上海大学 现代控制理论 第4章

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现代控制理论第四章答案

现代控制理论第四章答案

G T PG P Q 1 3 1 P11 3 2 0 P 12 0 3 0 P13 P12 P22 P23 P13 1 3 0 P11 P23 3 2 3 P12 P33 1 0 0 13
P 12 P22 P23
19 1 0, 2 0, 3 0 78
19 78 P 13 10 P23 39 P33 1 2
10 39 49 78 19 13
0 0 0 P11 P12 P13 1 0 0 0 P P k P k 2 / 4 P P k / 2 P P P 0 0 0 11 13 33 12 23 12 22 23 0 P13 P23 P33 0 0 0 P12 P23 k / 2 P22
P 12 P22
P 1 1 1 0 12 2 3 0 1 P22
7 P 11 4 5 P 12 8 9 P22 24
2 P 4 P 1 11 12 P 4 P 2 P22 0 11 12 2 P 6 P 1 22 12
1 2 19 13 123 76
故:矩阵P是负定的,所以系统的平衡状态是不稳定的
【习题4-8 】设线性离散系统的状态方程为
0 1 0 x(k 1) 0 0 1 x(k ) 0 k / 2 0
1 Q 0 0 0 0 0 P 11 P P 12 P 13
I A
a11
a12
a21 a22 (a22 a11 a12 a21 ) 1 2 0 2 (a11 a22 ) 1 2 0 2

现代控制理论第4章

现代控制理论第4章

4.2 李雅普诺夫第一法
4.2.1 线性系统的稳定判据 线性定常系统
(1) 平衡状态 实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性,或称内部稳定性。但从工程意义 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负
上看,往往更重视系统的输出稳定性。
如果系统对于有界输入 所引起的输出 是有界的,则称系统为输出 稳定。 线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传递函数:
1892年,俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性 的一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动 稳定性给出了严格定义,提出了解决稳定性问题的一般理论,即李亚 普诺夫稳定性理论。该理论基于系统的状态空间描述法,是对单变 量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用 的通用方法,是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要
(1) i 0 , i 1, 2,
i

,n
(i 1, 2, , n)
0, i为偶数 i 0, i为奇数
(3) 实对称矩阵P为半正定的充要条件是矩阵P的前n-1阶主子行列式非负,
且矩阵P的行列式为零,即
0, i 0,
i 1, 2, in
, n 1
为其各阶顺序主子行列式: (10)
(1)实对称矩阵P为正定的充要条件是矩阵P的各阶主子行列式均大于 零,即有
1 a11 0
a11 a12 a11 a12 2 0; a21 a22 ; n det P a21 a22 an1 an 2
a1n a2 n ann 0
(2) 实对称矩阵P为负定的充要条件是矩阵P的各阶主子行列式满足
的权矩阵。aij 为实数,且
aij a ji , i, j 1,2, , n。

第现代控制理论4章

第现代控制理论4章
全导数分别为
V(x)

Px
1 2

3 1
1 2x 0
V(x)

Qx

1
0
01x 0
实用文档
例4-10 控制系统方块图如下图所示。 ➢ 要求系统渐近稳定,试确定增益的取值范围。
x3
x2
x1
k
1
1
s 1 -
s 2
s
解 由图可写出系统的状态方程为 x1 0 1 x2 0 2 x3 k 0
➢ 求得
k2 12k 6k 0
P
1 2(6k)
6k 0
3k k k 6
➢ 为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的,矩阵P须为
正定。
实用文档
➢ 采用合同变换法,有
k2 1 2 k6 k0
k2 00
k2 0 0
6 k
3 kk 行 (1 ) (2 ) 2 (1 ) 03 kk 行 (3 ) (2 )/3 (3 ) 03 k
1 2
实用文档
➢ 为了验证对称矩阵P的正定性,用合同变换法检验如下:
P1 21 3
1行 (2)(1)/3 (2)19 2列 (2)(1)/3 (2)60
0 5
➢ 由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,故 矩阵P为正定的。因此,系统为大范围渐近稳定的。
➢ 此时,系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对时间t的
➢ 对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为
矩阵方程
PA+AP=-Q 的解,并且正定函数V(x)=xPx即为系统的一个李雅普诺夫
函数。 □
实用文档
证明过程为:
➢ 已知满足矩阵方程

