越靠近对称轴的x 所对应的函数值越大，则大致图象如下：当0t >时，点M N 、分别在对称轴同侧时，如上图∵()()()2,,2,,,M t m N t n P t p −+−∴22t t −<+∴m n p >>；此时02a t <−<−即20t a −<<，2t >当0t >时，点M N 、分别在对称轴两侧时，如上图∵∵()()()2,,2,,,M t m N t n P t p −+−∴22t t t −<<+∴p m n >>与题干m n p >>相矛盾，故舍去；当0t <时，且点M N 、分别在对称轴两侧时，如图∵()()()2,,2,,,M t m N t n P t p −+−∴22t t −<+∴n m >与题干m n p >>相矛盾，故舍去；当0t <时，且点M N 、在对称轴同侧时，如图∵()()()2,,2,,,M t m N t n P t p −+−∴22t t −<+∴n m >与题干m n p >>相矛盾，故舍去；综上：20t a −<<，2t >27. 【答案】（1）见解析（2）45DPC α∠=︒+（3）点E 在线段AB 上时，DE BE AF =+；点E 在线段AB 延长线上时，AF DE BE =+；点E 在线段BA 延长线上时，BE DE AF =+，见解析【分析】本题考查四边形综合题，熟知轴对称作图及性质，根据题意分类讨论是解题的关键．（1）作点A 关于直线DM 的对称点P ，连接CP DP 、即可；（2）连接AP ，根据轴对称性质可得AD PD =，ADM PDM α∠=∠=，可求出902CDP α∠=︒−，根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和可求出()1180902452DPC αα∠=︒−︒+=︒+；（3）分三种情况，当DP 交线段AB 、线段AB 延长线上、线段BA 延长线上于点E 时，分别可证CDF DAK △≌△，进而可得EK =，即可求证．【小问1详解】解：如图，作点A 关于直线DM 的对称点P ，连接CP DP 、；【小问2详解】连接AP ，点,A P 关于直线DM 对称，DM ∴垂直平分AP ，∴AD PD =，∴PDM ADM α∠=∠=，902PDC α∴∠=︒−，四边形ABCD 为正方形，AD DC ∴=，∴DP DC =，()11802DPC PDC ∴∠=︒−∠45DPC α∴∠=︒+；【小问3详解】①当DP 交线段AB 于点E 时，延长AB 至K ，使BK AF =，连接DK ，,AD AB BK AF ==，DF AK ∴=，又,90CD AD CDA DAK =∠=∠=︒，在CDF 和DAK 中DC AD CDF DAK DF AK =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CDF DAK ∴△≌△，F K ∴∠=∠，∴由（2）可知，45DCP DPC α∠=∠=︒+，9045K F DCP α∴∠=∠=︒−∠=︒−，DC AB ∥，45CDK K α∴∠=∠=︒−，9045EDK ADE CDK α∴∠=︒−∠−∠=︒−，EDK K ∴∠=∠，DE EK ∴=，DE BE BK BE AF ∴=+=+，即DE BE AF =+；②当DP 交线段AB 延长线于点E 时，在AB 延长线上截取BK AF =，连接DK ，由①同理可证CDF DAK △≌△，45K F α∴∠=∠=︒−，9045EDK ADE CDK α∴∠=︒−∠−∠=︒−，K KDE ∴∠=∠，ED EK ∴=，ED BK BE AF BE ∴=−=−，即AF DE BE =+；③当DP 交线段BA 延长线于点E 时，在BA 上截取BK AF =，连接DK ，由题意可知，DP DC =，()11802DCP PDC ∴∠=︒−∠， ()2360908102PDC ADM MDP ADC αα∠=∠+∠+∠=︒−+︒=︒−，()118081023152DCP αα∴∠=︒−︒+=−︒，又=AD AB ，DF AK ∴=，在CDF 和DAK 中DC AD CDF DAK DF AK =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CDF DAK ∴△≌△，315ADK DCP α∴∠=∠=−︒()90315405AKD DFC αα∴∠=∠=︒−−︒=︒−，又()2360315405EDK EDA ADK ααα∠=∠+∠=︒−+−︒=︒−，EDK AKD ∴∠=∠，ED EK ∴=，DE BE BK BE AF ∴=−=−，即BE DE AF =+．28. 【答案】（1）2Q ，4Q ．（2）5b −≤<（3）322t −≤<+ 【分析】（1）如图中，满足条件的点在半圆上（不包括点A 以及y 轴上的点），点2Q ，4Q 满足条件．（2）如图中，以O 为圆心，3为半径作半圆，交y 轴于(0,3)P ，()03P '−，当直线2y x b =+与半圆有交点（不包括P ，)B 时，满足条件．（3）根据题意，点F 关于点E 的锐角旋转点在半圆E 上，设点P 在半圆S 上，点Q 在半圆T 上（将半圆D 绕点E 旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，求出图3（2），图3（3）中，t 的值，可得结论．【小问1详解】解：如图，(4,0)A ，1(0,4)Q ，14OA OQ ∴==，190AOQ ∠=︒，∴点1Q 不是点A 关于点O 的锐角旋转点；2(2,2Q ，作2Q F x ⊥轴于点F ，24OQ OA ∴====，2tan 2Q OF ∠== 260Q OF ∴∠=︒，∴点2Q 是点A 关于点O的锐角旋转点；3(2,Q −，作3Q G x ⊥轴于点G ，则33tan 2Q G Q OG OG ∠=== 360Q OG ∴∠=︒，3324cos cos 60OG OQ OA Q OG ∴====∠︒， 318060120AOQ ∠=︒−︒=︒，3Q ∴不是点A 关于点O 的锐角旋转点；(422Q −，，作4Q Hx ⊥轴于点H ，则44tan 1Q H Q OH OH ∠===， 445Q OH ∴∠=︒，444cos OH OQ OA Q OH ====∠， 4Q ∴是点A 关于点O 的锐角旋转点；综上所述，在点1Q ，2Q ，3Q ，4Q 中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是2Q ，4Q ，故答案为：2Q ，4Q ．