《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)

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第一章习题答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。

解:系统的模拟结构图如下:系统的状态方程如下:阿令,则所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为状态变量的状态方程,和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。

解:由图,令,输出量有电路原理可知:既得写成矢量矩阵形式为:1-3参考例子1-3(P19).1-4两输入,,两输出,的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解:系统的状态空间表达式如下所示:1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图。

解:令,则有相应的模拟结构图如下:1-6(2)已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图解:1-7给定下列状态空间表达式(1)画出其模拟结构图(2)求系统的传递函数解:(2)1-8求下列矩阵的特征矢量(3)解:A的特征方程解之得:当时,解得:令得(或令,得)当时,解得:令得(或令,得)当时,解得:令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型(并联分解)(2)解:A的特征方程当时,解之得令得当时,解之得令得当时,解之得令得约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时,系统的传递函数阵,并讨论所得结果解:(1)串联联结(2)并联联结1-11(第3版教材)已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解:1-11(第2版教材)已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解:1-12已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示,并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为(1)解法1:解法2:求T,使得得所以所以,状态空间表达式为第二章习题答案2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数。

(2)A=解:第一种方法:令则,即。

求解得到,当时,特征矢量由,得即,可令当时,特征矢量由,得即,可令则,第二种方法,即拉氏反变换法:第三种方法,即凯莱—哈密顿定理由第一种方法可知,2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件,如果满足,试求与之对应的A阵。

现代控制理论基础第四章(1)

现代控制理论基础第四章(1)



Ae e
第一节

李亚普诺夫理论基础


4.1.2 稳定性概念 规定几个简化记法。令BR表示状态空间中||x||<R由定义的球形区 域,SR表示由||x||=R定义的球面本身。 1。稳定性和不稳定性 定义4-1-3:如果对于任何R>0,存在r>0,使得对于所有t≥0如果 ||x(0)||<r,就有||x(t)||<R ,则称平衡点x=0是稳定(李亚普诺夫 稳定)的,否则就说平衡点是不稳定的。 2 我们将使用如下标准缩略语符号: 3 1 Sr 意思是“对于任何”,意思是“存在” 意思是“在集合中”(“属于”) x(0) 意思是“蕴涵” SR 当然我们可以互换地说:A蕴涵B,或者 说A是B的充分条件,或者说B是A的必要条件。
* f ( x *) x x (0) x0
x*(t) x1
f (x) x
x (0) x0 x0
x3
图4-1-2
第一节

李亚普诺夫理论基础
( 4 1 8)
那么e(t)满足下列非自治微分方程
(t ) f ( x * e, t ) f ( x*, t ) g (e, t ) e
第一节

李亚普诺夫理论基础

如果A是奇异的,它就有无穷多个平衡点,这些平衡点包含在矩 阵A的零空间内,即Ax=0定义的子空间内。这隐含着这些平衡 点不是孤立的。如例子 x 0 所反映的那样,其相平面x轴 x 上所有点都是平衡点。 一个非线性系统可以有几个(或无穷多个)孤立平衡点。 例4-1-1 单摆 考虑图4-1-1所示的单摆,它的动态特性 由下列非线性自治方程给出 R 2 MR b MgR sin 0 (4 1 5) θ 式中R为单摆长度,M为单摆质量, b为铰链的摩擦系数,g是重力常数。 令x1=θ,x2= 则相应的状态空间方程是

现代控制理论-4

现代控制理论-4

雅可比(Jacobian)矩阵。 引入偏差向量 x x xe,即 可导出系统的线性化方程, 或称一次近似式为 x Ax
式中
现代控制理论基础
A
f x T
x x e
12
4.2 李亚普诺夫第一方法

①假如矩阵A的所有特征值都具有负实部,则原非线性系 统的平衡状态 xe 是渐近稳定的,且系统的稳定性与高阶项
point from the stability properties of its linear approximation.)
现代控制理论基础
2


直接法又称第二方法,它通过构造一个称之为 Lyapunov 函数
的纯量函数来判别系统的稳定性。它是分析线性和非线性、时 变和定常动力学系统稳定性的一种普遍方法,而且还可以有效 地应用于系统的分析和综合。
4 控制系统的稳定性—Lyapunov第二方法
4.1 关于稳定性的几个定义
4.2 李亚普诺夫第一方法
重点!
4.3 李亚普诺夫第二方法 4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析 4.5 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析 4.6 Lyapunov第二方法在线性系统设计中
的应用
1


1892年,俄国数学家李亚普诺夫(Lyapunov)在其发表的 论文《运动稳定性的一般问题》(The general problem of motion stability) 中提出了两种用于分析由常微分方程描述的系统稳定 性的方法:线性化方法和直接法 。 (linearization method and direct method)
x x
T x xe
( x xe ) ( x xe )

现代控制理论第4章1

现代控制理论第4章1
e
Φ(t; x0 , t0 ),
在式(4.1)的系统中,总存在 在式(4.1)的系统中, (4.1)的系统中 , 对所有t f ( x , t) ≡ 0 则称 为系统的平衡状态或平衡点。 xe 为系统的平衡状态或平衡点。
(4.2)
如果系统是线性定常的, 如果系统是线性定常的,也就是说 为非奇异矩阵时, 为非奇异矩阵时,系统存在一个唯一的平衡状态
(2) 如果平衡状态
类似地,如果δ 与t0无关,则称此时之平衡状态 无关, 类似地,如果δ
为一致渐近稳定的。 为一致渐近稳定的。 实际上,渐近稳定性比Lyapunov意义下的稳定性更重要。 Lyapunov意义下的稳定性更重要 实际上,渐近稳定性比Lyapunov意义下的稳定性更重要。 考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念, 考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念,所以简单 地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。 地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。 通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。 通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生 渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说, 渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说,发生于吸引域内 的每一个轨迹都是渐近稳定的。 的每一个轨迹都是渐近稳定的。
Lyapunov意义下的稳定性问题 4.2 Lyapunov意义下的稳定性问题
对于一个给定的控制系统,稳定性分析通常是最重要的。 对于一个给定的控制系统,稳定性分析通常是最重要的。 如果系统是线性定常的, 那么有许多稳定性判据, Routh如果系统是线性定常的 , 那么有许多稳定性判据 , 如 RouthHurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用 稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。 Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。

现代控制理论第4章答案

现代控制理论第4章答案

现代控制理论第四章习题答案4-1判断下列二次型函数的符号性质:(1)222123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- (2)222123122313()4262v x x x x x x x x x x =++---解:(1)由已知得[]11231231232311232311()31122111113211112x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-+------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥---⎣⎦110∆=-<,2112013-∆==>-,31111711302411112--∆=--=-<--- 因此()Q x 是负定的 (2)由已知得[][]112312312323112323()433111143131x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=---+---+⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦110∆=>,2113014-∆==>-,3111143160131--∆=--=-<--因此()Q x 不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程:11122122a a xx a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。

解:方法(1):要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定,则要求满足A 的特征值均具有负实部。

即:111221222112211221221()0a a I A a a a a a a a a λλλλλ---=--=-++-= 有解,且解具有负实部。

即:1122112212210a a a a a a +<>且方法(2):系统的原点平衡状态0e x =为大范围渐近稳定,等价于T A P PA Q +=-。

上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第四章 线性系统的结构分解6

上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第四章 线性系统的结构分解6
4.7 线性系统的结构分解
• • 能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。 线性定常系统按能控性的结构分解

分解成能控的和不能控的两部分。如何分解?
1. 2. 3. 计算 从中任意选取k个线性无关的列 选取n-k个列控性分解的规范表达式
为什么?
Q q1 q k 变换关系 QA AQ QB B q k 1 q n A A的各列是AQ的各列关于Q q1 q k | q k 1 q n 的表达 Aq1 Aqk | Aqk 1 Aqn
1
q k 1 q n
q
qk
因rankQc rank[ B AB A n 1B] k 故Aq1 , , Aqk 对q1 q k | q k 1 q n 的表达中从第k 1行以下都为 0 即为规范表达式中的形 式 所以Aq1 , , Aqk都是q1 , , q k的线性组合
对B同理。
说明:
•线性定常系统按能观测性的分解
•线性定常系统结构的规范分解
不完全能控、不完全能观测的线性定常系统