【小问2详解】解：在y 轴上取点()0,5P ，当直线2y x b =+经过点P 时，可得5b =，当直线2y x b =+经过点B 时，则250b ⨯+=，解得：10b =−，∴当105b −<<时，OB 绕点O 逆时针旋转锐角时，点C 一定可以落在某条直线2y x b =+上，过点O 作OG ⊥直线2y x b =+，垂足G 在第四象限时，如图，则OT b =−，12OS b =−，ST ∴===，当5OG =时，b 取得最小值， 51522bb ⎛⎫⎛⎫⨯−=−⨯− ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， b ∴=−5b ∴−≤<．【小问3详解】解：根据题意，点F 关于点E 的锐角旋转点在半圆E 上，设点P 在半圆S 上，点Q 在半圆T 上（将半圆D 绕点E 旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，如图3（2）中，阴影部分与直线26y x =+相切于点G ，tan 2EMG ∠=，3SG =，过点G 作GI x ⊥轴于点I ，过点S 作SJ GI ⊥于点J ，SGJ EMG ∴∠=∠，tan tan 2SGJ EMG ∴∠=∠=，5GJ ∴=，5SJ =，3GI GJ JI ∴=+=+132210MI GI ∴==+，322OE IE MI OM ∴=+−=−，即3322E x t =−=−，解得32t =+，如图3（3）中，阴影部分与HK 相切于点G ，tan tan 2OMK EMH ∠=∠=，6EH =，则3MH =，EM =33E x t ∴=−=−−，解得t =−观察图象可知，22t −≤<+．【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形，解直角三角形，勾股定理，点P 是点M 关于点N 的锐角旋转点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于压轴题．。

2023年广东省东莞市石龙第二中学中考数学一模试卷(含答案)

2023年广东省东莞市石龙二中中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．2．（3分）计算a2•a3的结果是（）A．a2B．a3C．a5D．a63．（3分）某公司对25名营销人员4月份销售某种商品的情况统计如下：销售量（件）605040353020人数144673则这25名营销人员销售量的众数是（）A．50B．40C．35D．304．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．15．（3分）在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球，为估计白球个数，丽丽向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球100次，其中20次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（）A．18个B．28个C．32个D．42个6．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．100°C．140°D．160°7．（3分）点P在一次函数y＝3x+4的图象上，则点P不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是（）A．8B．6C．5D．49．（3分）如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．B．C．D．10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（）A．abc＜0B．2a+b＜0C．a﹣b+c＜0D．4ac﹣b2＜0二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是．12．（3分）若圆锥的底面半径为2cm，母线长是3cm，则它的侧面展开图的面积为 cm2．13．（3分）不等式组的解集是．14．（3分）若a+2b＝8，3a+4b＝16，则a+b＝．15．（3分）如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将一边AD折叠，使点A恰好落在边BC的点F处，折痕为DE．若AB＝4，BF＝2，则AE的长是．三、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分）16．计算：﹣（﹣4）﹣1+﹣2cos30°．17．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以A为旋转中心，把AD逆时针旋转90°到AE，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．四、解答题（本大题共3小题，每题9分）19．甘蔗富含大量铁、钙、锌等人体必需的微量元素，素有“补血果”的美称，是冬季热销的水果之一，为此，某水果商家12月份第一次用600元购进云南甘蔗若干千克，销售完后，他第二次又用600元购进该甘蔗，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了20%，所购进甘蔗的数量比第一次少了25千克．（1）求该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克多少元？（2）假设商家两次购进的云南甘蔗按同一价格销售，要使销售后获利不低于1000元，则每千克的售价至少为多少元？20．