《现代控制理论基础》讲义教案第4章.docx

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III、综合部分第四早线性多变量系统的综合与设计4.1引言前面我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。

系统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型(时域、频域、内部、外部描述)Z间的相互转换等;系统的分析,则主要研究系统的定量变化规律(如状态方程的解,即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、稳定性等)。

而综合与设计问题则与此相反,即在己知系统结构和参数(被控系统数学模型)的基础上,寻求控制规律,以使系统具有某种期望的性能。

一般说来,这种控制规律常取反馈形式,因为无论是在抗干扰性或鲁棒性能方面,反馈闭环系统的性能都远优于非反馈或开环系统。

在本章中,我们将以状态空间描述和状态空间方法为基础,仍然在吋域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计方法。

4. 1. 1问题的提法给定系统的状态空间描述若再给定系统的某个期望的性能指标,它既可以是时域或频域的某种特征量(如超调量、过渡过程时间、极、零点),也可以是使某个性能函数取极小或极大。

此时,综合问题就是寻求一个控制作用u,使得在该控制作用下系统满足所给定的期望性能指标。

对于线性状态反馈控制律u = -Kx + r对于线性输岀反馈控制律u = -Ffy + r其中r e R'为参考输入向量。

由此构成的闭环反馈系统分别为x - {A- BK)x+ Br y-Cx或x = {A-BHC)x+Br y = Cx闭坏反馈系统的系统矩阵分别为九=A — BKA H=A-BHC即工K = (A—BK,B,C)或工〃=(A—BHC,B,C)°闭环传递函数矩阵G K⑶=C '[si-(A-BK)Y] BG H G) = C_,[si-(A-BHOf B我们在这里将着重指出,作为综合问题,将必须考虑三个方面的因素,即1)抗外部干扰问题;2)抗内部结构与参数的摄动问题,即鲁棒性(Robustness)问题;3)控制规律的工程实现问题。

一般说来,综合和设计是两个有区别的概念。

现代控制理论第四章

现代控制理论第四章
2015/7/28 控制科学与工程系 21
A BK1 f ( ) det I C
BK2 0
2015/7/28
控制科学与工程系
22
可求得输出向量的拉氏变换为
D(s) Y ( s) C1 ( sI A1 ) R ( s )
2015/7/28 控制科学与工程系
2、输出至输入的反馈
x Ax B(r Hy), y Cx x ( A BHC ) x Br
2015/7/28 控制科学与工程系
不改变受控 对象的可控 性和可观性
17
4.3 扰动的抑制及消除 **
实际系统中不可避免地存在着扰动作用,致使 系统稳态时不能理想的跟踪参考输入而产生偏 差。经典控制理论中用偏差的积分及复合控制 来抑制与消除单输入-单输出系统的稳态误差。 这里,将其推广到多输入-多输出系统的状态 空间中。 x Ax Bu d , y Cx
控制科学与工程系
2
定理 一个可控、可观测的系统引入状态反馈后不 改变系统的可控性,但可能改变系统的可观测性。
受控系统可控,则可以通过非奇异线性变换P ,化A,B 为可控标准形
x Ax Bu, y Cx
0 0 A P 1 AP 0 a0 1 0 0 a1 0 1 0 0 0 1 a n1
AB An1B Anq2 B

增广系统的可控的充要条件是: rankS n q 若原受控对象可控,则其可控性矩阵满足 :
[n x(n+q-1)p]维
rank B

AB An1B n

满秩

现代控制理论第4章(续)

现代控制理论第4章(续)

之间存在差异时,由于动态模型和实际系统之间的差异,该附加的修正项将减小这些影响。
1
《现代控制理论基础》第四章(讲义)
图 4.5 所示为系统和全维状态观测器的方块图。 下面将详细讨论用矩阵 A 和 B 以及附加的修正项来表征动态特性的状态观测器,其中
的附加修正项包含测量输出和估计输出之间的差。在讨论过程中,假设在此模型中使用的 矩阵 A 和 B 与实际系统使用的相同。
量的动态特性渐近稳定且足够快,则任意误差向量都将以足够快的速度趋近于零(原点)。
如果系统是完全能观测的,则可证明可以选择 K e 。使得 A - KeC 具有任意所期望的特
2
对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,系电,力通根保1据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决,机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配,料置而试时且卷,可调需保控要障试在各验最类;大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安,与全要过,加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料;中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整,中核或资对者料定对试值某卷,些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置,卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线,高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试,高方要中案求资,技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高,料术课中并3试、中件资且卷管包中料拒试路含调试绝验敷线试卷动方设槽技作案技、术,以术管来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案,中;为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中,料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工,置作合调并理试且利技进用术行管,过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指:灵导在活。分。对线对于盒于调处差试,动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术,调问应试题采技,用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一,隔变需开压要处器在理组事;在前同发掌一生握线内图槽部纸内 故资,障料强时、电,设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料,料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与,采相要用关进高技行中术检资资查料料和试,检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

现代控制理论第4章ppt

现代控制理论第4章ppt
已经证明:线性变换不改变系统的特征值,若第i个状 态不能控,即:
xi (t) eit xi (0)
自由分量不能控,即相应特征根的自然模式:
eit
不能控。 由于系统线性变换不改变系统的特征值,所以也不改
变系统的能控性。
2021年4月1日
第4章第12页
1 对角线、约当标准形判据
1)具有约当标准形的系统的能控性判据 (1)系统特征根为单根
在u(t)作用下,由于4个电阻阻值相等,当t≥ t0时,有
x(t) x(t0 ) 初始状态
显然,输入u(t)不能影响电容C,状态x(t)不能控,即此电路是不能控的。
2021年4月1日
第4章第4页
实例2:如图所示电气网络,输入变量是电压源u(t),输出变量是端电压y(t), 取C端电压x1(t) 、x2(t)作为状态变量。
1 0 3 0 0
1 2 1 1 0 1 2 AB 0 1 0 0 1 0 1
1 0 3 0 0 1 0
1 2 1 1 2 2 4 A2B A AB 0 1 0 0 1 0 1
1 0 3 1 0 4 2
1 0 1 2 2 4 M [B AB A2B] 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 4 2
通过以上三例可知,系统内部状态与输入之间,存在是否能控的问 题。不能控系统,其不能控状态分量与输入既无直接关系,又无间接关 系。为了揭示能控性的本质,并用于分析更一般和更复杂的系统,需要 对其进行严格的定义,并导出相应的判断准则。
2021年4月1日
第4章第6页
4.1.2 能控性定义 1、定义
对于动力学系统
2021年4月1日
第4章第1页
概述
• 能控性(controllability)和能观测性(observability) 的概念于 60年代初由卡尔曼提出。

现代控制理论4

现代控制理论4

定义:对自治系统 x f ( x, t ) 的平衡状态xe=0,若对任意给定 的 0 ,存在一个 0 ,使得只要状态轨线的初始状态满足 x0 ,由该初始状态出发的状态 x(t ) (t; x0 , t0 ) 轨线满足 (t; x0 , t0 ) 。那么,系统的平衡状态 xe=0 称为是李雅普诺 夫意义下稳定的。
31
例;设系统状态方程为
1 x2 x1 ( x12 x2 2 ) x 2 x1 x2 ( x12 x2 2 ) x
试确定该系统平衡状态的稳定性。 解:由平衡状态方程得
2 2 x 2 x1 ( x1 x 2 ) 0 2 2 x x ( x x 2 1 2) 0 1
x (t ) x e ,则称平衡状态 xe 定义 若对任意 x0 ,都有 lim t 是大范围渐近稳定。
9
不稳定 定义 若对任意给定实数ε>0,不论δ怎么小,至少有 x(t ) x e ,则称平衡状 x0 xe ,则有 x0 一个 ,当 xe 态 不稳定。
稳定
渐近稳定
1 x2 x 2 x1 x
雅可比矩阵为
f1 x A 1 f 2 x1
f1 1 x2 x2 f 2 x2 x2 x1 1
x2 1
x1 0 1 1 x1 x1 1 1 0 x2 1
f1 1 x2 x2 f 2 x2 x2 x1 0
x2 0
x1 1 0 1 x1 x1 0 0 1 x2 0
其特征值为:11, 21,可判原非线性系统在xe1不稳定
17
在xe2处将其线性化有