某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：分组频数A：60≤x＜70aB：70≤x＜8018C：80≤x＜9024D：90≤x≤100b（1）n的值为，a的值为，b的值为；（2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为 °；（3）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（x≥80）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，∠ADO＝∠BOC，AC 与OD相交于点E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠OAC＝，AD＝，求⊙O的半径．五、解答题（本大题2小题，每题12分）22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点．（1）直接写出不等式的解集：．（2）求反比例函数和一次函数的表达式；（3）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．23．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA＝S △ABC，直接写出点D的坐标．2023年广东省东莞市石龙二中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，故选：A．2．解：a2•a3＝a5．故选：C．3．解：因为销售量为30件出现的次数最多，所以这25名营销人员销售量的众数是30．故选：D．4．解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0，∴k＜﹣1，故选：A．5．解：由题意可得，袋中球的总数为：8÷＝8×＝40，则白球约为40﹣8＝32（个），故选：C．6．解：∵∠AOC＝160°，∴∠ADC＝∠AOC＝80°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝100°，故选：B．7．解：∵k＝3＞0，b＝4＞0，∴一次函数y＝3x+4的图象经过第一、二、三象限，又∵点P在一次函数y＝3x+4的图象上，∴点P不可能在第四象限．故选：D．8．解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E为AC的中点，∴DE＝AC＝5，故选：C．9．解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC＝•AB•BC＝•AC•BP，∴BP＝＝＝．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝．设DE＝x，则有：＝，解得x＝，故选：D．10．解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0．抛物线的对称轴x＝﹣＝1＞0，则b＜0．抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，所以abc＞0．故A选项错误；B、∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0．故B选项错误；C、∵对称轴为直线x＝1，图象经过（3，0），∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（﹣1，0），∴当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0．故C选项错误；D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0．故D选项正确；故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）11．解：由题意得：x﹣2023≥0，解得：x≥2023，故答案为：x≥2023．12．解：圆锥的侧面积＝•2π•2•3＝6π（cm2）．故答案为6π．13．解：，由①得：x＜﹣1，由②得：x≤3，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤3．故答案为：﹣1＜x≤3．14．解：联立得：，②﹣①得：2a+2b＝8，则a+b＝4．故答案为：4．15．解：设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝4﹣x，∵折叠后点A恰好落在边BC的点F处，∴EF＝AE＝x，在Rt△BEF中，由勾股定理得，BE2+BF2＝EF2，即（4﹣x）2+22＝x2，解得x＝，即AE的长为．故答案为：．三、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分）16．解：原式＝++1﹣2×＝．17．解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣2时，原式＝．18．（1）证明：∵以A为旋转中心，把AD逆时针旋转90°到AE，∴AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：如图，过点D作DH⊥BD交AB于H，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴∠ABD＝∠ACB＝45°，∵DH⊥BC，∴∠ABC＝∠BHD＝45°，∴BD＝DH，∴BH＝BD，∵∠BHD＝∠BAD+∠ADH，∠BAD＝22.5°，∴∠BAD＝∠ADH＝22.5°，∴AH＝HD，∴AB＝BD+BD＝1，∴BD＝﹣1．四、解答题（本大题共3小题，每题9分）19．解：（1）设该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克x元，根据题意可知：＝﹣25，x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，答：该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克4元；（2）设每千克的售价为y元，第一次销售了＝150千克，第二次销售了125千克，根据题意可知：150（y﹣4）+125（y﹣4.8）≥1000，解得：y≥8，答：每千克的售价至少为8元．20．解：（1）n＝18÷30%＝60，∴a＝60×10%＝6，∴b＝60﹣6﹣18﹣24＝12，故答案为：60，6，12；（2）补全频数分布直方图如下：扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为：360°×＝144°，故答案为：144；（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为＝．21．（1）证明：∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴∠BOC+∠AOD＝180°﹣90°＝90°，又∵∠ADO＝∠BOC，∴∠ADO+∠AOD＝90°，∴∠OAD＝180°﹣90°＝90°，即OA⊥AD，∵OA是半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴tan∠OAC＝＝tan∠OCA＝，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°＝∠OAD，即∠OCB+∠OCA＝90°＝∠OAC+∠DAE，∴∠DAE＝∠OCB，又∵∠ADO＝∠BOC，∴∠DEA＝∠B，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE＝，设半径为r，则OE＝r，OD＝r+，在Rt△AOD中，由勾股定理得，AD2+OA2＝OD2，即（）2+r2＝（r+）2，解得r＝2或r＝0（舍去），即半径为2．五、解答题（本大题2小题，每题12分）22．解：（1）由图象可知，不等式的解集为x≤﹣4或0＜x≤2；故答案为：x≤﹣4或0＜x≤2；（2）将A（2，﹣4），B（﹣4，m）两点代入中，得k＝2×（﹣4）＝﹣4m，解得k＝﹣8，m＝2，∴反比例函数的表达式为y＝﹣；将A（2，﹣4）和B（﹣4，2）代入y＝ax+b中得，解得，∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣2；（3）设AB与x轴交于点D，连接CD，由题意可知，点A与点C关于原点对称，∴C（﹣2，4）．在y＝﹣x﹣2中，当x＝﹣2时，y＝0，∴D（﹣2，0），∴CD垂直x轴于点D，∴S△ABC＝S△ADC+S△BCD＝×4×（2+2）+×4×（4﹣2）＝8+4＝12．23．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x﹣2；（2）存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：设P（t，﹣t2+t﹣2），则M（t，0），1＜t＜4，∴PM＝﹣t2+t﹣2，∵A（4，0），∴AM＝4﹣t，∴tan∠MAP＝，∵C（0，﹣2），∴OC＝2，OA＝4，∴tan∠OAC＝，①当∠PAM＝∠OAC时，＝，解得t＝2或t＝4（舍），∴P（2，1）；②当∠PAM＝∠OCA时，＝2，解得t＝4（舍）或t＝5（舍），∴此时P不存在；综上所述：P点坐标为（2，1）；（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AC的解析式为y＝x﹣2，过点B作直线AC的平行线y＝x+m，∴+m＝0，∴m＝﹣，∴y＝x﹣，联立方程组，解得（舍）或，∴D（3，1）．。

2023年广东省广州二中中考数学一模试卷及答案解析

2023年广东省广州二中中考数学一模试卷一、选择题（每题3分，本大题共有10小题，共10小题，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．温州博物馆B．西藏博物馆C．广东博物馆D．湖北博物馆2．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．2a2×3a＝6a3C．2a+3a2＝5a3D．4．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．16B．12C．10D．85．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+a＝0有两个相等实数根，则的值是（）A．4B．±2C．2D．6．（3分）对于反比例函数，下列说法错误的是（）A．图象经过点（1，﹣5）B．图象位于第二、第四象限C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．当0＜x＜1时，y＜﹣57．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（）A．44°B．45°C．54°D．67°8．（3分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（）A．B．C．D．9．（3分）若点A（﹣1.7，y1），B（2.1，y2），在二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（）A．21.9°＜α＜22.3°B．22.3°＜α＜22.7°C．22.7°＜α＜23.1°D．23.1°＜α＜23.5°二、填空题（每题3分，本大题共6小题，共6小题，满分18分．）11．（3分）据报道2023年广州市初中毕业生总数为156668人，将156668用科学记数法表示为．12．（3分）分解因式：ab2﹣4a＝．13．（3分）为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育老师随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：一分钟跳绳个数（个）181184185186学生人数（名）2512则这组数据的中位数是；众数是．14．（3分）某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为m．