现代控制理论第4章2 ppt课件

现代控制理论第4章2 ppt课件

F(x) xT
x1
x2
xn
(nn)Biblioteka fnfnfn
x1 x2
xn xxe
则系统在xe =0处是渐近稳定的充分条件是:下列矩阵
F ˆ(x)FT(x)F(x)
在所有x下都是负定的,而且
V (x ) x T x fT (x )f(x )
是一个李亚普诺夫(Lyapunov)函数。
如果 x 当时f, T(x)f(x),则平衡状态近 是稳 大.定 证 ( 1 )明 F ˆ(x ) 负 :定 V (x ) 正定
对任意n维状态向量x,有
x T F ˆ ( x ) x x T F T ( x ) F ( x ) x
xTF T(x)xxTF (x)x
x T F (x )x T x T F (x )x
2xTF(x)x
标量
例:设系统的状态方程为
x1 3x1 x2 x2 x1 x2 x23
试用克拉索夫基法确定系统在平衡状态的 xe = 0 稳定性.
(b)非线性函数 f(x 对) x i(i 1 是,2 ,可 微,n 的);
(c) fi(x)0 (i1,2, ,n) xi
变量梯度法
1)梯度的概念
一个多元函数 v(x1,x2,…,xn) 存在对 n 个变量 xi 的偏导数 在控制问题中,偏导数是指n维空间中的运动质点
v x
i

运动到达某一位置时沿各个坐标方向的变化率。
v (x)( V)Tx
x
v(x) (V)T dx
0
李氏函数的求取变成求一个合适的梯度向量V。 求取V利用了以下两个条件:
1)由于V是一个向量,则n维广义旋度为0,故V必须满足 以下旋度方程:

现代控制理论习题解答(第四章)(最新整理)

现代控制理论习题解答(第四章)(最新整理)

v(x) a1x1x1 x2x2 a1x1x2 x2 (a1x2 a2x12x2 )
v(x) a2x12x22 0
结论 a1 0 , v(x) 正定; a2 0 , v(x) 负定,系统渐近稳定。
因为 x 时, v(x) 0.5a1x12 0.5x2 2 ,所以系统又是大范围渐近稳定。
0
试求系统原点 xe 0 稳定的充分条件。
【解】: 由第一法,
v(x) a1x12 b1x22 c1x32 2x1x2 4x3 x2 2x1x3
a1 1 1
xT
1
b1
2 x
1 2 c1
70
第三部分 现代控制理论习题详解
第四章 控制系统的稳定性
a10, a1 1来自1a10, 1
b1
1
1
b1 2
1 2 0 c1
满足正定的条件为:
aa11b1
0
1
a1b1c1 4 b1 4a1 c1
3-4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。
(1)
x
0 1
1 1 x;
(2)
x
1
2
1 3 x;
(3)
x
1 1
1 1 x;
(4)
x
1 0
0 1 x;
【解】: (1)

v(x) 0.5x12 0.5x2 2
v(x)
x1x1
x2 x2
(3) 设
v(x) 0.5x12 0.5x2 2
v(x) x1x1 x2x2 x1(x1 x2) x2(x1 x2) x12 x22
xT
1
0
0 1 x
xT Px
P 负定,系统渐近稳定,又因为是线性系统,所以该系统是大范围渐近稳定。
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2 V ( x ) = x12 + x2
选取Lyapunov函数:
显然它是正定的,即满足 而
( x) = 2 x x V 1 1 + 2 x2 x2
V ( x ) > 0 V ( x ) = 0
x≠0 x=0
将状态方程代入上式,化简后得
( x ) = −2a (1 + x ) 2 x 2 V 2 2
定理4-3 设系统状态方程为 数,并且满足:
= f ( x) x
在平衡状态 xe = 0 的某邻域内,标量函数V ( x ) 具有连续一阶偏导
( x ) 为半负定;3)除了x = 0 平衡状态外, V V ( x ) 为正定; 2) 1) e ( x) = 0 ( x ) = 0 的点,但是不会在整条状态轨线上有 V V 还有
[例4.4.1] 系统的状态方程如下,判别系统稳定性。
1 = x2 x 2 = −( x1 + x2 ) x
V ( x ) > 0 解 选取Lyapunov函数,显然是正定的,即满足 V ( x) = 0 1 1 2 V ( x ) = ( x1 + x2 ) 2 + x12 + x2 2 2 ( x ) = ( x + x )( x 而 1 + x 2 ) + 2 x1 x 1 + x2 x 2 V 1 2
4.3.4 大范围渐进稳定
x (t ) = xe 如果 x (t0 ) = x0 是整个状态空间中任一点,并且都有 lim t →∞
则为大范围渐近稳定或称为Lyapunov意义下全局渐近稳定。 当稳定性与 t0 的选择无关时,称一致全局渐近稳定。 4.3.5 不稳定 对于任意的实数 ε > 0 ,存在一个实数 δ > 0 ,不论 δ 取的多么小,在满足不 x0 − xe < δ 等式 的所有初始状态中,至少存在一个初始状 态 x0 ,由此出发的轨线 x (t ) ,满足
则 xe = 0 为一致渐近稳定的。
V ( x ) → ∞ ,则V ( x ) 是大范围一致渐近稳定的。 如果 x → ∞ ,
(注:本定理是将定理4-1的条件稍微放宽了一点)
1 = x2 x [例4.4.2] 系统的状态方程为 2 = −a (1 + x2 ) 2 x2 − x1 x
其中, a 为大于零的实数。判别系统的稳定性。 解 系统的平衡状态为 xe = 0
4.1
动态系统的外部稳定性
4.1.1 有界输入-有界输出稳定 Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable 定义:对于初始松弛系统,任何有界输入,其输出也是有界的,称 为BIBO系统。 如果输入 u 有界,是指 u ≤ K1 < ∞ 如果输入 y 有界,是指 y ≤ K 2 < ∞
a>0 a=0
可见,只有当 a > 0 时,才有有限值 K 3 存在,系统才是BIBO稳定 的。
4.1.2
BIBO稳定与平衡状态稳定性之间的关系
x = Ax + Bu y = Cx
对于线性定常系统
(4.1-2)
平衡状态 xe = 0的渐近稳定性由A 的特征值决定。而BIBO的稳定性 是由传递函数的极点决定的。 的极点。可能存在零极点对消。所以, xe = 0 处的渐近稳定就包含 了BIBO稳定,而BIBO稳定却可能不是 xe = 0 处的渐近稳定。 那么在什么条件下,BIBO稳定才有平衡状态 xe = 0 渐近稳定呢? 结论是:如果(4.1-2)式所描述的线性定常系统是BIBO稳定,且 系统是既能控又能观测的,则系统在 xe = 0处是渐近稳定的。
G ( s )的所有极点都是A 的特征值,但 A 的特征值并不一定都是 G ( s )
4.2 动态系统的内部稳定性
4.2.1、系统的平衡状态
e = f ( xe ) = 0 ,称xe为系统 平衡状态:对所有时间t,如果满足 x 的平衡状态或平衡点。稳定性针对平衡状态而言。 说明: e = f ( xe ) = Ax = 0 1、对于线性定常系统: x
A为非奇异阵时,x=0是其唯一的平衡状态。 A为奇异阵时,系统有无穷多个平衡状态。 2、对于非线性系统,有一个或多个平衡状态。 3、对任意 xe ≠ 0 ,总可经过一定的坐标变换,把它化到坐标 原点(即零状态)。一般将平衡状态取为状态空间原点。 4、孤立平衡状态:如果多个平衡状态彼此是孤立的,则称这 样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。
y =

t
t0
H (t − τ )u( τ ) d τ


t
t0
H (t − τ ) ⋅ u( τ ) d τ = K1 ∫
t
t0
H (t − τ ) ⋅ u( τ ) d τ
如果

t
t0
H (t − τ ) d τ
≤ K3 < ∞
于是
y ≤ K1 K 3
可以取
K 2 = K1 K 3
= Ax + Bu x 定理4-1 由方程 y = Cx 描述的线性定常系统。
≤ K3 < ∞
= −ax + u x [例4.1.1] 线性定常系统方程为
y = cx
其中,a 为一个非负的实数,而系统的脉冲响应函数为 h(t ) = c e − at 分析系统是否BIBO稳定。 解