（参考数据：≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）15．（3分）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，E是边AB上一点，AE＝2，F是直线BC上一动点，将线EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接CG，DG，则CG+DG 的最小值是．三、解答题（本大题共9小题，满分0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．18．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线交BC，AD于点E，F．求证：△AOF≌△COE．19．已知．（1）化简A；（2）若点P（a，b）为直线y＝2x上一点，求A的值．20．绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．（1）求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；（2）绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？21．某单位食堂为全体职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为°；（2）该单位全体职工共960名，请依据本次调查结果估计全体职工中最喜欢B套餐的人数；（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，请用树状图或列表法求甲被选到的概率．22．如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，C为AB的中点，双于点E．（2）若PE：ED＝1：3，求点E的坐标．23．如图，在Rt△ABC中．（1）尺规作图：以边BC上一点O为圆心，线段OB的长为半径作⊙O，使得⊙O与边AC相切于点D；（保留作图痕迹，不写作法．）（2）在（1）的条件下，连接BD，记⊙O与边BC的另一交点为E，CE＝2，CD＝4．①求sin C的值；②求BD的长．24．定义：在平面直角坐标系中，直线y＝a（x﹣h）+k称为抛物线y＝a（x﹣h）2+k的伴随直线，如直线y＝﹣（x+1）﹣2为抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的伴随直线．（1）求抛物线y＝2x2﹣4x+5的伴随直线；（2）无论a取何值，抛物线G1：y＝ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2总会经过某定点，抛物线G2：y＝m（x﹣1）（x﹣m﹣3）的伴随直线经过该定点，求m的值；（3）顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的伴随直线交于点A，B（点A 在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，当∠BAC＝90°时，y轴上存在点P，使得∠APB取得最大值，求此时点P的坐标．25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．点O是边AB上的一个动点，以O为圆心作半圆，与边AC相切于点D，交线段OB于点E，过点E作EG⊥DE，交射线AC于点G，交射线BC于点F．（1）求证：∠ADE＝∠AEG；（2）设OA＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）BM为半圆O的切线，M为切点，当BM∥DE时，求OA的长．2023年广东省广州二中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，本大题共有10小题，共10小题，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．2．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看共有两层，底层三个正方形，上层左边是一个正方形．故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．【分析】根据积的乘方，单项式乘以单项式，合并同类项，负整数指数幂进行计算即可求解．【解答】解：A．（a2）3＝a6，故该选项不正确，不符合题意；B．2a2×3a＝6a3，故该选项正确，符合题意；C．2a+3a2≠5a3，故该选项不正确，不符合题意；D．，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，合并同类项，负整数指数幂，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．4．【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案．【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝，∴△ABC的面积为16，故选：A．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．5．【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+a＝0有两个相等实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4a＝0，解得：a＝4，∴，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．6．【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：反比例函数，A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图象经过点（1，﹣5），故选项A不符合题意；B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；D、∵当x＝1时，y＝﹣5，x＞0时，y＜0．∴当0＜x＜1时，当0＜x＜1时，y＜﹣5，故选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．7．【分析】根据圆周角定理可得∠AOB的度数，再进一步根据等腰三角形和三角形的内角和定理可求解．【解答】解：如图，连接OB，∵∠C＝46°，∴∠AOB＝2∠C＝92°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝＝44°．故选：A．【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．8．【分析】根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为（x+1）天，快马所需的时间为（x﹣3）天，利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵规定时间为x天，∴慢马所需的时间为（x+1）天，快马所需的时间为（x﹣3）天，又∵快马的速度是慢马的2倍，∴可列出方程×2＝．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．9．【分析】根据二次函数的解析式可得，a＝1＞0，对称轴为x＝2，二次函数图象上的点离对称轴越远，函数值越大，据此求解即可．【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+3，a＝1＞0，开口向上，对称轴为x＝2，则二次函数图象上的点离对称轴越远，函数值越大，A（﹣1.7，y1），B（2.1，y2），到对称轴的距离分别为3.7、0.1、∵，∴y2＜y3＜y1故选：C．【点评】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．10．【分析】如图，连接AC，CD，DE．证明∠CAB＝3α，利用三角形内角和定理求出α，可得结论．【解答】解：如图，连接AC，CD，DE．∵＝，∴ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝α，∵＝＝（对着同一个圆周角），∴AC＝CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α，∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∴4α＝90°，∴α＝22.5°，故选：B．【点评】本题考查翻折变换，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（每题3分，本大题共6小题，共6小题，满分18分．）11．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．【解答】解：156668＝1.56668×105．故答案为：1.56668×105．【点评】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键．12．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：ab2﹣4a＝a（b2﹣4）＝a（b﹣2）（b+2）．故答案为：a（b﹣2）（b+2）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．【分析】根据中位数与众数的定义即可求解．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字（或者两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．【解答】解：这组数据的中位数是第5个与第6个数据的平均数，即，184出现了5次，则众数是184，故答案为：184，184．【点评】本题考查了求中位数与众数，熟练掌握中位数与众数的定义是解题的关键．14．【分析】设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．设DE＝xm，在Rt△BDE中，tan60°＝，解得BE＝x，则AE＝AB+BE＝（20+x）m，在Rt△ADE中，tan30°＝＝，解得x＝≈17.3，根据CD＝CE﹣DE可得出答案．【解答】解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．则CE＝30m，AB＝20m，∠EAD＝30°，∠EBD＝60°，设DE＝xm，在Rt△BDE中，tan60°＝，解得BE＝x，则AE＝AB+BE＝（20+x）m，在Rt△ADE中，tan30°＝＝，解得x＝≈17.3，经检验，x＝≈17.3是原方程的解，且符合题意，∴CD＝CE﹣DE＝12.7m．故答案为：12.7．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．15．【分析】由题意可知﹣2＜m＜2，根据m的范围即可确定n的范围．【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，∵P（m，n）到y轴的距离小于2，∴﹣2＜m＜2，而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，当m＝﹣1时，n＝1，∴n的取值范围是1≤n＜10，故答案为：1≤n＜10．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．16．