∞ 0
h( τ ) d τ = c a ∞
4.3.1 引言 对于一个给定的控制系统,稳定性分析通常是最重要 的。如果系统是线性定常的,那么有许多稳定性判据,如 Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可利 用。然而,如果系统是非线性的,或是线性时变的,则上 述稳定性判据就将不再适用。所以, 1892年,俄国 Lyapunov在《运动稳定性的 一般问题》中提出了稳定性 理论。
为初始松弛系统。其输出向量的解为
y (t ) = ∫ H (t − τ )u( τ ) d τ
t0 t
(4.1-1)
BIBO稳定的充分必要条件是存在一个常数K3,有

∞ 0
H (t − τ ) d τ ≤ K 3 < ∞
或者对于 H (t − τ ) 的每一元素,都有

∞ 0
hij ( τ ) d τ
则 xe = 0 为一致稳定的。
V ( x ) → ∞ ,则 xe = 0是大范围一致稳定的。 如果 x → ∞ ,
(注:本定理只是比定理4-2少了第3个条件,不能保证 渐近稳定,只能保证一致稳定。)
( x ) ≤0 因为 V ( x ) = 0 ,则系 则系统可能存在闭合曲线(极限环),在上面恒有 V 统可能收敛到极限环,而不收敛到平衡点。因此 xe = 0 是一致稳 定的。
x − xe > ε
不稳定
称 xe = 0 为Lyapunov意义下不稳定
4.4 李亚普诺夫第二法
定义 如果标量函数 V ( x ) ≥0 ,并且当
V ( x ) > 0 ;仅当 x ≠ 0 时,
V ( x ) = 0 ;则称 V ( x ) 为正定的。除了 x = 0 以外,还有 x = 0 时,
第4 章
控制系统的稳定性分析
1. 动态系统的外部稳定性 2. 动态系统的内部稳定性 3. 李亚普诺夫意义下稳定性的定义 4. 李亚普诺夫第二法 5. 线性连续系统的稳定性 6. 线性定常离散系统的稳定性 7. 有界输入-有界输出稳定 8. 非线性系统的稳定性分析
稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。 控制系统的稳定性,通常有两种定义方式: 1、外部稳定性:是指系统在零初始条件下通过其外部状态, 即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输 入有界输出稳定(BIBO)。 2、内部稳定性:指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。 外部稳定性只适用于线性系统,内部稳定性不但适用于线性系 统,而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统,只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。 不管哪一种稳定性,稳定性是系统本身的一种特性,只和系统 本身的结构和参数有关,与输入-输出无关。也即在受到外界 扰动后,虽然其原平衡状态被打破,但在扰动消失后,仍然能 恢复到原来的平衡状态,或者趋于另一平衡状态继续工作。
( x ) = 0 ,而 x ≠ 0 和任意 x1 可见,当 x2 = 0 和任意的 x1 时,有 V 2 ( x ) < 0。又因为 x 1 = x2 就不为零,因此 1 = x2,只要 x1 变化 x 时, V ( x) ≡ 0 。 在整条状态轨线上不会有 V xe = 0 是一致渐进稳定的。 因此,
当 x → ∞ ,有V ( x ) → ∞ ,故系统 xe = 0是一致大范围渐进稳定的。
= f ( x) 定理4-4 设系统状态方程为 x
在平衡状态xe = 0 的某邻域内,标量函数V ( x ) 具有连续一阶偏导 数,并且满足:
V ( x ) 为正定; 1)
( x ) 为半负定; V 2)
4.2.2、状态向量范数
符号
• 称为向量的范数,x − xe 为状态向量端点至
平衡状态向量端点的范数,其几何意义为“状态偏差 向量”的空间距离的尺度,其定义式为:
x − xe = ( x1 − xe1 ) 2 + ( x2 − xe 2 ) 2 + + ( xn − xen )
[
1 2 2
]
4.3 李亚普诺夫意义下稳定性的定义
x≠0 x=0
将状态方程代入上式,化简后得
( x ) = −( x 2 + x 2 ) V 1 2
( x) < 0 x ≠ 0 V V ( x ) 是负定的,即满足 可见, V ( x ) = 0 x = 0
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