【分析】由“SAS”可证△BEF≌△HEG，可得∠EBF＝∠EHG＝90°，BF＝GH，则点G在过点H且垂直EH的直线上运动，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，将BE绕点E逆时针旋转90°得到EH，连接GH，并延长交BC于N，∵AB＝5，AE＝2，∴BE＝3，∵将线EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，∴EF＝EG，∠GEF＝90°，∵将BE绕点E逆时针旋转90°得到EH，∴BE＝EH＝3，∠BEH＝90°＝∠GEF，∴∠GEH＝∠BEF，在△BEF和△HEG中，，∴△BEF≌△HEG（SAS），∴∠EBF＝∠EHG＝90°，BF＝GH，∴点G在过点H且垂直EH的直线上运动，作点C关于直线GH的对称点C'，连接C'D，则CG+DG的最小值为C'D的长，∵∠ABC＝∠BEH＝90°，∠EHN＝90°，∴四边形EBNH是矩形，∴BN＝EH＝3，∴CN＝6，∴CC'＝12，∴C'D＝＝＝13，∴CG+DG的最小值为13，故答案为：13．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，确定点G的运动轨迹是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．【解答】解：，解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x≤4，∴不等式组的解集为：2＜x≤4，在数轴上表示不等式的解集如图所示，【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．18．【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得到AO＝CO，∠OAF＝∠OCE，加上对顶角相等即可证明两个三角形全等．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AD∥CB，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA）．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，利用平行四边形的对角线互相平分和对边平行得到证明全等所需要的边和角的条件是解题的关键．19．【分析】（1）根据分式的混合运算进行计算即可求解．（2）根据题意求得b＝2a，代入（1）的结果进行化简即可求解．【解答】解：（1）＝＝；（2）∵点P（a，b）为直线y＝2x上一点，∴b＝2a，∴．【点评】本题考查了分式的化简求值，一次函数的性质，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键．20．【分析】（1）设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，根据“购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；购买2盒A种型号的颜料和1盒B 种型号的颜料需用64元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该中学可以购买m盒A种型号的颜料，则可以购买（200﹣m）盒B种型号的颜料，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3920元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，依题意得：，解得：．答：每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元．（2）设该中学可以购买m盒A种型号的颜料，则可以购买（200﹣m）盒B种型号的颜料，依题意得：24m+16（200﹣m）≤3920，解得：m≤90．答：该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．21．【分析】（1）用最喜欢A套餐的人数对应的百分比乘以总人数即可，先求出最喜欢C套餐的人数，然后用最喜欢C套餐的人数占总人数的比值乘以360°即可求出答案；（2）先求出最喜欢B套餐的人数对应的百分比，然后乘以960即可；（3）用列举法列出所有等可能的情况，然后找出甲被选到的情况即可求出概率．【解答】解：（1）最喜欢A套餐的人数＝25%×240＝60（人），最喜欢C套餐的人数＝240﹣60﹣84﹣24＝72（人），扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角为：360°×＝108°，故答案为：60，108；（2）最喜欢B套餐的人数对应的百分比为：×100%＝35%，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为：960×35%＝336（人）；（3）画树状图如图共有12种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为6，∴甲被选到的概率为．【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，用画树状图法求概率，由图表获取正确的信息是解题关键．22．【分析】（1）先根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，根据中点坐标求出点C的坐标，把点C的坐标代入求出k的值即可；（2）过点E作EF⊥x轴于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，根据DG＝2，PE：ED＝1：3，求出，将代入得出x＝4，即可得出点E的坐标．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣2x+4得：y＝4，∴点B的坐标为（0，4），把y＝0代入y＝﹣2x+4得：﹣2x+4＝0，解得：x＝2，∴点A的坐标为（2，0），∵C为AB的中点，∴点C的坐标为（1，2），把（1，2）代入得：k＝1×2＝2．（2）过点E作EF⊥x轴于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，如图所示：∵将OC向右平移至PD，点C的坐标为（1，2），∴DG＝2，∵PE：ED＝1：3，∴，∵DG⊥x轴，EF⊥x轴，∴EF∥DG，∴△PEF∽△PDG，∴，∴，∴E点的纵坐标为，把代入得：，解得：x＝4，∴点E的坐标为．【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，中点坐标公式，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握中点坐标公式．23．【分析】（1）作∠BAC的角平分线，交边BC于点O，以O为圆心，线段OB的长为半径作⊙O，则⊙O与边AC相切于点D；（2）①设OB＝r，根据（1）的条件知OD⊥AC，在Rt△ODC中，勾股定理解得：r＝3，根据正弦的定义即可求解；②根据，得出AB＝6，根据AO⊥BD，利用等面积法得出，即可求解．【解答】解：（1）如图所示，作∠BAC的角平分线，交边BC于点O，以O为圆心，线段OB的长为半径作⊙O，则⊙O与边AC相切于点D；（2）解：①如图所示，设OB＝r，由（1）可知OD⊥AC，∵CE＝2，CD＝4．在Rt△ODC中，OC＝OE+EC＝2+r，DO＝r，∴OD2+CD2＝OC2，即r2+42＝（r+2）2，解得：r＝3，∴，②∵BC＝BE+EC＝8，，∴AB＝6，在Rt△ABO中，，∵AB，AD是⊙O的切线，∴AO⊥BD，∴，∴．∴BD＝．【点评】本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．24．【分析】（1）先化为顶点式，进而根据新定义，写出伴随直线解析式即可求解；（2）根据抛物线解析式求得顶点坐标，代入抛物线G2的伴随直线解析式即可求解；（3）根据题意写出线y＝﹣a（x﹣1）2+4a的伴随函数，联立求出交点，在求出抛物线y ＝﹣a（x﹣1）2+4a与x轴的交点，用勾股定理列出关于a的方程，求出a，先证明当∠APB取得最大值，△ABP的外接圆与y轴相切，根据题意画出图形，即可求解．【解答】解：（1）∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，∴抛物线y＝2x2﹣4x+5的伴随直线为y＝2（x﹣1）+3＝2x+1；（2）y＝ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2＝ax2﹣2ax+2x+a﹣2＝a（x2﹣2x+1）+2（x﹣1）＝a（x﹣1）2+2（x﹣1）当x＝1时，y＝0，与a无关，即抛物线过定点（1，0），又∵y＝m（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝m（x2﹣mx﹣4x+m+3）＝m（x2﹣mx﹣4x）+m（m+3）＝，∴G2的伴随直线为：；将点（1，0）代入得，，∵m≠0，∴，解得：m＝﹣4或m＝﹣2；（3）∵抛物线的解析式为：y＝﹣a（x﹣1）2+4a，∴其伴随直线为y＝﹣a（x﹣1）+4a即y＝﹣ax+5a，顶点坐标为（1，4a），∵抛物线顶点在第一象限，∴a＞0，联立抛物线与伴随直线的解析式为：，解得：，，∴A（1，4a），B（2，3a），y＝﹣a（x﹣1）2+4a，令y＝0，即0＝﹣a（x﹣1）2+4a，解得：x＝﹣1或x＝3，∴C（﹣1，0），∴AC2＝4+16a2，AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，∵∠CAB＝90°，∴AC2+AB2＝BC2即4+16a2+1+a2＝9+9a2，解得：或（舍去），∴当∠CAB＝90°时，．设△APB的外接圆为⊙Q，当⊙Q与y轴相切时，在y轴上任意取一点F，连接BF交⊙Q于一点G，则∠AGB＝∠AFB+∠FAG＞∠AFB，∵∠APB＝∠AGB，∴当∠APB取得最大值，△ABP的外接圆与y轴相切，当时，则，，如图所示，此时∠CAB＝90°，设过A，C（﹣1，0）的直线解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴，设经过△APB的外心Q的直线解析式为，∵，，∴AB中点坐标E为，∴，解得：，∴直线EQ为：，∵PQ⊥y轴，则QP＝r＝QA＝QB，∴设，∴，解得：或（舍去），∴，∴．【点评】本题考查了二次函数综合运用，切线的性质，圆周角定理，三角形的外心的性质，新定义运算，熟练掌握新定义以及二次函数的性质是解题的关键．25．【分析】（1）连接OD，DE，根据切线的性质得∠ADO＝90°，根据等边对等角得出∠1＝∠2，根据已知条件得出EG⊥DE，即∠DEG＝90°，进而即可得证；（2）根据已知证明△AOD∽△ABC，得出，，由（1）的结论证明△ADE∽△AEG，OA＝x，CF＝y，表示出CG，在Rt△GED中，，根据y＞0，得出自变量的范围，即可求解；（3）连接OM，依题意，∠OBM＝∠EGD，由（2）可得，在Rt△BOM 中，，根据AB＝5，建立方程，解方程即可求解．【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，DE，∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC，即∠ADO＝90°，∵OE＝OD，∴∠1＝∠2，∵EG⊥DE，即∠DEG＝90°∴∠AEG＝∠1+90°＝∠2+90°＝∠ADE，即∠ADE＝∠AEG；（2）解：∵∠ODA＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ABC，∴，∵AC＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，∴根据勾股定理，得，∴，，∵∠ADE＝∠AEG，∠EAG＝∠DAG，∴△ADE∽△AEG，∴∵∴，AG＝2AE，∵OA＝x，CF＝y，在Rt△GED中，，∵，∴，∵CG＞0，∴，解得：，∴，当时，点G在线段AC上，即，则，综上所述，y＝；（3）解：如图所示，连接OM，∵BM为半圆O的切线，M为切点，∴OM⊥BM由（1）可得∠ADE＝∠AEG；又∠ADE＝∠EGD+90°＝∠2+90°，∴∠1＝∠EGD，∵BM∥DE，∴∠1＝∠OBM，∴∠OBM＝∠EGD，由（2）可得，∴，∵，∴，在Rt△BOM中，，∵，解得：．【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质，三角函数关系是解题的关键。